Ο παρονομαστής του αριθμητικού κλάσματος a / b είναι ο αριθμός b, ο οποίος δείχνει το μέγεθος των κλασμάτων μιας μονάδας από την οποία αποτελείται το κλάσμα. Ο παρονομαστής του αλγεβρικού κλάσματος Α / Β ονομάζεται αλγεβρική παράστασηΒ. Για την εκτέλεση αριθμητικής με κλάσματα, πρέπει να αναχθούν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή τους.
θα χρειαστείτε
- Για να δουλέψετε με αλγεβρικά κλάσματα και να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, πρέπει να ξέρετε πώς να συνυπολογίζετε τα πολυώνυμα.
Οδηγίες
Ας εξετάσουμε την αναγωγή δύο αριθμητικών κλασμάτων n/m και s/t στον ελάχιστο κοινό παρονομαστή, όπου τα n, m, s, t είναι ακέραιοι. Είναι σαφές ότι αυτά τα δύο κλάσματα μπορούν να αναχθούν σε οποιονδήποτε παρονομαστή διαιρούμενο με m και t. Προσπαθούν όμως να οδηγήσουν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών m και t των δοσμένων κλασμάτων. Το ελάχιστο πολλαπλάσιο (LMK) ενός αριθμού είναι το μικρότερο που διαιρείται με όλους τους δεδομένους αριθμούς ταυτόχρονα. Εκείνοι. στην περίπτωσή μας, πρέπει να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών m και t. Συμβολίζεται ως LCM (m, t). Στη συνέχεια, τα κλάσματα πολλαπλασιάζονται με τα αντίστοιχα: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Ας βρούμε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή τριών κλασμάτων: 4/5, 7/8, 11/14. Αρχικά, ας επεκτείνουμε τους παρονομαστές 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Στη συνέχεια, υπολογίστε το LCM (5, 8, 14) πολλαπλασιάζοντας όλους τους αριθμούς που περιλαμβάνονται σε τουλάχιστον μία από τις επεκτάσεις. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Σημειώστε ότι εάν ένας παράγοντας εμφανίζεται στην επέκταση πολλών αριθμών (συντελεστής 2 στην επέκταση των παρονομαστών 8 και 14), τότε πάρτε τον παράγοντα σε σε μεγαλύτερο βαθμό(2^3 στην περίπτωσή μας).
Λαμβάνεται λοιπόν το γενικό. Είναι ίσο με 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Εδώ παίρνουμε τους αριθμούς με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους αντίστοιχους παρονομαστές για να τα φέρουμε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Παίρνουμε 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Αναγωγή στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή αλγεβρικά κλάσματαεκτελείται κατ' αναλογία με την αριθμητική. Για λόγους σαφήνειας, ας δούμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. Έστω δύο κλάσματα (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) και (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Ας παραγοντοποιήσουμε και τους δύο παρονομαστές. Σημειώστε ότι ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι τέλειο τετράγωνο: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Για
Αρχικά ήθελα να συμπεριλάβω τεχνικές κοινού παρονομαστή στην ενότητα Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων. Αλλά αποδείχτηκε ότι υπήρχαν τόσες πολλές πληροφορίες και η σημασία τους είναι τόσο μεγάλη (εξάλλου, όχι μόνο τα αριθμητικά κλάσματα έχουν κοινούς παρονομαστές), που είναι καλύτερο να μελετήσουμε αυτό το θέμα ξεχωριστά.
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Και θέλουμε να διασφαλίσουμε ότι οι παρονομαστές θα γίνουν οι ίδιοι. Η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος έρχεται στη διάσωση, η οποία, να σας υπενθυμίσω, ακούγεται ως εξής:
Ένα κλάσμα δεν θα αλλάξει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν.
Έτσι, εάν επιλέξετε σωστά τους παράγοντες, οι παρονομαστές των κλασμάτων θα γίνουν ίσοι - αυτή η διαδικασία ονομάζεται αναγωγή σε κοινό παρονομαστή. Και οι απαιτούμενοι αριθμοί, «εξισορροπώντας» τους παρονομαστές, ονομάζονται πρόσθετοι παράγοντες.
