Ο όρος "πυραμίδα" είναι δανεισμένος από το ελληνικό "pyramis" ή "pyramidos". Οι Έλληνες, με τη σειρά τους, δανείστηκαν αυτή τη λέξη, πιστεύεται, από την αιγυπτιακή γλώσσα. Στον πάπυρο Ahmes η λέξη «pyramus» εμφανίζεται με την έννοια της άκρης μιας κανονικής πυραμίδας. Άλλοι πιστεύουν ότι ο όρος προέρχεται από τα σχήματα των ψωμιών Αρχαία Ελλάδα(«πύρος» - σίκαλη). Λόγω του γεγονότος ότι το σχήμα της φλόγας μερικές φορές μοιάζει με την εικόνα μιας πυραμίδας, ορισμένοι μεσαιωνικοί μελετητές πίστευαν ότι ο όρος προέρχεται από την ελληνική λέξη "pir" - φωτιά. Γι’ αυτό και στα εγχειρίδια γεωμετρίας του 16ου αι. η πυραμίδα ονομάζεται «πυρόμορφο σώμα».
ΣΕ Αρχαία ΑίγυπτοςΟι τάφοι των Φαραώ είχαν σχήμα πυραμίδων. Την 3η χιλιετία π.Χ. Οι Αιγύπτιοι έχτισαν πυραμίδες από πέτρες. Αργότερα Αιγυπτιακές πυραμίδεςαπέκτησε ένα γεωμετρικά σωστό σχήμα - για παράδειγμα, η Πυραμίδα του Χέοπα, της οποίας το ύψος φτάνει σχεδόν τα 147 μ. και άλλα. Ο Ευκλείδης ορίζει μια πυραμίδα ως ένα συμπαγές σχήμα που οριοθετείται από επίπεδα που από ένα επίπεδο (τη βάση) συγκλίνουν σε ένα σημείο (την κορυφή). Αυτός ο ορισμός επικρίθηκε ήδη από την αρχαιότητα. Για παράδειγμα, ο Heron, ο οποίος πρότεινε τον ακόλουθο ορισμό της πυραμίδας: είναι ένα σχήμα που οριοθετείται από τρίγωνα που συγκλίνουν σε ένα σημείο και η βάση του οποίου είναι ένα πολύγωνο. Το πιο σημαντικό μειονέκτημα αυτού του ορισμού είναι η χρήση μιας αόριστης έννοιας θεμελίωσης. Ο Taylor όρισε μια πυραμίδα ως ένα πολύεδρο στο οποίο όλες οι όψεις της εκτός από μία συναντώνται σε ένα σημείο. Ο Legendre, στα Στοιχεία Γεωμετρίας του, ορίζει μια πυραμίδα ως εξής: «Μια συμπαγής μορφή που σχηματίζεται από τρίγωνα που συγκλίνουν σε ένα σημείο και τελειώνουν σε διαφορετικές πλευρές μιας επίπεδης βάσης». Μετά από αυτή τη διατύπωση, εξηγείται η έννοια του foundation. Ο ορισμός του Legendre είναι σαφώς περιττός, δηλαδή περιέχει χαρακτηριστικά που μπορούν να προκύψουν από άλλα. Και εδώ είναι ένας άλλος ορισμός που εμφανίστηκε στα σχολικά βιβλία του 19ου αιώνα: μια πυραμίδα είναι μια συμπαγής γωνία που τέμνεται από ένα επίπεδο.
