Το σχήμα δείχνει τη γωνία κλίσης της ευθείας γραμμής και δείχνει την τιμή της κλίσης στο διάφορες επιλογέςτη θέση της γραμμής σε σχέση με το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
Η εύρεση της κλίσης μιας ευθείας γραμμής με γνωστή γωνία κλίσης ως προς τον άξονα Ox δεν παρουσιάζει δυσκολίες. Για να γίνει αυτό, αρκεί να θυμηθούμε τον ορισμό του γωνιακού συντελεστή και να υπολογίσουμε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης.
Παράδειγμα.
Να βρείτε την κλίση μιας ευθείας αν η γωνία κλίσης της ως προς τον άξονα της τετμημένης είναι ίση με .
Λύση.
Κατά συνθήκη. Στη συνέχεια, εξ ορισμού της κλίσης μιας ευθείας γραμμής, υπολογίζουμε 
.
Απάντηση:
Το έργο της εύρεσης της γωνίας κλίσης μιας ευθείας προς τον άξονα x με γνωστή κλίση είναι λίγο πιο περίπλοκο. Εδώ είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το σημάδι της κλίσης. Όταν η γωνία κλίσης της ευθείας είναι οξεία και βρίσκεται ως . Όταν η γωνία κλίσης της ευθείας είναι αμβλεία και μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο 
.
Παράδειγμα.
Προσδιορίστε τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα της τετμημένης αν η κλίση της είναι ίση με 3.
Λύση.
Εφόσον κατά συνθήκη ο γωνιακός συντελεστής είναι θετικός, η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox είναι οξεία. Το υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο.
Απάντηση:
Παράδειγμα.
Η κλίση της ευθείας είναι . Προσδιορίστε τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox.
Λύση.
Ας υποδηλώσουμε k είναι ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας, - η γωνία κλίσης αυτής της ευθείας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox. Επειδή 
, τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο για να βρούμε τη γωνία κλίσης της ευθείας της παρακάτω φόρμας . Αντικαθιστούμε τα δεδομένα από τη συνθήκη σε αυτήν: .
Απάντηση:
Εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή.
Εξίσωση ευθείας με κλίσηέχει τη μορφή , όπου k είναι η κλίση της ευθείας, b είναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση μιας ευθείας με έναν γωνιακό συντελεστή, μπορείτε να καθορίσετε οποιαδήποτε ευθεία που δεν είναι παράλληλη με τον άξονα Oy (για μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων, ο γωνιακός συντελεστής δεν ορίζεται).
Ας κατανοήσουμε την έννοια της φράσης: "μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο σε ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων δίνεται από μια εξίσωση με γωνιακό συντελεστή της μορφής "." Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας και δεν ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε άλλου σημείου στο επίπεδο. Έτσι, εάν κατά την αντικατάσταση των συντεταγμένων ενός σημείου προκύπτει η σωστή ισότητα, τότε η ευθεία διέρχεται από αυτό το σημείο. Διαφορετικά, η ουσία δεν βρίσκεται στη γραμμή.
Παράδειγμα.
Η ευθεία δίνεται από μια εξίσωση με κλίση. Σε αυτή τη γραμμή ανήκουν και τα σημεία;
Λύση.
Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου στην αρχική εξίσωση της ευθείας με την κλίση: 
. Λάβαμε τη σωστή ισότητα, επομένως, το σημείο M 1 βρίσκεται στη γραμμή.
Όταν αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες ενός σημείου, παίρνουμε μια εσφαλμένη ισότητα: 
. Έτσι, το σημείο M 2 δεν βρίσκεται στη γραμμή.
Απάντηση:
Τελεία Το Μ 1 ανήκει στη γραμμή, το Μ 2 όχι.
Πρέπει να σημειωθεί ότι μια ευθεία που ορίζεται από την εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή διέρχεται από το σημείο, αφού όταν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες της στην εξίσωση προκύπτει η σωστή ισότητα: .
Έτσι, η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με έναν γωνιακό συντελεστή ορίζει στο επίπεδο μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο και σχηματίζει μια γωνία με τη θετική κατεύθυνση του άξονα της τετμημένης, και .