Γιατί πρέπει να ανάγουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή; Εδώ είναι μόνο μερικοί λόγοι:
- Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να πραγματοποιηθεί αυτή η λειτουργία.
- Σύγκριση κλασμάτων. Μερικές φορές η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή απλοποιεί πολύ αυτό το έργο.
- Επίλυση προβλημάτων που αφορούν κλάσματα και ποσοστά. Ποσοστάείναι, στην πραγματικότητα, συνηθισμένες εκφράσεις που περιέχουν κλάσματα.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να βρείτε αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν με αυτούς, θα κάνουν τους παρονομαστές των κλασμάτων ίσους. Θα εξετάσουμε μόνο τρία από αυτά - κατά σειρά αυξανόμενης πολυπλοκότητας και, κατά μία έννοια, αποτελεσματικότητας.
Σταυρός πολλαπλασιασμός
Το πιο απλό και αξιόπιστο τρόπο, το οποίο εγγυάται ότι εξισώνει τους παρονομαστές. Θα ενεργήσουμε «με τρόπο ακραίο»: πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και το δεύτερο με τον παρονομαστή του πρώτου. Ως αποτέλεσμα, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων θα γίνουν ίσοι με το γινόμενο των αρχικών παρονομαστών. Ρίχνω μιά ματιά:
Ως πρόσθετους παράγοντες, λάβετε υπόψη τους παρονομαστές των γειτονικών κλασμάτων. Παίρνουμε:
Ναι, είναι τόσο απλό. Εάν μόλις αρχίζετε να μελετάτε τα κλάσματα, είναι καλύτερο να εργαστείτε χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο - με αυτόν τον τρόπο θα ασφαλιστείτε από πολλά λάθη και θα έχετε εγγυημένα το αποτέλεσμα.
Το μόνο μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι πρέπει να κάνετε πολλή μέτρηση, επειδή οι παρονομαστές πολλαπλασιάζονται "πάλι και ξανά" και το αποτέλεσμα μπορεί να είναι πολύ μεγάλα νούμερα. Αυτό είναι το τίμημα που πρέπει να πληρώσετε για την αξιοπιστία.
Μέθοδος Κοινού Διαιρέτη
Αυτή η τεχνική βοηθά στη σημαντική μείωση των υπολογισμών, αλλά, δυστυχώς, χρησιμοποιείται αρκετά σπάνια. Η μέθοδος είναι η εξής:
- Πριν προχωρήσετε ευθεία (δηλαδή, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο σταυρωτής), ρίξτε μια ματιά στους παρονομαστές. Ίσως το ένα από αυτά (αυτό που είναι μεγαλύτερο) χωρίζεται στο άλλο.
- Ο αριθμός που προκύπτει από αυτή τη διαίρεση θα είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για το κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή.
- Σε αυτήν την περίπτωση, ένα κλάσμα με μεγάλο παρονομαστή δεν χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί με τίποτα - εδώ βρίσκεται η εξοικονόμηση. Ταυτόχρονα, η πιθανότητα λάθους μειώνεται απότομα.
Εργο. Βρείτε τις έννοιες των εκφράσεων:
Σημειώστε ότι 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Εφόσον και στις δύο περιπτώσεις ο ένας παρονομαστής διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με τον άλλο, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των κοινών παραγόντων. Έχουμε:
Σημειώστε ότι το δεύτερο κλάσμα δεν πολλαπλασιάστηκε με τίποτα απολύτως. Στην πραγματικότητα, μειώσαμε το ποσό του υπολογισμού στο μισό!
Παρεμπιπτόντως, δεν πήρα τα κλάσματα σε αυτό το παράδειγμα τυχαία. Αν σας ενδιαφέρει, δοκιμάστε να τα μετρήσετε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διασταύρωσης. Μετά τη μείωση, οι απαντήσεις θα είναι οι ίδιες, αλλά θα υπάρχει πολύ περισσότερη δουλειά.
Αυτή είναι η δύναμη της μεθόδου των κοινών διαιρετών, αλλά, και πάλι, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο όταν ένας από τους παρονομαστές διαιρείται με τον άλλο χωρίς υπόλοιπο. Κάτι που συμβαίνει αρκετά σπάνια.
Ελάχιστη κοινή πολλαπλή μέθοδος
Όταν ανάγουμε κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, ουσιαστικά προσπαθούμε να βρούμε έναν αριθμό που να διαιρείται με κάθε παρονομαστή. Στη συνέχεια φέρνουμε τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων σε αυτόν τον αριθμό.
Υπάρχουν πολλοί τέτοιοι αριθμοί και ο μικρότερος από αυτούς δεν θα είναι απαραιτήτως ίσος με το άμεσο γινόμενο των παρονομαστών των αρχικών κλασμάτων, όπως υποτίθεται στη μέθοδο «διασταυρούμενη».
Για παράδειγμα, για τους παρονομαστές 8 και 12, ο αριθμός 24 είναι αρκετά κατάλληλος, αφού 24: 8 = 3. 24: 12 = 2. Αυτός ο αριθμός είναι πολύς λιγότερο προϊόν 8 12 = 96.
Ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους παρονομαστές ονομάζεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους (LCM).
Σημείωση: Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a και b συμβολίζεται με LCM(a ; b) . Για παράδειγμα, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24.
Εάν καταφέρετε να βρείτε έναν τέτοιο αριθμό, το συνολικό ποσό των υπολογισμών θα είναι ελάχιστο. Δείτε τα παραδείγματα:
Εργο. Βρείτε τις έννοιες των εκφράσεων:
Σημειώστε ότι 234 = 117 2; 351 = 117 3. Οι παράγοντες 2 και 3 είναι συνπρώτοι (δεν έχουν κοινούς παράγοντες εκτός από το 1) και ο παράγοντας 117 είναι κοινός. Επομένως LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Ομοίως, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Οι παράγοντες 3 και 4 είναι συμπρωτάρηδες και ο παράγοντας 5 είναι κοινός. Επομένως LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Τώρα ας φέρουμε τα κλάσματα σε κοινούς παρονομαστές:
Παρατηρήστε πόσο χρήσιμο ήταν να παραγοντοποιήσετε τους αρχικούς παρονομαστές:
- Έχοντας ανακαλύψει πανομοιότυπους παράγοντες, φτάσαμε αμέσως στο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο, σε γενικές γραμμές, είναι ένα μη τετριμμένο πρόβλημα.
- Από την επέκταση που προκύπτει μπορείτε να μάθετε ποιοι παράγοντες "λείπουν" σε κάθε κλάσμα. Για παράδειγμα, 234 · 3 = 702, επομένως, για το πρώτο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 3.
Για να εκτιμήσετε πόση διαφορά κάνει η λιγότερο κοινή πολλαπλή μέθοδος, δοκιμάστε να υπολογίσετε αυτά τα ίδια παραδείγματα χρησιμοποιώντας τη διασταυρούμενη μέθοδο. Φυσικά, χωρίς αριθμομηχανή. Νομίζω ότι μετά από αυτό τα σχόλια θα είναι περιττά.
Μην νομίζετε ότι δεν θα υπάρχουν τόσο σύνθετα κλάσματα στα πραγματικά παραδείγματα. Συναντιούνται συνεχώς, και οι παραπάνω εργασίες δεν είναι το όριο!
Το μόνο πρόβλημα είναι πώς να βρείτε αυτό ακριβώς το NOC. Μερικές φορές τα πάντα μπορούν να βρεθούν μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, κυριολεκτικά "με το μάτι", αλλά γενικά αυτό είναι ένα πολύπλοκο υπολογιστικό έργο που απαιτεί ξεχωριστή εξέταση. Δεν θα το θίξουμε εδώ.
