Τύποι εύρεσης των όγκων των γεωμετρικών σχημάτων. Τύποι εύρεσης όγκου παραλληλεπίπεδου

Γενική επισκόπηση. Στερεομετρικές φόρμουλες!

Γειά σου, Αγαπητοί φίλοι! Σε αυτό το άρθρο αποφάσισα να κάνω γενική επισκόπησηεργασίες στερεομετρίας που θα ενεργοποιηθούν Ενιαία Κρατική Εξέταση στα Μαθηματικάε. Πρέπει να ειπωθεί ότι τα καθήκοντα αυτής της ομάδας είναι αρκετά ποικίλα, αλλά όχι δύσκολα. Αυτά είναι προβλήματα εύρεσης γεωμετρικών μεγεθών: μήκη, γωνίες, εμβαδά, όγκοι.

Θεωρούνται: κύβος, κυβοειδές, πρίσμα, πυραμίδα, σύνθετο πολύεδρο, κύλινδρος, κώνος, μπάλα. Το λυπηρό γεγονός είναι ότι ορισμένοι απόφοιτοι δεν αναλαμβάνουν καν τέτοια προβλήματα κατά τη διάρκεια της ίδιας της εξέτασης, αν και πάνω από το 50% από αυτά λύνονται απλά, σχεδόν προφορικά.

Τα υπόλοιπα απαιτούν λίγη προσπάθεια, γνώσεις και ειδικές τεχνικές. Σε μελλοντικά άρθρα θα εξετάσουμε αυτές τις εργασίες, μην το χάσετε, εγγραφείτε σε ενημερώσεις ιστολογίου.

Για να λύσετε πρέπει να ξέρετε τύποι επιφανειών και όγκουςπαραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, πρίσμα, κύλινδρος, κώνος και σφαίρα. Σύνθετες εργασίεςΌχι, όλα λύνονται σε 2-3 βήματα, είναι σημαντικό να "δούμε" ποια φόρμουλα πρέπει να εφαρμοστεί.

Όλοι οι απαραίτητοι τύποι παρουσιάζονται παρακάτω:

Μπάλα ή σφαίρα. Μια σφαιρική ή σφαιρική επιφάνεια (μερικές φορές απλώς μια σφαίρα) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στο διάστημα που ισαπέχει από ένα σημείο - το κέντρο της μπάλας.

Όγκος μπάλαςίσος με τον όγκο μιας πυραμίδας της οποίας η βάση έχει το ίδιο εμβαδόν με την επιφάνεια της μπάλας και το ύψος είναι η ακτίνα της μπάλας

Ο όγκος της σφαίρας είναι μιάμιση φορά μικρότερος από τον όγκο του κυλίνδρου που περιβάλλεται γύρω από αυτήν.

Ένας κυκλικός κώνος μπορεί να ληφθεί περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο γύρω από ένα από τα πόδια του, γι' αυτό και ένας κυκλικός κώνος ονομάζεται επίσης κώνος περιστροφής. Δείτε επίσης Επιφάνεια κυκλικού κώνου

Όγκος στρογγυλού κώνουίσο με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού βάσης S και του ύψους H:

(H είναι το ύψος της άκρης του κύβου)

Παραλληλεπίπεδο είναι ένα πρίσμα του οποίου η βάση είναι ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλεπίπεδο έχει έξι όψεις και όλες είναι παραλληλόγραμμα. Παραλληλεπίπεδο, τέσσερα πλαϊνά πρόσωπαπου είναι ορθογώνια λέγεται ευθεία. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου οι έξι όψεις είναι όλες ορθογώνια ονομάζεται ορθογώνιο.

Όγκος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδουίσο με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους:

(S είναι το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας, h είναι το ύψος της πυραμίδας)

Μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο, το οποίο έχει μια όψη - τη βάση της πυραμίδας - ένα αυθαίρετο πολύγωνο, και τα υπόλοιπα - πλευρικές όψεις - τρίγωνα με μια κοινή κορυφή, που ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας.

Ένα τμήμα παράλληλο στη βάση της πυραμίδας χωρίζει την πυραμίδα σε δύο μέρη. Το τμήμα της πυραμίδας μεταξύ της βάσης της και αυτού του τμήματος είναι μια κολοβωμένη πυραμίδα.