Για παράδειγμα, ας απεικονίσουμε μια ευθεία γραμμή που ορίζεται από την εξίσωση μιας ευθείας με έναν γωνιακό συντελεστή της μορφής . Αυτή η γραμμή διέρχεται από ένα σημείο και έχει κλίση 
ακτίνια (60 μοίρες) προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox. Η κλίση του είναι ίση με .
Εξίσωση ευθείας με κλίση που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο.
Τώρα ας αποφασίσουμε πολύ σημαντικό έργο: παίρνουμε την εξίσωση μιας ευθείας με δεδομένη κλίση k και που διέρχεται από το σημείο.
Εφόσον η γραμμή διέρχεται από το σημείο, η ισότητα είναι αληθής 
. Δεν γνωρίζουμε τον αριθμό β. Για να απαλλαγούμε από αυτό, αφαιρούμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης της ευθείας με τον συντελεστή κλίσης, αντίστοιχα. Σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε 
. Αυτή η ισότητα είναι εξίσωση ευθείας με δεδομένη κλίση k, που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο.
Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα.
Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο, η κλίση αυτής της ευθείας είναι -2.
Λύση.
Από την κατάσταση που έχουμε 
. Τότε η εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή θα πάρει τη μορφή .
Απάντηση:
Παράδειγμα.
Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας αν είναι γνωστό ότι διέρχεται από ένα σημείο και η γωνία κλίσης προς τη θετική φορά του άξονα Ox είναι ίση με .
Λύση.
Αρχικά, ας υπολογίσουμε την κλίση της γραμμής της οποίας την εξίσωση αναζητούμε (λύσαμε αυτό το πρόβλημα στην προηγούμενη παράγραφο αυτού του άρθρου). Α-πριό 
. Τώρα έχουμε όλα τα δεδομένα για να γράψουμε την εξίσωση μιας ευθείας με συντελεστή γωνίας:
Απάντηση:
Παράδειγμα.
Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή που διέρχεται από σημείο παράλληλο προς την ευθεία.
Λύση.
Προφανώς, οι γωνίες κλίσης των παράλληλων ευθειών προς τον άξονα Ox συμπίπτουν (αν χρειάζεται, βλέπε το άρθρο παραλληλισμός ευθειών), επομένως, οι γωνιακοί συντελεστές των παράλληλων ευθειών είναι ίσοι. Τότε η κλίση της ευθείας, την εξίσωση της οποίας πρέπει να λάβουμε, είναι ίση με 2, αφού η κλίση της ευθείας είναι ίση με 2. Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε την απαιτούμενη εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με κλίση:
Απάντηση:
Μετάβαση από την εξίσωση ευθείας με συντελεστή γωνίας σε άλλους τύπους εξίσωσης ευθείας και αντίστροφα.
Παρά την εξοικείωση, η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με έναν γωνιακό συντελεστή δεν είναι πάντα βολική στη χρήση κατά την επίλυση προβλημάτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις, τα προβλήματα επιλύονται ευκολότερα όταν η εξίσωση μιας γραμμής παρουσιάζεται με διαφορετική μορφή. Για παράδειγμα, η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με έναν γωνιακό συντελεστή δεν σας επιτρέπει να γράψετε αμέσως τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας γραμμής ή τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας γραμμής. Επομένως, θα πρέπει να μάθετε να μετακινείστε από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με συντελεστή γωνίας σε άλλους τύπους εξισώσεων αυτής της ευθείας.
Από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με γωνιακό συντελεστή είναι εύκολο να ληφθεί η κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο της μορφής 
. Για να γίνει αυτό, μετακινούμε τον όρο b από τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο και, στη συνέχεια, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ισότητας που προκύπτει με την κλίση k: . Αυτές οι ενέργειες μας οδηγούν από την εξίσωση μιας ευθείας με συντελεστή γωνίας στην κανονική εξίσωση μιας ευθείας.
Παράδειγμα.
Δώστε την εξίσωση μιας ευθείας με συντελεστή γωνίας 
στην κανονική μορφή.
Λύση.
Ας κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς: .
Απάντηση:
Παράδειγμα.
Μια ευθεία γραμμή δίνεται από την εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή. Είναι το διάνυσμα κανονικό διάνυσμα αυτής της γραμμής;
Λύση.
Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, ας περάσουμε από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με συντελεστή γωνίας στη γενική εξίσωση αυτής της ευθείας: 
. Γνωρίζουμε ότι οι συντελεστές των μεταβλητών x και y στη γενική εξίσωση μιας ευθείας είναι οι αντίστοιχες συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος αυτής της ευθείας, δηλαδή το κανονικό διάνυσμα της ευθείας 
. Είναι προφανές ότι το διάνυσμα είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα, αφού η σχέση ισχύει (αν χρειάζεται, βλέπε το άρθρο). Έτσι, το αρχικό διάνυσμα είναι επίσης ένα κανονικό διάνυσμα γραμμής , και, επομένως, είναι ένα κανονικό διάνυσμα και η αρχική γραμμή.
Απάντηση:
Ναι είναι.
Και τώρα θα λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα - το πρόβλημα της μείωσης της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο στην εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με συντελεστή γωνίας.
Από γενική εξίσωσηευθεία όψη 
, στην οποία είναι πολύ εύκολο να πάμε σε μια εξίσωση με συντελεστή κλίσης. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λύσετε τη γενική εξίσωση της ευθείας ως προς το y. Σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε . Η προκύπτουσα ισότητα είναι μια εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή ίσο με .
Στο προηγούμενο κεφάλαιο δείχθηκε ότι επιλέγοντας ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, μπορούμε γεωμετρικές ιδιότητες, που χαρακτηρίζει τα σημεία της ευθείας που εξετάζουμε, εκφράζεται αναλυτικά με μια εξίσωση μεταξύ των τρεχουσών συντεταγμένων. Έτσι παίρνουμε την εξίσωση της ευθείας. Αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσει τις ευθείες εξισώσεις.
Για να δημιουργήσετε μια εξίσωση για μια ευθεία γραμμή σε καρτεσιανές συντεταγμένες, πρέπει να ορίσετε με κάποιο τρόπο τις συνθήκες που καθορίζουν τη θέση της σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων.
Αρχικά, θα εισαγάγουμε την έννοια του γωνιακού συντελεστή μιας ευθείας, που είναι ένα από τα μεγέθη που χαρακτηρίζουν τη θέση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο.
Ας ονομάσουμε γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox τη γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί ο άξονας Ox ώστε να συμπίπτει με τη δεδομένη ευθεία (ή να είναι παράλληλη με αυτήν). Ως συνήθως, θα εξετάσουμε τη γωνία λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο (το πρόσημο καθορίζεται από την κατεύθυνση περιστροφής: αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα). Δεδομένου ότι μια πρόσθετη περιστροφή του άξονα Ox μέσω γωνίας 180° θα τον ευθυγραμμίσει και πάλι με την ευθεία γραμμή, η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα δεν μπορεί να επιλεγεί με σαφήνεια (σε έναν όρο, πολλαπλάσιο του ).
Η εφαπτομένη αυτής της γωνίας καθορίζεται μοναδικά (αφού η αλλαγή της γωνίας δεν αλλάζει την εφαπτομένη της).
Η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας στον άξονα Ox ονομάζεται γωνιακός συντελεστής της ευθείας.
Ο γωνιακός συντελεστής χαρακτηρίζει την κατεύθυνση της ευθείας (δεν διακρίνουμε εδώ δύο αμοιβαία αντίθετες κατευθύνσεις της ευθείας). Αν η κλίση μιας ευθείας είναι μηδέν, τότε η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα x. Με θετικό γωνιακό συντελεστή, η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox θα είναι οξεία (θεωρούμε εδώ τη μικρότερη θετική τιμή της γωνίας κλίσης) (Εικ. 39). Επιπλέον, όσο μεγαλύτερος είναι ο γωνιακός συντελεστής, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης του προς τον άξονα Ox. Εάν ο γωνιακός συντελεστής είναι αρνητικός, τότε η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox θα είναι αμβλεία (Εικ. 40). Σημειώστε ότι μια ευθεία κάθετη στον άξονα Ox δεν έχει γωνιακό συντελεστή (η εφαπτομένη της γωνίας δεν υπάρχει).
Συνέχεια του θέματος, η εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο βασίζεται στη μελέτη μιας ευθείας γραμμής από μαθήματα άλγεβρας. Αυτό το άρθρο παρέχει γενικές πληροφορίες σχετικά με το θέμα της εξίσωσης ευθείας γραμμής με κλίση. Ας εξετάσουμε τους ορισμούς, ας πάρουμε την ίδια την εξίσωση και ας προσδιορίσουμε τη σύνδεση με άλλους τύπους εξισώσεων. Όλα θα συζητηθούν χρησιμοποιώντας παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Πριν γράψουμε μια τέτοια εξίσωση, είναι απαραίτητο να ορίσουμε τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα O x με τον γωνιακό συντελεστή τους. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O x στο επίπεδο.
Ορισμός 1
Η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα O x,που βρίσκεται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O x y στο επίπεδο, αυτή είναι η γωνία που μετράται από τη θετική κατεύθυνση O x προς την ευθεία αριστερόστροφα.
Όταν η ευθεία είναι παράλληλη προς το O x ή συμπίπτει σε αυτήν, η γωνία κλίσης είναι 0. Τότε η γωνία κλίσης της δεδομένης ευθείας α ορίζεται στο διάστημα [ 0 , π) .
Ορισμός 2
Άμεση κλίσηείναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης μιας δεδομένης ευθείας.
Η τυπική ονομασία είναι k. Από τον ορισμό βρίσκουμε ότι k = t g α . Όταν η ευθεία είναι παράλληλη με το Ox, λένε ότι η κλίση δεν υπάρχει, αφού πηγαίνει στο άπειρο.
Η κλίση είναι θετική όταν αυξάνεται το γράφημα της συνάρτησης και αντίστροφα. Το σχήμα δείχνει διάφορες παραλλαγές διάταξης ορθή γωνίασε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων με την τιμή του συντελεστή.
Για να βρεθεί αυτή η γωνία, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο ορισμός του γωνιακού συντελεστή και να υπολογιστεί η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης στο επίπεδο.
Λύση
Από την συνθήκη έχουμε ότι α = 120°. Εξ ορισμού, η κλίση πρέπει να υπολογιστεί. Ας το βρούμε από τον τύπο k = t g α = 120 = - 3.
Απάντηση: k = - 3 .
Εάν ο γωνιακός συντελεστής είναι γνωστός και είναι απαραίτητο να βρεθεί η γωνία κλίσης ως προς τον άξονα της τετμημένης, τότε θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η τιμή του γωνιακού συντελεστή. Αν k > 0, τότε η ορθή γωνία είναι οξεία και βρίσκεται με τον τύπο α = a r c t g k. Αν κ< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Παράδειγμα 2
Προσδιορίστε τη γωνία κλίσης της δεδομένης ευθείας προς το Ο x με γωνιακό συντελεστή 3.
Λύση
Από την προϋπόθεση ότι ο γωνιακός συντελεστής είναι θετικός, που σημαίνει ότι η γωνία κλίσης προς το Ο x είναι μικρότερη από 90 μοίρες. Οι υπολογισμοί γίνονται χρησιμοποιώντας τον τύπο α = a r c t g k = a r c t g 3.
Απάντηση: α = a r c t g 3 .
Παράδειγμα 3
Βρείτε τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα O x εάν η κλίση = - 1 3.
Λύση
Αν πάρουμε το γράμμα k ως τον προσδιορισμό του γωνιακού συντελεστή, τότε α είναι η γωνία κλίσης σε μια δεδομένη ευθεία στη θετική κατεύθυνση O x. Επομένως k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
Απάντηση: 5 π 6 .
Μια εξίσωση της μορφής y = k x + b, όπου k είναι η κλίση και b είναι κάποιος πραγματικός αριθμός, ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας με κλίση. Η εξίσωση είναι χαρακτηριστική για κάθε ευθεία που δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα O y.
Αν εξετάσουμε λεπτομερώς μια ευθεία σε ένα επίπεδο σε ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων, η οποία καθορίζεται από μια εξίσωση με γωνιακό συντελεστή που έχει τη μορφή y = k x + b. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσησημαίνει ότι η εξίσωση αντιστοιχεί στις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας. Αν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M, M 1 (x 1, y 1) στην εξίσωση y = k x + b, τότε στην περίπτωση αυτή η ευθεία θα περάσει από αυτό το σημείο, διαφορετικά το σημείο δεν ανήκει στην ευθεία.
Παράδειγμα 4
Δίνεται ευθεία με κλίση y = 1 3 x - 1. Να υπολογίσετε αν τα σημεία M 1 (3, 0) και M 2 (2, - 2) ανήκουν στη δεδομένη ευθεία.
Λύση
Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M 1 (3, 0) στη δεδομένη εξίσωση, τότε παίρνουμε 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Η ισότητα είναι αληθής, που σημαίνει ότι το σημείο ανήκει στη γραμμή.
Αν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M 2 (2, - 2), τότε παίρνουμε μια εσφαλμένη ισότητα της μορφής - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το σημείο Μ 2 δεν ανήκει στην ευθεία.
Απάντηση:Το Μ 1 ανήκει στη γραμμή, αλλά το Μ 2 όχι.
Είναι γνωστό ότι η ευθεία ορίζεται από την εξίσωση y = k · x + b, περνώντας από το M 1 (0, b), κατά την αντικατάσταση λάβαμε μια ισότητα της μορφής b = k · 0 + b ⇔ b = b. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή y = k x + b στο επίπεδο ορίζει μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο 0, β. Σχηματίζει γωνία α με τη θετική φορά του άξονα O x, όπου k = t g α.
Ας εξετάσουμε, ως παράδειγμα, μια ευθεία γραμμή που ορίζεται χρησιμοποιώντας έναν γωνιακό συντελεστή που καθορίζεται με τη μορφή y = 3 · x - 1. Λαμβάνουμε ότι η ευθεία θα διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένη 0, - 1 με κλίση α = a r c t g 3 = π 3 ακτίνια στη θετική κατεύθυνση του άξονα O x. Αυτό δείχνει ότι ο συντελεστής είναι 3.
Εξίσωση ευθείας με κλίση που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο
Είναι απαραίτητο να λυθεί ένα πρόβλημα όπου είναι απαραίτητο να ληφθεί η εξίσωση μιας ευθείας με δεδομένη κλίση που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1).
Η ισότητα y 1 = k · x + b μπορεί να θεωρηθεί έγκυρη, αφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1). Για να αφαιρέσετε τον αριθμό b, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε την εξίσωση με την κλίση από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Από αυτό προκύπτει ότι y - y 1 = k · (x - x 1) . Αυτή η ισότητα ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας με δεδομένη κλίση k, που διέρχεται από τις συντεταγμένες του σημείου M 1 (x 1, y 1).
Παράδειγμα 5
Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ 1 με συντεταγμένες (4, - 1), με γωνιακό συντελεστή ίσο με -2.
Λύση
Με συνθήκη έχουμε ότι x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Από εδώ η εξίσωση της γραμμής θα γραφτεί ως εξής: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Απάντηση: y = - 2 x + 7 .
Παράδειγμα 6
Να γράψετε την εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή που διέρχεται από το σημείο Μ 1 με συντεταγμένες (3, 5), παράλληλη στην ευθεία y = 2 x - 2.
Λύση
Κατά συνθήκη, έχουμε ότι οι παράλληλες γραμμές έχουν ίδιες γωνίες κλίσης, που σημαίνει ότι οι γωνιακοί συντελεστές είναι ίσοι. Για να βρείτε την πλαγιά από δεδομένη εξίσωση, πρέπει να θυμάστε τον βασικό τύπο του y = 2 x - 2, προκύπτει ότι k = 2. Συνθέτουμε μια εξίσωση με τον συντελεστή κλίσης και παίρνουμε:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Απάντηση: y = 2 x - 1 .
Μετάβαση από μια εξίσωση ευθείας γραμμής με κλίση σε άλλους τύπους εξισώσεων ευθείας γραμμής και πίσω
Αυτή η εξίσωση δεν είναι πάντα εφαρμόσιμη για την επίλυση προβλημάτων, καθώς δεν είναι πολύ βολική γραμμένη. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να το παρουσιάσετε σε διαφορετική μορφή. Για παράδειγμα, μια εξίσωση της μορφής y = k · x + b δεν μας επιτρέπει να γράψουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής ή τις συντεταγμένες ενός κανονικού διανύσματος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μάθετε να αναπαριστάτε με εξισώσεις διαφορετικού τύπου.
Μπορούμε να πάρουμε κανονική εξίσωσηγραμμή σε επίπεδο χρησιμοποιώντας την εξίσωση μιας γραμμής με κλίση. Παίρνουμε x - x 1 a x = y - y 1 a y . Είναι απαραίτητο να μετακινήσετε τον όρο b στην αριστερή πλευρά και να διαιρέσετε με την έκφραση της προκύπτουσας ανισότητας. Τότε παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Η εξίσωση μιας γραμμής με μια κλίση έχει γίνει η κανονική εξίσωση αυτής της γραμμής.
Παράδειγμα 7
Φέρτε την εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή y = - 3 x + 12 σε κανονική μορφή.
Λύση
Ας το υπολογίσουμε και ας το παρουσιάσουμε με τη μορφή κανονικής εξίσωσης ευθείας γραμμής. Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Απάντηση: x 1 = y - 12 - 3.
Η γενική εξίσωση μιας ευθείας είναι πιο εύκολο να ληφθεί από y = k · x + b, αλλά για αυτό είναι απαραίτητο να γίνουν μετασχηματισμοί: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Γίνεται μια μετάβαση από τη γενική εξίσωση της γραμμής σε εξισώσεις διαφορετικού τύπου.
Παράδειγμα 8
Δίνεται ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής y = 1 7 x - 2 . Βρείτε αν το διάνυσμα με συντεταγμένες a → = (- 1, 7) είναι διάνυσμα κανονικής γραμμής;
Λύση
Για να λυθεί είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε σε άλλη μορφή αυτής της εξίσωσης, για αυτό γράφουμε:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Οι συντελεστές μπροστά από τις μεταβλητές είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας. Ας το γράψουμε ως εξής: n → = 1 7, - 1, άρα 1 7 x - y - 2 = 0. Είναι σαφές ότι το διάνυσμα a → = (- 1, 7) είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα n → = 1 7, - 1, αφού έχουμε τη δίκαιη σχέση a → = - 7 · n →. Συνεπάγεται ότι το αρχικό διάνυσμα a → = - 1, 7 είναι ένα κανονικό διάνυσμα της ευθείας 1 7 x - y - 2 = 0, που σημαίνει ότι θεωρείται κανονικό διάνυσμα για την ευθεία y = 1 7 x - 2.
Απάντηση:Είναι
Ας λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα αυτού.
Είναι απαραίτητο να μετακινηθούμε από τη γενική μορφή της εξίσωσης A x + B y + C = 0, όπου B ≠ 0, σε μια εξίσωση με γωνιακό συντελεστή. Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση για το y. Παίρνουμε A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση με κλίση ίση με - A B .
Παράδειγμα 9
Δίνεται ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Λάβετε την εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας με γωνιακό συντελεστή.
Λύση
Με βάση την συνθήκη, είναι απαραίτητο να λυθεί το y, τότε λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Απάντηση: y = 1 6 x + 1 4 .
Μια εξίσωση της μορφής x a + y b = 1 λύνεται με παρόμοιο τρόπο, που ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα, ή κανονικού τύπου x - x 1 a x = y - y 1 a y . Πρέπει να το λύσουμε για το y, μόνο τότε παίρνουμε μια εξίσωση με την κλίση:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Η κανονική εξίσωση μπορεί να αναχθεί σε μορφή με γωνιακό συντελεστή. Για αυτό:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Παράδειγμα 10
Υπάρχει μια ευθεία γραμμή δίνεται από την εξίσωση x 2 + y - 3 = 1. Αναγωγή σε μορφή εξίσωσης με γωνιακό συντελεστή.
Λύση.
