Ερευνα
Σχετικά με το θέμα
«Μέθοδοι λύσης τετραγωνικές εξισώσεις »
Εκτελέστηκε:
ομάδα 8 «Ζ» τάξη
Επικεφαλής εργασίας:
Benkovskaya Maria Mikhailovna
Στόχοι και στόχοι του έργου.
1. Δείξτε ότι τα μαθηματικά, όπως κάθε άλλη επιστήμη, έχουν τα δικά τους άλυτα μυστήρια.
2. Δώστε έμφαση σε αυτό που κάνει τους μαθηματικούς διαφορετικούς εκτός πλαισίου σκέψης. Και μερικές φορές η ευρηματικότητα και η διαίσθηση ενός καλού μαθηματικού απλά σε εκπλήσσει!
3. Δείξτε ότι η ίδια η προσπάθεια επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων συνέβαλε στην ανάπτυξη νέων εννοιών και ιδεών στα μαθηματικά.
4. Μάθετε να εργάζεστε με διάφορες πηγές πληροφοριών.
5. Συνεχίστε ερευνητικό έργομαθηματικά
Ερευνητικά στάδια
1. Ιστορία της εμφάνισης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων.
2. Ορισμός δευτεροβάθμιας εξίσωσης και οι τύποι της.
3. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον τύπο διάκρισης.
4. Ο Francois Viète και το θεώρημά του.
5. Ιδιότητες συντελεστών για γρήγορη εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.
6. Πρακτικός προσανατολισμός.
Μέσα από εξισώσεις, θεωρήματα
Έλυσα πολλά προβλήματα.
(Chaucer, Άγγλος ποιητής, Μεσαίωνας.)
στάδιο. Η ιστορία της εμφάνισης των τετραγωνικών εξισώσεων.
Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο πρώτου, αλλά και δεύτερου βαθμού, ακόμη και στην αρχαιότητα, προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση των περιοχών γης και χωματουργικών εργασιών στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και με ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών.
Οι Βαβυλώνιοι μπόρεσαν να λύσουν τετραγωνικές εξισώσεις περίπου το 2000 π.Χ. Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που ορίζεται στα βαβυλωνιακά κείμενα, ουσιαστικά συμπίπτει με τα σύγχρονα, αλλά δεν είναι γνωστό πώς οι Βαβυλώνιοι βρήκαν τον κανόνα. Σχεδόν όλα τα σφηνοειδή κείμενα που έχουν βρεθεί μέχρι στιγμής παρέχουν μόνο προβλήματα με λύσεις που παρουσιάζονται με τη μορφή συνταγών, χωρίς καμία ένδειξη για το πώς βρέθηκαν.
Παρά υψηλό επίπεδοανάπτυξη της άλγεβρας στη Βαβυλώνα, τα σφηνοειδή κείμενα στερούνται την έννοια του αρνητικού αριθμού και γενικές μεθόδους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.
Η Αριθμητική του Διόφαντου περιέχει μια συστηματική σειρά προβλημάτων, που συνοδεύονται από επεξηγήσεις και λύνονται με την κατασκευή εξισώσεων διαφόρων βαθμών, αλλά δεν περιέχει συστηματική παρουσίαση της άλγεβρας.
Προβλήματα στις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στις αστρονομικές πραγματείες «Aryabhattiam», που συγκεντρώθηκαν το 499. Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Brahmagupta (7ος αιώνας), περιέγραψε γενικός κανόναςεπίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων ανάγονται σε ενιαίο κανονική μορφή:
Η αλγεβρική πραγματεία του Al-Khwarizmi δίνει μια ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας παραθέτει 6 τύπους εξισώσεων. Για τον al-Khwarizmi, ο οποίος δεν γνώριζε αρνητικούς αριθμούς, οι όροι κάθε εξίσωσης είναι προσθέσεις, όχι αφαιρέσιμοι. Ταυτόχρονα, οι εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη κατά την επίλυση μιας ημιτελούς τετραγωνικής εξίσωσης, ο al-Khorezmi, όπως όλοι οι επιστήμονες μέχρι τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη τη μηδενική λύση.
Η πραγματεία του Al-Khwarizmi είναι το πρώτο βιβλίο που μας έχει φτάσει, το οποίο καθορίζει συστηματικά την ταξινόμηση των τετραγωνικών εξισώσεων και τους τύπους για την επίλυσή τους.
Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων που διαμορφώθηκαν μετά τον αλ-Χουαρίζμι στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο Βιβλίο του Άβακα, που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Αυτό το ογκώδες έργο διακρίνεται για την πληρότητα και τη σαφήνεια παρουσίασής του. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα μερικές νέες αλγεβρικές μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από το «Βιβλίο του Άβακα» μεταφέρθηκαν σε όλα σχεδόν τα ευρωπαϊκά σχολικά βιβλία του 16ου - 17ου και εν μέρει του 18ου αιώνα.
Γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μία εξίσωση κανονική μορφή 
για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς σημείων συντελεστές β,γδιατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.
Παραγωγή του τύπου για την επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης στο γενική εικόναΟ Βιέτ το έχει, αλλά ο Βιέτ αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα που έλαβαν υπόψη τους όχι μόνο θετικές, αλλά και αρνητικές ρίζες. Μόνο τον 17ο αιώνα, χάρη στα έργα των Girrard, Descartes, Newton και άλλων επιστημόνων, υιοθετήθηκε η μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. μοντέρνα εμφάνιση.
ΚΑΤΑΛΗΓΕΙ:
Προβλήματα που αφορούσαν τετραγωνικές εξισώσεις αντιμετωπίστηκαν ήδη από το 499.
ΣΕ Αρχαία Ινδίαοι δημόσιοι διαγωνισμοί στην επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι - ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ .
©2015-2019 ιστότοπος
Όλα τα δικαιώματα ανήκουν στους δημιουργούς τους. Αυτός ο ιστότοπος δεν διεκδικεί την πνευματική ιδιοκτησία, αλλά παρέχει δωρεάν χρήση.
Ημερομηνία δημιουργίας σελίδας: 2016-04-11
Πώς ο Διόφαντος συνέθεσε και έλυνε δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Εξ ου και η εξίσωση: (10+x)(10 -x) =96 ή: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) Η λύση x = -2 δεν υπάρχει για τον Διόφαντο, αφού τα ελληνικά μαθηματικά γνώριζαν μόνο θετικούς αριθμούς. .
Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}
Τετραγωνικές εξισώσεις στο al-Khorezmi. 1) «Τα τετράγωνα είναι ίσες ρίζες», δηλαδή ax2 + c = bx. 2) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με αριθμούς», δηλαδή ax2 = c. 3) «Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλ. τσεκούρι = γ. 4) «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλαδή ax2 + c = bx. 5) «Τα τετράγωνα και οι ρίζες ισούνται με τον αριθμό», δηλαδή ax2 + bx = c. 6) «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλαδή bx + c = ax2.
Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη τον 13ο και 17ο αιώνα. x2 +bx = c, για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς προσώπων των συντελεστών b, το c διατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.
Σχετικά με το θεώρημα του Βιέτα. "Αν το B + D επί το A - A 2 ισούται με BD, τότε το A ισούται με B και ίσο με D." Στη γλώσσα της σύγχρονης άλγεβρας, η παραπάνω διατύπωση Vieta σημαίνει: αν (a + b)x - x2 = ab, δηλ. x2 - (a + b)x + ab = 0, τότε x1 = a, x2 = b.
Μέθοδοι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. 1. ΜΕΘΟΔΟΣ: Παραγοντοποίηση της αριστερής πλευράς της εξίσωσης. Ας λύσουμε την εξίσωση x2 + 10 x - 24 = 0. Ας παραγοντοποιήσουμε την αριστερή πλευρά: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (χ - 2). Επομένως, η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: (x + 12)(x - 2) = 0 Εφόσον το γινόμενο είναι μηδέν, τότε τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές του είναι μηδέν. Επομένως, η αριστερή πλευρά της εξίσωσης γίνεται μηδέν στο x = 2, και επίσης στο x = - 12. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 2 και - 12 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 + 10 x - 24 = 0.
2. ΜΕΘΟΔΟΣ: Μέθοδος εξαγωγής πλήρους τετραγώνου. Ας λύσουμε την εξίσωση x2 + 6 x - 7 = 0. Επιλέξτε στην αριστερή πλευρά Τέλειο τετράγωνο. Για να γίνει αυτό, γράφουμε την παράσταση x2 + 6 x με την ακόλουθη μορφή: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Στην παράσταση που προκύπτει, ο πρώτος όρος είναι το τετράγωνο του αριθμού x και ο δεύτερος είναι ο διπλός γινόμενο του x επί 3. Επομένως, για να πάρετε ένα πλήρες τετράγωνο, πρέπει να προσθέσετε 32, αφού x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Τώρα μετασχηματίζουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης x2 + 6 x - 7 = 0, προσθέτοντας σε αυτήν και αφαιρούμε 32. Έχουμε: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16. Έτσι, δεδομένη εξίσωσημπορεί να γραφτεί ως εξής: (x + 3)2 - 16 =0, (x + 3)2 = 16. Επομένως, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, ή x + 3 = -4, x2 = -7.
3. ΜΕΘΟΔΟΣ: Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον τύπο. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 με 4 a και διαδοχικά έχουμε: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 μετα Χριστον,
4. ΜΕΘΟΔΟΣ: Επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Όπως είναι γνωστό, η ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή x2 + px + c = 0. (1) Οι ρίζες της ικανοποιούν το θεώρημα του Vieta, το οποίο για a = 1 έχει τη μορφή x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p α) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 και x 2 = 1, αφού q = 2 > 0 και p = - 3 0 και p = 8 > 0. β) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 και x 2 = 1, αφού q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 και x 2 = - 1, αφού q = - 9
5. ΜΕΘΟΔΟΣ: Επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο «ρίψης». Θεωρούμε την τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c = 0, όπου a ≠ 0. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με a, προκύπτει η εξίσωση a 2 x2 + abx + ac = 0. Έστω ax = y, από όπου x = y/a; τότε καταλήγουμε στην εξίσωση y2 + κατά + ac = 0, η οποία είναι ισοδύναμη με τη δεδομένη. Βρίσκουμε τις ρίζες του y1 και y2 χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Τελικά παίρνουμε x1 = y1/a και x1 = y2/a.
Παράδειγμα. Ας λύσουμε την εξίσωση 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Λύση. Ας «ρίξουμε» τον συντελεστή 2 στον ελεύθερο όρο, με αποτέλεσμα να έχουμε την εξίσωση y2 – 11 y + 30 = 0. Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta, y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Απάντηση: 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.
6. ΜΕΘΟΔΟΣ: Ιδιότητες συντελεστών δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Α. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση ax2 + bx + c = 0, όπου a ≠ 0. 1) Αν a + b + c = 0 (δηλαδή, το άθροισμα των συντελεστών είναι μηδέν), τότε x1 = 1, x2 = γ/ Α. Απόδειξη. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με a ≠ 0, προκύπτει η ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση x 2 + b/a x + c/a = 0. Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta, x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 γ/α. Κατά συνθήκη, a – b + c = 0, από όπου b = a + c. Έτσι, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), δηλ. x1 = -1 και x2 = c/a, που είναι τι έπρεπε να αποδειχθεί.
Β. Αν ο δεύτερος συντελεστής b = 2 k – Ζυγός αριθμός, τότε ο τύπος για τις ρίζες του Β. Η παραπάνω εξίσωση x2 + px + q = 0 συμπίπτει με μια γενική εξίσωση στην οποία a = 1, b = p και c = q. Επομένως, για την ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση, ο τύπος ρίζας είναι
7. ΜΕΘΟΔΟΣ: Γραφική λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Αν στην εξίσωση x2 + px + q = 0 μετακινήσουμε τον δεύτερο και τον τρίτο όρο στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε x2 = - px - q. Ας φτιάξουμε γραφήματα της εξάρτησης y = x2 και y = - px - q.
Παράδειγμα 1) Ας λύσουμε γραφικά την εξίσωση x2 - 3 x - 4 = 0 (Εικ. 2). Λύση. Ας γράψουμε την εξίσωση με τη μορφή x2 = 3 x + 4. Κατασκευάστε μια παραβολή y = x2 και μια ευθεία y = 3 x + 4. Η ευθεία γραμμή y = 3 x + 4 μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας δύο σημεία M (0; 4) και Ν (3, 13). Απάντηση: x1 = - 1; x2 = 4
8. ΜΕΘΟΔΟΣ: Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με πυξίδα και χάρακα. βρίσκοντας τις ρίζες μιας τετράγωνης πυξίδας και χάρακα (Εικ. 5). Εξισώσεις Στη συνέχεια, με το θεώρημα της διαδοχής, έχουμε OB OD = OA OC, από όπου OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 χρησιμοποιώντας
Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Η ακτίνα του κύκλου είναι μεγαλύτερη από τη τεταγμένη του κέντρου (AS > SK ή R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}
9. ΜΕΘΟΔΟΣ: Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με χρήση νομογράμματος. z 2 + pz + q = 0. Η καμπυλόγραμμη κλίμακα του νομογράμματος κατασκευάζεται σύμφωνα με τους τύπους (Εικ. 11): Υποθέτοντας OS = p, ED = q, OE = a (όλα σε cm), Από την ομοιότητα τριγώνων SAN και CDF λαμβάνουμε την αναλογία
Παραδείγματα. 1) Για την εξίσωση z 2 - 9 z + 8 = 0, το νομόγραμμα δίνει τις ρίζες z 1 = 8, 0 και z 2 = 1, 0 (Εικ. 12). 2) Χρησιμοποιώντας ένα νομόγραμμα, λύνουμε την εξίσωση 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Διαιρούμε τους συντελεστές αυτής της εξίσωσης με 2, παίρνουμε την εξίσωση z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Το νομόγραμμα δίνει το ρίζες z 1 = 4 και z 2 = 0, 5. 3) Για την εξίσωση z 2 - 25 z + 66 = 0, οι συντελεστές p και q είναι εκτός κλίμακας, εκτελούμε την αντικατάσταση z = 5 t, παίρνουμε το εξίσωση t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, την οποία λύνουμε χρησιμοποιώντας νομογράμματα και παίρνουμε t 1 = 0,6 και t 2 = 4. 4, από τα οποία z 1 = 5 t 1 = 3. 0 και z 2 = 5 t 2 = 22. 0.