Όγκος κολοβωμένης πυραμίδαςίσο με το ένα τρίτο του γινομένου του ύψους h (OS)με το άθροισμα των εμβαδών της άνω βάσης S1 (abcde), κάτω βάση κόλουρης πυραμίδας S2 (ABCDE)και η μέση αναλογία μεταξύ τους.

n - αριθμός πλευρών κανονικού πολυγώνου - βάσεις κανονική πυραμίδα
α - πλευρά κανονικού πολυγώνου - βάση κανονικής πυραμίδας
h - ύψος κανονικής πυραμίδας

Μια κανονική τριγωνική πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο, το οποίο έχει μια όψη - τη βάση της πυραμίδας - ένα κανονικό τρίγωνο, και τα υπόλοιπα - πλευρικές όψεις - ίσα τρίγωνα με κοινή κορυφή. Το ύψος κατεβαίνει στο κέντρο της βάσης από την κορυφή.

Σωστή ένταση τριγωνική πυραμίδα ίσο με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού κανονικό τρίγωνο, που είναι η βάση S (ABC)στο ύψος h (OS)

α - πλευρά κανονικού τριγώνου - βάση κανονικής τριγωνικής πυραμίδας
h - ύψος κανονικής τριγωνικής πυραμίδας

Παραγωγή του τύπου για τον όγκο ενός τετραέδρου

Ο όγκος ενός τετραέδρου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον κλασικό τύπο για τον όγκο μιας πυραμίδας. Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε το ύψος του τετραέδρου και το εμβαδόν ενός κανονικού (ισόπλευρου) τριγώνου.

Όγκος τετραέδρου- ισούται με το κλάσμα στον αριθμητή του οποίου η τετραγωνική ρίζα του δύο στον παρονομαστή είναι δώδεκα, πολλαπλασιαζόμενη με τον κύβο του μήκους της άκρης του τετραέδρου

(h είναι το μήκος της πλευράς του ρόμβου)

Περιφέρεια σελείναι περίπου τρία ολόκληρα και το ένα έβδομο της διαμέτρου του κύκλου. Ο ακριβής λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του υποδεικνύεται με το ελληνικό γράμμα π

Ως αποτέλεσμα, η περίμετρος του κύκλου ή της περιφέρειας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

(r - ακτίνα τόξου, n - επίκεντρη γωνίατόξα σε μοίρες.)

Και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μεθόδους για τον υπολογισμό των εμβαδών διαφόρων μορφών, παρόμοιες με τις δικές μας μεθόδους.

Στα βιβλία μου "Αρχές"ο διάσημος αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης περιέγραψε αρκετά μεγάλο αριθμόμέθοδοι υπολογισμού των εμβαδών πολλών γεωμετρικά σχήματα. Τα πρώτα χειρόγραφα στη Ρωσία που περιείχαν γεωμετρικές πληροφορίες γράφτηκαν τον 16ο αιώνα. Περιγράφουν τους κανόνες για την εύρεση των περιοχών των μορφών διαφόρων σχημάτων.

Σήμερα με τη βοήθεια σύγχρονες μεθόδουςμπορείτε να βρείτε την περιοχή οποιασδήποτε φιγούρας με μεγάλη ακρίβεια.

Ας εξετάσουμε ένα από τα πιο απλά σχήματα - ένα ορθογώνιο - και τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού του.

Τύπος ορθογώνιου εμβαδού

Ας εξετάσουμε ένα σχήμα (Εικ. 1), το οποίο αποτελείται από τετράγωνα $8$ με πλευρές $1$cm Το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά $1$cm ονομάζεται τετραγωνικό εκατοστό και γράφεται $1\cm^2. $.

Το εμβαδόν αυτού του σχήματος (Εικ. 1) θα είναι ίσο με $8\cm^2$.

Το εμβαδόν ενός σχήματος που μπορεί να χωριστεί σε πολλά τετράγωνα με πλευρά $1\ cm$ (για παράδειγμα, $p$) θα ισούται με $p\ cm^2$.

