Παραδείγματα αφαίρεσης λογαρίθμων με τις ίδιες βάσεις. Φυσικός λογάριθμος, συνάρτηση ln x

13.10.2019

(από τα ελληνικά λόγος - «λέξη», «σχέση» και ἀριθμός - «αριθμός») αριθμοί σιμε βάση ένα(ημερολόγιο α σι) ονομάζεται τέτοιος αριθμός ντο, Και σι= α γ, δηλαδή εγγραφές log α σι=ντοΚαι b=aντοείναι ισοδύναμα. Ο λογάριθμος έχει νόημα εάν a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Με άλλα λόγια λογάριθμοςαριθμοί σιμε βάση ΕΝΑδιατυπώνεται ως εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ένας αριθμός έναγια να πάρετε τον αριθμό σι(ο λογάριθμος υπάρχει μόνο για θετικούς αριθμούς).

Από τη διατύπωση αυτή προκύπτει ότι ο υπολογισμός x= log α σι, ισοδυναμεί με την επίλυση της εξίσωσης a x =b.

Για παράδειγμα:

log 2 8 = 3 γιατί 8 = 2 3 .

Ας τονίσουμε ότι η υποδεικνυόμενη διατύπωση του λογαρίθμου καθιστά δυνατό τον άμεσο προσδιορισμό τιμή λογάριθμου, όταν ο αριθμός κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου λειτουργεί ως μια ορισμένη ισχύς της βάσης. Πράγματι, η διατύπωση του λογάριθμου καθιστά δυνατό να δικαιολογηθεί ότι αν b=a γ, τότε ο λογάριθμος του αριθμού σιμε βάση έναισοδυναμεί Με. Είναι επίσης σαφές ότι το θέμα των λογαρίθμων σχετίζεται στενά με το θέμα δυνάμεις ενός αριθμού.

Ο υπολογισμός του λογάριθμου ονομάζεται λογάριθμος. Ο λογάριθμος είναι η μαθηματική πράξη λήψης ενός λογάριθμου. Κατά τη λήψη λογαρίθμων, τα γινόμενα των παραγόντων μετατρέπονται σε αθροίσματα όρων.

Ενίσχυσηείναι η αντίστροφη μαθηματική πράξη του λογάριθμου. Κατά τη διάρκεια της ενίσχυσης, μια δεδομένη βάση αυξάνεται στον βαθμό έκφρασης στον οποίο πραγματοποιείται η ενίσχυση. Στην περίπτωση αυτή, τα αθροίσματα των όρων μετατρέπονται σε γινόμενο παραγόντων.

Αρκετά συχνά, χρησιμοποιούνται πραγματικοί λογάριθμοι με βάσεις 2 (δυαδικό), αριθμό Euler e ≈ 2,718 (φυσικός λογάριθμος) και 10 (δεκαδικός).

Σε αυτό το στάδιο είναι σκόπιμο να εξεταστεί δείγματα λογαρίθμωνημερολόγιο 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Και οι εγγραφές lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 δεν έχουν νόημα, αφού στο πρώτο από αυτά τοποθετείται αρνητικός αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, στο δεύτερο υπάρχει αρνητικός αριθμός στη βάση, και στην τρίτη υπάρχει ένας αρνητικός αριθμός κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου και μονάδα στη βάση.

Προϋποθέσεις για τον προσδιορισμό του λογάριθμου.

Αξίζει να εξετάσουμε χωριστά τις συνθήκες a > 0, a ≠ 1, b > 0.κάτω από τις οποίες παίρνουμε ορισμός του λογάριθμου.Ας εξετάσουμε γιατί ελήφθησαν αυτοί οι περιορισμοί. Μια ισότητα της μορφής x = log α θα μας βοηθήσει σε αυτό σι, που ονομάζεται βασική λογαριθμική ταυτότητα, η οποία προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του λογάριθμου που δόθηκε παραπάνω.

Ας πάρουμε τον όρο a≠1. Εφόσον ένα προς οποιαδήποτε δύναμη είναι ίσο με ένα, τότε η ισότητα x=log α σιμπορεί να υπάρξει μόνο όταν b=1, αλλά το αρχείο καταγραφής 1 1 θα είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Για να εξαλείψουμε αυτή την ασάφεια, παίρνουμε a≠1.

