Με τι μπορεί να μειωθεί το 143; Μείωση αλγεβρικών κλασμάτων: κανόνες, παραδείγματα

Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 4, δηλ. το υπόλοιπο τμήμα παραμένει. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι ολοκληρώνεται διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).

Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης όταν διαιρείται με ένα υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός είναι ο αριθμός 124. Και τέλος, το τελευταίο συστατικό, το οποίο δεν είναι σε συνηθισμένη διαίρεση, είναι υπόλοιπο. Σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο χωρίς ίχνος, ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.

Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη.

Η διαίρεση μπορεί να ελεγχθεί με πολλαπλασιασμό. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.

Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a = b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το μερικό πηλίκο, r το υπόλοιπο.

Το πηλίκο των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.

Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".

Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα \(\frac(m)(n) \), όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n ο διαιρέτης:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες:

Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n)\), πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα σε n ίσα μέρη (μερίδια) και να πάρετε m τέτοια μέρη.

Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n)\), πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.

Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Για να βρείτε ένα σύνολο από το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.

Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μειώνοντας ένα κλάσμα.

Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε αυτή η ενέργεια ονομάζεται αναγωγή των κλασμάτων σε κοινός παρονομαστής .

Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. Μικτά νούμερα

Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(3)(4)\) σημαίνει τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλά από τα προβλήματα της προηγούμενης παραγράφου, τα κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν για να αναπαραστήσουν μέρη ενός συνόλου. Η κοινή λογική υπαγορεύει ότι το μέρος πρέπει να είναι πάντα μικρότερο από το σύνολο, αλλά τι γίνεται με κλάσματα όπως \(\frac(5)(5)\) ή \(\frac(8)(5)\); Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς λέγονται τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής μικρότερο από τον παρονομαστή, κάλεσε σωστά κλάσματα.

Όπως γνωρίζετε, οποιαδήποτε κοινό κλάσμαΤο , τόσο σωστό όσο και λάθος, μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος «ακατάλληλο κλάσμα» δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι ο αριθμητής αυτού του κλάσματος είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.

Για παράδειγμα:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 είναι το ακέραιο μέρος και \(\frac(2)(3) \) είναι το κλασματικό μέρος.

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρεθεί αυτό το κλάσμα με το n, ο αριθμητής του πρέπει να διαιρεθεί με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει επίσης όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε με την πρώτη ματιά αν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.

Ενέργειες με κλάσματα. Προσθήκη κλασμάτων.

Μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις με κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Είναι εύκολο να προσθέσετε κλάσματα με παρονομαστές παρόμοιους. Ας βρούμε, για παράδειγμα, το άθροισμα των \(\frac(2)(7)\) και \(\frac(3)(7)\). Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Εάν χρειάζεται να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να έρθουν σε κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.

Προσθήκη μικτών κλασμάτων

Οι συμβολισμοί όπως \(2\frac(2)(3)\) καλούνται μικτά κλάσματα. Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός 2 ολόκληρο μέροςμικτό κλάσμα, και ο αριθμός \(\frac(2)(3)\) είναι δικός του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση \(2\frac(2)(3)\) διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".

Όταν διαιρείτε τον αριθμό 8 με τον αριθμό 3, μπορείτε να λάβετε δύο απαντήσεις: \(\frac(8)(3)\) και \(2\frac(2)(3)\). Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(8)(3)\) αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα \(2\frac(2)(3)\). Σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι από ακατάλληλο κλάσμα ανέδειξε όλο το μέρος.

Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)

Η αφαίρεση των κλασματικών αριθμών, όπως και οι φυσικοί αριθμοί, προσδιορίζεται με βάση τη δράση της πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) αφού \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, με ένα μικτό κλάσμα και επίσης να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1 και ένα μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) με τη μείωση του κλάσματος και την απομόνωση ολόκληρου του τμήματος του ακατάλληλου κλάσματος.

Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνδυαστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.