Με βάση την συνθήκη, είναι απαραίτητος ο μετασχηματισμός, τότε λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής _τύπος_. Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πρέπει να πολλαπλασιαστούν με - 3 για να ληφθεί η απαιτούμενη εξίσωση κλίσης. Μεταμορφώνοντας, παίρνουμε:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Απάντηση: y = 3 2 x - 3 .
Παράδειγμα 11
Μειώστε την ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής x - 2 2 = y + 1 5 σε μορφή με γωνιακό συντελεστή.
Λύση
Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η έκφραση x - 2 2 = y + 1 5 ως αναλογία. Παίρνουμε ότι 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Τώρα πρέπει να το ενεργοποιήσετε πλήρως, για να το κάνετε αυτό:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Απάντηση: y = 5 2 x - 6 .
Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, οι παραμετρικές εξισώσεις της γραμμής της μορφής x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ πρέπει να μειωθούν στην κανονική εξίσωση της γραμμής, μόνο μετά από αυτό μπορεί κανείς να προχωρήσει στην εξίσωση με ο συντελεστής κλίσης.
Παράδειγμα 12
Να βρείτε την κλίση της ευθείας αν δίνεται με παραμετρικές εξισώσεις x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Λύση
Είναι απαραίτητο να γίνει μετάβαση από την παραμετρική θέα στην κλίση. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την κανονική εξίσωση από τη δεδομένη παραμετρική:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Τώρα είναι απαραίτητο να επιλυθεί αυτή η ισότητα ως προς το y για να ληφθεί η εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή. Για να γίνει αυτό, ας το γράψουμε ως εξής:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Από αυτό προκύπτει ότι η κλίση της γραμμής είναι 2. Αυτό γράφεται ως k = 2.
Απάντηση: k = 2.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Η ευθεία y=f(x) θα είναι εφαπτομένη στη γραφική παράσταση που φαίνεται στο σχήμα στο σημείο x0 αν διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (x0; f(x0)) και έχει γωνιακό συντελεστή f"(x0). ένας τέτοιος συντελεστής, Γνωρίζοντας τα χαρακτηριστικά μιας εφαπτομένης, δεν είναι δύσκολο.
Θα χρειαστείτε
- - μαθηματικό βιβλίο αναφοράς.
- - ένα απλό μολύβι
- - σημειωματάριο;
- - μοιρογνωμόνιο
- - πυξίδα
- - στυλό.
Οδηγίες
Εάν η τιμή f‘(x0) δεν υπάρχει, τότε είτε δεν υπάρχει εφαπτομένη, είτε τρέχει κατακόρυφα. Εν όψει αυτού, η παρουσία παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο x0 οφείλεται στην ύπαρξη μιας μη κατακόρυφης εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο (x0, f(x0)). Στην περίπτωση αυτή, ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης θα είναι ίσος με f "(x0). Έτσι, γίνεται σαφές γεωμετρική σημασίαπαράγωγος – υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης.
Σχεδιάστε πρόσθετες εφαπτομένες που θα ήταν σε επαφή με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στα σημεία x1, x2 και x3 και επίσης σημειώστε τις γωνίες που σχηματίζονται από αυτές τις εφαπτομένες με τον άξονα x (αυτή η γωνία μετράται στη θετική κατεύθυνση από τον άξονα προς τον εφαπτόμενη γραμμή). Για παράδειγμα, η γωνία, δηλαδή η α1, θα είναι οξεία, η δεύτερη (α2) θα είναι αμβλεία και η τρίτη (α3) θα είναι μηδέν, αφού η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα ΟΧ. Σε αυτή την περίπτωση, η εφαπτομένη μιας αμβλείας γωνίας είναι αρνητική, η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι θετική και στο tg0 το αποτέλεσμα είναι μηδέν.
Σημείωση
Προσδιορίστε σωστά τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε ένα μοιρογνωμόνιο.
Δύο κεκλιμένες ευθείες θα είναι παράλληλες εάν οι γωνιακοί συντελεστές τους είναι ίσοι μεταξύ τους. κάθετο αν το γινόμενο των γωνιακών συντελεστών αυτών των εφαπτομένων είναι ίσο με -1.
