Κατά τη διάρκεια της δευτεροβάθμιας και ΛύκειοΟι μαθητές μελέτησαν το θέμα «Κλάσματα». Ωστόσο, αυτή η έννοια είναι πολύ ευρύτερη από αυτή που δίνεται στη μαθησιακή διαδικασία. Σήμερα, η έννοια του κλάσματος συναντάται αρκετά συχνά και δεν μπορούν όλοι να υπολογίσουν οποιαδήποτε έκφραση, για παράδειγμα, πολλαπλασιάζοντας κλάσματα.
Τι είναι ένα κλάσμα;
Ιστορικά, οι κλασματικοί αριθμοί προέκυψαν από την ανάγκη μέτρησης. Όπως δείχνει η πρακτική, υπάρχουν συχνά παραδείγματα προσδιορισμού του μήκους ενός τμήματος και του όγκου ενός ορθογώνιου ορθογωνίου.
Αρχικά, οι μαθητές εισάγονται στην έννοια της μετοχής. Για παράδειγμα, αν χωρίσετε ένα καρπούζι σε 8 μέρη, τότε κάθε άτομο θα πάρει το ένα όγδοο του καρπουζιού. Αυτό το ένα μέρος των οκτώ ονομάζεται μετοχή.
Μια μετοχή ίση με το ½ οποιασδήποτε αξίας ονομάζεται μισή. ⅓ - τρίτο; ¼ - ένα τέταρτο. Οι εγγραφές της μορφής 5/8, 4/5, 2/4 ονομάζονται συνηθισμένα κλάσματα. Ένα κοινό κλάσμα χωρίζεται σε αριθμητή και παρονομαστή. Ανάμεσά τους βρίσκεται η ράβδος κλάσματος ή η μπάρα κλάσματος. Η κλασματική γραμμή μπορεί να σχεδιαστεί είτε ως οριζόντια είτε ως πλάγια γραμμή. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηαντιπροσωπεύει το σύμβολο της διαίρεσης.
Ο παρονομαστής αντιπροσωπεύει σε πόσα ίσα μέρη χωρίζεται η ποσότητα ή το αντικείμενο. και ο αριθμητής είναι πόσες ίδιες μετοχές λαμβάνονται. Ο αριθμητής γράφεται πάνω από τη γραμμή του κλάσματος, ο παρονομαστής γράφεται κάτω από αυτήν.
Είναι πιο βολικό να εμφανίζονται συνηθισμένα κλάσματα σε μια ακτίνα συντεταγμένων. Εάν ένα μεμονωμένο τμήμα χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη, κάθε τμήμα χαρακτηρίζεται με ένα λατινικό γράμμα, τότε το αποτέλεσμα μπορεί να ληφθεί οπτικό υλικό. Άρα, το σημείο Α δείχνει ένα μερίδιο ίσο με το 1/4 ολόκληρου του τμήματος μονάδας και το σημείο Β σημειώνει τα 2/8 ενός δεδομένου τμήματος.
Τύποι κλασμάτων
Τα κλάσματα μπορεί να είναι απλοί, δεκαδικοί και μικτές. Επιπλέον, τα κλάσματα μπορούν να χωριστούν σε σωστά και ακατάλληλα. Αυτή η ταξινόμηση είναι πιο κατάλληλη για συνηθισμένα κλάσματα.
Σωστό κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερο από τον παρονομαστή. Κατά συνέπεια, ακατάλληλο κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή του. Ο δεύτερος τύπος γράφεται συνήθως ως μικτός αριθμός. Αυτή η έκφραση αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Για παράδειγμα, 1½. Το 1 είναι ένα ακέραιο μέρος, το ½ είναι ένα κλασματικό μέρος. Ωστόσο, εάν πρέπει να πραγματοποιήσετε κάποιους χειρισμούς με την έκφραση (διαίρεση ή πολλαπλασιασμός κλασμάτων, μείωση ή μετατροπή τους), ο μεικτός αριθμός μετατρέπεται σε ακατάλληλο κλάσμα.
Μια σωστή κλασματική έκφραση είναι πάντα μικρότερη από ένα και μια λανθασμένη είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 1.
