Κρατικό Πανεπιστήμιο του Μπέλγκοροντ

ΤΜΗΜΑ άλγεβρα, θεωρία αριθμών και γεωμετρία

Θέμα εργασίας: Εκθετικές εξισώσεις ισχύος και ανισώσεις.

Μεταπτυχιακή εργασίαφοιτητής της Φυσικομαθηματικής Σχολής

Επιστημονικός Σύμβουλος:

______________________________

Κριτής: _________________________________

________________________

Μπέλγκοροντ. 2006

Εισαγωγή			3
Θέμα ΕΓΩ.	Ανάλυση βιβλιογραφίας για το ερευνητικό θέμα.
Θέμα II.	Οι συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους που χρησιμοποιούνται στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.
	I.1.	Λειτουργία ισχύοςκαι τις ιδιότητες του.
	I.2.	Εκθετική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.
Θέμα III.	Επίλυση εξισώσεων εκθετικής ισχύος, αλγόριθμος και παραδείγματα.
Θέμα IV.	Επίλυση εκθετικών ανισώσεων, σχέδιο λύσης και παραδείγματα.
Θέμα V.	Εμπειρία στη διεξαγωγή μαθημάτων με μαθητές με θέμα: «Επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων».
V. 1.	Εκπαιδευτικό υλικό.
V. 2.	Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.
Συμπέρασμα.	Συμπεράσματα και προσφορές.
Βιβλιογραφία.
Εφαρμογές

Εισαγωγή.

«...η χαρά της θέασης και της κατανόησης...»

Α. Αϊνστάιν.

Σε αυτό το έργο προσπάθησα να μεταφέρω την εμπειρία μου ως καθηγητής μαθηματικών, να μεταφέρω τουλάχιστον σε κάποιο βαθμό τη στάση μου απέναντι στη διδασκαλία του - μια ανθρώπινη προσπάθεια στην οποία η μαθηματική επιστήμη, η παιδαγωγική, η διδακτική, η ψυχολογία, ακόμη και η φιλοσοφία είναι εκπληκτικά συνυφασμένες.

Είχα την ευκαιρία να δουλέψω με παιδιά και αποφοίτους, με παιδιά στα άκρα της πνευματικής ανάπτυξης: εκείνα που ήταν εγγεγραμμένα σε ψυχίατρο και που ενδιαφέρονταν πραγματικά για τα μαθηματικά

Είχα την ευκαιρία να λύσω πολλά μεθοδολογικά προβλήματα. Θα προσπαθήσω να μιλήσω για αυτά που κατάφερα να λύσω. Αλλά ακόμη πιο αποτυχημένα, και ακόμη και σε αυτά που φαίνεται να έχουν επιλυθεί, προκύπτουν νέα ερωτήματα.

Αλλά ακόμη πιο σημαντικά από την ίδια την εμπειρία είναι οι προβληματισμοί και οι αμφιβολίες του δασκάλου: γιατί είναι ακριβώς έτσι, αυτή η εμπειρία;

Και το καλοκαίρι είναι διαφορετικό τώρα, και η ανάπτυξη της εκπαίδευσης έχει γίνει πιο ενδιαφέρουσα. Το «Κάτω από τους Δία» σήμερα δεν είναι μια αναζήτηση ενός μυθικού βέλτιστου συστήματος διδασκαλίας των «όλων και των πάντων», αλλά του ίδιου του παιδιού. Μετά όμως -αναγκαστικά- ο δάσκαλος.

ΣΕ σχολικό μάθημαάλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμοί 10 - 11, κατά την επιτυχία της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης για το μάθημα Λύκειοκαι στις εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια υπάρχουν εξισώσεις και ανισώσεις που περιέχουν ένα άγνωστο στη βάση και εκθέτες - αυτές είναι εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Τους δίνεται λίγη προσοχή στο σχολείο. Ωστόσο, η κατοχή της μεθοδολογίας για την επίλυσή τους, μου φαίνεται, είναι πολύ χρήσιμη: αυξάνει τις νοητικές και δημιουργικές ικανότητες των μαθητών και ανοίγονται εντελώς νέοι ορίζοντες μπροστά μας. Κατά την επίλυση προβλημάτων, οι μαθητές αποκτούν τις πρώτες δεξιότητες ερευνητικό έργο, εμπλουτίζεται η μαθηματική τους κουλτούρα, οι ικανότητές τους να λογική σκέψη. Οι μαθητές αναπτύσσουν ιδιότητες προσωπικότητας όπως αποφασιστικότητα, καθορισμός στόχων, ανεξαρτησία, που θα τους φανούν χρήσιμες μετέπειτα ζωή. Και επίσης υπάρχει επανάληψη, διεύρυνση και βαθιά αφομοίωση του εκπαιδευτικού υλικού.

Άρχισα να εργάζομαι πάνω σε αυτό το θέμα για την έρευνα της διατριβής μου γράφοντας την εργασία μου. Κατά τη διάρκεια της οποίας μελέτησα και ανέλυσα σε βάθος τη μαθηματική βιβλιογραφία σχετικά με αυτό το θέμα, εντόπισα την καταλληλότερη μέθοδο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.

Βρίσκεται στο γεγονός ότι εκτός από τη γενικά αποδεκτή προσέγγιση κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων (η βάση λαμβάνεται μεγαλύτερη από 0) και κατά την επίλυση των ίδιων ανισώσεων (η βάση λαμβάνεται μεγαλύτερη από 1 ή μεγαλύτερη από 0, αλλά μικρότερη από 1) , θεωρούνται και περιπτώσεις όταν οι βάσεις είναι αρνητικές, ίσες με 0 και 1.

Ανάλυση γραπτών τα χαρτιά των εξετάσεωνμαθητές δείχνει ότι η έλλειψη κάλυψης του θέματος των αρνητική τιμήΤο επιχείρημα της εκθετικής συνάρτησης στα σχολικά εγχειρίδια τους προκαλεί μια σειρά από δυσκολίες και οδηγεί σε λάθη. Και έχουν επίσης προβλήματα στο στάδιο της συστηματοποίησης των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται, όπου, λόγω της μετάβασης σε μια εξίσωση - συνέπεια ή ανισότητα - μια συνέπεια, μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες. Προκειμένου να εξαλειφθούν τα σφάλματα, χρησιμοποιούμε μια δοκιμή που χρησιμοποιεί την αρχική εξίσωση ή ανισότητα και έναν αλγόριθμο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων ή ένα σχέδιο για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων.

Προκειμένου οι μαθητές να περάσουν επιτυχώς τις τελικές και τις εισαγωγικές εξετάσεις, πιστεύω ότι είναι απαραίτητο να δοθεί μεγαλύτερη προσοχή στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων στις τάξεις ή επιπλέον σε μαθήματα επιλογής και συλλόγους.

