Βασίζεται στη βασική τους ιδιότητα: αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με το ίδιο μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε θα προκύψει ένα ίσο κλάσμα.
Μπορείτε μόνο να μειώσετε τους πολλαπλασιαστές!
Τα μέλη των πολυωνύμων δεν μπορούν να συντομεύονται!
Για να μειωθεί ένα αλγεβρικό κλάσμα, πρέπει πρώτα να παραγοντοποιηθούν τα πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή.
Ας δούμε παραδείγματα αναγωγικών κλασμάτων.
Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος περιέχουν μονώνυμα. Αντιπροσωπεύουν εργασία(αριθμοί, μεταβλητές και οι δυνάμεις τους), πολλαπλασιαστέςμπορούμε να μειώσουμε.
Μειώνουμε τους αριθμούς στους μεγαλύτερους κοινός διαιρέτης, δηλαδή, επάνω μεγαλύτερος αριθμός, με το οποίο διαιρείται καθένας από αυτούς τους αριθμούς. Για το 24 και το 36 αυτό είναι 12. Μετά τη μείωση, το 2 παραμένει από το 24 και το 3 από το 36.
Μειώνουμε τις μοίρες κατά το βαθμό με τον χαμηλότερο δείκτη. Για να μειώσουμε ένα κλάσμα σημαίνει να διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο διαιρέτη και να αφαιρούμε τους εκθέτες.
Τα a2 και a7 μειώνονται σε a2. Σε αυτήν την περίπτωση, το ένα παραμένει στον αριθμητή του a² (γράφουμε 1 μόνο στην περίπτωση που, μετά τη μείωση, δεν έχουν μείνει άλλοι παράγοντες. Από το 24, παραμένει το 2, οπότε δεν γράφουμε 1 που απομένει από το a²). Από το a7, μετά τη μείωση, το a5 παραμένει.
Τα b και b μειώνονται κατά b οι μονάδες που προκύπτουν δεν γράφονται.
Τα c3º και c5 συντομεύονται σε c5. Από c³º αυτό που απομένει είναι c25, από c5 είναι ένα (δεν το γράφουμε). Ετσι,
Ο αριθμητής και ο παρονομαστής αυτού του αλγεβρικού κλάσματος είναι πολυώνυμα. Δεν μπορείτε να ακυρώσετε όρους πολυωνύμων! (δεν μπορείτε να μειώσετε, για παράδειγμα, 8x² και 2x!). Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, χρειάζεστε . Ο αριθμητής έχει κοινό παράγοντα 4x. Ας το βγάλουμε από αγκύλες:
Και ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο παράγοντα (2x-3). Μειώνουμε το κλάσμα με αυτόν τον παράγοντα. Στον αριθμητή πήραμε 4x, στον παρονομαστή - 1. Για 1 ιδιοκτησία αλγεβρικά κλάσματα, το κλάσμα είναι 4x.
Μπορείτε να μειώσετε μόνο τους παράγοντες (δεν μπορείτε να μειώσετε αυτό το κλάσμα κατά 25x²!). Επομένως, τα πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος πρέπει να παραγοντοποιηθούν.
Στον αριθμητή - τέλειο τετράγωνοαθροίσματα, ο παρονομαστής είναι η διαφορά των τετραγώνων. Μετά την αποσύνθεση χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού, λαμβάνουμε:
Μειώνουμε το κλάσμα κατά (5x+1) (για να το κάνετε αυτό, διαγράψτε τα δύο στον αριθμητή ως εκθέτη, αφήνοντας (5x+1)² (5x+1)):
Ο αριθμητής έχει κοινό παράγοντα 2, ας τον βγάλουμε από αγκύλες. Ο παρονομαστής είναι ο τύπος για τη διαφορά των κύβων:
Ως αποτέλεσμα της επέκτασης, ο αριθμητής και ο παρονομαστής έλαβαν τον ίδιο παράγοντα (9+3a+a²). Μειώνουμε το κλάσμα με αυτό:
Το πολυώνυμο στον αριθμητή αποτελείται από 4 όρους. ο πρώτος όρος με τον δεύτερο, ο τρίτος με τον τέταρτο και αφαιρέστε τον κοινό παράγοντα x² από τις πρώτες αγκύλες. Αποσυνθέτουμε τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος των κύβων:
Στον αριθμητή, ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα (x+2) από αγκύλες:
Μειώστε το κλάσμα κατά (x+2):
Η μείωση των κλασμάτων είναι απαραίτητη για να μειωθεί το κλάσμα σε περισσότερα απλή θέα, για παράδειγμα, στην απάντηση που ελήφθη ως αποτέλεσμα της επίλυσης μιας έκφρασης.
