Γνωρίζετε ότι κάθε διατεταγμένο ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο επίπεδο συντεταγμένων. Δεδομένου ότι κάθε λύση μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές x και y είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών, όλες οι λύσεις της μπορούν να παρασταθούν με σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Σε αυτά τα σημεία, η τετμημένη είναι η τιμή της μεταβλητής x και η τεταγμένη είναι η αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής y. Επομένως, παίρνουμε ένα γράφημα μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές.
Θυμάμαι!
Η γραφική παράσταση μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές είναι η εικόνα στο επίπεδο συντεταγμένων όλων των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν τη δεδομένη εξίσωση.
Κοιτάξτε τα σχήματα 64 και 65. Βλέπετε ένα γράφημα της εξίσωσης 0,5 x - y = 2, όπου x είναι ένας ζυγός μονοψήφιος αριθμός (Εικόνα 64) και ένα γράφημα της εξίσωσης x 2 + y 2 = 4 (Εικόνα 65). Το πρώτο γράφημα περιέχει μόνο τέσσερα σημεία επειδή οι μεταβλητές x και y μπορούν να λάβουν μόνο τέσσερις τιμές. Το δεύτερο γράφημα είναι μια γραμμή στο επίπεδο συντεταγμένων. Περιέχει πολλά σημεία, αφού η μεταβλητή x μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από -2 έως 2 και υπάρχουν πολλοί τέτοιοι αριθμοί. Υπάρχουν επίσης πολλές αντίστοιχες τιμές. Διαφέρουν από 2 έως 2.
Το σχήμα 66 δείχνει τη γραφική παράσταση της εξίσωσης x + y = 4. Σε αντίθεση με τη γραφική παράσταση της εξίσωσης x 2 + y 2 = 4 (βλ. Εικ. 65), κάθε απότομο σημείο αυτού του γραφήματος αντιστοιχεί σε μια μοναδική τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι το σχήμα 66 δείχνει το γράφημα της συνάρτησης. Πείστε τον εαυτό σας ότι το γράφημα της εξίσωσης στο Σχήμα 64 είναι και το γράφημα μιας συνάρτησης.
Σημείωση
Δεν έχει κάθε εξίσωση ένα γράφημα μιας συνάρτησης, αλλά κάθε γράφημα μιας συνάρτησης είναι ένα γράφημα κάποιας εξίσωσης.
Η εξίσωση x + y = 4 είναι μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές. Έχοντας λύσει το y, παίρνουμε: y = -x + 4. Η ισότητα που προκύπτει μπορεί να γίνει κατανοητή ως ένας τύπος που ορίζει τη γραμμική συνάρτηση y = -x + 4. Η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή. Άρα, η γραφική παράσταση της γραμμικής εξίσωσης x + y = 4, η οποία φαίνεται στο σχήμα 66, είναι μια ευθεία γραμμή.
Μπορούμε να πούμε ότι η γραφική παράσταση οποιασδήποτε γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές είναι ευθεία γραμμή; Οχι. Για παράδειγμα, η γραμμική εξίσωση 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 ικανοποιείται από οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών, και επομένως η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης περιέχει όλα τα σημεία του επιπέδου συντεταγμένων.
Ας μάθουμε ποια είναι η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές ax + bу + c = 0 ανάλογα με τις τιμές των συντελεστών a, b και c. Τέτοιες περιπτώσεις είναι πιθανές.
Έστω a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Τότε η εξίσωση ax + κατά + c = 0 μπορεί να παρασταθεί ως:
Λάβαμε μια ισότητα που ορίζει τη γραμμική συνάρτηση y(x). Το πρόγραμμά της, άρα και το πρόγραμμα δεδομένη εξίσωσηείναι μια ευθεία που δεν διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων (Εικ. 67).
2. Έστω a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. Τότε η εξίσωση ax + by + c = 0 παίρνει τη μορφή ax + by + 0 = 0, ή y = x.
Έχουμε λάβει ισότητα, η οποία καθορίζει την ευθεία αναλογικότητα με το y(x). Η γραφική παράσταση της, και επομένως η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης, είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων (Εικ. 68).
3. Έστω a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Τότε η εξίσωση ax + by + c = 0 παίρνει τη μορφή ax + 0 ∙ y + c = 0, ή x = -.
Η ισότητα που λήφθηκε δεν προσδιορίζει τη συνάρτηση y(). Αυτή η ισότητα ικανοποιείται από τέτοια ζεύγη αριθμών (x; y), στα οποία x = , και y είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Στο επίπεδο συντεταγμένων, αυτά τα σημεία βρίσκονται σε ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα OY. Άρα, η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων (Εικ. 69).
4. Έστω a ≠ 0, b = 0, c = 0. Τότε η εξίσωση ax + by + c = 0 παίρνει τη μορφή ax + 0 ∙ y + 0 = 0, ή x = 0.