Με άλλα λόγια, το εμβαδόν του σχήματος θα είναι ίσο με τόσα $cm^2$ σε πόσα τετράγωνα με πλευρά $1\ cm$ μπορεί να διαιρεθεί αυτό το σχήμα.

Ας εξετάσουμε ένα ορθογώνιο (Εικ. 2), το οποίο αποτελείται από λωρίδες $3$, καθεμία από τις οποίες χωρίζεται σε τετράγωνα $5$ με πλευρά $1\ cm$. ολόκληρο το ορθογώνιο αποτελείται από $5\cdot 3=15$ τέτοια τετράγωνα και το εμβαδόν του είναι $15\cm^2$.

Εικόνα 1.

Εικόνα 2.

Η περιοχή των μορφών συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα $S$.

Για να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος του με το πλάτος του.

Αν υποδηλώσουμε το μήκος του με το γράμμα $a$ και το πλάτος του με το γράμμα $b$, τότε ο τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου θα μοιάζει με αυτό:

Ορισμός 1

Οι φιγούρες καλούνται ίσοςεάν, όταν επιτίθενται το ένα πάνω στο άλλο, οι αριθμοί συμπίπτουν. Ίσα νούμερα έχουν ίσες περιοχέςκαι ίσες περιμέτρους.

Το εμβαδόν ενός σχήματος μπορεί να βρεθεί ως το άθροισμα των εμβαδών των μερών του.

Παράδειγμα 1

Για παράδειγμα, στο σχήμα $3$, το ορθογώνιο $ABCD$ χωρίζεται σε δύο μέρη με γραμμή $KLMN$. Το εμβαδόν ενός τμήματος είναι $12\ cm^2$ και του άλλου είναι $9\ cm^2$. Τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου $ABCD$ θα είναι ίσο με $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Όπως μπορείτε να δείτε, οι περιοχές που βρέθηκαν και με τις δύο μεθόδους είναι ίσες.

Εικόνα 3.

Εικόνα 4.

Το τμήμα $AC$ χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ίσο τρίγωνο: $ABC$ και $ADC$. Αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν κάθε τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού ολόκληρου του ορθογωνίου.

Ορισμός 2

Ένα ορθογώνιο με ίσες πλευρές λέγεται πλατεία.

Αν υποδηλώσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου με το γράμμα $a$, τότε το εμβαδόν του τετραγώνου θα βρεθεί με τον τύπο:

Εξ ου και το τετράγωνο του ονόματος του αριθμού $a$.

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, αν η πλευρά ενός τετραγώνου είναι $5$ cm, τότε το εμβαδόν του είναι:

Τόμοι

Με την ανάπτυξη του εμπορίου και των κατασκευών πίσω στην εποχή των αρχαίων πολιτισμών, προέκυψε η ανάγκη εύρεσης τόμων. Στα μαθηματικά, υπάρχει ένας κλάδος της γεωμετρίας που ασχολείται με τη μελέτη των χωρικών μορφών, που ονομάζεται στερεομετρία. Αναφορές αυτού του ξεχωριστού κλάδου των μαθηματικών βρέθηκαν ήδη τον $IV$ αιώνα π.Χ.

Οι αρχαίοι μαθηματικοί ανέπτυξαν μια μέθοδο για τον υπολογισμό του όγκου απλών ψηφίων - ενός κύβου και ενός παραλληλεπίπεδου. Όλα τα κτίρια εκείνης της εποχής είχαν αυτό το σχήμα. Αλλά μεταγενέστερες μέθοδοι βρέθηκαν για τον υπολογισμό του όγκου των σχημάτων πιο πολύπλοκων σχημάτων.

Όγκος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου

Εάν γεμίσετε το καλούπι με βρεγμένη άμμο και στη συνέχεια το αναποδογυρίσετε, θα πάρετε μια τρισδιάστατη φιγούρα που χαρακτηρίζεται από όγκο. Αν φτιάξετε πολλές τέτοιες φιγούρες χρησιμοποιώντας το ίδιο καλούπι, θα λάβετε φιγούρες που έχουν τον ίδιο όγκο. Εάν γεμίσετε το καλούπι με νερό, τότε ο όγκος του νερού και ο όγκος της φιγούρας άμμου θα είναι επίσης ίσοι.

Εικόνα 5.