Ως προς αυτήν την έκφραση, εννοούμε μια εγγραφή στην οποία αναπαρίσταται οποιοσδήποτε αριθμός, ο παρονομαστής της κλασματικής έκφρασης του οποίου μπορεί να εκφραστεί ως ένα με πολλά μηδενικά. Εάν το κλάσμα είναι σωστό, τότε το ακέραιο μέρος σε δεκαδικό συμβολισμό θα είναι ίσο με μηδέν.
Για να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει πρώτα να γράψετε ολόκληρο το μέρος, να το διαχωρίσετε από το κλάσμα χρησιμοποιώντας κόμμα και στη συνέχεια να γράψετε την έκφραση του κλάσματος. Πρέπει να θυμόμαστε ότι μετά την υποδιαστολή, ο αριθμητής πρέπει να περιέχει τον ίδιο αριθμό ψηφιακών χαρακτήρων όπως υπάρχουν μηδενικά στον παρονομαστή.
Παράδειγμα. Εκφράστε το κλάσμα 7 21 / 1000 με δεκαδικό συμβολισμό.
Αλγόριθμος για τη μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό και αντίστροφα
Είναι λάθος να γράψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα στην απάντηση σε ένα πρόβλημα, επομένως πρέπει να μετατραπεί σε μικτό αριθμό:
- διαιρέστε τον αριθμητή με τον υπάρχοντα παρονομαστή.
- V συγκεκριμένο παράδειγμαατελές πηλίκο - ολόκληρο;
- και το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους, με τον παρονομαστή να παραμένει αμετάβλητος.
Παράδειγμα. Μετατροπή ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό: 47 / 5.
Λύση. 47: 5. Το μερικό πηλίκο είναι 9, το υπόλοιπο = 2. Άρα, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Μερικές φορές χρειάζεται να αναπαραστήσετε έναν μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα. Στη συνέχεια, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:
- το ακέραιο μέρος πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή της κλασματικής έκφρασης.
- το προϊόν που προκύπτει προστίθεται στον αριθμητή.
- το αποτέλεσμα γράφεται στον αριθμητή, ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.
Παράδειγμα. Παρουσιάστε τον αριθμό σε μικτή μορφή ως ακατάλληλο κλάσμα: 9 8 / 10.
Λύση. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 είναι ο αριθμητής.
Απάντηση: 98 / 10.
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Διάφορες αλγεβρικές πράξεις μπορούν να εκτελεστούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Για να πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές δεν διαφέρει από τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.
Συμβαίνει ότι μετά την εύρεση του αποτελέσματος πρέπει να μειώσετε το κλάσμα. Είναι επιτακτική ανάγκη να απλοποιηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο η προκύπτουσα έκφραση. Φυσικά, δεν μπορεί κανείς να πει ότι ένα ακατάλληλο κλάσμα σε μια απάντηση είναι λάθος, αλλά είναι επίσης δύσκολο να το ονομάσουμε σωστή απάντηση.
Παράδειγμα. Να βρείτε το γινόμενο δύο συνηθισμένων κλασμάτων: ½ και 20/18.
Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, μετά την εύρεση του προϊόντος, λήφθηκε ένας αναγόμενος κλασματικός συμβολισμός. Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής σε αυτήν την περίπτωση διαιρούνται με το 4 και το αποτέλεσμα είναι η απάντηση 5/9.
Πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων
Το γινόμενο των δεκαδικών κλασμάτων είναι αρκετά διαφορετικό από το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων στην αρχή του. Έτσι, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων έχει ως εξής:
- δύο δεκαδικά κλάσματα πρέπει να γράφονται το ένα κάτω από το άλλο έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα κάτω από το άλλο.
- πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους γραπτούς αριθμούς, παρά τα κόμματα, δηλαδή ως φυσικούς αριθμούς.
- μετρήστε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή σε κάθε αριθμό.
- στο αποτέλεσμα που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό, πρέπει να μετρήσετε από τα δεξιά τόσα ψηφιακά σύμβολα όσα περιέχονται στο άθροισμα και στους δύο παράγοντες μετά την υποδιαστολή και να βάλετε ένα διαχωριστικό σύμβολο.