10. ΜΕΘΟΔΟΣ: Γεωμετρική μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα. 1) Ας λύσουμε την εξίσωση x2 + 10 x = 39. Στο πρωτότυπο, αυτό το πρόβλημα έχει διατυπωθεί ως εξής: «Το τετράγωνο και οι δέκα ρίζες είναι ίσες με 39» (Εικ. 15). Για την απαιτούμενη πλευρά x του αρχικού τετραγώνου λαμβάνουμε
y2 + 6 y - 16 = 0. Η λύση φαίνεται στο Σχ. 16, όπου y2 + 6 y = 16, ή y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Λύση. Οι εκφράσεις y2 + 6 y + 9 και 16 + 9 αντιπροσωπεύουν γεωμετρικά το ίδιο τετράγωνο και η αρχική εξίσωση y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 είναι η ίδια εξίσωση. Από αυτό παίρνουμε ότι y + 3 = ± 5, ή y1 = 2, y2 = - 8 (Εικ. 16).
Κοβαλτσούκ Κύριλλο
Το έργο "Τετραγωνικές εξισώσεις μέσα από αιώνες και χώρες" εισάγει τους μαθητές σε επιστήμονες μαθηματικών, των οποίων οι ανακαλύψεις αποτελούν τη βάση της επιστημονικής και τεχνολογικής προόδου, αναπτύσσει ενδιαφέρον για τα μαθηματικά ως μάθημα που βασίζεται στην εξοικείωση με το ιστορικό υλικό, διευρύνει τους ορίζοντες των μαθητών και τους διεγείρει γνωστική δραστηριότητακαι τη δημιουργικότητα.
Κατεβάστε:
Προεπισκόπηση:
Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφάνειας:
Εργασία ενός μαθητή της 8ης τάξης του Δημοτικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος Γυμνάσιο Νο. 17 στο χωριό Borisovka Kirill Kovalchuk Επόπτης G.V
Τετραγωνικές εξισώσεις μέσα από αιώνες και χώρες
Στόχος του έργου: Η εισαγωγή των μαθητών σε επιστήμονες των μαθηματικών, των οποίων οι ανακαλύψεις αποτελούν τη βάση της επιστημονικής και τεχνολογικής προόδου. Δείξτε τη σημασία των εργασιών των επιστημόνων για την ανάπτυξη της γεωμετρίας και της φυσικής.????????????? Δείξτε την εφαρμογή με σαφήνεια επιστημονικές ανακαλύψειςστη ζωή. Να αναπτύξουν ενδιαφέρον για τα μαθηματικά ως μάθημα με βάση την εξοικείωση με το ιστορικό υλικό. Διευρύνετε τους ορίζοντες των μαθητών, τονώστε τη γνωστική δραστηριότητα και τη δημιουργικότητά τους
Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο του πρώτου βαθμού, αλλά και του δεύτερου, στην αρχαιότητα προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση των περιοχών των οικοπέδων, με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών. Οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούσαν να λυθούν γύρω στο 2000 π.Χ. μι. Βαβυλώνιοι. Οι κανόνες για την επίλυση αυτών των εξισώσεων που ορίζονται στα βαβυλωνιακά κείμενα είναι ουσιαστικά οι ίδιοι με τα σύγχρονα, αλλά αυτά τα κείμενα στερούνται την έννοια του αρνητικού αριθμού και τις γενικές μεθόδους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.
. (περίπου 365 - 300 π.Χ.) - αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, συγγραφέας των πρώτων θεωρητικών πραγματειών για τα μαθηματικά που έχουν φτάσει μέχρι εμάς. Ευκλείδης, ή Ευκλείδης
Ευκλείδης Αρχές Εκεί που ο Νείλος σμίγει με τη θάλασσα, Στην αρχαία καυτή γη των Πυραμίδων Έζησε ο Έλληνας μαθηματικός - ο Γνώστης, Σοφός Ευκλείδης. Σπούδασε γεωμετρία, δίδαξε γεωμετρία. Έγραψε ένα σπουδαίο έργο. Το όνομα αυτού του βιβλίου είναι "Αρχές".
