Βίντα y= φά(Χ), ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Ν, Οπου Ν- ένα μάτσο φυσικούς αριθμούς(ή συνάρτηση φυσικού ορίσματος), υποδηλώνεται y=φά(n) ή y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Αξίες y 1 ,y 2 ,y 3 ,… λέγονται αντίστοιχα τα πρώτα, δεύτερα, τρίτα, ... μέλη της ακολουθίας.
Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση y= n 2 μπορεί να γραφτεί:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Μέθοδοι καθορισμού αλληλουχιών.Οι ακολουθίες μπορούν να καθοριστούν διαφορετικοί τρόποι, μεταξύ των οποίων τρία είναι ιδιαίτερα σημαντικά: αναλυτικό, περιγραφικό και επαναλαμβανόμενο.
1. Μια ακολουθία δίνεται αναλυτικά αν δίνεται ο τύπος της nτο μέλος:
y n=φά(n).
Παράδειγμα. y n= 2n - 1 – ακολουθία περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, 9,…
2. Περιγραφικό Ο τρόπος για να ορίσετε μια αριθμητική ακολουθία είναι να εξηγήσετε από ποια στοιχεία είναι κατασκευασμένη η ακολουθία.
Παράδειγμα 1. "Όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ίσοι με 1." Αυτό σημαίνει ότι μιλάμε για μια ακίνητη ακολουθία 1, 1, 1, …, 1, ….
Παράδειγμα 2. «Μια ακολουθία αποτελείται από όλα πρώτοι αριθμοίμε αύξουσα σειρά». Έτσι, η δεδομένη ακολουθία είναι 2, 3, 5, 7, 11, …. Με αυτή τη μέθοδο καθορισμού της ακολουθίας σε σε αυτό το παράδειγμαείναι δύσκολο να απαντήσει κανείς με τι ισούται, ας πούμε, το 1000ο στοιχείο της ακολουθίας.
3. Η επαναλαμβανόμενη μέθοδος για τον καθορισμό μιας ακολουθίας είναι να καθορίσετε έναν κανόνα που σας επιτρέπει να υπολογίζετε n-ο μέλος μιας ακολουθίας αν είναι γνωστά τα προηγούμενα μέλη της. Το όνομα επαναλαμβανόμενη μέθοδος προέρχεται από τη λατινική λέξη επαναλαμβανόμενος- ελα πισω. Τις περισσότερες φορές, σε τέτοιες περιπτώσεις, υποδεικνύεται ένας τύπος που επιτρέπει σε κάποιον να εκφραστεί nτο μέλος της ακολουθίας μέσω των προηγούμενων και καθορίστε 1-2 αρχικά μέλη της ακολουθίας.
Παράδειγμα 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 αν n = 2, 3, 4,….
Εδώ y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Μπορείτε να δείτε ότι η ακολουθία που λαμβάνεται σε αυτό το παράδειγμα μπορεί επίσης να καθοριστεί αναλυτικά: y n= 4n - 1.
Παράδειγμα 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 αν n = 3, 4,….
Εδώ: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Η ακολουθία σε αυτό το παράδειγμα μελετάται ιδιαίτερα στα μαθηματικά επειδή έχει μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες και εφαρμογές. Ονομάζεται ακολουθία Fibonacci, που πήρε το όνομά του από τον Ιταλό μαθηματικό του 13ου αιώνα. Είναι πολύ εύκολο να ορίσουμε την ακολουθία Fibonacci περιοδικά, αλλά πολύ δύσκολο αναλυτικά. nΟ αριθμός Fibonacci εκφράζεται μέσω του σειριακού του αριθμού με τον ακόλουθο τύπο.
Με την πρώτη ματιά, η φόρμουλα για nο αριθμός Fibonacci φαίνεται απίθανος, καθώς ο τύπος που καθορίζει την ακολουθία των φυσικών αριθμών περιέχει μόνο τετραγωνικές ρίζες, αλλά μπορείτε να ελέγξετε "μη αυτόματα" την εγκυρότητα αυτού του τύπου για τα πρώτα n.
Ιδιότητες ακολουθιών αριθμών.
Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής συνάρτησης, επομένως μια σειρά από ιδιότητες συναρτήσεων λαμβάνονται υπόψη και για τις ακολουθίες.
Ορισμός . Ακολουθία ( y n} ονομάζεται αύξουσα αν κάθε όρος του (εκτός από τον πρώτο) είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Ορισμός.Ακολουθία ( y n} ονομάζεται φθίνουσα αν κάθε όρος του (εκτός από τον πρώτο) είναι μικρότερος από τον προηγούμενο:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .
Οι αύξουσες και φθίνουσες ακολουθίες συνδυάζονται με τον κοινό όρο - μονοτονικές ακολουθίες.
Παράδειγμα 1. y 1 = 1; y n= n 2 – αυξανόμενη ακολουθία.
Έτσι, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (χαρακτηριστική ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου). Μια αριθμητική ακολουθία είναι αριθμητική εάν και μόνο αν κάθε μέλος της, εκτός από το πρώτο (και το τελευταίο στην περίπτωση μιας πεπερασμένης ακολουθίας), είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών.
Παράδειγμα. Σε ποια τιμή Χαριθμοί 3 Χ + 2, 5Χ– 4 και 11 Χ+ 12 σχηματίζουν μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδο;
Σύμφωνα με τη χαρακτηριστική ιδιότητα, οι δοσμένες εκφράσεις πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση
5Χ – 4 = ((3Χ + 2) + (11Χ + 12))/2.
Η επίλυση αυτής της εξίσωσης δίνει Χ= –5,5. Σε αυτή την τιμή Χδοσμένες εκφράσεις 3 Χ + 2, 5Χ– 4 και 11 Χ+ 12 παίρνουν, αντίστοιχα, τις τιμές -14,5, –31,5, –48,5. Αυτή είναι μια αριθμητική πρόοδος, η διαφορά της είναι –17.
Γεωμετρική πρόοδος.
Μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας όλοι οι όροι είναι μη μηδενικοί και της οποίας καθένας από τους όρους, ξεκινώντας από τον δεύτερο, προκύπτει από τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιάζοντας με τον ίδιο αριθμό q, ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος, και ο αριθμός q- ο παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.
Έτσι, μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία ( b n), που ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις
σι 1 = σι, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(σιΚαι q -δεδομένους αριθμούς, σι ≠ 0, q ≠ 0).
Παράδειγμα 1. 2, 6, 18, 54, ... – αύξηση της γεωμετρικής προόδου σι = 2, q = 3.
Παράδειγμα 2. 2, –2, 2, –2, … – γεωμετρική πρόοδος σι= 2,q= –1.
Παράδειγμα 3. 8, 8, 8, 8, … – γεωμετρική πρόοδος σι= 8, q= 1.
Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αυξανόμενη ακολουθία αν σι 1 > 0, q> 1, και μειώνοντας εάν σι 1 > 0, 0 q
Μία από τις προφανείς ιδιότητες μιας γεωμετρικής προόδου είναι ότι αν η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, τότε είναι και η ακολουθία τετραγώνων, δηλ.
σι 1 2 , σι 2 2 , σι 3 2 , …, b n 2,... είναι μια γεωμετρική πρόοδος της οποίας ο πρώτος όρος είναι ίσος με σι 1 2 , και ο παρονομαστής είναι q 2 .
Τύπος n-ο όρος της γεωμετρικής προόδου έχει τη μορφή
b n= σι 1 qn– 1 .
Μπορείτε να αποκτήσετε έναν τύπο για το άθροισμα των όρων μιας πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου.
Ας δοθεί μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος
σι 1 ,σι 2 ,σι 3 , …, b n
αφήνω S n -το άθροισμα των μελών του, δηλ.
S n= σι 1 + σι 2 + σι 3 + … +b n.
Είναι αποδεκτό ότι qΝο. 1. Για να προσδιοριστεί S nχρησιμοποιείται μια τεχνητή τεχνική: πραγματοποιούνται ορισμένοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί της έκφρασης S n q.