Αυτό το άρθρο εξηγεί πώς να βρείτε το μικρότερο κοινός παρονομαστής Και πώς να ανάγουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή. Αρχικά, δίνονται οι ορισμοί του κοινού παρονομαστή των κλασμάτων και του ελάχιστου κοινού παρονομαστή και παρουσιάζεται ο τρόπος εύρεσης του κοινού παρονομαστή των κλασμάτων. Ακολουθεί ένας κανόνας για τη μείωση των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή και εξετάζονται παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα. Συμπερασματικά, συζητούνται παραδείγματα φέροντας τρία ή περισσότερα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Τι ονομάζεται αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή;
Τώρα μπορούμε να πούμε τι σημαίνει αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή. Αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή- Αυτός είναι ο πολλαπλασιασμός των αριθμητών και των παρονομαστών των δοσμένων κλασμάτων με τέτοιους πρόσθετους παράγοντες που το αποτέλεσμα είναι κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές.
Κοινός παρονομαστής, ορισμός, παραδείγματα
Τώρα ήρθε η ώρα να ορίσουμε τον κοινό παρονομαστή των κλασμάτων.
Με άλλα λόγια, ο κοινός παρονομαστής ενός συγκεκριμένου συνόλου συνηθισμένα κλάσματαείναι οποιαδήποτε φυσικός αριθμός, το οποίο διαιρείται με όλους τους παρονομαστές αυτών των κλασμάτων.
Από τον δηλωμένο ορισμό προκύπτει ότι ένα δεδομένο σύνολο κλασμάτων έχει άπειρους κοινούς παρονομαστές, αφού υπάρχει άπειρος αριθμός κοινών πολλαπλασίων όλων των παρονομαστών του αρχικού συνόλου κλασμάτων.
Ο προσδιορισμός του κοινού παρονομαστή των κλασμάτων σάς επιτρέπει να βρείτε τους κοινούς παρονομαστές δεδομένων κλασμάτων. Έστω, για παράδειγμα, με τα κλάσματα 1/4 και 5/6, οι παρονομαστές τους είναι 4 και 6, αντίστοιχα. Θετικά κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 4 και 6 είναι οι αριθμοί 12, 24, 36, 48, ... Οποιοσδήποτε από αυτούς τους αριθμούς είναι κοινός παρονομαστής των κλασμάτων 1/4 και 5/6.
Για να ενοποιήσετε το υλικό, εξετάστε τη λύση στο ακόλουθο παράδειγμα.
Παράδειγμα.
Μπορούν τα κλάσματα 2/3, 23/6 και 7/12 να αναχθούν σε κοινό παρονομαστή 150;
Διάλυμα.
Για να απαντήσουμε στο ερώτημα που τίθεται, πρέπει να βρούμε αν ο αριθμός 150 είναι κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών 3, 6 και 12. Για να το κάνουμε αυτό, ας ελέγξουμε αν το 150 διαιρείται με καθέναν από αυτούς τους αριθμούς (αν χρειάζεται, δείτε τους κανόνες και τα παραδείγματα διαίρεσης φυσικών αριθμών, καθώς και τους κανόνες και παραδείγματα διαίρεσης φυσικών αριθμών με υπόλοιπο): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (απομένουν 6) .
Ετσι, Το 150 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 12, επομένως το 150 δεν είναι κοινό πολλαπλάσιο του 3, του 6 και του 12. Επομένως, ο αριθμός 150 δεν μπορεί να είναι ο κοινός παρονομαστής των αρχικών κλασμάτων.
Απάντηση:
Απαγορεύεται.
Χαμηλότερος κοινός παρονομαστής, πώς να το βρείτε;
Στο σύνολο των αριθμών που είναι κοινοί παρονομαστές δεδομένων κλασμάτων, υπάρχει ένας μικρότερος φυσικός αριθμός, ο οποίος ονομάζεται ελάχιστος κοινός παρονομαστής. Ας διατυπώσουμε τον ορισμό του χαμηλότερου κοινού παρονομαστή αυτών των κλασμάτων.
Ορισμός.
Χαμηλότερος κοινός παρονομαστής- Αυτό μικρότερος αριθμός, από όλους τους κοινούς παρονομαστές αυτών των κλασμάτων.
Απομένει να ασχοληθούμε με το ερώτημα πώς να βρούμε τον λιγότερο κοινό διαιρέτη.
