>

Εκθετικές εξισώσεις. Πιο περίπλοκες περιπτώσεις. Επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Βασικά

Κρατικό Πανεπιστήμιο του Μπέλγκοροντ

ΤΜΗΜΑ άλγεβρα, θεωρία αριθμών και γεωμετρία

Θέμα εργασίας: Εκθετικές εξισώσεις ισχύος και ανισώσεις.

Μεταπτυχιακή εργασίαφοιτητής της Φυσικομαθηματικής Σχολής

Επιστημονικός Σύμβουλος:

______________________________

Κριτής: _________________________________

________________________

Μπέλγκοροντ. 2006


Εισαγωγή 3
Θέμα ΕΓΩ. Ανάλυση βιβλιογραφίας για το ερευνητικό θέμα.
Θέμα II. Οι συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους που χρησιμοποιούνται στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.
I.1. Λειτουργία ισχύοςκαι τις ιδιότητες του.
I.2. Εκθετική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.
Θέμα III. Επίλυση εξισώσεων εκθετικής ισχύος, αλγόριθμος και παραδείγματα.
Θέμα IV. Επίλυση εκθετικών ανισώσεων, σχέδιο λύσης και παραδείγματα.
Θέμα V. Εμπειρία στη διεξαγωγή μαθημάτων με μαθητές με θέμα: «Επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων».
V. 1. Εκπαιδευτικό υλικό.
V. 2. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.
Συμπέρασμα. Συμπεράσματα και προσφορές.
Βιβλιογραφία.
Εφαρμογές

Εισαγωγή.

«...η χαρά της θέασης και της κατανόησης...»

Α. Αϊνστάιν.

Σε αυτό το έργο προσπάθησα να μεταφέρω την εμπειρία μου ως καθηγητής μαθηματικών, να μεταφέρω τουλάχιστον σε κάποιο βαθμό τη στάση μου απέναντι στη διδασκαλία του - μια ανθρώπινη προσπάθεια στην οποία η μαθηματική επιστήμη, η παιδαγωγική, η διδακτική, η ψυχολογία, ακόμη και η φιλοσοφία είναι εκπληκτικά συνυφασμένες.

Είχα την ευκαιρία να δουλέψω με παιδιά και αποφοίτους, με παιδιά στα άκρα της πνευματικής ανάπτυξης: εκείνα που ήταν εγγεγραμμένα σε ψυχίατρο και που ενδιαφέρονταν πραγματικά για τα μαθηματικά

Είχα την ευκαιρία να λύσω πολλά μεθοδολογικά προβλήματα. Θα προσπαθήσω να μιλήσω για αυτά που κατάφερα να λύσω. Αλλά ακόμη πιο αποτυχημένα, και ακόμη και σε αυτά που φαίνεται να έχουν επιλυθεί, προκύπτουν νέα ερωτήματα.

Αλλά ακόμη πιο σημαντικά από την ίδια την εμπειρία είναι οι προβληματισμοί και οι αμφιβολίες του δασκάλου: γιατί είναι ακριβώς έτσι, αυτή η εμπειρία;

Και το καλοκαίρι είναι διαφορετικό τώρα, και η ανάπτυξη της εκπαίδευσης έχει γίνει πιο ενδιαφέρουσα. Το «Κάτω από τους Δία» σήμερα δεν είναι μια αναζήτηση ενός μυθικού βέλτιστου συστήματος διδασκαλίας των «όλων και των πάντων», αλλά του ίδιου του παιδιού. Μετά όμως -αναγκαστικά- ο δάσκαλος.

ΣΕ σχολικό μάθημαάλγεβρα και αρχή ανάλυσης, τάξεις 10 - 11, με περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέτασηανά μάθημα Λύκειοκαι στις εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια υπάρχουν εξισώσεις και ανισώσεις που περιέχουν ένα άγνωστο στη βάση και εκθέτες - αυτές είναι εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Τους δίνεται λίγη προσοχή στο σχολείο. Ωστόσο, η κατοχή της μεθοδολογίας για την επίλυσή τους, μου φαίνεται, είναι πολύ χρήσιμη: αυξάνει τις νοητικές και δημιουργικές ικανότητες των μαθητών και ανοίγονται εντελώς νέοι ορίζοντες μπροστά μας. Κατά την επίλυση προβλημάτων, οι μαθητές αποκτούν τις πρώτες δεξιότητες ερευνητικό έργο, εμπλουτίζεται η μαθηματική τους κουλτούρα, οι ικανότητές τους να λογική σκέψη. Οι μαθητές αναπτύσσουν ιδιότητες προσωπικότητας όπως αποφασιστικότητα, καθορισμός στόχων, ανεξαρτησία, που θα τους φανούν χρήσιμες σε μετέπειτα ζωή. Και επίσης υπάρχει επανάληψη, διεύρυνση και βαθιά αφομοίωση του εκπαιδευτικού υλικού.

Άρχισα να ασχολούμαι με αυτό το θέμα για τη διατριβή μου γράφοντας την εργασία μου. Κατά τη διάρκεια της οποίας μελέτησα και ανέλυσα σε βάθος τη μαθηματική βιβλιογραφία σχετικά με αυτό το θέμα, εντόπισα την καταλληλότερη μέθοδο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.

Βρίσκεται στο γεγονός ότι εκτός από τη γενικά αποδεκτή προσέγγιση κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων (η βάση λαμβάνεται μεγαλύτερη από 0) και κατά την επίλυση των ίδιων ανισώσεων (η βάση λαμβάνεται μεγαλύτερη από 1 ή μεγαλύτερη από 0, αλλά μικρότερη από 1) , θεωρούνται και περιπτώσεις όταν οι βάσεις είναι αρνητικές, ίσες με 0 και 1.

Ανάλυση γραπτών χαρτιά εξετάσεωνμαθητές δείχνει ότι η έλλειψη κάλυψης του θέματος των αρνητική τιμήΤο επιχείρημα της εκθετικής συνάρτησης στα σχολικά εγχειρίδια τους προκαλεί μια σειρά από δυσκολίες και οδηγεί σε λάθη. Και έχουν επίσης προβλήματα στο στάδιο της συστηματοποίησης των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται, όπου, λόγω της μετάβασης σε μια εξίσωση - συνέπεια ή ανισότητα - μια συνέπεια, μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες. Προκειμένου να εξαλειφθούν τα σφάλματα, χρησιμοποιούμε μια δοκιμή που χρησιμοποιεί την αρχική εξίσωση ή ανισότητα και έναν αλγόριθμο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων ή ένα σχέδιο για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων.

Προκειμένου οι μαθητές να περάσουν επιτυχώς τις τελικές και τις εισαγωγικές εξετάσεις, πιστεύω ότι είναι απαραίτητο να δοθεί μεγαλύτερη προσοχή στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων στις τάξεις ή επιπλέον σε μαθήματα επιλογής και συλλόγους.

Ετσι θέμα , μου ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑορίζεται ως εξής: «Εξισώσεις εκθετικής ισχύος και ανισώσεις».

Στόχοι αυτής της εργασίας είναι:

1. Αναλύστε τη βιβλιογραφία για αυτό το θέμα.

2. Δώστε πλήρης ανάλυσηεπίλυση εξισώσεων εκθετικής ισχύος και ανισώσεων.

3. Δώστε επαρκή αριθμό παραδειγμάτων διαφόρων τύπων για αυτό το θέμα.

4. Ελέγξτε στην τάξη, στις τάξεις επιλογής και στις τάξεις συλλόγου πώς θα γίνουν αντιληπτές οι προτεινόμενες μέθοδοι για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων. Δώστε τις κατάλληλες συστάσεις για τη μελέτη αυτού του θέματος.

Θέμα Η έρευνά μας είναι να αναπτύξουμε μια μεθοδολογία για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.

Ο σκοπός και το αντικείμενο της μελέτης απαιτούσαν την επίλυση των παρακάτω προβλημάτων:

1. Μελετήστε τη βιβλιογραφία με θέμα: «Εξισώσεις εκθετικής ισχύος και ανισώσεις».

2. Κατακτήστε τις τεχνικές επίλυσης εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.

3. Επιλέξτε εκπαιδευτικό υλικό και αναπτύξτε ένα σύστημα ασκήσεων διαφορετικά επίπεδαμε θέμα: «Επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων».

Κατά τη διάρκεια της διατριβής, αναλύθηκαν περισσότερες από 20 εργασίες σχετικά με τη χρήση διαφόρων μεθόδων για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων. Από εδώ παίρνουμε.

Σχέδιο διατριβής:

Εισαγωγή.

Κεφάλαιο Ι. Ανάλυση βιβλιογραφίας για το ερευνητικό θέμα.

Κεφάλαιο II. Οι συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους που χρησιμοποιούνται στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.

II.1. Συνάρτηση ισχύος και οι ιδιότητές της.

II.2. Εκθετική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.

Κεφάλαιο III. Επίλυση εξισώσεων εκθετικής ισχύος, αλγόριθμος και παραδείγματα.

Κεφάλαιο IV. Επίλυση εκθετικών ανισώσεων, σχέδιο λύσης και παραδείγματα.

Κεφάλαιο V. Εμπειρία διεξαγωγής μαθημάτων με μαθητές για το θέμα αυτό.

1.Εκπαιδευτικό υλικό.

2.Εργασίες για ανεξάρτητη λύση.

Συμπέρασμα. Συμπεράσματα και προσφορές.

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας.

Το κεφάλαιο Ι αναλύει τη βιβλιογραφία

Πρώτο επίπεδο

Εκθετικές εξισώσεις. Περιεκτικός Οδηγός (2019)

Γειά σου! Σήμερα θα συζητήσουμε μαζί σας πώς να λύσετε εξισώσεις που μπορεί να είναι είτε στοιχειώδεις (και ελπίζω ότι αφού διαβάσετε αυτό το άρθρο, σχεδόν όλες θα είναι έτσι για εσάς), και αυτές που συνήθως δίνονται "για συμπλήρωση". Προφανώς να αποκοιμηθεί επιτέλους. Αλλά θα προσπαθήσω να κάνω ό,τι είναι δυνατόν, ώστε τώρα να μην μπείτε σε μπελάδες όταν αντιμετωπίζετε τέτοιου είδους εξισώσεις. Δεν θα κοπανάω άλλο το θάμνο, θα το ανοίξω αμέσως μικρό μυστικό: σήμερα θα μελετήσουμε εκθετικές εξισώσεις.

Πριν προχωρήσετε στην ανάλυση τρόπων επίλυσής τους, θα σας περιγράψω αμέσως μια σειρά ερωτήσεων (αρκετά μικρές) που θα πρέπει να επαναλάβετε πριν βιαστείτε να επιτεθείτε σε αυτό το θέμα. Λοιπόν, για καλύτερα αποτελέσματα, παρακαλώ επαναλαμβάνω:

  1. Ιδιότητες και
  2. Λύση και εξισώσεις

Αλλεπάλληλος; Φοβερο! Τότε δεν θα σας είναι δύσκολο να παρατηρήσετε ότι η ρίζα της εξίσωσης είναι ένας αριθμός. Καταλαβαίνεις πώς ακριβώς το έκανα; Είναι αλήθεια; Τότε ας συνεχίσουμε. Τώρα απαντήστε στην ερώτησή μου, τι ισούται με την τρίτη δύναμη; Εχεις απολυτο δικιο: . Ποια δύναμη των δύο είναι το οκτώ; Αυτό είναι σωστό - το τρίτο! Επειδή. Λοιπόν, τώρα ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το εξής πρόβλημα: Επιτρέψτε μου να πολλαπλασιάσω τον αριθμό μόνος του μία φορά και να πάρω το αποτέλεσμα. Το ερώτημα είναι πόσες φορές πολλαπλασίασα μόνος μου; Μπορείτε φυσικά να το ελέγξετε απευθείας:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ευθυγραμμίζω)

Τότε μπορείτε να συμπεράνετε ότι πολλαπλασίασα με τον εαυτό μου φορές. Πώς αλλιώς μπορείτε να το ελέγξετε αυτό; Να πώς: απευθείας εξ ορισμού πτυχίου: . Αλλά, πρέπει να παραδεχτείτε, αν ρωτούσα πόσες φορές χρειάζεται να πολλαπλασιαστούν τα δύο από μόνα τους για να πάρω, ας πούμε, θα μου έλεγες: Δεν θα κοροϊδέψω τον εαυτό μου και θα πολλαπλασιάζομαι μόνος του μέχρι να γίνω μπλε στο πρόσωπο. Και θα είχε απόλυτο δίκιο. Γιατί πώς μπορείς γράψτε εν συντομία όλα τα βήματα(και η συντομία είναι η αδερφή του ταλέντου)

όπου - αυτά είναι τα ίδια "φορές", όταν πολλαπλασιάζεις από μόνος του.

Νομίζω ότι γνωρίζετε (και αν δεν ξέρετε, επειγόντως, πολύ επειγόντως επαναλάβετε τους βαθμούς!) ότι τότε το πρόβλημά μου θα γραφτεί στη μορφή:

Πώς μπορείτε να συμπεράνετε εύλογα ότι:

Έτσι, απαρατήρητη, έγραψα τα πιο απλά εκθετική εξίσωση:

Και μάλιστα τον βρήκα ρίζα. Δεν νομίζεις ότι όλα είναι τελείως ασήμαντα; Νομίζω ακριβώς το ίδιο. Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα για εσάς:

Αλλά τι να κάνουμε; Άλλωστε δεν μπορεί να γραφτεί ως δύναμη ενός (λογικού) αριθμού. Ας μην απελπιζόμαστε και ας σημειώσουμε ότι και οι δύο αυτοί αριθμοί εκφράζονται τέλεια μέσω της δύναμης του ίδιου αριθμού. Ποιό απ'όλα; Σωστά: . Στη συνέχεια, η αρχική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή:

Όπου, όπως ήδη καταλάβατε, . Ας μην καθυστερήσουμε άλλο και ας το γράψουμε ορισμός:

Στην περίπτωσή μας: .

Αυτές οι εξισώσεις λύνονται με την αναγωγή τους στη μορφή:

ακολουθούμενη από την επίλυση της εξίσωσης

Στην πραγματικότητα, στο προηγούμενο παράδειγμα κάναμε ακριβώς αυτό: πήραμε τα εξής: Και λύσαμε την απλούστερη εξίσωση.

Δεν φαίνεται τίποτα περίπλοκο, σωστά; Ας εξασκηθούμε πρώτα στα πιο απλά παραδείγματα:

Βλέπουμε πάλι ότι η δεξιά και η αριστερή πλευρά της εξίσωσης πρέπει να αναπαρασταθούν ως δυνάμεις ενός αριθμού. Είναι αλήθεια ότι στα αριστερά αυτό έχει ήδη γίνει, αλλά στα δεξιά υπάρχει ένας αριθμός. Αλλά είναι εντάξει, γιατί η εξίσωσή μου θα μετατραπεί ως εκ θαύματος σε αυτό:

Τι έπρεπε να χρησιμοποιήσω εδώ; Ποιος κανόνας; Κανόνας "πτυχία εντός πτυχίων"που γράφει:

Κι αν:

Πριν απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, ας συμπληρώσουμε τον παρακάτω πίνακα:

Είναι εύκολο για εμάς να παρατηρήσουμε ότι όσο λιγότερο, τόσο μικρότερη αξία, αλλά παρόλα αυτά, όλες αυτές οι τιμές είναι μεγαλύτερες από το μηδέν. ΚΑΙ ΕΤΣΙ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΑ!!! Η ίδια ιδιότητα ισχύει ΓΙΑ ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΒΑΣΗ ΜΕ ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΔΕΙΚΤΗ!! (για οποιαδήποτε και). Τότε τι μπορούμε να συμπεράνουμε για την εξίσωση; Να τι είναι: αυτό δεν έχει ρίζες! Όπως κάθε εξίσωση δεν έχει ρίζες. Τώρα ας εξασκηθούμε και Ας λύσουμε απλά παραδείγματα:

Ας ελέγξουμε:

1. Εδώ δεν θα σας ζητηθεί τίποτα εκτός από γνώση των ιδιοτήτων των πτυχίων (που, παρεμπιπτόντως, σας ζήτησα να επαναλάβετε!) Κατά κανόνα, όλα οδηγούν στη μικρότερη βάση: , . Τότε η αρχική εξίσωση θα είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: Το μόνο που χρειάζομαι είναι να χρησιμοποιήσω τις ιδιότητες των δυνάμεων: Κατά τον πολλαπλασιασμό των αριθμών με τις ίδιες βάσεις, οι δυνάμεις προστίθενται και κατά τη διαίρεση αφαιρούνται.Τότε θα πάρω: Λοιπόν, τώρα με ήσυχη τη συνείδησή μου θα περάσω από την εκθετική εξίσωση στη γραμμική: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(στοίχιση)

2. Στο δεύτερο παράδειγμα, πρέπει να είμαστε πιο προσεκτικοί: το πρόβλημα είναι ότι στην αριστερή πλευρά δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον ίδιο αριθμό ως δύναμη. Σε αυτή την περίπτωση μερικές φορές είναι χρήσιμο αντιπροσωπεύουν τους αριθμούς ως γινόμενο δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις, αλλά τους ίδιους εκθέτες:

Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης θα μοιάζει με: Τι μας έδωσε αυτό; Να τι: Αριθμοί με διαφορετικές βάσεις αλλά τους ίδιους εκθέτες μπορούν να πολλαπλασιαστούν.Σε αυτή την περίπτωση, οι βάσεις πολλαπλασιάζονται, αλλά ο δείκτης δεν αλλάζει:

Στην περίπτωσή μου αυτό θα δώσει:

\αρχή (στοίχιση)
& 4\cdot ((64)^(x))(25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(στοίχιση)

Δεν είναι κακό, σωστά;

3. Δεν μου αρέσει όταν, άσκοπα, έχω δύο όρους στη μία πλευρά της εξίσωσης και κανέναν στην άλλη (μερικές φορές, φυσικά, αυτό δικαιολογείται, αλλά τώρα δεν συμβαίνει αυτό). Θα μετακινήσω τον όρο μείον προς τα δεξιά:

Τώρα, όπως και πριν, θα γράψω τα πάντα με βάση τις δυνάμεις των τριών:

Προσθέτω τις μοίρες στα αριστερά και παίρνω μια ισοδύναμη εξίσωση

Μπορείτε εύκολα να βρείτε τη ρίζα του:

4. Όπως στο παράδειγμα τρία, ο όρος μείον έχει μια θέση στη δεξιά πλευρά!

Στα αριστερά μου, σχεδόν όλα είναι καλά, εκτός από τι; Ναι, με ενοχλεί ο «λάθος βαθμός» των δύο. Αλλά μπορώ εύκολα να το διορθώσω γράφοντας: . Eureka - στα αριστερά όλες οι βάσεις είναι διαφορετικές, αλλά όλες οι μοίρες είναι ίδιες! Ας πολλαπλασιαστούν αμέσως!

Εδώ πάλι όλα είναι ξεκάθαρα: (αν δεν καταλαβαίνετε πώς μαγικάΠήρα την τελευταία ισότητα, κάνε ένα διάλειμμα για ένα λεπτό, πάρε μια ανάσα και διάβασα ξανά τις ιδιότητες του πτυχίου πολύ προσεκτικά. Ποιος είπε ότι μπορείτε να παραλείψετε ένα πτυχίο με αρνητικό σκορ; Λοιπόν, αυτό λέω, κανένας). Τώρα θα πάρω:

\αρχή (στοίχιση)
& ((2)^(4\αριστερά((x) -9 \δεξιά)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(στοίχιση)

Ακολουθούν ορισμένα προβλήματα για να εξασκηθείτε, στα οποία θα δώσω μόνο τις απαντήσεις (αλλά σε «μικτή» μορφή). Λύστε τα, ελέγξτε τα και εσείς και εγώ θα συνεχίσουμε την έρευνά μας!

Ετοιμος; Απαντήσειςσαν αυτά:

  1. οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ

Εντάξει, εντάξει, αστειεύτηκα! Ακολουθούν μερικά σκίτσα λύσεων (μερικά πολύ σύντομα!)

Δεν πιστεύετε ότι δεν είναι τυχαίο ότι το ένα κλάσμα στα αριστερά είναι το άλλο «ανεστραμμένο»; Θα ήταν αμαρτία να μην εκμεταλλευτούμε αυτό:

Αυτός ο κανόνας χρησιμοποιείται πολύ συχνά κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, θυμηθείτε τον καλά!

Τότε η αρχική εξίσωση θα γίνει ως εξής:

Έχοντας αποφασίσει αυτό τετραγωνική εξίσωση, θα πάρετε αυτές τις ρίζες:

2. Μια άλλη λύση: διαίρεση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με την έκφραση στα αριστερά (ή δεξιά). Διαιρέστε με αυτό που βρίσκεται στα δεξιά, τότε παίρνω:

Πού (γιατί;!)