Διαίρεση κλασμάτων

Ας πάρουμε το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) και ας το "αναποδογυρίσουμε", ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα \(\frac(3)(2)\). Αυτό το κλάσμα λέγεται αντίστροφοκλάσματα \(\frac(2)(3)\).

Αν τώρα «αντιστρέψουμε» το κλάσμα \(\frac(3)(2)\), θα πάρουμε το αρχικό κλάσμα \(\frac(2)(3)\). Επομένως, κλάσματα όπως \(\frac(2)(3)\) και \(\frac(3)(2)\) ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα \(\frac(6)(5) \) και \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) και \(\frac (18 )(7)\).

Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: \(\frac(a)(b) \) και \(\frac(b)(a) \)

Είναι σαφές ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι ίσο με 1. Για παράδειγμα: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, μπορείτε να μειώσετε τη διαίρεση των κλασμάτων σε πολλαπλασιασμό.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα είναι:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Αν το μέρισμα ή ο διαιρέτης είναι φυσικός αριθμόςή ένα μικτό κλάσμα, τότε, για να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας για τη διαίρεση κλασμάτων, πρέπει πρώτα να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα.

Βασίζεται στην κύρια ιδιότητά τους: αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με το ίδιο μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε θα προκύψει ένα ίσο κλάσμα.

Μπορείτε μόνο να μειώσετε τους πολλαπλασιαστές!

Τα μέλη των πολυωνύμων δεν μπορούν να συντομεύονται!

Για να μειωθεί ένα αλγεβρικό κλάσμα, πρέπει πρώτα να παραγοντοποιηθούν τα πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή.

Ας δούμε παραδείγματα αναγωγικών κλασμάτων.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος περιέχουν μονώνυμα. Αντιπροσωπεύουν εργασία(αριθμοί, μεταβλητές και οι δυνάμεις τους), πολλαπλασιαστέςμπορούμε να μειώσουμε.

Μειώνουμε τους αριθμούς στους μεγαλύτερους κοινός διαιρέτης, δηλαδή, επάνω μεγαλύτερος αριθμός, με το οποίο διαιρείται καθένας από αυτούς τους αριθμούς. Για το 24 και το 36 αυτό είναι 12. Μετά τη μείωση, το 2 παραμένει από το 24 και το 3 από το 36.

Μειώνουμε τις μοίρες κατά το βαθμό με τον χαμηλότερο δείκτη. Για να μειώσουμε ένα κλάσμα σημαίνει να διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο διαιρέτη και να αφαιρούμε τους εκθέτες.

Τα a2 και a7 μειώνονται σε a2. Σε αυτήν την περίπτωση, το ένα παραμένει στον αριθμητή του a² (γράφουμε 1 μόνο στην περίπτωση που, μετά τη μείωση, δεν μένουν άλλοι παράγοντες. Από το 24, παραμένει το 2, οπότε δεν γράφουμε 1 που απομένει από το a²). Από το a7, μετά τη μείωση, το a5 παραμένει.

Τα b και b μειώνονται κατά b οι μονάδες που προκύπτουν δεν γράφονται.

Τα c3º και c5 συντομεύονται σε c5. Από c³º αυτό που απομένει είναι c25, από c5 είναι ένα (δεν το γράφουμε). Ετσι,

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής αυτού του αλγεβρικού κλάσματος είναι πολυώνυμα. Δεν μπορείτε να ακυρώσετε όρους πολυωνύμων! (δεν μπορείτε να μειώσετε, για παράδειγμα, 8x² και 2x!). Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, χρειάζεστε . Ο αριθμητής έχει κοινό παράγοντα 4x. Ας το βγάλουμε από αγκύλες:

Και ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο παράγοντα (2x-3). Μειώνουμε το κλάσμα με αυτόν τον παράγοντα. Στον αριθμητή πήραμε 4x, στον παρονομαστή - 1. Σύμφωνα με 1 ιδιότητα των αλγεβρικών κλασμάτων, το κλάσμα είναι ίσο με 4x.