Μπορείτε να συγκρίνετε τους όγκους δύο δοχείων γεμίζοντας το ένα με νερό και ρίχνοντάς το στο δεύτερο δοχείο. Εάν το δεύτερο δοχείο είναι πλήρως γεμάτο, τότε τα δοχεία έχουν ίσους όγκους. Αν παραμείνει νερό στο πρώτο, τότε ο όγκος του πρώτου δοχείου είναι μεγαλύτερος από τον όγκο του δεύτερου. Εάν, όταν χύνεται νερό από το πρώτο δοχείο, δεν είναι δυνατό να γεμίσει πλήρως το δεύτερο δοχείο, τότε ο όγκος του πρώτου δοχείου είναι μικρότερος από τον όγκο του δεύτερου.

Ο όγκος μετριέται χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες μονάδες:

$mm^3$ -- κυβικό χιλιοστό,

$cm^3$ -- κυβικό εκατοστό,

$dm^3$ -- κυβικό δεκατόμετρο,

$m^3$ -- κυβικό μέτρο,

$km^3$ -- κυβικό χιλιόμετρο.

Μετρήστε όλες τις απαιτούμενες αποστάσεις σε μέτρα.Ο όγκος πολλών τρισδιάστατων σχημάτων μπορεί εύκολα να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους τύπους. Ωστόσο, όλες οι τιμές που αντικαθίστανται σε τύπους πρέπει να μετρώνται σε μέτρα. Επομένως, προτού συνδέσετε τιμές στον τύπο, βεβαιωθείτε ότι όλες έχουν μετρηθεί σε μέτρα ή ότι έχετε μετατρέψει άλλες μονάδες μέτρησης σε μέτρα.

• 1 mm = 0,001 m
• 1 cm = 0,01 m
• 1 km = 1000 m

Και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μεθόδους για τον υπολογισμό των εμβαδών διαφόρων μορφών, παρόμοιες με τις δικές μας μεθόδους.

Στα βιβλία μου "Αρχές"Ο διάσημος αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης περιέγραψε έναν αρκετά μεγάλο αριθμό τρόπων υπολογισμού των περιοχών πολλών γεωμετρικών σχημάτων. Τα πρώτα χειρόγραφα στη Ρωσία που περιείχαν γεωμετρικές πληροφορίες γράφτηκαν τον 16ο αιώνα. Περιγράφουν τους κανόνες για την εύρεση των περιοχών των μορφών διαφόρων σχημάτων.

Σήμερα, χρησιμοποιώντας σύγχρονες μεθόδους, μπορείτε να βρείτε την περιοχή οποιασδήποτε φιγούρας με μεγάλη ακρίβεια.

Ας εξετάσουμε ένα από τα πιο απλά σχήματα - ένα ορθογώνιο - και τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού του.

Τύπος ορθογώνιου εμβαδού

Ας εξετάσουμε ένα σχήμα (Εικ. 1), το οποίο αποτελείται από τετράγωνα $8$ με πλευρές $1$cm Το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά $1$cm ονομάζεται τετραγωνικό εκατοστό και γράφεται $1\cm^2. $.

Το εμβαδόν αυτού του σχήματος (Εικ. 1) θα είναι ίσο με $8\cm^2$.

Το εμβαδόν ενός σχήματος που μπορεί να χωριστεί σε πολλά τετράγωνα με πλευρά $1\ cm$ (για παράδειγμα, $p$) θα ισούται με $p\ cm^2$.

Με άλλα λόγια, το εμβαδόν του σχήματος θα είναι ίσο με τόσα $cm^2$ σε πόσα τετράγωνα με πλευρά $1\ cm$ μπορεί να διαιρεθεί αυτό το σχήμα.

Ας εξετάσουμε ένα ορθογώνιο (Εικ. 2), το οποίο αποτελείται από λωρίδες $3$, καθεμία από τις οποίες χωρίζεται σε τετράγωνα $5$ με πλευρά $1\ cm$. ολόκληρο το ορθογώνιο αποτελείται από $5\cdot 3=15$ τέτοια τετράγωνα και το εμβαδόν του είναι $15\cm^2$.

Εικόνα 1.

Εικόνα 2.

Η περιοχή των μορφών συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα $S$.