Αναγωγή κλασμάτων, ορισμός και τύπος.
Τι είναι τα αναγωγικά κλάσματα; Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος;
Ορισμός:
Αναγωγικά Κλάσματα- αυτή είναι η διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο θετικό αριθμό που δεν ισούται με μηδέν και ένα. Ως αποτέλεσμα της αναγωγής, προκύπτει ένα κλάσμα με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή, ίσο με το προηγούμενο κλάσμα σύμφωνα με.
Τύπος αναγωγής κλασμάτωνβασικές ιδιότητες των ρητών αριθμών.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Μειώστε το κλάσμα \(\frac(9)(15)\)
Διάλυμα:
Μπορούμε να επεκτείνουμε το κλάσμα σε πρωταρχικούς παράγοντεςκαι να μειώσει τους κοινούς παράγοντες.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Απάντηση: μετά την αναγωγή πήραμε το κλάσμα \(\frac(3)(5)\). Σύμφωνα με τη βασική ιδιότητα των ρητών αριθμών, το αρχικό και το κλάσμα που προκύπτει είναι ίσα.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Πώς να μειώσετε τα κλάσματα; Αναγωγή ενός κλάσματος στην μη αναγώγιμη μορφή του.
Για να πάρουμε ως αποτέλεσμα ένα μη αναγώγιμο κλάσμα, χρειαζόμαστε βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD)για τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι εύρεσης του GCD στο παράδειγμα που θα χρησιμοποιήσουμε την αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.
Λάβετε το μη αναγώγιμο κλάσμα \(\frac(48)(136)\).
Διάλυμα:
Ας βρούμε το GCD(48, 136). Ας γράψουμε τους αριθμούς 48 και 136 σε πρώτους παράγοντες.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 \ φορές 2) \ φορές 2 \ φορές 3) (\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 \ φορές 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Ο κανόνας για την αναγωγή ενός κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφή.
- Πρέπει να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη για τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
- Πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη για να λάβετε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα ως αποτέλεσμα της διαίρεσης.
Παράδειγμα:
Μειώστε το κλάσμα \(\frac(152)(168)\).
Διάλυμα:
Ας βρούμε το GCD(152, 168). Ας γράψουμε τους αριθμούς 152 και 168 σε πρώτους παράγοντες.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(κόκκινο) (6) \times 19)(\color(κόκκινο) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Απάντηση: Το \(\frac(19)(21)\) είναι ένα μη αναγώγιμο κλάσμα.
Μείωση ακατάλληλων κλασμάτων.
Πώς να μειώσετε ένα ακατάλληλο κλάσμα;
Οι κανόνες για τη μείωση των κλασμάτων είναι οι ίδιοι για τα σωστά και τα ακατάλληλα κλάσματα.
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Μειώστε το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(44)(32)\).
Διάλυμα:
Ας γράψουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε απλούς παράγοντες. Και μετά θα μειώσουμε τους κοινούς παράγοντες.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 ) \ φορές 11)(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 ) \ φορές 2 \ φορές 2 \ φορές 2 )=\frac(11)(2 \φορές 2 \φόρες 2)=\frac(11)(8)\)
Μείωση μικτών κλασμάτων.
Τα μικτά κλάσματα ακολουθούν τους ίδιους κανόνες με τα συνηθισμένα κλάσματα. Η μόνη διαφορά είναι ότι μπορούμε μην αγγίζετε ολόκληρο το μέρος, αλλά μειώνετε το κλασματικό μέροςή Μετατρέψτε το μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα, μειώστε το και μετατρέψτε το ξανά σε σωστό κλάσμα.
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Ακυρώστε το μικτό κλάσμα \(2\frac(30)(45)\).