S n q = (σι 1 + σι 2 + σι 3 + … + b n –1 + b n)q = σι 2 + σι 3 + σι 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– σι 1 .
Ετσι, S n q= S n +b n q – β 1 και επομένως
Αυτή είναι η φόρμουλα με umma n όροι γεωμετρικής προόδουγια την περίπτωση που q≠ 1.
Στο q= 1 ο τύπος δεν χρειάζεται να προέρχεται χωριστά S n= ένα 1 n.
Η πρόοδος ονομάζεται γεωμετρική επειδή κάθε όρος σε αυτήν, εκτός από τον πρώτο, είναι ίσος με τον γεωμετρικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων όρων. Πράγματι, από τότε
bn=bn- 1 q;
bn = bn+ 1 /q,
ως εκ τούτου, b n 2=bn– 1 bn+ 1 και ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (μια χαρακτηριστική ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου):
μια αριθμητική ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν το τετράγωνο κάθε όρων της, εκτός από τον πρώτο (και τον τελευταίο στην περίπτωση μιας πεπερασμένης ακολουθίας), είναι ίσο με το γινόμενο του προηγούμενου και των επόμενων όρων.
Όριο συνέπειας.
Ας υπάρχει μια σειρά ( c n} = {1/n}. Αυτή η ακολουθία ονομάζεται αρμονική, αφού κάθε όρος της, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ο αρμονικός μέσος μεταξύ των προηγούμενων και των επόμενων όρων. Μέση τιμή γεωμετρικούς αριθμούς έναΚαι σιυπάρχει ένας αριθμός
Διαφορετικά η ακολουθία ονομάζεται αποκλίνουσα.
Με βάση αυτόν τον ορισμό, μπορεί κανείς, για παράδειγμα, να αποδείξει την ύπαρξη ενός ορίου Α=0για την αρμονική ακολουθία ( c n} = {1/n). Έστω ε ένας αυθαίρετα μικρός θετικός αριθμός. Η διαφορά θεωρείται
Υπάρχει κάτι τέτοιο; Ναυτό είναι για όλους n ≥ Νισχύει η ανισότητα 1 /Ν ? Αν το πάρουμε ως Νκάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1/ε , τότε για όλους n ≥ Nισχύει η ανισότητα 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.
Η απόδειξη της παρουσίας ενός ορίου για μια συγκεκριμένη ακολουθία μπορεί μερικές φορές να είναι πολύ δύσκολη. Οι πιο συχνά εμφανιζόμενες αλληλουχίες είναι καλά μελετημένες και παρατίθενται σε βιβλία αναφοράς. Υπάρχουν σημαντικά θεωρήματα που σας επιτρέπουν να συμπεράνετε ότι μια δεδομένη ακολουθία έχει ένα όριο (ακόμα και να το υπολογίσετε), με βάση τις ήδη μελετημένες ακολουθίες.
Θεώρημα 1. Αν μια ακολουθία έχει όριο, τότε είναι οριοθετημένη.
Θεώρημα 2. Αν μια ακολουθία είναι μονότονη και οριοθετημένη, τότε έχει όριο.
Θεώρημα 3. Αν η ακολουθία ( a n} έχει ένα όριο ΕΝΑ, μετά οι ακολουθίες ( μπορώ}, {a n+ γ) και (| a n|} έχουν όρια cA, ΕΝΑ +ντο, |ΕΝΑ| αναλόγως (εδώ ντο– αυθαίρετος αριθμός).
Θεώρημα 4. Αν οι ακολουθίες ( a n} Και ( b n) έχουν όρια ίσα με ΕΝΑΚαι σι τηγάνι + qbn) έχει ένα όριο pA+ qB.
Θεώρημα 5. Αν οι ακολουθίες ( a n) Και ( b n) έχουν όρια ίσα με ΕΝΑΚαι σιαντίστοιχα, τότε η σειρά ( a n b n) έχει ένα όριο ΑΒ.
Θεώρημα 6. Αν οι ακολουθίες ( a n} Και ( b n) έχουν όρια ίσα με ΕΝΑΚαι σικατά συνέπεια, και, επιπλέον, b n ≠ 0 και Β≠ 0 και μετά η ακολουθία ( a n / b n) έχει ένα όριο A/B.
Άννα Τσουγκάινοβα
Μάθημα Νο. 32 Ημερομηνία ____________
Αλγεβρα
Τάξη: 9 "Β"
Θέμα: «Αριθμητική ακολουθία και μέθοδοι εκχώρησης της».
Σκοπός του μαθήματος:Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν τι είναι μια αριθμητική ακολουθία. μεθόδους για τον καθορισμό μιας αριθμητικής ακολουθίας· να είναι σε θέση να διακρίνει μεταξύ διαφορετικών τρόπων προσδιορισμού ακολουθιών αριθμών.
Διδακτικό υλικό: φυλλάδια, υποστηρικτικές σημειώσεις.
Τεχνικά βοηθήματα εκπαίδευσης:παρουσίαση με θέμα «Ακολουθίες αριθμών».
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.
2. Ορισμός στόχων μαθήματος.
Σήμερα στην τάξη θα μάθετε:
Τι είναι η ακολουθία;
Τι είδη ακολουθιών υπάρχουν;
Πώς καθορίζεται η ακολουθία αριθμών;
Μάθετε να γράφετε μια ακολουθία χρησιμοποιώντας έναν τύπο και τα πολλά στοιχεία του.
Μάθετε να βρίσκετε μέλη μιας ακολουθίας.
3.Εργαστείτε στο υλικό που μελετάτε.
3.1. Προπαρασκευαστικό στάδιο.
Παιδιά, ας δοκιμάσουμε τις λογικές σας ικανότητες. Αναφέρω λίγα λόγια και πρέπει να συνεχίσετε:
-Δευτέρα Τρίτη,…..
- Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος…;
– Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G,…..(κατάλογος τάξης);
–10,11,12,…99;
Από τις απαντήσεις των παιδιών, συνάγεται το συμπέρασμα ότι οι παραπάνω εργασίες είναι ακολουθίες, δηλαδή κάποιο είδος διατεταγμένης σειράς αριθμών ή εννοιών, όταν κάθε αριθμός ή έννοια είναι αυστηρά στη θέση του, και εάν τα μέλη αντικατασταθούν, η ακολουθία θα να είναι σπασμένα (η Τρίτη, Πέμπτη, Δευτέρα είναι απλώς μια λίστα με τις ημέρες της εβδομάδας). Άρα, το θέμα του μαθήματος είναι η αριθμητική ακολουθία.
3.1. Επεξήγηση νέου υλικού. (Υλικό επίδειξης)
Αναλύοντας τις απαντήσεις των μαθητών, δώστε έναν ορισμό της ακολουθίας αριθμών και δείξτε τρόπους αντιστοίχισης ακολουθιών αριθμών.
(Εργασία με το σχολικό βιβλίο σελ. 66 – 67)
Ορισμός 1. Η συνάρτηση y = f(x), xN ονομάζεται συνάρτηση ενός φυσικού ορίσματος ή μιας αριθμητικής ακολουθίας και συμβολίζεται: y = f(n) ή y 1, y 2, y 3, ..., y n, .. . ή (y n).
ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηη ανεξάρτητη μεταβλητή είναι φυσικός αριθμός.
Τις περισσότερες φορές υποδηλώνουμε ακολουθίες ως εξής: ( ΕΝΑ n), (σι n), (Με n) και τα λοιπά.
Ορισμός 2. Μέλη ακολουθίας.
Τα στοιχεία που σχηματίζουν μια ακολουθία ονομάζονται μέλη ακολουθίας.
Νέες έννοιες: προηγούμενο και επόμενο μέλος μιας ακολουθίας,
ΕΝΑ 1 …ΕΝΑ Π. (1ος και ντος όρος της ακολουθίας)
Μέθοδοι για τον καθορισμό μιας ακολουθίας αριθμών.
Αναλυτική μέθοδος.
Οποιος ντο στοιχείοΟι αλληλουχίες μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας έναν τύπο (υλικό επίδειξης).
Εξερευνήστε παραδείγματα
Παράδειγμα 1.Ακολουθία ζυγών αριθμών: y = 2n.
Παράδειγμα 2.Ακολουθία του τετραγώνου των φυσικών αριθμών: y = n 2 ;
1, 4, 9, 16, 25, ..., ν 2, ... .
Παράδειγμα 3.Στατική ακολουθία: y = C;
Γ, Γ, Γ, ..., Γ, ... .
Ειδική περίπτωση: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Παράδειγμα 4. Αλληλουχία y = 2 n ;
2, 2 2, 2 3, 2 4, ..., 2 n, ... .
Λεκτική μέθοδος.
Οι κανόνες για τον καθορισμό μιας ακολουθίας περιγράφονται με λέξεις, χωρίς να προσδιορίζονται τύποι ή όταν δεν υπάρχει μοτίβο μεταξύ των στοιχείων της ακολουθίας.
Παράδειγμα 1: Προσεγγίσεις αριθμώνπ.
Παράδειγμα 2.Ακολουθία πρώτων αριθμών: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Παράδειγμα 3.Ακολουθία αριθμών που διαιρείται με το 5.
Παράδειγμα 2.Αυθαίρετο σύνολο αριθμών: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Παράδειγμα 3.Ακολουθία ζυγών αριθμών 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .
Επαναλαμβανόμενη μέθοδος.
Η επαναλαμβανόμενη μέθοδος είναι να καθορίσετε έναν κανόνα που σας επιτρέπει να υπολογίζετε η θητείαακολουθία, εάν προσδιορίζονται τα πρώτα λίγα μέλη του (τουλάχιστον ένα πρώτο μέλος) και ένας τύπος που επιτρέπει σε κάποιον να υπολογίσει το επόμενο μέλος του από τα προηγούμενα μέλη. Ορος επαναλαμβανόμενος προέρχεται από τη λατινική λέξη επαναλαμβανόμενος , που σημαίνει ελα πισω . Κατά τον υπολογισμό των όρων μιας ακολουθίας χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, φαίνεται να πηγαίνουμε πίσω συνεχώς, υπολογίζοντας τον επόμενο όρο με βάση τον προηγούμενο. Η ιδιαιτερότητα αυτής της μεθόδου είναι ότι για να προσδιορίσετε, για παράδειγμα, το 100ο μέλος της ακολουθίας, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε και τα προηγούμενα 99 μέλη.
Παράδειγμα 1 . a 1 =a, a n+1 =a n +0,7. Έστω ένα 1 =5, τότε η ακολουθία θα μοιάζει με: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ....
Παράδειγμα 2. b 1 = b, b n +1 = ½ b n. Έστω b 1 =23, τότε η ακολουθία θα μοιάζει με: 23; 11.5; 5,75; 2.875; ....
Παράδειγμα 3.Ακολουθία Fibonacci. Αυτή η ακολουθία καθορίζεται εύκολα αναδρομικά: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 εάν n=3, 4, 5, 6, ... . Θα μοιάζει με:
1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (Πο όρος αυτής της ακολουθίας ίσο με το άθροισμαδύο προηγούμενα μέλη)
Είναι δύσκολο να ορίσουμε αναλυτικά την ακολουθία Fibonacci, αλλά είναι δυνατό. Ο τύπος με τον οποίο καθορίζεται οποιοδήποτε στοιχείο αυτής της ακολουθίας μοιάζει με αυτό:
Ο Ιταλός έμπορος Λεονάρντο της Πίζας (1180-1240), περισσότερο γνωστός με το παρατσούκλι του Φιμπονάτσι, ήταν σημαντικός μαθηματικός του Μεσαίωνα. Χρησιμοποιώντας αυτή την ακολουθία, ο Fibonacci προσδιόρισε τον αριθμό φ (fi); φ=1,618033989.
Γραφική μέθοδος
Τα μέλη της ακολουθίας μπορούν να αναπαρασταθούν με τελείες επίπεδο συντεταγμένων. Για να γίνει αυτό, ο αριθμός σχεδιάζεται κατά μήκος του οριζόντιου άξονα και η τιμή του αντίστοιχου μέλους της ακολουθίας σχεδιάζεται κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα.
Για την ενοποίηση των μεθόδων ανάθεσης, δώστε πολλά παραδείγματα ακολουθιών που καθορίζονται είτε προφορικά, είτε αναλυτικά, είτε επαναλαμβανόμενα.
Τύποι ακολουθιών αριθμών
(Οι τύποι αλληλουχιών εξασκούνται χρησιμοποιώντας τις ακολουθίες που αναφέρονται παρακάτω).
Εργασία με το σχολικό βιβλίο σελ. 69-70
1) Αύξηση - εάν κάθε όρος είναι μικρότερος από τον επόμενο, δηλ. ένα n ένα n +1.
2) Μείωση – αν κάθε όρος είναι μεγαλύτερος από τον επόμενο, δηλ. ένα n ένα n +1 .
3) Άπειρο.
4) Τελικό.
5) Εναλλασσόμενη πινακίδα.
6) Σταθερό (στάσιμο).
Μια αύξουσα ή φθίνουσα ακολουθία ονομάζεται μονοτονική.
–1; 2; –3; 4; –5; …
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
Εργασία με το σχολικό βιβλίο: ας το κάνουμε προφορικά Νο 150, 159 σελ. 71, 72
3.2. Ενοποίηση νέου υλικού. Επίλυση προβλήματος.
Για την εμπέδωση της γνώσης επιλέγονται παραδείγματα ανάλογα με το επίπεδο προετοιμασίας των μαθητών.
Παράδειγμα 1.Δημιουργήστε έναν πιθανό τύπο για το ντο στοιχείο της ακολουθίας (y n):
α) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
β) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Λύση.
α) Πρόκειται για μια ακολουθία περιττών αριθμών. Αναλυτικά, αυτή η ακολουθία μπορεί να δοθεί με τον τύπο y = 2n+1.
β) Πρόκειται για μια αριθμητική ακολουθία στην οποία το επόμενο στοιχείο είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο κατά 4. Αναλυτικά, αυτή η ακολουθία μπορεί να δοθεί με τον τύπο y = 4n.
Παράδειγμα 2. Γράψτε τα πρώτα δέκα στοιχεία της ακολουθίας που δίνονται περιοδικά: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1, αν n = 3, 4, 5, 6, ....
Λύση.
Κάθε επόμενο στοιχείο αυτής της ακολουθίας είναι ίσο με το άθροισμα των δύο προηγούμενων στοιχείων.
Παράδειγμα 3.Η ακολουθία (y n) δίνεται περιοδικά: y 1 =1, y 2 =2, y n =5y n -1 - 6y n -2. Ορίστε αναλυτικά αυτή τη σειρά.
Λύση.
Ας βρούμε τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας.
y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;
y 4 =5y 3 -6y 2 =20-12=8;
y 5 =5y 4 -6y 3 =40-24=16;
y 6 =5y 5 -6y 4 =80-48=32;
y 7 =5y 6 -6y 5 =160-96=64.
Παίρνουμε την ακολουθία: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., το οποίο μπορεί να αναπαρασταθεί ως
2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .
n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .
Αναλύοντας την ακολουθία, λαμβάνουμε το ακόλουθο μοτίβο: y = 2 n -1 .
Παράδειγμα 4.Δίνεται η ακολουθία y n =24n+36-5n 2 .
α) Πόσα θετικά μέλη έχει;
β) Να βρείτε το μεγαλύτερο στοιχείο της ακολουθίας.
γ) Υπάρχει κάποιο μικρότερο στοιχείο σε αυτή τη σειρά;
Αυτή η αριθμητική ακολουθία είναι συνάρτηση της μορφής y = -5x 2 +24x+36, όπου x
α) Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στην οποία -5x2 +24x+360. Ας λύσουμε την εξίσωση -5x 2 +24x+36=0.
D = b 2 -4ac = 1296, X 1 = 6, X 2 = -1,2.
Η εξίσωση για τον άξονα συμμετρίας της παραβολής y = -5x 2 +24x+36 μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο x=, παίρνουμε: x=2,4.
Η ανισότητα -5x 2 +24x+360 ισχύει για -1,2 Υπάρχουν πέντε φυσικοί αριθμοί σε αυτό το διάστημα (1, 2, 3, 4, 5). Αυτό σημαίνει ότι σε μια δεδομένη ακολουθία υπάρχουν πέντε θετικά στοιχεία της ακολουθίας.
β) Το μεγαλύτερο στοιχείο της ακολουθίας προσδιορίζεται με τη μέθοδο επιλογής και ισούται με y 2 =64.
V) Το μικρότερο στοιχείοΟχι.
3.4.Εργασίες για ανεξάρτητη εργασία
2. Προσδιορίστε την αριθμητική πράξη με την οποία προκύπτει ο μέσος όρος από δύο ακραίους αριθμούς και αντί για το σύμβολο *, εισάγετε τον αριθμό που λείπει: ,3104.62.51043.60.94 1.7*4.43.1*37.2*0, 8
3. Οι μαθητές έλυσαν μια εργασία στην οποία έπρεπε να βρουν αριθμούς που λείπουν. Πήραν διαφορετικές απαντήσεις. Βρείτε τους κανόνες με τους οποίους τα παιδιά γέμισαν τα κελιά. Εργασία Απάντηση 1Απάντηση
Ορισμός αριθμητικής ακολουθίας Λένε ότι μια αριθμητική ακολουθία δίνεται εάν, σύμφωνα με κάποιο νόμο, κάθε φυσικός αριθμός (αριθμός τόπου) έχει εκχωρηθεί μοναδικά συγκεκριμένο αριθμό(μέλος ακολουθίας). ΣΕ γενική εικόναη υποδεικνυόμενη αντιστοιχία μπορεί να απεικονιστεί ως εξής: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... Ο αριθμός n είναι ο ν ο όρος της ακολουθίας . Ολόκληρη η ακολουθία συνήθως συμβολίζεται με (y n).
Αναλυτική μέθοδος προσδιορισμού αριθμητικών ακολουθιών Μια ακολουθία προσδιορίζεται αναλυτικά εάν έχει καθοριστεί ο τύπος του nου όρου. Για παράδειγμα, 1) y n= n 2 – αναλυτική εργασία της ακολουθίας 1, 4, 9, 16, … 2) y n= С – σταθερή (στάσιμη) ακολουθία 2) y n= 2 n – αναλυτική εργασία της ακολουθίας 2, 4 , 8, 16, ... Επίλυση 585
Επαναλαμβανόμενη μέθοδος καθορισμού αριθμητικών ακολουθιών Η επαναλαμβανόμενη μέθοδος προσδιορισμού μιας ακολουθίας είναι να υποδείξετε έναν κανόνα που σας επιτρέπει να υπολογίσετε τον ν ο όρος εάν τα προηγούμενα μέλη του είναι γνωστά 1) δίνεται μια αριθμητική πρόοδος από επαναλαμβανόμενες σχέσεις a 1 =a, a n+ 1 =a n + d 2 ) γεωμετρική πρόοδος – b 1 =b, b n+1 =b n * q
Στερέωση 591, 592 (α, β) 594, – 614 (α)
Οριοθετημένη από πάνω Μια ακολουθία (y n) λέγεται περιορισμένη από πάνω αν όλοι οι όροι της δεν είναι μεγαλύτεροι από έναν ορισμένο αριθμό. Με άλλα λόγια, η ακολουθία (y n) είναι άνω οριοθετημένη εάν υπάρχει ένας αριθμός M τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε n ισχύει η ανισότητα y n M είναι το άνω φράγμα της ακολουθίας. Για παράδειγμα, -1, -4, -9, -. 16, ..., -n 2, ...
Οριοθετημένη από κάτω Μια ακολουθία (y n) λέγεται περιορισμένη από κάτω αν όλοι οι όροι της είναι τουλάχιστον ένας συγκεκριμένος αριθμός. Με άλλα λόγια, η ακολουθία (y n) οριοθετείται από πάνω αν υπάρχει ένας αριθμός m τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε n ισχύει η ανισότητα y n m. m – κατώτερο όριο της ακολουθίας Για παράδειγμα, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …
Οριοθετημένος αριθμός ακολουθίας Μια ακολουθία (y n) ονομάζεται περιορισμένη εάν είναι δυνατόν να καθοριστούν δύο αριθμοί Α και Β μεταξύ των οποίων βρίσκονται όλα τα μέλη της ακολουθίας. Η ανισότητα Ay n B A είναι το κάτω όριο, το B είναι το άνω όριο, για παράδειγμα, το 1 είναι το άνω όριο, το 0 είναι το κάτω όριο
Φθίνουσα ακολουθία Μια ακολουθία ονομάζεται φθίνουσα αν κάθε μέλος είναι μικρότερο από το προηγούμενο: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Για παράδειγμα, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Για παράδειγμα,”> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Για παράδειγμα,”> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Για παράδειγμα," title="Ακολουθία μείωσης Μια ακολουθία ονομάζεται φθίνουσα αν κάθε μέλος είναι μικρότερο από το προηγούμενο: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n >...Για παράδειγμα,">
title="Φθίνουσα ακολουθία Μια ακολουθία ονομάζεται φθίνουσα αν κάθε μέλος είναι μικρότερο από το προηγούμενο: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Για παράδειγμα,">
!}
23
Εργασίες επαλήθευσηςΕπιλογή 1Επιλογή 2 1. Η αριθμητική ακολουθία δίνεται από τον τύπο α) Υπολογίστε τους τέσσερις πρώτους όρους αυτής της ακολουθίας β) Είναι ένας αριθμός μέλος της ακολουθίας; β) Ο αριθμός 12,25 είναι μέλος της ακολουθίας; 2. Δημιουργήστε έναν τύπο για τον όρο της ακολουθίας 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…
Θέμα: Ακολουθία αριθμών και τρόποι ορισμού τους
Κύριοι στόχοι και στόχοι του μαθήματος
Εκπαιδευτικό: εξηγήστε στους μαθητές τη σημασία των εννοιών sequence, nο μέλος της ακολουθίας. εισαγάγετε μεθόδους καθορισμού μιας ακολουθίας.
Αναπτυξιακή: ανάπτυξη ανεξαρτησίας, αλληλοβοήθεια κατά την εργασία σε ομάδα, ευφυΐα.
Εκπαιδευτικό: ενθάρρυνση της δραστηριότητας και της ακρίβειας, η ικανότητα να βλέπεις πάντα το καλό, ενσταλάσσοντας αγάπη και ενδιαφέρον για το θέμα
Αναμενόμενα αποτελέσματα από την κατάκτηση του θέματος
Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα αποκτήσουν νέες γνώσεις σχετικά με τις ακολουθίες αριθμών και τον τρόπο αντιστοίχισης τους. Θα μάθουν να βρίσκουν τη σωστή λύση, να δημιουργούν έναν αλγόριθμο λύσης και να τον χρησιμοποιούν όταν λύνουν προβλήματα. Μέσα από έρευνα θα ανακαλυφθούν κάποιες από τις ιδιότητές τους. Όλες οι εργασίες συνοδεύονται από διαφάνειες.
Καθολικές εκπαιδευτικές δραστηριότητες, ο σχηματισμός των οποίων στοχεύει στην εκπαιδευτική διαδικασία: ικανότητα εργασίας σε ομάδα, ανάπτυξη λογική σκέψη, την ικανότητα ανάλυσης, έρευνας, εξαγωγής συμπερασμάτων, υπεράσπισης της άποψής του. Διδάσκουν δεξιότητες επικοινωνίας και συνεργασίας. Η χρήση αυτών των τεχνολογιών συμβάλλει στην ανάπτυξη καθολικών μεθόδων δραστηριότητας και εμπειρίας μεταξύ των μαθητών δημιουργική δραστηριότητα, ικανότητα, επικοινωνιακές δεξιότητες.
Βασικές ιδέες μαθήματος
Νέες προσεγγίσεις στη διδασκαλία και τη μάθηση
- εκπαίδευση διαλόγου
- μαθαίνοντας πώς να μαθαίνω
Αξιολόγηση για μάθηση και αξιολόγηση μάθησης
Διδασκαλία της κριτικής σκέψης
Εκπαίδευση ταλαντούχων και προικισμένων παιδιών
Τύπος μαθήματος
Μελετώντας νέο θέμα
ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Εικαστικό (παρουσίαση), προφορικό (συνομιλία, επεξήγηση, διάλογος), πρακτικό.
Μορφές οργάνωσης εκπαιδευτικές δραστηριότητεςμελετώντας
μετωπικός; ομάδα; χαμάμ; άτομο.
Χρησιμοποιούνται διαδραστικές μέθοδοι διδασκαλίας
Αξιολόγηση από ομοτίμους, Αυτοαξιολόγηση, Ομαδική δουλειά, Ατομική δουλειά,
Αξιολογήσεις για μάθηση, ΤΠΕ, Διαφοροποιημένη μάθηση
Εφαρμογή ενοτήτων
Διδασκαλία πώς να μαθαίνει, Διδασκαλία κριτικής σκέψης, Αξιολογήσεις για μάθηση, Χρήση ΤΠΕ στη διδασκαλία και τη μάθηση, Διδασκαλία ταλαντούχων και προικισμένων παιδιών
Εξοπλισμός και υλικά
Σχολικό βιβλίο, Διαδραστικός πίνακας, προβολέας, παρουσίαση, μαρκαδόροι, wattmat A3, χάρακας, χρωματιστά μολύβια, αυτοκόλλητα, emoticons
Βήματα μαθήματος
ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Προβλεπόμενα αποτελέσματα
Δημιουργία περιβάλλοντος συνεργασίας
Οργάνωση χρόνου
(Καλωσόρισμα μαθητών, εντοπισμός απουσιών, έλεγχος της ετοιμότητας των μαθητών για το μάθημα, οργάνωση της προσοχής).
Χωρισμός σε ομάδες.
εισαγωγήδασκάλους
Παραβολή «Όλα είναι στα χέρια σου»
Μια φορά κι έναν καιρό, σε μια πόλη, ζούσε ένας μεγάλος σοφός. Η φήμη της σοφίας του απλώθηκε πολύ γύρω του ιδιαίτερη πατρίδα, του έρχονταν άνθρωποι από μακριά για συμβουλές. Αλλά υπήρχε ένας άντρας στην πόλη που ζήλευε τη δόξα του. Μια φορά ήρθε σε ένα λιβάδι, έπιασε μια πεταλούδα, τη φύτεψε ανάμεσα στις κλειστές του παλάμες και σκέφτηκε: «Αφήστε με να πάω στον σοφό και να τον ρωτήσω: πες μου, ω σοφέ, ποια πεταλούδα είναι στα χέρια μου - ζωντανή ή νεκρή; Αν πει νεκρός, θα ανοίξω τις παλάμες μου, η πεταλούδα θα πετάξει, αν πει ζωντανός, θα κλείσω τις παλάμες μου και η πεταλούδα θα πεθάνει. Τότε όλοι θα καταλάβουν ποιος από εμάς είναι πιο έξυπνος». Έτσι έγιναν όλα. Ένας φθονερός άνδρας ήρθε στην πόλη και ρώτησε τον σοφό: «Πες μου, ω σοφέ, ποια πεταλούδα είναι στα χέρια μου - ζωντανή ή νεκρή;» Τότε ο σοφός, ποιος ήταν έξυπνος άνθρωπος, είπε: «Όλα είναι στα χέρια σου»
Πλήρης ετοιμότητα της τάξης και ο εξοπλισμός του μαθήματος για εργασία. γρήγορη ενσωμάτωση της τάξης στον επιχειρηματικό ρυθμό, οργανώνοντας την προσοχή όλων των μαθητών
Ο σκοπός του μαθήματος και οι εκπαιδευτικοί στόχοι του μαθήματος θα διατυπωθούν ξεκάθαρα και ξεκάθαρα μαζί με τους μαθητές.
Κύριο μέρος του μαθήματος
Προετοιμασία των μαθητών για ενεργητική, συνειδητή μάθηση.
Ποια γεγονότα στη ζωή μας συμβαίνουν διαδοχικά; Δώστε παραδείγματα τέτοιων φαινομένων και γεγονότων.
Απαντήσεις μαθητών:
ημέρες της εβδομάδας,
ονόματα μηνών,
την ηλικία του ατόμου,
αριθμός τραπεζικού λογαριασμού,
υπάρχει μια διαδοχική αλλαγή ημέρας και νύχτας,
το αυτοκίνητο ανεβάζει ταχύτητα διαδοχικά, τα σπίτια στο δρόμο αριθμούνται διαδοχικά κ.λπ.
Εργασία για ομάδες:
Εργασία σε ομάδες, διαφοροποιημένη προσέγγιση
Κάθε ομάδα λαμβάνει το δικό της έργο. Μετά την ολοκλήρωσή του, κάθε ομάδα αναφέρεται στην τάξη, ξεκινούν οι μαθητές της ομάδας 1.
Εργασία για ομάδες:
Ζητείται από τους μαθητές να βρουν σχέδια και να τα δείξουν με ένα βέλος.
Εργασία για μαθητές των ομάδων 1 και 2:
1ος όμιλος:
Σε αύξουσα σειρά θετική περιττοί αριθμοί
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6
Με φθίνουσα σειρά, σωστά κλάσματα με αριθμητή ίσο με 1
5; 10; 15; 20; 25;
Σε αύξουσα σειρά, θετικοί αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 5
1; 3; 5; 7; 9;
Ομάδα 2: βρείτε μοτίβα
6; 8; 16; 18; 36;
Αύξηση κατά 3
10; 19; 37; 73; 145;
Εναλλασσόμενη μεγέθυνση κατά 2 και μεγέθυνση κατά 2 φορές
1; 4; 7; 10; 13;
Αύξηση κατά 2 φορές και μείωση κατά 1
Απαντήσεις στην ομάδα 1:
Σε αύξουσα σειρά, θετικοί περιττοί αριθμοί (1; 3; 5; 7; 9;)
Με φθίνουσα σειρά, σωστά κλάσματα με αριθμητή ίσο με 1 (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6)
Σε αύξουσα σειρά, θετικοί αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 5 (5; 10; 15; 20; 25;)
Απαντήσεις σε 2 ομάδες:
1; 4; 7; 10; 13; (Αύξηση κατά 3)
10; 19; 37; 73; 145; (Αύξηση κατά 2 και μείωση κατά 1)
6; 8; 16; 18; 36; (Εναλλακτική μεγέθυνση 2x και μεγέθυνση 2x)
Εκμάθηση νέου υλικού
- Τι καταλαβαίνεις από τη λέξη ακόμη;
- Δώσε ένα παράδειγμα;
- Τώρα πείτε αρκετούς ζυγούς αριθμούς στη σειρά
- Πες μας τώρα για τους περιττούς αριθμούς;
- ονομάστε διαδοχικούς μη ζυγούς αριθμούς
ΜΠΡΑΒΟ!
Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια ακολουθία ονομάζονται, αντίστοιχα, οι πρώτοι, δεύτεροι, τρίτοι κ.λπ., nοοι όροι της ακολουθίας.
Τα μέλη της ακολουθίας ορίζονται ως εξής:
Α'1; Α2; a3; a4; аn;
Οι ακολουθίες μπορεί να είναι πεπερασμένες ή άπειρες, αυξανόμενες ή φθίνουσες.
Εργασία σε ένα flipchart
xn=3n+2, λοιπόν
x5=3,5+2=17;
x45=3,45+2=137.
Επαναλαμβανόμενη μέθοδος
Ένας τύπος που εκφράζει οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας, ξεκινώντας από κάποια, μέχρι τα προηγούμενα (ένα ή περισσότερα), ονομάζεται επαναλαμβανόμενος (από τη λατινική λέξη recurro - επιστροφή).
Για παράδειγμα, η ακολουθία που καθορίζεται από τον κανόνα
a1=1; αn+1= και +3
μπορεί να γραφτεί με έλλειψη:
1; 4; 7; 10; 13;
Φυσική αγωγή 1,2,3,4,5,6,7, ...
4. Εμπέδωση του υλικού που μελετήθηκε (εργασία σε ζευγάρια, διαφοροποιημένη προσέγγιση)
Κάθε ομάδα λαμβάνει ατομική εργασίαπου εκτελούν ανεξάρτητα. Όταν ολοκληρώνουν τις εργασίες, τα παιδιά συζητούν τη λύση και τη γράφουν σε ένα τετράδιο.
Δοσμένες ακολουθίες:
аn=n4 ; аn=(-1)nn2 ; аn=n +4; аn=-n-4; аn=2n -5; аn=3n -1.
Εργασία για μαθητές της ομάδας 1: Οι ακολουθίες δίνονται με τύπους. Συμπληρώστε τα μέλη της ακολουθίας που λείπουν:
1; ___; 81; ___; 625; ...
-1; 4; ___; ___; -25;
5; ___; ___; ___; 9;
___; -6; ___; ___ ; -9;
___; ___; 3; 11; ___;
2; 8; ___; ___; ___;
Ασκηση:
Να γράψετε τους πέντε πρώτους όρους της ακολουθίας που δίνεται από τον τύπο του ντος όρου της.
Εργασία για μαθητές της ομάδας:
Προσδιορίστε ποιοι αριθμοί είναι τα μέλη αυτών των ακολουθιών και συμπληρώστε τον πίνακα.
Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί
Θετικοί αριθμοί
Αρνητικοί αριθμοί
Εργασία με τα σχολικά βιβλία Νο. 148, Νο. 151
Εργασίες επαλήθευσης
1. Η ακολουθία δίνεται με τον τύπο an=5n+2. Με τι ισούται ο τρίτος όρος του;
α) 3 β) 17 γ) 12 δ) 22
2. Γράψτε τους 5 πρώτους όρους της ακολουθίας που δίνεται από τον τύπο an=n-3
α) -3,-2,-1,0,1 β) -2,-1,0,1,2
γ) 0,-2,-4,-16,-50 δ) 1,2,3,4,5
3. Βρείτε το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της αριθμητικής ακολουθίας: 2,4,6,8,
α) 66 β) 36 γ) 32 δ) 42
4. Ποια από τις παρακάτω ακολουθίες είναι απείρως φθίνουσα:
α) β) 2,4,6,8,
γ) δ)
Απαντήσεις: 1) β 2) β 3) δ 4) δ
Ζωντανή επικοινωνία με τον δάσκαλο
Οι μαθητές βρίσκουν απαντήσεις στις ερωτήσεις που τίθενται.
Οι μαθητές μαθαίνουν να αναλύουν και να βγάζουν συμπεράσματα.
Η γνώση σχηματίζεται για το πώς να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων με μία μεταβλητή
Σωστές απαντήσεις στη διαδικασία του διαλόγου, της επικοινωνίας, της δραστηριότητας των μαθητών
Οι μαθητές ολοκληρώνουν την εργασία
Λύστε μόνοι σας, ελέγξτε τις διαφάνειες.
Δεν θα φοβούνται τα λάθη.
www. Bilimland.kz
Οι μαθητές συζητούν, εργάζονται σε μια ομάδα, διαβουλεύονται με τον δάσκαλο, χαρισματικά παιδιά
Οι μαθητές σε εργασία σε ζευγάρια συζητούν και βρίσκουν τις σωστές λύσεις στην εργασία.
Οι μαθητές αξιολογούν την εργασία μιας άλλης ομάδας και δίνουν βαθμό. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι το υλικό που μελετήθηκε έχει κατακτηθεί.
Η αναπαραγωγική δραστηριότητα ενός μαθητή είναι, πρώτα απ' όλα, η δραστηριότητα ενός μαθητή που αναπαράγει σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο, ο οποίος οδηγεί στο απαιτούμενο αποτέλεσμα.
Αντανάκλαση
Ανακεφαλαίωση
Έτσι, εξετάσαμε την έννοια της ακολουθίας και πώς να την ορίσουμε.
Δώστε παραδείγματα ακολουθίας αριθμών: πεπερασμένη και άπειρη.
Ποιες μεθόδους ρύθμισης μιας ακολουθίας γνωρίζετε;
Ποιος τύπος ονομάζεται επαναλαμβανόμενος;
Συνοψίστε το μάθημα και σημειώστε τους πιο δραστήριους μαθητές. Ευχαριστώ τους μαθητές για την εργασία τους στην τάξη.
Οι μαθητές κολλούν σημειώσεις σε αυτοκόλλητα,
για όσα έμαθαν
τι καινούργιο έμαθαν;
πώς κατάλαβες το μάθημα;
σου άρεσε το μάθημα;
πώς ένιωσαν στο μάθημα.
Εργασία για το σπίτι.
9 №150, №152
Σωστές απαντήσεις κατά τη διάρκεια του διαλόγου, δραστηριότητα μαθητή
Δεν θα υπάρξουν δυσκολίες όταν κάνετε τις εργασίες για το σπίτι
Περιοχή Atyrau
Περιοχή Indersky
Χωριό Esbol
σχολείο που πήρε το όνομά του από τον Zhambyl
καθηγητής μαθηματικών
υψηλότερη κατηγορία,
πιστοποιημένος δάσκαλος
Προχωρημένο επίπεδο
Iskakova Svetlana Slambekovna
| Μάθημα Νο 32 ΑΛΓΕΒΡΑ | Καθηγήτρια μαθηματικών, πρώτη κατηγορία Olga Viktorovna Gaun. Περιοχή Ανατολικού Καζακστάν Περιοχή Glubokovsky KSU "Cheremshanskaya" Λύκειο» |
| Θέμα: Ακολουθία αριθμών και μέθοδοι για τον καθορισμό του |
|
| Κύριοι στόχοι και στόχοι του μαθήματος | Εκπαιδευτικός: Εξηγήστε στους μαθητές τη σημασία των εννοιών «ακολουθία», «ητο μέλος της ακολουθίας». εισαγάγετε μεθόδους καθορισμού μιας ακολουθίας. Αναπτυξιακή I: ανάπτυξη δεξιοτήτων λογικής σκέψης. ανάπτυξη υπολογιστικών δεξιοτήτων· πολιτιστική ανάπτυξη προφορικός λόγος, ανάπτυξη επικοινωνίας και συνεργασίας.Εκπαιδευτικός : εκπαίδευση παρατηρητικότητας, ενστάλαξη αγάπης και ενδιαφέροντος για το αντικείμενο. |
| Αναμενόμενα αποτελέσματα από την κατάκτηση του θέματος | Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα αποκτήσουν νέες γνώσεις σχετικά με τις ακολουθίες αριθμών και τον τρόπο αντιστοίχισης τους. Θα μάθουν να βρίσκουν τη σωστή λύση, να δημιουργούν έναν αλγόριθμο λύσης και να τον χρησιμοποιούν όταν λύνουν προβλήματα. Μέσα από έρευνα θα ανακαλυφθούν κάποιες από τις ιδιότητές τους. Όλες οι εργασίες συνοδεύονται από διαφάνειες. Η χρήση των ΤΠΕ θα καταστήσει δυνατή τη διεξαγωγή ενός ζωντανού μαθήματος, την ολοκλήρωση μεγάλου όγκου εργασίας και τα παιδιά θα έχουν ειλικρινές ενδιαφέρον και συναισθηματική αντίληψη. Οι χαρισματικοί μαθητές θα κάνουν μια παρουσίαση για τους αριθμούς Fibonacci και τη χρυσή τομή. Καθολικές εκπαιδευτικές δραστηριότητες, ο σχηματισμός των οποίων στοχεύει στην εκπαιδευτική διαδικασία: ικανότητα εργασίας σε ζευγάρια, ανάπτυξη λογικής σκέψης, ικανότητα ανάλυσης, έρευνας, εξαγωγής συμπερασμάτων, υπεράσπισης της άποψής του. Διδάσκουν δεξιότητες επικοινωνίας και συνεργασίας. Η χρήση αυτών των τεχνολογιών συμβάλλει στην ανάπτυξη των καθολικών μεθόδων δραστηριότητας, της δημιουργικής εμπειρίας, της ικανότητας και των επικοινωνιακών δεξιοτήτων των μαθητών. |
| Βασικές ιδέες μαθήματος | Νέες προσεγγίσεις στη διδασκαλία και τη μάθηση Εκπαίδευση διαλόγου Μαθαίνοντας πώς να μαθαίνεις Διδασκαλία της κριτικής σκέψης Εκπαίδευση ταλαντούχων και προικισμένων παιδιών |
| Τύπος μαθήματος | Εκμάθηση ενός νέου θέματος |
| ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ | Εικαστικό (παρουσίαση), προφορικό (συνομιλία, επεξήγηση, διάλογος), πρακτικό. |
| Μορφές οργάνωσης εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων μαθητών | μετωπικός; χαμάμ; άτομο. |
ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Οργάνωση χρόνου
(Καλωσόρισμα μαθητών, εντοπισμός απουσιών, έλεγχος της ετοιμότητας των μαθητών για το μάθημα, οργάνωση της προσοχής).
Κίνητρο μαθήματος.
«Οι αριθμοί κυβερνούν τον κόσμο», είπαν οι αρχαίοι Έλληνες επιστήμονες. «Όλα είναι ένας αριθμός». Σύμφωνα με τη φιλοσοφική τους κοσμοθεωρία, οι αριθμοί διέπουν όχι μόνο το μέτρο και το βάρος, αλλά και τα φαινόμενα που συμβαίνουν στη φύση, και αποτελούν την ουσία της αρμονίας που βασιλεύει στον κόσμο. Σήμερα στην τάξη θα συνεχίσουμε να δουλεύουμε με αριθμούς.
Εισαγωγή στο θέμα, εκμάθηση νέου υλικού.
Ας δοκιμάσουμε τις λογικές σας ικανότητες. Αναφέρω λίγα λόγια και πρέπει να συνεχίσετε:
–Δευτέρα Τρίτη,…..
– Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος…;
– Aliev, Gordeeva, Gribacheva... (κατάλογος τάξης).
–10,11,12,…99;
Συμπέρασμα: Πρόκειται για ακολουθίες, δηλαδή για κάποιες διατεταγμένες σειρές αριθμών ή εννοιών, όταν κάθε αριθμός ή έννοια στέκεται αυστηρά στη θέση του. Άρα, το θέμα του μαθήματος είναι η συνέπεια.
Σήμερα θα το κάνουμεμιλήστε για τα είδη και τα συστατικά των ακολουθιών αριθμών, καθώς και για τους τρόπους αντιστοίχισης τους.Θα συμβολίσουμε τις ακολουθίες ως εξής: (аn), (bn), (сn) κ.λπ.
Και τώρα σας προσφέρω την πρώτη εργασία: μπροστά σας είναι μερικές αριθμητικές ακολουθίες και μια λεκτική περιγραφή αυτών των ακολουθιών. Πρέπει να βρείτε το μοτίβο κάθε σειράς και να το συσχετίσετε με την περιγραφή. (εμφάνιση με βέλος)(Αμοιβαίος έλεγχος)
Οι σειρές που εξετάσαμε είναι παραδείγματαακολουθίες αριθμών .
Τα στοιχεία που σχηματίζουν μια ακολουθία ονομάζονταιμέλη της ακολουθίας
Καιονομάζονται αντίστοιχα πρώτος, δεύτερος, τρίτος,...n- αριθμητικά μέλη της ακολουθίας. Τα μέλη της ακολουθίας ορίζονται ως εξής:ΕΝΑ
1
; ΕΝΑ
2
; ΕΝΑ
3
; ΕΝΑ
4
; … ΕΝΑ
n
; Οπου
n
- αριθμός
, κάτω από την οποία δεδομένου αριθμούείναι με τη σειρά.
Οι ακόλουθες ακολουθίες καταγράφονται στην οθόνη:
(
Χρησιμοποιώντας τις παρατιθέμενες ακολουθίες, επεξεργάζεται τη μορφή σημειογραφίας του μέλους ακολουθίας a
n
, και τις έννοιες προηγούμενων και μεταγενέστερων όρων
)
.
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16
,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .
Όνομα α 1 για κάθε ακολουθία και 3 και τα λοιπά. Θα μπορούσατε να συνεχίσετε κάθε μία από αυτές τις σειρές; Τι χρειάζεται να γνωρίζετε για αυτό;
Ας δούμε μερικές ακόμη έννοιες όπωςμεταγενέστερες και προηγούμενες .
(για παράδειγμα, για α 5…, και για α n ?) - εγγραφή στη διαφάνειαένα n +1, ένα n -1
Τύποι ακολουθιών
(
Χρησιμοποιώντας τις αλληλουχίες που αναφέρονται παραπάνω, αναπτύσσεται η ικανότητα αναγνώρισης τύπων αλληλουχιών.
)
1) Αύξηση - εάν κάθε όρος είναι μικρότερος από τον επόμενο, δηλ.ένα
n
<
ένα
n
+1.
2) Μείωση – αν κάθε όρος είναι μεγαλύτερος από τον επόμενο, δηλ.ένα
n
>
ένα
n
+1
.
3) Άπειρο
4) Τελικό
5) Εναλλασσόμενο
6) Σταθερό (στάσιμο)
Προσπαθήστε να ορίσετεκάθε είδος και χαρακτηρίζουν κάθε μία από τις προτεινόμενες αλληλουχίες.
Προφορικές εργασίες
Όνομα στη σειρά 1. 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) όροι α 1 ; ΕΝΑ 4 ; ΕΝΑ 10 ; ΕΝΑ n ;
Είναι πεπερασμένη η ακολουθία των τετραψήφιων αριθμών; (Ναί)
Ονομάστε τα πρώτα και τα τελευταία μέλη του. (Απάντηση: 1000; 9999)
Είναι η σειρά γραφής των αριθμών 2; 4; 7; 1; -21; -15; ...; (όχι, γιατί είναι αδύνατο να ανιχνευθεί οποιοδήποτε μοτίβο από τους πρώτους έξι όρους)
Φυσική παύση (σχετίζεται επίσης με το θέμα του σημερινού μαθήματος: ο έναστρος ουρανός, οι πλανήτες του ηλιακού συστήματος... ποια είναι η σύνδεση;)
Μέθοδοι καθορισμού αλληλουχιών
1) λεκτική - ορισμός μιας σειράς με περιγραφή.
2) αναλυτικό - τύποςn
-ο μέλος;
3) γραφικό - χρησιμοποιώντας ένα γράφημα.
4) επαναλαμβανόμενο - οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας, ξεκινώντας από ένα ορισμένο σημείο, εκφράζεται με βάση τα προηγούμενα
Σήμερα στο μάθημα θα δούμε τις δύο πρώτες μεθόδους. Ετσι,προφορικός
τρόπος. Ίσως κάποιοι από εσάς να προσπαθήσετε να ορίσετε κάποιο είδος ακολουθίας;
(Για παράδειγμα:Να φτιάξετε μια ακολουθία περιττών φυσικών αριθμών
. Περιγράψτε αυτήν την ακολουθία: αυξανόμενη, άπειρη)
Αναλυτικός
μέθοδος: χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον ν ο όρο της ακολουθίας.
Ο γενικός τύπος όρου σας επιτρέπει να υπολογίσετε τον όρο μιας ακολουθίας με οποιονδήποτε δεδομένο αριθμό. Για παράδειγμα, αν x n =3n+2, λοιπόν
Χ 1 =3*1+2=5;
Χ 2 =3*2+2=8
Χ 5 =3 . 5+2=17;
Χ 45 =3 . 45+2=137 κ.λπ. Ποιο είναι λοιπόν το πλεονέκτημααναλυτικός πολύ πρινπροφορικός ?
Και σας προσφέρω την ακόλουθη εργασία: δίνονται τύποι για τον καθορισμό ορισμένων ακολουθιών και οι ίδιες οι ακολουθίες που σχηματίζονται σύμφωνα με αυτούς τους τύπους. Από αυτές τις ακολουθίες λείπουν ορισμένοι όροι. Το καθήκον σας,δουλεύοντας σε ζευγάρια , συμπληρωνω τα κενα.
Τεστ αυτοαξιολογισης (η σωστή απάντηση εμφανίζεται στη διαφάνεια)
Εκτέλεση δημιουργικό έργο"Αριθμοί Fibonacci" (προχωρημένη εργασία )
Σήμερα θα γνωρίσουμε την περίφημη σεκάνς:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (Διαφάνεια) Κάθε αριθμός, ξεκινώντας από τον τρίτο, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτή η σειρά φυσικών αριθμών, που έχει τη δική της ιστορικό όνομα– η σειρά Fibonacci έχει τη δική της λογική και ομορφιά. Λεονάρντο Φιμπονάτσι (1180-1240). Εξέχων Ιταλός μαθηματικός, συγγραφέας του βιβλίου του Άβακα. Αυτό το βιβλίο παρέμεινε η κύρια αποθήκη πληροφοριών για την αριθμητική και την άλγεβρα για αρκετούς αιώνες. Μέσα από τα έργα του Λ. Φιμπονάτσι ολόκληρη η Ευρώπη κατέκτησε τους αραβικούς αριθμούς, το σύστημα μέτρησης, καθώς και την πρακτική γεωμετρία. Παρέμειναν επιτραπέζια σχολικά βιβλία σχεδόν μέχρι την εποχή του Ντεκάρτ (και αυτός είναι ήδη ο 17ος αιώνας!).
Παρακολούθηση βίντεο.
Πιθανότατα δεν καταλαβαίνετε καλά ποια είναι η σύνδεση μεταξύ της σπείρας και της σειράς Fibonacci. Θα σας δείξω λοιπόν πώς γίνεται .
Αν χτίσουμε δύο τετράγωνα δίπλα-δίπλα με την πλευρά 1, στη συνέχεια στη μεγαλύτερη πλευρά ίση με 2 την άλλη, στη συνέχεια στη μεγαλύτερη πλευρά ίση με 3 ένα άλλο τετράγωνο επί άπειρο... Στη συνέχεια, σε κάθε τετράγωνο, ξεκινώντας από το μικρότερο, χτίστε ένα τέταρτο τόξου, θα πάρουμε τη σπείρα για την οποία μιλάμε ομιλία στην ταινία.
στην πραγματικότητα πρακτική χρήσηγνώσεις που αποκτήθηκαν σε αυτό το μάθημα πραγματική ζωήαρκετά μεγάλο. Πριν από εσάς είναι αρκετές εργασίες από διαφορετικά επιστημονικά πεδία.
Εργασία 1.
16, 15, 18, … (17, 20, 19)
1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)
33, 31, 32, … (30, 31, 29)
Εργο 2.
(Οι απαντήσεις των μαθητών αναγράφονται στον πίνακα: 500, 530, 560, 590, 620).
Εργασία 3.
Εργασία 4. Κάθε μέρα, κάθε άτομο με γρίπη μπορεί να μολύνει 4 άτομα γύρω του. Σε πόσες μέρες θα αρρωστήσουν όλοι οι μαθητές του σχολείου μας (300 άτομα); (Μετά από 4 ημέρες).
Πρόβλημα 5
. Πόσα βακτήρια χολέρας κοτόπουλου θα εμφανιστούν σε 10 ώρες αν ένα βακτήριο διαιρείται στο μισό κάθε ώρα;
Πρόβλημα 6
. Η πορεία των λουτρών αέρα ξεκινά με 15 λεπτά την πρώτη ημέρα και αυξάνει τον χρόνο αυτής της διαδικασίας κάθε επόμενη ημέρα κατά 10 λεπτά. Πόσες ημέρες πρέπει να κάνετε αερόλουτρα στην υποδεικνυόμενη λειτουργία για να επιτύχετε τη μέγιστη διάρκειά τους 1 ώρα 45 λεπτά; (
10)
Πρόβλημα 7 . Στην ελεύθερη πτώση, ένα σώμα διανύει 4,8 μέτρα το πρώτο δευτερόλεπτο και 9,8 μέτρα περισσότερα σε κάθε επόμενο δευτερόλεπτο. Βρείτε το βάθος του άξονα εάν ένα σώμα που πέφτει ελεύθερα φτάσει στον πυθμένα του 5 δευτερόλεπτα μετά την έναρξη της πτώσης.
Πρόβλημα 8 . Ο πολίτης Κ. άφησε διαθήκη. Ξόδεψε 1.000 $ τον πρώτο μήνα και κάθε επόμενο μήνα ξόδευε $500 περισσότερα. Πόσα χρήματα κληροδοτήθηκαν στον πολίτη Κ. αν είναι αρκετά για 1 χρόνο άνετης ζωής; (45000)
Η μελέτη των παρακάτω θεμάτων σε αυτό το κεφάλαιο της «Πρόοδος» θα μας επιτρέψει να λύσουμε τέτοια προβλήματα γρήγορα και χωρίς σφάλματα.
Εργασία για το σπίτι: σελ.66 Αρ. 151, 156, 157
Δημιουργική εργασία: μήνυμα για το τρίγωνο του Πασκάλ
Ανακεφαλαίωση. Αντανάκλαση. (αξιολόγηση «αύξησης» γνώσεων και επίτευξης στόχων)
Ποιος ήταν ο σκοπός του σημερινού μαθήματος;
Έχει επιτευχθεί ο στόχος;
Συνεχίστε τη δήλωση
Δεν ήξερα….
Τώρα ξέρω…
Προβλήματα στην πρακτική εφαρμογή των ιδιοτήτων των ακολουθιών (προόδους)
Εργασία 1. Συνεχίστε την ακολουθία των αριθμών:
16, 15, 18, …
1, 2, 2, 4, 8, …
33, 31, 32, …
Εργασία 2. Υπάρχουν 500 τόνοι άνθρακα στην αποθήκη, 30 τόνοι παραδίδονται κάθε μέρα Πόσο κάρβουνο θα υπάρχει στην αποθήκη σε 1 ημέρα; Ημέρα 2; 3η μέρα; 4η μέρα; 5η μέρα;
Εργασία 3. Ένα αυτοκίνητο, που κινούνταν με ταχύτητα 1 m/s, άλλαζε την ταχύτητά του κατά 0,6 m/s για κάθε επόμενο δευτερόλεπτο. Τι ταχύτητα θα έχει μετά από 10 δευτερόλεπτα;
Πρόβλημα 4 . Κάθε μέρα, κάθε άτομο με γρίπη μπορεί να μολύνει 4 άτομα γύρω του. Σε πόσες μέρες θα αρρωστήσουν όλοι οι μαθητές του σχολείου μας (300 άτομα);
Εργασία 5. Πόσα βακτήρια χολέρας κοτόπουλου θα εμφανιστούν σε 10 ώρες αν ένα βακτήριο διαιρείται στο μισό κάθε ώρα;
Εργασία 6. Η πορεία των λουτρών αέρα ξεκινά με 15 λεπτά την πρώτη ημέρα και αυξάνει τον χρόνο αυτής της διαδικασίας κάθε επόμενη ημέρα κατά 10 λεπτά. Πόσες ημέρες πρέπει να κάνετε αερόλουτρα στην υποδεικνυόμενη λειτουργία για να επιτύχετε τη μέγιστη διάρκειά τους 1 ώρα 45 λεπτά;
Εργασία 7. Στην ελεύθερη πτώση, ένα σώμα διανύει 4,8 μέτρα το πρώτο δευτερόλεπτο και 9,8 μέτρα περισσότερα σε κάθε επόμενο δευτερόλεπτο. Βρείτε το βάθος του άξονα εάν ένα σώμα που πέφτει ελεύθερα φτάσει στον πυθμένα του 5 δευτερόλεπτα μετά την έναρξη της πτώσης.
Εργασία 8. Ο πολίτης Κ. άφησε διαθήκη. Ξόδεψε 1.000 $ τον πρώτο μήνα και κάθε επόμενο μήνα ξόδευε $500 περισσότερα. Πόσα χρήματα κληροδοτήθηκαν στον πολίτη Κ. αν είναι αρκετά για 1 χρόνο άνετης ζωής;