Ετσι θέμα , μου ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑορίζεται ως εξής: «Εξισώσεις εκθετικής ισχύος και ανισώσεις».

Στόχοι αυτής της εργασίας είναι:

1. Αναλύστε τη βιβλιογραφία για αυτό το θέμα.

2. Δώστε πλήρης ανάλυσηεπίλυση εξισώσεων εκθετικής ισχύος και ανισώσεων.

3. Δώστε επαρκή αριθμό παραδειγμάτων διαφόρων τύπων για αυτό το θέμα.

4. Ελέγξτε στην τάξη, στις τάξεις επιλογής και στις τάξεις συλλόγου πώς θα γίνουν αντιληπτές οι προτεινόμενες μέθοδοι για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων. Δώστε τις κατάλληλες συστάσεις για τη μελέτη αυτού του θέματος.

Θέμα Η έρευνά μας είναι να αναπτύξουμε μια μεθοδολογία για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.

Ο σκοπός και το αντικείμενο της μελέτης απαιτούσαν την επίλυση των παρακάτω προβλημάτων:

1. Μελετήστε τη βιβλιογραφία με θέμα: «Εξισώσεις εκθετικής ισχύος και ανισώσεις».

2. Κατακτήστε τις τεχνικές επίλυσης εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.

3. Επιλέξτε εκπαιδευτικό υλικό και αναπτύξτε ένα σύστημα ασκήσεων διαφορετικά επίπεδαμε θέμα: «Επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων».

Κατά τη διάρκεια της διατριβής αναλύθηκαν περισσότερες από 20 εργασίες σχετικά με τη χρήση διαφόρων μεθόδων για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων. Από εδώ παίρνουμε.

Σχέδιο διατριβής:

Εισαγωγή.

Κεφάλαιο Ι. Ανάλυση βιβλιογραφίας για το ερευνητικό θέμα.

Κεφάλαιο II. Οι συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους που χρησιμοποιούνται στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.

II.1. Συνάρτηση ισχύος και οι ιδιότητές της.

II.2. Εκθετική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.

Κεφάλαιο III. Επίλυση εξισώσεων εκθετικής ισχύος, αλγόριθμος και παραδείγματα.

Κεφάλαιο IV. Επίλυση εκθετικών ανισώσεων, σχέδιο λύσης και παραδείγματα.

Κεφάλαιο V. Εμπειρία διεξαγωγής μαθημάτων με μαθητές για το θέμα αυτό.

1.Εκπαιδευτικό υλικό.

2.Εργασίες για ανεξάρτητη λύση.

Συμπέρασμα. Συμπεράσματα και προσφορές.

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας.

Το κεφάλαιο Ι αναλύει τη βιβλιογραφία

Πρώτο επίπεδο

Εκθετικές εξισώσεις. Περιεκτικός Οδηγός (2019)

Γειά σου! Σήμερα θα συζητήσουμε μαζί σας πώς να λύσετε εξισώσεις που μπορεί να είναι είτε στοιχειώδεις (και ελπίζω ότι αφού διαβάσετε αυτό το άρθρο, σχεδόν όλες θα είναι έτσι για εσάς), και αυτές που συνήθως δίνονται "για συμπλήρωση". Προφανώς να αποκοιμηθεί επιτέλους. Αλλά θα προσπαθήσω να κάνω ό,τι είναι δυνατόν, ώστε τώρα να μην μπείτε σε μπελάδες όταν αντιμετωπίζετε τέτοιου είδους εξισώσεις. Δεν θα κοπανάω άλλο το θάμνο, θα το ανοίξω αμέσως μικρό μυστικό: σήμερα θα μελετήσουμε εκθετικές εξισώσεις.

Πριν προχωρήσετε στην ανάλυση τρόπων επίλυσής τους, θα σας περιγράψω αμέσως μια σειρά ερωτήσεων (αρκετά μικρές) που θα πρέπει να επαναλάβετε πριν βιαστείτε να επιτεθείτε σε αυτό το θέμα. Λοιπόν, για καλύτερα αποτελέσματα, παρακαλώ επαναλαμβάνω:

1. Ιδιότητες και
2. Λύση και εξισώσεις

Αλλεπάλληλος; Φοβερο! Τότε δεν θα σας είναι δύσκολο να παρατηρήσετε ότι η ρίζα της εξίσωσης είναι ένας αριθμός. Καταλαβαίνεις πώς ακριβώς το έκανα; Είναι αλήθεια; Τότε ας συνεχίσουμε. Τώρα απαντήστε στην ερώτησή μου, τι ισούται με την τρίτη δύναμη; Εχεις απολυτο δικιο: . Ποια δύναμη των δύο είναι το οκτώ; Αυτό είναι σωστό - το τρίτο! Επειδή. Λοιπόν, τώρα ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το εξής πρόβλημα: Επιτρέψτε μου να πολλαπλασιάσω τον αριθμό μόνος του μία φορά και να πάρω το αποτέλεσμα. Το ερώτημα είναι πόσες φορές πολλαπλασίασα μόνος μου; Μπορείτε φυσικά να το ελέγξετε απευθείας:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ευθυγραμμίζω)

Τότε μπορείτε να συμπεράνετε ότι πολλαπλασίασα με τον εαυτό μου φορές. Πώς αλλιώς μπορείτε να το ελέγξετε αυτό; Να πώς: απευθείας εξ ορισμού πτυχίου: . Αλλά, πρέπει να παραδεχτείτε, αν ρωτούσα πόσες φορές χρειάζεται να πολλαπλασιαστούν τα δύο από μόνα τους για να πάρω, ας πούμε, θα μου έλεγες: Δεν θα κοροϊδέψω τον εαυτό μου και θα πολλαπλασιάζομαι μόνος του μέχρι να γίνω μπλε στο πρόσωπο. Και θα είχε απόλυτο δίκιο. Γιατί πώς μπορείς καταγράψτε εν συντομία όλα τα βήματα(και η συντομία είναι η αδερφή του ταλέντου)

όπου - αυτά είναι τα ίδια "φορές", όταν πολλαπλασιάζεις από μόνος του.

Νομίζω ότι γνωρίζετε (και αν δεν ξέρετε, επειγόντως, πολύ επειγόντως επαναλάβετε τα πτυχία!) ότι τότε το πρόβλημά μου θα γραφτεί στη μορφή:

Πώς μπορείτε να συμπεράνετε εύλογα ότι:

Έτσι, απαρατήρητη, έγραψα τα πιο απλά εκθετική εξίσωση:

Και μάλιστα τον βρήκα ρίζα. Δεν νομίζεις ότι όλα είναι εντελώς ασήμαντα; Νομίζω ακριβώς το ίδιο. Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα για εσάς:

Αλλά τι να κάνουμε; Άλλωστε δεν μπορεί να γραφτεί ως δύναμη ενός (λογικού) αριθμού. Ας μην απελπιζόμαστε και ας σημειώσουμε ότι και οι δύο αυτοί αριθμοί εκφράζονται τέλεια μέσω της δύναμης του ίδιου αριθμού. Ποιό απ'όλα; Σωστά: . Στη συνέχεια, η αρχική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή:

Όπου, όπως ήδη καταλάβατε, . Ας μην καθυστερήσουμε άλλο και ας το γράψουμε ορισμός:

Στην περίπτωσή μας: .