Αυτή η ισότητα ικανοποιείται από τέτοια ζεύγη αριθμών (x, y), στα οποία x = 0, και y είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Στο επίπεδο συντεταγμένων, αυτά τα σημεία βρίσκονται στον άξονα OY. Άρα, η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή που συμπίπτει με τον άξονα τεταγμένων.
5. Έστω a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠0. Τότε η εξίσωση ax + bу + c = 0 παίρνει τη μορφή 0 ∙ x + by + c = 0, ή y = -. Αυτή η ισότητα ορίζει μια συνάρτηση y(x), η οποία παίρνει τις ίδιες τιμές για οποιεσδήποτε τιμές του x, δηλαδή είναι σταθερή. Η γραφική παράσταση του, άρα και η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης, είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης (Εικ. 70).
6. Έστω a = 0, b ≠ 0, c = 0. Τότε η εξίσωση ax + by + c = 0 παίρνει τη μορφή 0 ∙ x + κατά + 0 = 0, ή b = 0. Λάβαμε μια σταθερή συνάρτηση y( x), στο οποίο κάθε σημείο του γραφήματος βρίσκεται στον άξονα OX. Άρα, η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή που συμπίπτει με τον άξονα της τετμημένης.
7. Έστω a = 0, b = 0, c ≠ 0. Τότε η εξίσωση ax + by + c = 0 παίρνει τη μορφή 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, ή 0 ∙ x + 0 ∙ b = c . Και μια τέτοια γραμμική εξίσωση δεν έχει λύσεις, επομένως η γραφική παράσταση της δεν περιέχει ούτε ένα σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων.
8. Έστω a = 0, b = 0, c = 0. Τότε η εξίσωση ax + by + c = 0 παίρνει τη μορφή 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0, ή 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 Μια τέτοια γραμμική εξίσωση έχει πολλές λύσεις, επομένως η γραφική παράσταση της είναι ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων.
Μπορούμε να συνοψίσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν.
Γράφημα γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές ax + bу + с = 0:
Είναι ευθεία αν a ≠ 0 ή b ≠ 0;
Είναι ολόκληρο το επίπεδο αν a = 0, b = 0 και c = 0;
Δεν περιέχει ένα μόνο σημείο του επιπέδου συντεταγμένων αν a = 0, b = 0 και c ≠ 0.
Εργο. Γράφημα την εξίσωση 2x - y - 3 = 0
Λύσεις. Η εξίσωση 2x - y - 3 = 0 είναι γραμμική. Επομένως, η γραφική παράσταση του είναι η ευθεία y = 2x - 3. Για να το κατασκευάσουμε, αρκεί να καθορίσουμε δύο σημεία που ανήκουν σε αυτή τη γραμμή. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα τιμών y για δύο αυθαίρετες τιμές του x, για παράδειγμα, για x = 0 και x = 2 (Πίνακας 27).
Πίνακας 27
Στο επίπεδο συντεταγμένων, ορίζουμε σημεία με συντεταγμένες (0; -3) και (2; 1) και σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά (Εικ. 70). Αυτή η ευθεία γραμμή είναι το επιθυμητό γράφημα της εξίσωσης 2x - y - 3 = 0.
Είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές και η γραφική παράσταση μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού με δύο μεταβλητές; Όχι, γιατί υπάρχουν γραμμικές εξισώσεις που δεν είναι εξισώσεις πρώτου βαθμού. Για παράδειγμα, αυτές είναι η εξίσωση 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0.
Σημείωση:
Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές μπορεί να είναι μια ευθεία γραμμή, ολόκληρο το επίπεδο ή να μην περιέχει ένα μόνο σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων.
Η γραφική παράσταση μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού σε δύο μεταβλητές είναι πάντα ευθεία.
Μάθετε περισσότερα
1. Έστω a ≠ 0. Τότε κοινή απόφασηΟι εξισώσεις μπορούν να παρουσιαστούν και με αυτή τη μορφή: X = - y -. Λάβαμε μια γραμμική συνάρτηση x(y). Το γράφημα του είναι ευθύγραμμο. Για να δημιουργήσετε ένα τέτοιο γράφημα, πρέπει να συνδυάσετε τους άξονες συντεταγμένων διαφορετικά: πρώτα άξονα συντεταγμένων(ανεξάρτητη μεταβλητή) εξετάστε τον άξονα op-amp και τη δεύτερη (εξαρτημένη μεταβλητή)
άξονας OX. Στη συνέχεια, είναι βολικό να τοποθετήσετε τον άξονα OU οριζόντια και τον άξονα OX
Κάθετα (Εικ. 72). Η γραφική παράσταση της εξίσωσης σε αυτή την περίπτωση θα τοποθετηθεί επίσης διαφορετικά στο επίπεδο συντεταγμένων ανάλογα με τις σημάνσεις των συντελεστών b και c. Εξερευνήστε το μόνοι σας.