Επειδή είναι το μικρότερο θετικό κοινός διαιρέτηςενός δεδομένου συνόλου αριθμών, τότε το LCM των παρονομαστών των δοσμένων κλασμάτων είναι ο λιγότερο κοινός παρονομαστής των δοσμένων κλασμάτων.
Έτσι, η εύρεση του χαμηλότερου κοινού παρονομαστή των κλασμάτων καταλήγει στους παρονομαστές αυτών των κλασμάτων. Ας δούμε τη λύση στο παράδειγμα.
Παράδειγμα.
Να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων 3/10 και 277/28.
Διάλυμα.
Οι παρονομαστές αυτών των κλασμάτων είναι 10 και 28. Ο επιθυμητός χαμηλότερος κοινός παρονομαστής βρίσκεται ως το LCM των αριθμών 10 και 28. Στην περίπτωσή μας είναι εύκολο: αφού 10=2·5 και 28=2·2·7, τότε LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Απάντηση:
140 .
Πώς να μειώσετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή; Κανόνας, παραδείγματα, λύσεις
Τα κοινά κλάσματα συνήθως καταλήγουν σε έναν χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Θα γράψουμε τώρα έναν κανόνα που εξηγεί πώς να μειώσουμε τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό τους παρονομαστή.
Κανόνας για τη μείωση των κλασμάτων στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστήαποτελείται από τρία βήματα:
- Αρχικά, βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων.
- Δεύτερον, ένας πρόσθετος παράγοντας υπολογίζεται για κάθε κλάσμα διαιρώντας τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.
- Τρίτον, ο αριθμητής και ο παρονομαστής κάθε κλάσματος πολλαπλασιάζονται με τον πρόσθετο παράγοντα του.
Ας εφαρμόσουμε τον αναφερόμενο κανόνα για να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα.
Παράδειγμα.
Να μειώσουμε τα κλάσματα 5/14 και 7/18 στον χαμηλότερο κοινό τους παρονομαστή.
Διάλυμα.
Ας εκτελέσουμε όλα τα βήματα του αλγορίθμου για τη μείωση των κλασμάτων στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή.
Αρχικά βρίσκουμε τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή, ο οποίος ισούται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 14 και 18. Αφού 14=2·7 και 18=2·3·3, τότε LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Τώρα υπολογίζουμε πρόσθετους παράγοντες με τη βοήθεια των οποίων τα κλάσματα 5/14 και 7/18 θα μειωθούν στον παρονομαστή 126. Για το κλάσμα 5/14 ο πρόσθετος παράγοντας είναι 126:14=9, και για το κλάσμα 7/18 ο πρόσθετος παράγοντας είναι 126:18=7.
Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων 5/14 και 7/18 με πρόσθετους συντελεστές 9 και 7, αντίστοιχα. Έχουμε και 
.
Έτσι, η αναγωγή των κλασμάτων 5/14 και 7/18 στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή έχει ολοκληρωθεί. Τα κλάσματα που προέκυψαν ήταν 45/126 και 49/126.
Για να αναγάγετε τα κλάσματα στον ελάχιστο κοινό παρονομαστή, πρέπει: 1) να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των δοσμένων κλασμάτων, θα είναι ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής. 2) βρείτε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα διαιρώντας τον νέο παρονομαστή με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος. 3) πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με τον πρόσθετο παράγοντα του.
Παραδείγματα. Να μειώσετε τα παρακάτω κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό τους παρονομαστή.
Βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών: LCM(5; 4) = 20, αφού το 20 είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται και με το 5 και με το 4. Βρείτε για το 1ο κλάσμα έναν επιπλέον παράγοντα 4 (20 : 5=4). Για το 2ο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 5 (20 : 4=5). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 4 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 5. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 20 ).
Ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής αυτών των κλασμάτων είναι ο αριθμός 8, αφού το 8 διαιρείται με το 4 και τον εαυτό του. Δεν θα υπάρχει πρόσθετος παράγοντας για το 1ο κλάσμα (ή μπορούμε να πούμε ότι είναι ίσος με ένα), για το 2ο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 2 (8 : 4=2). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος επί 2. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 8 ).