- αν υπάρχουν λιγότεροι αριθμοί στο γινόμενο, τότε πρέπει να γράψετε τόσα μηδενικά μπροστά τους για να καλύψετε αυτόν τον αριθμό, να βάλετε κόμμα και να προσθέσετε ολόκληρο το μέρος ίσο με μηδέν.
Παράδειγμα. Να υπολογίσετε το γινόμενο δύο δεκαδικών κλασμάτων: 2,25 και 3,6.
Λύση.
Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων
Να υπολογίσετε το γινόμενο των δύο μικτά κλάσματα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:
- μετατρέψτε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα.
- βρείτε το γινόμενο των αριθμητών.
- βρείτε το γινόμενο των παρονομαστών.
- γράψτε το αποτέλεσμα.
- απλοποιήστε την έκφραση όσο το δυνατόν περισσότερο.
Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 4½ και 6 2/5.
Πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό με ένα κλάσμα (κλάσματα με έναν αριθμό)
Εκτός από την εύρεση του γινόμενου δύο κλασμάτων και μικτών αριθμών, υπάρχουν εργασίες όπου πρέπει να πολλαπλασιάσετε με ένα κλάσμα.
Έτσι, για να βρείτε το προϊόν δεκαδικόςκαι έναν φυσικό αριθμό, χρειάζεστε:
- γράψτε τον αριθμό κάτω από το κλάσμα έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα πάνω από το άλλο.
- βρείτε το προϊόν παρά το κόμμα.
- στο αποτέλεσμα που προκύπτει, διαχωρίστε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος χρησιμοποιώντας κόμμα, μετρώντας από τα δεξιά τον αριθμό των ψηφίων που βρίσκονται μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα.
Να πολλαπλασιαστούν κοινό κλάσμασε έναν αριθμό, θα πρέπει να βρείτε το γινόμενο του αριθμητή και του φυσικού παράγοντα. Εάν η απάντηση παράγει ένα κλάσμα που μπορεί να μειωθεί, θα πρέπει να μετατραπεί.
Παράδειγμα. Υπολογίστε το γινόμενο των 5/8 και 12.
Λύση. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Απάντηση: 7 1 / 2.
Όπως μπορείτε να δείτε από το προηγούμενο παράδειγμα, ήταν απαραίτητο να μειωθεί το αποτέλεσμα που προέκυψε και να μετατραπεί η εσφαλμένη κλασματική έκφραση σε μικτό αριθμό.
Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων αφορά επίσης την εύρεση του γινομένου ενός αριθμού σε μικτή μορφή και ενός φυσικού παράγοντα. Για να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους δύο αριθμούς, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε ολόκληρο το μέρος του μικτού παράγοντα με τον αριθμό, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με την ίδια τιμή και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Εάν είναι απαραίτητο, πρέπει να απλοποιήσετε όσο το δυνατόν περισσότερο το αποτέλεσμα που προκύπτει.
Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 9 5 / 6 και 9.
Λύση. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Απάντηση: 88 1 / 2.
Πολλαπλασιασμός με συντελεστές 10, 100, 1000 ή 0,1. 0,01; 0,001
Ο ακόλουθος κανόνας προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο. Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 10, 100, 1000, 10000 κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν μετά το ένα στον παράγοντα.
Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο 0,065 και 1000.
Λύση. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Απάντηση: 65.
Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 3,9 και 1000.
Λύση. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Απάντηση: 3900.
Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν φυσικό αριθμό και 0,1. 0,01; 0,001; 0,0001, κ.λπ., θα πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα στο προϊόν που προκύπτει προς τα αριστερά κατά τόσους ψηφιακούς χαρακτήρες όσα μηδενικά είναι πριν από το ένα. Αν χρειαστεί, πριν φυσικός αριθμόςΚαταγράφονται επαρκείς αριθμοί μηδενικών.
Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο των 56 και 0,01.
Λύση. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Απάντηση: 0,56.
Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 4 και 0,001.
Λύση. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Απάντηση: 0,004.
Έτσι, η εύρεση του γινομένου διαφορετικών κλασμάτων δεν θα πρέπει να προκαλεί δυσκολίες, εκτός ίσως από τον υπολογισμό του αποτελέσματος. σε αυτήν την περίπτωση, απλά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς αριθμομηχανή.