3. Δεν θέλω καν να επαναλαμβάνομαι, όλα έχουν ήδη «μασηθεί» τόσο πολύ.

4. ισοδύναμο με δευτεροβάθμια εξίσωση, ρίζες

5. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο που δίνεται στο πρώτο πρόβλημα, τότε θα λάβετε ότι:

Η εξίσωση έχει μετατραπεί σε μια ασήμαντη ταυτότητα που ισχύει για οποιονδήποτε. Τότε η απάντηση είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Λοιπόν, τώρα έχετε εξασκηθεί στην επίλυση απλές εκθετικές εξισώσεις.Τώρα θέλω να σας δώσω μερικά παραδείγματα ζωής που θα σας βοηθήσουν να καταλάβετε γιατί χρειάζονται καταρχήν. Εδώ θα δώσω δύο παραδείγματα. Το ένα από αυτά είναι αρκετά καθημερινό, αλλά το άλλο είναι πιο πιθανό να έχει επιστημονικό και όχι πρακτικό ενδιαφέρον.

Παράδειγμα 1 (εμπορικό)Αφήστε να έχετε ρούβλια, αλλά θέλετε να τα μετατρέψετε σε ρούβλια. Η τράπεζα σας προσφέρει να πάρετε αυτά τα χρήματα από εσάς με ετήσιο επιτόκιο με μηνιαία κεφαλαιοποίηση τόκων (μηνιαίο δεδουλευμένο). Το ερώτημα είναι πόσους μήνες χρειάζεται να ανοίξετε μια κατάθεση για να φτάσετε στο απαιτούμενο τελικό ποσό; Αρκετά εγκόσμιο έργο, έτσι δεν είναι; Ωστόσο, η επίλυσή του συνδέεται με την κατασκευή της αντίστοιχης εκθετικής εξίσωσης: Έστω - το αρχικό ποσό, - το τελικό ποσό, - επιτόκιοανά περίοδο, - ο αριθμός των περιόδων. Επειτα:

Στην περίπτωσή μας (αν ο συντελεστής είναι ετήσιος, τότε υπολογίζεται ανά μήνα). Γιατί χωρίζεται με; Εάν δεν γνωρίζετε την απάντηση σε αυτήν την ερώτηση, θυμηθείτε το θέμα ""! Τότε παίρνουμε αυτή την εξίσωση:

Αυτή η εκθετική εξίσωση μπορεί να λυθεί μόνο χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή (του εμφάνισηυπαινίσσεται αυτό, και αυτό απαιτεί γνώση λογαρίθμων, με τους οποίους θα εξοικειωθούμε λίγο αργότερα), που θα κάνω: ... Έτσι, για να λάβουμε ένα εκατομμύριο, θα χρειαστεί να κάνουμε μια κατάθεση για ένα μήνα ( όχι πολύ γρήγορα, σωστά;).

Παράδειγμα 2 (μάλλον επιστημονικό).Παρά τη βέβαιη «απομόνωσή» του, σας συνιστώ να τον προσέχετε: «γλιστράει τακτικά στην Ενιαία Κρατική Εξέταση!! (το πρόβλημα λαμβάνεται από την «πραγματική» εκδοχή) Κατά τη διάσπαση ενός ραδιενεργού ισοτόπου, η μάζα του μειώνεται σύμφωνα με το νόμο, όπου (mg) είναι η αρχική μάζα του ισοτόπου, (ελάχ.) είναι ο χρόνος που έχει περάσει από το αρχική στιγμή, (ελάχ.) είναι ο χρόνος ημιζωής. Την αρχική χρονική στιγμή, η μάζα του ισοτόπου είναι mg. Ο χρόνος ημιζωής του είναι ελάχ. Μετά από πόσα λεπτά η μάζα του ισοτόπου θα είναι ίση με mg; Δεν πειράζει: απλώς λαμβάνουμε και αντικαθιστούμε όλα τα δεδομένα στον τύπο που μας προτείνεται:

Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη κατά, «με την ελπίδα» ότι στα αριστερά θα πάρουμε κάτι εύπεπτο:

Λοιπόν, είμαστε πολύ τυχεροί! Είναι στα αριστερά και μετά ας προχωρήσουμε στην ισοδύναμη εξίσωση:

Πού είναι το min.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι εκθετικές εξισώσεις έχουν πολύ πραγματικές εφαρμογές στην πράξη. Τώρα θέλω να σας δείξω έναν άλλο (απλό) τρόπο επίλυσης εκθετικών εξισώσεων, ο οποίος βασίζεται στην αφαίρεση του κοινού παράγοντα από αγκύλες και στη συνέχεια στην ομαδοποίηση των όρων. Μην σας τρομάζουν τα λόγια μου, αυτή τη μέθοδο την έχετε ήδη συναντήσει στην 7η δημοτικού όταν μελετούσατε πολυώνυμα. Για παράδειγμα, εάν έπρεπε να συνυπολογίσετε την έκφραση:

Ας ομαδοποιήσουμε: τον πρώτο και τον τρίτο όρο, καθώς και τον δεύτερο και τον τέταρτο. Είναι σαφές ότι το πρώτο και το τρίτο είναι η διαφορά των τετραγώνων:

και το δεύτερο και το τέταρτο έχουν κοινό παράγοντα 3:

Τότε η αρχική έκφραση είναι ισοδύναμη με αυτό:

Το πού να εξαχθεί ο κοινός παράγοντας δεν είναι πλέον δύσκολο:

Ως εκ τούτου,

Αυτό είναι περίπου αυτό που θα κάνουμε όταν λύνουμε εκθετικές εξισώσεις: ψάξτε για «κοινότητα» μεταξύ των όρων και βγάλτε το από αγκύλες και στη συνέχεια - ό,τι μπορεί, πιστεύω ότι θα είμαστε τυχεροί =)) Για παράδειγμα:

Στα δεξιά απέχει πολύ από το να είναι η ισχύς του επτά (το έλεγξα!) Και στα αριστερά - είναι λίγο καλύτερα, μπορείτε, φυσικά, να "κόψετε" τον παράγοντα α από τον δεύτερο από τον πρώτο όρο και στη συνέχεια να ασχοληθείτε με αυτά που πήρες, αλλά ας είμαστε πιο συνετοί μαζί σου. Δεν θέλω να ασχοληθώ με τα κλάσματα που σχηματίζονται αναπόφευκτα κατά την "επιλογή", οπότε δεν θα έπρεπε να το βγάλω; Τότε δεν θα έχω κλάσματα: όπως λένε, οι λύκοι τρέφονται και τα πρόβατα είναι ασφαλή:

Υπολογίστε την έκφραση σε αγκύλες. Μαγικά, μαγικά, αποδεικνύεται ότι (παραδόξως, αν και τι άλλο να περιμένουμε;).

Στη συνέχεια μειώνουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με αυτόν τον παράγοντα. Παίρνουμε: , από.

Εδώ είναι ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα (αρκετά, πραγματικά):

Τι πρόβλημα! Δεν έχουμε ένα κοινό σημείο εδώ! Δεν είναι απολύτως σαφές τι να κάνουμε τώρα. Ας κάνουμε ό,τι μπορούμε: πρώτα, μετακινήστε τα «τέσσερα» στη μία πλευρά και τα «πέντε» στην άλλη:

Τώρα ας βγάλουμε το "στρατηγό" αριστερά και δεξιά:

Και τώρα τι; Ποιο είναι το όφελος μιας τέτοιας ανόητης ομάδας; Με την πρώτη ματιά δεν φαίνεται καθόλου, αλλά ας το δούμε πιο βαθιά:

Λοιπόν, τώρα θα βεβαιωθούμε ότι στα αριστερά έχουμε μόνο την έκφραση c και στα δεξιά - όλα τα άλλα. Πώς το κάνουμε αυτό; Να πώς: Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης πρώτα με (έτσι απαλλαγούμε από τον εκθέτη στα δεξιά) και μετά διαιρέστε και τις δύο πλευρές με (άρα απαλλαγούμε από τον αριθμητικό παράγοντα στα αριστερά). Τελικά παίρνουμε:

Απίστευτος! Στα αριστερά έχουμε μια έκφραση, και στα δεξιά έχουμε μια απλή έκφραση. Τότε αμέσως συμπεραίνουμε ότι

Ακολουθεί ένα άλλο παράδειγμα προς ενίσχυση:

Θα δώσω τη σύντομη λύση του (χωρίς να ταλαιπωρούμαι πολύ με εξηγήσεις), προσπαθήστε να κατανοήσετε μόνοι σας όλες τις «λεπτότητες» της λύσης.

Τώρα για την τελική ενοποίηση του υλικού που καλύπτεται. Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παρακάτω προβλήματα. Θα δώσω απλώς σύντομες συστάσεις και συμβουλές για την επίλυσή τους:

  1. Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: Πού:
  2. Ας παρουσιάσουμε την πρώτη έκφραση με τη μορφή: , διαιρέστε και τις δύο πλευρές και λάβετε αυτήν
  3. , τότε η αρχική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή: Λοιπόν, τώρα μια υπόδειξη - ψάξτε πού έχουμε ήδη λύσει εσείς και εγώ αυτήν την εξίσωση!
  4. Φανταστείτε πώς, πώς, αχ, καλά, μετά διαιρέστε και τις δύο πλευρές κατά, ώστε να έχετε την απλούστερη εκθετική εξίσωση.
  5. Βγάλτε το από τις αγκύλες.
  6. Βγάλτε το από τις αγκύλες.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Υποθέτω ότι μετά την ανάγνωση του πρώτου άρθρου, το οποίο μίλησε για τι είναι οι εκθετικές εξισώσεις και πώς να τις λύσουμε, έχετε κατακτήσει τις απαραίτητες ελάχιστες γνώσεις που είναι απαραίτητες για την επίλυση των απλούστερων παραδειγμάτων.

Τώρα θα εξετάσω μια άλλη μέθοδο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, αυτή είναι

«μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής» (ή αντικατάστασης).Επιλύει τα πιο «δύσκολα» προβλήματα στο θέμα των εκθετικών εξισώσεων (και όχι μόνο των εξισώσεων). Αυτή η μέθοδος είναι μια από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες στην πράξη. Αρχικά, σας συνιστώ να εξοικειωθείτε με το θέμα.

Όπως καταλάβατε ήδη από το όνομα, η ουσία αυτής της μεθόδου είναι να εισαγάγετε μια τέτοια αλλαγή μεταβλητής που η εκθετική σας εξίσωση θα μετατραπεί ως εκ θαύματος σε μια που μπορείτε να λύσετε εύκολα. Το μόνο που απομένει για εσάς μετά την επίλυση αυτής της πολύ «απλοποιημένης εξίσωσης» είναι να κάνετε μια «αντίστροφη αντικατάσταση»: δηλαδή να επιστρέψετε από το αντικατασταθέν στο αντικατασταθέν. Ας δείξουμε αυτό που μόλις είπαμε με ένα πολύ απλό παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Αυτή η εξίσωση λύνεται χρησιμοποιώντας μια «απλή αντικατάσταση», όπως την αποκαλούν απαξιωτικά οι μαθηματικοί. Στην πραγματικότητα, η αντικατάσταση εδώ είναι η πιο προφανής. Αρκεί να το δει κανείς

Τότε η αρχική εξίσωση θα μετατραπεί σε αυτό:

Εάν επιπλέον φανταστούμε πώς, τότε είναι απολύτως σαφές τι πρέπει να αντικατασταθεί: φυσικά, . Ποια γίνεται τότε η αρχική εξίσωση; Να τι:

Μπορείτε εύκολα να βρείτε τις ρίζες του μόνοι σας: . Τι πρέπει να κάνουμε τώρα; Ήρθε η ώρα να επιστρέψετε στην αρχική μεταβλητή. Τι ξέχασα να αναφέρω; Δηλαδή: κατά την αντικατάσταση ενός ορισμένου βαθμού με μια νέα μεταβλητή (δηλαδή κατά την αντικατάσταση ενός τύπου), θα με ενδιαφέρει μόνο θετικές ρίζες!Εσείς οι ίδιοι μπορείτε εύκολα να απαντήσετε γιατί. Έτσι, εσείς και εγώ δεν ενδιαφέρεστε, αλλά η δεύτερη ρίζα είναι αρκετά κατάλληλη για εμάς:

Τότε από πού.

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, στο προηγούμενο παράδειγμα, ένας αντικαταστάτης ζητούσε απλώς τα χέρια μας. Δυστυχώς, αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, ας μην πάμε κατευθείαν στα θλιβερά πράγματα, αλλά ας εξασκηθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα με μια αρκετά απλή αντικατάσταση

Παράδειγμα 2.

Είναι σαφές ότι πιθανότατα θα πρέπει να κάνουμε μια αντικατάσταση (αυτή είναι η μικρότερη από τις δυνάμεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωσή μας), αλλά πριν εισάγουμε μια αντικατάσταση, η εξίσωσή μας πρέπει να "προετοιμαστεί" γι 'αυτό, δηλαδή: , . Στη συνέχεια, μπορείτε να αντικαταστήσετε, ως αποτέλεσμα λαμβάνω την ακόλουθη έκφραση:

Ω φρίκη: μια κυβική εξίσωση με απολύτως τρομερούς τύπους για την επίλυσή της (καλά, μιλώντας σε γενική εικόνα). Αλλά ας μην απελπιζόμαστε αμέσως, αλλά ας σκεφτούμε τι πρέπει να κάνουμε. Θα προτείνω την εξαπάτηση: ξέρουμε ότι για να λάβουμε μια «όμορφη» απάντηση, πρέπει να την πάρουμε με τη μορφή κάποιας δύναμης τριών (γιατί θα ήταν έτσι, ε;). Ας προσπαθήσουμε να μαντέψουμε τουλάχιστον μια ρίζα της εξίσωσής μας (θα αρχίσω να μαντεύω με δυνάμεις τριών).

Πρώτη εικασία. Όχι ρίζα. Αλίμονο και αχ...

.
Η αριστερή πλευρά είναι ίση.
Δεξί μέρος: !
Τρώω! Μαντέψαμε την πρώτη ρίζα. Τώρα τα πράγματα θα γίνουν πιο εύκολα!

Γνωρίζετε για το σχέδιο διαίρεσης "γωνιακό"; Φυσικά και ναι, το χρησιμοποιείς όταν διαιρείς έναν αριθμό με τον άλλο. Λίγοι όμως γνωρίζουν ότι το ίδιο μπορεί να γίνει και με τα πολυώνυμα. Υπάρχει ένα υπέροχο θεώρημα:

Εφαρμόζοντας την κατάστασή μου, αυτό μου λέει ότι διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με. Πώς γίνεται η διαίρεση; Ετσι:

Κοιτάζω με ποιο μονώνυμο πρέπει να πολλαπλασιάσω για να πάρω καθαρά, τότε:

Αφαιρώ την έκφραση που προκύπτει και παίρνω:

Τώρα, με τι πρέπει να πολλαπλασιάσω για να πάρω; Είναι σαφές ότι στις, τότε θα πάρω:

και πάλι αφαιρέστε την παράσταση που προκύπτει από την υπόλοιπη:

Λοιπόν, το τελευταίο βήμα είναι να πολλαπλασιάσουμε με και να αφαιρέσουμε από την υπόλοιπη παράσταση:

Ούρα, ο διχασμός τελείωσε! Τι έχουμε συσσωρεύσει ιδιωτικά; Από μόνο του: .

Τότε πήραμε την ακόλουθη επέκταση του αρχικού πολυωνύμου:

Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση:

Έχει ρίζες:

Τότε η αρχική εξίσωση:

έχει τρεις ρίζες:

Θα απορρίψουμε φυσικά την τελευταία ρίζα, αφού είναι μικρότερη από το μηδέν. Και τα δύο πρώτα μετά την αντίστροφη αντικατάσταση θα μας δώσουν δύο ρίζες:

Απάντηση:..

Με αυτό το παράδειγμα, δεν ήθελα καθόλου να σας τρομάξω, αλλά ο στόχος μου ήταν να δείξω ότι αν και είχαμε μια αρκετά απλή αντικατάσταση, εντούτοις οδήγησε σε μια αρκετά περίπλοκη εξίσωση, η λύση της οποίας απαιτούσε κάποιες ειδικές δεξιότητες από εμάς. Λοιπόν, κανείς δεν είναι απρόσβλητος από αυτό. Αλλά η αντικατάσταση μέσα σε αυτήν την περίπτωσηήταν αρκετά προφανές.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα με μια ελαφρώς λιγότερο προφανή αντικατάσταση:

Δεν είναι καθόλου σαφές τι πρέπει να κάνουμε: το πρόβλημα είναι ότι στην εξίσωσή μας υπάρχουν δύο διαφορετικές βάσεις και η μία βάση δεν μπορεί να ληφθεί από την άλλη ανεβάζοντάς την σε οποιαδήποτε (λογική, φυσικά) δύναμη. Ωστόσο, τι βλέπουμε; Και οι δύο βάσεις διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο και το γινόμενο τους είναι η διαφορά των τετραγώνων ίση με ένα:

Ορισμός:

Έτσι, οι αριθμοί που είναι οι βάσεις στο παράδειγμά μας είναι συζυγείς.

Σε αυτή την περίπτωση, το έξυπνο βήμα θα ήταν πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συζευγμένο αριθμό.

Για παράδειγμα, on, τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης θα γίνει ίση με και η δεξιά. Αν κάνουμε μια αντικατάσταση, τότε η αρχική μας εξίσωση θα γίνει ως εξής:

τις ρίζες του, λοιπόν, και το θυμόμαστε αυτό, το καταλαβαίνουμε.

Απάντηση: , .

Κατά κανόνα, η μέθοδος αντικατάστασης είναι επαρκής για την επίλυση των περισσότερων εκθετικών εξισώσεων "σχολικής". Οι ακόλουθες εργασίες λαμβάνονται από την Ενιαία Κρατική Εξέταση C1 ( αυξημένο επίπεδοδυσκολίες). Είστε ήδη αρκετά μορφωμένοι για να λύσετε μόνοι σας αυτά τα παραδείγματα. Θα δώσω μόνο την απαιτούμενη αντικατάσταση.

  1. Λύστε την εξίσωση:
  2. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:
  3. Λύστε την εξίσωση: . Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα:

Και τώρα μερικές σύντομες εξηγήσεις και απαντήσεις:

  1. Εδώ αρκεί να σημειώσουμε ότι... Τότε η αρχική εξίσωση θα είναι ισοδύναμη με αυτό: Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί αντικαθιστώντας την επιλογή Κάντε τους περαιτέρω υπολογισμούς μόνοι σας. Στο τέλος, η εργασία σας θα περιοριστεί στην επίλυση απλών τριγωνομετρικών προβλημάτων (ανάλογα με το ημίτονο ή το συνημίτονο). Θα εξετάσουμε λύσεις σε παρόμοια παραδείγματα σε άλλες ενότητες.
  2. Εδώ μπορείτε να κάνετε ακόμη και χωρίς αντικατάσταση: απλώς μετακινήστε το υπόστρωμα προς τα δεξιά και αντιπροσωπεύστε και τις δύο βάσεις με δυνάμεις δύο: και μετά πηγαίνετε κατευθείαν στην τετραγωνική εξίσωση.
  3. Η τρίτη εξίσωση λύνεται επίσης αρκετά τυπικά: ας φανταστούμε πώς. Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας, παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση: τότε,

    Ξέρετε ήδη τι είναι ο λογάριθμος, σωστά; Οχι; Τότε διάβασε το θέμα επειγόντως!

    Η πρώτη ρίζα προφανώς δεν ανήκει στο τμήμα, αλλά η δεύτερη είναι ασαφής! Θα το μάθουμε όμως πολύ σύντομα! Αφού, λοιπόν (αυτή είναι ιδιότητα του λογάριθμου!) Ας συγκρίνουμε:

    Αφαιρούμε και από τις δύο πλευρές και παίρνουμε:

    Η αριστερή πλευρά μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

    πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με:

    μπορεί να πολλαπλασιαστεί με, τότε

    Στη συνέχεια συγκρίνετε:

    από τότε:

    Τότε η δεύτερη ρίζα ανήκει στο απαιτούμενο διάστημα

    Απάντηση:

Οπως βλέπεις, Η επιλογή των ριζών των εκθετικών εξισώσεων απαιτεί μια αρκετά βαθιά γνώση των ιδιοτήτων των λογαρίθμων, γι' αυτό σας συμβουλεύω να είστε όσο το δυνατόν πιο προσεκτικοί όταν λύνετε εκθετικές εξισώσεις. Όπως καταλαβαίνετε, στα μαθηματικά όλα είναι αλληλένδετα! Όπως είπε η δασκάλα μου στα μαθηματικά: «τα μαθηματικά, όπως και η ιστορία, δεν μπορούν να διαβαστούν από τη μια μέρα στην άλλη».

Κατά κανόνα, όλα Η δυσκολία στην επίλυση προβλημάτων Γ1 είναι ακριβώς η επιλογή των ριζών της εξίσωσης.Ας εξασκηθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα:

Είναι σαφές ότι η ίδια η εξίσωση λύνεται πολύ απλά. Κάνοντας μια αντικατάσταση, μειώνουμε την αρχική μας εξίσωση στο εξής:

Πρώτα ας δούμε την πρώτη ρίζα. Ας συγκρίνουμε και: από τότε. (ιδιότητα λογαριθμικής συνάρτησης, at). Τότε είναι ξεκάθαρο ότι η πρώτη ρίζα δεν ανήκει στο μεσοδιάστημά μας. Τώρα η δεύτερη ρίζα: . Είναι σαφές ότι (καθώς η συνάρτηση στο αυξάνεται). Μένει να συγκρίνουμε και...

αφού, τότε, ταυτόχρονα. Με αυτόν τον τρόπο μπορώ να "οδηγήσω ένα μανταλάκι" μεταξύ του και. Αυτό το μανταλάκι είναι ένας αριθμός. Η πρώτη έκφραση είναι μικρότερη και η δεύτερη μεγαλύτερη. Τότε η δεύτερη έκφραση είναι μεγαλύτερη από την πρώτη και η ρίζα ανήκει στο διάστημα.

Απάντηση: .

Τέλος, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα εξίσωσης όπου η αντικατάσταση είναι αρκετά μη τυπική:

Ας ξεκινήσουμε αμέσως με το τι μπορεί να γίνει και τι - κατ 'αρχήν, μπορεί να γίνει, αλλά είναι καλύτερα να μην το κάνουμε. Μπορείτε να φανταστείτε τα πάντα μέσα από τις δυνάμεις των τριών, δύο και έξι. Πού οδηγεί; Δεν θα οδηγήσει σε τίποτα: ένα συνονθύλευμα πτυχίων, μερικά από τα οποία θα είναι αρκετά δύσκολο να απαλλαγούμε. Τι χρειάζεται τότε; Ας σημειώσουμε ότι ένα Και τι θα μας δώσει αυτό; Και το γεγονός ότι μπορούμε να μειώσουμε την απόφαση αυτό το παράδειγμαΜια απλή εκθετική εξίσωση αρκεί για να λυθεί! Αρχικά, ας ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας ως εξής:

Τώρα ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει με:

Εύρηκα! Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε, παίρνουμε:

Λοιπόν, τώρα είναι η σειρά σας να λύσετε υποδειγματικά προβλήματα, και θα τα δώσω μόνο σύντομα σχόλιαγια να μην παραστρατήσεις ο σωστός δρόμος! Καλή τύχη!

1. Το πιο δύσκολο! Είναι τόσο δύσκολο να δεις αντικαταστάτη εδώ! Ωστόσο, αυτό το παράδειγμα μπορεί να λυθεί πλήρως χρησιμοποιώντας απαλλάσσω πλήρες τετράγωνο . Για την επίλυσή του αρκεί να σημειώσουμε ότι:

Τότε ορίστε η αντικατάστασή σας:

(Παρακαλώ σημειώστε ότι εδώ κατά την αντικατάστασή μας δεν μπορούμε να απορρίψουμε την αρνητική ρίζα!!! Γιατί νομίζετε;)

Τώρα για να λύσετε το παράδειγμα, πρέπει να λύσετε μόνο δύο εξισώσεις:

Και τα δύο μπορούν να επιλυθούν με μια «τυπική αντικατάσταση» (αλλά το δεύτερο σε ένα παράδειγμα!)

2. Παρατηρήστε το και κάντε μια αντικατάσταση.

3. Αποσυνθέστε τον αριθμό σε συνπρωτικούς παράγοντες και απλοποιήστε την έκφραση που προκύπτει.

4. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με (ή, αν προτιμάτε) και κάντε την αντικατάσταση ή.

5. Παρατηρήστε ότι οι αριθμοί και είναι συζυγείς.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Επιπλέον, ας δούμε έναν άλλο τρόπο - επίλυση εκθετικών εξισώσεων με τη μέθοδο του λογάριθμου. Δεν μπορώ να πω ότι η επίλυση εκθετικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο είναι πολύ δημοφιλής, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις μόνο μπορεί να μας οδηγήσει σε η σωστή απόφασητην εξίσωσή μας. Χρησιμοποιείται ιδιαίτερα συχνά για την επίλυση του λεγόμενου " μικτές εξισώσεις«: δηλαδή εκείνα όπου εμφανίζονται λειτουργίες διαφορετικών τύπων.

Για παράδειγμα, μια εξίσωση της μορφής:

στη γενική περίπτωση, μπορεί να λυθεί μόνο με τη λήψη λογαρίθμων και των δύο πλευρών (για παράδειγμα, στη βάση), στην οποία η αρχική εξίσωση θα μετατραπεί στο εξής:

Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα:

Είναι σαφές ότι σύμφωνα με το ODZ της λογαριθμικής συνάρτησης, μας ενδιαφέρει μόνο. Αυτό όμως προκύπτει όχι μόνο από το ODZ του λογαρίθμου, αλλά για έναν ακόμη λόγο. Νομίζω ότι δεν θα σας είναι δύσκολο να μαντέψετε ποιο είναι.

Ας πάρουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσής μας στη βάση:

Όπως μπορείτε να δείτε, λαμβάνοντας τον λογάριθμο της αρχικής μας εξίσωσης μας οδήγησε γρήγορα στη σωστή (και όμορφη!) απάντηση. Ας εξασκηθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα:

Δεν υπάρχει τίποτα λάθος και εδώ: ας πάρουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσης στη βάση, τότε παίρνουμε:

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση:

Ωστόσο κάτι μας έλειψε! Προσέξατε πού έκανα λάθος; Άλλωστε, λοιπόν:

που δεν ικανοποιεί την απαίτηση (σκέψου από πού προήλθε!)

Απάντηση:

Προσπαθήστε να γράψετε τη λύση των παρακάτω εκθετικών εξισώσεων:

Συγκρίνετε τώρα την απόφασή σας με αυτό:

1. Ας λογαριθμήσουμε και τις δύο πλευρές της βάσης, λαμβάνοντας υπόψη ότι:

(η δεύτερη ρίζα δεν είναι κατάλληλη για εμάς λόγω αντικατάστασης)

2. Λογάριθμος προς τη βάση:

Ας μετατρέψουμε την έκφραση που προκύπτει στην ακόλουθη μορφή:

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΛΟΙ

Εκθετική εξίσωση

Εξίσωση της μορφής:

που ονομάζεται η απλούστερη εκθετική εξίσωση.

Ιδιότητες πτυχίων

Προσεγγίσεις για λύση

  • Αναγωγή στην ίδια βάση
  • Αναγωγή στον ίδιο εκθέτη
  • Αντικατάσταση μεταβλητής
  • Απλοποίηση της έκφρασης και εφαρμογή ενός από τα παραπάνω.

Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε εξισώσεις στην αρχαιότητα, και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Οι εξισώσεις ισχύος ή εκθετικές είναι εξισώσεις στις οποίες οι μεταβλητές είναι σε δυνάμεις και η βάση είναι ένας αριθμός. Για παράδειγμα:

Η επίλυση μιας εκθετικής εξίσωσης καταλήγει σε 2 αρκετά απλά βήματα:

1. Πρέπει να ελέγξετε αν οι βάσεις της εξίσωσης δεξιά και αριστερά είναι ίδιες. Εάν οι λόγοι δεν είναι οι ίδιοι, αναζητούμε επιλογές για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα.

2. Αφού οι βάσεις γίνουν ίδιες, εξισώνουμε τις μοίρες και λύνουμε τη νέα εξίσωση που προκύπτει.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια εκθετική εξίσωση της ακόλουθης μορφής:

Ξεκινήστε τη λύση δεδομένη εξίσωσηκόστος από την ανάλυση της βάσης. Οι βάσεις είναι διαφορετικές - 2 και 4, αλλά για να τις λύσουμε χρειαζόμαστε να είναι ίδιες, επομένως μετασχηματίζουμε το 4 χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Προσθέτουμε στην αρχική εξίσωση:

Ας το βγάλουμε από αγκύλες \

Ας εκφραστούμε \

Επειδή οι βαθμοί είναι ίδιοι, τους απορρίπτουμε:

Απάντηση: \

Πού μπορώ να λύσω μια εκθετική εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν διαδικτυακό λύτη;

Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στην ιστοσελίδα μας https://site. Ένας δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση online οποιαδήποτεπολυπλοκότητα σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.

Αυτό το μάθημα προορίζεται για όσους μόλις αρχίζουν να μαθαίνουν εκθετικές εξισώσεις. Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό και τα απλά παραδείγματα.

Εάν διαβάζετε αυτό το μάθημα, τότε υποπτεύομαι ότι έχετε ήδη τουλάχιστον μια ελάχιστη κατανόηση των απλούστερων εξισώσεων - γραμμικών και τετραγωνικών: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, κ.λπ. Το να μπορείτε να λύσετε τέτοιες κατασκευές είναι απολύτως απαραίτητο για να μην «κολλήσετε» στο θέμα που θα συζητηθεί τώρα.

Λοιπόν, εκθετικές εξισώσεις. Επιτρέψτε μου να σας δώσω μερικά παραδείγματα:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Κάποια από αυτά μπορεί να σας φαίνονται πιο περίπλοκα, ενώ άλλα, αντίθετα, είναι πολύ απλά. Όμως, όλα έχουν ένα σημαντικό κοινό χαρακτηριστικό: η σημειογραφία τους περιέχει την εκθετική συνάρτηση $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Ας εισάγουμε λοιπόν τον ορισμό:

Εκθετική εξίσωση είναι κάθε εξίσωση που περιέχει μια εκθετική συνάρτηση, δηλ. έκφραση της μορφής $((a)^(x))$. Εκτός από την υποδεικνυόμενη συνάρτηση, τέτοιες εξισώσεις μπορούν να περιέχουν οποιεσδήποτε άλλες αλγεβρικές κατασκευές - πολυώνυμα, ρίζες, τριγωνομετρία, λογάριθμους κ.λπ.

Εντάξει τότε. Τακτοποιήσαμε τον ορισμό. Τώρα το ερώτημα είναι: πώς να λύσετε όλα αυτά τα χάλια; Η απάντηση είναι απλή και σύνθετη.

Ας ξεκινήσουμε με τα καλά νέα: από την εμπειρία μου από τη διδασκαλία πολλών μαθητών, μπορώ να πω ότι οι περισσότεροι από αυτούς βρίσκουν τις εκθετικές εξισώσεις πολύ πιο εύκολα από τους ίδιους λογάριθμους, και ακόμη περισσότερο την τριγωνομετρία.

Αλλά υπάρχουν άσχημα νέα: μερικές φορές οι συγγραφείς προβλημάτων για κάθε είδους σχολικά βιβλία και εξετάσεις χτυπιούνται από «έμπνευση» και ο φλεγμονώδης εγκέφαλος τους αρχίζει να παράγει τόσο βάναυσες εξισώσεις που η επίλυσή τους γίνεται προβληματική όχι μόνο για τους μαθητές - ακόμη και για πολλούς δασκάλους κολλήσει σε τέτοια προβλήματα.

Ωστόσο, ας μην μιλάμε για θλιβερά πράγματα. Και ας επιστρέψουμε σε αυτές τις τρεις εξισώσεις που δόθηκαν στην αρχή κιόλας της ιστορίας. Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε καθένα από αυτά.

Πρώτη εξίσωση: $((2)^(x))=4$. Λοιπόν, σε ποια δύναμη χρειάζεστε για να σηκώσετε τον αριθμό 2 για να πάρετε τον αριθμό 4; Μάλλον το δεύτερο; Άλλωστε, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - και πήραμε τη σωστή αριθμητική ισότητα, δηλ. πράγματι $x=2$. Λοιπόν, ευχαριστώ, Cap, αλλά αυτή η εξίσωση ήταν τόσο απλή που ακόμη και η γάτα μου μπορούσε να την λύσει.

Ας δούμε την ακόλουθη εξίσωση:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Αλλά εδώ είναι λίγο πιο περίπλοκο. Πολλοί μαθητές γνωρίζουν ότι $((5)^(2))=25$ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Μερικοί επίσης υποψιάζονται ότι το $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ είναι ουσιαστικά ο ορισμός των αρνητικών δυνάμεων (παρόμοιος με τον τύπο $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Τέλος, λίγοι μόνο εκλεκτοί συνειδητοποιούν ότι αυτά τα γεγονότα μπορούν να συνδυαστούν και να δώσουν το ακόλουθο αποτέλεσμα:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Έτσι, η αρχική μας εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Δεξί βέλος ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Αλλά αυτό είναι ήδη πλήρως επιλύσιμο! Στα αριστερά στην εξίσωση υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση, στα δεξιά στην εξίσωση υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση, δεν υπάρχει τίποτα άλλο πουθενά εκτός από αυτές. Επομένως, μπορούμε να «απορρίψουμε» τις βάσεις και να εξισώσουμε ανόητα τους δείκτες:

Λάβαμε την απλούστερη γραμμική εξίσωση που μπορεί να λύσει κάθε μαθητής σε μερικές μόνο γραμμές. Εντάξει, σε τέσσερις γραμμές:

\[\αρχή(στοίχιση)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(στοίχιση)\]

Εάν δεν καταλαβαίνετε τι συνέβαινε στις τελευταίες τέσσερις γραμμές, φροντίστε να επιστρέψετε στο θέμα " γραμμικές εξισώσεις"και επαναλάβετε το. Επειδή χωρίς σαφή κατανόηση αυτού του θέματος, είναι πολύ νωρίς για εσάς να αναλάβετε εκθετικές εξισώσεις.

\[((9)^(x))=-3\]

Πώς μπορούμε λοιπόν να το λύσουμε αυτό; Πρώτη σκέψη: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, επομένως η αρχική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[((\αριστερά(((3)^(2)) \δεξιά))^(x))=-3\]

Στη συνέχεια θυμόμαστε ότι όταν ανεβάζουμε μια δύναμη σε μια ισχύ, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:

\[((\αριστερά(((3)^(2)) \δεξιά))^(x))=(3)^(2x))\Δεξί βέλος ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Και για μια τέτοια απόφαση θα λάβουμε ένα ειλικρινά άξιο δύο. Διότι, με την ισοτιμία ενός Pokemon, στείλαμε το σύμβολο μείον μπροστά από τα τρία στη δύναμη αυτού του τριών. Αλλά δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό. Και για αυτο. Ρίξτε μια ματιά στις διαφορετικές δυνάμεις των τριών:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(μήτρα)\]

Κατά τη σύνταξη αυτού του tablet, δεν διέστρεψα τίποτα: κοίταξα τις θετικές δυνάμεις και τις αρνητικές, ακόμη και τις κλασματικές... καλά, πού είναι τουλάχιστον ένας αρνητικός αριθμός εδώ; Εφυγε! Και δεν μπορεί να είναι, γιατί η εκθετική συνάρτηση $y=((a)^(x))$, πρώτον, παίρνει πάντα μόνο θετικές τιμές (ανεξάρτητα από το πόσο πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με δύο, θα εξακολουθεί να είναι ένα θετικός αριθμός), και δεύτερον, η βάση μιας τέτοιας συνάρτησης - ο αριθμός $a$ - είναι εξ ορισμού ένας θετικός αριθμός!

Λοιπόν, πώς να λύσουμε τότε την εξίσωση $((9)^(x))=-3$; Αλλά δεν υπάρχει περίπτωση: δεν υπάρχουν ρίζες. Και από αυτή την άποψη, οι εκθετικές εξισώσεις μοιάζουν πολύ με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις - μπορεί επίσης να μην υπάρχουν ρίζες. Αλλά αν στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις ο αριθμός των ριζών καθορίζεται από τη διάκριση (θετική διάκριση - 2 ρίζες, αρνητική - χωρίς ρίζες), τότε στις εκθετικές εξισώσεις όλα εξαρτώνται από το τι βρίσκεται στα δεξιά του πρόσημου ίσου.

Έτσι, ας διατυπώσουμε το βασικό συμπέρασμα: η απλούστερη εκθετική εξίσωση της μορφής $((a)^(x))=b$ έχει ρίζα αν και μόνο αν $b>0$. Γνωρίζοντας αυτό το απλό γεγονός, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε εάν η εξίσωση που σας προτείνεται έχει ρίζες ή όχι. Εκείνοι. Αξίζει να το λύσετε καθόλου ή να γράψετε αμέσως ότι δεν υπάρχουν ρίζες.

Αυτή η γνώση θα μας βοηθήσει πολλές φορές όταν πρέπει να αποφασίσουμε περισσότερα σύνθετες εργασίες. Προς το παρόν, αρκετοί από τους στίχους - ήρθε η ώρα να μελετήσουμε τον βασικό αλγόριθμο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.

Πώς να λύσετε εκθετικές εξισώσεις

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε το πρόβλημα. Είναι απαραίτητο να λυθεί η εκθετική εξίσωση:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Σύμφωνα με τον «αφελή» αλγόριθμο που χρησιμοποιήσαμε νωρίτερα, είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε τον αριθμό $b$ ως δύναμη του αριθμού $a$:

Επιπλέον, εάν αντί για τη μεταβλητή $x$ υπάρχει κάποια έκφραση, θα λάβουμε μια νέα εξίσωση που μπορεί ήδη να λυθεί. Για παράδειγμα:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Δεξί βέλος ((3)^(-x))=((3)^(4))\Δεξί βέλος -x=4\Δεξί βέλος x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Δεξί βέλος ((5)^(2x))=(5)^(3))\Δεξί βέλος 2x=3\Δεξί βέλος x=\frac(3)( 2). \\\end(στοίχιση)\]

Και παραδόξως, αυτό το σχήμα λειτουργεί στο 90% περίπου των περιπτώσεων. Τι γίνεται λοιπόν με το υπόλοιπο 10%; Το υπόλοιπο 10% είναι ελαφρώς «σχιζοφρενικές» εκθετικές εξισώσεις της μορφής:

\[((2)^(x))=3;\τετράγωνο ((5)^(x))=15;\τετράγωνο ((4)^(2x))=11\]

Λοιπόν, σε ποια δύναμη χρειάζεστε για να αυξήσετε το 2 για να πάρετε το 3; Πρώτα; Αλλά όχι: $((2)^(1))=2$ δεν είναι αρκετό. Δεύτερος; Ούτε: $((2)^(2))=4$ είναι πάρα πολύ. Ποιο τότε;

Οι γνώστες μαθητές πιθανότατα έχουν ήδη μαντέψει: σε τέτοιες περιπτώσεις, όταν δεν είναι δυνατό να λυθεί «όμορφα», το «βαρύ πυροβολικό» - οι λογάριθμοι - μπαίνει στο παιχνίδι. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι χρησιμοποιώντας λογάριθμους, οποιοσδήποτε θετικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη οποιουδήποτε άλλου θετικού αριθμού (εκτός από έναν):

Θυμάστε αυτόν τον τύπο; Όταν λέω στους μαθητές μου για τους λογάριθμους, πάντα προειδοποιώ: αυτός ο τύπος (είναι επίσης η κύρια λογαριθμική ταυτότητα ή, αν θέλετε, ο ορισμός ενός λογαρίθμου) θα σας στοιχειώνει για πολύ καιρό και θα "αναδύεται" περισσότερο απροσδόκητα μέρη. Λοιπόν, αυτή βγήκε στην επιφάνεια. Ας δούμε την εξίσωσή μας και αυτόν τον τύπο:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Αν υποθέσουμε ότι ο $a=3$ είναι ο αρχικός μας αριθμός στα δεξιά και το $b=2$ είναι η ίδια η βάση της εκθετικής συνάρτησης στην οποία θέλουμε να μειώσουμε τη δεξιά πλευρά, παίρνουμε το εξής:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Δεξί βέλος ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\Δεξί βέλος x=( (\log )_(2))3. \\\end(στοίχιση)\]

Λάβαμε μια ελαφρώς περίεργη απάντηση: $x=((\log )_(2))3$. Σε κάποια άλλη εργασία, πολλοί θα είχαν αμφιβολίες με μια τέτοια απάντηση και θα άρχιζαν να ελέγχουν ξανά τη λύση τους: τι θα γινόταν αν είχε εισχωρήσει κάπου ένα σφάλμα; Σπεύδω να σας ευχαριστήσω: δεν υπάρχει λάθος εδώ και οι λογάριθμοι στις ρίζες των εκθετικών εξισώσεων είναι μια εντελώς τυπική κατάσταση. Συνηθίστε το λοιπόν. :)

Τώρα ας λύσουμε τις υπόλοιπες δύο εξισώσεις κατ' αναλογία:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Δεξί βέλος ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Δεξί βέλος x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Δεξί βέλος ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Δεξί βέλος 2x=( (\log )_(4))11\Δεξί βέλος x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Παρεμπιπτόντως, η τελευταία απάντηση μπορεί να γραφτεί διαφορετικά:

Εισάγαμε έναν παράγοντα στο όρισμα του λογαρίθμου. Αλλά κανείς δεν μας εμποδίζει να προσθέσουμε αυτόν τον παράγοντα στη βάση:

Επιπλέον, και οι τρεις επιλογές είναι σωστές - είναι απλό διαφορετικά σχήματααρχεία του ίδιου αριθμού. Ποιο να επιλέξετε και να σημειώσετε σε αυτήν τη λύση εξαρτάται από εσάς να αποφασίσετε.

Έτσι, μάθαμε να λύνουμε τυχόν εκθετικές εξισώσεις της μορφής $((a)^(x))=b$, όπου οι αριθμοί $a$ και $b$ είναι αυστηρά θετικοί. Ωστόσο, η σκληρή πραγματικότητα του κόσμου μας είναι αυτή απλές εργασίεςθα συναντηθείτε πολύ, πολύ σπάνια. Τις περισσότερες φορές θα συναντήσετε κάτι σαν αυτό:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(στοίχιση)\]

Πώς μπορούμε λοιπόν να το λύσουμε αυτό; Μπορεί να λυθεί καθόλου αυτό; Και αν ναι, πώς;

Μην πανικοβάλλεστε. Όλες αυτές οι εξισώσεις μπορούν γρήγορα και εύκολα να αναχθούν σε απλοί τύποιπου έχουμε ήδη εξετάσει. Απλά πρέπει να θυμάστε μερικά κόλπα από το μάθημα της άλγεβρας. Και φυσικά, δεν υπάρχουν κανόνες για την εργασία με πτυχία. Θα σου πω για όλα αυτά τώρα :)

Μετατροπή Εκθετικών Εξισώσεων

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να θυμάστε: οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση, ανεξάρτητα από το πόσο περίπλοκη μπορεί να είναι, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο πρέπει να περιοριστεί στις απλούστερες εξισώσεις - σε αυτές που έχουμε ήδη εξετάσει και τις οποίες ξέρουμε πώς να λύσουμε. Με άλλα λόγια, το σχήμα για την επίλυση οποιασδήποτε εκθετικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

  1. Καταγράψτε την αρχική εξίσωση. Για παράδειγμα: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
  2. Κάνε κάτι περίεργα. Ή ακόμα και κάποια χάλια που ονομάζεται "μετατροπή εξίσωσης"?
  3. Στην έξοδο, λάβετε τις απλούστερες εκφράσεις της μορφής $((4)^(x))=4$ ή κάτι άλλο παρόμοιο. Επιπλέον, μια αρχική εξίσωση μπορεί να δώσει πολλές τέτοιες εκφράσεις ταυτόχρονα.

Όλα είναι ξεκάθαρα με το πρώτο σημείο - ακόμη και η γάτα μου μπορεί να γράψει την εξίσωση σε ένα κομμάτι χαρτί. Το τρίτο σημείο φαίνεται επίσης να είναι λίγο-πολύ σαφές - έχουμε ήδη λύσει μια ολόκληρη δέσμη τέτοιων εξισώσεων παραπάνω.

Τι γίνεται όμως με το δεύτερο σημείο; Τι είδους μεταμορφώσεις; Μετατρέψτε τι σε τι; Και πως;

Λοιπόν, ας το καταλάβουμε. Καταρχήν θα ήθελα να σημειώσω το εξής. Όλες οι εκθετικές εξισώσεις χωρίζονται σε δύο τύπους:

  1. Η εξίσωση αποτελείται από εκθετικές συναρτήσεις με την ίδια βάση. Παράδειγμα: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
  2. Ο τύπος περιέχει εκθετικές συναρτήσειςμε διαφορετικούς λόγους. Παραδείγματα: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ και $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Ας ξεκινήσουμε με εξισώσεις του πρώτου τύπου - είναι οι πιο εύκολο να λυθούν. Και στην επίλυσή τους, θα μας βοηθήσει μια τέτοια τεχνική όπως η επισήμανση σταθερών εκφράσεων.

Απομόνωση μιας σταθερής έκφρασης

Ας δούμε ξανά αυτήν την εξίσωση:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Τι βλέπουμε; Οι τέσσερις ανυψώνονται σε διαφορετικούς βαθμούς. Αλλά όλα αυτά τα πτυχία - απλά ποσάμεταβλητή $x$ με άλλους αριθμούς. Επομένως, είναι απαραίτητο να θυμάστε τους κανόνες για την εργασία με πτυχία:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a )^(y))). \\\end(στοίχιση)\]

Με απλά λόγια, η πρόσθεση μπορεί να μετατραπεί σε γινόμενο δυνάμεων και η αφαίρεση μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε διαίρεση. Ας προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε αυτούς τους τύπους στους βαθμούς από την εξίσωσή μας:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(στοίχιση)\]

Ας ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός και στη συνέχεια συλλέξουμε όλους τους όρους στα αριστερά:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -έντεκα; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(στοίχιση)\]

Οι πρώτοι τέσσερις όροι περιέχουν το στοιχείο $((4)^(x))$ - ας το βγάλουμε από την αγκύλη:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(στοίχιση)\]

Απομένει να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το κλάσμα $-\frac(11)(4)$, δηλ. ουσιαστικά πολλαπλασιάζουμε με το ανεστραμμένο κλάσμα - $-\frac(4)(11)$. Παίρνουμε:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Μειώσαμε την αρχική εξίσωση στην απλούστερη μορφή της και λάβαμε την τελική απάντηση.

Ταυτόχρονα, στη διαδικασία επίλυσης ανακαλύψαμε (και μάλιστα τον βγάλαμε από την αγκύλη) τον κοινό παράγοντα $((4)^(x))$ - αυτή είναι μια σταθερή έκφραση. Μπορεί να οριστεί ως νέα μεταβλητή ή μπορείτε απλά να την εκφράσετε προσεκτικά και να λάβετε την απάντηση. Σε κάθε περίπτωση, η βασική αρχή της λύσης είναι η εξής:

Βρείτε στην αρχική εξίσωση μια σταθερή έκφραση που περιέχει μια μεταβλητή που διακρίνεται εύκολα από όλες τις εκθετικές συναρτήσεις.

Τα καλά νέα είναι ότι σχεδόν κάθε εκθετική εξίσωση σας επιτρέπει να απομονώσετε μια τόσο σταθερή έκφραση.

Αλλά τα κακά νέα είναι ότι αυτές οι εκφράσεις μπορεί να είναι αρκετά δύσκολες και μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο να εντοπιστούν. Ας δούμε λοιπόν ένα ακόμη πρόβλημα:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Ίσως κάποιος έχει τώρα μια ερώτηση: «Πάσα, σε λιθοβολούν; Υπάρχουν διαφορετικές βάσεις εδώ - 5 και 0,2." Αλλά ας προσπαθήσουμε να μετατρέψουμε την ισχύ στη βάση 0,2. Για παράδειγμα, ας απαλλαγούμε από το δεκαδικό κλάσμα μειώνοντάς το σε κανονικό:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)) )\]

Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός 5 εξακολουθεί να εμφανίζεται, αν και στον παρονομαστή. Ταυτόχρονα, ο δείκτης ξαναγράφηκε ως αρνητικός. Και τώρα ας θυμηθούμε ένα από αυτά τους πιο σημαντικούς κανόνεςεργασία με πτυχία:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Εδώ βέβαια έλεγα λίγο ψέματα. Επειδή για πλήρη κατανόηση, ο τύπος για την απαλλαγή από αρνητικούς δείκτες έπρεπε να γραφτεί ως εξής:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(5)(1) \ δεξιά))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Από την άλλη πλευρά, τίποτα δεν μας εμπόδισε να δουλέψουμε μόνο με κλάσματα:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((5)^(\αριστερά(-1 \δεξιά)\cdot \αριστερά(-\αριστερά(x+1 \δεξιά) \δεξιά) ))=((5)^(x+1))\]

Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να μπορείτε να αυξήσετε μια ισχύ σε άλλη ισχύ (να σας υπενθυμίσω: σε αυτήν την περίπτωση, οι δείκτες αθροίζονται μαζί). Αλλά δεν χρειάστηκε να «αντιστρέψει» τα κλάσματα - ίσως αυτό θα είναι πιο εύκολο για κάποιους.

Σε κάθε περίπτωση, η αρχική εκθετική εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(στοίχιση)\]

Έτσι, αποδεικνύεται ότι η αρχική εξίσωση μπορεί να λυθεί ακόμα πιο απλά από αυτή που εξετάστηκε προηγουμένως: εδώ δεν χρειάζεται καν να επιλέξετε μια σταθερή έκφραση - όλα έχουν μειωθεί από μόνα τους. Μένει μόνο να θυμόμαστε ότι $1=((5)^(0))$, από το οποίο παίρνουμε:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η λύση! Πήραμε την τελική απάντηση: $x=-2$. Ταυτόχρονα, θα ήθελα να σημειώσω μια τεχνική που απλοποίησε σημαντικά όλους τους υπολογισμούς για εμάς:

Στις εκθετικές εξισώσεις, φροντίστε να απαλλαγείτε από δεκαδικά, μετατρέψτε τα σε κανονικά. Αυτό θα σας επιτρέψει να δείτε τις ίδιες βάσεις μοιρών και να απλοποιήσετε πολύ τη λύση.

Ας προχωρήσουμε τώρα σε πιο σύνθετες εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν διαφορετικές βάσεις που δεν μπορούν να αναχθούν μεταξύ τους χρησιμοποιώντας καθόλου δυνάμεις.

Χρήση της ιδιότητας πτυχίων

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι έχουμε δύο πιο σκληρές εξισώσεις:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(στοίχιση)\]

Η κύρια δυσκολία εδώ είναι ότι δεν είναι ξεκάθαρο τι να δώσει και σε ποια βάση. Πού είναι οι σταθερές εκφράσεις; Πού είναι οι ίδιοι λόγοι; Δεν υπάρχει τίποτα από αυτά.

Αλλά ας προσπαθήσουμε να πάμε με διαφορετικό τρόπο. Αν δεν υπάρχουν έτοιμοι πανομοιότυπους λόγους, μπορείτε να προσπαθήσετε να τα βρείτε συνυπολογίζοντας τις υπάρχουσες βάσεις.

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη εξίσωση:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Δεξί βέλος ((21)^(3x))=((\αριστερά(7\cdot 3 \δεξιά))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(στοίχιση)\]

Αλλά μπορείτε να κάνετε το αντίθετο - κάντε τον αριθμό 21 από τους αριθμούς 7 και 3. Αυτό είναι ιδιαίτερα εύκολο να το κάνετε στα αριστερά, καθώς οι δείκτες και των δύο βαθμών είναι οι ίδιοι:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Βγάλατε τον εκθέτη έξω από το γινόμενο και πήρατε αμέσως μια όμορφη εξίσωση που μπορεί να λυθεί σε μερικές γραμμές.

Τώρα ας δούμε τη δεύτερη εξίσωση. Όλα είναι πολύ πιο περίπλοκα εδώ:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Σε αυτή την περίπτωση, τα κλάσματα αποδείχθηκαν μη αναγώγιμα, αλλά αν κάτι μπορούσε να μειωθεί, φροντίστε να το μειώσετε. Συχνά, εμφανίζονται ενδιαφέροντες λόγοι με τους οποίους μπορείτε ήδη να εργαστείτε.

Δυστυχώς δεν εμφανίστηκε κάτι ιδιαίτερο για εμάς. Αλλά βλέπουμε ότι οι εκθέτες στα αριστερά στο γινόμενο είναι αντίθετοι:

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: για να απαλλαγείτε από το σύμβολο μείον στον δείκτη, πρέπει απλώς να "αναποδογυρίσετε" το κλάσμα. Λοιπόν, ας ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(στοίχιση)\]

Στη δεύτερη γραμμή, απλώς αφαιρέσαμε τον συνολικό εκθέτη από το γινόμενο από την αγκύλη σύμφωνα με τον κανόνα $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, και στο τελευταίο απλώς πολλαπλασίασαν τον αριθμό 100 με ένα κλάσμα.

Τώρα σημειώστε ότι οι αριθμοί στα αριστερά (στη βάση) και στα δεξιά είναι κάπως παρόμοιοι. Πως; Ναι, είναι προφανές: είναι ισάριθμες δυνάμεις! Εχουμε:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \δεξιά))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\αριστερά(\frac(3)(10) \δεξιά))^(2)). \\\end(στοίχιση)\]

Έτσι, η εξίσωσή μας θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\δεξιά))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \δεξιά))^(3\αριστερά(x-1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(10)(3) \δεξιά))^(3x-3))\]

Σε αυτήν την περίπτωση, στα δεξιά μπορείτε επίσης να πάρετε ένα πτυχίο με την ίδια βάση, για το οποίο αρκεί απλώς να "αναποδογυρίσετε" το κλάσμα:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Η εξίσωσή μας θα πάρει τελικά τη μορφή:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η λύση. Η κύρια ιδέα του συνοψίζεται στο γεγονός ότι ακόμη και με διαφορετικές βάσεις προσπαθούμε, με γάντζο ή με στραβό, να μειώσουμε αυτές τις βάσεις στο ίδιο πράγμα. Σε αυτό μας βοηθούν οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί των εξισώσεων και οι κανόνες για την εργασία με δυνάμεις.

Αλλά ποιους κανόνες και πότε να χρησιμοποιήσετε; Πώς καταλαβαίνετε ότι σε μια εξίσωση πρέπει να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές με κάτι και σε μια άλλη πρέπει να συνυπολογίσετε τη βάση της εκθετικής συνάρτησης;

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα έρθει με την εμπειρία. Δοκιμάστε τις δυνάμεις σας στην αρχή απλές εξισώσεις, και στη συνέχεια περιπλέκετε σταδιακά τις εργασίες - και πολύ σύντομα οι δεξιότητές σας θα είναι αρκετές για να λύσετε οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση από την ίδια εξέταση Unified State ή οποιαδήποτε ανεξάρτητη/τεστική εργασία.

Και για να σας βοηθήσω σε αυτό το δύσκολο έργο, προτείνω να κατεβάσετε ένα σύνολο εξισώσεων από τον ιστότοπό μου για να το λύσετε μόνοι σας. Όλες οι εξισώσεις έχουν απαντήσεις, ώστε να μπορείτε πάντα να δοκιμάζετε τον εαυτό σας.

Επί αυτό το μάθημαΘα εξετάσουμε την επίλυση πιο περίπλοκων εκθετικών εξισώσεων και θα υπενθυμίσουμε τις βασικές θεωρητικές αρχές σχετικά με την εκθετική συνάρτηση.

1. Ορισμός και ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης, μέθοδοι επίλυσης των απλούστερων εκθετικών εξισώσεων

Ας θυμηθούμε τον ορισμό και τις βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης. Η λύση όλων των εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων βασίζεται σε αυτές τις ιδιότητες.

Εκθετικη συναρτησηείναι συνάρτηση της μορφής , όπου η βάση είναι ο βαθμός και εδώ x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, όρισμα. y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή, συνάρτηση.

Ρύζι. 1. Γράφημα εκθετικής συνάρτησης

Το γράφημα δείχνει αυξανόμενους και φθίνοντες εκθέτες, απεικονίζοντας την εκθετική συνάρτηση με βάση μεγαλύτερη από μία και μικρότερη από μία αλλά μεγαλύτερη από μηδέν, αντίστοιχα.

Και οι δύο καμπύλες περνούν από το σημείο (0;1)

Ιδιότητες της Εκθετικής Συνάρτησης:

Τομέα: ;

Εύρος τιμών: ;

Η συνάρτηση είναι μονότονη, αυξάνεται με, μειώνεται με.

Μια μονότονη συνάρτηση παίρνει καθεμία από τις τιμές της δίνοντας μια μόνο τιμή ορίσματος.

Όταν το όρισμα αυξάνεται από μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση αυξάνεται από το μηδέν συμπεριλαμβανομένου στο συν άπειρο. Αντίθετα, όταν το όρισμα αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση μειώνεται από το άπειρο στο μηδέν, όχι περιληπτικά.

2. Επίλυση τυπικών εκθετικών εξισώσεων

Ας σας υπενθυμίσουμε πώς να λύσετε τις απλούστερες εκθετικές εξισώσεις. Η επίλυσή τους βασίζεται στη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης. Σχεδόν όλες οι μιγαδικές εκθετικές εξισώσεις μπορούν να αναχθούν σε τέτοιες εξισώσεις.

Η ισότητα των εκθετών με ίσες βάσεις οφείλεται στην ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης, δηλαδή στη μονοτονία της.

Μέθοδος λύσης:

Εξισώστε τις βάσεις των μοιρών.

Εξισώστε τους εκθέτες.

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση πιο σύνθετων εκθετικών εξισώσεων.

Ας απαλλαγούμε από τη ρίζα στην αριστερή πλευρά και φέρνουμε τις μοίρες στην ίδια βάση:

Προκειμένου να μειωθεί μια σύνθετη εκθετική εξίσωση στην απλούστερή της, χρησιμοποιείται συχνά η αντικατάσταση μεταβλητών.

Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα power:

Παρουσιάζουμε έναν αντικαταστάτη. Ας είναι τότε. Με μια τέτοια αντικατάσταση, είναι προφανές ότι το y παίρνει αυστηρά θετικές τιμές. Παίρνουμε:

Ας πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση που προκύπτει επί δύο και ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά:

Η πρώτη ρίζα δεν ικανοποιεί το εύρος των τιμών y, οπότε την απορρίπτουμε. Παίρνουμε:

Ας μειώσουμε τους βαθμούς στον ίδιο δείκτη:

Ας παρουσιάσουμε μια αντικατάσταση:

Ας είναι τότε . Με μια τέτοια αντικατάσταση, είναι προφανές ότι το y παίρνει αυστηρά θετικές τιμές. Παίρνουμε:

Ξέρουμε πώς να λύσουμε τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις, μπορούμε να γράψουμε την απάντηση:

Για να βεβαιωθείτε ότι οι ρίζες βρίσκονται σωστά, μπορείτε να ελέγξετε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, δηλαδή να βρείτε το άθροισμα των ριζών και το γινόμενο τους και να τα συγκρίνετε με τους αντίστοιχους συντελεστές της εξίσωσης.

Παίρνουμε:

3. Μεθοδολογία επίλυσης ομογενών εκθετικών εξισώσεων δευτέρου βαθμού

Ας μελετήσουμε τα παρακάτω σημαντικός τύποςεκθετικές εξισώσεις:

Οι εξισώσεις αυτού του τύπου ονομάζονται ομοιογενείς του δεύτερου βαθμού ως προς τις συναρτήσεις f και g. Στην αριστερή πλευρά υπάρχει τετραγωνικό τριώνυμοσε σχέση με f με παράμετρο g ή τετραγωνικό τριώνυμο σε σχέση με g με παράμετρο f.

Μέθοδος λύσης:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί ως δευτεροβάθμια εξίσωση, αλλά είναι πιο εύκολο να γίνει διαφορετικά. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις που πρέπει να εξεταστούν:

Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε

Στη δεύτερη περίπτωση, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε με τον υψηλότερο βαθμό και να πάρουμε:

Είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε μια αλλαγή μεταβλητών, λαμβάνουμε μια τετραγωνική εξίσωση για το y:

Ας σημειώσουμε ότι οι συναρτήσεις f και g μπορεί να είναι οποιεσδήποτε, αλλά μας ενδιαφέρει η περίπτωση που πρόκειται για εκθετικές συναρτήσεις.

4. Παραδείγματα επίλυσης ομοιογενών εξισώσεων

Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:

Εφόσον οι εκθετικές συναρτήσεις αποκτούν αυστηρά θετικές τιμές, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε αμέσως την εξίσωση με , χωρίς να λάβουμε υπόψη την περίπτωση που:

Παίρνουμε:

Ας παρουσιάσουμε μια αντικατάσταση: (σύμφωνα με τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης)

Έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση:

Καθορίζουμε τις ρίζες χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Η πρώτη ρίζα δεν ικανοποιεί το εύρος τιμών του y, την απορρίπτουμε, παίρνουμε:

Ας χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των μοιρών και ας μειώσουμε όλους τους βαθμούς σε απλές βάσεις:

Είναι εύκολο να παρατηρήσετε τις συναρτήσεις f και g:

Εφόσον οι εκθετικές συναρτήσεις αποκτούν αυστηρά θετικές τιμές, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε αμέσως την εξίσωση με , χωρίς να λάβουμε υπόψη την περίπτωση που .