2. Nikolai Nikolaevich Bogolyubov (1909-1992) - ένας εξαιρετικός εγχώριος μαθηματικός και μηχανικός, θεωρητικός φυσικός, ιδρυτής επιστημονικών σχολών στη μη γραμμική μηχανική και στη θεωρητική φυσική, ακαδημαϊκός της Ακαδημίας Επιστημών της Ουκρανικής SSR (1948) και της Ακαδημίας Επιστημών της ΕΣΣΔ (από το 1953). Γεννημένος στις Νίζνι Νόβγκοροντ Ρωσική Αυτοκρατορία. Το 1921 η οικογένεια μετακόμισε στο Κίεβο. Αφού αποφοίτησε από ένα επταετές σχολείο, ο Bogolyubov σπούδασε ανεξάρτητα φυσική και μαθηματικά και, από την ηλικία των 14 ετών, συμμετείχε ήδη σε ένα σεμινάριο στο Τμήμα Μαθηματικής Φυσικής του Πανεπιστημίου του Κιέβου υπό την καθοδήγηση του ακαδημαϊκού D. A. Grave. Το 1924, σε ηλικία 15 ετών, ο Bogolyubov έγραψε το πρώτο του επιστημονικό έργο και τον επόμενο χρόνο έγινε δεκτός στο μεταπτυχιακό σχολείο του ANURSR από ακαδημαϊκούς. M. Krylov, από την οποία αποφοίτησε το 1929, λαμβάνοντας πτυχίο Διδάκτωρ Μαθηματικών Επιστημών σε ηλικία 20 ετών.
Το 1929 π. ΜΜ. Ο Μπογκολιούμποφ έγινε επιστημονικός συνεργάτηςΟυκρανική Ακαδημία Επιστημών, το 1934 άρχισε να διδάσκει στο Πανεπιστήμιο του Κιέβου (από το 1936 - καθηγητής). Από τα τέλη της δεκαετίας του '40 του ΧΧ αιώνα. Παράλληλα εργαζόταν στη Ρωσία. Διετέλεσε διευθυντής του Κοινού Ινστιτούτου για την Πυρηνική Έρευνα, και αργότερα - διευθυντής του Μαθηματικού Ινστιτούτου που πήρε το όνομά του. Η Α. Στέκλοβα στη Μόσχα, δίδαξε στη Μόσχα κρατικό Πανεπιστήμιοπήρε το όνομά του από τον Μιχαήλ Λομονόσοφ. Το 1966 έγινε ο πρώτος διευθυντής του Ινστιτούτου Θεωρητικής Φυσικής της Ουκρανικής Ακαδημίας Επιστημών στο Κίεβο, το οποίο δημιούργησε και ταυτόχρονα (1963-1988) ήταν ακαδημαϊκός και γραμματέας του Τμήματος Μαθηματικών του Ακαδημία Επιστημών της ΕΣΣΔ.
ΜΜ. Bogolyubov - δύο φορές Ήρωας της Σοσιαλιστικής Εργασίας (1969,1979), τιμήθηκε με το Βραβείο Λένιν (1958), το Κρατικό Βραβείο ΕΣΣΔ (1947.1953,1984), το Χρυσό Μετάλλιο. M. V. Lomonosov Ακαδημία Επιστημών της ΕΣΣΔ (1985).
Στις 21 Σεπτεμβρίου 2009, στην πρόσοψη του κόκκινου κτιρίου του Εθνικού Πανεπιστημίου Taras Shevchenko Kyiv, ένα Αναμνηστική πλακέταστον λαμπρό ακαδημαϊκό Νικολάι Μπογκολιούμποφ προς τιμήν της εκατονταετηρίδας από τη γέννησή του.
Το 1992, η Εθνική Ακαδημία Επιστημών της Ουκρανίας ίδρυσε το Βραβείο NAS of Ukraine με το όνομα N.M. Bogolyubov, το οποίο απονέμεται από το Τμήμα Μαθηματικών του NAS της Ουκρανίας για εξαιρετική επιστημονικές εργασίεςστα μαθηματικά και στη θεωρητική φυσική. Ο μικρός πλανήτης "22616 Bogolyubov" ονομάστηκε προς τιμήν του επιστήμονα.
ΘΥΜΑΣΤΕ ΤΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ
1. Τι είναι η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές;
2. Σε κάθε περίπτωση, η γραφική παράσταση μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές είναι ευθεία γραμμή. επίπεδο;
3. Σε ποια περίπτωση η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές διέρχεται από την αρχή;
ΛΥΝΩ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1078 . Ποιο από τα Σχήματα 73-74 δείχνει τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές; Εξήγησε την απάντησή σου.
1079 . Σε ποιες τιμές των συντελεστών a, b και c είναι ο ευθύς άξονας + bу + c = 0.