Πηγές:
- Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
Το συνημίτονο, όπως και το ημίτονο, ταξινομείται ως «άμεση» τριγωνομετρική συνάρτηση. Η εφαπτομένη (μαζί με την συνεφαπτομένη) ταξινομείται ως ένα άλλο ζεύγος που ονομάζεται «παράγωγα». Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί αυτών των συναρτήσεων που καθιστούν δυνατή την εύρεση της εφαπτομένης που δίνεται από γνωστή αξίασυνημίτονο της ίδιας τιμής.
Οδηγίες
Αφαιρέστε το πηλίκο του ενός από το συνημίτονο δεδομένη γωνία, και εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα από το αποτέλεσμα - αυτή θα είναι η εφαπτομένη της γωνίας, εκφρασμένη με το συνημίτονο της: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Σημειώστε ότι στον τύπο το συνημίτονο είναι στον παρονομαστή του κλάσματος. Η αδυναμία διαίρεσης με το μηδέν αποκλείει τη χρήση αυτής της έκφρασης για γωνίες ίσες με 90°, καθώς και εκείνες που διαφέρουν από αυτήν την τιμή με αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι των 180° (270°, 450°, -90° κ.λπ.).
Υπάρχει επίσης εναλλακτικό τρόπουπολογίζοντας την εφαπτομένη από μια γνωστή τιμή συνημιτόνου. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν δεν υπάρχει περιορισμός στη χρήση άλλων. Για να εφαρμόσετε αυτήν τη μέθοδο, προσδιορίστε πρώτα την τιμή της γωνίας από μια γνωστή τιμή συνημιτόνου - αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση συνημιτόνου τόξου. Στη συνέχεια απλά υπολογίστε την εφαπτομένη για τη γωνία της τιμής που προκύπτει. ΣΕ γενική εικόνααυτός ο αλγόριθμος μπορεί να γραφτεί ως εξής: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).
Υπάρχει επίσης μια εξωτική επιλογή χρησιμοποιώντας τον ορισμό του συνημιτόνου και της εφαπτομένης διαμπερής αιχμηρές γωνίες ορθογώνιο τρίγωνο. Σε αυτόν τον ορισμό, το συνημίτονο αντιστοιχεί στον λόγο του μήκους του σκέλους που βρίσκεται δίπλα στην υπό εξέταση γωνία προς το μήκος της υποτείνουσας. Γνωρίζοντας την τιμή του συνημιτόνου, μπορείτε να επιλέξετε τα αντίστοιχα μήκη αυτών των δύο πλευρών. Για παράδειγμα, εάν cos(α) = 0,5, τότε το διπλανό μπορεί να ληφθεί ίσο με 10 cm και η υποτείνουσα - 20 cm. Οι συγκεκριμένοι αριθμοί δεν έχουν σημασία εδώ - θα λάβετε τους ίδιους και σωστούς αριθμούς με οποιεσδήποτε τιμές έχουν τις ίδιες. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, προσδιορίστε το μήκος της πλευράς που λείπει - το αντίθετο σκέλος. Θα είναι ίσο τετραγωνική ρίζααπό τη διαφορά μεταξύ των μηκών της τετραγωνισμένης υποτείνουσας και του γνωστού σκέλους: √(20²-10²)=√300. Εξ ορισμού, η εφαπτομένη αντιστοιχεί στον λόγο των μηκών των απέναντι και των παρακείμενων σκελών (√300/10) - υπολογίστε την και λάβετε την τιμή της εφαπτομένης που βρέθηκε χρησιμοποιώντας κλασικός ορισμόςσυνημίτονο.
Πηγές:
- συνημίτονο μέσω του τύπου εφαπτομένης
Ενας από τριγωνομετρικές συναρτήσεις, που τις περισσότερες φορές δηλώνεται με τα γράμματα tg, αν και απαντώνται και οι ονομασίες tan. Ο ευκολότερος τρόπος να αναπαραστήσουμε την εφαπτομένη είναι ως ημιτονοειδής λόγος γωνίαστο συνημίτονό του. Αυτή είναι μια περιττή περιοδική και μη συνεχής συνάρτηση, κάθε κύκλος της οποίας ίσο με τον αριθμό Pi, και το σημείο διακοπής αντιστοιχεί στο μισό αυτού του αριθμού.
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο, σύμφωνα με το νόμο, δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων ερευνών ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.