Μπορείτε να μειώσετε μόνο τους παράγοντες (δεν μπορείτε να μειώσετε αυτό το κλάσμα κατά 25x²!). Επομένως, τα πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος πρέπει να παραγοντοποιηθούν.

Στον αριθμητή - τέλειο τετράγωνοαθροίσματα, ο παρονομαστής είναι η διαφορά των τετραγώνων. Μετά την αποσύνθεση χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού, λαμβάνουμε:

Μειώνουμε το κλάσμα κατά (5x+1) (για να το κάνετε αυτό, διαγράψτε τα δύο στον αριθμητή ως εκθέτη, αφήνοντας (5x+1)² (5x+1)):

Ο αριθμητής έχει κοινό παράγοντα 2, ας τον βγάλουμε από αγκύλες. Ο παρονομαστής είναι ο τύπος για τη διαφορά των κύβων:

Ως αποτέλεσμα της επέκτασης, ο αριθμητής και ο παρονομαστής έλαβαν τον ίδιο παράγοντα (9+3a+a²). Μειώνουμε το κλάσμα με αυτό:

Το πολυώνυμο στον αριθμητή αποτελείται από 4 όρους. ο πρώτος όρος με τον δεύτερο, ο τρίτος με τον τέταρτο και αφαιρέστε τον κοινό παράγοντα x² από τις πρώτες αγκύλες. Αποσυνθέτουμε τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος των κύβων:

Στον αριθμητή, ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα (x+2) από αγκύλες:

Μειώστε το κλάσμα κατά (x+2):

Χωρίς να γνωρίζουμε πώς να μειώνουμε ένα κλάσμα και να έχουμε σταθερή ικανότητα στην επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων, είναι πολύ δύσκολο να μελετήσουμε την άλγεβρα στο σχολείο. Όσο προχωράτε, τόσο περισσότερο παρεμβαίνει στις βασικές σας γνώσεις για τη μείωση των κλασμάτων. νέες πληροφορίες. Πρώτα εμφανίζονται δυνάμεις και μετά παράγοντες που αργότερα γίνονται πολυώνυμα.

Πώς μπορείτε να αποφύγετε τη σύγχυση εδώ; Ενοποιήστε διεξοδικά τις δεξιότητες σε προηγούμενα θέματα και προετοιμαστείτε σταδιακά για τη γνώση του πώς να μειώσετε ένα κλάσμα, το οποίο γίνεται πιο περίπλοκο από χρόνο σε χρόνο.

Βασικές γνώσεις

Χωρίς αυτά, δεν θα μπορείτε να αντεπεξέλθετε σε εργασίες οποιουδήποτε επιπέδου. Για να καταλάβετε, πρέπει να κατανοήσετε δύο απλά σημεία. Πρώτον: μπορείτε μόνο να μειώσετε τους παράγοντες. Αυτή η απόχρωση αποδεικνύεται πολύ σημαντική όταν εμφανίζονται πολυώνυμα στον αριθμητή ή στον παρονομαστή. Τότε πρέπει να διακρίνετε ξεκάθαρα πού είναι ο πολλαπλασιαστής και πού είναι η πρόσθεση.

Το δεύτερο σημείο λέει ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή παραγόντων. Επιπλέον, το αποτέλεσμα της αναγωγής είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν μπορούν πλέον να μειωθούν.

Κανόνες για τη μείωση κοινών κλασμάτων

Αρχικά, πρέπει να ελέγξετε αν ο αριθμητής διαιρείται με τον παρονομαστή ή το αντίστροφο. Τότε είναι ακριβώς αυτός ο αριθμός που πρέπει να μειωθεί. Αυτή είναι η απλούστερη επιλογή.

Το δεύτερο είναι η ανάλυση εμφάνισηαριθμοί. Αν και τα δύο τελειώνουν σε ένα ή περισσότερα μηδενικά, τότε μπορούν να συντομευθούν κατά 10, 100 ή χίλια. Εδώ μπορείτε να παρατηρήσετε αν οι αριθμοί είναι ζυγοί. Εάν ναι, τότε μπορείτε να το κόψετε με ασφάλεια κατά δύο.