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)
Αυτή η πράξη είναι πολύ πιο ωραία από την πρόσθεση-αφαίρεση! Γιατί είναι πιο εύκολο. Ως υπενθύμιση, για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές (αυτός θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος) και οι παρονομαστές (αυτός θα είναι ο παρονομαστής). Αυτό είναι:
Για παράδειγμα:
Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Και παρακαλώ μην ψάχνετε για κοινό παρονομαστή! Δεν τον χρειάζεσαι εδώ...
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να αντιστρέψετε δεύτερος(αυτό είναι σημαντικό!) κλάσμα και πολλαπλασιάστε το, δηλ.:
Για παράδειγμα:
Αν συναντήσετε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση με ακέραιους και κλάσματα, είναι εντάξει. Όπως και με την πρόσθεση, κάνουμε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό με ένα στον παρονομαστή - και προχωράμε! Για παράδειγμα:
Στο γυμνάσιο, συχνά πρέπει να ασχοληθείς με τριώροφα (ή και τετραώροφα!) κλάσματα. Για παράδειγμα:
Πώς μπορώ να κάνω αυτό το κλάσμα να φαίνεται αξιοπρεπές; Ναι, πολύ απλό! Χρησιμοποιήστε διαίρεση δύο σημείων:
Αλλά μην ξεχνάτε τη σειρά διαίρεσης! Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό, αυτό είναι πολύ σημαντικό εδώ! Φυσικά, δεν θα μπερδεύουμε το 4:2 ή το 2:4. Αλλά είναι εύκολο να κάνεις ένα λάθος σε ένα κλάσμα τριών ορόφων. Παρακαλώ σημειώστε για παράδειγμα:
Στην πρώτη περίπτωση (έκφραση στα αριστερά):
Στο δεύτερο (έκφραση στα δεξιά):
Νιώθεις τη διαφορά; 4 και 1/9!
Τι καθορίζει τη σειρά διαίρεσης; Είτε με αγκύλες, είτε (όπως εδώ) με το μήκος οριζόντιων γραμμών. Αναπτύξτε το μάτι σας. Και αν δεν υπάρχουν αγκύλες ή παύλες, όπως:
μετά διαιρέστε και πολλαπλασιάστε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά!
Και μια άλλη πολύ απλή και σημαντική τεχνική. Σε δράσεις με πτυχία, θα σας είναι τόσο χρήσιμο! Ας διαιρέσουμε το ένα με οποιοδήποτε κλάσμα, για παράδειγμα, με το 13/15:
Ο πυροβολισμός ανατράπηκε! Και αυτό συμβαίνει πάντα. Όταν διαιρούμε το 1 με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανάποδα.
Αυτό είναι για πράξεις με κλάσματα. Το πράγμα είναι αρκετά απλό, αλλά δίνει περισσότερα από αρκετά λάθη. Σημείωση πρακτικές συμβουλές, και θα είναι λιγότερα από αυτά (λάθη)!
Πρακτικές συμβουλές:
1. Το πιο σημαντικό πράγμα όταν εργάζεστε με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή! Αυτά δεν είναι γενικά λόγια, δεν είναι καλές ευχές! Αυτό είναι επιτακτική ανάγκη! Κάντε όλους τους υπολογισμούς για την Εξέταση του Ενιαίου Κράτους ως μια ολοκληρωμένη εργασία, εστιασμένη και ξεκάθαρη. Είναι καλύτερα να γράψετε δύο επιπλέον γραμμές στο προσχέδιό σας παρά να μπερδεύετε όταν κάνετε νοητικούς υπολογισμούς.
2. Σε παραδείγματα με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα - μεταβείτε στα συνηθισμένα κλάσματα.
3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να σταματήσουν.
4. Πολυώροφο κλασματικές εκφράσειςμειώστε σε συνηθισμένες χρησιμοποιώντας διαίρεση σε δύο σημεία (δείτε τη σειρά διαίρεσης!).
5. Διαιρέστε μια μονάδα με ένα κλάσμα στο κεφάλι σας, απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.
Εδώ είναι οι εργασίες που πρέπει οπωσδήποτε να λύσετε. Οι απαντήσεις δίνονται μετά από όλες τις εργασίες. Χρησιμοποιήστε τα υλικά για αυτό το θέμα και πρακτικές συμβουλές. Υπολογίστε πόσα παραδείγματα μπορέσατε να λύσετε σωστά. Η πρώτη φορά! Χωρίς αριθμομηχανή! Και βγάλτε τα σωστά συμπεράσματα...
Θυμηθείτε - η σωστή απάντηση είναι που έλαβε από τη δεύτερη (ειδικά την τρίτη) φορά δεν μετράει!Τέτοια είναι η σκληρή ζωή.
Ετσι, επίλυση σε λειτουργία εξέτασης ! Παρεμπιπτόντως, πρόκειται ήδη για προετοιμασία για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους. Λύνουμε το παράδειγμα, το ελέγχουμε, λύνουμε το επόμενο. Αποφασίσαμε τα πάντα - ελέγξαμε ξανά από την πρώτη έως την τελευταία. Αλλά μόνο Επειτακοιτάξτε τις απαντήσεις.
Υπολογίζω:
Εχεις αποφασίσει;
Αναζητούμε απαντήσεις που ταιριάζουν με τις δικές σας. Τα έγραψα επίτηδες άτακτα, μακριά από πειρασμούς, ας πούμε... Ιδού, οι απαντήσεις, γραμμένες με άνω τελείες.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Τώρα βγάζουμε συμπεράσματα. Αν όλα πάνε καλά, χαίρομαι για σένα! Οι βασικοί υπολογισμοί με κλάσματα δεν είναι δικό σου πρόβλημα! Μπορείς να κάνεις πιο σοβαρά πράγματα. Αν όχι...
Άρα έχετε ένα από τα δύο προβλήματα. Ή και τα δύο ταυτόχρονα.) Έλλειψη γνώσης και (ή) απροσεξία. Αλλά αυτό διαλυτός Προβλήματα.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Την τελευταία φορά μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα (βλ. μάθημα " Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων"). Η πιο δύσκολη στιγμή σε αυτές τις ενέργειες ήταν η μείωση των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.
Τώρα ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Τα καλά νέα είναι ότι αυτές οι πράξεις είναι ακόμη πιο απλές από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αρχικά, ας δούμε απλούστερη περίπτωση, όταν υπάρχουν δύο θετικά κλάσματα χωρίς διαχωρισμένο ακέραιο μέρος.
Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Ο πρώτος αριθμός θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος και ο δεύτερος ο παρονομαστής.
Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο κλάσμα.
Ονομασία:
Από τον ορισμό προκύπτει ότι η διαίρεση των κλασμάτων ανάγεται στον πολλαπλασιασμό. Για να "αναποδογυρίσετε" ένα κλάσμα, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Επομένως, σε όλο το μάθημα θα εξετάσουμε κυρίως τον πολλαπλασιασμό.
Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, μπορεί να προκύψει ένα αναγώγιμο κλάσμα (και συχνά προκύπτει) - αυτό, φυσικά, πρέπει να μειωθεί. Εάν μετά από όλες τις μειώσεις το κλάσμα αποδειχθεί λανθασμένο, θα πρέπει να τονιστεί ολόκληρο το τμήμα. Αλλά αυτό που σίγουρα δεν θα συμβεί με τον πολλαπλασιασμό είναι η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή: χωρίς διασταυρωμένες μεθόδους, μεγαλύτερους παράγοντες και ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.
Εξ ορισμού έχουμε:
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων με ολόκληρα μέρη και αρνητικά κλάσματα
Εάν τα κλάσματα περιέχουν ένα ακέραιο μέρος, πρέπει να μετατραπούν σε ακατάλληλα - και μόνο τότε να πολλαπλασιαστούν σύμφωνα με τα σχήματα που περιγράφονται παραπάνω.
Εάν υπάρχει ένα μείον στον αριθμητή ενός κλάσματος, στον παρονομαστή ή μπροστά από αυτό, μπορεί να αφαιρεθεί από τον πολλαπλασιασμό ή να αφαιρεθεί εντελώς σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:
- Συν με πλην δινει πλην?
- Δύο αρνητικά κάνουν ένα καταφατικό.