Ευκλείδης 3ος αιώνας π.Χ Ο Ευκλείδης έλυσε τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας γεωμετρική μέθοδο. Εδώ είναι ένα από τα προβλήματα από την αρχαία ελληνική πραγματεία: «Υπάρχει μια πόλη με περίγραμμα σε μορφή τετραγώνου με πλευρά αγνώστου μεγέθους, στο κέντρο κάθε πλευράς υπάρχει μια πύλη. Υπάρχει στύλος σε απόσταση 20bu (1bu=1,6m) από τη βόρεια πύλη. Αν πας από Νότια πύλη 14b ευθεία, μετά στρίψτε δυτικά και πηγαίνετε άλλο 1775b, μπορείτε να δείτε μια κολόνα. Το ερώτημα είναι: ποια πλευρά των συνόρων της πόλης; »
Για να προσδιορίσουμε την άγνωστη πλευρά του τετραγώνου, λαμβάνουμε την τετραγωνική εξίσωση x ² +(k+l)x-2kd =0. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηη εξίσωση έχει τη μορφή x ² +34x-71000=0, από όπου x=250bu l x d k
Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία Προβλήματα στις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται επίσης στην αστρονομική πραγματεία «Aryabhattiam», που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Brahmagupta, έθεσε έναν γενικό κανόνα για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή: ax ² +bx=c , a>0 Οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι στην Αρχαία Ινδία. Ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία λέει τα εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος σκιάζει τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι λόγιος άνθρωποςεπισκιάσει τη δόξα του άλλου στις λαϊκές συνελεύσεις προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα».
Ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του 12ου αιώνα Bhaskara Ένα κοπάδι από ζωηρές πιθήκους, έχοντας φάει με την καρδιά τους, διασκέδασαν. Μέρος όγδοο από αυτά στην πλατεία διασκέδαζα στο ξέφωτο. Και δώδεκα στα κλήματα... Άρχισαν να χοροπηδάνε κρεμασμένοι... Πόσοι πίθηκοι ήταν, πες μου, σε αυτό το κοπάδι;
Λύση. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, τότε D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Απάντηση: Υπήρχαν 16 ή 48 πίθηκοι.
Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης έχει «ανακαλυφθεί ξανά» αρκετές φορές. Μία από τις πρώτες παράγωγες αυτού του τύπου που έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα ανήκει στον Ινδό μαθηματικό Brahmagupta. Ο επιστήμονας της Κεντρικής Ασίας al-Khwarizmi, στην πραγματεία του "Kitab al-jerb wal-mukabala", έλαβε αυτόν τον τύπο απομονώνοντας ένα πλήρες τετράγωνο.
Πώς έλυσε αυτή την εξίσωση ο al-Khorezmi; Έγραψε: «Ο κανόνας είναι αυτός: διπλασιάστε τον αριθμό των ριζών, x = 2x · 5 σε αυτό το πρόβλημα παίρνετε πέντε, πολλαπλασιάστε το 5 με αυτό ίσο με αυτό, γίνεται είκοσι πέντε, 5 · 5 = 25 προσθέστε αυτό σε τριάντα -εννέα, το 25 + 39 γίνεται εξήντα τέσσερα, το 64 πάρτε τη ρίζα από αυτό, θα είναι οκτώ, 8 και αφαιρέστε από αυτό το μισό τον αριθμό των ριζών, δηλ. πέντε, 8-5 θα παραμείνουν τρεις - αυτό είναι και 3 Θα είναι τη ρίζα του τετραγώνου που έψαχνες». Τι γίνεται με τη δεύτερη ρίζα; Η δεύτερη ρίζα δεν βρέθηκε, αφού οι αρνητικοί αριθμοί δεν ήταν γνωστοί. x 2 +10 x = 39
Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη 13-17 αιώνες. Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων που διαμορφώθηκαν μετά τον αλ-Χουαρίζμι στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο «Βιβλίο του Άβακα», που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Αυτό το ογκώδες έργο, το οποίο αντανακλά την επίδραση των μαθηματικών τόσο από τις ισλαμικές χώρες όσο και από Αρχαία Ελλάδα, διακρίνεται τόσο από πληρότητα όσο και από σαφήνεια παρουσίασης. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα κάποια νέα αλγεβρικές λύσειςπροβλήματα και ήταν η πρώτη στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από το Βιβλίο του Άβακα χρησιμοποιήθηκαν σχεδόν σε όλα τα ευρωπαϊκά εγχειρίδια του 16ου και 17ου αιώνα. και εν μέρει 18.