Διάλυμα:
Ας το λύσουμε με δύο τρόπους:
Πρώτος τρόπος:
Ας γράψουμε το κλασματικό μέρος σε απλούς παράγοντες, αλλά δεν θα αγγίξουμε ολόκληρο το μέρος.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Δεύτερος τρόπος:
Ας το μετατρέψουμε πρώτα σε ακατάλληλο κλάσμα και μετά ας το γράψουμε σε πρώτους παράγοντες και ας μειώσουμε. Ας μετατρέψουμε το ακατάλληλο κλάσμα που προκύπτει σε σωστό κλάσμα.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(κόκκινο) (5 \φορές 3) \ φορές 2 \ φορές 2) (3 \ φορές \ χρώμα (κόκκινο) (3 \ φορές 5)) =\ frac (2 \ φορές 2 \ φορές 2) (3) =\ frac (8) (3)= 2\frac(2)(3)\)
Σχετικές ερωτήσεις:
Μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση;
Απάντηση: όχι, πρέπει πρώτα να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα σύμφωνα με τους κανόνες και μόνο στη συνέχεια να τα μειώσετε. Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Αξιολογήστε την έκφραση \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Διάλυμα:
Συχνά κάνουν το λάθος να μειώνουν τους ίδιους αριθμούς στον αριθμητή και στον παρονομαστή, στην περίπτωσή μας τον αριθμό 20, αλλά δεν μπορούν να μειωθούν μέχρι να ολοκληρώσετε την πρόσθεση και την αφαίρεση.
\(\frac(50+\color(κόκκινο) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Με ποιους αριθμούς μπορείτε να μειώσετε ένα κλάσμα;
Απάντηση: Μπορείτε να μειώσετε ένα κλάσμα με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα ή τον κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(100)(150)\).
Ας γράψουμε τους αριθμούς 100 και 150 σε πρώτους παράγοντες.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης θα είναι ο αριθμός gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Πήραμε το μη αναγώγιμο κλάσμα \(\frac(2)(3)\).
Αλλά δεν είναι απαραίτητο να διαιρείται πάντα με το gcd ένα μη αναγόμενο κλάσμα δεν είναι πάντα απαραίτητο. Για παράδειγμα, ο αριθμός 100 και 150 έχουν κοινό διαιρέτη του 2. Ας μειώσουμε το κλάσμα \(\frac(100)(150)\) κατά 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Πήραμε το αναγώγιμο κλάσμα \(\frac(50)(75)\).
Ποια κλάσματα μπορούν να μειωθούν;
Απάντηση: Μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα στα οποία ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινό διαιρέτη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(4)(8)\). Ο αριθμός 4 και 8 έχουν έναν αριθμό με τον οποίο διαιρούνται και οι δύο - τον αριθμό 2. Επομένως, ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά τον αριθμό 2.
Παράδειγμα:
Συγκρίνετε τα δύο κλάσματα \(\frac(2)(3)\) και \(\frac(8)(12)\).
Αυτά τα δύο κλάσματα είναι ίσα. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο κλάσμα \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)
Από εδώ παίρνουμε, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Δύο κλάσματα είναι ίσα αν και μόνο αν το ένα από αυτά προκύπτει αναγωγή του άλλου κλάσματος με τον κοινό παράγοντα του αριθμητή και του παρονομαστή.
Παράδειγμα:
Εάν είναι δυνατόν, μειώστε τα ακόλουθα κλάσματα: α) \(\frac(90)(65)\) β) \(\frac(27)(63)\) γ) \(\frac(17)(100)\) δ) \(\frac(100)(250)\)
Διάλυμα:
α) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \ φορές 3 \ φορές 3)(13)=\frac(18)(13)\)
β) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(κόκκινο) (3 \ φορές 3) \times 3)(\color(κόκκινο) (3 \φορές 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
γ) \(\frac(17)(100)\) μη αναγώγιμο κλάσμα
δ) \(\frac(100)(250)=\frac(\χρώμα(κόκκινο) (2 \ φορές 5 \ φορές 5) \ φορές 2) (\χρώμα(κόκκινο) (2 \ φορές 5 \ φορές 5) \ φορές 5)=\frac(2)(5)\)
Διαίρεσηκαι ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πάνω τους κοινός διαιρέτης, διαφορετικό από ένα, λέγεται μειώνοντας ένα κλάσμα.