Αυτά τα κλάσματα δεν είναι μη αναγώγιμα.
Ας μειώσουμε το 1ο κλάσμα κατά 4 και ας μειώσουμε το 2ο κλάσμα κατά 2. ( δείτε παραδείγματα για τη μείωση των συνηθισμένων κλασμάτων: Χάρτης ιστότοπου → 5.4.2. Παραδείγματα αναγωγής κοινών κλασμάτων). Βρείτε το LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Ο πρόσθετος πολλαπλασιαστής για το 1ο κλάσμα είναι 5 (80 : 16=5). Ο πρόσθετος παράγοντας για το 2ο κλάσμα είναι 4 (80 : 20=4). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 5 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 4. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 80 ).
Βρίσκουμε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή NCD(5 ; 6 και 15)=NOK(5 ; 6 και 15)=30. Ο πρόσθετος παράγοντας στο 1ο κλάσμα είναι 6 (30 : 5=6), ο πρόσθετος παράγοντας στο 2ο κλάσμα είναι 5 (30 : 6=5), ο πρόσθετος παράγοντας στο 3ο κλάσμα είναι 2 (30 : 15=2). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 6, τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 5, τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 3ου κλάσματος με το 2. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 30 ).
Σελίδα 1 από 1 1
Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε τη μείωση των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή και θα λύσουμε προβλήματα σχετικά με αυτό το θέμα. Ας ορίσουμε την έννοια του κοινού παρονομαστή και ενός πρόσθετου παράγοντα, θυμηθείτε το αμοιβαίο πρώτους αριθμούς. Ας ορίσουμε την έννοια του χαμηλότερου κοινού παρονομαστή (LCD) και ας λύσουμε μια σειρά προβλημάτων για να τον βρούμε.
Θέμα: Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Μάθημα: Αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή
Επανάληψη. Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.
Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο φυσικό αριθμό, παίρνουμε ίσο κλάσμα.
Για παράδειγμα, ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος μπορούν να διαιρεθούν με το 2. Παίρνουμε το κλάσμα. Αυτή η πράξη ονομάζεται μείωση κλασμάτων. Μπορείτε επίσης να εκτελέσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος επί 2. Σε αυτήν την περίπτωση, λέμε ότι έχουμε αναγάγει το κλάσμα σε νέο παρονομαστή. Ο αριθμός 2 ονομάζεται πρόσθετος παράγοντας.
Σύναψη.Ένα κλάσμα μπορεί να αναχθεί σε οποιονδήποτε παρονομαστή που είναι πολλαπλάσιο του παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος. Για να φέρουμε ένα κλάσμα σε έναν νέο παρονομαστή, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιάζονται με έναν πρόσθετο παράγοντα.
1. Μειώστε το κλάσμα στον παρονομαστή 35.
Ο αριθμός 35 είναι πολλαπλάσιο του 7, δηλαδή το 35 διαιρείται με το 7 χωρίς υπόλοιπο. Αυτό σημαίνει ότι αυτός ο μετασχηματισμός είναι δυνατός. Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε το 35 με το 7. Παίρνουμε 5. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος με το 5.
2. Μειώστε το κλάσμα στον παρονομαστή 18.
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε τον νέο παρονομαστή με τον αρχικό. Παίρνουμε 3. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος επί 3.
3. Μειώσε το κλάσμα σε παρονομαστή 60.
Η διαίρεση του 60 με το 15 δίνει έναν επιπλέον παράγοντα. Είναι ίσο με 4. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 4.
4. Μειώστε το κλάσμα στον παρονομαστή 24
Σε απλές περιπτώσεις, η αναγωγή σε νέο παρονομαστή γίνεται διανοητικά. Συνηθίζεται μόνο να υποδεικνύεται ο πρόσθετος παράγοντας πίσω από μια αγκύλη ελαφρώς προς τα δεξιά και πάνω από το αρχικό κλάσμα.