Francois Viète - ο μεγαλύτερος μαθηματικός του 16ου αιώνα
Πριν από τον F. Vieta, η επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης γινόταν σύμφωνα με τους δικούς της κανόνες με τη μορφή πολύ μακρών λεκτικών επιχειρημάτων και περιγραφών, μάλλον επαχθών ενεργειών. Δεν μπορούσαν καν να γράψουν την ίδια την εξίσωση λεκτική περιγραφή. Επινόησε τον όρο «συντελεστής». Πρότεινε οι απαιτούμενες ποσότητες να συμβολίζονται με φωνήεντα και τα δεδομένα με σύμφωνα. Χάρη στον συμβολισμό του Vieta, μπορούμε να γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση με τη μορφή: ax 2 + bx + c =0. Θεώρημα: Το άθροισμα των ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Παρά το γεγονός ότι αυτό το θεώρημα ονομάζεται «Θεώρημα του Βιέτα», ήταν γνωστό πριν από αυτόν και το μετέτρεψε μόνο στη σύγχρονη μορφή του. Ο Βιέτα αποκαλείται «πατέρας της άλγεβρας»
Η ανθρωπότητα έχει διανύσει πολύ δρόμο από την άγνοια στη γνώση, αντικαθιστώντας συνεχώς την ελλιπή και ατελή γνώση με όλο και πιο ολοκληρωμένη και τέλεια γνώση στην πορεία. Τελευταία λέξη
Εμείς που ζούμε μέσα αρχές του XXIαιώνα, ελκύει την αρχαιότητα. Στους προγόνους μας παρατηρούμε πρώτα απ 'όλα αυτά που τους λείπει από τη σύγχρονη άποψη και συνήθως δεν παρατηρούμε τι λείπει εμείς οι ίδιοι σε σύγκριση με αυτούς.
Ας μην τους ξεχνάμε…
Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας!
Εκπρόσωποι διάφορων πολιτισμών: Αρχαία Αίγυπτος, Αρχαία Βαβυλώνα, Αρχαία Ελλάδα, Αρχαία Ινδία, Αρχαία Κίνα, Μεσαιωνική Ανατολή, Ευρώπη κατέκτησε τις τεχνικές επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων.
Για πρώτη φορά, οι μαθηματικοί της Αρχαίας Αιγύπτου μπόρεσαν να λύσουν μια εξίσωση του τετραγώνου. Ένας από τους μαθηματικούς πάπυρους περιέχει το ακόλουθο πρόβλημα:
«Βρείτε τις πλευρές ενός πεδίου που έχει σχήμα ορθογώνιου αν το εμβαδόν του είναι 12 και τα μήκη του είναι ίσα με το πλάτος του». «Το μήκος του χωραφιού είναι 4», αναφέρει ο πάπυρος.
Πέρασαν χιλιετίες και οι αρνητικοί αριθμοί μπήκαν στην άλγεβρα. Λύνοντας την εξίσωση x²= 16, παίρνουμε δύο αριθμούς: 4, –4.
Φυσικά, στο αιγυπτιακό πρόβλημα θα παίρναμε Χ = 4, αφού το μήκος του πεδίου μπορεί να είναι μόνο θετική ποσότητα.
Οι πηγές που έφτασαν σε εμάς αναφέρουν ότι οι αρχαίοι επιστήμονες είχαν κάποιες γενικές τεχνικές για την επίλυση προβλημάτων με άγνωστες ποσότητες. Ο κανόνας για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων που διατυπώνεται στα βαβυλωνιακά κείμενα είναι ουσιαστικά ο ίδιος με τον σύγχρονο, αλλά δεν είναι γνωστό πώς οι Βαβυλώνιοι «έφτασαν ως εδώ». Όμως σχεδόν σε όλα τα κείμενα των παπύρων και της σφηνοειδής γραφής που βρέθηκαν, δίνονται μόνο προβλήματα με λύσεις. Οι συγγραφείς παρείχαν μόνο περιστασιακά τους αριθμητικούς υπολογισμούς τους με πεζά σχόλια όπως: "Κοίτα!", "Κάνε αυτό!", "Βρήκες το σωστό!"
Ο Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος συνέθεσε και έλυσε δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Η Αριθμητική του δεν περιέχει συστηματική παρουσίαση της άλγεβρας, αλλά περιέχει μια συστηματική σειρά προβλημάτων, που συνοδεύονται από επεξηγήσεις και λύνονται με την κατασκευή εξισώσεων διαφόρων βαθμών.
Προβλήματα σχετικά με τη σύνθεση τετραγωνικών εξισώσεων βρίσκονται ήδη στην αστρονομική πραγματεία «Aria-bhatiam», που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta.
Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας Brahmagupta (7ος αιώνας) περιέγραψε τον γενικό κανόνα για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής ax² + bx = c.