Για να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος του με το πλάτος του.

Αν υποδηλώσουμε το μήκος του με το γράμμα $a$ και το πλάτος του με το γράμμα $b$, τότε ο τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου θα μοιάζει με αυτό:

Ορισμός 1

Οι φιγούρες καλούνται ίσοςεάν, όταν επιτίθενται το ένα πάνω στο άλλο, τα στοιχεία συμπίπτουν. Τα ίσα σχήματα έχουν ίσα εμβαδά και ίσες περιμέτρους.

Το εμβαδόν ενός σχήματος μπορεί να βρεθεί ως το άθροισμα των εμβαδών των μερών του.

Παράδειγμα 1

Για παράδειγμα, στο σχήμα $3$, το ορθογώνιο $ABCD$ χωρίζεται σε δύο μέρη με γραμμή $KLMN$. Το εμβαδόν ενός τμήματος είναι $12\ cm^2$ και του άλλου είναι $9\ cm^2$. Τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου $ABCD$ θα είναι ίσο με $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Όπως μπορείτε να δείτε, οι περιοχές που βρέθηκαν και με τις δύο μεθόδους είναι ίσες.

Εικόνα 3.

Εικόνα 4.

Το ευθύγραμμο τμήμα $AC$ διαιρεί το ορθογώνιο σε δύο ίσα τρίγωνα: $ABC$ και $ADC$. Αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν κάθε τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού ολόκληρου του ορθογωνίου.

Ορισμός 2

Ένα ορθογώνιο με ίσες πλευρές λέγεται πλατεία.

Αν υποδηλώσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου με το γράμμα $a$, τότε το εμβαδόν του τετραγώνου θα βρεθεί με τον τύπο:

Εξ ου και το τετράγωνο του ονόματος του αριθμού $a$.

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, αν η πλευρά ενός τετραγώνου είναι $5$ cm, τότε το εμβαδόν του είναι:

Τόμοι

Με την ανάπτυξη του εμπορίου και των κατασκευών πίσω στην εποχή των αρχαίων πολιτισμών, προέκυψε η ανάγκη εύρεσης τόμων. Στα μαθηματικά, υπάρχει ένας κλάδος της γεωμετρίας που ασχολείται με τη μελέτη των χωρικών μορφών, που ονομάζεται στερεομετρία. Αναφορές αυτού του ξεχωριστού κλάδου των μαθηματικών βρέθηκαν ήδη τον $IV$ αιώνα π.Χ.

Οι αρχαίοι μαθηματικοί ανέπτυξαν μια μέθοδο για τον υπολογισμό του όγκου απλών ψηφίων - ενός κύβου και ενός παραλληλεπίπεδου. Όλα τα κτίρια εκείνης της εποχής είχαν αυτό το σχήμα. Αλλά μεταγενέστερες μέθοδοι βρέθηκαν για τον υπολογισμό του όγκου των σχημάτων πιο πολύπλοκων σχημάτων.

Όγκος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου

Εάν γεμίσετε το καλούπι με βρεγμένη άμμο και στη συνέχεια το αναποδογυρίσετε, θα πάρετε μια τρισδιάστατη φιγούρα που χαρακτηρίζεται από όγκο. Αν φτιάξετε πολλές τέτοιες φιγούρες χρησιμοποιώντας το ίδιο καλούπι, θα λάβετε φιγούρες που έχουν τον ίδιο όγκο. Εάν γεμίσετε το καλούπι με νερό, τότε ο όγκος του νερού και ο όγκος της φιγούρας άμμου θα είναι επίσης ίσοι.

Εικόνα 5.

Μπορείτε να συγκρίνετε τους όγκους δύο δοχείων γεμίζοντας το ένα με νερό και ρίχνοντάς το στο δεύτερο δοχείο. Εάν το δεύτερο δοχείο είναι πλήρως γεμάτο, τότε τα δοχεία έχουν ίσους όγκους. Αν παραμείνει νερό στο πρώτο, τότε ο όγκος του πρώτου δοχείου είναι μεγαλύτερος από τον όγκο του δεύτερου. Εάν, όταν χύνεται νερό από το πρώτο δοχείο, δεν είναι δυνατό να γεμίσει πλήρως το δεύτερο δοχείο, τότε ο όγκος του πρώτου δοχείου είναι μικρότερος από τον όγκο του δεύτερου.