Ο τρίτος κανόνας για τη μείωση ενός κλάσματος είναι να το συνυπολογίσουμε πρωταρχικούς παράγοντεςαριθμητής και παρονομαστής. Αυτή τη στιγμή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ενεργά όλες τις γνώσεις σας σχετικά με τα σημάδια διαιρετότητας των αριθμών. Μετά από αυτή την αποσύνθεση, το μόνο που μένει είναι να βρούμε όλα τα επαναλαμβανόμενα, να τα πολλαπλασιάσουμε και να τα μειώσουμε με τον αριθμό που προκύπτει.

Τι γίνεται αν υπάρχει μια αλγεβρική έκφραση σε ένα κλάσμα;

Εδώ εμφανίζονται οι πρώτες δυσκολίες. Επειδή εδώ εμφανίζονται όροι που μπορεί να είναι πανομοιότυποι με παράγοντες. Θέλω πολύ να τα μειώσω, αλλά δεν μπορώ. Για να μπορέσετε να μειώσετε ένα αλγεβρικό κλάσμα, πρέπει να μετατραπεί έτσι ώστε να έχει συντελεστές.

Για να γίνει αυτό, θα χρειαστεί να εκτελέσετε πολλά βήματα. Ίσως χρειαστεί να περάσετε από όλα αυτά, ή ίσως το πρώτο να προσφέρει μια κατάλληλη επιλογή.

Ελέγξτε εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ή οποιαδήποτε έκφραση σε αυτά διαφέρουν κατά πρόσημο. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλώς να βάλετε μείον ένα εκτός παρενθέσεων. Αυτό παράγει ίσους παράγοντες που μπορούν να μειωθούν.

Δείτε εάν είναι δυνατό να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα από το πολυώνυμο εκτός παρενθέσεων. Ίσως αυτό να οδηγήσει σε μια παρένθεση, η οποία μπορεί επίσης να συντομευθεί, ή θα είναι ένα αφαιρεμένο μονώνυμο.

Προσπαθήστε να ομαδοποιήσετε τα μονώνυμα για να προσθέσετε στη συνέχεια έναν κοινό παράγοντα σε αυτά. Μετά από αυτό, μπορεί να αποδειχθεί ότι θα υπάρξουν παράγοντες που μπορούν να μειωθούν ή και πάλι η αγκύρωση των κοινών στοιχείων θα επαναληφθεί.

Προσπαθήστε να λάβετε υπόψη τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού γραπτώς. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε εύκολα να μετατρέψετε πολυώνυμα σε παράγοντες.

Ακολουθία πράξεων με κλάσματα με δυνάμεις

Για να κατανοήσετε εύκολα το ερώτημα πώς να μειώσετε ένα κλάσμα με δυνάμεις, πρέπει να θυμάστε σταθερά τις βασικές λειτουργίες με αυτές. Το πρώτο από αυτά σχετίζεται με τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων. Σε αυτή την περίπτωση, εάν οι βάσεις είναι ίδιες, πρέπει να προστεθούν οι δείκτες.

Το δεύτερο είναι η διαίρεση. Και πάλι, για όσους έχουν τους ίδιους λόγους, οι δείκτες θα πρέπει να αφαιρεθούν. Επιπλέον, πρέπει να αφαιρέσετε από τον αριθμό που είναι στο μέρισμα και όχι το αντίστροφο.

Το τρίτο είναι η εκθετικότητα. Σε αυτή την περίπτωση, οι δείκτες πολλαπλασιάζονται.

Η επιτυχής μείωση θα απαιτήσει επίσης τη δυνατότητα μείωσης των βαθμών σε για τους ίδιους λόγους. Δηλαδή να δούμε ότι το τέσσερα είναι δύο στο τετράγωνο. Ή 27 - ο κύβος των τριών. Γιατί η μείωση 9 σε τετράγωνο και 3 κύβους είναι δύσκολη. Αλλά αν μετατρέψουμε την πρώτη έκφραση σε (3 2) 2, τότε η αναγωγή θα είναι επιτυχής.