Αυτές οι εξισώσεις λύνονται με την αναγωγή τους στη μορφή:

ακολουθούμενη από την επίλυση της εξίσωσης

Στην πραγματικότητα, στο προηγούμενο παράδειγμα κάναμε ακριβώς αυτό: πήραμε τα εξής: Και λύσαμε την απλούστερη εξίσωση.

Δεν φαίνεται τίποτα περίπλοκο, σωστά; Ας εξασκηθούμε πρώτα στα πιο απλά παραδείγματα:

Βλέπουμε πάλι ότι η δεξιά και η αριστερή πλευρά της εξίσωσης πρέπει να αναπαρασταθούν ως δυνάμεις ενός αριθμού. Είναι αλήθεια ότι στα αριστερά αυτό έχει ήδη γίνει, αλλά στα δεξιά υπάρχει ένας αριθμός. Αλλά είναι εντάξει, γιατί η εξίσωσή μου θα μετατραπεί ως εκ θαύματος σε αυτό:

Τι έπρεπε να χρησιμοποιήσω εδώ; Ποιος κανόνας; Κανόνας "πτυχία εντός πτυχίων"που γράφει:

Κι αν:

Πριν απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, ας συμπληρώσουμε τον παρακάτω πίνακα:

Είναι εύκολο για εμάς να παρατηρήσουμε ότι όσο λιγότερο, τόσο μικρότερη αξία, αλλά παρόλα αυτά, όλες αυτές οι τιμές είναι μεγαλύτερες από το μηδέν. ΚΑΙ ΕΤΣΙ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΑ!!! Η ίδια ιδιότητα ισχύει ΓΙΑ ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΒΑΣΗ ΜΕ ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΔΕΙΚΤΗ!! (για οποιαδήποτε και). Τότε τι μπορούμε να συμπεράνουμε για την εξίσωση; Να τι είναι: αυτό δεν έχει ρίζες! Όπως κάθε εξίσωση δεν έχει ρίζες. Τώρα ας εξασκηθούμε και Ας λύσουμε απλά παραδείγματα:

Ας ελέγξουμε:

1. Εδώ δεν θα σας ζητηθεί τίποτα εκτός από γνώση των ιδιοτήτων των πτυχίων (που, παρεμπιπτόντως, σας ζήτησα να επαναλάβετε!) Κατά κανόνα, όλα οδηγούν στη μικρότερη βάση: , . Τότε η αρχική εξίσωση θα είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: Το μόνο που χρειάζομαι είναι να χρησιμοποιήσω τις ιδιότητες των δυνάμεων: Κατά τον πολλαπλασιασμό των αριθμών με τις ίδιες βάσεις, οι δυνάμεις προστίθενται και κατά τη διαίρεση αφαιρούνται.Τότε θα πάρω: Λοιπόν, τώρα με ήσυχη τη συνείδησή μου θα περάσω από την εκθετική εξίσωση στη γραμμική: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(στοίχιση)

2. Στο δεύτερο παράδειγμα, πρέπει να είμαστε πιο προσεκτικοί: το πρόβλημα είναι ότι στην αριστερή πλευρά δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον ίδιο αριθμό ως δύναμη. Σε αυτή την περίπτωση μερικές φορές είναι χρήσιμο αντιπροσωπεύουν τους αριθμούς ως γινόμενο δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις, αλλά τους ίδιους εκθέτες:

Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης θα μοιάζει με: Τι μας έδωσε αυτό; Να τι: Αριθμοί με διαφορετικές βάσεις αλλά τους ίδιους εκθέτες μπορούν να πολλαπλασιαστούν.Σε αυτή την περίπτωση, οι βάσεις πολλαπλασιάζονται, αλλά ο δείκτης δεν αλλάζει:

Στην περίπτωσή μου αυτό θα δώσει:

\αρχή (στοίχιση)
& 4\cdot ((64)^(x))(25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(στοίχιση)

Δεν είναι κακό, σωστά;

3. Δεν μου αρέσει όταν, άσκοπα, έχω δύο όρους στη μία πλευρά της εξίσωσης και κανέναν στην άλλη (μερικές φορές, φυσικά, αυτό δικαιολογείται, αλλά τώρα δεν συμβαίνει αυτό). Θα μετακινήσω τον όρο μείον προς τα δεξιά:

Τώρα, όπως και πριν, θα γράψω τα πάντα με βάση τις δυνάμεις των τριών:

Προσθέτω τις μοίρες στα αριστερά και παίρνω μια ισοδύναμη εξίσωση

Μπορείτε εύκολα να βρείτε τη ρίζα του:

4. Όπως στο παράδειγμα τρία, ο όρος μείον έχει μια θέση στη δεξιά πλευρά!

Στα αριστερά μου, σχεδόν όλα είναι καλά, εκτός από τι; Ναι, με ενοχλεί ο «λάθος βαθμός» των δύο. Αλλά μπορώ εύκολα να το διορθώσω γράφοντας: . Eureka - στα αριστερά όλες οι βάσεις είναι διαφορετικές, αλλά όλες οι μοίρες είναι ίδιες! Ας πολλαπλασιαστούν αμέσως!

Εδώ πάλι όλα είναι ξεκάθαρα: (αν δεν καταλαβαίνετε πώς μαγικάΠήρα την τελευταία ισότητα, κάνε ένα διάλειμμα για ένα λεπτό, πάρε μια ανάσα και διάβασα ξανά τις ιδιότητες του πτυχίου πολύ προσεκτικά. Ποιος είπε ότι μπορείτε να παραλείψετε ένα πτυχίο με αρνητικό σκορ; Λοιπόν, αυτό λέω, κανένας). Τώρα θα πάρω:

\αρχή (στοίχιση)
& ((2)^(4\αριστερά((x) -9 \δεξιά)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(στοίχιση)

Εδώ είναι μερικά προβλήματα για να εξασκηθείτε, στα οποία θα δώσω μόνο τις απαντήσεις (αλλά σε «μικτή» μορφή). Λύστε τα, ελέγξτε τα και εσείς και εγώ θα συνεχίσουμε την έρευνά μας!

Ετοιμος; Απαντήσειςσαν αυτά:

1. οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ

Εντάξει, εντάξει, αστειεύτηκα! Ακολουθούν μερικά σκίτσα λύσεων (μερικά πολύ σύντομα!)

