Ο λογάριθμος ενός θετικού αριθμού b στη βάση a (a>0, a δεν είναι ίσος με 1) είναι ένας αριθμός c τέτοιος ώστε a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Σημειώστε ότι ο λογάριθμος ενός μη θετικού αριθμού είναι απροσδιόριστος. Επιπλέον, η βάση του λογάριθμου πρέπει να είναι ένας θετικός αριθμός που δεν είναι ίσος με 1. Για παράδειγμα, αν τετραγωνίσουμε το -2, παίρνουμε τον αριθμό 4, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι ο λογάριθμος βάσης -2 του 4 είναι ίσος έως 2.
Βασική λογαριθμική ταυτότητα
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Είναι σημαντικό το εύρος του ορισμού της δεξιάς και της αριστερής πλευράς αυτού του τύπου να είναι διαφορετικό. Η αριστερή πλευρά ορίζεται μόνο για b>0, a>0 και a ≠ 1. Η δεξιά πλευρά ορίζεται για οποιοδήποτε b και δεν εξαρτάται καθόλου από το a. Έτσι, η εφαρμογή της βασικής λογαριθμικής «ταυτότητας» κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων μπορεί να οδηγήσει σε αλλαγή στην ΟΔ.
Δύο προφανείς συνέπειες του ορισμού του λογάριθμου
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Πράγματι, όταν ανεβάζουμε τον αριθμό a στην πρώτη δύναμη, παίρνουμε τον ίδιο αριθμό, και όταν τον ανεβάζουμε στη μηδενική ισχύ, παίρνουμε ένα.
Λογάριθμος του γινομένου και λογάριθμος του πηλίκου
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Θα ήθελα να προειδοποιήσω τους μαθητές να μην εφαρμόζουν αλόγιστα αυτούς τους τύπους κατά την επίλυση λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες. Όταν τα χρησιμοποιείτε "από αριστερά προς τα δεξιά", το ODZ στενεύει και όταν μετακινείται από το άθροισμα ή τη διαφορά λογαρίθμων στον λογάριθμο του γινομένου ή του πηλίκου, το ODZ επεκτείνεται.
Πράγματι, η έκφραση log a (f (x) g (x)) ορίζεται σε δύο περιπτώσεις: όταν και οι δύο συναρτήσεις είναι αυστηρά θετικές ή όταν η f (x) και η g (x) είναι και οι δύο μικρότερες από το μηδέν.
Μετατρέποντας αυτήν την παράσταση στο άθροισμα log a f (x) + log a g (x), αναγκαζόμαστε να περιοριστούμε μόνο στην περίπτωση που f(x)>0 και g(x)>0. Υπάρχει μια στένωση του εύρους των αποδεκτών τιμών, και αυτό είναι κατηγορηματικά απαράδεκτο, καθώς μπορεί να οδηγήσει σε απώλεια λύσεων. Παρόμοιο πρόβλημα υπάρχει για τον τύπο (6).
Ο βαθμός μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Και πάλι θα ήθελα να ζητήσω ακρίβεια. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Η αριστερή πλευρά της ισότητας ορίζεται προφανώς για όλες τις τιμές του f(x) εκτός από το μηδέν. Η δεξιά πλευρά είναι μόνο για f(x)>0! Βγάζοντας τον βαθμό από τον λογάριθμο, περιορίζουμε και πάλι το ODZ. Η αντίστροφη διαδικασία οδηγεί σε διεύρυνση του εύρους των αποδεκτών τιμών. Όλες αυτές οι παρατηρήσεις ισχύουν όχι μόνο για την ισχύ 2, αλλά και για οποιαδήποτε άρτια δύναμη.
Φόρμουλα για μετάβαση σε νέα βάση
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Αυτή η σπάνια περίπτωση όταν το ODZ δεν αλλάζει κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού. Εάν έχετε επιλέξει σοφά τη βάση c (θετική και όχι ίση με 1), η φόρμουλα για τη μετάβαση σε μια νέα βάση είναι απολύτως ασφαλής.
Εάν επιλέξουμε τον αριθμό b ως τη νέα βάση c, λαμβάνουμε μια σημαντική ειδική περίπτωση του τύπου (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Μερικά απλά παραδείγματα με λογάριθμους
Παράδειγμα 1. Υπολογίστε: log2 + log50.
Λύση. log2 + log50 = log100 = 2. Χρησιμοποιήσαμε το άθροισμα των λογαρίθμων τύπου (5) και τον ορισμό του δεκαδικού λογάριθμου.
Παράδειγμα 2. Υπολογίστε: lg125/lg5.
Λύση. log125/log5 = log 5 125 = 3. Χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για τη μετάβαση σε νέα βάση (8).
Πίνακας τύπων που σχετίζονται με λογάριθμους
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
274. Παρατηρήσεις.
ΕΝΑ)Εάν η έκφραση που θέλετε να αξιολογήσετε περιέχει άθροισμαή διαφοράαριθμοί, τότε πρέπει να βρεθούν χωρίς τη βοήθεια πινάκων με συνηθισμένη πρόσθεση ή αφαίρεση. Π.χ:
log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.
σι)Γνωρίζοντας πώς να λογαριθμούμε εκφράσεις, μπορούμε, αντίστροφα, με αυτό το αποτέλεσμαχρησιμοποιώντας λογάριθμους για να βρείτε την έκφραση από την οποία προέκυψε αυτό το αποτέλεσμα. οπότε αν
κούτσουρο Χ=log ένα+ ημερολόγιο σι- 3 κούτσουρο Με,
τότε είναι εύκολο να το καταλάβεις
V)Πριν προχωρήσουμε στην εξέταση της δομής των λογαριθμικών πινάκων, θα αναφέρουμε ορισμένες ιδιότητες των δεκαδικών λογαρίθμων, π.χ. εκείνα στα οποία λαμβάνεται ως βάση ο αριθμός 10 (μόνο τέτοιοι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται για υπολογισμούς).
Κεφάλαιο δυο.
Ιδιότητες δεκαδικών λογαρίθμων.
275 . ΕΝΑ) Εφόσον 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, κ.λπ., τότε log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, κ.λπ.
Που σημαίνει, Ο λογάριθμος ενός ακέραιου αριθμού που παριστάνεται με ένα με μηδενικά είναι ένας θετικός ακέραιος που περιέχει τόσα όσες και μηδενικά στην αναπαράσταση του αριθμού.
Ετσι: ημερολόγιο 100.000 = 5, κούτσουρο 1000 000 = 6 , και τα λοιπά.
σι) Επειδή
log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4,και τα λοιπά.
Που σημαίνει, λογάριθμος δεκαδικός, που αντιπροσωπεύεται από μια μονάδα με προηγούμενα μηδενικά, είναι ένας αρνητικός ακέραιος που περιέχει τόσες αρνητικές μονάδες όσες υπάρχουν μηδενικά στην αναπαράσταση του κλάσματος, συμπεριλαμβανομένων 0 ακεραίων.
Ετσι: log 0,00001= - 5, log 0,000001 = -6,και τα λοιπά.
V)Ας πάρουμε έναν ακέραιο που δεν αντιπροσωπεύεται με ένα και μηδενικά, για παράδειγμα. 35, ή ένας ακέραιος αριθμός με ένα κλάσμα, για παράδειγμα. 10.7. Ο λογάριθμος ενός τέτοιου αριθμού δεν μπορεί να είναι ακέραιος, αφού ανεβάζοντας το 10 σε δύναμη με ακέραιο εκθέτη (θετικό ή αρνητικό), παίρνουμε το 1 με μηδενικά (μετά το 1 ή πριν από αυτό). Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο λογάριθμος ενός τέτοιου αριθμού είναι κάποιο κλάσμα ένα / σι . Τότε θα είχαμε ισότητα
Όμως αυτές οι ισότητες είναι αδύνατες, όπως 10ΕΝΑ υπάρχουν 1 με μηδενικά, ενώ μοίρες 35σι Και 10,7σι με οποιοδήποτε μέτρο σι δεν μπορεί να δώσει 1 ακολουθούμενο από μηδενικά. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να επιτρέψουμε ημερολόγιο 35Και ημερολόγιο 10.7ήταν ίσα με κλάσματα. Αλλά από τις ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης γνωρίζουμε () ότι κάθε θετικός αριθμός έχει έναν λογάριθμο. Συνεπώς, καθένας από τους αριθμούς 35 και 10.7 έχει τον δικό του λογάριθμο, και εφόσον δεν μπορεί να είναι ούτε ακέραιος ούτε κλασματικός αριθμός, είναι άρρητος αριθμός και, επομένως, δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς με αριθμούς. Οι παράλογοι λογάριθμοι συνήθως εκφράζονται περίπου ως δεκαδικό κλάσμα με πολλά δεκαδικά ψηφία. Ο ακέραιος αριθμός αυτού του κλάσματος (ακόμα κι αν ήταν «0 ακέραιοι») ονομάζεται χαρακτηριστικό γνώρισμα, και το κλασματικό μέρος είναι η μάντισσα του λογάριθμου. Αν, για παράδειγμα, υπάρχει λογάριθμος 1,5441 , τότε το χαρακτηριστικό του είναι ίσο 1 , και η μάντισσα είναι 0,5441 .
ΣΟΛ)Ας πάρουμε κάποιο ακέραιο ή μικτό αριθμό, για παράδειγμα. 623 ή 623,57 . Ο λογάριθμος ενός τέτοιου αριθμού αποτελείται από ένα χαρακτηριστικό και μια μάντισσα. Αποδεικνύεται ότι οι δεκαδικοί λογάριθμοι έχουν την ευκολία ότι μπορούμε πάντα να βρούμε τα χαρακτηριστικά τους με έναν τύπο αριθμού . Για να γίνει αυτό, μετράμε πόσα ψηφία υπάρχουν σε έναν δεδομένο ακέραιο αριθμό ή σε ένα ακέραιο μέρος μικτός αριθμός, Στα παραδείγματά μας για αυτούς τους αριθμούς 3 . Επομένως, καθένας από τους αριθμούς 623 Και 623,57 περισσότερα από 100 αλλά λιγότερο από 1000. αυτό σημαίνει ότι ο λογάριθμος καθενός από αυτούς είναι μεγαλύτερος ημερολόγιο 100, δηλαδή περισσότερα 2 , αλλά λιγότερο log 1000, δηλαδή λιγότερο 3 (θυμηθείτε ότι ένας μεγαλύτερος αριθμός έχει και μεγαλύτερο λογάριθμο). Ως εκ τούτου, log 623 = 2,..., Και ημερολόγιο 623,57 = 2,... (κουκκίδες αντικαθιστούν τις άγνωστες μάντισσες).
Παρόμοια με αυτό βρίσκουμε:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 log 8634 = 3,... |
Έστω γενικά ένας δεδομένος ακέραιος αριθμός, ή ένα ακέραιο μέρος ενός δεδομένου μικτού αριθμού, να περιέχει Μ αριθμοί Δεδομένου ότι ο μικρότερος ακέραιος που περιέχει Μ αριθμοί, ναι 1 Με Μ - 1 μηδενικά στο τέλος, τότε (δηλώνει αυτόν τον αριθμό Ν) μπορούμε να γράψουμε τις ανισότητες:
και ως εκ τούτου,
Μ - 1 < log N < Μ ,
log N = ( Μ- 1) + θετικό κλάσμα.
Το χαρακτηριστικό λοιπόν logN = Μ - 1 .
Βλέπουμε με αυτόν τον τρόπο ότι το χαρακτηριστικό του λογάριθμου ενός ακέραιου ή μικτού αριθμού περιέχει τόσες θετικές μονάδες όσα ψηφία υπάρχουν στο ακέραιο μέρος του αριθμού μείον ένα.
Έχοντας παρατηρήσει αυτό, μπορούμε να γράψουμε άμεσα:
log 7,205 = 0,...; ημερολόγιο 83 = 1,...; log 720,4 = 2,...και ούτω καθεξής.
ρε)Ας πάρουμε αρκετά δεκαδικά κλάσματα μικρότερα 1 (δηλαδή έχοντας 0 ολόκληρος): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, και ούτω καθεξής.
Έτσι, καθένας από αυτούς τους λογάριθμους περιέχεται μεταξύ δύο αρνητικών ακεραίων που διαφέρουν κατά μία μονάδα. επομένως καθένας από αυτούς είναι ίσος με τον μικρότερο από αυτούς τους αρνητικούς αριθμούς αυξημένος κατά κάποιο θετικό κλάσμα. Για παράδειγμα, log0,0056= -3 + θετικό κλάσμα. Ας υποθέσουμε ότι αυτό το κλάσμα είναι 0,7482. Τότε σημαίνει:
log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
Ποσά όπως - 3 + 0,7482 , που αποτελείται από έναν αρνητικό ακέραιο και ένα θετικό δεκαδικό κλάσμα, συμφωνήσαμε να γράψουμε συνοπτικά ως εξής στους λογαριθμικούς υπολογισμούς: 3 ,7482 (Αυτός ο αριθμός λέει: 3 μείον, 7482 δέκα χιλιοστά.), δηλ. βάζουν μείον το χαρακτηριστικό για να δείξουν ότι αφορά μόνο αυτό το χαρακτηριστικό, και όχι με τη μάντισσα, η οποία παραμένει θετική. Έτσι, από τον παραπάνω πίνακα είναι σαφές ότι
log 0,35 == 1,....; log 0,07 = 2,....; log 0,0008 = 4 ,....
Αφήστε καθόλου 
. υπάρχει ένα δεκαδικό κλάσμα στο οποίο πριν από το πρώτο σημαντικό ψηφίο α
δικαστικά έξοδα Μ
μηδενικά, συμπεριλαμβανομένων 0 ακεραίων. Τότε είναι προφανές ότι
- Μ < log A < - (Μ- 1).
Αφού από δύο ακέραιους αριθμούς:- Μ Και - (Μ- 1) υπάρχει λιγότερο - Μ , Οτι
ημερολόγιο A = - Μ+ θετικό κλάσμα,
και επομένως το χαρακτηριστικό ημερολόγιο A = - Μ (με θετική μάντισσα).
Ετσι, το χαρακτηριστικό του λογάριθμου ενός δεκαδικού κλάσματος μικρότερου του 1 περιέχει τόσα αρνητικά όσα μηδενικά υπάρχουν στην εικόνα του δεκαδικού κλάσματος πριν από το πρώτο σημαντικό ψηφίο, συμπεριλαμβανομένων μηδενικών ακεραίων. Η μάντισσα ενός τέτοιου λογάριθμου είναι θετική.
μι)Ας πολλαπλασιάσουμε κάποιο αριθμό Ν(ακέραιος ή κλάσμα - δεν έχει σημασία) κατά 10, κατά 100 επί 1000..., γενικά κατά 1 με μηδενικά. Ας δούμε πώς αλλάζει αυτό ημερολόγιο Ν. Από τον λογάριθμο του προϊόντος ίσο με το άθροισμαλογάριθμους των παραγόντων, λοιπόν
log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;
log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;
log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3;και τα λοιπά.
Πότε να ημερολόγιο Νπροσθέτουμε κάποιο ακέραιο, τότε μπορούμε πάντα να προσθέσουμε αυτόν τον αριθμό στο χαρακτηριστικό και όχι στη μάντισσα.
Έτσι, αν log N = 2,7804, τότε 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, κ.λπ.;
ή αν log N = 3,5649, τότε 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649, κ.λπ.
Όταν ένας αριθμός πολλαπλασιάζεται επί 10, 100, 1000,..., γενικά επί 1 με μηδενικά, η μάντισσα του λογαρίθμου δεν αλλάζει και το χαρακτηριστικό αυξάνεται κατά τόσες μονάδες όσες υπάρχουν μηδενικά στον παράγοντα .
Ομοίως, λαμβάνοντας υπόψη ότι ο λογάριθμος του πηλίκου είναι ίσος με τον λογάριθμο του μερίσματος χωρίς τον λογάριθμο του διαιρέτη, παίρνουμε:
log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;
log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;
log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3;και ούτω καθεξής.
Αν συμφωνήσουμε, όταν αφαιρούμε έναν ακέραιο από έναν λογάριθμο, να αφαιρούμε πάντα αυτόν τον ακέραιο από το χαρακτηριστικό και να αφήνουμε αμετάβλητο το mantissa, τότε μπορούμε να πούμε:
Η διαίρεση ενός αριθμού με το 1 με μηδενικά δεν αλλάζει τη μάντισσα του λογάριθμου, αλλά το χαρακτηριστικό μειώνεται κατά τόσες μονάδες όσες υπάρχουν μηδενικά στον διαιρέτη.
276. Συνέπειες.Από ιδιοκτησία ( μι) μπορούν να εξαχθούν τα ακόλουθα δύο συμπεράσματα:
ΕΝΑ) Η μάντισσα του λογάριθμου ενός δεκαδικού αριθμού δεν αλλάζει όταν μετακινείται σε δεκαδικό ψηφίο , γιατί η μετακίνηση μιας υποδιαστολής ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση με το 10, το 100, το 1000 κ.λπ. Έτσι, οι λογάριθμοι αριθμών:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
διαφέρουν μόνο στα χαρακτηριστικά, αλλά όχι στις μάντισσες (με την προϋπόθεση ότι όλες οι μάντισσες είναι θετικές).
σι) Οι μάντισσες των αριθμών που έχουν το ίδιο σημαντικό μέρος, αλλά διαφέρουν μόνο κατά το τέλος των μηδενικών, είναι οι ίδιες: Έτσι, οι λογάριθμοι των αριθμών: 23, 230, 2300, 23.000 διαφέρουν μόνο στα χαρακτηριστικά.
Σχόλιο. Από τις υποδεικνυόμενες ιδιότητες των δεκαδικών λογαρίθμων είναι σαφές ότι μπορούμε να βρούμε τα χαρακτηριστικά του λογαρίθμου ενός ακέραιου και ενός δεκαδικού κλάσματος χωρίς τη βοήθεια πινάκων (αυτή είναι η μεγάλη ευκολία των δεκαδικών λογαρίθμων). Ως αποτέλεσμα, μόνο μία μάντισσα τοποθετείται σε λογαριθμικούς πίνακες. Επιπλέον, εφόσον η εύρεση λογαρίθμων κλασμάτων ανάγεται στην εύρεση λογαρίθμων ακεραίων (λογάριθμος κλάσματος = λογάριθμος αριθμητή χωρίς τον λογάριθμο του παρονομαστή), οι μάντισσες λογαρίθμων μόνο ακεραίων τοποθετούνται στους πίνακες.
Κεφάλαιο τρίτο.
Σχεδιασμός και χρήση τετραψήφιων πινάκων.
277. Συστήματα λογαρίθμων.Ένα σύστημα λογαρίθμων είναι ένα σύνολο λογαρίθμων που υπολογίζεται για έναν αριθμό διαδοχικών ακεραίων χρησιμοποιώντας την ίδια βάση. Χρησιμοποιούνται δύο συστήματα: το σύστημα των συνηθισμένων ή δεκαδικών λογαρίθμων, στο οποίο ο αριθμός λαμβάνεται ως βάση 10 και ένα σύστημα λεγόμενων φυσικών λογαρίθμων, στο οποίο λαμβάνεται ως βάση ένας άρρητος αριθμός (για κάποιους λόγους που είναι σαφείς σε άλλους κλάδους των μαθηματικών) 2,7182818 ... Για τους υπολογισμούς χρησιμοποιούνται δεκαδικοί λογάριθμοι, λόγω της ευκολίας που υποδείξαμε όταν παραθέσαμε τις ιδιότητες τέτοιων λογαρίθμων.
Οι φυσικοί λογάριθμοι ονομάζονται επίσης Neperov από τον εφευρέτη των λογαρίθμων, έναν Σκωτσέζο μαθηματικό Νεπέρα(1550-1617), και δεκαδικοί λογάριθμοι - Briggs που πήρε το όνομά του από τον καθηγητή Brigga(σύγχρονος και φίλος του Napier), ο οποίος συνέταξε πρώτος πίνακες αυτών των λογαρίθμων.
278. Μετατροπή αρνητικού λογάριθμου σε λογάριθμο του οποίου η μάντισσα είναι θετική και ο αντίστροφος μετασχηματισμός. Είδαμε ότι οι λογάριθμοι αριθμών μικρότεροι του 1 είναι αρνητικοί. Αυτό σημαίνει ότι αποτελούνται από ένα αρνητικό χαρακτηριστικό και μια αρνητική μάντισσα. Τέτοιοι λογάριθμοι μπορούν πάντα να μετασχηματίζονται έτσι ώστε η μάντισσα τους να είναι θετική, αλλά το χαρακτηριστικό παραμένει αρνητικό. Για να γίνει αυτό, αρκεί να προσθέσετε ένα θετικό στη μάντισσα και ένα αρνητικό στο χαρακτηριστικό (το οποίο, φυσικά, δεν αλλάζει την τιμή του λογαρίθμου).
Αν, για παράδειγμα, έχουμε λογάριθμο - 2,0873 , τότε μπορείτε να γράψετε:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
ή συντομογραφία:
Αντίστροφα, κάθε λογάριθμος με αρνητικό χαρακτηριστικό και θετική μάντισσα μπορεί να μετατραπεί σε αρνητικό. Για να γίνει αυτό, αρκεί να επισυνάψετε ένα αρνητικό στη θετική μάντισσα και ένα θετικό στο αρνητικό χαρακτηριστικό: έτσι, μπορείτε να γράψετε:
279. Περιγραφή τετραψήφιων πινάκων.Για την επίλυση των περισσότερων πρακτικών προβλημάτων, αρκούν τετραψήφιοι πίνακες, ο χειρισμός των οποίων είναι πολύ απλός. Αυτοί οι πίνακες (με την επιγραφή «λογάριθμοι» στην κορυφή) τοποθετούνται στο τέλος αυτού του βιβλίου και ένα μικρό μέρος τους (για να εξηγηθεί η διάταξη) είναι τυπωμένο σε αυτή τη σελίδα
Λογάριθμοι.
λογάριθμοι όλων των ακεραίων από 1 πριν 9999 συμπεριλαμβανομένου, υπολογίζεται με τέσσερα δεκαδικά ψηφία, με το τελευταίο από αυτά τα ψηφία να αυξάνεται κατά 1 σε όλες εκείνες τις περιπτώσεις όπου το 5ο δεκαδικό ψηφίο θα ήταν 5 ή περισσότερο από 5· Επομένως, οι 4ψήφιοι πίνακες δίνουν κατά προσέγγιση μάντισσες μέχρι 1 / 2 δέκα χιλιάδες μέρος (με έλλειμμα ή υπέρβαση).
Δεδομένου ότι μπορούμε να χαρακτηρίσουμε άμεσα τον λογάριθμο ενός ακέραιου ή ενός δεκαδικού κλάσματος, με βάση τις ιδιότητες των δεκαδικών λογαρίθμων, πρέπει να πάρουμε μόνο τις μάντισσες από τους πίνακες. Ταυτόχρονα, πρέπει να θυμόμαστε ότι η θέση της υποδιαστολής σε έναν δεκαδικό αριθμό, καθώς και ο αριθμός των μηδενικών στο τέλος του αριθμού, δεν επηρεάζουν την τιμή της μάντισσας. Επομένως, κατά την εύρεση της μάντισσας από δεδομένου αριθμούπετάμε το κόμμα σε αυτόν τον αριθμό, καθώς και τα μηδενικά στο τέλος του, αν υπάρχουν, και βρίσκουμε τη μάντισσα του ακέραιου αριθμού που σχηματίζεται μετά από αυτό. Μπορεί να προκύψουν οι ακόλουθες περιπτώσεις.
1) Ένας ακέραιος αριθμός αποτελείται από 3 ψηφία.Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε τη μάντισσα του λογάριθμου του αριθμού 536. Τα δύο πρώτα ψηφία αυτού του αριθμού, δηλαδή το 53, βρίσκονται στους πίνακες της πρώτης κάθετης στήλης στα αριστερά (βλ. πίνακα). Έχοντας βρει τον αριθμό 53, μετακινούμαστε από αυτόν κατά μήκος μιας οριζόντιας γραμμής προς τα δεξιά έως ότου αυτή η γραμμή τέμνεται με μια κατακόρυφη στήλη που διέρχεται από έναν από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3,... 9, που βρίσκονται στην κορυφή (και κάτω) του πίνακα, που είναι το 3ο ψηφίο ενός δεδομένου αριθμού, δηλαδή στο παράδειγμά μας, ο αριθμός 6. Στη διασταύρωση παίρνουμε τη μάντισσα 7292 (δηλ. 0,7292), η οποία ανήκει στον λογάριθμο του αριθμού 536. Ομοίως , για τον αριθμό 508 βρίσκουμε τη μάντισσα 0,7059, για τον αριθμό 500 βρίσκουμε 0,6990 κ.λπ.
2) Ένας ακέραιος αριθμός αποτελείται από 2 ή 1 ψηφία.Έπειτα αντιστοιχίζουμε νοερά ένα ή δύο μηδενικά σε αυτόν τον αριθμό και βρίσκουμε τη μάντισσα για τον τριψήφιο αριθμό που σχηματίστηκε έτσι. Για παράδειγμα, προσθέτουμε ένα μηδέν στον αριθμό 51, από τον οποίο παίρνουμε το 510 και βρίσκουμε το mantissa 7070. στον αριθμό 5 εκχωρούμε 2 μηδενικά και βρίσκουμε τη μάντισσα 6990 κ.λπ.
3) Ένας ακέραιος αριθμός εκφράζεται σε 4 ψηφία.Για παράδειγμα, πρέπει να βρείτε το mantissa του log 5436. Στη συνέχεια, βρίσκουμε πρώτα στους πίνακες, όπως μόλις υποδείχθηκε, το mantissa για τον αριθμό που αντιπροσωπεύεται από τα πρώτα 3 ψηφία αυτού του αριθμού, δηλαδή για το 543 (αυτό το mantissa θα είναι 7348) ; στη συνέχεια μετακινούμαστε από τη μάντισσα που βρέθηκε κατά μήκος της οριζόντιας γραμμής προς τα δεξιά (στη δεξιά πλευρά του πίνακα, που βρίσκεται πίσω από την παχιά κάθετη γραμμή) μέχρι να τέμνεται με την κατακόρυφη στήλη που διέρχεται από έναν από τους αριθμούς: 1, 2 3,. .. 9, που βρίσκεται στην κορυφή (και στο κάτω μέρος ) αυτού του τμήματος του πίνακα, το οποίο αντιπροσωπεύει το 4ο ψηφίο ενός δεδομένου αριθμού, δηλαδή, στο παράδειγμά μας, τον αριθμό 6. Στη διασταύρωση βρίσκουμε τη διόρθωση (αριθμός 5), το οποίο πρέπει να εφαρμοστεί νοερά στη μάντισσα του 7348 για να ληφθεί η μάντισσα του αριθμού 5436. Έτσι παίρνουμε το mantissa 0,7353.
4) Ένας ακέραιος αριθμός εκφράζεται με 5 ή περισσότερα ψηφία.Στη συνέχεια, απορρίπτουμε όλα τα ψηφία εκτός από τα πρώτα 4, παίρνουμε έναν κατά προσέγγιση τετραψήφιο αριθμό και αυξάνουμε το τελευταίο ψηφίο αυτού του αριθμού κατά 1 σε αυτόν τον αριθμό. περίπτωση που το απορριφθέν 5ο ψηφίο του αριθμού είναι 5 ή μεγαλύτερο από 5. Άρα, αντί για 57842 παίρνουμε 5784, αντί για 30257 παίρνουμε 3026, αντί για 583263 παίρνουμε 5833 κ.λπ. Για αυτόν τον στρογγυλεμένο τετραψήφιο αριθμό, βρίσκουμε τη μάντισσα όπως μόλις εξηγήθηκε.
Με οδηγό αυτές τις οδηγίες, ας βρούμε, για παράδειγμα, τους λογάριθμους των παρακάτω αριθμών:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
Πρώτα απ 'όλα, χωρίς να στραφούμε προς το παρόν στους πίνακες, θα βάλουμε μόνο τα χαρακτηριστικά, αφήνοντας χώρο για τις μάντισσες, τις οποίες θα γράψουμε μετά:
log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....
log 804,7 = 2,.... log 7,2634 = 0,....
log 0,26 = 1,.... log 3456,86 = 3,....
log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;
log 804.7 = 2.9057; log 7,2634 = 0,8611;
log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.
280. Σημ. Σε ορισμένους τετραψήφιους πίνακες (για παράδειγμα, σε πίνακες V. Lorchenko and N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) δεν γίνονται διορθώσεις για το 4ο ψηφίο αυτού του αριθμού. Όταν ασχολείστε με τέτοιους πίνακες, πρέπει να βρείτε αυτές τις διορθώσεις χρησιμοποιώντας έναν απλό υπολογισμό που μπορεί να γίνει με βάση επόμενη αλήθεια: εάν οι αριθμοί υπερβαίνουν το 100 και οι διαφορές μεταξύ τους είναι μικρότερες από 1, τότε χωρίς ευαίσθητο σφάλμα μπορεί να υποτεθεί ότι Οι διαφορές μεταξύ των λογαρίθμων είναι ανάλογες με τις διαφορές μεταξύ των αντίστοιχων αριθμών . Ας, για παράδειγμα, πρέπει να βρούμε τη μάντισσα που αντιστοιχεί στον αριθμό 5367. Αυτή η μάντισσα, φυσικά, είναι ίδια με τον αριθμό 536,7. Βρίσκουμε στους πίνακες για τον αριθμό 536 τη μάντισσα 7292. Συγκρίνοντας αυτή τη μάντισσα με τη μάντισσα 7300 δίπλα στα δεξιά, που αντιστοιχεί στον αριθμό 537, παρατηρούμε ότι αν ο αριθμός 536 αυξηθεί κατά 1, τότε η μάντισσα της θα αυξηθεί κατά 8 δέκα. -χιλιάδες (8 είναι το λεγόμενο διαφορά πίνακαανάμεσα σε δύο γειτονικές μάντισσες). αν ο αριθμός 536 αυξηθεί κατά 0,7, τότε η μάντισσα του θα αυξηθεί όχι κατά 8 δέκα χιλιάδες, αλλά κατά κάποιο μικρότερο αριθμό Χ δέκα χιλιοστά, τα οποία, σύμφωνα με την υποτιθέμενη αναλογικότητα, πρέπει να ικανοποιούν τις αναλογίες:
Χ :8 = 0,7:1; που Χ = 8 07 = 5,6,
το οποίο στρογγυλοποιείται σε 6 δέκα χιλιάδες. Αυτό σημαίνει ότι η μάντισσα για τον αριθμό 536,7 (και επομένως για τον αριθμό 5367) θα είναι: 7292 + 6 = 7298.
Σημειώστε ότι η εύρεση ενός ενδιάμεσου αριθμού από δύο διπλανούς αριθμούς σε πίνακες καλείται παρεμβολή.Η παρεμβολή που περιγράφεται εδώ ονομάζεται αναλογικά, αφού βασίζεται στην υπόθεση ότι η μεταβολή στον λογάριθμο είναι ανάλογη της μεταβολής του αριθμού. Ονομάζεται επίσης γραμμικό, αφού υποθέτει ότι γραφικά η μεταβολή σε μια λογαριθμική συνάρτηση εκφράζεται με μια ευθεία γραμμή.
281. Όριο σφάλματος του κατά προσέγγιση λογάριθμου.Εάν ο αριθμός του οποίου ο λογάριθμος αναζητείται είναι ακριβής αριθμός, τότε το όριο σφάλματος του λογάριθμου του που βρίσκεται σε 4ψήφιους πίνακες μπορεί, όπως είπαμε, να ληφθεί. 1 / 2 δέκατο χιλιοστό μέρος. Εάν αυτός ο αριθμός δεν είναι ακριβής, τότε σε αυτό το όριο σφάλματος πρέπει να προσθέσουμε και το όριο ενός άλλου σφάλματος που προκύπτει από την ανακρίβεια του ίδιου του αριθμού. Έχει αποδειχθεί (παραλείπουμε αυτήν την απόδειξη) ότι ένα τέτοιο όριο μπορεί να θεωρηθεί το προϊόν
ένα(ρε +1) δέκα χιλιοστά.,
στο οποίο ΕΝΑ είναι το περιθώριο σφάλματος για τον πιο ανακριβή αριθμό, υποθέτοντας ότι Το ακέραιο μέρος του περιέχει 3 ψηφία, ένα ρε Πίνακας διαφοράς μάντισσας που αντιστοιχεί σε δύο διαδοχικούς τριψήφιους αριθμούς μεταξύ των οποίων βρίσκεται ο δεδομένος ανακριβής αριθμός. Έτσι, το όριο του τελικού σφάλματος του λογαρίθμου θα εκφραστεί με τον τύπο:
1 / 2 + ένα(ρε +1) δέκα χιλιοστά
Παράδειγμα. Εύρεση αρχείου καταγραφής π , λαμβάνοντας για π κατά προσέγγιση νούμερο 3.14, ακριβώς έως 1 / 2 εκατοστός.
Μετακινώντας το κόμμα μετά το 3ο ψηφίο στον αριθμό 3.14, μετρώντας από τα αριστερά, παίρνουμε τον τριψήφιο αριθμό 314, ακριβώς 1 / 2 μονάδες? Αυτό σημαίνει ότι το περιθώριο σφάλματος για έναν ανακριβή αριθμό, δηλαδή αυτό που συμβολίσαμε με το γράμμα ΕΝΑ , υπάρχει 1 / 2 Από τους πίνακες βρίσκουμε:
log 3,14 = 0,4969.
Διαφορά πίνακα ρε μεταξύ των μάντισσων των αριθμών 314 και 315 ισούται με 14, άρα το σφάλμα του λογάριθμου που βρέθηκε θα είναι μικρότερο
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 δέκα χιλιοστά.
Δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε για τον λογάριθμο 0,4969 εάν είναι ανεπαρκής ή υπερβολικός, μπορούμε μόνο να εγγυηθούμε ότι ο ακριβής λογάριθμος π κυμαίνεται μεταξύ 0,4969 - 0,0008 και 0,4969 + 0,0008, δηλ. 0,4961< log π < 0,4977.
282. Βρείτε έναν αριθμό χρησιμοποιώντας έναν δεδομένο λογάριθμο. Για να βρείτε έναν αριθμό χρησιμοποιώντας έναν δεδομένο λογάριθμο, οι ίδιοι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση των μάντισσων δεδομένων αριθμών. αλλά είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε άλλους πίνακες που περιέχουν τους λεγόμενους αντιλογάριθμους, δηλαδή αριθμούς που αντιστοιχούν σε αυτές τις μάντισσες. Αυτοί οι πίνακες, που υποδεικνύονται από την επιγραφή στο επάνω μέρος «αντιλογάριθμοι», τοποθετούνται στο τέλος αυτού του βιβλίου, αφού ένα μικρό μέρος τους τοποθετηθεί σε αυτή τη σελίδα.
Ας υποθέσουμε ότι σας δίνεται ένα 4ψήφιο mantissa 2863 (δεν δίνουμε σημασία στο χαρακτηριστικό) και πρέπει να βρείτε τον αντίστοιχο ακέραιο. Στη συνέχεια, έχοντας πίνακες αντιλογαρίθμων, πρέπει να τους χρησιμοποιήσετε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που εξηγήθηκε προηγουμένως για να βρείτε τη μάντισσα για έναν δεδομένο αριθμό, δηλαδή: βρίσκουμε τα πρώτα 2 ψηφία της μάντισσας στην πρώτη στήλη στα αριστερά. Στη συνέχεια μετακινούμαστε από αυτούς τους αριθμούς κατά μήκος της οριζόντιας γραμμής προς τα δεξιά μέχρι να τέμνεται με την κατακόρυφη στήλη που προέρχεται από το 3ο ψηφίο της μάντισσας, το οποίο πρέπει να αναζητηθεί στην επάνω γραμμή (ή στο κάτω μέρος). Στη διασταύρωση βρίσκουμε τον τετραψήφιο αριθμό 1932, που αντιστοιχεί στο μάντισσα 286. Στη συνέχεια, από αυτόν τον αριθμό κινούμαστε περαιτέρω κατά μήκος της οριζόντιας γραμμής προς τα δεξιά μέχρι τη διασταύρωση με την κατακόρυφη στήλη που προέρχεται από το 4ο ψηφίο της μάντισσας, η οποία πρέπει να βρεθεί στην κορυφή (ή κάτω) μεταξύ των αριθμών 1, 2 που τοποθετήθηκαν εκεί , 3,... 9. Στη διασταύρωση βρίσκουμε τη διόρθωση 1, η οποία πρέπει να εφαρμοστεί (στο μυαλό) στον αριθμό 1032 που βρέθηκε νωρίτερα για για να λάβετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στη μάντισσα 2863.
Έτσι, ο αριθμός θα είναι 1933. Μετά από αυτό, δίνοντας προσοχή στο χαρακτηριστικό, πρέπει να βάλετε το κατειλημμένο στη σωστή θέση στον αριθμό 1933. Για παράδειγμα:
Αν κούτσουρο Χ = 3,2863, λοιπόν Χ = 1933,
„ κούτσουρο x = 1,2863, „ Χ = 19,33,
, κούτσουρο Χ = 0,2&63, „ Χ = 1,933,
„ κούτσουρο Χ = 2 ,2863, „ Χ = 0,01933
Ακολουθούν περισσότερα παραδείγματα:
κούτσουρο Χ = 0,2287, Χ = 1,693,
κούτσουρο Χ = 1 ,7635, Χ = 0,5801,
κούτσουρο Χ = 3,5029, Χ = 3184,
κούτσουρο Χ = 2 ,0436, Χ = 0,01106.
Εάν η μάντισσα περιέχει 5 ή περισσότερα ψηφία, τότε παίρνουμε μόνο τα πρώτα 4 ψηφία, απορρίπτοντας τα υπόλοιπα (και αυξάνοντας το 4ο ψηφίο κατά 1 αν το 5ο ψηφίο έχει πέντε ή περισσότερα). Για παράδειγμα, αντί για το mantissa 35478 παίρνουμε 3548, αντί για 47562 παίρνουμε 4756.
283. Σημ.Η διόρθωση για το 4ο και τα επόμενα ψηφία της μάντισσας μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω παρεμβολής. Έτσι, εάν η μάντισσα είναι 84357, τότε, έχοντας βρει τον αριθμό 6966, που αντιστοιχεί στη μάντισσα 843, μπορούμε περαιτέρω να αιτιολογήσουμε ως εξής: εάν η μάντισσα αυξηθεί κατά 1 (χιλιοστή), δηλ. κάνει 844, τότε ο αριθμός, ως φαίνεται από τους πίνακες, θα αυξηθεί κατά 16 μονάδες. εάν η μάντισσα αυξηθεί όχι κατά 1 (χιλιάδα), αλλά κατά 0,57 (χιλιάδα), τότε ο αριθμός θα αυξηθεί κατά Χ μονάδες, και Χ πρέπει να πληρούν τις αναλογίες:
Χ : 16 = 0,57: 1, από όπου x = 16 0,57 = 9,12.
Αυτό σημαίνει ότι ο απαιτούμενος αριθμός θα είναι 6966+ 9,12 = 6975,12 ή (περιορίζεται μόνο σε τέσσερα ψηφία) 6975.
284. Όριο σφάλματος του αριθμού που βρέθηκε.Έχει αποδειχθεί ότι στην περίπτωση που στον αριθμό που βρέθηκε το κόμμα είναι μετά το 3ο ψηφίο από τα αριστερά, δηλαδή όταν το χαρακτηριστικό του λογαρίθμου είναι 2, το άθροισμα μπορεί να ληφθεί ως όριο σφάλματος
Οπου ΕΝΑ είναι το όριο σφάλματος του λογάριθμου (εκφρασμένο σε δέκα χιλιοστά) με το οποίο βρέθηκε ο αριθμός, και ρε - η διαφορά μεταξύ των μάντισσων δύο τριψήφιων διαδοχικών αριθμών μεταξύ των οποίων βρίσκεται ο αριθμός που βρέθηκε (με κόμμα μετά το 3ο ψηφίο από αριστερά). Όταν το χαρακτηριστικό δεν είναι 2, αλλά κάποιο άλλο, τότε στον αριθμό που βρέθηκε το κόμμα θα πρέπει να μετακινηθεί προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά, δηλαδή να διαιρεθεί ή να πολλαπλασιαστεί ο αριθμός με κάποια δύναμη του 10. Σε αυτήν την περίπτωση, το σφάλμα του αποτελέσματος θα διαιρεθεί ή πολλαπλασιαστεί επίσης με την ίδια δύναμη του 10.
Ας, για παράδειγμα, αναζητούμε έναν αριθμό χρησιμοποιώντας τον λογάριθμο 1,5950 , το οποίο είναι γνωστό ότι είναι ακριβές στα 3 δέκα χιλιάδες. αυτό σημαίνει τότε ΕΝΑ = 3 . Ο αριθμός που αντιστοιχεί σε αυτόν τον λογάριθμο, που βρέθηκε από τον πίνακα των αντιλογαρίθμων, είναι 39,36 . Μετακινώντας το κόμμα μετά το 3ο ψηφίο από αριστερά, έχουμε τον αριθμό 393,6 , που αποτελείται μεταξύ 393 Και 394 . Από τους πίνακες των λογαρίθμων βλέπουμε ότι η διαφορά μεταξύ των μάντισσων που αντιστοιχούν σε αυτούς τους δύο αριθμούς είναι 11 δέκα χιλιοστά? Που σημαίνει ρε = 11 . Το σφάλμα του αριθμού 393,6 θα είναι μικρότερο
Αυτό σημαίνει ότι το σφάλμα στον αριθμό 39,36 θα είναι λιγότερα 0,05 .
285. Πράξεις σε λογάριθμους με αρνητικά χαρακτηριστικά.Η πρόσθεση και η αφαίρεση λογαρίθμων δεν παρουσιάζει δυσκολίες, όπως φαίνεται από τα ακόλουθα παραδείγματα:
Επίσης, δεν υπάρχει δυσκολία στον πολλαπλασιασμό του λογάριθμου με έναν θετικό αριθμό, για παράδειγμα:
Στο τελευταίο παράδειγμα, η θετική μάντισσα πολλαπλασιάζεται χωριστά επί 34, λοιπόν αρνητικό χαρακτηριστικόστα 34.
Εάν ο λογάριθμος ενός αρνητικού χαρακτηριστικού και μιας θετικής μάντισσας πολλαπλασιαστεί με έναν αρνητικό αριθμό, τότε προχωρήστε με δύο τρόπους: είτε ο δεδομένος λογάριθμος γίνεται πρώτα αρνητικός, είτε η μάντισσα και το χαρακτηριστικό πολλαπλασιάζονται χωριστά και τα αποτελέσματα συνδυάζονται μεταξύ τους, για παράδειγμα :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Κατά τη διαίρεση, μπορεί να προκύψουν δύο περιπτώσεις: 1) το αρνητικό χαρακτηριστικό διαιρείται και 2) δεν διαιρείται με διαιρέτη. Στην πρώτη περίπτωση, το χαρακτηριστικό και η μάντισσα διαχωρίζονται ξεχωριστά:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
Στη δεύτερη περίπτωση, προστίθενται τόσες αρνητικές μονάδες στο χαρακτηριστικό έτσι ώστε ο αριθμός που προκύπτει να διαιρείται με τον διαιρέτη. Ο ίδιος αριθμός θετικών μονάδων προστίθεται στη μάντισσα:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
Αυτός ο μετασχηματισμός πρέπει να γίνει στο μυαλό, οπότε η δράση έχει ως εξής:
286. Αντικατάσταση αφαιρούμενων λογαρίθμων με όρους.Όταν υπολογίζετε κάποια σύνθετη έκφραση χρησιμοποιώντας λογάριθμους, πρέπει να προσθέσετε μερικούς λογάριθμους και να αφαιρέσετε άλλους. Σε αυτή την περίπτωση, με τον συνήθη τρόπο εκτέλεσης των ενεργειών, βρίσκουν χωριστά το άθροισμα των προστιθέμενων λογαρίθμων, μετά το άθροισμα των αφαιρεθέντων και αφαιρούν το δεύτερο από το πρώτο άθροισμα. Για παράδειγμα, αν έχουμε:
κούτσουρο Χ = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
τότε η συνήθης εκτέλεση των ενεργειών θα μοιάζει με αυτό:
Ωστόσο, είναι δυνατή η αντικατάσταση της αφαίρεσης με την πρόσθεση. Ετσι:
Τώρα μπορείτε να κανονίσετε τον υπολογισμό ως εξής:
287. Παραδείγματα υπολογισμών.
Παράδειγμα 1. Αξιολογήστε την έκφραση:
Αν A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127Και D = 7,246.
Ας πάρουμε έναν λογάριθμο αυτής της έκφρασης:
κούτσουρο Χ= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
Τώρα, για να αποφευχθεί η άσκοπη απώλεια χρόνου και να μειωθεί η πιθανότητα σφαλμάτων, πρώτα απ 'όλα θα κανονίσουμε όλους τους υπολογισμούς χωρίς να τους εκτελέσουμε προς το παρόν και, επομένως, χωρίς να αναφερθούμε στους πίνακες:
Μετά από αυτό, παίρνουμε τους πίνακες και βάζουμε λογάριθμους στα υπόλοιπα ελεύθερες θέσεις:
Όριο σφάλματος.Αρχικά, ας βρούμε το όριο σφάλματος του αριθμού Χ 1 = 194,5 , ίσο με:
Έτσι, πρώτα απ 'όλα πρέπει να βρείτε ΕΝΑ , δηλαδή το όριο σφάλματος του κατά προσέγγιση λογάριθμου, εκφρασμένο σε δέκα χιλιοστά. Ας υποθέσουμε ότι αυτοί οι αριθμοί Α, Β, ΓΚαι ρεόλα είναι ακριβή. Τότε τα σφάλματα σε μεμονωμένους λογάριθμους θα είναι τα εξής (σε δέκα χιλιοστά):
V logA.......... 1 / 2
V 1/3 κούτσουρο Α......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 προστέθηκε επειδή κατά τη διαίρεση με 3 λογάριθμους του 1,9146, στρογγυλοποιήσαμε το πηλίκο απορρίπτοντας το 5ο ψηφίο του και, ως εκ τούτου, κάναμε ένα ακόμη μικρότερο σφάλμα 1 / 2 δέκα χιλιάδες).
Τώρα βρίσκουμε το όριο σφάλματος του λογάριθμου:
ΕΝΑ = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (δέκα χιλιοστά).
Ας ορίσουμε περαιτέρω ρε . Επειδή Χ 1 = 194,5 , τότε 2 διαδοχικοί ακέραιοι μεταξύ των οποίων βρίσκεται Χ 1 θα 194 Και 195 . Διαφορά πίνακα ρε μεταξύ των μάντισσων που αντιστοιχούν σε αυτούς τους αριθμούς ισούται με 22 . Αυτό σημαίνει ότι το όριο σφάλματος του αριθμού είναι Χ 1 Υπάρχει:
Επειδή Χ = Χ 1 : 10, μετά το όριο σφάλματος στον αριθμό Χ ισοδυναμεί 0,3:10 = 0,03 . Έτσι, ο αριθμός που βρήκαμε 19,45 διαφέρει από τον ακριβή αριθμό κατά λιγότερο από 0,03 . Δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε εάν η προσέγγισή μας βρέθηκε με έλλειψη ή με υπέρβαση, μπορούμε μόνο να εγγυηθούμε ότι
19,45 + 0,03 > Χ > 19,45 - 0,03 , δηλ.
19,48 > Χ > 19,42 ,
και επομένως, αν δεχτούμε Χ =19,4 , τότε θα έχουμε μια προσέγγιση με μειονέκτημα με ακρίβεια έως και 0,1.
Παράδειγμα 2.Υπολογίζω:
Χ = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Εφόσον οι αρνητικοί αριθμοί δεν έχουν λογάριθμους, βρίσκουμε πρώτα:
Χ" = (2,31) 3 5 √72
με αποσύνθεση:
κούτσουρο Χ"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.
Μετά τον υπολογισμό προκύπτει:
Χ" = 28,99 ;
ως εκ τούτου,
Χ = - 28,99 .
Παράδειγμα 3. Υπολογίζω:
Ο συνεχής λογαριθμισμός δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί εδώ, αφού το πρόσημο της ρίζας είναι c u m m a. ΣΕ παρόμοιες περιπτώσειςυπολογίστε τον τύπο ανά μέρη.
Πρώτα βρίσκουμε Ν = 5 √8 , Επειτα Ν 1 = 4 √3 ; τότε με απλή πρόσθεση προσδιορίζουμε Ν+ Ν 1 , και τελικά υπολογίζουμε 3 √Ν+ Ν 1 ; αποδεικνύεται:
Ν=1.514, Ν 1 = 1,316 ; Ν+ Ν 1 = 2,830 .
κούτσουρο Χ= ημερολόγιο 3 √ 2,830 = 1 / 3 ημερολόγιο 2.830 = 0,1506 ;
Χ = 1,415 .
Κεφάλαιο τέσσερα.
Εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις.
288. Εκθετικές εξισώσεις είναι εκείνες στις οποίες ο άγνωστος περιλαμβάνεται στον εκθέτη, και λογαριθμική- αυτά στα οποία το άγνωστο μπαίνει κάτω από το σημάδι κούτσουρο. Τέτοιες εξισώσεις μπορούν να επιλυθούν μόνο σε ειδικές περιπτώσεις, και πρέπει κανείς να βασιστεί στις ιδιότητες των λογαρίθμων και στην αρχή ότι αν οι αριθμοί είναι ίσοι, τότε οι λογάριθμοί τους είναι ίσοι και, αντίθετα, εάν οι λογάριθμοι είναι ίσοι, τότε οι αντίστοιχοι οι αριθμοί είναι ίσοι.
Παράδειγμα 1.Λύστε την εξίσωση: 2 Χ = 1024 .
Ας λογαριθμήσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:
Παράδειγμα 2.Λύστε την εξίσωση: ένα 2x - ένα Χ = 1 . Βάζοντας ένα Χ = στο , παίρνουμε τετραγωνική εξίσωση:
y 2 - στο - 1 = 0 ,
Επειδή 1-√5 < 0 , τότε η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη (συνάρτηση ένα Χ υπάρχει πάντα ένας θετικός αριθμός) και ο πρώτος δίνει:
Παράδειγμα 3.Λύστε την εξίσωση:
κούτσουρο( a + x) + ημερολόγιο ( b + x) = κούτσουρο ( c + x) .
Η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
ημερολόγιο [( a + x) (b + x)] = ημερολόγιο ( c + x) .
Από την ισότητα των λογαρίθμων συμπεραίνουμε ότι οι αριθμοί είναι ίσοι:
(a + x) (b + x) = c + x .
Αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση, η λύση της οποίας δεν είναι δύσκολη.
Κεφάλαιο πέμπτο.
Σύνθετοι τόκοι, προθεσμιακές πληρωμές και προθεσμιακές πληρωμές.
289. Βασικό πρόβλημα ανατοκισμού.Σε πόσο θα μετατραπεί το κεφάλαιο; ΕΝΑ ρούβλια, που δίνονται σε ανάπτυξη σε R σύνθετος τόκος, μετά t χρόνια ( t - ακέραιος);
Λένε ότι το κεφάλαιο καταβάλλεται με ανατοκισμό εάν ληφθεί υπόψη ο λεγόμενος «τόκος επί τόκων», δηλαδή εάν οι τόκοι που οφείλονται στο κεφάλαιο προστίθενται στο κεφάλαιο στο τέλος κάθε έτους για να αυξηθούν. με ενδιαφέρον τα επόμενα χρόνια.
Κάθε ρούβλι κεφαλαίου χαρίζεται R %, θα αποφέρει κέρδη εντός ενός έτους Π / 100 ρούβλι, και, ως εκ τούτου, κάθε ρούβλι κεφαλαίου σε 1 έτος θα μετατραπεί σε 1 + Π / 100 ρούβλι (για παράδειγμα, εάν το κεφάλαιο δίνεται σε 5 %, τότε κάθε ρούβλι του σε ένα χρόνο θα μετατραπεί σε 1 + 5 / 100 , δηλαδή σε 1,05 ρούβλι).
Για συντομία, δηλώνοντας το κλάσμα Π / 100 με ένα γράμμα, για παράδειγμα, r , μπορούμε να πούμε ότι κάθε ρούβλι κεφαλαίου σε ένα χρόνο θα μετατραπεί σε 1 + r ρούβλια? ως εκ τούτου, ΕΝΑ ρούβλια θα επιστραφούν σε 1 έτος στο ΕΝΑ (1 + r ) τρίψτε. Μετά από έναν ακόμη χρόνο, δηλαδή 2 χρόνια από την έναρξη της ανάπτυξης, κάθε ρούβλι από αυτά ΕΝΑ (1 + r ) τρίψτε. θα επικοινωνήσει ξανά 1 + r τρίψιμο.; Αυτό σημαίνει ότι όλο το κεφάλαιο θα μετατραπεί σε ΕΝΑ (1 + r ) 2 τρίψιμο. Με τον ίδιο τρόπο διαπιστώνουμε ότι μετά από τρία χρόνια η πρωτεύουσα θα είναι ΕΝΑ (1 + r ) 3 , σε τέσσερα χρόνια θα είναι ΕΝΑ (1 + r ) 4 ,... γενικά μέσω t χρόνια αν t είναι ακέραιος, θα μετατραπεί σε ΕΝΑ (1 + r ) tτρίψιμο. Έτσι, δηλώνοντας με ΕΝΑτελικό κεφάλαιο, θα έχουμε τον ακόλουθο τύπο σύνθετου επιτοκίου:
ΕΝΑ = ΕΝΑ (1 + r ) tΟπου r = Π / 100 .
Παράδειγμα.Αφήνω ένα =2.300 τρίψιμο, Π = 4, t=20 χρόνια? τότε ο τύπος δίνει:
r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2.300 (1,04) 20.
Να υπολογίσω ΕΝΑ, χρησιμοποιούμε λογάριθμους:
κούτσουρο ένα = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.
A = 5031ρούβλι.
Σχόλιο.Σε αυτό το παράδειγμα έπρεπε ημερολόγιο 1.04πολλαπλασιάζω με 20 . Από τον αριθμό 0,0170 υπάρχει μια κατά προσέγγιση τιμή ημερολόγιο 1.04μέχρι και 1 / 2 το δέκατο χιλιοστό μέρος, τότε το γινόμενο αυτού του αριθμού κατά 20 σίγουρα θα είναι μόνο μέχρι 1 / 2 20, δηλαδή μέχρι 10 δεκαχιλιοστή = 1 χιλιοστό. Επομένως συνολικά 3,7017 Δεν μπορούμε να εγγυηθούμε όχι μόνο για τον αριθμό των δέκα χιλιοστών, αλλά και για τον αριθμό των χιλιοστών. Για να αποκτήσετε μεγαλύτερη ακρίβεια σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι καλύτερο για τον αριθμό 1 + r πάρτε λογάριθμους όχι 4ψήφιους, αλλά με ένας μεγάλος αριθμόςαριθμοί, π.χ. 7ψήφιο. Για το σκοπό αυτό, παρουσιάζουμε εδώ έναν μικρό πίνακα στον οποίο γράφονται 7ψήφιοι λογάριθμοι για τις πιο συνηθισμένες τιμές R .
290. Το κύριο καθήκον είναι οι επείγουσες πληρωμές.Κάποιος πήρε ΕΝΑ ρούβλια ανά R % με την προϋπόθεση αποπληρωμής της οφειλής, μαζί με τους οφειλόμενους τόκους επ' αυτής, σε t ετών, καταβάλλοντας το ίδιο ποσό στο τέλος κάθε έτους. Ποιο θα πρέπει να είναι αυτό το ποσό;
Αθροισμα Χ , που καταβάλλεται ετησίως υπό τέτοιες συνθήκες, ονομάζεται επείγουσα πληρωμή. Ας δηλώσουμε πάλι με το γράμμα r ετήσιοι τόκοι χρήματα από 1 τρίψιμο, δηλαδή ο αριθμός Π / 100 . Στη συνέχεια μέχρι το τέλος του πρώτου έτους το χρέος ΕΝΑ αυξάνεται σε ΕΝΑ (1 + r ), βασική πληρωμή Χ θα κοστίσει ρούβλια ΕΝΑ (1 + r )-Χ .
Μέχρι το τέλος του δεύτερου έτους, κάθε ρούβλι αυτού του ποσού θα μετατραπεί ξανά σε 1 + r ρούβλια, και επομένως το χρέος θα είναι [ ΕΝΑ (1 + r )-Χ ](1 + r ) = ΕΝΑ (1 + r ) 2 - Χ (1 + r ), και για πληρωμή Χ ρούβλια θα είναι: ΕΝΑ (1 + r ) 2 - Χ (1 + r ) - Χ . Με τον ίδιο τρόπο θα φροντίσουμε μέχρι το τέλος του 3ου έτους το χρέος να είναι
ΕΝΑ (1 + r ) 3 - Χ (1 + r ) 2 - Χ (1 + r ) - Χ ,
και γενικά και το τέλος t έτος θα είναι:
ΕΝΑ (1 + r ) t - Χ (1 + r ) t -1 - Χ (1 + r ) t -2 ... - Χ (1 + r ) - Χ , ή
ΕΝΑ (1 + r ) t - Χ [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]
Το πολυώνυμο μέσα στις παρενθέσεις αντιπροσωπεύει το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου. που έχει το πρώτο μέλος 1 , τελευταίος ( 1 + r ) t -1και ο παρονομαστής ( 1 + r ). Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου (Ενότητα 10 Κεφάλαιο 3 § 249) βρίσκουμε:
και το ύψος του χρέους μετά t -η πληρωμή θα είναι:
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, το χρέος βρίσκεται στο τέλος t -ο έτος πρέπει να είναι ίσο με 0 ; Να γιατί:
που
Κατά τον υπολογισμό αυτού τύποι επείγουσας πληρωμήςχρησιμοποιώντας λογάριθμους πρέπει πρώτα να βρούμε τον βοηθητικό αριθμό Ν = (1 + r ) tκατά λογάριθμο: log N= t log(1+ r) ; έχοντας βρει Ν, αφαιρούμε 1 από αυτό και παίρνουμε τον παρονομαστή του τύπου για Χ, μετά από το οποίο βρίσκουμε με δευτερεύοντα λογάριθμο:
κούτσουρο Χ=log ένα+ log N + log r - log (N - 1).
291. Το κύριο καθήκον για εισφορές διαρκείας.Κάποιος καταθέτει το ίδιο ποσό στην τράπεζα στην αρχή κάθε έτους. ΕΝΑ τρίψιμο. Προσδιορίστε ποιο κεφάλαιο θα σχηματιστεί από αυτές τις εισφορές μετά t χρόνια εάν πληρώσει η τράπεζα R ανατοκισμός.
Ορίζεται από r ετήσιοι τόκοι από 1 ρούβλι, δηλ. Π / 100 , συλλογιζόμαστε ως εξής: μέχρι το τέλος του πρώτου έτους το κεφάλαιο θα είναι ΕΝΑ (1 + r );
στην αρχή του 2ου έτους θα προστεθεί στο ποσό αυτό ΕΝΑ ρούβλια? αυτό σημαίνει ότι αυτή τη στιγμή το κεφάλαιο θα είναι ΕΝΑ (1 + r ) + ένα . Μέχρι το τέλος του 2ου έτους θα είναι ΕΝΑ (1 + r ) 2 + α (1 + r );
στην αρχή του 3ου έτους μπαίνει ξανά ΕΝΑ ρούβλια? αυτό σημαίνει ότι αυτή τη στιγμή θα υπάρχει κεφάλαιο ΕΝΑ (1 + r ) 2 + α (1 + r ) + ΕΝΑ ; μέχρι το τέλος του 3ου θα είναι ΕΝΑ (1 + r ) 3 + α (1 + r ) 2 + α (1 + r ) Συνεχίζοντας αυτά τα επιχειρήματα περαιτέρω, διαπιστώνουμε ότι μέχρι το τέλος t έτος το απαιτούμενο κεφάλαιο ΕΝΑθα:
Αυτός είναι ο τύπος για τις εισφορές διάρκειας που γίνονται στην αρχή κάθε έτους.
Ο ίδιος τύπος μπορεί να ληφθεί με τον ακόλουθο συλλογισμό: προκαταβολή σε ΕΝΑ ρούβλια ενώ βρίσκεστε στην τράπεζα t έτη, θα μετατραπεί, σύμφωνα με τον τύπο του σύνθετου επιτοκίου, σε ΕΝΑ (1 + r ) tτρίψιμο. Η δεύτερη δόση, όντας στην τράπεζα για ένα χρόνο λιγότερο, δηλ. t - 1 χρονών, επικοινωνία ΕΝΑ (1 + r ) t- 1τρίψιμο. Ομοίως, η τρίτη δόση θα δώσει ΕΝΑ (1 + r ) t-2κ.λπ., και τελικά η τελευταία δόση, έχοντας στην τράπεζα μόνο 1 χρόνο, θα πάει στο ΕΝΑ (1 + r ) τρίψτε. Αυτό σημαίνει το τελικό κεφάλαιο ΕΝΑτρίψιμο. θα:
ΕΝΑ= ΕΝΑ (1 + r ) t + ΕΝΑ (1 + r ) t- 1 + ΕΝΑ (1 + r ) t-2 + . . . + ΕΝΑ (1 + r ),
το οποίο, μετά από απλοποίηση, δίνει τον τύπο που βρέθηκε παραπάνω.
Κατά τον υπολογισμό με χρήση λογαρίθμων αυτού του τύπου, πρέπει να προχωρήσετε με τον ίδιο τρόπο όπως κατά τον υπολογισμό του τύπου για επείγουσες πληρωμές, δηλ. να βρείτε πρώτα τον αριθμό N = ( 1 + r ) tμε τον λογάριθμό του: log N= tκούτσουρο(1 + r ), μετά τον αριθμό Ν-1και μετά πάρτε έναν λογάριθμο του τύπου:
log A = κούτσουρο ένα+log(1+ r) + log (N - 1) - 1ogr
Σχόλιο.Εάν μια επείγουσα συμβολή σε ΕΝΑ τρίψιμο. δεν έγινε στην αρχή, αλλά στο τέλος κάθε έτους (όπως, για παράδειγμα, γίνεται μια επείγουσα πληρωμή Χ για την εξόφληση του χρέους), τότε, συλλογιζόμενοι παρόμοια με την προηγούμενη, διαπιστώνουμε ότι μέχρι το τέλος t έτος το απαιτούμενο κεφάλαιο ΕΝΑ"τρίψιμο. θα είναι (συμπεριλαμβανομένης της τελευταίας δόσης ΕΝΑ τρίψιμο, χωρίς τόκο):
ΕΝΑ"= ΕΝΑ (1 + r ) t- 1 + ΕΝΑ (1 + r ) t-2 + . . . + ΕΝΑ (1 + r ) + ΕΝΑ
που ισούται με:
δηλ. ΕΝΑ"καταλήγει σε ( 1 + r ) φορές λιγότερο ΕΝΑ, που ήταν αναμενόμενο, αφού κάθε ρούβλι κεφαλαίου ΕΝΑ"βρίσκεται στην τράπεζα για ένα χρόνο λιγότερο από το αντίστοιχο ρούβλι κεφαλαίου ΕΝΑ.
Οδηγίες
Να γράψετε τη δεδομένη λογαριθμική παράσταση. Εάν η παράσταση χρησιμοποιεί τον λογάριθμο του 10, τότε η σημείωση της συντομεύεται και μοιάζει με αυτό: το lg b είναι ο δεκαδικός λογάριθμος. Αν ο λογάριθμος έχει ως βάση τον αριθμό e, τότε γράψτε την παράσταση: ln b – φυσικός λογάριθμος. Εννοείται ότι το αποτέλεσμα οποιουδήποτε είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο βασικός αριθμός για να ληφθεί ο αριθμός b.
Όταν βρίσκετε το άθροισμα δύο συναρτήσεων, πρέπει απλώς να τις διαφοροποιήσετε μία προς μία και να προσθέσετε τα αποτελέσματα: (u+v)" = u"+v";
Όταν βρίσκουμε την παράγωγο του γινομένου δύο συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε την παράγωγο της πρώτης συνάρτησης με τη δεύτερη και να προσθέσουμε την παράγωγο της δεύτερης συνάρτησης πολλαπλασιασμένη με την πρώτη συνάρτηση: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Για να βρεθεί η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε από το γινόμενο της παραγώγου του μερίσματος πολλαπλασιασμένο με τη συνάρτηση διαιρέτη το γινόμενο της παραγώγου του διαιρέτη πολλαπλασιασμένο με τη συνάρτηση του μερίσματος και να διαιρέσουμε όλα αυτά με τη συνάρτηση διαιρέτη στο τετράγωνο. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Εάν δοθεί σύνθετη λειτουργία, τότε είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και την παράγωγο της εξωτερικής. Έστω y=u(v(x)), μετά y"(x)=y"(u)*v"(x).
Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που λήφθηκαν παραπάνω, μπορείτε να διαφοροποιήσετε σχεδόν οποιαδήποτε συνάρτηση. Ας δούμε λοιπόν μερικά παραδείγματα:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *Χ));
Υπάρχουν επίσης προβλήματα σχετικά με τον υπολογισμό της παραγώγου σε ένα σημείο. Έστω η συνάρτηση y=e^(x^2+6x+5), πρέπει να βρείτε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x=1.
1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης σε δεδομένο σημείο y"(1)=8*e^0=8
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Μάθετε τον πίνακα των στοιχειωδών παραγώγων. Αυτό θα εξοικονομήσει σημαντικά χρόνο.
Πηγές:
- παράγωγο σταθεράς
Λοιπόν, ποια είναι η διαφορά μεταξύ μιας παράλογης εξίσωσης και μιας ορθολογικής εξίσωσης; Εάν η άγνωστη μεταβλητή βρίσκεται κάτω από το πρόσημο τετραγωνική ρίζα, τότε η εξίσωση θεωρείται παράλογη.
Οδηγίες
Η κύρια μέθοδος για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι η μέθοδος κατασκευής και των δύο πλευρών εξισώσειςσε ένα τετράγωνο. Ωστόσο. αυτό είναι φυσικό, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να απαλλαγείτε από το σημάδι. Αυτή η μέθοδος δεν είναι τεχνικά δύσκολη, αλλά μερικές φορές μπορεί να οδηγήσει σε προβλήματα. Για παράδειγμα, η εξίσωση είναι v(2x-5)=v(4x-7). Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές παίρνετε 2x-5=4x-7. Η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης δεν είναι δύσκολη. x=1. Αλλά ο αριθμός 1 δεν θα δοθεί εξισώσεις. Γιατί; Αντικαταστήστε ένα στην εξίσωση αντί για την τιμή του x Και η δεξιά και η αριστερή πλευρά θα περιέχουν εκφράσεις που δεν έχουν νόημα, δηλαδή. Αυτή η τιμή δεν ισχύει για τετραγωνική ρίζα. Επομένως, το 1 είναι μια εξωτερική ρίζα, και επομένως δεδομένη εξίσωσηδεν έχει ρίζες.
Άρα, μια παράλογη εξίσωση λύνεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τετραγωνισμού και των δύο πλευρών της. Και έχοντας λύσει την εξίσωση, είναι απαραίτητο να κόψουμε τις ξένες ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις ρίζες που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση.
Σκεφτείτε ένα άλλο.
2х+vх-3=0
Φυσικά, αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας την ίδια εξίσωση με την προηγούμενη. Μετακινήστε Ενώσεις εξισώσεις, που δεν έχουν τετραγωνική ρίζα, στη δεξιά πλευρά και στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τη μέθοδο τετραγωνισμού. να λύσετε την προκύπτουσα ορθολογική εξίσωση και τις ρίζες. Αλλά και ένα άλλο, πιο κομψό. Εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή. vх=y. Αντίστοιχα, θα λάβετε μια εξίσωση της μορφής 2y2+y-3=0. Δηλαδή μια συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση. Βρείτε τις ρίζες του. y1=1 και y2=-3/2. Στη συνέχεια, λύστε δύο εξισώσεις vх=1; vх=-3/2. Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες από την πρώτη βρίσκουμε ότι x=1. Μην ξεχάσετε να ελέγξετε τις ρίζες.
Η επίλυση ταυτοτήτων είναι αρκετά απλή. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν οι ίδιοι μετασχηματισμοί μέχρι να επιτευχθεί ο καθορισμένος στόχος. Έτσι, με τη βοήθεια απλών αριθμητικών πράξεων, θα λυθεί η συγκεκριμένη εργασία.
Θα χρειαστείτε
- - χαρτί?
- - στυλό.
Οδηγίες
Οι απλούστεροι από αυτούς τους μετασχηματισμούς είναι οι αλγεβρικοί συντομευμένοι πολλαπλασιασμοί (όπως το τετράγωνο του αθροίσματος (διαφορά), η διαφορά των τετραγώνων, το άθροισμα (διαφορά), ο κύβος του αθροίσματος (διαφορά)). Επιπλέον, υπάρχουν πολλά και τριγωνομετρικούς τύπους, που είναι ουσιαστικά οι ίδιες ταυτότητες.
Πράγματι, το τετράγωνο του αθροίσματος δύο όρων είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου συν το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου με το δεύτερο και συν το τετράγωνο του δεύτερου, δηλαδή (a+b)^2= (a+ β)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Απλοποιήστε και τα δύο
Γενικές αρχές της λύσης
Επαναλάβετε από ένα εγχειρίδιο μαθηματικής ανάλυσης ή ανώτερων μαθηματικών τι είναι οριστικό ολοκλήρωμα. Ως γνωστόν η λύση οριστικό ολοκλήρωμαυπάρχει μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος δίνει ένα ολοκλήρωμα. Αυτή η λειτουργίαονομάζεται αντιπαράγωγο. Με βάση αυτή την αρχή, κατασκευάζονται τα κύρια ολοκληρώματα.Προσδιορίστε με τη μορφή του ολοκληρώματος σε ποιο από τα ολοκληρώματα του πίνακα ταιριάζει σε αυτήν την περίπτωση. Δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί αυτό αμέσως. Συχνά, η μορφή του πίνακα γίνεται αισθητή μόνο μετά από αρκετούς μετασχηματισμούς για την απλοποίηση του ολοκληρωτή.
Μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής
Αν η συνάρτηση ολοκλήρωσης είναι τριγωνομετρική συνάρτηση, του οποίου το όρισμα περιέχει κάποιο πολυώνυμο και, στη συνέχεια, δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης μεταβλητής. Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε το πολυώνυμο στο όρισμα του ολοκληρώματος με κάποια νέα μεταβλητή. Με βάση τη σχέση μεταξύ των νέων και των παλαιών μεταβλητών, καθορίστε τα νέα όρια ολοκλήρωσης. Διαφοροποιώντας αυτήν την έκφραση, βρείτε το νέο διαφορικό στο . Έτσι θα πάρετε το νέο είδοςτου προηγούμενου ολοκληρώματος, κοντά ή και αντίστοιχο σε οποιοδήποτε πίνακα.Επίλυση ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους
Εάν το ολοκλήρωμα είναι ένα ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους, μια διανυσματική μορφή του ολοκληρώματος, τότε θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες για τη μετάβαση από αυτά τα ολοκληρώματα σε βαθμωτές. Ένας τέτοιος κανόνας είναι η σχέση Ostrogradsky-Gauss. Αυτός ο νόμος μας επιτρέπει να μετακινηθούμε από τη ροή του ρότορα μιας συγκεκριμένης διανυσματικής συνάρτησης στο τριπλό ολοκλήρωμα πάνω από την απόκλιση ενός δεδομένου διανυσματικού πεδίου.Αντικατάσταση ορίων ένταξης
Μετά την εύρεση του αντιπαραγώγου, είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν τα όρια ολοκλήρωσης. Αρχικά, αντικαταστήστε την τιμή του ανώτερου ορίου στην έκφραση για το αντιπαράγωγο. Θα πάρεις κάποιο νούμερο. Στη συνέχεια, αφαιρέστε από τον αριθμό που προκύπτει έναν άλλο αριθμό που λαμβάνεται από το κατώτερο όριο στο αντιπαράγωγο. Εάν ένα από τα όρια της ολοκλήρωσης είναι το άπειρο, τότε όταν το αντικαθιστούμε στην αντιπαράγωγη συνάρτηση, είναι απαραίτητο να πάμε στο όριο και να βρούμε σε τι τείνει η έκφραση.Εάν το ολοκλήρωμα είναι δισδιάστατο ή τρισδιάστατο, τότε θα πρέπει να αναπαραστήσετε τα όρια της ολοκλήρωσης γεωμετρικά για να κατανοήσετε πώς να αξιολογήσετε το ολοκλήρωμα. Πράγματι, στην περίπτωση, για παράδειγμα, ενός τρισδιάστατου ολοκληρώματος, τα όρια ολοκλήρωσης μπορεί να είναι ολόκληρα επίπεδα που περιορίζουν τον όγκο που ενσωματώνεται.
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν χρειαστεί, σύμφωνα με το νόμο, δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων ερευνών ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Λογαριθμικές εκφράσεις, επίλυση παραδειγμάτων. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα που σχετίζονται με την επίλυση λογαρίθμων. Οι εργασίες θέτουν το ερώτημα εύρεσης της σημασίας μιας έκφρασης. Πρέπει να σημειωθεί ότι η έννοια του λογάριθμου χρησιμοποιείται σε πολλές εργασίες και η κατανόηση της σημασίας της είναι εξαιρετικά σημαντική. Όσον αφορά την Ενιαία Κρατική Εξέταση, ο λογάριθμος χρησιμοποιείται κατά την επίλυση εξισώσεων, σε εφαρμοσμένα προβλήματα, καθώς και σε εργασίες που σχετίζονται με τη μελέτη συναρτήσεων.
Ας δώσουμε παραδείγματα για να κατανοήσουμε την ίδια την έννοια του λογάριθμου:
Βασική λογαριθμική ταυτότητα:
Ιδιότητες των λογαρίθμων που πρέπει πάντα να θυμόμαστε:
*Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων.
* * *
*Ο λογάριθμος ενός πηλίκου (κλάσματος) ισούται με τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων των παραγόντων.
* * *
*Ο λογάριθμος ενός εκθέτη είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και του λογάριθμου της βάσης του.
* * *
*Μετάβαση σε νέα βάση
* * *
Περισσότερες ιδιότητες:
* * *
Ο υπολογισμός των λογαρίθμων σχετίζεται στενά με τη χρήση των ιδιοτήτων των εκθετών.
Ας παραθέσουμε μερικά από αυτά:
Η ουσία αυτής της ιδιότητας είναι ότι όταν ο αριθμητής μεταφέρεται στον παρονομαστή και αντίστροφα, το πρόσημο του εκθέτη αλλάζει στο αντίθετο. Για παράδειγμα:
Συμπέρασμα από αυτό το ακίνητο:
* * *
Όταν αυξάνεται μια ισχύς σε μια ισχύ, η βάση παραμένει η ίδια, αλλά οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.
* * *
Όπως είδατε, η ίδια η έννοια του λογάριθμου είναι απλή. Το κύριο πράγμα είναι ότι χρειάζεστε καλή πρακτική, η οποία σας δίνει μια συγκεκριμένη ικανότητα. Φυσικά απαιτείται γνώση τύπων. Εάν η ικανότητα μετατροπής στοιχειωδών λογαρίθμων δεν έχει αναπτυχθεί, τότε κατά την επίλυση απλών εργασιών μπορείτε εύκολα να κάνετε ένα λάθος.
Εξασκηθείτε, λύστε πρώτα τα πιο απλά παραδείγματα από το μάθημα των μαθηματικών και μετά προχωρήστε σε πιο σύνθετα. Στο μέλλον, σίγουρα θα δείξω πόσο «άσχημοι» λογάριθμοι λύνονται δεν θα εμφανίζονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση, αλλά έχουν ενδιαφέρον, μην τους χάσετε!
Αυτό είναι όλο! Καλή σου τύχη!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.