1) διέρχεται από την αρχή.
2) παράλληλα με τον άξονα x.
3) παράλληλα με τον άξονα τεταγμένων.
4) συμπίπτει με τον άξονα της τετμημένης.
5) συμπίπτει με τον άξονα τεταγμένων;
1080 . Χωρίς να εκτελέσετε κατασκευή, προσδιορίστε εάν το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές 6x - 2y + 1 = 0:
1)Α(-1;2.5); 2)Β(0;3.5); 3) C(-2; 5.5); 4)Δ(1,5;5).
1081 . Χωρίς να εκτελέσετε κατασκευή, προσδιορίστε εάν το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές 3x + 3y - 5 = 0:
1) Α (-1; ); 2) Β (0; 1).
1082
1) 2x + y - 4 = 0 εάν x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0 αν x = 2;
2) 4x - 2y + 5 = 0, αν x = 0; 4) -5x - y + 6 = 0 αν x = 2.
1083 . Για μια δεδομένη γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές, βρείτε την τιμή του y που αντιστοιχεί καθορισμένη τιμήΧ:
1)3x - y + 2 = 0 εάν x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0 αν x = 2.
1084
1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;
2) 6x - 2y + 12 = 0; 5)-x - 2y + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;
3) 5x - 10y = 0; 6)x - y = 0; 9) x - y = 0.
1085 . Γράφημα μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές:
1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;
2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;
3) -4x - 8y = 0; 6) y - 3 = 0.
1086 . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της γραφικής παράστασης μιας γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές 2x - 3y - 18 = 0 με τον άξονα:
1) άξονες? 2) άξονες.
1087 . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της γραφικής παράστασης μιας γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές 5x + 4y - 20 = 0 με τον άξονα:
1) άξονες? 2) άξονες.
1088 . Στην ευθεία γραμμή, που είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης 0,5 x + 2y - 4 = 0, υποδεικνύεται ένα σημείο. Να βρείτε την τεταγμένη αυτού του σημείου αν η τετμημένη του είναι:
5) 4(x - y) = 4 - 4y;
6) 7x - 2y = 2(1 + 3,5 x).
1094 . Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές διέρχεται από το σημείο Α(3; -2). Να βρείτε τον άγνωστο συντελεστή της εξίσωσης:
1) ax + 3y - 3 = 0;
2) 2x - κατά + 8 = 0;
3)-x + 3y - c = 0.
1095 . Προσδιορίστε τον τύπο του τετράπλευρου του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων των εξισώσεων:
x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0
1096 . Σχεδιάστε την εξίσωση:
1) a - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;
2) 0 ∙ a + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.
ΒΑΛΤΕ ΤΟ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ
1097 . Δημιουργήστε μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές με βάση τα ακόλουθα δεδομένα: 1) 3 κιλά γλυκά και 2 κιλά μπισκότα κοστίζουν 120 UAH. 2) 2 στυλό είναι 20 UAH πιο ακριβά από 5 μολύβια. Γράφημα την εξίσωση που δημιουργήσατε.
1098 . Δημιουργήστε ένα γράφημα της εξίσωσης για το πρόβλημα σχετικά με: 1) τον αριθμό των κοριτσιών και των αγοριών στην τάξη σας. 2) αγορά τετράγωνων με γραμμές και τετράγωνα.
ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
1099. Ένας τουρίστας περπάτησε 12 χλμ σε μια ώρα. Πόσες ώρες θα πάρει ένας τουρίστας για να διανύσει μια απόσταση 20 χιλιομέτρων με την ίδια ταχύτητα;
1100. Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα του τρένου σύμφωνα με το νέο ωράριο ώστε να μπορεί να καλύψει την απόσταση μεταξύ δύο σταθμών σε 2,5 ώρες, αν σύμφωνα με το παλιό πρόγραμμα, κινούμενος με ταχύτητα 100 χλμ./ώρα το κάλυψε σε 3 ώρες;
§ 1 Επιλογή ριζών εξίσωσης σε πραγματικές καταστάσεις
Ας εξετάσουμε αυτή την πραγματική κατάσταση:
Ο πλοίαρχος και ο μαθητευόμενος έφτιαξαν μαζί 400 προσαρμοσμένα εξαρτήματα. Επιπλέον, ο πλοίαρχος εργάστηκε για 3 ημέρες και ο μαθητής για 2 ημέρες. Πόσα μέρη έκανε κάθε άτομο;