Δεν νομίζετε ότι δεν είναι τυχαίο ότι το ένα κλάσμα στα αριστερά είναι το άλλο "αντεστραμμένο"; Θα ήταν αμαρτία να μην εκμεταλλευτείτε αυτό:

Αυτός ο κανόνας χρησιμοποιείται πολύ συχνά κατά την επίλυση εκθετικές εξισώσεις, να το θυμάσαι καλά!

Τότε η αρχική εξίσωση θα γίνει ως εξής:

Έχοντας αποφασίσει αυτό τετραγωνική εξίσωση, θα πάρετε αυτές τις ρίζες:

2. Μια άλλη λύση: διαίρεση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με την έκφραση στα αριστερά (ή δεξιά). Διαιρέστε με αυτό που βρίσκεται στα δεξιά, τότε παίρνω:

Πού (γιατί;!)

3. Δεν θέλω καν να επαναλάβω τον εαυτό μου, όλα έχουν ήδη «μασηθεί» τόσο πολύ.

4. ισοδύναμο με δευτεροβάθμια εξίσωση, ρίζες

5. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο που δίνεται στο πρώτο πρόβλημα, τότε θα λάβετε ότι:

Η εξίσωση έχει μετατραπεί σε μια ασήμαντη ταυτότητα που ισχύει για οποιονδήποτε. Τότε η απάντηση είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Λοιπόν, τώρα έχετε εξασκηθεί στην επίλυση απλές εκθετικές εξισώσεις.Τώρα θέλω να σας δώσω μερικά παραδείγματα από την πραγματική ζωή που θα σας βοηθήσουν να καταλάβετε γιατί χρειάζονται καταρχήν. Εδώ θα δώσω δύο παραδείγματα. Το ένα από αυτά είναι αρκετά καθημερινό, αλλά το άλλο είναι πιο πιθανό να έχει επιστημονικό και όχι πρακτικό ενδιαφέρον.

Παράδειγμα 1 (εμπορικό)Αφήστε να έχετε ρούβλια, αλλά θέλετε να τα μετατρέψετε σε ρούβλια. Η τράπεζα σας προσφέρει να πάρετε αυτά τα χρήματα από εσάς με ετήσιο επιτόκιο με μηνιαία κεφαλαιοποίηση τόκων (μηνιαίο δεδουλευμένο). Το ερώτημα είναι πόσους μήνες χρειάζεται να ανοίξετε μια κατάθεση για να φτάσετε στο απαιτούμενο τελικό ποσό; Αρκετά εγκόσμιο έργο, έτσι δεν είναι; Ωστόσο, η επίλυσή του συνδέεται με την κατασκευή της αντίστοιχης εκθετικής εξίσωσης: Έστω - το αρχικό ποσό, - το τελικό ποσό, - επιτόκιοανά περίοδο, - ο αριθμός των περιόδων. Επειτα:

Στην περίπτωσή μας (αν ο συντελεστής είναι ετήσιος, τότε υπολογίζεται ανά μήνα). Γιατί χωρίζεται με; Εάν δεν γνωρίζετε την απάντηση σε αυτήν την ερώτηση, θυμηθείτε το θέμα ""! Τότε παίρνουμε αυτή την εξίσωση:

Αυτή η εκθετική εξίσωση μπορεί να λυθεί μόνο χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή (του εμφάνισηυπαινίσσεται αυτό, και αυτό απαιτεί γνώση λογαρίθμων, με τους οποίους θα εξοικειωθούμε λίγο αργότερα), που θα κάνω: ... Έτσι, για να λάβουμε ένα εκατομμύριο, θα χρειαστεί να κάνουμε μια κατάθεση για ένα μήνα ( όχι πολύ γρήγορα, σωστά;).

Παράδειγμα 2 (μάλλον επιστημονικό).Παρά τη βέβαιη «απομόνωσή» του, σας συνιστώ να τον προσέχετε: «γλιστράει τακτικά στην Ενιαία Κρατική Εξέταση!! (το πρόβλημα λαμβάνεται από την «πραγματική» εκδοχή) Κατά τη διάσπαση ενός ραδιενεργού ισοτόπου, η μάζα του μειώνεται σύμφωνα με το νόμο, όπου (mg) είναι η αρχική μάζα του ισοτόπου, (ελάχ.) είναι ο χρόνος που έχει περάσει από το αρχική στιγμή, (ελάχ.) είναι ο χρόνος ημιζωής. Την αρχική χρονική στιγμή, η μάζα του ισοτόπου είναι mg. Ο χρόνος ημιζωής του είναι ελάχ. Μετά από πόσα λεπτά η μάζα του ισοτόπου θα είναι ίση με mg; Δεν πειράζει: απλώς λαμβάνουμε και αντικαθιστούμε όλα τα δεδομένα στον τύπο που μας προτείνεται:

Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη κατά, «με την ελπίδα» ότι στα αριστερά θα πάρουμε κάτι εύπεπτο:

Λοιπόν, είμαστε πολύ τυχεροί! Είναι στα αριστερά και μετά ας προχωρήσουμε στην ισοδύναμη εξίσωση:

Πού είναι το min.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι εκθετικές εξισώσεις έχουν πολύ πραγματικές εφαρμογές στην πράξη. Τώρα θέλω να σας δείξω έναν άλλο (απλό) τρόπο επίλυσης εκθετικών εξισώσεων, ο οποίος βασίζεται στην αφαίρεση του κοινού παράγοντα από αγκύλες και στη συνέχεια στην ομαδοποίηση των όρων. Μην σας τρομάζουν τα λόγια μου, αυτή τη μέθοδο την έχετε ήδη συναντήσει στην 7η δημοτικού όταν μελετούσατε πολυώνυμα. Για παράδειγμα, εάν έπρεπε να συνυπολογίσετε την έκφραση:

Ας ομαδοποιήσουμε: τον πρώτο και τον τρίτο όρο, καθώς και τον δεύτερο και τον τέταρτο. Είναι σαφές ότι το πρώτο και το τρίτο είναι η διαφορά των τετραγώνων:

και το δεύτερο και το τέταρτο έχουν κοινό παράγοντα 3:

Τότε η αρχική έκφραση είναι ισοδύναμη με αυτό:

Το πού να εξαχθεί ο κοινός παράγοντας δεν είναι πλέον δύσκολο:

Ως εκ τούτου,

Αυτό είναι περίπου αυτό που θα κάνουμε όταν λύνουμε εκθετικές εξισώσεις: ψάξτε για «κοινότητα» μεταξύ των όρων και βγάλτε το από αγκύλες και στη συνέχεια - ό,τι μπορεί, πιστεύω ότι θα είμαστε τυχεροί =)) Για παράδειγμα:

Στα δεξιά απέχει πολύ από το να είναι η ισχύς του επτά (το έλεγξα!) Και στα αριστερά - είναι λίγο καλύτερα, μπορείτε, φυσικά, να "κόψετε" τον παράγοντα α από τον δεύτερο από τον πρώτο όρο και στη συνέχεια να ασχοληθείτε με αυτά που πήρες, αλλά ας είμαστε πιο συνετοί μαζί σου. Δεν θέλω να ασχοληθώ με τα κλάσματα που σχηματίζονται αναπόφευκτα κατά την "επιλογή", οπότε δεν θα έπρεπε να το βγάλω; Τότε δεν θα έχω κλάσματα: όπως λένε, οι λύκοι τρέφονται και τα πρόβατα είναι ασφαλή:

Υπολογίστε την έκφραση σε αγκύλες. Μαγικά, μαγικά, αποδεικνύεται ότι (παραδόξως, αν και τι άλλο να περιμένουμε;).

Στη συνέχεια μειώνουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με αυτόν τον παράγοντα. Παίρνουμε: , από.

Εδώ είναι ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα (αρκετά, πραγματικά):

Τι πρόβλημα! Δεν έχουμε ένα κοινό σημείο εδώ! Δεν είναι απολύτως σαφές τι να κάνουμε τώρα. Ας κάνουμε ό,τι μπορούμε: πρώτα, μετακινήστε τα «τέσσερα» στη μία πλευρά και τα «πέντε» στην άλλη:

Τώρα ας βγάλουμε το "στρατηγό" αριστερά και δεξιά:

Και τώρα τι; Ποιο είναι το όφελος μιας τέτοιας ανόητης ομάδας; Με την πρώτη ματιά δεν φαίνεται καθόλου, αλλά ας το δούμε πιο βαθιά:

Λοιπόν, τώρα θα βεβαιωθούμε ότι στα αριστερά έχουμε μόνο την έκφραση c και στα δεξιά - όλα τα άλλα. Πώς το κάνουμε αυτό; Να πώς: Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης πρώτα με (έτσι απαλλαγούμε από τον εκθέτη στα δεξιά) και μετά διαιρέστε και τις δύο πλευρές με (άρα απαλλαγούμε από τον αριθμητικό παράγοντα στα αριστερά). Τελικά παίρνουμε:

Απίστευτος! Στα αριστερά έχουμε μια έκφραση, και στα δεξιά έχουμε μια απλή έκφραση. Τότε αμέσως συμπεραίνουμε ότι

Ακολουθεί ένα άλλο παράδειγμα προς ενίσχυση:

Θα δώσω τη σύντομη λύση του (χωρίς να ταλαιπωρούμαι με εξηγήσεις), προσπαθήστε να κατανοήσετε μόνοι σας όλες τις «λεπτότητες» της λύσης.

Τώρα για την τελική ενοποίηση του υλικού που καλύπτεται. Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παρακάτω προβλήματα. Θα δώσω απλώς σύντομες συστάσεις και συμβουλές για την επίλυσή τους:

1. Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: Πού:
2. Ας παρουσιάσουμε την πρώτη έκφραση με τη μορφή: , διαιρέστε και τις δύο πλευρές και λάβετε αυτήν
3. , τότε η αρχική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή: Λοιπόν, τώρα μια υπόδειξη - ψάξτε πού εσείς και εγώ έχουμε ήδη λύσει αυτήν την εξίσωση!
4. Φανταστείτε πώς, πώς, αχ, καλά, μετά διαιρέστε και τις δύο πλευρές κατά, ώστε να έχετε την απλούστερη εκθετική εξίσωση.
5. Βγάλτε το από τις αγκύλες.
6. Βγάλτε το από τις αγκύλες.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Υποθέτω ότι μετά την ανάγνωση του πρώτου άρθρου, το οποίο μίλησε για τι είναι οι εκθετικές εξισώσεις και πώς να τις λύσουμε, έχετε κατακτήσει τις απαραίτητες ελάχιστες γνώσεις που είναι απαραίτητες για την επίλυση των απλούστερων παραδειγμάτων.

Τώρα θα εξετάσω μια άλλη μέθοδο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, αυτή είναι

«μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής» (ή αντικατάστασης).Επιλύει τα πιο «δύσκολα» προβλήματα στο θέμα των εκθετικών εξισώσεων (και όχι μόνο των εξισώσεων). Αυτή η μέθοδος είναι μια από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες στην πράξη. Αρχικά, σας συνιστώ να εξοικειωθείτε με το θέμα.

Όπως καταλάβατε ήδη από το όνομα, η ουσία αυτής της μεθόδου είναι να εισαγάγετε μια τέτοια αλλαγή μεταβλητής που η εκθετική σας εξίσωση θα μετατραπεί ως εκ θαύματος σε μια που μπορείτε να λύσετε εύκολα. Το μόνο που απομένει για εσάς μετά την επίλυση αυτής της πολύ «απλοποιημένης εξίσωσης» είναι να κάνετε μια «αντίστροφη αντικατάσταση»: δηλαδή να επιστρέψετε από το αντικατασταθέν στο αντικατασταθέν. Ας δείξουμε αυτό που μόλις είπαμε με ένα πολύ απλό παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Αυτή η εξίσωση λύνεται χρησιμοποιώντας μια «απλή αντικατάσταση», όπως την αποκαλούν απαξιωτικά οι μαθηματικοί. Στην πραγματικότητα, η αντικατάσταση εδώ είναι η πιο προφανής. Αρκεί να το δει κανείς

Τότε η αρχική εξίσωση θα μετατραπεί σε αυτό:

Εάν επιπλέον φανταστούμε πώς, τότε είναι απολύτως σαφές τι πρέπει να αντικατασταθεί: φυσικά, . Ποια γίνεται τότε η αρχική εξίσωση; Να τι:

Μπορείτε εύκολα να βρείτε τις ρίζες του μόνοι σας: . Τι πρέπει να κάνουμε τώρα; Ήρθε η ώρα να επιστρέψετε στην αρχική μεταβλητή. Τι ξέχασα να αναφέρω; Δηλαδή: κατά την αντικατάσταση ενός ορισμένου βαθμού με μια νέα μεταβλητή (δηλαδή κατά την αντικατάσταση ενός τύπου), θα με ενδιαφέρει μόνο θετικές ρίζες!Εσείς οι ίδιοι μπορείτε εύκολα να απαντήσετε γιατί. Έτσι, εσείς και εγώ δεν ενδιαφέρεστε, αλλά η δεύτερη ρίζα είναι αρκετά κατάλληλη για εμάς:

Τότε από πού.

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, στο προηγούμενο παράδειγμα, ένας αντικαταστάτης ζητούσε απλώς τα χέρια μας. Δυστυχώς, αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, ας μην πάμε κατευθείαν στα θλιβερά πράγματα, αλλά ας εξασκηθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα με μια αρκετά απλή αντικατάσταση

Παράδειγμα 2.