Ας αποδείξουμε την αναγκαιότητα της συνθήκης α>0. Στο a=0σύμφωνα με τη διατύπωση του λογάριθμου μπορεί να υπάρξει μόνο όταν b=0. Και ανάλογα τότε ημερολόγιο 0 0μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός, αφού το μηδέν σε οποιαδήποτε μη μηδενική ισχύς είναι μηδέν. Αυτή η ασάφεια μπορεί να εξαλειφθεί από την κατάσταση a≠0. Και πότε ένα<0 θα έπρεπε να απορρίψουμε την ανάλυση ορθολογικών και παράλογων τιμών του λογαρίθμου, καθώς ένας βαθμός με ορθολογικό και παράλογο εκθέτη ορίζεται μόνο για μη αρνητικές βάσεις. Για τον λόγο αυτό ορίζεται η προϋπόθεση α>0.

Και η τελευταία προϋπόθεση b>0προκύπτει από την ανισότητα α>0, αφού x=log α σι, και την τιμή του πτυχίου με θετική βάση έναπάντα θετικός.

Χαρακτηριστικά των λογαρίθμων.

Λογάριθμοιχαρακτηρίζεται από διακριτικό χαρακτηριστικά, που οδήγησε στην ευρεία χρήση τους για να διευκολύνουν σημαντικά τους επίπονους υπολογισμούς. Όταν μετακινούμαστε «στον κόσμο των λογαρίθμων», ο πολλαπλασιασμός μετατρέπεται σε μια πολύ πιο εύκολη πρόσθεση, η διαίρεση μετατρέπεται σε αφαίρεση και η εκθεσιμότητα και η εξαγωγή ρίζας μετατρέπονται, αντίστοιχα, σε πολλαπλασιασμό και διαίρεση με τον εκθέτη.

Διατύπωση λογαρίθμων και πίνακας των τιμών τους (για τριγωνομετρικές συναρτήσεις) δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά το 1614 από τον Σκωτσέζο μαθηματικό John Napier. Οι λογαριθμικοί πίνακες, μεγεθυσμένοι και λεπτομερείς από άλλους επιστήμονες, χρησιμοποιήθηκαν ευρέως σε επιστημονικούς και μηχανικούς υπολογισμούς και παρέμειναν σχετικοί μέχρι τη χρήση ηλεκτρονικών αριθμομηχανών και υπολογιστών.

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

Εάν είναι απαραίτητο, σύμφωνα με το νόμο, δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων ερευνών ή αιτημάτων από κρατικούς φορείςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

\(a^(b)=c\) \(\αριστερό βέλος\) \(\log_(a)(c)=b\)

Ας το εξηγήσουμε πιο απλά. Για παράδειγμα, το \(\log_(2)(8)\) ισούται με την ισχύ στην οποία πρέπει να αυξηθεί το \(2\) για να ληφθεί \(8\). Από αυτό είναι σαφές ότι \(\log_(2)(8)=3\).

Παραδείγματα:	\(\log_(5)(25)=2\)	επειδή \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	επειδή \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	επειδή \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Επιχείρημα και βάση λογάριθμου

Οποιοσδήποτε λογάριθμος έχει την ακόλουθη «ανατομία»:

Το όρισμα ενός λογάριθμου γράφεται συνήθως στο επίπεδό του και η βάση γράφεται σε δείκτη πιο κοντά στο πρόσημο του λογάριθμου. Και αυτό το λήμμα έχει ως εξής: «λογάριθμος του είκοσι πέντε στη βάση του πέντε».

Πώς να υπολογίσετε τον λογάριθμο;

Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο, πρέπει να απαντήσετε στην ερώτηση: σε ποια δύναμη πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί το όρισμα;

Για παράδειγμα, υπολογίστε τον λογάριθμο: α) \(\log_(4)(16)\) β) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) γ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) δ) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

α) Σε ποια δύναμη πρέπει να ανυψωθεί το \(4\) για να πάρει το \(16\); Προφανώς το δεύτερο. Γι' αυτό:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

γ) Σε ποια δύναμη πρέπει να αυξηθεί το \(\sqrt(5)\) για να ληφθεί το \(1\); Ποια δύναμη κάνει οποιοδήποτε νούμερο ένα; Μηδέν, φυσικά!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