Στην αρχαία Ινδία, οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι. Ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία σχετικά με τέτοιους διαγωνισμούς λέει τα εξής: «Όπως ο ήλιος ξεπερνά τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι ένας λόγιος άνθρωπος θα ξεπεράσει τη δόξα ενός άλλου στις δημόσιες συνελεύσεις, προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα προβλήματα παρουσιάζονταν συχνά σε ποιητική μορφή.
Αυτό είναι ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του 12ου αιώνα. Μπάσκαρ:
Ένα κοπάδι ζωηρών πιθήκων
Έφαγα με την καρδιά μου, διασκέδασα.
Το όγδοο μέρος τους έπαιζε στο ξέφωτο της πλατείας.
Και δώδεκα στα κλήματα... άρχισαν να χοροπηδάνε κρέμονται...
Πόσες μαϊμούδες ήταν εκεί;
Πες μου, σε αυτό το πακέτο;
Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι γνώριζε ότι οι ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων έχουν δύο τιμές.
Τα αρχαιότερα κινεζικά μαθηματικά κείμενα που έχουν φτάσει σε εμάς χρονολογούνται από τα τέλη του 1ου αιώνα. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. Τον II αιώνα. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. Τα μαθηματικά σε εννέα βιβλία γράφτηκαν. Αργότερα, τον 7ο αιώνα, συμπεριλήφθηκε στη συλλογή «Δέκα κλασικές πραγματείες», η οποία μελετήθηκε για πολλούς αιώνες. Η πραγματεία "Μαθηματικά σε εννέα βιβλία" εξηγεί πώς να εξαγάγετε Τετραγωνική ρίζαχρησιμοποιώντας τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος δύο αριθμών.
Η μέθοδος ονομάστηκε «τιαν-γιουάν» (κυριολεκτικά «ουράνιο στοιχείο») - έτσι οι Κινέζοι όρισαν μια άγνωστη ποσότητα.
Το πρώτο εγχειρίδιο για την επίλυση προβλημάτων που έγινε ευρέως γνωστό ήταν το έργο του επιστήμονα της Βαγδάτης του 9ου αιώνα. Μοχάμεντ μπιν Μούσα αλ Χουαρίζμι. Η λέξη "al-jabr" με την πάροδο του χρόνου μετατράπηκε στη γνωστή λέξη "άλγεβρα" και το ίδιο το έργο του al-Khorezmi έγινε το σημείο εκκίνησης στην ανάπτυξη της επιστήμης της επίλυσης εξισώσεων. Η αλγεβρική πραγματεία του Al-Khwarizmi δίνει μια ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας μετράει έξι τύπους εξισώσεων, εκφράζοντας τους ως εξής:
-τετράγωνα ίσες ρίζες, δηλαδή αχ ² = bх;
-τετράγωνα ισάριθμα, δηλαδή αχ ² = s;
-οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό, δηλαδή τσεκούρι = γ;
-τετράγωνα και αριθμοί είναι ίσοι με ρίζες, δηλαδή αχ ²+ с = bх;
-τα τετράγωνα και οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό, δηλαδή αχ ² + bх = с;
-οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα, δηλαδή bx + c = ax ²;
Η πραγματεία του Al-Khwarizmi είναι το πρώτο βιβλίο που μας έχει φτάσει, το οποίο εκθέτει συστηματικά την ταξινόμηση των τετραγωνικών εξισώσεων και δίνει τύπους για τη λύση τους.
Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων που διαμορφώθηκαν μετά τον αλ-Χουαρίζμι στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο Βιβλίο του Άβακα, που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα κάποια νέα αλγεβρικά παραδείγματαεπίλυση προβλημάτων και ήταν η πρώτη στην Ευρώπη που εισήγαγε αρνητικούς αριθμούς. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από το «Βιβλίο του Άβακα» συμπεριλήφθηκαν σε όλα σχεδόν τα ευρωπαϊκά σχολικά βιβλία του 16ου-17ου αιώνα. και εν μέρει του 18ου αιώνα.
Γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων ανάγονται σε μια απλή κανονική μορφή x ² + bх = с, για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς των σημείων των συντελεστών b και c διατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.
Ο Vieta έχει μια γενική εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης, αλλά αναγνώρισε επίσης μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα. Εκτός από τις θετικές και αρνητικές ρίζες, λαμβάνονται υπόψη. Μόλις τον 17ο αιώνα, χάρη στα έργα του Ζιράρ, του Ντεκάρτ, του Νεύτωνα και άλλων επιστημόνων, η μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων πήρε τη σύγχρονη μορφή της.
Δεν υπάρχει ακόμα έκδοση HTML της εργασίας.