Είναι σαφές ότι πιθανότατα θα πρέπει να κάνουμε μια αντικατάσταση (αυτή είναι η μικρότερη από τις δυνάμεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωσή μας), αλλά πριν εισάγουμε μια αντικατάσταση, η εξίσωσή μας πρέπει να "προετοιμαστεί" γι 'αυτό, δηλαδή: , . Στη συνέχεια, μπορείτε να αντικαταστήσετε, ως αποτέλεσμα λαμβάνω την ακόλουθη έκφραση:

Ω φρίκη: μια κυβική εξίσωση με απολύτως τρομερούς τύπους για την επίλυσή της (καλά, μιλώντας σε γενική εικόνα). Αλλά ας μην απελπιζόμαστε αμέσως, αλλά ας σκεφτούμε τι πρέπει να κάνουμε. Θα προτείνω την εξαπάτηση: ξέρουμε ότι για να λάβουμε μια «όμορφη» απάντηση, πρέπει να την πάρουμε με τη μορφή κάποιας δύναμης τριών (γιατί θα ήταν έτσι, ε;). Ας προσπαθήσουμε να μαντέψουμε τουλάχιστον μια ρίζα της εξίσωσής μας (θα αρχίσω να μαντεύω με δυνάμεις τριών).

Πρώτη εικασία. Όχι ρίζα. Αλίμονο και αχ...

.
Η αριστερή πλευρά είναι ίση.
Δεξί μέρος: !
Τρώω! Μαντέψαμε την πρώτη ρίζα. Τώρα τα πράγματα θα γίνουν πιο εύκολα!

Γνωρίζετε για το σχέδιο διαίρεσης "γωνιακό"; Φυσικά και ναι, το χρησιμοποιείς όταν διαιρείς έναν αριθμό με τον άλλο. Λίγοι όμως γνωρίζουν ότι το ίδιο μπορεί να γίνει και με τα πολυώνυμα. Υπάρχει ένα υπέροχο θεώρημα:

Εφαρμόζοντας την κατάστασή μου, αυτό μου λέει ότι διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με. Πώς γίνεται η διαίρεση; Ετσι:

Κοιτάζω με ποιο μονώνυμο πρέπει να πολλαπλασιάσω για να πάρω καθαρά, τότε:

Αφαιρώ την έκφραση που προκύπτει και παίρνω:

Τώρα, με τι πρέπει να πολλαπλασιάσω για να πάρω; Είναι σαφές ότι στις, τότε θα πάρω:

και πάλι αφαιρέστε την παράσταση που προκύπτει από την υπόλοιπη:

Λοιπόν, το τελευταίο βήμα είναι να πολλαπλασιάσουμε με και να αφαιρέσουμε από την υπόλοιπη παράσταση:

Ούρα, ο διχασμός τελείωσε! Τι έχουμε συγκεντρώσει ιδιωτικά; Από μόνο του: .

Τότε πήραμε την ακόλουθη επέκταση του αρχικού πολυωνύμου:

Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση:

Έχει ρίζες:

Τότε η αρχική εξίσωση:

έχει τρεις ρίζες:

Θα απορρίψουμε φυσικά την τελευταία ρίζα, αφού είναι μικρότερη από το μηδέν. Και τα δύο πρώτα μετά την αντίστροφη αντικατάσταση θα μας δώσουν δύο ρίζες:

Απάντηση:..

Με αυτό το παράδειγμα, δεν ήθελα καθόλου να σας τρομάξω, αλλά ο στόχος μου ήταν να δείξω ότι αν και είχαμε μια αρκετά απλή αντικατάσταση, εντούτοις οδήγησε σε μια αρκετά περίπλοκη εξίσωση, η λύση της οποίας απαιτούσε κάποιες ειδικές δεξιότητες από εμάς. Λοιπόν, κανείς δεν έχει ασυλία από αυτό. Αλλά η αντικατάσταση σε σε αυτήν την περίπτωσηήταν αρκετά προφανές.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα με μια ελαφρώς λιγότερο προφανή αντικατάσταση:

Δεν είναι καθόλου σαφές τι πρέπει να κάνουμε: το πρόβλημα είναι ότι στην εξίσωσή μας υπάρχουν δύο διαφορετικές βάσεις και η μία βάση δεν μπορεί να ληφθεί από την άλλη ανεβάζοντάς την σε οποιαδήποτε (λογική, φυσικά) δύναμη. Ωστόσο, τι βλέπουμε; Και οι δύο βάσεις διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο και το γινόμενο τους είναι η διαφορά των τετραγώνων ίση με ένα:

Ορισμός:

Έτσι, οι αριθμοί που είναι οι βάσεις στο παράδειγμά μας είναι συζυγείς.

Σε αυτή την περίπτωση, το έξυπνο βήμα θα ήταν πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συζευγμένο αριθμό.

Για παράδειγμα, on, τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης θα γίνει ίση με και η δεξιά. Αν κάνουμε μια αντικατάσταση, τότε η αρχική μας εξίσωση θα γίνει ως εξής:

τις ρίζες του, λοιπόν, και το θυμόμαστε αυτό, το καταλαβαίνουμε.

Απάντηση: , .

Κατά κανόνα, η μέθοδος αντικατάστασης είναι επαρκής για την επίλυση των περισσότερων «σχολικών» εκθετικών εξισώσεων. Οι ακόλουθες εργασίες λαμβάνονται από την Ενιαία Κρατική Εξέταση C1 ( αυξημένο επίπεδοδυσκολίες). Είστε ήδη αρκετά μορφωμένοι για να λύσετε μόνοι σας αυτά τα παραδείγματα. Θα δώσω μόνο την απαιτούμενη αντικατάσταση.

1. Λύστε την εξίσωση:
2. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:
3. Λύστε την εξίσωση: . Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα:

Και τώρα μερικές σύντομες εξηγήσεις και απαντήσεις:

1. Εδώ αρκεί να σημειώσουμε ότι... Τότε η αρχική εξίσωση θα είναι ισοδύναμη με αυτό: Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί αντικαθιστώντας την επιλογή Κάντε τους περαιτέρω υπολογισμούς μόνοι σας. Στο τέλος, η εργασία σας θα περιοριστεί στην επίλυση απλών τριγωνομετρικών προβλημάτων (ανάλογα με το ημίτονο ή το συνημίτονο). Θα εξετάσουμε λύσεις σε παρόμοια παραδείγματα σε άλλες ενότητες.
2. Εδώ μπορείτε να κάνετε ακόμη και χωρίς αντικατάσταση: απλώς μετακινήστε το υπόστρωμα προς τα δεξιά και αντιπροσωπεύστε και τις δύο βάσεις με δυνάμεις δύο: και μετά πηγαίνετε κατευθείαν στην τετραγωνική εξίσωση.
3. Η τρίτη εξίσωση λύνεται επίσης αρκετά τυπικά: ας φανταστούμε πώς. Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας, παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση: τότε,

   Ξέρετε ήδη τι είναι ο λογάριθμος, σωστά; Οχι; Τότε διάβασε το θέμα επειγόντως!