Διαίρεσηκαι ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πάνω τους κοινός διαιρέτης, διαφορετικό από ένα, λέγεται μειώνοντας ένα κλάσμα.

Για να μειώσετε ένα κοινό κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον ίδιο φυσικό αριθμό.

Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος.

Τα παρακάτω είναι πιθανά έντυπα καταγραφής αποφάσεωνΠαραδείγματα αναγωγής κοινών κλασμάτων.

Ο μαθητής έχει το δικαίωμα να επιλέξει οποιαδήποτε μορφή ηχογράφησης.

Παραδείγματα. Απλοποιήστε τα κλάσματα.

Μειώστε το κλάσμα κατά 3 (διαιρέστε τον αριθμητή με 3.

διαιρέστε τον παρονομαστή με το 3).

Μειώστε το κλάσμα κατά 7.

Εκτελούμε τις υποδεικνυόμενες ενέργειες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος.

Το κλάσμα που προκύπτει μειώνεται κατά 5.

Ας μειώσουμε αυτό το κλάσμα 4) επί 5·7³- ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος αποτελείται από τους κοινούς συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή, που λαμβάνονται στην ισχύ με τον μικρότερο εκθέτη.

Ας συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος σε πρώτους παράγοντες.

Παίρνουμε: 756=2²·3³·7Και 1176=2³·3·7².

Προσδιορίστε το GCD (μέγιστο κοινό διαιρέτη) του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος 5) .

Αυτό είναι το προϊόν κοινών παραγόντων που λαμβάνονται με τους χαμηλότερους εκθέτες.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με το gcd τους, δηλ. 2²·3·7παίρνουμε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .

Ή ήταν δυνατό να γραφτεί η αποσύνθεση του αριθμητή και του παρονομαστή με τη μορφή ενός γινόμενου πρώτων παραγόντων, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η έννοια της ισχύος, και στη συνέχεια να μειωθεί το κλάσμα διαγράφοντας τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Όταν δεν υπάρχουν πανομοιότυποι παράγοντες, πολλαπλασιάζουμε τους υπόλοιπους συντελεστές χωριστά στον αριθμητή και χωριστά στον παρονομαστή και γράφουμε το κλάσμα που προκύπτει 9/14 .

Και τέλος, ήταν δυνατό να μειωθεί αυτό το κλάσμα 5) σταδιακά, εφαρμόζοντας σημάδια διαίρεσης αριθμών τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του κλάσματος. Σκεφτόμαστε ως εξής: αριθμοί 756 Και 1176 τελειώνουν σε ζυγό αριθμό, που σημαίνει ότι και τα δύο διαιρούνται με 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του νέου κλάσματος είναι αριθμοί 378 Και 588 επίσης χωρίζεται σε 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 294 - ακόμη, και 189 είναι περίεργο και η μείωση κατά 2 δεν είναι πλέον δυνατή. Ας ελέγξουμε τη διαιρετότητα των αριθμών 189 Και 294 επί 3 .

Το (1+8+9)=18 διαιρείται με το 3 και το (2+9+4)=15 διαιρείται με το 3, εξ ου και οι ίδιοι οι αριθμοί 189 Και 294 χωρίζονται σε 3 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 . Επόμενος, 63 διαιρείται με το 3 και 98 - Όχι. Ας δούμε άλλους πρωταρχικούς παράγοντες. Και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με 7 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 7 και παίρνουμε το μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .

Άρα, γνωρίζουμε ήδη ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος μπορούν να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, το κλάσμα δεν θα αλλάξει. Ας εξετάσουμε τρεις προσεγγίσεις:

Πλησιάστε ένα.