δ) Σε ποια δύναμη πρέπει να αυξηθεί το \(\sqrt(7)\) για να ληφθεί το \(\sqrt(7)\); Πρώτον, οποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ε) Σε ποια δύναμη πρέπει να αυξηθεί το \(3\) για να ληφθεί \(\sqrt(3)\); Από γνωρίζουμε ότι είναι μια κλασματική δύναμη, που σημαίνει τετραγωνική ρίζαείναι η δύναμη του \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Παράδειγμα : Υπολογισμός λογάριθμου \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Διάλυμα :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Πρέπει να βρούμε την τιμή του λογάριθμου, ας τη συμβολίσουμε ως x. Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του λογάριθμου: \(\log_(a)(c)=b\) \(\αριστερό βέλος\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Τι συνδέει τα \(4\sqrt(2)\) και \(8\); Δύο, επειδή και οι δύο αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με δύο: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Στα αριστερά χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του βαθμού: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) και \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Οι βάσεις είναι ίσες, προχωράμε στην ισότητα των δεικτών
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \(\frac(2)(5)\)
		Η ρίζα που προκύπτει είναι η τιμή του λογάριθμου

Απάντηση : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Γιατί εφευρέθηκε ο λογάριθμος;

Για να το καταλάβουμε αυτό, ας λύσουμε την εξίσωση: \(3^(x)=9\). Απλώς αντιστοιχίστε το \(x\) για να λειτουργήσει η ισότητα. Φυσικά, \(x=2\).

Λύστε τώρα την εξίσωση: \(3^(x)=8\). Με τι ισούται το x; Αυτό είναι το θέμα.

Οι πιο έξυπνοι θα πουν: «Το X είναι λίγο λιγότερο από δύο». Πώς ακριβώς γράφεται αυτός ο αριθμός; Για να απαντηθεί αυτή η ερώτηση, εφευρέθηκε ο λογάριθμος. Χάρη σε αυτόν, η απάντηση εδώ μπορεί να γραφτεί ως \(x=\log_(3)(8)\).

Θέλω να τονίσω ότι \(\log_(3)(8)\), όπως οποιοσδήποτε λογάριθμος είναι απλώς ένας αριθμός. Ναι, φαίνεται ασυνήθιστο, αλλά είναι σύντομο. Γιατί αν θέλαμε να το γράψουμε στη φόρμα δεκαδικός, τότε θα μοιάζει με αυτό: \(1.892789260714.....\)

Παράδειγμα : Λύστε την εξίσωση \(4^(5x-4)=10\)

Διάλυμα :

\(4^(5x-4)=10\)		Τα \(4^(5x-4)\) και \(10\) δεν μπορούν να μεταφερθούν στην ίδια βάση. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς λογάριθμο. Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του λογάριθμου: \(a^(b)=c\) \(\αριστερό βέλος\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Ας αναστρέψουμε την εξίσωση έτσι ώστε το Χ να βρίσκεται στα αριστερά
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Μπροστά μας. Ας μετακινηθούμε \(4\) προς τα δεξιά. Και μην φοβάστε τον λογάριθμο, αντιμετώπισέ τον σαν έναν συνηθισμένο αριθμό.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Διαιρέστε την εξίσωση με το 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Αυτή είναι η ρίζα μας. Ναι, φαίνεται ασυνήθιστο, αλλά δεν επιλέγουν την απάντηση.

Απάντηση : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Δεκαδικοί και φυσικοί λογάριθμοι

Όπως αναφέρεται στον ορισμό ενός λογάριθμου, η βάση του μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός εκτός από ένα \((a>0, a\neq1)\). Και μεταξύ όλων των πιθανών βάσεων, υπάρχουν δύο που εμφανίζονται τόσο συχνά που εφευρέθηκε μια ειδική σύντομη σημειογραφία για τους λογάριθμους με αυτές:

Φυσικός λογάριθμος: ένας λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ο αριθμός του Euler \(e\) (ίσος με περίπου \(2.7182818…\)), και ο λογάριθμος γράφεται ως \(\ln(a)\).

Ήτοι, Το \(\ln(a)\) είναι το ίδιο με το \(\log_(e)(a)\)

Δεκαδικός λογάριθμος: Ένας λογάριθμος του οποίου η βάση είναι 10 γράφεται \(\lg(a)\).

Ήτοι, Το \(\lg(a)\) είναι το ίδιο με το \(\log_(10)(a)\), όπου \(a\) είναι κάποιος αριθμός.

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Οι λογάριθμοι έχουν πολλές ιδιότητες. Ένα από αυτά ονομάζεται «Βασική Λογαριθμική Ταυτότητα» και μοιάζει με αυτό:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Αυτή η ιδιότητα προκύπτει άμεσα από τον ορισμό. Ας δούμε πώς ακριβώς προέκυψε αυτή η φόρμουλα.

Ας θυμηθούμε μια σύντομη σημειογραφία του ορισμού του λογάριθμου:

αν \(a^(b)=c\), τότε \(\log_(a)(c)=b\)

Δηλαδή, το \(b\) είναι το ίδιο με το \(\log_(a)(c)\). Τότε μπορούμε να γράψουμε \(\log_(a)(c)\) αντί για \(b\) στον τύπο \(a^(b)=c\). Αποδείχθηκε \(a^(\log_(a)(c))=c\) - η κύρια λογαριθμική ταυτότητα.

Μπορείτε να βρείτε άλλες ιδιότητες των λογαρίθμων. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να απλοποιήσετε και να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων με λογάριθμους, οι οποίοι είναι δύσκολο να υπολογιστούν άμεσα.

Παράδειγμα : Βρείτε την τιμή της παράστασης \(36^(\log_(6)(5))\)

Διάλυμα :

Απάντηση : \(25\)

Πώς να γράψετε έναν αριθμό ως λογάριθμο;

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οποιοσδήποτε λογάριθμος είναι απλώς ένας αριθμός. Το αντίστροφο ισχύει επίσης: οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφτεί ως λογάριθμος. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι το \(\log_(2)(4)\) είναι ίσο με δύο. Στη συνέχεια, μπορείτε να γράψετε \(\log_(2)(4)\) αντί για δύο.

Αλλά το \(\log_(3)(9)\) είναι επίσης ίσο με \(2\), που σημαίνει ότι μπορούμε επίσης να γράψουμε \(2=\log_(3)(9)\) . Ομοίως με το \(\log_(5)(25)\), και με το \(\log_(9)(81)\), κ.λπ. Δηλαδή αποδεικνύεται

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Έτσι, αν χρειαζόμαστε, μπορούμε να γράψουμε δύο ως λογάριθμο με οποιαδήποτε βάση οπουδήποτε (είτε σε μια εξίσωση, σε μια έκφραση ή σε μια ανισότητα) - γράφουμε απλώς τη βάση στο τετράγωνο ως όρισμα.

Είναι το ίδιο με το τριπλό – μπορεί να γραφτεί ως \(\log_(2)(8)\), ή ως \(\log_(3)(27)\), ή ως \(\log_(4)( 64) \)... Εδώ γράφουμε τη βάση στον κύβο ως όρισμα:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Και με τέσσερα:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Και με μείον ένα:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Και με το ένα τρίτο:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Οποιοσδήποτε αριθμός \(a\) μπορεί να αναπαρασταθεί ως λογάριθμος με βάση \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Παράδειγμα : Βρείτε το νόημα της έκφρασης \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Διάλυμα :

Απάντηση : \(1\)

κύριες ιδιότητες.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = λογάριθμος (x: y).

πανομοιότυπους λόγους

Log6 4 + log6 9.

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων

Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x >

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Μετάβαση σε νέα βάση

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Δείτε επίσης:

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι ίσος με 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντος Νικολάεβιτς Τολστόι.

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα θα γνωρίζετε και ακριβής τιμήεκθέτες και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντος Τολστόι.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Λογαρίθμες εκφράσεις

Παράδειγμα 1.
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 υπολογίζουμε

4. Οπου .

Παράδειγμα 2. Βρείτε το x αν

Παράδειγμα 3. Έστω η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετασχηματιστούν με κάθε τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι ακριβώς συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται κύριες ιδιότητες.

Πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - χωρίς αυτούς, δεν μπορεί να λυθεί ούτε ένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - μπορείτε να μάθετε τα πάντα σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = λογάριθμος (x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ίση με τον λογάριθμο του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι πανομοιότυπους λόγους. Εάν οι λόγοι είναι διαφορετικοί, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε λογαριθμική έκφρασηακόμη και όταν τα επιμέρους μέρη του δεν υπολογίζονται (δείτε το μάθημα «Τι είναι λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλοί βασίζονται σε αυτό το γεγονός δοκιμές. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα , δηλ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι το πολύ τελευταία στιγμήδουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή.

Τύποι λογαρίθμων. Παραδείγματα λογαρίθμων λύσεων.

Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Κι αν οι λόγοι είναι διαφορετικοί; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο έρχονται στη διάσωση. Ας τα διατυπώσουμε με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Συγκεκριμένα, αν θέσουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι η βάση και το όρισμα του λογάριθμου μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος εμφανίζεται στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι σπάνια βρίσκονται σε συμβατικές αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογήσετε πόσο βολικές είναι μόνο αποφασίζοντας λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες.

Ωστόσο, υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας δούμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε αυτό και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρακάτω τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Έτσι λέγεται: .

Στην πραγματικότητα, τι συμβαίνει αν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοια δύναμη που ο αριθμός b σε αυτή τη δύναμη να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: το αποτέλεσμα είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - απλά πήρε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που δύσκολα μπορούν να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον είναι συνέπειες του ορισμού του λογαρίθμου. Εμφανίζονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση α αυτής της ίδιας της βάσης είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Δείτε επίσης:

Ο λογάριθμος του b για τη βάση του a δηλώνει την παράσταση. Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο σημαίνει να βρείτε μια ισχύ x () στην οποία η ισότητα ικανοποιείται

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις παραπάνω ιδιότητες, αφού όλα σχεδόν τα προβλήματα και τα παραδείγματα που σχετίζονται με τους λογάριθμους επιλύονται με βάση τους. Οι υπόλοιπες εξωτικές ιδιότητες μπορούν να προκύψουν μέσω μαθηματικών χειρισμών με αυτούς τους τύπους

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Κατά τον υπολογισμό του τύπου για το άθροισμα και τη διαφορά των λογαρίθμων (3.4) συναντάτε αρκετά συχνά. Τα υπόλοιπα είναι κάπως περίπλοκα, αλλά σε μια σειρά εργασιών είναι απαραίτητα για την απλοποίηση σύνθετων εκφράσεων και τον υπολογισμό των τιμών τους.

Συνήθεις περιπτώσεις λογαρίθμων

Μερικοί από τους κοινούς λογάριθμους είναι εκείνοι στους οποίους η βάση είναι ακόμη δέκα, εκθετική ή δύο.
Ο λογάριθμος στη βάση δέκα ονομάζεται συνήθως δεκαδικός λογάριθμος και συμβολίζεται απλώς με lg(x).

Από την ηχογράφηση φαίνεται ξεκάθαρα ότι στην ηχογράφηση δεν γράφονται τα βασικά. Για παράδειγμα

Φυσικός λογάριθμοςείναι ένας λογάριθμος με βάση έναν εκθέτη (συμβολίζεται με ln(x)).

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι ίσος με 2,7 και διπλάσιο από το έτος γέννησης του Λέοντος Νικολάεβιτς Τολστόι. Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Και ένας άλλος σημαντικός λογάριθμος για τη βάση δύο συμβολίζεται με

Η παράγωγος του λογάριθμου μιας συνάρτησης είναι ίση με ένα διαιρούμενο με τη μεταβλητή

Ο ολοκληρωτικός ή αντιπαράγωγος λογάριθμος καθορίζεται από τη σχέση

Το δεδομένο υλικό είναι αρκετό για να λύσετε μια ευρεία κατηγορία προβλημάτων που σχετίζονται με λογάριθμους και λογάριθμους. Για να σας βοηθήσω να κατανοήσετε το υλικό, θα δώσω μόνο μερικά κοινά παραδείγματα από σχολικό πρόγραμμα σπουδώνκαι πανεπιστήμια.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Λογαρίθμες εκφράσεις

Παράδειγμα 1.
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 υπολογίζουμε

2.
Με την ιδιότητα διαφοράς λογαρίθμων έχουμε

3.
Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 βρίσκουμε

4. Οπου .

Μια φαινομενικά πολύπλοκη έκφραση απλοποιείται για να σχηματιστεί χρησιμοποιώντας έναν αριθμό κανόνων

Εύρεση λογαριθμικών τιμών

Παράδειγμα 2. Βρείτε το x αν

Διάλυμα. Για τον υπολογισμό, εφαρμόζουμε στον τελευταίο όρο 5 και 13 ιδιότητες

Το βάζουμε σε δίσκο και θρηνούμε

Εφόσον οι βάσεις είναι ίσες, εξισώνουμε τις εκφράσεις

Λογάριθμοι. επίπεδο εισόδου.

Ας δοθεί η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Λύση: Ας πάρουμε έναν λογάριθμο της μεταβλητής για να γράψουμε τον λογάριθμο μέσω του αθροίσματος των όρων της

Αυτή είναι μόνο η αρχή της γνωριμίας μας με τους λογάριθμους και τις ιδιότητές τους. Εξασκηθείτε στους υπολογισμούς, εμπλουτίστε τις πρακτικές σας δεξιότητες - σύντομα θα χρειαστείτε τις γνώσεις που αποκτάτε για να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει τις βασικές μεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, θα επεκτείνουμε τις γνώσεις σας σε ένα άλλο εξίσου σημαντικό θέμα - τις λογαριθμικές ανισότητες...

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = λογάριθμος (x: y).

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε μια λογαριθμική παράσταση ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα «Τι είναι ο λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log6 4 + log6 9.

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Μετάβαση σε νέα βάση

Συγκεκριμένα, αν θέσουμε c = x, παίρνουμε:

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Έτσι λέγεται: .

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση α αυτής της ίδιας της βάσης είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Οι βασικές ιδιότητες του φυσικού λογάριθμου, γράφημα, πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, βασικοί τύποι, παράγωγος, ολοκλήρωμα, επέκταση σε σειρά ισχύοςκαι αναπαράσταση της συνάρτησης ln x με χρήση μιγαδικών αριθμών.

Ορισμός

Φυσικός λογάριθμοςείναι η συνάρτηση y = Στο x, το αντίστροφο της εκθετικής, x = e y, και είναι ο λογάριθμος στη βάση του αριθμού e: ln x = log e x.

Ο φυσικός λογάριθμος χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά επειδή η παράγωγός του έχει την απλούστερη μορφή: (ln x)′ = 1/ x.

Με βάση ορισμούς, η βάση του φυσικού λογάριθμου είναι ο αριθμός μι:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Γράφημα της συνάρτησης y = Στο x.

Γράφημα φυσικού λογάριθμου (συναρτήσεις y = Στο x) προκύπτει από το εκθετικό γράφημα εικόνα καθρέφτησε σχέση με την ευθεία y = x.

Ο φυσικός λογάριθμος ορίζεται για θετικές τιμές της μεταβλητής x.

Αυξάνεται μονότονα στο πεδίο ορισμού του. 0 Στο x →

το όριο του φυσικού λογάριθμου είναι μείον το άπειρο (-∞). Ως x → + ∞, το όριο του φυσικού λογάριθμου είναι συν άπειρο (+ ∞). Για μεγάλο x, ο λογάριθμος αυξάνεται αρκετά αργά. Κάθελειτουργία ισχύος

Το x a με θετικό εκθέτη a μεγαλώνει πιο γρήγορα από τον λογάριθμο.

Ιδιότητες του φυσικού λογάριθμου

Τομέας ορισμού, σύνολο τιμών, άκρα, αύξηση, μείωση

Ο φυσικός λογάριθμος είναι μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση, επομένως δεν έχει ακρότατα. Οι κύριες ιδιότητες του φυσικού λογάριθμου παρουσιάζονται στον πίνακα.

ln x τιμές

ln 1 = 0

Βασικοί τύποι για φυσικούς λογάριθμους

Τύποι που προκύπτουν από τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης:

Η κύρια ιδιότητα των λογαρίθμων και οι συνέπειές της

Φόρμουλα αντικατάστασης βάσης

Οποιοσδήποτε λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί με όρους φυσικών λογαρίθμων χρησιμοποιώντας τον τύπο αντικατάστασης βάσης:

Οι αποδείξεις αυτών των τύπων παρουσιάζονται στην ενότητα "Λογάριθμος".

Αντίστροφη συνάρτηση

Το αντίστροφο του φυσικού λογάριθμου είναι ο εκθέτης.

Αν, τότε

Αν, τότε.

Παράγωγο ln x
.
Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:
.
Παράγωγος του φυσικού λογάριθμου του συντελεστή x:
.
Εξαγωγή τύπων > > >

Ολοκλήρωμα

Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται με ολοκλήρωση ανά μέρη:
.
Ετσι,

Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών

Εξετάστε τη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής z:
.
Ας εκφράσουμε τη σύνθετη μεταβλητή zμέσω ενότητας rκαι επιχείρημα φ :
.
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογάριθμου, έχουμε:
.
Ή
.
Το όρισμα φ δεν ορίζεται μοναδικά. Αν βάλεις
, όπου n είναι ακέραιος,
θα είναι ο ίδιος αριθμός για διαφορετικά n.

Επομένως, ο φυσικός λογάριθμος, ως συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής, δεν είναι συνάρτηση μίας τιμής.

Επέκταση σειράς ισχύος

Όταν πραγματοποιείται η επέκταση:

Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.