   Η πρώτη ρίζα προφανώς δεν ανήκει στο τμήμα, αλλά η δεύτερη είναι ασαφής! Θα το μάθουμε όμως πολύ σύντομα! Αφού, λοιπόν (αυτή είναι ιδιότητα του λογάριθμου!) Ας συγκρίνουμε:

   Αφαιρούμε και από τις δύο πλευρές και παίρνουμε:

   Η αριστερή πλευρά μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

   πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με:

   μπορεί να πολλαπλασιαστεί με, τότε

   Στη συνέχεια συγκρίνετε:

   από τότε:

   Τότε η δεύτερη ρίζα ανήκει στο απαιτούμενο διάστημα

   Απάντηση:

Οπως βλέπεις, Η επιλογή των ριζών των εκθετικών εξισώσεων απαιτεί μια αρκετά βαθιά γνώση των ιδιοτήτων των λογαρίθμων, γι' αυτό σας συμβουλεύω να είστε όσο το δυνατόν πιο προσεκτικοί όταν λύνετε εκθετικές εξισώσεις. Όπως καταλαβαίνετε, στα μαθηματικά όλα είναι αλληλένδετα! Όπως είπε ο δάσκαλός μου στα μαθηματικά: «τα μαθηματικά, όπως και η ιστορία, δεν μπορούν να διαβαστούν από τη μια μέρα στην άλλη».

Κατά κανόνα, όλα Η δυσκολία στην επίλυση προβλημάτων Γ1 είναι ακριβώς η επιλογή των ριζών της εξίσωσης.Ας εξασκηθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα:

Είναι σαφές ότι η ίδια η εξίσωση λύνεται πολύ απλά. Κάνοντας μια αντικατάσταση, μειώνουμε την αρχική μας εξίσωση στο εξής:

Πρώτα ας δούμε την πρώτη ρίζα. Ας συγκρίνουμε και: από τότε. (ιδιότητα λογαριθμικής συνάρτησης, at). Τότε είναι ξεκάθαρο ότι η πρώτη ρίζα δεν ανήκει στο μεσοδιάστημά μας. Τώρα η δεύτερη ρίζα: . Είναι σαφές ότι (καθώς η συνάρτηση στο αυξάνεται). Μένει να συγκρίνουμε και...

αφού, τότε, ταυτόχρονα. Με αυτόν τον τρόπο μπορώ να "οδηγήσω ένα μανταλάκι" μεταξύ του και. Αυτό το μανταλάκι είναι ένας αριθμός. Η πρώτη έκφραση είναι μικρότερη και η δεύτερη μεγαλύτερη. Τότε η δεύτερη έκφραση είναι μεγαλύτερη από την πρώτη και η ρίζα ανήκει στο διάστημα.

Απάντηση: .

Τέλος, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα εξίσωσης όπου η αντικατάσταση είναι αρκετά μη τυπική:

Ας ξεκινήσουμε αμέσως με το τι μπορεί να γίνει και τι - κατ 'αρχήν, μπορεί να γίνει, αλλά είναι καλύτερα να μην το κάνουμε. Μπορείτε να φανταστείτε τα πάντα μέσα από τις δυνάμεις των τριών, δύο και έξι. Πού οδηγεί; Δεν θα οδηγήσει σε τίποτα: ένα συνονθύλευμα πτυχίων, μερικά από τα οποία θα είναι αρκετά δύσκολο να απαλλαγούμε. Τι χρειάζεται τότε; Ας σημειώσουμε ότι ένα Και τι θα μας δώσει αυτό; Και το γεγονός ότι μπορούμε να αναγάγουμε τη λύση αυτού του παραδείγματος στη λύση μιας αρκετά απλής εκθετικής εξίσωσης! Αρχικά, ας ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας ως εξής:

Τώρα ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει με:

Εύρηκα! Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε, παίρνουμε:

Λοιπόν, τώρα είναι η σειρά σας να λύσετε υποδειγματικά προβλήματα, και θα τα δώσω μόνο σύντομα σχόλιαγια να μην παραστρατήσεις ο σωστός δρόμος! Καλή τύχη!

1. Το πιο δύσκολο! Είναι τόσο δύσκολο να δεις αντικαταστάτη εδώ! Ωστόσο, αυτό το παράδειγμα μπορεί να λυθεί πλήρως χρησιμοποιώντας απαλλάσσω πλήρες τετράγωνο . Για την επίλυσή του αρκεί να σημειώσουμε ότι:

Τότε ορίστε η αντικατάστασή σας:

(Παρακαλώ σημειώστε ότι εδώ κατά την αντικατάστασή μας δεν μπορούμε να απορρίψουμε την αρνητική ρίζα!!! Γιατί νομίζετε;)

Τώρα για να λύσετε το παράδειγμα, πρέπει να λύσετε μόνο δύο εξισώσεις:

Και τα δύο μπορούν να επιλυθούν με μια «τυπική αντικατάσταση» (αλλά το δεύτερο σε ένα παράδειγμα!)

2. Παρατηρήστε το και κάντε μια αντικατάσταση.

3. Αποσυνθέστε τον αριθμό σε συνπρωτικούς παράγοντες και απλοποιήστε την έκφραση που προκύπτει.

4. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με (ή, αν προτιμάτε) και κάντε την αντικατάσταση ή.

5. Παρατηρήστε ότι οι αριθμοί και είναι συζυγείς.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Επιπλέον, ας δούμε έναν άλλο τρόπο - επίλυση εκθετικών εξισώσεων με τη μέθοδο του λογάριθμου. Δεν μπορώ να πω ότι η επίλυση εκθετικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο είναι πολύ δημοφιλής, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις μόνο μπορεί να μας οδηγήσει σε η σωστή απόφασηη εξίσωσή μας. Χρησιμοποιείται ιδιαίτερα συχνά για την επίλυση του λεγόμενου " μικτές εξισώσεις«: δηλαδή εκείνα όπου εμφανίζονται λειτουργίες διαφορετικών τύπων.

Για παράδειγμα, μια εξίσωση της μορφής:

στη γενική περίπτωση, μπορεί να λυθεί μόνο με τη λήψη λογαρίθμων και των δύο πλευρών (για παράδειγμα, στη βάση), στην οποία η αρχική εξίσωση θα μετατραπεί στο εξής:

Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα:

Είναι σαφές ότι σύμφωνα με το ODZ της λογαριθμικής συνάρτησης, μας ενδιαφέρει μόνο. Αυτό όμως προκύπτει όχι μόνο από το ODZ του λογαρίθμου, αλλά για έναν ακόμη λόγο. Νομίζω ότι δεν θα σας είναι δύσκολο να μαντέψετε ποιο είναι.