Ένα κλάσμα μπορεί να μειωθεί σε παρονομαστή 15 και ένα κλάσμα μπορεί να μειωθεί σε παρονομαστή 15. Τα κλάσματα έχουν επίσης κοινό παρονομαστή το 15.
Ο κοινός παρονομαστής των κλασμάτων μπορεί να είναι οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών τους. Για απλότητα, τα κλάσματα μειώνονται στον χαμηλότερο κοινό τους παρονομαστή. Είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των δοσμένων κλασμάτων.
Παράδειγμα. Μείωση στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή του κλάσματος και .
Αρχικά, ας βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων. Αυτός ο αριθμός είναι 12. Ας βρούμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το πρώτο και το δεύτερο κλάσματα. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε το 12 με το 4 και το 6. Το τρία είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για το πρώτο κλάσμα και δύο είναι για το δεύτερο. Ας φέρουμε τα κλάσματα στον παρονομαστή 12.
Φέραμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, βρήκαμε δηλαδή ίσα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή.
Κανόνας.Για να μειώσετε τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό τους παρονομαστή, πρέπει
Πρώτα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων, θα είναι ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής τους.
Δεύτερον, διαιρέστε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή με τους παρονομαστές αυτών των κλασμάτων, δηλ. βρείτε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα.
Τρίτον, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με τον πρόσθετο παράγοντα του.
α) Να σμικρύνετε τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή.
Ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής είναι 12. Ο πρόσθετος παράγοντας για το πρώτο κλάσμα είναι 4, για το δεύτερο - 3. Μειώνουμε τα κλάσματα στον παρονομαστή 24.
β) Να μειωθούν τα κλάσματα και σε κοινό παρονομαστή.
Ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής είναι το 45. Διαιρώντας το 45 με το 9 δίνουμε το 5 και το 3, αντίστοιχα, ανάγουμε τα κλάσματα στον παρονομαστή 45.
γ) Να μειωθούν τα κλάσματα και σε κοινό παρονομαστή.
Ο κοινός παρονομαστής είναι 24. Οι πρόσθετοι παράγοντες είναι 2 και 3, αντίστοιχα.
Μερικές φορές μπορεί να είναι δύσκολο να βρούμε λεκτικά το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των δεδομένων κλασμάτων. Στη συνέχεια, ο κοινός παρονομαστής και οι πρόσθετοι παράγοντες βρίσκονται με αποσύνθεση σε πρωταρχικούς παράγοντες.
Μείωση των κλασμάτων και σε κοινό παρονομαστή.
Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 60 και 168 σε πρώτους παράγοντες. Ας γράψουμε την επέκταση του αριθμού 60 και ας προσθέσουμε τους παράγοντες που λείπουν 2 και 7 από τη δεύτερη επέκταση. Ας πολλαπλασιάσουμε το 60 με το 14 και πάρουμε κοινό παρονομαστή 840. Ο πρόσθετος παράγοντας για το πρώτο κλάσμα είναι 14. Ο πρόσθετος παράγοντας για το δεύτερο κλάσμα είναι 5. Ας φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή 840.
Αναφορές
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. και άλλα Μαθηματικά 6. - Μ.: Μνημοσύνη, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Μαθηματικά ΣΤ τάξης. - Γυμνάσιο, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών. - Διαφωτισμός, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Εργασίες για το μάθημα των μαθηματικών για τις τάξεις 5-6. - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Μαθηματικά 5-6. Εγχειρίδιο για μαθητές της 6ης τάξης στο σχολείο αλληλογραφίας MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. και άλλα Μαθηματικά: Βιβλίο-συνομιλητής για τις τάξεις 5-6 γυμνάσιο. Βιβλιοθήκη δασκάλου μαθηματικών. - Διαφωτισμός, 1989.
Μπορείτε να κατεβάσετε τα βιβλία που καθορίζονται στην ενότητα 1.2. αυτού του μαθήματος.
Σχολική εργασία στο σπίτι
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. και άλλα Μαθηματικά 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (σύνδεσμος βλ. 1.2)
Εργασία για το σπίτι: Νο 297, Νο 298, Νο 300.
Άλλες εργασίες: Νο. 270, Νο. 290