Μέχρι τώρα, αυτοί οι κανόνες υπήρχαν μόνο κατά την πρόσθεση και αφαίρεση αρνητικών κλασμάτων, όταν ήταν απαραίτητο να απαλλαγούμε από ολόκληρο το μέρος. Για ένα έργο, μπορούν να γενικευτούν για να «κάψουν» πολλά μειονεκτήματα ταυτόχρονα:
- Διαγράφουμε τα αρνητικά ανά δύο μέχρι να εξαφανιστούν τελείως. Σε ακραίες περιπτώσεις, ένα μείον μπορεί να επιβιώσει - αυτό για το οποίο δεν υπήρχε σύντροφος.
- Εάν δεν απομένουν μείον, η λειτουργία ολοκληρώνεται - μπορείτε να ξεκινήσετε τον πολλαπλασιασμό. Εάν το τελευταίο μείον δεν διαγραφεί επειδή δεν υπήρχε ζεύγος για αυτό, το βγάζουμε εκτός των ορίων πολλαπλασιασμού. Το αποτέλεσμα είναι ένα αρνητικό κλάσμα.
Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
Μετατρέπουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά αφαιρούμε τα πλην από τον πολλαπλασιασμό. Πολλαπλασιάζουμε ό,τι απομένει σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες. Παίρνουμε:
Να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι το μείον που εμφανίζεται μπροστά από ένα κλάσμα με τονισμένο ολόκληρο μέρος αναφέρεται συγκεκριμένα σε ολόκληρο το κλάσμα και όχι μόνο σε ολόκληρο το τμήμα του (αυτό ισχύει για τα δύο τελευταία παραδείγματα).
Προσοχή επίσης στους αρνητικούς αριθμούς: όταν πολλαπλασιάζονται, περικλείονται σε παρένθεση. Αυτό γίνεται για να διαχωριστούν τα μείον από τα πρόσημα πολλαπλασιασμού και να γίνει όλος ο συμβολισμός πιο ακριβής.
Μείωση κλασμάτων εν κινήσει
Ο πολλαπλασιασμός είναι μια πράξη που απαιτεί πολύ κόπο. Οι αριθμοί εδώ αποδεικνύονται αρκετά μεγάλοι και για να απλοποιήσετε το πρόβλημα, μπορείτε να προσπαθήσετε να μειώσετε περαιτέρω το κλάσμα πριν τον πολλαπλασιασμό. Πράγματι, στην ουσία, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι συνηθισμένοι παράγοντες και, επομένως, μπορούν να μειωθούν χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:
Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
Εξ ορισμού έχουμε:
Σε όλα τα παραδείγματα, οι αριθμοί που έχουν μειωθεί και ό,τι απομένει από αυτούς σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.
Σημειώστε: στην πρώτη περίπτωση, οι πολλαπλασιαστές μειώθηκαν εντελώς. Στη θέση τους παραμένουν ενότητες που, γενικά, δεν χρειάζεται να γραφτούν. Στο δεύτερο παράδειγμα πλήρης μείωσηΔεν ήταν δυνατό να επιτευχθεί αυτό, αλλά το συνολικό ποσό των υπολογισμών εξακολουθεί να μειώνεται.
Ωστόσο, μην χρησιμοποιείτε ποτέ αυτή την τεχνική όταν προσθέτετε και αφαιρείτε κλάσματα! Ναι, μερικές φορές υπάρχουν παρόμοιοι αριθμοί που απλά θέλετε να μειώσετε. Ορίστε, δείτε:
Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό!
Το σφάλμα προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι όταν προσθέτουμε τον αριθμητή ενός κλάσματος, εμφανίζεται το άθροισμα και όχι το γινόμενο των αριθμών. Κατά συνέπεια, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, καθώς αυτή η ιδιότητα ασχολείται ειδικά με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.
Απλώς δεν υπάρχουν άλλοι λόγοι για τη μείωση των κλασμάτων, έτσι σωστή λύσηη προηγούμενη εργασία μοιάζει με αυτό:
Σωστή λύση:
Όπως μπορείτε να δείτε, η σωστή απάντηση δεν ήταν τόσο όμορφη. Γενικά, να είστε προσεκτικοί.