Ο όγκος μετριέται χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες μονάδες:

$mm^3$ -- κυβικό χιλιοστό,

$cm^3$ -- κυβικό εκατοστό,

$dm^3$ -- κυβικό δεκατόμετρο,

$m^3$ -- κυβικό μέτρο,

$km^3$ -- κυβικό χιλιόμετρο.

Κάθε γεωμετρικό σώμαμπορεί να χαρακτηριστεί από επιφάνεια (S) και όγκο (V). Το εμβαδόν και ο όγκος δεν είναι καθόλου το ίδιο πράγμα. Ένα αντικείμενο μπορεί να έχει ένα σχετικά μικρό V και ένα μεγάλο S, για παράδειγμα, έτσι λειτουργεί ο ανθρώπινος εγκέφαλος. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστούν αυτοί οι δείκτες για απλά γεωμετρικά σχήματα.

Παραλληλεπίπεδο: ορισμός, τύποι και ιδιότητες

Ένα παραλληλεπίπεδο είναι τετράγωνο πρίσμα, στη βάση του οποίου υπάρχει παραλληλόγραμμο. Γιατί μπορεί να χρειάζεστε έναν τύπο για να βρείτε τον όγκο ενός σχήματος; Βιβλία, κουτιά συσκευασίας και πολλά άλλα πράγματα από καθημερινή ζωή. Τα δωμάτια σε κτίρια κατοικιών και γραφείων, κατά κανόνα, είναι ορθογώνια παραλληλεπίπεδα. Για να εγκαταστήσετε εξαερισμό, κλιματισμό και να καθορίσετε τον αριθμό των θερμαντικών στοιχείων σε ένα δωμάτιο, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον όγκο του δωματίου.

Το σχήμα έχει 6 όψεις - παραλληλόγραμμα και 12 άκρες δύο αυθαίρετα επιλεγμένες όψεις ονομάζονται βάσεις. Ένα παραλληλεπίπεδο μπορεί να είναι πολλών τύπων. Οι διαφορές οφείλονται στις γωνίες μεταξύ των παρακείμενων άκρων. Οι τύποι για την εύρεση των Vs διαφορετικών πολυγώνων είναι ελαφρώς διαφορετικοί.

Αν οι 6 όψεις ενός γεωμετρικού σχήματος είναι ορθογώνια, τότε λέγεται και ορθογώνιο. Ο κύβος είναι μια ειδική περίπτωση παραλληλεπίπεδου στο οποίο και οι 6 όψεις είναι ίσα τετράγωνα. Σε αυτήν την περίπτωση, για να βρείτε το V, πρέπει να μάθετε το μήκος μόνο μιας πλευράς και να το ανεβάσετε στην τρίτη δύναμη.

Για να λύσετε προβλήματα, θα χρειαστείτε γνώση όχι μόνο έτοιμων τύπων, αλλά και των ιδιοτήτων του σχήματος. Η λίστα των βασικών ιδιοτήτων ενός ορθογώνιου πρίσματος είναι μικρή και πολύ εύκολα κατανοητή:

1. Οι απέναντι πλευρές του σχήματος είναι ίσες και παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι οι νευρώσεις που βρίσκονται απέναντι έχουν το ίδιο μήκος και γωνία κλίσης.
2. Όλες οι πλευρικές όψεις ενός ορθού παραλληλεπιπέδου είναι ορθογώνια.
3. Οι τέσσερις κύριες διαγώνιοι ενός γεωμετρικού σχήματος τέμνονται σε ένα σημείο και διαιρούνται στο μισό από αυτό.
4. Το τετράγωνο της διαγωνίου ενός παραλληλεπίπεδου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαστάσεων του σχήματος (ακολουθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα).

Πυθαγόρειο θεώρημαδηλώνει ότι το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός τριγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα του ίδιου τριγώνου.

Η απόδειξη της τελευταίας ιδιοκτησίας φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Η διαδικασία επίλυσης του προβλήματος είναι απλή και δεν απαιτεί λεπτομερείς εξηγήσεις.