Παρόμοια έγγραφα
Ιστορία της ανάπτυξης τύπων για τις ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων. Τετραγωνικές εξισώσεις σε Αρχαία Βαβυλώνα. Λύση τετραγωνικών εξισώσεων από τον Διόφαντο. Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία, τη Χορεζμία και την Ευρώπη τον 13ο - 17ο αιώνα. Θεώρημα Vieta, σύγχρονη αλγεβρική σημειογραφία.
δοκιμή, προστέθηκε στις 27/11/2010
Ιστορία των τετραγωνικών εξισώσεων: εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα και την Ινδία. Τύποι για ζυγούς συντελεστές x. Τετραγωνικές εξισώσεις συγκεκριμένης φύσης. Το θεώρημα του Vieta για τα πολυώνυμα υψηλότερους βαθμούς. Μελέτη διτετραγωνικών εξισώσεων. Η ουσία της φόρμουλας Cordano.
περίληψη, προστέθηκε 05/09/2009
Παραγωγή του τύπου επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης στην ιστορία των μαθηματικών. Συγκριτική ανάλυσητεχνολογίες με διάφορους τρόπουςλύσεις εξισώσεων δευτέρου βαθμού, παραδείγματα εφαρμογής τους. Σύντομη θεωρίαεπίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, συγγραφή βιβλίου προβλημάτων.
περίληψη, προστέθηκε 18/12/2012
Η σημασία των μαθηματικών στη ζωή μας. Ιστορικό του λογαριασμού. Τρέχουσα ανάπτυξη υπολογιστικών μαθηματικών μεθόδων. Η χρήση των μαθηματικών σε άλλες επιστήμες, ο ρόλος της μαθηματικής μοντελοποίησης. Η κατάσταση της μαθηματικής εκπαίδευσης στη Ρωσία.
άρθρο, προστέθηκε 01/05/2010
Ελληνικά μαθηματικά. Μεσαίωνας και Αναγέννηση. Η αρχή των σύγχρονων μαθηματικών. Σύγχρονα μαθηματικά. Τα μαθηματικά δεν βασίζονται στη λογική, αλλά στην υγιή διαίσθηση. Τα προβλήματα των θεμελίων των μαθηματικών είναι φιλοσοφικά.
περίληψη, προστέθηκε 09/06/2006
Ιστορία της ανάπτυξης της μαθηματικής επιστήμης στην Ευρώπη τον 6ο-14ο αιώνα, οι εκπρόσωποι και τα επιτεύγματά της. Ανάπτυξη των μαθηματικών κατά την Αναγέννηση. Δημιουργία αλφαβητικού λογισμού, δραστηριότητα του Francois Vieta. Βελτιώσεις στην πληροφορική στα τέλη του 16ου και στις αρχές του 16ου αιώνα.
παρουσίαση, προστέθηκε 20/09/2015
Ανασκόπηση της εξέλιξης των ευρωπαϊκών μαθηματικών κατά τον 17ο-18ο αιώνα. Ανώμαλη ανάπτυξη της ευρωπαϊκής επιστήμης. Αναλυτική γεωμετρία. Δημιουργία μαθηματικής ανάλυσης. Η επιστημονική σχολή του Leibniz. γενικά χαρακτηριστικάεπιστήμη τον 18ο αιώνα Κατευθύνσεις ανάπτυξης των μαθηματικών.
παρουσίαση, προστέθηκε 20/09/2015
Η περίοδος της γέννησης των μαθηματικών (πριν τον 7ο-5ο αι. π.Χ.). Ο χρόνος των μαθηματικών σταθερών μεγεθών (VII-V αι. π.Χ. – XVII αι. μ.Χ.). Μαθηματικά μεταβλητών (XVII-XIX αιώνες). Σύγχρονη περίοδος ανάπτυξης των μαθηματικών. Χαρακτηριστικά των μαθηματικών υπολογιστών.
παρουσίαση, προστέθηκε 20/09/2015
Τα επιτεύγματα των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών που έζησαν μεταξύ του 6ου αιώνα π.Χ. και 5ος αιώνας μ.Χ Χαρακτηριστικά της αρχικής περιόδου ανάπτυξης των μαθηματικών. Ο ρόλος της Πυθαγόρειας σχολής στην ανάπτυξη των μαθηματικών: Πλάτωνας, Εύδοξος, Ζήνων, Δημόκριτος, Ευκλείδης, Αρχιμήδης, Απολλώνιος.
δοκιμή, προστέθηκε στις 17/09/2010
Ιστορία της ανάπτυξης των μαθηματικών ως επιστήμης. Η περίοδος των στοιχειωδών μαθηματικών. Η περίοδος δημιουργίας μαθηματικών μεταβλητών μεγεθών. Δημιουργία αναλυτικής γεωμετρίας, διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Ανάπτυξη των μαθηματικών στη Ρωσία τον 18ο-19ο αιώνα.