Ας δημιουργήσουμε ένα αλγεβρικό μοντέλο αυτής της κατάστασης. Αφήστε τον κύριο να παράγει εξαρτήματα σε 1 ημέρα. Και ο μαθητής είναι στις λεπτομέρειες. Στη συνέχεια, ο πλοίαρχος θα κάνει 3 μέρη σε 3 ημέρες και ο μαθητής θα κάνει 2 μέρη σε 2 ημέρες. Μαζί θα παράγουν 3 + 2 μέρη. Εφόσον, σύμφωνα με τις συνθήκες, κατασκευάστηκαν συνολικά 400 εξαρτήματα, παίρνουμε την εξίσωση:
Η εξίσωση που προκύπτει ονομάζεται γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές. Εδώ πρέπει να βρούμε ένα ζεύγος αριθμών x και y για τους οποίους η εξίσωση θα έχει τη μορφή πραγματικής αριθμητικής ισότητας. Σημειώστε ότι αν x = 90, y = 65, τότε παίρνουμε την ισότητα:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Εφόσον έχει ληφθεί η σωστή αριθμητική ισότητα, το ζεύγος των αριθμών 90 και 65 θα είναι μια λύση σε αυτήν την εξίσωση. Όμως η λύση που βρέθηκε δεν είναι η μόνη. Αν x = 96 και y = 56, τότε παίρνουμε την ισότητα:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Αυτή είναι επίσης μια αληθινή αριθμητική ισότητα, που σημαίνει ότι το ζεύγος των αριθμών 96 και 56 είναι επίσης μια λύση σε αυτήν την εξίσωση. Αλλά ένα ζεύγος αριθμών x = 73 και y = 23 δεν θα είναι λύση σε αυτήν την εξίσωση. Στην πραγματικότητα, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 θα μας δώσει τη λανθασμένη αριθμητική ισότητα 265 = 400. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αν θεωρήσουμε την εξίσωση σε σχέση με αυτήν την πραγματική κατάσταση, τότε θα υπάρχουν ζεύγη αριθμών που, όντας μια λύση σε αυτή την εξίσωση, δεν θα είναι λύση στο πρόβλημα. Για παράδειγμα, μερικοί αριθμοί:
x = 200 και y = -100
είναι μια λύση της εξίσωσης, αλλά ο μαθητής δεν μπορεί να κάνει -100 μέρη, και επομένως ένα τέτοιο ζεύγος αριθμών δεν μπορεί να είναι η απάντηση στην ερώτηση του προβλήματος. Έτσι, σε κάθε συγκεκριμένη πραγματική κατάσταση είναι απαραίτητο να ακολουθήσουμε μια λογική προσέγγιση για την επιλογή των ριζών της εξίσωσης.
Ας συνοψίσουμε τα πρώτα αποτελέσματα:
Μια εξίσωση της μορφής ax + bу + c = 0, όπου a, b, c είναι οποιοιδήποτε αριθμοί, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές.
Η λύση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές είναι ένα ζεύγος αριθμών που αντιστοιχεί σε x και y, για τους οποίους η εξίσωση μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ισότητα.
§ 2 Γράφημα γραμμικής εξίσωσης
Η ίδια η καταγραφή του ζεύγους (x;y) μας οδηγεί να σκεφτούμε τη δυνατότητα να το απεικονίσουμε ως σημείο με συντεταγμένες xy y σε ένα επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να αποκτήσουμε ένα γεωμετρικό μοντέλο μιας συγκεκριμένης κατάστασης. Για παράδειγμα, λάβετε υπόψη την εξίσωση:
2x + y - 4 = 0
Ας επιλέξουμε πολλά ζεύγη αριθμών που θα είναι λύσεις αυτής της εξίσωσης και ας κατασκευάσουμε σημεία με τις συντεταγμένες που βρέθηκαν. Ας είναι αυτά σημεία:
Α(0; 4), Β(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), Ε(-1; 6).
Σημειώστε ότι όλα τα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αυτή η γραμμή ονομάζεται γράφημα μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές. Είναι ένα γραφικό (ή γεωμετρικό) μοντέλο μιας δεδομένης εξίσωσης.
Αν ένα ζεύγος αριθμών (x;y) είναι λύση της εξίσωσης
ax + vy + c = 0, τότε το σημείο M(x;y) ανήκει στη γραφική παράσταση της εξίσωσης. Μπορούμε να πούμε και το αντίστροφο: αν το σημείο M(x;y) ανήκει στη γραφική παράσταση της εξίσωσης ax + y + c = 0, τότε το ζεύγος των αριθμών (x;y) είναι λύση αυτής της εξίσωσης.
Από το μάθημα της γεωμετρίας γνωρίζουμε:
Για να φτιάξετε μια ευθεία, χρειάζεστε 2 σημεία, οπότε για να σχεδιάσετε μια γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές, αρκεί να γνωρίζετε μόνο 2 ζεύγη λύσεων. Αλλά το να μαντέψετε τις ρίζες δεν είναι πάντα μια βολική ή λογική διαδικασία. Μπορείτε να ενεργήσετε σύμφωνα με έναν άλλο κανόνα. Δεδομένου ότι η τετμημένη ενός σημείου (μεταβλητή x) είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, μπορείτε να της δώσετε οποιαδήποτε βολική τιμή. Αντικαθιστώντας αυτόν τον αριθμό στην εξίσωση, βρίσκουμε την τιμή της μεταβλητής y.