Για μείωση, διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν κοινό διαιρέτη. Ας δούμε παραδείγματα:

Ας συντομεύσουμε:

Στα παραδείγματα που δίνονται, βλέπουμε αμέσως ποιους διαιρέτες να πάρουμε για αναγωγή. Η διαδικασία είναι απλή - περνάμε από 2,3,4,5 και ούτω καθεξής. Στα περισσότερα παραδείγματα σχολικών μαθημάτων, αυτό είναι αρκετά. Αν όμως είναι κλάσμα:

Εδώ η διαδικασία επιλογής διαιρετών μπορεί να διαρκέσει πολύ;). Φυσικά, τέτοια παραδείγματα είναι εκτός του σχολικού προγράμματος σπουδών, αλλά πρέπει να μπορείτε να τα αντιμετωπίσετε. Παρακάτω θα δούμε πώς γίνεται αυτό. Προς το παρόν, ας επιστρέψουμε στη διαδικασία μείωσης του μεγέθους.

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, για να μειώσουμε ένα κλάσμα, διαιρέσαμε με τον κοινό διαιρέτη που καθορίσαμε. Όλα είναι σωστά! Αρκεί να προσθέσουμε πρόσημα διαιρετότητας των αριθμών:

- αν ο αριθμός είναι άρτιος, τότε διαιρείται με το 2.

- αν ένας αριθμός από τα δύο τελευταία ψηφία διαιρείται με το 4, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 4.

— αν το άθροισμα των ψηφίων που απαρτίζουν τον αριθμό διαιρείται με το 3, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 3. Για παράδειγμα, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Το δώδεκα διαιρείται με το 3, άρα το 123031 διαιρείται με το 3.

- αν το τέλος ενός αριθμού είναι 5 ή 0, τότε ο αριθμός διαιρείται με το 5.

— αν το άθροισμα των ψηφίων που απαρτίζουν τον αριθμό διαιρείται με το 9, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 9. Για παράδειγμα, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Το δεκαοκτώ διαιρείται με το 9, που σημαίνει ότι το 623032 διαιρείται με το 9.

Δεύτερη προσέγγιση.

Για να το θέσω εν συντομία, στην πραγματικότητα, η όλη δράση καταλήγει στην παραγοντοποίηση του αριθμητή και του παρονομαστή και στη συνέχεια στη μείωση των ίσων παραγόντων στον αριθμητή και στον παρονομαστή (αυτή η προσέγγιση είναι συνέπεια της πρώτης προσέγγισης):

Οπτικά, για να αποφευχθεί η σύγχυση και τα λάθη, απλώς διαγράφονται ίσοι παράγοντες. Ερώτηση - πώς να συνυπολογίσετε έναν αριθμό; Είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε όλους τους διαιρέτες με αναζήτηση. Αυτό είναι ένα ξεχωριστό θέμα, δεν είναι περίπλοκο, αναζητήστε τις πληροφορίες σε ένα σχολικό βιβλίο ή στο Διαδίκτυο. Δεν θα αντιμετωπίσετε μεγάλα προβλήματα με την παραγοντοποίηση αριθμών που υπάρχουν στα σχολικά κλάσματα.

Επίσημα, η αρχή της μείωσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Προσέγγιση τρία.

Εδώ είναι το πιο ενδιαφέρον πράγμα για τους προχωρημένους και όσους θέλουν να γίνουν ένα. Ας μειώσουμε το κλάσμα 143/273. Δοκιμάστε το μόνοι σας! Λοιπόν, πώς έγινε γρήγορα; Τώρα κοίτα!

Το αναποδογυρίζουμε (αλλάζουμε θέσεις αριθμητή και παρονομαστή). Διαιρέστε το κλάσμα που προκύπτει με μια γωνία και μετατρέψτε το σε μεικτός αριθμός, δηλαδή επιλέγουμε ολόκληρο το μέρος:

Είναι ήδη πιο εύκολο. Βλέπουμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να μειωθούν κατά 13:

Τώρα μην ξεχάσετε να γυρίσετε ξανά το κλάσμα, ας γράψουμε ολόκληρη την αλυσίδα:

Ελεγμένο - χρειάζεται λιγότερος χρόνος από την αναζήτηση και τον έλεγχο διαιρετών. Ας επιστρέψουμε στα δύο παραδείγματά μας:

Πρώτα. Διαιρέστε με μια γωνία (όχι σε αριθμομηχανή), παίρνουμε:

Αυτό το κλάσμα είναι πιο απλό, φυσικά, αλλά η μείωση είναι και πάλι πρόβλημα. Τώρα αναλύουμε ξεχωριστά το κλάσμα 1273/1463 και το αναποδογυρίζουμε:

Εδώ είναι πιο εύκολο. Μπορούμε να θεωρήσουμε έναν διαιρέτη όπως το 19. Οι υπόλοιποι δεν είναι κατάλληλοι, αυτό είναι ξεκάθαρο: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Ρε! Ας γράψουμε:

Επόμενο παράδειγμα. Ας συντομεύσουμε το 88179/2717.

Διαιρέστε, παίρνουμε:

Ξεχωριστά, αναλύουμε το κλάσμα 1235/2717 και το αναποδογυρίζουμε:

Μπορούμε να θεωρήσουμε έναν διαιρέτη όπως το 13 (μέχρι το 13 δεν είναι κατάλληλο):

Αριθμητής 247:13=19 Παρονομαστής 1235:13=95

*Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας είδαμε έναν άλλο διαιρέτη ίσο με 19. Αποδεικνύεται ότι:

Τώρα γράφουμε τον αρχικό αριθμό:

Και δεν έχει σημασία τι είναι μεγαλύτερο στο κλάσμα - ο αριθμητής ή ο παρονομαστής, αν είναι ο παρονομαστής, τότε το αναποδογυρίζουμε και ενεργούμε όπως περιγράφεται. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να μειώσουμε οποιοδήποτε κλάσμα η τρίτη προσέγγιση μπορεί να ονομαστεί καθολική.

Φυσικά, τα δύο παραδείγματα που συζητήθηκαν παραπάνω δεν είναι απλά παραδείγματα. Ας δοκιμάσουμε αυτήν την τεχνολογία στα «απλά» κλάσματα που έχουμε ήδη εξετάσει:

Δύο τέταρτα.

Εβδομήντα δύο εξήντα. Ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, δεν χρειάζεται να τον αντιστρέψουμε:

Φυσικά, η τρίτη προσέγγιση εφαρμόστηκε σε τέτοια απλά παραδείγματααπλώς ως εναλλακτική. Η μέθοδος, όπως ήδη ειπώθηκε, είναι καθολική, αλλά όχι βολική και σωστή για όλα τα κλάσματα, ειδικά για τα απλά.

Η ποικιλία των κλασμάτων είναι μεγάλη. Είναι σημαντικό να κατανοήσετε τις αρχές. Απλώς δεν υπάρχει αυστηρός κανόνας για την εργασία με κλάσματα. Ψάξαμε, καταλάβαμε πώς θα ήταν πιο βολικό να ενεργήσουμε και προχωρήσαμε. Με την εξάσκηση θα έρθει η δεξιοτεχνία και θα τα σπάσεις σαν σπόροι.

Σύναψη:

Αν δείτε έναν κοινό διαιρέτη(-ους) για τον αριθμητή και τον παρονομαστή, χρησιμοποιήστε τους για μείωση.

Εάν ξέρετε πώς να συνυπολογίζετε γρήγορα έναν αριθμό, τότε συνυπολογίστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και μετά μειώστε.

Εάν δεν μπορείτε να προσδιορίσετε τον κοινό διαιρέτη, χρησιμοποιήστε την τρίτη προσέγγιση.

*Για να μειώσετε τα κλάσματα, είναι σημαντικό να καταλάβετε τις αρχές της αναγωγής, να κατανοήσετε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, να γνωρίζετε προσεγγίσεις για την επίλυση και να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί όταν κάνετε υπολογισμούς.

Και θυμηθείτε! Συνηθίζεται να μειώνουμε ένα κλάσμα μέχρι να σταματήσει, δηλαδή να το μειώνουμε όσο υπάρχει κοινός διαιρέτης.

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.