Ο πρώτος άμεσος υπολογισμός του όγκου της πυραμίδας που μας έχει φτάσει βρίσκεται στον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι στα αρχαία έγγραφα υπάρχουν κανόνες για τον προσδιορισμό του όγκου μιας κολοβωμένης πυραμίδας, αλλά δεν υπάρχουν κανόνες για τον υπολογισμό του όγκου πλήρης πυραμίδα. Στον Πάπυρο της Μόσχας υπάρχει ένα πρόβλημα με τίτλο «Ενέργειες με περικομμένη πυραμίδα», το οποίο καθορίζει τον σωστό υπολογισμό του όγκου μιας κολοβωμένης πυραμίδας. Οι βαβυλωνιακές σφηνοειδής πλάκες επίσης δεν περιέχουν υπολογισμούς για τον όγκο μιας πυραμίδας, αλλά περιέχουν πολλά παραδείγματα υπολογισμού του όγκου μιας κολοβωμένης πυραμίδας. Ο πρώτος τύπος για τον όγκο μιας πυραμίδας ανακαλύφθηκε προφανώς από τους αρχαίους Αιγύπτιους. Εξάλλου, έπρεπε να είναι σε θέση να υπολογίσουν τουλάχιστον κατά προσέγγιση πόση πέτρα θα χρειαζόταν για να χτιστεί μια συγκεκριμένη πυραμίδα.
Σύμφωνα με τον Αρχιμήδη, τον 5ο αι. Π.Χ Ο Δημόκριτος των Αβδήρων διαπίστωσε ότι ο όγκος μιας πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του όγκου ενός πρίσματος με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Πλήρης απόδειξη αυτού του θεωρήματος δόθηκε από τον Εύδοξο τον Κνίδιο τον 4ο αιώνα. Π.Χ
Ο υπολογισμός του όγκου μιας πυραμίδας της οποίας η βάση είναι ένα ορισμένο πολύγωνο καταλήγει στον υπολογισμό των όγκων των τετραέδρων (τριγωνικές πυραμίδες). Επομένως, η κύρια προσοχή παρακάτω θα επικεντρωθεί στον υπολογισμό των όγκων αυτών των απλούστερων πολύεδρων.
Συνήθως ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός τετραέδρου είναι ABCDπαρακινούνται από τις ακόλουθες σκέψεις. Πρώτον, πιστεύεται ότι ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός πρίσματος (ιδίως ενός τριγωνικού) είναι ήδη γνωστός. Δεύτερον, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, τεκμηριώνεται η εγκυρότητα της δήλωσης ότι δύο διαφορετικά τετράεδρα με μια κοινή όψη και ίσα αντίστοιχα ύψη έχουν ίσους όγκους. Πλέον με απλό τρόπογια να τεκμηριωθεί η δεύτερη δήλωση είναι η χρήση της λεγόμενης αρχής του Καβαλιέρι.
Στο Σχήμα 1, τετράεδρα ABCDΚαι ABCD"με κοινή άκρη αλφάβητοέχουν ίσα ύψη, τα επίπεδα π 1, π 2 είναι παράλληλα (το επίπεδο π 1 περιέχει ένα τρίγωνο αλφάβητο, και τις κορυφές ρεΚαι ΡΕ"αυτά τα τετράεδρα ανήκουν στο π επίπεδο 2). Είναι εύκολο να δείξουμε ότι τα τρίγωνα ΕΝΑ"ΣΙ"ΝΤΟ"Και ΕΝΑ""ΣΙ""ΝΤΟ"", που προκύπτουν από την τομή αυτών των τετραέδρων με ένα αυθαίρετο επίπεδο π 3 παράλληλο στα δύο πρώτα επίπεδα, είναι ίσα (Απόδειξε αυτό!) και έτσι έχουν ίσα εμβαδά. Ως εκ τούτου, συνάγεται το συμπέρασμα ότι οι όγκοι τέτοιων τετραέδρων είναι ίσοι («δύο στοίβες ίσων τηγανιτών γεμίζουν έναν τόμο»).
Με τέτοιες συμφωνίες βασική φόρμουλαγια να υπολογίσετε τον όγκο ενός τετραέδρου:
Οπου μικρόείναι η περιοχή μιας από τις όψεις του τετραέδρου και Ν- το μήκος του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτή την όψη λαμβάνεται με τη δημιουργία αυτού του τετραέδρου σε ένα πρίσμα όπως φαίνεται στο σχήμα 2, στο οποίο τα επίπεδα αλφάβητοΚαι ΕΝΑ"ΣΙ"ΝΤΟ"παράλληλο. Τότε αυτό το πρίσμα, ο όγκος του οποίου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους του, αποτελείται από τρία ίσου μεγέθους (σύμφωνα με την αρχή του Καβαλιέρι) τετράεδρα ABCA", ΕΝΑ"σι"C.B.Και ΕΝΑ"ΣΙ"CC"(τα δύο τελευταία είναι ίσα σε μέγεθος, αφού έχουν κοινό άκρο ΕΝΑ"ΣΙ"ντοκαι ίσα ύψη χαμηλωμένα σε αυτή την όψη).