Για παράδειγμα, ας δοθεί η εξίσωση:
Έστω x = 0, τότε παίρνουμε 0 - y + 1 = 0 ή y = 1. Αυτό σημαίνει ότι αν x = 0, τότε y = 1. Ένα ζεύγος αριθμών (0;1) είναι η λύση αυτής της εξίσωσης. Ας ορίσουμε μια άλλη τιμή για τη μεταβλητή x: x = 2. Τότε παίρνουμε 2 - y + 1 = 0 ή y = 3. Το ζεύγος των αριθμών (2;3) είναι επίσης λύση αυτής της εξίσωσης. Χρησιμοποιώντας τα δύο σημεία που βρέθηκαν, είναι ήδη δυνατό να κατασκευαστεί μια γραφική παράσταση της εξίσωσης x - y + 1 = 0.
Μπορείτε να το κάνετε αυτό: πρώτα αντιστοιχίστε μια συγκεκριμένη τιμή στη μεταβλητή y και μόνο στη συνέχεια υπολογίστε την τιμή του x.
§ 3 Σύστημα εξισώσεων
Βρείτε δύο φυσικούς αριθμούς, το άθροισμα των οποίων είναι 11 και η διαφορά είναι 1.
Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, δημιουργούμε πρώτα ένα μαθηματικό μοντέλο (δηλαδή, ένα αλγεβρικό). Έστω ο πρώτος αριθμός x και ο δεύτερος αριθμός y. Τότε το άθροισμα των αριθμών x + y = 11 και η διαφορά των αριθμών x - y = 1. Εφόσον και οι δύο εξισώσεις αφορούν τους ίδιους αριθμούς, αυτές οι προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται ταυτόχρονα. Συνήθως σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται ειδική εγγραφή. Οι εξισώσεις γράφονται η μία κάτω από την άλλη και συνδυάζονται με ένα σγουρό στήριγμα.
Μια τέτοια εγγραφή ονομάζεται σύστημα εξισώσεων.
Τώρα ας κατασκευάσουμε σύνολα λύσεων σε κάθε εξίσωση, δηλ. γραφήματα καθεμιάς από τις εξισώσεις. Ας πάρουμε την πρώτη εξίσωση:
Αν x = 4, τότε y = 7. Αν x = 9, τότε y = 2.
Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή στα σημεία (4;7) και (9;2).
Ας πάρουμε τη δεύτερη εξίσωση x - y = 1. Αν x = 5, τότε y = 4. Αν x = 7, τότε y = 6. Τραβάμε επίσης μια ευθεία γραμμή στα σημεία (5;4) και (7;6 ). Αποκτήσαμε ένα γεωμετρικό μοντέλο του προβλήματος. Το ζεύγος των αριθμών που μας ενδιαφέρει (x;y) πρέπει να είναι λύση και στις δύο εξισώσεις. Στο σχήμα βλέπουμε ένα μόνο σημείο που βρίσκεται και στις δύο ευθείες, αυτό είναι το σημείο τομής των γραμμών.
Οι συντεταγμένες του είναι (6;5). Επομένως, η λύση στο πρόβλημα θα είναι: ο πρώτος απαιτούμενος αριθμός είναι 6, ο δεύτερος είναι 5.
Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:
- Mordkovich A.G., Άλγεβρα 7η τάξη σε 2 μέρη, Μέρος 1, Εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης / A.G. Μόρντκοβιτς. – 10η έκδ., αναθεωρημένη – Μόσχα, «Mnemosyne», 2007
- Mordkovich A.G., Άλγεβρα 7η τάξη σε 2 μέρη, Μέρος 2, Βιβλίο προβλημάτων για εκπαιδευτικά ιδρύματα / [A.G. Mordkovich και άλλοι]; επιμέλεια A.G. Mordkovich - 10η έκδοση, αναθεωρημένη - Μόσχα, "Mnemosyne", 2007
- ΑΥΤΗΝ. Tulchinskaya, Άλγεβρα 7η τάξη. Έρευνα Blitz: εγχειρίδιο για φοιτητές γενικής εκπαίδευσης, 4η έκδοση, αναθεωρημένη και διευρυμένη, Μόσχα, «Mnemosyne», 2008
- Alexandrova L.A., Άλγεβρα 7η τάξη. Θεματικός δοκιμαστική εργασία V νέα μορφήγια φοιτητές γενικής εκπαίδευσης, επιμέλεια Α.Γ. Mordkovich, Μόσχα, «Mnemosyne», 2011
- Alexandrova L.A. Άλγεβρα 7η τάξη. Ανεξάρτητη εργασίαγια φοιτητές γενικής εκπαίδευσης, επιμέλεια Α.Γ. Mordkovich - 6η έκδοση, στερεότυπα, Μόσχα, «Mnemosyne», 2010
Γραμμική εξίσωσημε δύο μεταβλητές - οποιαδήποτε εξίσωση έχει την ακόλουθη μορφή: a*x + b*y =с. Εδώ το x και το y είναι δύο μεταβλητές, οι a,b,c είναι μερικοί αριθμοί.
Η λύση της γραμμικής εξίσωσης a*x + b*y = c είναι οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών (x,y) που ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση, δηλαδή μετατρέπει την εξίσωση με τις μεταβλητές x και y σε σωστή αριθμητική ισότητα. Μια γραμμική εξίσωση έχει άπειρο αριθμό λύσεων.
Αν κάθε ζεύγος αριθμών που είναι λύσεις μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές απεικονίζεται στο επίπεδο συντεταγμένων ως σημεία, τότε όλα αυτά τα σημεία σχηματίζουν τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές. Οι συντεταγμένες των σημείων θα είναι οι τιμές x και y μας. Σε αυτήν την περίπτωση, η τιμή x θα είναι η τετμημένη και η τιμή y θα είναι η τεταγμένη.
Γράφημα μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές
Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές είναι το σύνολο όλων των πιθανών σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων, οι συντεταγμένες των οποίων θα είναι λύσεις αυτής της γραμμικής εξίσωσης. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το γράφημα θα είναι μια ευθεία γραμμή. Γι' αυτό τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται γραμμικές.
Αλγόριθμος κατασκευής
Αλγόριθμος για τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές.
1. Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων, σημειώστε τους και σημειώστε την κλίμακα μονάδας.
2. Σε μια γραμμική εξίσωση, βάλτε x = 0 και λύστε την εξίσωση που προκύπτει για το y. Σημειώστε το σημείο που προκύπτει στο γράφημα.
3. Σε μια γραμμική εξίσωση, πάρτε τον αριθμό 0 ως y, και λύστε την εξίσωση που προκύπτει για το x. Σημειώστε το σημείο που προκύπτει στο γράφημα
4. Εάν χρειάζεται, πάρτε μια αυθαίρετη τιμή του x και λύστε την εξίσωση που προκύπτει για το y. Σημειώστε το σημείο που προκύπτει στο γράφημα.
5. Συνδέστε τα σημεία που προκύπτουν και συνεχίστε το γράφημα πέρα από αυτά. Υπογράψτε την προκύπτουσα ευθεία γραμμή.
Παράδειγμα:Γράφημα την εξίσωση 3*x - 2*y =6;
Ας βάλουμε x=0, τότε - 2*y =6; y= -3;
Ας βάλουμε y=0, μετά 3*x = 6. x=2;
Σημειώνουμε τα σημεία που έχουμε στο γράφημα, τραβάμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά και το επισημαίνουμε. Κοιτάξτε το παρακάτω σχήμα, το γράφημα πρέπει να μοιάζει ακριβώς με αυτό.
Έχουμε συναντήσει συχνά εξισώσεις της μορφής ax + b = 0, όπου a, b είναι αριθμοί, x είναι μια μεταβλητή. Για παράδειγμα, bx - 8 = 0, x + 4 = O, - 7x - 11 = 0, κλπ. Οι αριθμοί a, b (συντελεστές εξίσωσης) μπορούν να είναι οποιοιδήποτε, εκτός από την περίπτωση που a = 0.
Η εξίσωση ax + b = 0, όπου a, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή x (ή γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο x). Μπορούμε να το λύσουμε, δηλαδή να εκφράσουμε το x μέσω των a και b:
Σημειώσαμε νωρίτερα ότι αρκετά συχνά μαθηματικό μοντέλοη πραγματική κατάσταση είναι μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή ή μια εξίσωση που, μετά από μετασχηματισμούς, ανάγεται σε γραμμική. Τώρα ας δούμε αυτήν την πραγματική κατάσταση.
Από τις πόλεις Α και Β, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 500 km, δύο τρένα άφησαν το ένα προς το άλλο, το καθένα με το δικό του σταθερή ταχύτητα. Είναι γνωστό ότι το πρώτο τρένο έφυγε 2 ώρες νωρίτερα από το δεύτερο. 3 ώρες μετά την αναχώρηση του δεύτερου τρένου, συναντήθηκαν. Ποιες είναι οι ταχύτητες του τρένου;
Ας δημιουργήσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος. Έστω x km/h η ταχύτητα του πρώτου τρένου, y km/h η ταχύτητα του δεύτερου τρένου. Ο πρώτος βρισκόταν στο δρόμο για 5 ώρες και, ως εκ τούτου, διένυσε απόσταση bx km. Το δεύτερο τρένο ήταν στο δρόμο για 3 ώρες, δηλ. περπάτησε μια απόσταση 3 χλμ.