Να συντομεύσω κοινό κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον ίδιο φυσικό αριθμό.
Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος.
Τα ακόλουθα είναι πιθανά έντυπα καταγραφής αποφάσεωνΠαραδείγματα αναγωγής κοινών κλασμάτων.
Ο μαθητής έχει το δικαίωμα να επιλέξει οποιαδήποτε μορφή ηχογράφησης.
Παραδείγματα. Απλοποιήστε τα κλάσματα.
Μειώστε το κλάσμα κατά 3 (διαιρέστε τον αριθμητή με 3.
διαιρέστε τον παρονομαστή με το 3).
Μειώστε το κλάσμα κατά 7.
Εκτελούμε τις υποδεικνυόμενες ενέργειες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος.
Το κλάσμα που προκύπτει μειώνεται κατά 5.
Ας μειώσουμε αυτό το κλάσμα 4)
επί 5·7³- ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος αποτελείται από τους κοινούς συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή, που λαμβάνονται στην ισχύ με τον μικρότερο εκθέτη.
Ας συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος σε πρώτους παράγοντες.
Παίρνουμε: 756=2²·3³·7Και 1176=2³·3·7².
Προσδιορίστε το GCD (μέγιστο κοινό διαιρέτη) του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος 5) .
Αυτό είναι το προϊόν κοινών παραγόντων που λαμβάνονται με τους χαμηλότερους εκθέτες.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με το gcd τους, δηλ. 2²·3·7παίρνουμε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14
.
Ή ήταν δυνατό να γραφτεί η αποσύνθεση του αριθμητή και του παρονομαστή με τη μορφή ενός γινόμενου πρώτων παραγόντων, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η έννοια της ισχύος, και στη συνέχεια να μειωθεί το κλάσμα διαγράφοντας τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Όταν δεν υπάρχουν πανομοιότυποι παράγοντες, πολλαπλασιάζουμε τους υπόλοιπους συντελεστές χωριστά στον αριθμητή και χωριστά στον παρονομαστή και γράφουμε το κλάσμα που προκύπτει 9/14 .
Και τέλος, ήταν δυνατό να μειωθεί αυτό το κλάσμα 5) σταδιακά, εφαρμόζοντας σημάδια διαίρεσης αριθμών τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του κλάσματος. Ας σκεφτούμε ως εξής: αριθμοί 756 Και 1176 τελειώνουν σε ζυγό αριθμό, που σημαίνει ότι και τα δύο διαιρούνται με 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του νέου κλάσματος είναι αριθμοί 378 Και 588 επίσης χωρίζεται σε 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 294 - ακόμη, και 189 είναι περίεργο και η μείωση κατά 2 δεν είναι πλέον δυνατή. Ας ελέγξουμε τη διαιρετότητα των αριθμών 189 Και 294 επί 3 .
Το (1+8+9)=18 διαιρείται με το 3 και το (2+9+4)=15 διαιρείται με το 3, εξ ου και οι ίδιοι οι αριθμοί 189 Και 294 χωρίζονται σε 3 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 . Επόμενος, 63 διαιρείται με το 3 και 98 - Όχι. Ας δούμε άλλους πρωταρχικούς παράγοντες. Και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με 7 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 7 και παίρνουμε το μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .
Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 4, δηλ. το υπόλοιπο τμήμα παραμένει. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι ολοκληρώνεται διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).
Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης όταν διαιρείται με ένα υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός είναι ο αριθμός 124. Και τέλος, το τελευταίο συστατικό, το οποίο δεν είναι σε συνηθισμένη διαίρεση, είναι υπόλοιπο. Σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο χωρίς ίχνος, ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.
Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη.
Η διαίρεση μπορεί να ελεγχθεί με πολλαπλασιασμό. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.
Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a = b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το μερικό πηλίκο, r το υπόλοιπο.
Το πηλίκο των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.
Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.
Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".
Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα \(\frac(m)(n) \), όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n ο διαιρέτης:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
Ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες:
Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n)\), πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα σε n ίσα μέρη (μερίδια) και να πάρετε m τέτοια μέρη.
Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n)\), πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.
Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.
Για να βρείτε ένα σύνολο από το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.
Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.
Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μειώνοντας ένα κλάσμα.
Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε αυτή η ενέργεια ονομάζεται αναγωγή των κλασμάτων σε κοινός παρονομαστής .
Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. Μικτά νούμερα
Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(3)(4)\) σημαίνει τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλά από τα προβλήματα της προηγούμενης παραγράφου, τα κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν για να αναπαραστήσουν μέρη ενός συνόλου. Η κοινή λογική υπαγορεύει ότι το μέρος πρέπει να είναι πάντα μικρότερο από το σύνολο, αλλά τι γίνεται με κλάσματα όπως \(\frac(5)(5)\) ή \(\frac(8)(5)\); Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς λέγονται τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής μικρότερο από τον παρονομαστή, κάλεσε σωστά κλάσματα.
Όπως γνωρίζετε, οποιοδήποτε κοινό κλάσμα, σωστό και ακατάλληλο, μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος «ακατάλληλο κλάσμα» δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι ο αριθμητής αυτού του κλάσματος είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.
Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.
Για παράδειγμα:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 είναι το ακέραιο μέρος και \(\frac(2)(3) \) είναι το κλασματικό μέρος.
Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρεθεί αυτό το κλάσμα με το n, ο αριθμητής του πρέπει να διαιρεθεί με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b)\) δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει επίσης όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε με την πρώτη ματιά αν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.
Ενέργειες με κλάσματα. Προσθήκη κλασμάτων.
Μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις με κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Είναι εύκολο να προσθέσετε κλάσματα με παρονομαστές παρόμοιους. Ας βρούμε, για παράδειγμα, το άθροισμα των \(\frac(2)(7)\) και \(\frac(3)(7)\). Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Εάν χρειάζεται να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να έρθουν σε κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.
Προσθήκη μικτών κλασμάτων
Οι συμβολισμοί όπως \(2\frac(2)(3)\) καλούνται μικτά κλάσματα. Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός 2 ολόκληρο μέροςμικτό κλάσμα, και ο αριθμός \(\frac(2)(3)\) είναι δικός του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση \(2\frac(2)(3)\) διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".
Όταν διαιρείτε τον αριθμό 8 με τον αριθμό 3, μπορείτε να λάβετε δύο απαντήσεις: \(\frac(8)(3)\) και \(2\frac(2)(3)\). Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(8)(3)\) αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα \(2\frac(2)(3)\). Σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι από ακατάλληλο κλάσμα ανέδειξε όλο το μέρος.
Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)
Η αφαίρεση των κλασματικών αριθμών, όπως και οι φυσικοί αριθμοί, προσδιορίζεται με βάση τη δράση της πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) αφού \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)
Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.
Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.
Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, με ένα μικτό κλάσμα και επίσης να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1 και ένα μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα.
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) με τη μείωση του κλάσματος και την απομόνωση ολόκληρου του τμήματος του ακατάλληλου κλάσματος.
Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνδυαστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.
Διαίρεση κλασμάτων
Ας πάρουμε το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) και ας το "αναποδογυρίσουμε", ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα \(\frac(3)(2)\). Αυτό το κλάσμα λέγεται αντίστροφοκλάσματα \(\frac(2)(3)\).
Αν τώρα «αντιστρέψουμε» το κλάσμα \(\frac(3)(2)\), θα πάρουμε το αρχικό κλάσμα \(\frac(2)(3)\). Επομένως, κλάσματα όπως \(\frac(2)(3)\) και \(\frac(3)(2)\) ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.
Για παράδειγμα, τα κλάσματα \(\frac(6)(5) \) και \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) και \(\frac (18 )(7)\).
Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: \(\frac(a)(b) \) και \(\frac(b)(a) \)
Είναι σαφές ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι ίσο με 1. Για παράδειγμα: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, μπορείτε να μειώσετε τη διαίρεση των κλασμάτων σε πολλαπλασιασμό.
Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα είναι:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.
Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Αν το μέρισμα ή ο διαιρέτης είναι φυσικός αριθμόςή μικτό κλάσμα, τότε για να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων, πρέπει πρώτα να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα.