Οδηγίες
Καταγράψτε το δεδομένο λογαριθμική έκφραση. Εάν η παράσταση χρησιμοποιεί τον λογάριθμο του 10, τότε η σημείωση της συντομεύεται και μοιάζει με αυτό: το lg b είναι ο δεκαδικός λογάριθμος. Αν ο λογάριθμος έχει ως βάση τον αριθμό e, τότε γράψτε την παράσταση: ln b – φυσικός λογάριθμος. Εννοείται ότι το αποτέλεσμα οποιουδήποτε είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο βασικός αριθμός για να ληφθεί ο αριθμός b.
Όταν βρίσκετε το άθροισμα δύο συναρτήσεων, πρέπει απλώς να τις διαφοροποιήσετε μία προς μία και να προσθέσετε τα αποτελέσματα: (u+v)" = u"+v";
Όταν βρίσκουμε την παράγωγο του γινομένου δύο συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε την παράγωγο της πρώτης συνάρτησης με τη δεύτερη και να προσθέσουμε την παράγωγο της δεύτερης συνάρτησης πολλαπλασιασμένη με την πρώτη συνάρτηση: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Για να βρεθεί η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε από το γινόμενο της παραγώγου του μερίσματος πολλαπλασιασμένο με τη συνάρτηση διαιρέτη το γινόμενο της παραγώγου του διαιρέτη πολλαπλασιασμένο με τη συνάρτηση του μερίσματος και να διαιρέσουμε όλα αυτά με τη συνάρτηση διαιρέτη στο τετράγωνο. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Εάν δοθεί σύνθετη λειτουργία, τότε είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και την παράγωγο της εξωτερικής. Έστω y=u(v(x)), μετά y"(x)=y"(u)*v"(x).
Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που λήφθηκαν παραπάνω, μπορείτε να διαφοροποιήσετε σχεδόν οποιαδήποτε συνάρτηση. Ας δούμε λοιπόν μερικά παραδείγματα:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *Χ));
Υπάρχουν επίσης προβλήματα σχετικά με τον υπολογισμό της παραγώγου σε ένα σημείο. Έστω η συνάρτηση y=e^(x^2+6x+5), πρέπει να βρείτε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x=1.
1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης σε δεδομένο σημείο y"(1)=8*e^0=8
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Μάθετε τον πίνακα των στοιχειωδών παραγώγων. Αυτό θα εξοικονομήσει σημαντικά χρόνο.
Πηγές:
- παράγωγο σταθεράς
Λοιπόν, ποια είναι η διαφορά μεταξύ μιας παράλογης εξίσωσης και μιας λογικής; Αν η άγνωστη μεταβλητή βρίσκεται κάτω από το πρόσημο τετραγωνική ρίζα, τότε η εξίσωση θεωρείται παράλογη.
Οδηγίες
Η κύρια μέθοδος για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι η μέθοδος κατασκευής και των δύο πλευρών εξισώσειςσε ένα τετράγωνο. Ωστόσο. αυτό είναι φυσικό, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να απαλλαγείτε από το σημάδι. Αυτή η μέθοδος δεν είναι τεχνικά δύσκολη, αλλά μερικές φορές μπορεί να οδηγήσει σε προβλήματα. Για παράδειγμα, η εξίσωση είναι v(2x-5)=v(4x-7). Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές παίρνετε 2x-5=4x-7. Η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης δεν είναι δύσκολη. x=1. Αλλά ο αριθμός 1 δεν θα δοθεί εξισώσεις. Γιατί; Αντικαταστήστε ένα στην εξίσωση αντί για την τιμή του x Και η δεξιά και η αριστερή πλευρά θα περιέχουν εκφράσεις που δεν έχουν νόημα, δηλαδή. Αυτή η τιμή δεν ισχύει για τετραγωνική ρίζα. Επομένως, το 1 είναι μια ξένη ρίζα και επομένως αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Άρα, μια παράλογη εξίσωση λύνεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τετραγωνισμού και των δύο πλευρών της. Και έχοντας λύσει την εξίσωση, είναι απαραίτητο να κόψουμε τις ξένες ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις ρίζες που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση.
Σκεφτείτε ένα άλλο.
2х+vх-3=0
Φυσικά, αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας την ίδια εξίσωση με την προηγούμενη. Μετακινήστε Ενώσεις εξισώσεις, που δεν έχουν τετραγωνική ρίζα, στη δεξιά πλευρά και στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τη μέθοδο τετραγωνισμού. να λύσετε την προκύπτουσα ορθολογική εξίσωση και τις ρίζες. Αλλά και ένα άλλο, πιο κομψό. Εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή. vх=y. Αντίστοιχα, θα λάβετε μια εξίσωση της μορφής 2y2+y-3=0. Το συνηθισμένο δηλαδή τετραγωνική εξίσωση. Βρείτε τις ρίζες του. y1=1 και y2=-3/2. Στη συνέχεια, λύστε δύο εξισώσεις vх=1; vх=-3/2. Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες από την πρώτη βρίσκουμε ότι x=1. Μην ξεχάσετε να ελέγξετε τις ρίζες.
Η επίλυση ταυτοτήτων είναι αρκετά απλή. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν οι ίδιοι μετασχηματισμοί μέχρι να επιτευχθεί ο καθορισμένος στόχος. Έτσι, με τη βοήθεια απλών αριθμητικών πράξεων θα λυθεί το πρόβλημα που τίθεται.
Θα χρειαστείτε
- - χαρτί?
- - στυλό.
Οδηγίες
Οι απλούστεροι από αυτούς τους μετασχηματισμούς είναι οι αλγεβρικοί συντομευμένοι πολλαπλασιασμοί (όπως το τετράγωνο του αθροίσματος (διαφορά), η διαφορά των τετραγώνων, το άθροισμα (διαφορά), ο κύβος του αθροίσματος (διαφορά)). Επιπλέον, υπάρχουν πολλά και τριγωνομετρικούς τύπους, που είναι ουσιαστικά οι ίδιες ταυτότητες.
Πράγματι, το τετράγωνο του αθροίσματος δύο όρων είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου συν το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου με το δεύτερο και συν το τετράγωνο του δεύτερου, δηλαδή (a+b)^2= (a+ β)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Απλοποιήστε και τα δύο
Γενικές αρχές της λύσης
Επαναλάβετε από ένα εγχειρίδιο μαθηματικής ανάλυσης ή ανώτερων μαθηματικών τι είναι οριστικό ολοκλήρωμα. Ως γνωστόν η λύση οριστικό ολοκλήρωμαυπάρχει μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος δίνει ένα ολοκλήρωμα. Αυτή η λειτουργίαονομάζεται αντιπαράγωγο. Με βάση αυτή την αρχή, κατασκευάζονται τα κύρια ολοκληρώματα.Προσδιορίστε με τη μορφή του ολοκληρώματος σε ποιο από τα ολοκληρώματα του πίνακα ταιριάζει σε αυτήν την περίπτωση. Δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί αυτό αμέσως. Συχνά, η μορφή του πίνακα γίνεται αισθητή μόνο μετά από αρκετούς μετασχηματισμούς για την απλοποίηση του ολοκληρωτή.
Μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής
Αν η συνάρτηση ολοκλήρωσης είναι τριγωνομετρική συνάρτηση, του οποίου το όρισμα περιέχει κάποιο πολυώνυμο και, στη συνέχεια, δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης μεταβλητής. Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε το πολυώνυμο στο όρισμα του ολοκληρώματος με κάποια νέα μεταβλητή. Με βάση τη σχέση μεταξύ των νέων και των παλαιών μεταβλητών, καθορίστε τα νέα όρια ολοκλήρωσης. Διαφοροποιώντας αυτήν την έκφραση, βρείτε το νέο διαφορικό στο . Έτσι θα πάρετε το νέο είδοςτου προηγούμενου ολοκληρώματος, κοντά ή και αντίστοιχο σε οποιοδήποτε πίνακα.Επίλυση ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους
Εάν το ολοκλήρωμα είναι ένα ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους, μια διανυσματική μορφή του ολοκληρώματος, τότε θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες για τη μετάβαση από αυτά τα ολοκληρώματα σε βαθμωτές. Ένας τέτοιος κανόνας είναι η σχέση Ostrogradsky-Gauss. Αυτός ο νόμος μας επιτρέπει να μετακινηθούμε από τη ροή του ρότορα μιας συγκεκριμένης διανυσματικής συνάρτησης στο τριπλό ολοκλήρωμα πάνω από την απόκλιση ενός δεδομένου διανυσματικού πεδίου.Αντικατάσταση ορίων ένταξης
Μετά την εύρεση του αντιπαραγώγου, είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν τα όρια ολοκλήρωσης. Αρχικά, αντικαταστήστε την τιμή του ανώτερου ορίου στην έκφραση για το αντιπαράγωγο. Θα πάρεις κάποιο νούμερο. Στη συνέχεια, αφαιρέστε από τον αριθμό που προκύπτει έναν άλλο αριθμό που λαμβάνεται από το κατώτερο όριο στο αντιπαράγωγο. Εάν ένα από τα όρια της ολοκλήρωσης είναι το άπειρο, τότε όταν το αντικαθιστούμε στην αντιπαράγωγη συνάρτηση, είναι απαραίτητο να πάμε στο όριο και να βρούμε σε τι τείνει η έκφραση.Εάν το ολοκλήρωμα είναι δισδιάστατο ή τρισδιάστατο, τότε θα πρέπει να αναπαραστήσετε τα όρια της ολοκλήρωσης γεωμετρικά για να κατανοήσετε πώς να αξιολογήσετε το ολοκλήρωμα. Πράγματι, στην περίπτωση, για παράδειγμα, ενός τρισδιάστατου ολοκληρώματος, τα όρια ολοκλήρωσης μπορεί να είναι ολόκληρα επίπεδα που περιορίζουν τον όγκο που ενσωματώνεται.
Σήμερα θα μάθουμε πώς να λύνουμε τις απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις, όπου δεν απαιτούνται προκαταρκτικοί μετασχηματισμοί ή επιλογή ριζών. Αλλά αν μάθετε να λύνετε τέτοιες εξισώσεις, τότε θα είναι πολύ πιο εύκολο.
Η απλούστερη λογαριθμική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής log a f (x) = b, όπου τα a, b είναι αριθμοί (a > 0, a ≠ 1), η f (x) είναι μια ορισμένη συνάρτηση.
Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα όλων των λογαριθμικών εξισώσεων είναι η παρουσία της μεταβλητής x κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου. Εάν αυτή είναι η εξίσωση που δίνεται αρχικά στο πρόβλημα, ονομάζεται η απλούστερη. Οποιεσδήποτε άλλες λογαριθμικές εξισώσεις ανάγονται στην απλούστερη με ειδικούς μετασχηματισμούς (βλ. «Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων»). Ωστόσο, πρέπει να ληφθούν υπόψη πολλές λεπτές αποχρώσεις: ενδέχεται να προκύψουν επιπλέον ρίζες, επομένως σύνθετες λογαριθμικές εξισώσεις θα εξεταστούν χωριστά.
Πώς να λύσετε τέτοιες εξισώσεις; Αρκεί να αντικαταστήσουμε τον αριθμό στα δεξιά του ίσου με έναν λογάριθμο στην ίδια βάση με τα αριστερά. Τότε μπορείτε να απαλλαγείτε από το πρόσημο του λογαρίθμου. Παίρνουμε:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Πήραμε τη συνηθισμένη εξίσωση. Οι ρίζες του είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
Βγάζοντας πτυχία
Συχνά οι λογαριθμικές εξισώσεις, οι οποίες εξωτερικά φαίνονται περίπλοκες και απειλητικές, λύνονται κυριολεκτικά σε μερικές γραμμές χωρίς να περιλαμβάνουν σύνθετους τύπους. Σήμερα θα εξετάσουμε ακριβώς τέτοια προβλήματα, όπου το μόνο που απαιτείται από εσάς είναι να μειώσετε προσεκτικά τον τύπο στην κανονική μορφή και να μην μπερδεύεστε κατά την αναζήτηση του τομέα ορισμού των λογαρίθμων.
Σήμερα, όπως πιθανώς μαντέψατε από τον τίτλο, θα λύσουμε λογαριθμικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας τύπους για τη μετάβαση στην κανονική μορφή. Το κύριο «κόλπο» αυτού του μαθήματος βίντεο θα είναι η εργασία με πτυχία, ή μάλλον, η εξαγωγή του βαθμού από τη βάση και το επιχείρημα. Ας δούμε τον κανόνα:
Ομοίως, μπορείτε να εξαγάγετε το βαθμό από τη βάση:
Όπως μπορούμε να δούμε, εάν όταν αφαιρούμε τη μοίρα από το όρισμα του λογαρίθμου έχουμε απλώς έναν πρόσθετο παράγοντα μπροστά, τότε όταν αφαιρούμε τη μοίρα από τη βάση δεν παίρνουμε απλώς έναν παράγοντα, αλλά έναν ανεστραμμένο παράγοντα. Αυτό πρέπει να το θυμόμαστε.
Τέλος, το πιο ενδιαφέρον. Αυτοί οι τύποι μπορούν να συνδυαστούν, τότε παίρνουμε:
Φυσικά, κατά την πραγματοποίηση αυτών των μεταβάσεων, υπάρχουν ορισμένες παγίδες που σχετίζονται με την πιθανή επέκταση του πεδίου ορισμού ή, αντίθετα, τη στένωση του πεδίου ορισμού. Κρίνετε μόνοι σας:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Αν στην πρώτη περίπτωση το x θα μπορούσε να είναι οποιοσδήποτε αριθμός διαφορετικός από το 0, δηλαδή η απαίτηση x ≠ 0, τότε στη δεύτερη περίπτωση αρκούμε μόνο με το x, που όχι μόνο δεν είναι ίσο, αλλά αυστηρά μεγαλύτερο από 0, επειδή το πεδίο ορισμού Ο ορισμός του λογάριθμου είναι ότι το όρισμα είναι αυστηρά μεγαλύτερο από 0. Επομένως, θα σας υπενθυμίσω έναν υπέροχο τύπο από το μάθημα της άλγεβρας 8ης-9ης τάξης:
Δηλαδή, πρέπει να γράψουμε τον τύπο μας ως εξής:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Τότε δεν θα υπάρξει περιορισμός του πεδίου ορισμού.
Ωστόσο, στο σημερινό βίντεο φροντιστήριο δεν θα υπάρχουν τετράγωνα. Αν κοιτάξετε τις εργασίες μας, θα δείτε μόνο τις ρίζες. Επομένως, δεν θα εφαρμόσουμε αυτόν τον κανόνα, αλλά πρέπει να τον έχετε υπόψη σας, ώστε την κατάλληλη στιγμή, όταν δείτε τετραγωνική λειτουργίασε ένα όρισμα ή μια βάση ενός λογάριθμου, θα θυμάστε αυτόν τον κανόνα και θα εκτελέσετε σωστά όλους τους μετασχηματισμούς.
Άρα η πρώτη εξίσωση είναι:
Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, προτείνω να εξετάσετε προσεκτικά κάθε έναν από τους όρους που υπάρχουν στον τύπο.
Ας ξαναγράψουμε τον πρώτο όρο ως δύναμη με λογικό εκθέτη:
Εξετάζουμε τον δεύτερο όρο: log 3 (1 − x). Δεν χρειάζεται να κάνουμε τίποτα εδώ, όλα έχουν ήδη μεταμορφωθεί εδώ.
Τέλος, 0, 5. Όπως είπα σε προηγούμενα μαθήματα, κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και τύπων, συνιστώ ανεπιφύλακτα τη μετάβαση από τα δεκαδικά κλάσματα στα κοινά. Ας το κάνουμε:
0,5 = 5/10 = 1/2
Ας ξαναγράψουμε τον αρχικό μας τύπο λαμβάνοντας υπόψη τους όρους που προκύπτουν:
log 3 (1 − x ) = 1
Τώρα ας προχωρήσουμε στην κανονική μορφή:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Απαλλαγούμε από το σύμβολο του λογάριθμου εξισώνοντας τα ορίσματα:
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
Αυτό είναι όλο, λύσαμε την εξίσωση. Ωστόσο, ας το παίξουμε με ασφάλεια και ας βρούμε τον τομέα ορισμού. Για να το κάνουμε αυτό, ας επιστρέψουμε στον αρχικό τύπο και ας δούμε:
1 − x > 0
−x > −1
Χ< 1
Η ρίζα μας x = −2 ικανοποιεί αυτήν την απαίτηση, επομένως το x = −2 είναι μια λύση στην αρχική εξίσωση. Τώρα έχουμε λάβει μια αυστηρή, σαφή αιτιολόγηση. Αυτό είναι, το πρόβλημα λύθηκε.
Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη εργασία:
Ας δούμε κάθε όρο ξεχωριστά.
Ας γράψουμε το πρώτο:
Μεταμορφώσαμε τον πρώτο όρο. Δουλεύουμε με τον δεύτερο όρο:
Τέλος, ο τελευταίος όρος, που βρίσκεται στα δεξιά του πρόσημου ίσου:
Αντικαθιστούμε τις παραστάσεις που προκύπτουν αντί για τους όρους στον προκύπτον τύπο:
log 3 x = 1
Ας προχωρήσουμε στην κανονική μορφή:
log 3 x = log 3 3
Απαλλαγούμε από το σύμβολο του λογάριθμου, εξισώνοντας τα ορίσματα, και παίρνουμε:
x = 3
Και πάλι, για να είμαστε ασφαλείς, ας επιστρέψουμε στην αρχική εξίσωση και ας ρίξουμε μια ματιά. Στον αρχικό τύπο, η μεταβλητή x υπάρχει μόνο στο όρισμα, επομένως,
x > 0
Στον δεύτερο λογάριθμο, το x είναι κάτω από τη ρίζα, αλλά και πάλι στο όρισμα, επομένως, η ρίζα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 0, δηλαδή η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 0. Εξετάζουμε τη ρίζα μας x = 3. Προφανώς, είναι ικανοποιεί αυτή την απαίτηση. Επομένως, x = 3 είναι μια λύση στην αρχική λογαριθμική εξίσωση. Αυτό είναι, το πρόβλημα λύθηκε.
Υπάρχουν δύο βασικά σημεία στο σημερινό εκπαιδευτικό βίντεο:
1) μην φοβάστε να μετασχηματίσετε λογάριθμους και, ειδικότερα, μην φοβάστε να αφαιρέσετε δυνάμεις από το πρόσημο του λογαρίθμου, ενώ θυμάστε τον βασικό μας τύπο: όταν αφαιρείτε μια δύναμη από ένα όρισμα, απλώς αφαιρείται χωρίς αλλαγές ως πολλαπλασιαστή, και κατά την αφαίρεση μιας ισχύος από τη βάση, αυτή η ισχύς αντιστρέφεται.
2) το δεύτερο σημείο σχετίζεται με την ίδια την κανονική μορφή. Κάναμε τη μετάβαση στην κανονική μορφή στο τέλος του μετασχηματισμού του τύπου της λογαριθμικής εξίσωσης. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τον ακόλουθο τύπο:
α = ημερολόγιο β β α
Φυσικά, με την έκφραση «οποιοσδήποτε αριθμός b», εννοώ εκείνους τους αριθμούς που ικανοποιούν τις απαιτήσεις που επιβάλλονται στη βάση του λογαρίθμου, δηλ.
1 ≠ b > 0
Για τέτοιο β, και αφού γνωρίζουμε ήδη τη βάση, αυτή η απαίτηση θα εκπληρωθεί αυτόματα. Αλλά για τέτοια β - οποιαδήποτε που ικανοποιούν αυτή η απαίτηση — αυτή η μετάβασημπορεί να γίνει και θα τα καταφέρουμε κανονική μορφή, στο οποίο μπορείτε να απαλλαγείτε από το σύμβολο του λογάριθμου.
Επέκταση του τομέα ορισμού και επιπλέον ριζών
Κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού λογαριθμικών εξισώσεων, μπορεί να προκύψει μια σιωπηρή επέκταση του πεδίου ορισμού. Συχνά οι μαθητές δεν το προσέχουν καν αυτό, γεγονός που οδηγεί σε λάθη και λανθασμένες απαντήσεις.
Ας ξεκινήσουμε με τα πιο απλά σχέδια. Η απλούστερη λογαριθμική εξίσωση είναι η εξής:
log a f (x) = β
Σημειώστε ότι το x υπάρχει μόνο σε ένα όρισμα ενός λογάριθμου. Πώς λύνουμε τέτοιες εξισώσεις; Χρησιμοποιούμε την κανονική μορφή. Για να το κάνετε αυτό, φανταστείτε τον αριθμό b = log a a b και η εξίσωσή μας θα ξαναγραφεί ως εξής:
log a f (x) = log a a β
Αυτό το λήμμα ονομάζεται κανονική μορφή. Σε αυτό θα πρέπει να μειώσετε οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση που θα συναντήσετε όχι μόνο στο σημερινό μάθημα, αλλά και σε οποιαδήποτε ανεξάρτητη και δοκιμαστική εργασία.
Το πώς θα φτάσετε στην κανονική μορφή και ποιες τεχνικές θα χρησιμοποιήσετε είναι θέμα εξάσκησης. Το κύριο πράγμα που πρέπει να καταλάβετε είναι ότι μόλις λάβετε ένα τέτοιο αρχείο, μπορείτε να θεωρήσετε το πρόβλημα λυμένο. Επειδή το επόμενο βήμα είναι να γράψετε:
f (x) = a β
Με άλλα λόγια, απαλλαγούμε από το πρόσημο του λογάριθμου και απλώς εξισώνουμε τα ορίσματα.
Γιατί όλη αυτή η κουβέντα; Το γεγονός είναι ότι η κανονική μορφή είναι εφαρμόσιμη όχι μόνο στα πιο απλά προβλήματα, αλλά και σε οποιαδήποτε άλλα. Συγκεκριμένα, αυτά που θα αποφασίσουμε σήμερα. Ας ρίξουμε μια ματιά.
Πρώτη εργασία:
Ποιο είναι το πρόβλημα με αυτή την εξίσωση; Το γεγονός είναι ότι η συνάρτηση είναι σε δύο λογάριθμους ταυτόχρονα. Το πρόβλημα μπορεί να μειωθεί στο απλούστερό του αφαιρώντας απλώς έναν λογάριθμο από έναν άλλο. Αλλά προκύπτουν προβλήματα με την περιοχή ορισμού: ενδέχεται να εμφανιστούν επιπλέον ρίζες. Ας μετακινήσουμε λοιπόν έναν από τους λογάριθμους προς τα δεξιά:
Αυτό το λήμμα μοιάζει πολύ περισσότερο με την κανονική μορφή. Αλλά υπάρχει μια ακόμη απόχρωση: στην κανονική μορφή, τα επιχειρήματα πρέπει να είναι τα ίδια. Και αριστερά έχουμε τον λογάριθμο στη βάση 3, και δεξιά στη βάση 1/3. Γνωρίζει ότι αυτές οι βάσεις πρέπει να φτάσουν στον ίδιο αριθμό. Για παράδειγμα, ας θυμηθούμε ποιες είναι οι αρνητικές δυνάμεις:
Και μετά θα χρησιμοποιήσουμε τον εκθέτη "−1" εκτός του ημερολογίου ως πολλαπλασιαστή:
Παρακαλώ σημειώστε: ο βαθμός που ήταν στη βάση αναποδογυρίζεται και μετατρέπεται σε κλάσμα. Πήραμε μια σχεδόν κανονική σημείωση με το να απαλλαγούμε από διαφορετικές βάσεις, αλλά σε αντάλλαγμα πήραμε τον παράγοντα "−1" στα δεξιά. Ας συνυπολογίσουμε αυτόν τον παράγοντα στο επιχείρημα μετατρέποντάς τον σε δύναμη:
Φυσικά, έχοντας λάβει την κανονική μορφή, διαγράφουμε με τόλμη το πρόσημο του λογαρίθμου και εξισώνουμε τα επιχειρήματα. Ταυτόχρονα, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι όταν αυξάνεται στην ισχύ "−1", το κλάσμα απλώς αναποδογυρίζεται - προκύπτει μια αναλογία.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη βασική ιδιότητα της αναλογίας και ας την πολλαπλασιάσουμε σταυρωτά:
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Έχουμε μπροστά μας την παραπάνω τετραγωνική εξίσωση, οπότε τη λύνουμε χρησιμοποιώντας τους τύπους του Vieta:
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
Αυτό είναι όλο. Πιστεύετε ότι η εξίσωση έχει λυθεί; Οχι! Για μια τέτοια λύση θα λάβουμε 0 βαθμούς, γιατί η αρχική εξίσωση περιέχει δύο λογάριθμους με τη μεταβλητή x. Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο τομέας ορισμού.
Και εδώ αρχίζει η διασκέδαση. Οι περισσότεροι μαθητές έχουν μπερδευτεί: ποιο είναι το πεδίο ορισμού του λογάριθμου; Φυσικά, όλα τα ορίσματα (έχουμε δύο) πρέπει να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Κάθε μία από αυτές τις ανισότητες πρέπει να λυθεί, να σημειωθεί σε μια ευθεία γραμμή, να διασταυρωθεί και μόνο τότε να δούμε ποιες ρίζες βρίσκονται στη διασταύρωση.
Θα είμαι ειλικρινής: αυτή η τεχνική έχει το δικαίωμα να υπάρχει, είναι αξιόπιστη και θα λάβετε τη σωστή απάντηση, αλλά υπάρχουν πάρα πολλά περιττά βήματα σε αυτήν. Ας δούμε λοιπόν ξανά τη λύση μας και ας δούμε: πού ακριβώς πρέπει να εφαρμόσουμε το πεδίο εφαρμογής; Με άλλα λόγια, πρέπει να καταλάβετε πότε ακριβώς εμφανίζονται επιπλέον ρίζες.
- Αρχικά είχαμε δύο λογάριθμους. Στη συνέχεια μετακινήσαμε ένα από αυτά προς τα δεξιά, αλλά αυτό δεν επηρέασε την περιοχή ορισμού.
- Στη συνέχεια αφαιρούμε την ισχύ από τη βάση, αλλά υπάρχουν ακόμα δύο λογάριθμοι, και σε καθένα από αυτούς υπάρχει μια μεταβλητή x.
- Τέλος, διαγράφουμε τα σημάδια του log και παίρνουμε την κλασική κλασματική ορθολογική εξίσωση.
Είναι στο τελευταίο βήμα που διευρύνεται το πεδίο ορισμού! Μόλις περάσαμε σε μια κλασματική-ορθολογική εξίσωση, απαλλαγούμε από τα log πρόσημα, οι απαιτήσεις για τη μεταβλητή x άλλαξαν δραματικά!
Κατά συνέπεια, το πεδίο ορισμού μπορεί να εξεταστεί όχι στην αρχή της λύσης, αλλά μόνο στο αναφερόμενο βήμα - πριν εξισωθούν άμεσα τα επιχειρήματα.
Εδώ βρίσκεται η ευκαιρία για βελτιστοποίηση. Από τη μία πλευρά, απαιτείται και τα δύο ορίσματα να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Από την άλλη πλευρά, εξισώνουμε περαιτέρω αυτά τα επιχειρήματα. Επομένως, αν τουλάχιστον ένα από αυτά είναι θετικό, τότε και το δεύτερο θα είναι θετικό!
Αποδεικνύεται λοιπόν ότι η απαίτηση να εκπληρωθούν δύο ανισότητες ταυτόχρονα είναι υπερβολικό. Αρκεί να εξετάσουμε μόνο ένα από αυτά τα κλάσματα. Ποιό απ'όλα; Αυτό που είναι πιο απλό. Για παράδειγμα, ας δούμε το δεξιό κλάσμα:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Αυτή είναι μια τυπική κλασματική ορθολογική ανισότητα, την λύνουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαστήματος:
Πώς να τοποθετήσετε πινακίδες; Ας πάρουμε έναν αριθμό που είναι προφανώς μεγαλύτερος από όλες τις ρίζες μας. Για παράδειγμα, 1 δισεκατομμύριο Και αντικαθιστούμε το κλάσμα του. Παίρνουμε έναν θετικό αριθμό, δηλ. στα δεξιά της ρίζας x = 5 θα υπάρχει ένα σύμβολο συν.
Έπειτα τα ζώδια εναλλάσσονται, γιατί δεν υπάρχουν πουθενά ρίζες καν της πολλαπλότητας. Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα όπου η συνάρτηση είναι θετική. Επομένως, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Τώρα ας θυμηθούμε τις απαντήσεις: x = 8 και x = 2. Αυστηρά μιλώντας, αυτές δεν είναι ακόμα απαντήσεις, αλλά μόνο υποψήφιοι για την απάντηση. Ποιο ανήκει στο καθορισμένο σύνολο; Φυσικά, x = 8. Αλλά το x = 2 δεν μας ταιριάζει ως προς το πεδίο ορισμού του.
Συνολικά, η απάντηση στην πρώτη λογαριθμική εξίσωση θα είναι x = 8. Τώρα έχουμε μια ικανή, καλά τεκμηριωμένη λύση, λαμβάνοντας υπόψη το πεδίο ορισμού.
Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη εξίσωση:
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Να σας υπενθυμίσω ότι αν υπάρχει δεκαδικό κλάσμα στην εξίσωση, τότε θα πρέπει να το ξεφορτωθείτε. Με άλλα λόγια, ας ξαναγράψουμε το 0,5 ως κοινό κλάσμα. Παρατηρούμε αμέσως ότι ο λογάριθμος που περιέχει αυτή τη βάση υπολογίζεται εύκολα:
Αυτή είναι μια πολύ σημαντική στιγμή! Όταν έχουμε βαθμούς και στη βάση και στο όρισμα, μπορούμε να εξαγάγουμε τους δείκτες αυτών των βαθμών χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Ας επιστρέψουμε στην αρχική μας λογαριθμική εξίσωση και ας την ξαναγράψουμε:
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
Αποκτήσαμε ένα σχέδιο αρκετά κοντά στην κανονική μορφή. Ωστόσο, μας μπερδεύουν οι όροι και το σύμβολο μείον στα δεξιά του ίσου. Ας αναπαραστήσουμε ένα ως λογάριθμο στη βάση 5:
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
Αφαιρέστε τους λογάριθμους στα δεξιά (σε αυτή την περίπτωση τα ορίσματά τους διαιρούνται):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Εκπληκτικός. Έτσι πήραμε την κανονική μορφή! Διαγράφουμε τα σημάδια καταγραφής και εξισώνουμε τα ορίσματα:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Αυτή είναι μια αναλογία που μπορεί εύκολα να λυθεί πολλαπλασιάζοντας σταυρωτά:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Προφανώς, έχουμε μειωμένη τετραγωνική εξίσωση. Μπορεί εύκολα να λυθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους του Vieta:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Έχουμε δύο ρίζες. Αλλά αυτές δεν είναι τελικές απαντήσεις, αλλά μόνο υποψήφιες, επειδή η λογαριθμική εξίσωση απαιτεί επίσης έλεγχο του πεδίου ορισμού.
Σας θυμίζω: δεν χρειάζεται να ψάξετε πότε κάθεαπό τα ορίσματα θα είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Αρκεί να απαιτήσουμε ένα όρισμα —είτε x − 9 είτε 5/(x − 5)— να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Εξετάστε το πρώτο επιχείρημα:
x − 9 > 0
x > 9
Προφανώς, μόνο το x = 10 ικανοποιεί αυτήν την απαίτηση Αυτή είναι η τελική απάντηση. Το όλο πρόβλημα έχει λυθεί.
Για άλλη μια φορά, οι βασικές σκέψεις του σημερινού μαθήματος:
- Μόλις η μεταβλητή x εμφανιστεί σε πολλούς λογάριθμους, η εξίσωση παύει να είναι στοιχειώδης και το πεδίο ορισμού θα πρέπει να υπολογιστεί γι' αυτήν. Διαφορετικά, μπορείτε εύκολα να γράψετε επιπλέον ρίζες στην απάντηση.
- Η εργασία με τον ίδιο τον τομέα μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά εάν γράψουμε την ανισότητα όχι αμέσως, αλλά ακριβώς τη στιγμή που θα απαλλαγούμε από τα σημάδια καταγραφής. Άλλωστε, όταν τα ορίσματα εξισώνονται μεταξύ τους, αρκεί να απαιτείται μόνο ένα από αυτά να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
Φυσικά, εμείς οι ίδιοι επιλέγουμε ποιο όρισμα θα χρησιμοποιήσουμε για να σχηματίσουμε μια ανισότητα, οπότε είναι λογικό να επιλέξουμε το πιο απλό. Για παράδειγμα, στη δεύτερη εξίσωση επιλέξαμε το όρισμα (x − 9), μια γραμμική συνάρτηση, σε αντίθεση με το κλασματικό ορθολογικό δεύτερο όρισμα. Συμφωνώ, η επίλυση της ανίσωσης x − 9 > 0 είναι πολύ πιο εύκολη από το 5/(x − 5) > 0. Αν και το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.
Αυτή η παρατήρηση απλοποιεί πολύ την αναζήτηση για ODZ, αλλά να είστε προσεκτικοί: μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία ανισότητα αντί για δύο μόνο εάν τα ορίσματα είναι ακριβώς είναι ίσα μεταξύ τους!
Φυσικά, κάποιος θα ρωτήσει τώρα: τι συμβαίνει διαφορετικά; Ναι μερικές φορές. Για παράδειγμα, στο ίδιο το βήμα, όταν πολλαπλασιάζουμε δύο ορίσματα που περιέχουν μια μεταβλητή, υπάρχει ο κίνδυνος να εμφανιστούν περιττές ρίζες.
Κρίνετε μόνοι σας: πρώτα απαιτείται καθένα από τα ορίσματα να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, αλλά μετά τον πολλαπλασιασμό αρκεί το γινόμενο τους να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Ως αποτέλεσμα, παραλείπεται η περίπτωση όπου καθένα από αυτά τα κλάσματα είναι αρνητικό.
Επομένως, εάν μόλις αρχίζετε να κατανοείτε πολύπλοκες λογαριθμικές εξισώσεις, μην πολλαπλασιάσετε σε καμία περίπτωση λογάριθμους που περιέχουν τη μεταβλητή x - αυτό πολύ συχνά οδηγεί στην εμφάνιση επιπλέον ριζών. Είναι καλύτερα να κάνετε ένα επιπλέον βήμα, να μετακινήσετε έναν όρο στην άλλη πλευρά και να δημιουργήσετε μια κανονική μορφή.
Λοιπόν, τι να κάνετε αν δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς να πολλαπλασιάσετε τέτοιους λογάριθμους, θα συζητήσουμε στο επόμενο μάθημα βίντεο.
Για άλλη μια φορά για τις δυνάμεις στην εξίσωση
Σήμερα θα εξετάσουμε ένα μάλλον ολισθηρό θέμα σχετικά με τις λογαριθμικές εξισώσεις, ή πιο συγκεκριμένα, την αφαίρεση των δυνάμεων από τα επιχειρήματα και τις βάσεις των λογαρίθμων.
Θα έλεγα μάλιστα ότι θα μιλήσουμε για την αφαίρεση ζυγών δυνάμεων, γιατί με τις ζυγές δυνάμεις προκύπτουν οι περισσότερες δυσκολίες κατά την επίλυση πραγματικών λογαριθμικών εξισώσεων.
Ας ξεκινήσουμε με την κανονική μορφή. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια εξίσωση της μορφής log a f (x) = b. Σε αυτήν την περίπτωση, ξαναγράφουμε τον αριθμό b χρησιμοποιώντας τον τύπο b = log a a b . Αποδεικνύεται το εξής:
log a f (x) = log a a β
Τότε εξισώνουμε τα επιχειρήματα:
f (x) = a β
Ο προτελευταίος τύπος ονομάζεται κανονική μορφή. Σε αυτό προσπαθούν να μειώσουν οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση, όσο περίπλοκη και τρομακτική κι αν φαίνεται με την πρώτη ματιά.
Ας το δοκιμάσουμε λοιπόν. Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη εργασία:
Προκαταρκτική σημείωση: όπως είπα, τα πάντα δεκαδικάσε μια λογαριθμική εξίσωση είναι καλύτερο να τη μετατρέψουμε σε συνηθισμένες:
0,5 = 5/10 = 1/2
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός. Σημειώστε ότι και το 1/1000 και το 100 είναι δυνάμεις του δέκα και, στη συνέχεια, ας βγάλουμε δυνάμεις όπου κι αν βρίσκονται: από ορίσματα και ακόμη και από τη βάση των λογαρίθμων:
Και εδώ πολλοί μαθητές έχουν μια ερώτηση: "Από πού προήλθε η ενότητα στα δεξιά;" Πράγματι, γιατί να μην γράψετε απλώς (x − 1); Φυσικά, τώρα θα γράψουμε (x − 1), αλλά λαμβάνοντας υπόψη το πεδίο ορισμού μας δίνει το δικαίωμα σε μια τέτοια σημείωση. Άλλωστε, ένας άλλος λογάριθμος περιέχει ήδη (x − 1), και αυτή η έκφραση πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.
Όταν όμως αφαιρέσουμε το τετράγωνο από τη βάση του λογάριθμου, πρέπει να αφήσουμε ακριβώς τη μονάδα στη βάση. Επιτρέψτε μου να εξηγήσω γιατί.
Γεγονός είναι ότι, από μαθηματική άποψη, το να πάρεις πτυχίο ισοδυναμεί με τη ρίζα. Συγκεκριμένα, όταν τετραγωνίζουμε την παράσταση (x − 1) 2, ουσιαστικά παίρνουμε τη δεύτερη ρίζα. Αλλά η τετραγωνική ρίζα δεν είναι τίποτα άλλο από ένα μέτρο. Ακριβώς μονάδα μέτρησης, γιατί ακόμα κι αν η παράσταση x − 1 είναι αρνητική, όταν τετραγωνιστεί, το «μείον» θα εξακολουθήσει να καεί. Η περαιτέρω εξαγωγή της ρίζας θα μας δώσει έναν θετικό αριθμό - χωρίς κανένα μείον.
Γενικά, για να αποφύγετε επιθετικά λάθη, θυμηθείτε μια για πάντα:
Η ρίζα μιας άρτιας ισχύος οποιασδήποτε συνάρτησης που αυξάνεται στην ίδια ισχύ δεν είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση, αλλά με το μέτρο της:
Ας επιστρέψουμε στη λογαριθμική μας εξίσωση. Μιλώντας για τη μονάδα, υποστήριξα ότι μπορούμε να την αφαιρέσουμε ανώδυνα. Αυτό είναι αλήθεια. Τώρα θα εξηγήσω γιατί. Αυστηρά μιλώντας, έπρεπε να εξετάσουμε δύο επιλογές:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Κάθε μία από αυτές τις επιλογές θα πρέπει να αντιμετωπιστεί. Αλλά υπάρχει ένα αιχμή: ο αρχικός τύπος περιέχει ήδη τη συνάρτηση (x − 1) χωρίς κανένα μέτρο. Και ακολουθώντας το πεδίο ορισμού των λογαρίθμων, έχουμε το δικαίωμα να γράψουμε αμέσως ότι x − 1 > 0.
Αυτή η απαίτηση πρέπει να ικανοποιείται ανεξάρτητα από τυχόν ενότητες και άλλους μετασχηματισμούς που πραγματοποιούμε στη διαδικασία λύσης. Επομένως, δεν έχει νόημα να εξετάσουμε τη δεύτερη επιλογή - δεν θα προκύψει ποτέ. Ακόμα κι αν λάβουμε κάποιους αριθμούς κατά την επίλυση αυτού του κλάδου της ανισότητας, και πάλι δεν θα συμπεριληφθούν στην τελική απάντηση.
Τώρα βρισκόμαστε κυριολεκτικά ένα βήμα μακριά από την κανονική μορφή της λογαριθμικής εξίσωσης. Ας αναπαραστήσουμε τη μονάδα ως εξής:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Επιπλέον, εισάγουμε τον παράγοντα −4, που βρίσκεται στα δεξιά, στο όρισμα:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Μπροστά μας βρίσκεται η κανονική μορφή της λογαριθμικής εξίσωσης. Απαλλαγούμε από το σύμβολο του λογάριθμου:
10 −4 = x − 1
Επειδή όμως η βάση ήταν συνάρτηση (και όχι πρώτος αριθμός), απαιτούμε επιπλέον αυτή η συνάρτηση να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και όχι ίση με ένα. Το σύστημα που θα προκύψει θα είναι:
Εφόσον η απαίτηση x − 1 > 0 ικανοποιείται αυτόματα (εξάλλου, x − 1 = 10 −4), μία από τις ανισώσεις μπορεί να διαγραφεί από το σύστημά μας. Η δεύτερη συνθήκη μπορεί επίσης να διαγραφεί, επειδή x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Αυτή είναι η μόνη ρίζα που ικανοποιεί αυτόματα όλες τις απαιτήσεις του πεδίου ορισμού του λογαρίθμου (όμως όλες οι απαιτήσεις εξαλείφθηκαν όπως προφανώς πληρούνται στις συνθήκες του προβλήματός μας).
Η δεύτερη εξίσωση λοιπόν:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Πώς είναι αυτή η εξίσωση ουσιαστικά διαφορετική από την προηγούμενη; Μόνο και μόνο επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων - 3x και 9x - δεν είναι φυσικές δυνάμεις η μία της άλλης. Επομένως, η μετάβαση που χρησιμοποιήσαμε στην προηγούμενη λύση δεν είναι δυνατή.
Ας ξεφορτωθούμε τουλάχιστον τα πτυχία. Στην περίπτωσή μας, ο μόνος βαθμός είναι στο δεύτερο επιχείρημα:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Ωστόσο, το πρόσημο του συντελεστή μπορεί να αφαιρεθεί, επειδή η μεταβλητή x βρίσκεται επίσης στη βάση, δηλ. x > 0 ⇒ |x| = x. Ας ξαναγράψουμε τη λογαριθμική μας εξίσωση:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Λάβαμε λογάριθμους στους οποίους τα ορίσματα είναι ίδια, αλλά οι βάσεις είναι διαφορετικές. Τι να κάνω μετά; Υπάρχουν πολλές επιλογές εδώ, αλλά θα εξετάσουμε μόνο δύο από αυτές, που είναι οι πιο λογικές, και το πιο σημαντικό, αυτές είναι γρήγορες και κατανοητές τεχνικές για τους περισσότερους μαθητές.
Έχουμε ήδη εξετάσει την πρώτη επιλογή: σε οποιαδήποτε ασαφή κατάσταση, μετατρέψτε τους λογάριθμους με μεταβλητή βάση σε κάποια σταθερή βάση. Για παράδειγμα, σε ένα δίδυμο. Ο τύπος μετάβασης είναι απλός:
Φυσικά, ο ρόλος της μεταβλητής c πρέπει να είναι ένας κανονικός αριθμός: 1 ≠ c > 0. Έστω στην περίπτωσή μας c = 2. Τώρα έχουμε μπροστά μας μια συνηθισμένη κλασματική ορθολογική εξίσωση. Συλλέγουμε όλα τα στοιχεία στα αριστερά:
Προφανώς, είναι καλύτερο να αφαιρέσετε τον παράγοντα log 2 x, καθώς υπάρχει τόσο στο πρώτο όσο και στο δεύτερο κλάσμα.
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Διαχωρίζουμε κάθε αρχείο καταγραφής σε δύο όρους:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Ας ξαναγράψουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας λαμβάνοντας υπόψη αυτά τα γεγονότα:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Τώρα το μόνο που μένει είναι να εισαγάγετε ένα δύο κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου (θα μετατραπεί σε δύναμη: 3 2 = 9):
log 2 9 = log 2 x
Μπροστά μας είναι η κλασική κανονική μορφή, απαλλαγούμε από το σύμβολο του λογάριθμου και παίρνουμε:
Όπως ήταν αναμενόμενο, αυτή η ρίζα αποδείχθηκε μεγαλύτερη από το μηδέν. Απομένει να ελέγξουμε τον τομέα ορισμού. Ας δούμε τους λόγους:
Αλλά η ρίζα x = 9 ικανοποιεί αυτές τις απαιτήσεις. Επομένως, είναι η τελική απόφαση.
Το συμπέρασμα από αυτή τη λύση είναι απλό: μην φοβάστε τους μεγάλους υπολογισμούς! Απλώς στην αρχή επιλέξαμε μια νέα βάση τυχαία - και αυτό περιέπλεξε σημαντικά τη διαδικασία.
Αλλά τότε τίθεται το ερώτημα: ποια είναι η βάση άριστος? Θα μιλήσω για αυτό στη δεύτερη μέθοδο.
Ας επιστρέψουμε στην αρχική μας εξίσωση:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Τώρα ας σκεφτούμε λίγο: ποιος αριθμός ή συνάρτηση θα ήταν η βέλτιστη βάση; Είναι προφανές ότι η καλύτερη επιλογήθα υπάρχει c = x - αυτό που υπάρχει ήδη στα ορίσματα. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος log a b = log c b / log c a θα έχει τη μορφή:
Με άλλα λόγια, η έκφραση απλώς αντιστρέφεται. Σε αυτήν την περίπτωση, το επιχείρημα και η βάση αλλάζουν θέσεις.
Αυτός ο τύπος είναι πολύ χρήσιμος και χρησιμοποιείται πολύ συχνά στην επίλυση σύνθετων λογαριθμικών εξισώσεων. Ωστόσο, υπάρχει μια πολύ σοβαρή παγίδα κατά τη χρήση αυτής της φόρμουλας. Αν αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή x αντί της βάσης, τότε της επιβάλλονται περιορισμοί που δεν είχαν τηρηθεί προηγουμένως:
Δεν υπήρχε τέτοιος περιορισμός στην αρχική εξίσωση. Επομένως, θα πρέπει να ελέγξουμε χωριστά την περίπτωση που x = 1. Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στην εξίσωσή μας:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα. Επομένως το x = 1 είναι ρίζα. Βρήκαμε ακριβώς την ίδια ρίζα στην προηγούμενη μέθοδο στην αρχή της λύσης.
Αλλά τώρα που εξετάσαμε χωριστά τη συγκεκριμένη περίπτωση, υποθέτουμε με ασφάλεια ότι x ≠ 1. Τότε η λογαριθμική μας εξίσωση θα ξαναγραφεί με την ακόλουθη μορφή:
3 log x 9x = 4 log x 3x
Επεκτείνουμε και τους δύο λογάριθμους χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο όπως πριν. Σημειώστε ότι το αρχείο καταγραφής x x = 1:
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 log x 3 = 1
Έτσι φτάσαμε στην κανονική μορφή:
log x 9 = ημερολόγιο x x 1
x=9
Πήραμε τη δεύτερη ρίζα. Ικανοποιεί την απαίτηση x ≠ 1. Επομένως, x = 9 μαζί με x = 1 είναι η τελική απάντηση.
Όπως μπορείτε να δείτε, ο όγκος των υπολογισμών έχει μειωθεί ελαφρώς. Αλλά όταν λύνετε μια πραγματική λογαριθμική εξίσωση, ο αριθμός των βημάτων θα είναι πολύ μικρότερος και επειδή δεν απαιτείται να περιγράψετε κάθε βήμα με τόση λεπτομέρεια.
Ο βασικός κανόνας του σημερινού μαθήματος είναι ο εξής: εάν το πρόβλημα περιέχει έναν άρτιο βαθμό, από τον οποίο εξάγεται η ρίζα του ίδιου βαθμού, τότε η έξοδος θα είναι συντελεστής. Ωστόσο, αυτή η ενότητα μπορεί να αφαιρεθεί εάν δώσετε προσοχή στον τομέα ορισμού των λογαρίθμων.
Προσοχή όμως: μετά από αυτό το μάθημα, οι περισσότεροι μαθητές πιστεύουν ότι καταλαβαίνουν τα πάντα. Αλλά όταν λύνουν πραγματικά προβλήματα, δεν μπορούν να αναπαράγουν ολόκληρη τη λογική αλυσίδα. Ως αποτέλεσμα, η εξίσωση αποκτά περιττές ρίζες και η απάντηση αποδεικνύεται λανθασμένη.
Άλγεβρα 11η τάξη
Θέμα: «Μέθοδοι επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων»
Στόχοι μαθήματος:
εκπαιδευτικό: σχηματισμός γνώσεων για με διαφορετικούς τρόπουςεπίλυση λογαριθμικών εξισώσεων, δυνατότητα εφαρμογής τους σε κάθε συγκεκριμένη κατάσταση και επιλογή οποιασδήποτε μεθόδου επίλυσης.
ανάπτυξη: ανάπτυξη δεξιοτήτων για παρατήρηση, σύγκριση, εφαρμογή της γνώσης σε μια νέα κατάσταση, αναγνώριση προτύπων, γενίκευση. ανάπτυξη δεξιοτήτων αμοιβαίου ελέγχου και αυτοελέγχου·
εκπαιδευτικό: καλλιέργεια υπεύθυνης στάσης στο εκπαιδευτικό έργο, προσεκτική αντίληψη του υλικού στο μάθημα και προσεκτική λήψη σημειώσεων.
Τύπος μαθήματος: μάθημα εισαγωγής νέου υλικού.
«Η εφεύρεση των λογαρίθμων, ενώ μείωσε το έργο του αστρονόμου, επέκτεινε τη ζωή του».
Ο Γάλλος μαθηματικός και αστρονόμος P.S. Laplace
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
I. Θέτοντας τον στόχο του μαθήματος
Ο μελετημένος ορισμός του λογαρίθμου, οι ιδιότητες των λογαρίθμων και η λογαριθμική συνάρτηση θα μας επιτρέψουν να λύσουμε λογαριθμικές εξισώσεις. Όλες οι λογαριθμικές εξισώσεις, όσο σύνθετες κι αν είναι, λύνονται με χρήση ομοιόμορφων αλγορίθμων. Θα εξετάσουμε αυτούς τους αλγόριθμους στο σημερινό μάθημα. Δεν είναι πολλοί από αυτούς. Εάν τα κατακτήσετε, τότε οποιαδήποτε εξίσωση με λογάριθμους θα είναι εφικτή για τον καθένα σας.
Σημειώστε στο τετράδιό σας το θέμα του μαθήματος: «Μέθοδοι επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων». Καλώ όλους σε συνεργασία.
II. Επικαιροποίηση γνώσεων αναφοράς
Ας προετοιμαστούμε να μελετήσουμε το θέμα του μαθήματος. Λύνετε κάθε εργασία και γράφετε την απάντηση δεν χρειάζεται να γράψετε τη συνθήκη. Δουλέψτε σε ζευγάρια.
1) Για ποιες τιμές του x έχει νόημα η συνάρτηση:
(Οι απαντήσεις ελέγχονται για κάθε διαφάνεια και τα λάθη επιλύονται)
2) Τα γραφήματα των συναρτήσεων συμπίπτουν;
3) Ξαναγράψτε τις ισότητες ως λογαριθμικές ισότητες:
4) Γράψτε τους αριθμούς ως λογάριθμους με βάση 2:
5) Υπολογίστε:
6) Προσπαθήστε να επαναφέρετε ή να συμπληρώσετε τα στοιχεία που λείπουν σε αυτές τις ισότητες.
III. Εισαγωγή στο νέο υλικό
Στην οθόνη εμφανίζεται η ακόλουθη δήλωση:
«Η εξίσωση είναι το χρυσό κλειδί που ανοίγει όλα τα μαθηματικά σουσάμια».
Ο σύγχρονος Πολωνός μαθηματικός S. Kowal
Προσπαθήστε να διατυπώσετε τον ορισμό μιας λογαριθμικής εξίσωσης. (Μια εξίσωση που περιέχει έναν άγνωστο κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου).
Ας σκεφτούμε η απλούστερη λογαριθμική εξίσωση:κούτσουροΕΝΑx = β(όπου a>0, a ≠ 1). Εφόσον η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται (ή μειώνεται) στο σύνολο των θετικών αριθμών και παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές, τότε από το θεώρημα της ρίζας προκύπτει ότι για κάθε b αυτή η εξίσωση έχει, και μόνο μία, λύση και θετική.
Θυμηθείτε τον ορισμό του λογάριθμου. (Ο λογάριθμος ενός αριθμού x στη βάση a είναι ένας δείκτης της ισχύος στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση a για να ληφθεί ο αριθμός x). Από τον ορισμό του λογάριθμου προκύπτει αμέσως ότι ΕΝΑVείναι μια τέτοια λύση.
Γράψε τον τίτλο: Μέθοδοι επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων
1. Εξ ορισμού του λογάριθμου.
Έτσι λύνονται οι απλούστερες εξισώσεις της φόρμας.
Ας σκεφτούμε Νο. 514(α)): Λύστε την εξίσωση
Πώς προτείνετε να το λύσετε; (Από τον ορισμό του λογάριθμου)
Λύση. , Επομένως 2x - 4 = 4; x = 4.
Σε αυτήν την εργασία, 2x - 4 > 0, αφού > 0, επομένως δεν μπορούν να εμφανιστούν ξένες ρίζες και δεν χρειάζεται να γίνει έλεγχος. Η συνθήκη 2x - 4 > 0 δεν χρειάζεται να διαγραφεί σε αυτήν την εργασία.
2. Δυνατοποίηση(μετάβαση από τον λογάριθμο μιας δεδομένης έκφρασης στην ίδια την έκφραση).
Ας σκεφτούμε Νο. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2
Ποιο χαρακτηριστικό προσέξατε; (Οι βάσεις είναι ίδιες και οι λογάριθμοι των δύο παραστάσεων είναι ίσοι.) Τί μπορεί να γίνει; (Ενισχύστε).
Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι οποιαδήποτε λύση περιέχεται μεταξύ όλων των x για τις οποίες οι λογαριθμικές παραστάσεις είναι θετικές.
Λύση: ODZ:
Το X2+8>0 είναι μια περιττή ανισότητα
log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)
log5(x2+8)= log5 (8 x+8)
Ας ενισχύσουμε την αρχική εξίσωση
παίρνουμε την εξίσωση x2+8= 8x+8
Ας το λύσουμε: x2-8x=0
Απάντηση: 0; 8
ΣΕ γενική εικόνα μετάβαση σε ένα ισοδύναμο σύστημα:
Η εξίσωση
(Το σύστημα περιέχει μια περιττή συνθήκη - μια από τις ανισότητες δεν χρειάζεται να ληφθεί υπόψη).
Ερώτηση για την τάξη: Ποια από αυτές τις τρεις λύσεις σας άρεσε περισσότερο; (Συζήτηση μεθόδων).
Έχετε το δικαίωμα να αποφασίσετε με οποιονδήποτε τρόπο.
3. Εισαγωγή νέας μεταβλητής.
Ας σκεφτούμε Νο. 520(g). .
Τι προσέξατε; (Αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση σε σχέση με το log3x) Έχετε προτάσεις; (Εισαγωγή νέας μεταβλητής)
Λύση. ODZ: x > 0.
Έστω , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:. Διάκριση Δ > 0. Ρίζες σύμφωνα με το θεώρημα του Βιέτα:.
Ας επιστρέψουμε στην αντικατάσταση: ή.
Έχοντας λύσει τις απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις, παίρνουμε:
Απάντηση: 27;
4. Λογάριθμος και των δύο πλευρών της εξίσωσης.
Λύστε την εξίσωση:.
Λύση: ODZ: x>0, πάρτε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσης στη βάση 10:
Ας εφαρμόσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου μιας δύναμης:
(logx + 3) logx = 4
Έστω logx = y, μετά (y + 3)y = 4
, (D > 0) ρίζες σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta: y1 = -4 και y2 = 1.
Ας επιστρέψουμε στην αντικατάσταση, παίρνουμε: lgx = -4,; lgx = 1, .
Απάντηση: 0,0001; 10.
5. Μείωση σε μία βάση.
Νο. 523(c). Λύστε την εξίσωση:
Λύση: ODZ: x>0. Ας προχωρήσουμε στη βάση 3.
6. Λειτουργική-γραφική μέθοδος.
№ 509(d).Λύστε την εξίσωση γραφικά: = 3 - x.
Πώς προτείνετε να λυθεί; (Δημιουργήστε γραφήματα δύο συναρτήσεων y = log2x και y = 3 - x χρησιμοποιώντας σημεία και αναζητήστε την τετμημένη των σημείων τομής των γραφημάτων).
Δείτε τη λύση σας στη διαφάνεια.
Υπάρχει τρόπος να αποφύγετε τη δημιουργία γραφημάτων . Είναι ως εξής : εάν μία από τις λειτουργίες y = f(x) αυξάνει, και το άλλο y = g(x) μειώνεται στο διάστημα Χ και μετά η εξίσωση f(x)= g(x) έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα Χ.
Αν υπάρχει ρίζα, τότε μπορεί να μαντέψει.
Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση αυξάνεται για x>0 και η συνάρτηση y = 3 - x μειώνεται για όλες τις τιμές του x, συμπεριλαμβανομένου του x>0, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει περισσότερες από μία ρίζες. Σημειώστε ότι στο x = 2 η εξίσωση μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα, αφού .
«Η σωστή εφαρμογή των μεθόδων μπορεί να μαθευτεί
μόνο με την εφαρμογή τους σε διάφορα παραδείγματα».
Ο Δανός ιστορικός των μαθηματικών G. G. Zeiten
ΕγώV. Εργασία για το σπίτι
Σελ. 39 εξετάστε το παράδειγμα 3, λύστε το Αρ. 514(β), Νο. 529(β), Νο. 520(β), Νο. 523(β)
V. Συνοψίζοντας το μάθημα
Ποιες μεθόδους επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων εξετάσαμε στην τάξη;
Στα επόμενα μαθήματα θα δούμε πιο σύνθετες εξισώσεις. Για την επίλυσή τους, οι μέθοδοι που μελετήθηκαν θα είναι χρήσιμες.
Τελευταία διαφάνεια που εμφανίστηκε:
«Τι είναι περισσότερο από οτιδήποτε άλλο στον κόσμο;
Χώρος.
Ποιο είναι το πιο σοφό;
Χρόνος.
Ποιο είναι το καλύτερο μέρος;
Πέτυχε αυτό που θέλεις».
Θαλής
Εύχομαι ο καθένας να πετύχει αυτό που θέλει. Σας ευχαριστούμε για τη συνεργασία και την κατανόησή σας.
Όλοι γνωρίζουν γιατί χρειάζονται τα μαθηματικά. Ωστόσο, πολλοί άνθρωποι χρειάζονται βοήθεια για να αποφασίσουν μαθηματικά προβλήματακαι εξισώσεις. Πριν σας πούμε πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις, πρέπει να καταλάβετε ποιες είναι. Οι εξισώσεις που περιέχουν ένα άγνωστο στη βάση του λογαρίθμου ή κάτω από το πρόσημο του ονομάζονται λογαριθμικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις που έχουν τη μορφή: λογαΧ = β, ή αυτές που μπορούν να αναχθούν σε αυτή τη μορφή, θεωρούνται οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις.
Σωστή λύση
Για η σωστή απόφασητέτοιες εξισώσεις, είναι απαραίτητο να θυμόμαστε τις ιδιότητες οποιασδήποτε λογαριθμικής συνάρτησης:
- σύνολο πραγματικών αριθμών (εύρος)
- σύνολο θετικών αριθμών (τομέας)
- Στην περίπτωση που το "a" είναι μεγαλύτερο από 1, η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται αυστηρά, εάν είναι μικρότερη, η λογαριθμική συνάρτηση μειώνεται
- με τις δεδομένες παραμέτρους: το λογότυπο "a" ισούται με 1 και επίσης το λογότυπο 1 ισούται με μηδέν, πρέπει να λάβετε υπόψη ότι το "a" δεν θα είναι ίσο με 1 και θα είναι μεγαλύτερο από 0.
Η σωστή λύση των λογαριθμικών εξισώσεων εξαρτάται άμεσα από την κατανόηση του ίδιου του λογαρίθμου. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα: 5x=11. X είναι ο αριθμός στον οποίο πρέπει να αυξηθεί το 5 για να γίνει το 11. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται λογάριθμος του 11 στη βάση του 5 και γράφεται ως εξής: x = log511. Έτσι, μπορέσαμε να λύσουμε την εκθετική εξίσωση: 5x=11, παίρνοντας την απάντηση: x=log511.
Λογαριθμικές εξισώσεις
Μια εξίσωση που έχει λογάριθμους ονομάζεται λογαριθμική εξίσωση. Σε αυτή την εξίσωση, οι άγνωστες μεταβλητές, καθώς και οι εκφράσεις με αυτές, βρίσκονται μέσα στους ίδιους τους λογάριθμους. Και πουθενά αλλού! Παραδείγματα λογαριθμικών εξισώσεων: log2x=16, log5(x3-7)=log5(3x), log3(x+3)+20=15log(x+5) κ.λπ. Μην ξεχνάτε ότι διάφορες παραστάσεις με x μπορούν να βρίσκονται μόνο εντός ενός δεδομένου λογάριθμου.
Απαλλαγή από τους λογάριθμους
Οι μέθοδοι για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων εφαρμόζονται σύμφωνα με το υπό εξέταση πρόβλημα και η ίδια η διαδικασία επίλυσης στο σύνολό της είναι μια πολύ δύσκολη εργασία. Ας ξεκινήσουμε με τις στοιχειώδεις εξισώσεις. Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις έχουν την εξής μορφή:
- logx-21=11
- log5 (70x-1)=2
- log5x=25
Η επίλυση μιας λογαριθμικής εξίσωσης περιλαμβάνει τη μετάβαση από μια εξίσωση με λογάριθμους σε μια εξίσωση στην οποία δεν υπάρχουν. Και στις απλούστερες εξισώσεις αυτό μπορεί να γίνει σε ένα βήμα. Αυτός είναι ο λόγος που ονομάζονται πρωτόζωα. Για παράδειγμα, πρέπει να λύσουμε την ακόλουθη εξίσωση: log5x = log52. Για αυτό δεν χρειαζόμαστε ειδικές γνώσεις. ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαπρέπει να απαλλαγούμε από τους λογάριθμους, οι οποίοι μας χαλάνε την όλη εικόνα. Αφαιρούμε τους λογάριθμους και παίρνουμε: x=2. Έτσι, στο μέλλον είναι απαραίτητο να αφαιρεθούν οι περιττοί λογάριθμοι, αν είναι δυνατόν. Άλλωστε, είναι ακριβώς αυτή η σειρά που σας επιτρέπει να αποφασίσετε λογαριθμικές ανισότητεςκαι εξισώσεις. Στα μαθηματικά, τέτοιες ενέργειες ονομάζονται συνήθως ενίσχυση. Αλλά η απαλλαγή από τους λογάριθμους με αυτόν τον τρόπο έχει τους δικούς του κανόνες. Εάν οι λογάριθμοι δεν έχουν συντελεστές (δηλαδή καθορίζονται από μόνοι τους), και επίσης εάν έχουν την ίδια αριθμητική βάση, οι λογάριθμοι μπορούν να αφαιρεθούν.
Θυμηθείτε, αφού εξαλείψουμε τους λογάριθμους, μας μένει μια απλοποιημένη εξίσωση. Ας λύσουμε ένα άλλο παράδειγμα:
log9 (5x-4)-log9x. Δυναμώνουμε και παίρνουμε:
- 5x-4=x
- 5x=x+4
Όπως μπορείτε να δείτε, αφαιρώντας τους λογάριθμους, παίρνουμε τη συνηθισμένη εξίσωση, που δεν είναι πλέον δύσκολο να λυθεί. Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε σε περισσότερα σύνθετα παραδείγματα: log9 (60x-1)=2. Πρέπει να αναφερθούμε στον λογάριθμο (τον αριθμό στον οποίο ανυψώνεται η βάση, στην περίπτωσή μας 9) για να λάβουμε την υπολογαριθμική έκφραση (60x-1). Ο λογάριθμός μας είναι ίσος με 2. Επομένως: 92 = 60x-1. Δεν υπάρχει πλέον λογάριθμος. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει: 60x-1=59, x = 1.
Λύσαμε αυτό το παράδειγμα σύμφωνα με τη σημασία του λογαρίθμου. Πρέπει να σημειωθεί ότι από οποιονδήποτε αριθμό μπορείτε να κάνετε έναν λογάριθμο της απαιτούμενης μορφής. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση ανισώσεων και λογαριθμικών εξισώσεων. Εάν χρειάζεται να βρείτε τη ρίζα στην εξίσωση, ας δούμε πώς μπορεί να γίνει αυτό: log5(18 – x) = log55
Αν στην εξίσωσή μας και οι δύο πλευρές της εξίσωσης έχουν λογάριθμους που έχουν την ίδια βάση, τότε μπορούμε να εξισώσουμε τις εκφράσεις που βρίσκονται κάτω από τα πρόσημα των λογαρίθμων μας. Αφαιρούμε την κοινή βάση: log5. Παίρνουμε μια απλή εξίσωση: 18 – x = 5, x = 13.
Στην πραγματικότητα, η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων δεν είναι τόσο δύσκολη. Ακόμη και αν ληφθεί υπόψη το γεγονός ότι οι ιδιότητες των λογαριθμικών εξισώσεων μπορεί να διαφέρουν σημαντικά, δεν υπάρχουν άλυτα καθήκοντα. Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις ιδιότητες του ίδιου του λογαρίθμου, καθώς και να μπορούμε να τις εφαρμόζουμε σωστά. Δεν χρειάζεται να βιαστούμε: θυμόμαστε τις παραπάνω οδηγίες και αρχίζουμε να λύνουμε τις εργασίες. Δεν χρειάζεται να φοβάσαι σε καμία περίπτωση σύνθετη εξίσωση, Έχετε όλες τις απαραίτητες γνώσεις και πόρους για να αντιμετωπίσετε εύκολα οποιοδήποτε από αυτά.
Επί αυτό το μάθημαΘα επαναλάβουμε τα βασικά θεωρητικά δεδομένα για τους λογαρίθμους και θα εξετάσουμε την επίλυση των απλούστερων λογαριθμικών εξισώσεων.
Ας θυμηθούμε τον κεντρικό ορισμό - τον ορισμό ενός λογάριθμου. Σχετίζεται με την απόφαση εκθετική εξίσωση. Αυτή η εξίσωσηέχει μία μόνο ρίζα, ονομάζεται λογάριθμος του b για τη βάση του a:
Ορισμός:
Ο λογάριθμος του b στη βάση a είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί η βάση a για να ληφθεί το b.
Να σας το θυμίσουμε βασική λογαριθμική ταυτότητα.
Η έκφραση (έκφραση 1) είναι η ρίζα της εξίσωσης (έκφραση 2). Αντικαταστήστε την τιμή x από την παράσταση 1 αντί για x στην παράσταση 2 και λάβετε την κύρια λογαριθμική ταυτότητα:
Βλέπουμε λοιπόν ότι κάθε τιμή συνδέεται με μια τιμή. Συμβολίζουμε το b με x(), το c με το y, και έτσι παίρνουμε μια λογαριθμική συνάρτηση:
Για παράδειγμα: 
Ας θυμηθούμε τις βασικές ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης.
Ας προσέξουμε για άλλη μια φορά, εδώ, αφού κάτω από τον λογάριθμο μπορεί να υπάρχει μια αυστηρά θετική έκφραση, ως βάση του λογάριθμου.
Ρύζι. 1. Γράφημα λογαριθμικής συνάρτησης με διαφορετικές βάσεις
Το γράφημα της συνάρτησης στο εμφανίζεται με μαύρο χρώμα. Ρύζι. 1. Εάν το όρισμα αυξηθεί από το μηδέν στο άπειρο, η συνάρτηση αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης στο εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα. Ρύζι. 1.
Ιδιότητες αυτής της συνάρτησης:
Τομέα: ;
Εύρος τιμών: ;
Η συνάρτηση είναι μονότονη σε όλο το πεδίο ορισμού της. Όταν αυξάνεται μονοτονικά (αυστηρά), υψηλότερη τιμήτο όρισμα αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Όταν μειώνεται μονοτονικά (αυστηρά), μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Οι ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης είναι το κλειδί για την επίλυση μιας ποικιλίας λογαριθμικών εξισώσεων.
Ας εξετάσουμε την απλούστερη λογαριθμική εξίσωση, όλες οι άλλες λογαριθμικές εξισώσεις, κατά κανόνα, ανάγονται σε αυτήν τη μορφή.
Εφόσον οι βάσεις των λογαρίθμων και οι ίδιοι οι λογάριθμοι είναι ίσες, οι συναρτήσεις κάτω από τον λογάριθμο είναι επίσης ίσες, αλλά δεν πρέπει να χάσουμε το πεδίο ορισμού. Μόνο ένας θετικός αριθμός μπορεί να εμφανιστεί κάτω από τον λογάριθμο, έχουμε:
Ανακαλύψαμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες, επομένως αρκεί να επιλέξουμε οποιαδήποτε ανισότητα για να συμμορφωθείτε με το ODZ.
Έτσι, έχουμε ένα μικτό σύστημα στο οποίο υπάρχει μια εξίσωση και μια ανισότητα:
Κατά κανόνα, δεν είναι απαραίτητο να λυθεί μια ανισότητα, αρκεί να λυθεί η εξίσωση και να αντικατασταθούν οι ρίζες που βρέθηκαν στην ανισότητα, εκτελώντας έτσι έναν έλεγχο.
Ας διατυπώσουμε μια μέθοδο για την επίλυση των απλούστερων λογαριθμικών εξισώσεων:
Να εξισωθούν οι βάσεις των λογαρίθμων.
Εξίσωση υπολογαριθμικών συναρτήσεων.
Εκτελέστε έλεγχο.
Ας δούμε συγκεκριμένα παραδείγματα.
Παράδειγμα 1 - λύστε την εξίσωση:
Οι βάσεις των λογαρίθμων είναι αρχικά ίσες, έχουμε το δικαίωμα να εξισώσουμε υπολογαριθμικές εκφράσεις, μην ξεχνάτε το ODZ, επιλέγουμε τον πρώτο λογάριθμο για να συνθέσουμε την ανισότητα:
Παράδειγμα 2 - λύστε την εξίσωση:
Αυτή η εξίσωση διαφέρει από την προηγούμενη στο ότι οι βάσεις των λογαρίθμων είναι μικρότερες από μία, αλλά αυτό δεν επηρεάζει τη λύση με κανέναν τρόπο:
Ας βρούμε τη ρίζα και ας την αντικαταστήσουμε με την ανισότητα:
Λάβαμε μια λανθασμένη ανισότητα, που σημαίνει ότι η ρίζα που βρέθηκε δεν ικανοποιεί το ODZ.
Παράδειγμα 3 - λύστε την εξίσωση:
Οι βάσεις των λογαρίθμων είναι αρχικά ίσες, έχουμε το δικαίωμα να εξισώσουμε υπολογαριθμικές εκφράσεις, μην ξεχνάτε το ODZ, επιλέγουμε τον δεύτερο λογάριθμο για να συνθέσουμε την ανισότητα:
Ας βρούμε τη ρίζα και ας την αντικαταστήσουμε με την ανισότητα:
Προφανώς, μόνο η πρώτη ρίζα ικανοποιεί το DD.