Η συνάντησή τους έγινε στο σημείο Γ. Το σχήμα 31 δείχνει ένα γεωμετρικό μοντέλο της κατάστασης. Στην αλγεβρική γλώσσα μπορεί να περιγραφεί ως εξής:
5x + Zu = 500
ή
5x + Zu - 500 = 0.
Αυτό το μαθηματικό μοντέλο ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές x, y.
Καθόλου,
τσεκούρι + κατά + c = 0,
όπου τα a, b, c είναι αριθμοί και το , είναι γραμμικό την εξίσωσημε δύο μεταβλητές x και y (ή με δύο άγνωστους x και y).
Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση 5x + 3 = 500. Σημειώνουμε ότι αν x = 40, y = 100, τότε το 5 40 + 3 100 = 500 είναι σωστή ισότητα. Αυτό σημαίνει ότι η απάντηση στην ερώτηση του προβλήματος μπορεί να είναι η εξής: η ταχύτητα του πρώτου τρένου είναι 40 km/h, η ταχύτητα του δεύτερου τρένου είναι 100 km/h. Ένα ζεύγος αριθμών x = 40, y = 100 ονομάζεται λύση της εξίσωσης 5x + 3 = 500. Λέγεται επίσης ότι αυτό το ζεύγος τιμών (x; y) ικανοποιεί την εξίσωση 5x + 3 = 500.
Δυστυχώς, αυτή η λύση δεν είναι η μόνη (όλοι μας αγαπάμε τη βεβαιότητα και την αμφισημία). Στην πραγματικότητα, είναι επίσης δυνατή η ακόλουθη επιλογή: x = 64, y = 60; Πράγματι, 5 64 + 3 60 = 500 είναι μια σωστή ισότητα. Και αυτό: x = 70, y = 50 (αφού 5 70 + 3 50 = 500 είναι πραγματική ισότητα).
Αλλά, ας πούμε, ένα ζεύγος αριθμών x = 80, y = 60 δεν είναι λύση στην εξίσωση, αφού με αυτές τις τιμές μια πραγματική ισότητα δεν λειτουργεί:
Γενικά, λύση στην εξίσωση ax + κατά + c = 0 είναι οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών (x; y) που ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση, δηλαδή μετατρέπει την ισότητα με τις μεταβλητές ax + κατά + c = 0 σε αληθή αριθμητικό ισότητα. Υπάρχουν άπειρες τέτοιες λύσεις.
Σχόλιο. Ας επιστρέψουμε για άλλη μια φορά στην εξίσωση 5x + 3 = 500, που προκύπτει στο πρόβλημα που συζητήθηκε παραπάνω. Ανάμεσα στον άπειρο αριθμό των λύσεών του υπάρχουν, για παράδειγμα, τα ακόλουθα: x = 100, y = 0 (πράγματι, 5 100 + 3 0 = 500 είναι μια σωστή αριθμητική ισότητα). x = 118, y = - 30 (αφού 5.118 + 3 (-30) = 500 είναι σωστή αριθμητική ισότητα). Ωστόσο, η ύπαρξη λύσεις της εξίσωσης, αυτά τα ζεύγη δεν μπορούν να χρησιμεύσουν ως λύσεις σε αυτό το πρόβλημα, επειδή η ταχύτητα του τρένου δεν μπορεί να είναι ίση με μηδέν (τότε δεν κινείται, αλλά στέκεται ακίνητο). Επιπλέον, η ταχύτητα του τρένου δεν μπορεί να είναι αρνητική (τότε δεν ταξιδεύει προς άλλο τρένο, όπως αναφέρεται στη δήλωση προβλήματος, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση).
Παράδειγμα 1.Να σχεδιάσετε λύσεις σε μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές x + y - 3 = 0 κατά σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων xOy.
Λύση. Ας επιλέξουμε πολλές λύσεις δεδομένη εξίσωση, δηλαδή πολλά ζεύγη αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).
A. V. Pogorelov, Γεωμετρία για τάξεις 7-11, Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα
Περιεχόμενο μαθήματος σημειώσεις μαθήματοςυποστήριξη μεθόδων επιτάχυνσης παρουσίασης μαθήματος διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις αυτοδιαγνωστικά εργαστήρια, προπονήσεις, περιπτώσεις, αναζητήσεις ερωτήσεις συζήτησης εργασιών για το σπίτι ρητορικές ερωτήσεις από μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες, γραφικά, πίνακες, διαγράμματα, χιούμορ, ανέκδοτα, αστεία, κόμικ, παραβολές, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα κόλπα για την περίεργη κούνια σχολικά βιβλία βασικά και επιπλέον λεξικό όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός τμήματος σε ένα σχολικό βιβλίο, στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα, αντικατάσταση ξεπερασμένων γνώσεων με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματα ημερολογιακό σχέδιογια έναν χρόνο Κατευθυντήριες γραμμέςπρογράμματα συζήτησης Ολοκληρωμένα Μαθήματα