Μια άλλη δυνατότητα για τον υπολογισμό του όγκου ενός τετραέδρου παρέχει μια άλλη σημαντική κατασκευή που σχετίζεται με το τετράεδρο, το λεγόμενο περιγράφεται παραλληλεπίπεδο. Λαμβάνεται σχεδιάζοντας τρία ζεύγη παράλληλων επιπέδων, καθένα από τα οποία τραβιέται μέσω των απέναντι άκρων του τετραέδρου (Εικ. 3).
Τα απέναντι άκρα του τετραέδρου είναι οι διαγώνιες των απέναντι όψεων του περιγραφόμενου παραλληλεπιπέδου. Εκτός από το αρχικό τετράεδρο, το παραλληλεπίπεδο περιέχει τέσσερα ακόμη «μικρά» ίσου μεγέθους τετράεδρα, οι όγκοι των οποίων είναι ίσοι με το ένα έκτο του όγκου του περιγραφόμενου παραλληλεπίπεδου (το ίσο μέγεθος αυτών των τετραέδρων προκύπτει από τον βασικό τύπο) . Από αυτό προκύπτει ότι ο όγκος του αρχικού τετραέδρου είναι ίσος με το ένα τρίτο του όγκου του περιγραφόμενου παραλληλεπίπεδου. Έτσι, για να υπολογίσουμε τον όγκο ενός τετραέδρου λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο:
Οπου ΕΝΑ = BD, σι = ΕΝΑ"ΝΤΟ", ρεΚαι φ - απόσταση και γωνία, αντίστοιχα, μεταξύ τεμνόμενων γραμμών BDΚαι ΕΝΑ"ΝΤΟ". Πράγματι, η τιμή είναι ίση με την περιοχή του προσώπου ABCD, Α ρεείναι το μήκος του ύψους αυτού του παραλληλεπίπεδου.
Από εδώ, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι εάν δύο απέναντι άκρες ενός τετραέδρου κινούνται κατά μήκος δύο δεδομένων γραμμών διέλευσης ( ρεΚαι φ - δίνονται) χωρίς να αλλάξουν τα μήκη τους, τότε ο όγκος του τετραέδρου δεν αλλάζει
Σημείωση 1. Το γεγονός ότι σε οποιοδήποτε τετράεδρο το γινόμενο της επιφάνειας μιας όψης και του ύψους που τραβιέται σε αυτό δεν εξαρτάται από την επιλογή της βάσης και του ύψους μπορεί να αποδειχθεί άμεσα. Για να γίνει αυτό, επιλέγουμε δύο αυθαίρετες όψεις του τετραέδρου με περιοχές μικρό 1 και μικρό 2, αντίστοιχα ύψη H 1 και H 2 και μια κοινή άκρη μήκους ένα(Εικ. 4).
Πρέπει να αποδείξουμε ότι η σχέση συμβολίζεται με η 1 και η 2 ύψη τραβηγμένα σε μια κοινή άκρη στην «πρώτη» και τη «δεύτερη» όψη. Από την ομοιότητα ορθογώνια τρίγωνα(πρώτα με το πόδι H 1 και υποτείνουσα η 2, και το δεύτερο - με ένα πόδι H 2 και υποτείνουσα η 1 ; η ομοιότητα προκύπτει από το γεγονός ότι οι οξείες γωνίες είναι γραμμικές γωνίες της διεδρικής γωνίας στην άκρη ένα) το έχουμε αυτό
Εκτός, 
Από αυτές τις δύο ισότητες παίρνουμε την επιθυμητή δήλωση.
Σημείωση 2.Στην περίφημη ομιλία του στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο στο Παρίσι τον Αύγουστο του 1900, ο D. Hilbert, ανάμεσα στα 23 προβλήματα που έθεσε, κάτω από τον αριθμό τρία, ανέφερε ένα πρόβλημα στενά συνδεδεμένο με τα ζητήματα της διδασκαλίας της θεωρίας των όγκων των πολύεδρων. Εφιστά την προσοχή στο γεγονός ότι κατά την εξαγωγή ενός τύπου για τον υπολογισμό του όγκου ενός τετραέδρου, πρέπει κανείς να χρησιμοποιήσει ένα αρκετά περίπλοκο πέρασμα στο όριο (τη λεγόμενη «σκάλα του διαβόλου») ή να χρησιμοποιήσει την αρχή του Cavalieri, όπως έγινε παραπάνω . Ο Hilbert επέστησε την προσοχή σε αυτή την περίσταση και πρότεινε μια υπόθεση σχετικά με τη δυνατότητα να αποδειχθεί αυστηρά ότι χωρίς τη λειτουργία της μετάβασης στο όριο, η θεωρία των όγκων των πολυεδρών δεν μπορεί να κατασκευαστεί με τον ίδιο τρόπο όπως γίνεται στην επιπεδομετρία στη θεωρία των περιοχών. των πολυγώνων. Το ίδιο έτος, 1900, ο Γερμανός μαθηματικός Max Dehn, μαθητής του Hilbert, επιβεβαίωσε την υπόθεση που εξέφρασε ο δάσκαλός του, αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν πολύεδρα ίσου όγκου που δεν συντίθενται εξίσου. Με άλλα λόγια, ένα από αυτά δεν μπορεί να χωριστεί σε πολύεδρα που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να σχηματίσουν ένα άλλο πολύεδρο (η θεωρία των πολυγωνικών περιοχών βασίζεται στην ιδέα της ισοσύνθεσης). Ένα από τα ζεύγη τέτοιων πολύεδρων ίσου μεγέθους είναι ένας κύβος και ένα κανονικό τετράεδρο. Για περισσότερες λεπτομέρειες βλ.
Σε σχέση με το κίνητρο του βασικού τύπου, ένα πρίσμα αποτελούμενο από τρία ίσα τετράεδρα χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του όγκου ενός τετραέδρου.
Και τι τριγωνικά πρίσματαμπορεί να χωριστεί σε τρία ίσοςτετράεδρο; Από ποια τρία ίσα τετράεδρα μπορεί να κατασκευαστεί ένα πρίσμα;
Για να απαντήσετε στην πρώτη ερώτηση, σκεφτείτε (βλ. Εικ. 2) ένα τριγωνικό πρίσμα ABCA"ΣΙ"ΝΤΟ"και ας υποθέσουμε ότι τα τετράεδρα ABCA", ΕΝΑ"ΣΙ"ΝΤΟ"ντοΚαι ΕΝΑ"ΣΙ"π.Χ.είναι ίσα μεταξύ τους (το τελευταίο από αυτά βρίσκεται μεταξύ των άλλων δύο).
Μετά τετράεδρα ABCA"Και ΕΝΑ"ΣΙ"π.Χ.έχουν κοινό πλεονέκτημα ΕΝΑ"π.Χ., και εφόσον είναι ίσες, τότε ίσες είναι και οι ακμές που προέρχονται από τις κορυφές ΕΝΑΚαι ΣΙ". Αλλά ΑΑ" = ΒΒ"Πως πλευρικές νευρώσειςπρίσματα, ΑΒ = ΕΝΑ"ΣΙ"ως οι αντίστοιχες πλευρές των βάσεων του πρίσματος λοιπόν A.C. = σι"ντο.
Ας εξετάσουμε τα τετράεδρα με παρόμοιο τρόπο ΕΝΑ"ΣΙ"ΝΤΟ"ντοΚαι ΕΝΑ"ΣΙ"π.Χ.σαν τετράεδρα με κοινή όψη ΕΝΑ"ΣΙ"ντοκαι τέταρτες κορυφές σιΚαι ΝΤΟ"αντίστοιχα. Συγκρίνετε ξανά τις πλευρικές πλευρές: ΒΒ" = ΝΤΟ"ντοσαν τις πλευρικές νευρώσεις ενός πρίσματος. ΝΤΟ"ΣΙ" = π.Χ.ως οι αντίστοιχες πλευρές των βάσεων του πρίσματος. Τότε από την ισότητα αυτών των τετραέδρων προκύπτει ότι ΕΝΑ"σι = ΕΝΑ"ΝΤΟ".
Έτσι, εάν ένα πρίσμα αποτελείται από τρία ίσα τετράεδρα όπως φαίνεται στο Σχήμα 2, τότε
A.C. = ΕΝΑ"ΝΤΟ" = ΕΝΑ"σι = ΣΙ"ντο. (*)
Αυτό το πρίσμα μπορεί να χωριστεί σε τρία τετράεδρα με άλλους τρόπους. (Υπάρχουν 6 τέτοιες μέθοδοι συνολικά. Αποδείξτε το μόνοι σας!) Σε κάθε τέτοιο διαμέρισμα, παρόμοιο με αυτό που μόλις εξετάσαμε, φροντίζουμε να ικανοποιείται η σχέση (*). Έτσι, αν ένα πρίσμα μπορεί να χωριστεί σε τρία ίσα τετράεδρα, τότε οι μη τεμνόμενες διαγώνιες των δύο πλευρικών όψεων του πρίσματος πρέπει να είναι ίσες μεταξύ τους και ίσες με την πλευρά της βάσης, που βρίσκεται στην τρίτη πλάγια όψη.
Πριν δώσουμε μια λεπτομερή απάντηση στο δεύτερο ερώτημα, ας σταθούμε σε μια μέθοδο κατασκευής ενός πρίσματος από τρία ίσα τετράεδρα.
Ας συμβολίσουμε με α το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο ΕΝΑ. Θεωρήστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο AMNσε αυτό το αεροπλάνο. Ας επαναφέρουμε τις κάθετες στο a στις κορυφές του. Σε αυτές τις γραμμές επιλέγουμε τρία σημεία ΕΝΑ", σι, ντοτέτοια που Α.Α." = 3μεγάλο,Μ.Β. = μεγάλο, NC = 2μεγάλο, Πού μεγάλο- έναν αυθαίρετο θετικό αριθμό (βλ. Εικ. 5). Ας συμπληρώσουμε τώρα το τετράεδρο που προκύπτει ABCA"σε πρίσμα με βάση αλφάβητοκαι πλαϊνά πλευρά ΒΒ", CC". Το πρίσμα που προκύπτει ικανοποιεί την συνθήκη (*) και, επομένως, αποτελείται από τρία ίσα τετράεδρα: ABCA", ΕΝΑ"σι"π.Χ., ΕΝΑ"ΣΙ"ΝΤΟ"ντο. Πράγματι, που δηλώνει για έναμήκος πλευράς τριγώνου AMNκαι χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, είναι εύκολο να το υπολογίσουμε
Η πλήρης απάντηση στην ερώτηση που τέθηκε περιέχεται στην εργασία 2.
Εργασίες και ασκήσεις
1. Είναι δυνατόν να κόψουμε έναν κύβο: α) σε 5 τριγωνικές πυραμίδες; β) σε 4 τριγωνικές πυραμίδες;
2. Ποια τρία ίσα τετράεδρα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να φτιάξουμε ένα πρίσμα; Βρείτε τη σχέση που πρέπει να ικανοποιούν οι άκρες του.
Σημείωμα. Ας δοθεί ένα τετράεδρο ABCA"και τα μήκη όλων των άκρων του είναι γνωστά. Χτίστε το σε ένα πρίσμα ABCA"ΣΙ"ΝΤΟ"και εκφράζουν Π.Χ"μέσω γνωστών ποσοτήτων.
3. Να αποδείξετε ότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ένα πρίσμα από τρία κανονικά τετράεδρα.
4. Έστω όλες οι όψεις του τετραέδρου ίσα τρίγωνα των οποίων οι πλευρές είναι ίσες ένα, σιΚαι ντο. Υπολογίστε τον όγκο του τετραέδρου.
5. Δίνονται τρεις παράλληλες ευθείες σελ, qΚαι r, όχι ξαπλωμένος στο ίδιο αεροπλάνο. Η άκρη του τετραέδρου κινείται ελεύθερα σε ευθεία γραμμή σελ(χωρίς να αλλάξει το μήκος του), και οι υπόλοιπες δύο κορυφές - σε ευθείες γραμμές qΚαι r. Να αποδείξετε ότι ο όγκος του τετραέδρου παραμένει σταθερός.
6. Παράλληλες ευθείες σελ, q, rΚαι μεγάλο, που δεν βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο, τέμνει το πρώτο επίπεδο σε σημεία ΕΝΑ, σι, ντοΚαι ρε, και το δεύτερο - σε σημεία ΕΝΑ", ΣΙ", ΝΤΟ"Και ΡΕ"αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι τα τετράεδρα ΑΒ"ντο"ΡΕ"Και ΕΝΑ"BCDέχουν τους ίδιους τόμους.
7 * . (Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1988 .) α) Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν δύο μη τεμνόμενα κανονικά τετράεδρα με την ακμή 1 μέσα σε έναν κύβο με την άκρη 1;
β) Ποια μεγαλύτερος αριθμόςΤα κανονικά τετράεδρα με την άκρη 1 τοποθετούνται μέσα σε έναν κύβο με την άκρη 1, εάν τα τετράεδρα μπορούν να αγγίξουν μόνο τα πρόσωπά τους;
2. Μέχρι μια μετάθεση κορυφών, η ισότητα πρέπει να ικανοποιείται ΑΒ = C.A.", καθώς και μία από τις ακόλουθες δύο σχέσεις:
(ΑΒ) 2 = (A.C.) 2 + (B.A.") 2 – (π.Χ.) 2 – (Α.Α.") 2 ,
3(ΑΒ) 2 = (A.C.) 2 + (B.A.") 2 + (π.Χ.) 2 + (Α.Α.") 2 .
7. α) Είναι δυνατό. β) 3 τετράεδρα.
Λογοτεχνία
1. Boltyansky V. G.Το τρίτο πρόβλημα του Χίλμπερτ. - Μ.: Nauka, 1977.
2. Gilbert D., Vossen K.Οπτική γεωμετρία. - Μ.: Nauka, 1981.
3. Ponarin Y.P.Στοιχειώδης γεωμετρία: Σε 2 τόμους. - Τ. 1. Πλανομετρία, επίπεδοι μετασχηματισμοί. - Μ.: MTsNMO, 2004.
4. Ponarin Y.P.Στοιχειώδης γεωμετρία: Σε 2 τόμους. - Τ. 1. Στερεομετρία, μετασχηματισμοί χώρου. - Μ.: MTsNMO, 2006.
5. Hadamard J.Στοιχειώδης γεωμετρία. - Μέρος 2: Στερεομετρία. - Μ.: Εκπαίδευση, 1957.
Στη γεωμετρία τετράεδροείναι ένα κανονικό πολύεδρο που έχει τέσσερις όψεις που είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Από αυτό προκύπτει ότι όλα τα άκρα τετράεδροέχουν το ίδιο μήκος και όλες οι όψεις του έχουν την ίδια περιοχή. Αυτό το γεωμετρικό σώμα και οι βασικές του ιδιότητες μελετώνται στα μαθήματα της σχολικής γεωμετρίας, αλλά στη ζωή. V καθαρή μορφή «Δεν συμβαίνει πολύ συχνά. Ή μάλλον, τετράεδροσυχνά απλώς όχι τόσο αισθητή και προφανής όσο, για παράδειγμα, μια σφαίρα ή ένα παραλληλεπίπεδο.
Ωστόσο, στην τεχνολογία αυτό το γεωμετρικό σώμα βρίσκεται αρκετά συχνά. Για παράδειγμα, η φόρμα τετράεδραδιαθέτουν οπτικά στοιχεία που αποτελούν τη βάση για το σχεδιασμό των ανακλαστών. Λόγω των ιδιαιτεροτήτων της διάταξης των άκρων τετράεδρααντανακλούν το φως στο ίδιο σημείο από το οποίο προέρχεται, και επομένως φαίνονται να λάμπουν οι ίδιοι. Οι ανακλαστήρες έχουν βρει πολύ ευρεία εφαρμογή ως συσκευές οδικής ασφάλειας.
Εύρεση του όγκου ενός τετραέδρου
| V |
ένα- άκρη τετραέδρου
V- όγκος του τετραέδρου
Από τετράεδροείναι από τη φύση της μια αποκλειστικά άκαμπτη στατική μορφή, αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται αρκετά ευρέως στην τεχνολογία. Για παράδειγμα, οι ράβδοι πολλών φερόντων μεταλλικών κατασκευών είναι διατεταγμένες ακριβώς με τη μορφή τετραέδρων και χάρη σε αυτό, οι μηχανικοί είναι σε θέση να δημιουργήσουν ελαφριά και εξαιρετικά ισχυρά ζευκτά για γέφυρες και δάπεδα διαφόρων κατασκευών.
Τα κρυσταλλικά πλέγματα πολλών ανθεκτικών φυσικών ορυκτών έχουν επίσης το σχήμα τετράεδρο. Ένα από αυτά είναι το διαμάντι, στο οποίο τα άτομα βρίσκονται ακριβώς στις κορυφές αυτού γεωμετρικό σώμα. Είναι ενδιαφέρον ότι ο γραφίτης αποτελείται επίσης από άτομα άνθρακα, που σημαίνει ότι η χημική του σύνθεση είναι παρόμοια χημική σύνθεσητο διαμάντι, ωστόσο, όσον αφορά τα χαρακτηριστικά αντοχής είναι πολύ σημαντικά κατώτερο από το τελευταίο ακριβώς επειδή το σχήμα του κρυσταλλικού πλέγματος του είναι διαφορετικό. Επομένως, η παραγωγή τεχνητών διαμαντιών από γραφίτη συνίσταται ακριβώς στη διάταξη των ατόμων άνθρακα με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν τετράεδρα.
Η διάταξη των καρπών ορισμένων φυτών σε συστάδες έχει επίσης το σχήμα αυτού του γεωμετρικού σώματος. Για παράδειγμα, τα καρύδια είναι συχνά τοποθετημένα έτσι ώστε τα κέντρα τους να βρίσκονται στις κορυφές ενός τετραέδρου.
Τώρα στη Ρωσία και μερικά ξένες χώρεςπαράγεται συσκευασία γάλακτος, επίσης διαμορφωμένη τετράεδρο. Η βάση για την κατασκευή του είναι ένας σωλήνας κατασκευασμένος από ειδικό υλικό, που θυμίζει αυτό που χρησιμοποιείται στην κατασκευή του λεγόμενου " τετρασυσκευασίες" Καθώς γεμίζεται με γάλα ή κρέμα, ειδικές συσκευές το σφραγίζουν με τέτοιο τρόπο ώστε οι παρακείμενες ραφές να είναι κάθετες μεταξύ τους, με αποτέλεσμα οι έτοιμες σακούλες να έχουν το σχήμα τετραέδρου.
Κλασσικός τετράεδροείναι επίσης ένα παζλ γνωστό ως " Πυραμίδα του Ρούμπικ», « Ιαπωνικό τετράεδρο"Και" Μολδαβική πυραμίδα" Ο διάσημος Ούγγρος αρχιτέκτονας και εφευρέτης, ωστόσο, δεν έχει καμία σχέση με αυτό, αν και η αρχή στην οποία βασίζεται είναι πρακτικά η ίδια με αυτή που χρησιμοποιείται στον περίφημο κύβο του. Μάλιστα, αυτό το παιχνίδι αναπτύχθηκε από τον Γερμανό Uwe Meffert το 1972 και στη συνέχεια, ανεξάρτητα από αυτόν, εφευρέθηκε από τον Μολδαβό μηχανικό A.A. Ordynets, και από το 1981 παράγεται από την εταιρεία Tomy Toys, της οποίας η έδρα βρίσκεται στην Ιαπωνία.