Τύπος για τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου

Ο τύπος εύρεσης για όλους τους τύπους γεωμετρικών σχημάτων είναι ο ίδιος: V=S*h, όπου V είναι ο απαιτούμενος όγκος, S είναι το εμβαδόν της βάσης του παραλληλεπιπέδου, h το ύψος που έχει χαμηλώσει από την αντίθετη κορυφή και κάθετα στη βάση. Σε ένα ορθογώνιο, το h συμπίπτει με μία από τις πλευρές του σχήματος, επομένως για να βρείτε τον όγκο ενός ορθογώνιου πρίσματος, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τρεις διαστάσεις.

Ο όγκος εκφράζεται συνήθως σε cm3. Η γνώση και των τριών τιμών των a, b και c, η εύρεση του όγκου ενός σχήματος δεν είναι καθόλου δύσκολη. Ο πιο συνηθισμένος τύπος προβλήματος στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους είναι η εύρεση του όγκου ή της διαγώνιας ενός παραλληλεπιπέδου. Λύστε πολλά τυπικά Εργασίες Ενιαίας Κρατικής ΕξετάσεωνΕίναι αδύνατο χωρίς τον τύπο για τον όγκο ενός ορθογωνίου. Ένα παράδειγμα μιας εργασίας και ο σχεδιασμός της λύσης της φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Σημείωση 1. Το εμβαδόν επιφάνειας ενός ορθογώνιου πρίσματος μπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας επί 2 το άθροισμα των εμβαδών των τριών όψεων του σχήματος: της βάσης (ab) και των δύο γειτονικών πλευρικών όψεων (bc + ac).

Σημείωση 2. Η επιφάνεια των πλευρικών όψεων μπορεί εύκολα να προσδιοριστεί πολλαπλασιάζοντας την περίμετρο της βάσης με το ύψος του παραλληλεπίπεδου.

Με βάση την πρώτη ιδιότητα των παραλληλεπιπέδων AB = A1B1, και της όψης B1D1 = BD. Σύμφωνα με τα συμπεράσματα του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το άθροισμα όλων των γωνιών σε ορθογώνιο τρίγωνοισούται με 180° και το πόδι που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία 30° είναι ίσο με την υποτείνουσα. Εφαρμόζοντας αυτή τη γνώση σε ένα τρίγωνο, μπορούμε εύκολα να βρούμε το μήκος των πλευρών ΑΒ και ΑΔ. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τις λαμβανόμενες τιμές και υπολογίζουμε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.

Τύπος για την εύρεση του όγκου ενός κεκλιμένου παραλληλεπιπέδου

Για να βρείτε τον όγκο ενός κεκλιμένου παραλληλεπίπεδου, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε την περιοχή της βάσης του σχήματος με το ύψος που χαμηλώθηκε στη δεδομένη βάση από την απέναντι γωνία.

Έτσι, το απαιτούμενο V μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή h - ο αριθμός των φύλλων με εμβαδόν βάσης S, επομένως ο όγκος της τράπουλας αποτελείται από τα Vs όλων των φύλλων.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Οι εργασίες της ενιαίας εξέτασης πρέπει να ολοκληρωθούν εντός ορισμένου χρόνου. Τυπικές εργασίες, κατά κανόνα, δεν περιέχουν μεγάλη ποσότηταυπολογισμούς και μιγαδικά κλάσματα. Συχνά ένας μαθητής ρωτάται πώς να βρει τον όγκο ενός ακανόνιστου γεωμετρικού σχήματος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ένας απλός κανόνας που πρέπει να θυμάστε είναι ότι ο συνολικός όγκος ίσο με το άθροισμαεξαρτήματα του V.

Όπως μπορείτε να δείτε από το παράδειγμα στην παραπάνω εικόνα, δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Οι εργασίες από πιο σύνθετες ενότητες απαιτούν γνώση του Πυθαγόρειου θεωρήματος και των συνεπειών του, καθώς και του τύπου για το μήκος της διαγωνίου ενός σχήματος. Για την επιτυχή επίλυση εργασιών δοκιμής, αρκεί να εξοικειωθείτε εκ των προτέρων με δείγματα τυπικών προβλημάτων.