Ας πάρουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσής μας στη βάση:

Όπως μπορείτε να δείτε, λαμβάνοντας τον λογάριθμο της αρχικής μας εξίσωσης μας οδήγησε γρήγορα στη σωστή (και όμορφη!) απάντηση. Ας εξασκηθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα:

Δεν υπάρχει τίποτα λάθος και εδώ: ας πάρουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσης στη βάση, τότε παίρνουμε:

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση:

Ωστόσο κάτι μας έλειψε! Προσέξατε πού έκανα λάθος; Άλλωστε, λοιπόν:

που δεν ικανοποιεί την απαίτηση (σκέψου από πού προήλθε!)

Απάντηση:

Προσπαθήστε να γράψετε τη λύση των παρακάτω εκθετικών εξισώσεων:

Συγκρίνετε τώρα την απόφασή σας με αυτό:

1. Ας λογαριθμήσουμε και τις δύο πλευρές της βάσης, λαμβάνοντας υπόψη ότι:

(η δεύτερη ρίζα δεν είναι κατάλληλη για εμάς λόγω αντικατάστασης)

2. Λογάριθμος προς τη βάση:

Ας μετατρέψουμε την έκφραση που προκύπτει στην ακόλουθη μορφή:

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΛΟΙ

Εκθετική εξίσωση

Εξίσωση της μορφής:

που ονομάζεται η απλούστερη εκθετική εξίσωση.

Ιδιότητες πτυχίων

Προσεγγίσεις για λύση

• Αναγωγή στην ίδια βάση
• Αναγωγή στον ίδιο εκθέτη
• Αντικατάσταση μεταβλητής
• Απλοποίηση της έκφρασης και εφαρμογή ενός από τα παραπάνω.

Στο στάδιο της προετοιμασίας για το τελικό τεστ, οι μαθητές γυμνασίου πρέπει να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στο θέμα «Εκθετικές Εξισώσεις». Η εμπειρία των προηγούμενων ετών δείχνει ότι τέτοιες εργασίες προκαλούν ορισμένες δυσκολίες για τους μαθητές. Ως εκ τούτου, οι μαθητές γυμνασίου, ανεξάρτητα από το επίπεδο προετοιμασίας τους, πρέπει να κατέχουν διεξοδικά τη θεωρία, να θυμούνται τους τύπους και να κατανοούν την αρχή της επίλυσης τέτοιων εξισώσεων. Έχοντας μάθει να αντιμετωπίζουν αυτό το είδος προβλήματος, οι απόφοιτοι μπορούν να υπολογίζουν σε υψηλές βαθμολογίες όταν περνούν τις εξετάσεις Unified State στα μαθηματικά.

Ετοιμαστείτε για εξετάσεις με το Shkolkovo!

Κατά την επανεξέταση των υλικών που κάλυψαν, πολλοί μαθητές αντιμετωπίζουν το πρόβλημα να βρουν τους τύπους που χρειάζονται για την επίλυση εξισώσεων. Ένα σχολικό εγχειρίδιο δεν είναι πάντα διαθέσιμο και η επιλογή των απαραίτητων πληροφοριών για ένα θέμα στο Διαδίκτυο διαρκεί πολύ.

Η εκπαιδευτική πύλη Shkolkovo προσκαλεί τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν τη βάση γνώσεων μας. Εφαρμόζουμε πλήρως νέα μέθοδοςπροετοιμασία για την τελική δοκιμασία. Μελετώντας στον ιστότοπό μας, θα μπορείτε να εντοπίσετε κενά στη γνώση και να δώσετε προσοχή σε εκείνες τις εργασίες που προκαλούν τη μεγαλύτερη δυσκολία.

Οι δάσκαλοι του Shkolkovo συγκέντρωσαν, συστηματοποίησαν και παρουσίασαν όλα τα απαραίτητα για επιτυχημένο πέρασμα Υλικό Ενιαίας Κρατικής Εξεταστικήςστην απλούστερη και πιο προσιτή μορφή.

Οι βασικοί ορισμοί και οι τύποι παρουσιάζονται στην ενότητα «Θεωρητικό υπόβαθρο».

Για να κατανοήσετε καλύτερα το υλικό, σας συνιστούμε να εξασκηθείτε στην ολοκλήρωση των εργασιών. Εξετάστε προσεκτικά τα παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων με λύσεις που παρουσιάζονται σε αυτή τη σελίδα για να κατανοήσετε τον αλγόριθμο υπολογισμού. Μετά από αυτό, προχωρήστε στην εκτέλεση εργασιών στην ενότητα "Κατάλογοι". Μπορείτε να ξεκινήσετε με τα πιο εύκολα προβλήματα ή να προχωρήσετε κατευθείαν στην επίλυση σύνθετων εκθετικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους ή . Η βάση δεδομένων των ασκήσεων στην ιστοσελίδα μας συμπληρώνεται και ενημερώνεται συνεχώς.

Αυτά τα παραδείγματα με δείκτες που σας προκάλεσαν δυσκολίες μπορούν να προστεθούν στα "Αγαπημένα". Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να τα βρείτε γρήγορα και να συζητήσετε τη λύση με τον δάσκαλό σας.

Για να περάσετε με επιτυχία την Ενιαία Κρατική Εξέταση, μελετήστε στην πύλη Shkolkovo κάθε μέρα!

Τι είναι η εκθετική εξίσωση; Παραδείγματα.

Λοιπόν, μια εκθετική εξίσωση... Ένα νέο μοναδικό έκθεμα στη γενική μας έκθεση μεγάλης ποικιλίας εξισώσεων!) Όπως συμβαίνει σχεδόν πάντα, η λέξη κλειδί κάθε νέου μαθηματικού όρου είναι το αντίστοιχο επίθετο που τον χαρακτηρίζει. Έτσι είναι εδώ. Λέξη-κλειδίστον όρο «εκθετική εξίσωση» είναι η λέξη "ενδεικτικός". Τι σημαίνει; Αυτή η λέξη σημαίνει ότι βρίσκεται το άγνωστο (x). ως προς τυχόν πτυχία.Και μόνο εκεί! Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό.

Για παράδειγμα, αυτές οι απλές εξισώσεις:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ή ακόμα και αυτά τα τέρατα:

2 αμαρτία x = 0,5

Παρακαλούμε δώστε αμέσως προσοχή σε ένα σημαντικό πράγμα: αιτιολογικόμοίρες (κάτω) - μόνο αριθμοί. Αλλά σε δείκτεςμοίρες (παραπάνω) - μια μεγάλη ποικιλία εκφράσεων με Χ. Απολύτως οποιαδήποτε.) Όλα εξαρτώνται από τη συγκεκριμένη εξίσωση. Εάν, ξαφνικά, το x εμφανιστεί κάπου αλλού στην εξίσωση, εκτός από τον δείκτη (ας πούμε, 3 x = 18 + x 2), τότε μια τέτοια εξίσωση θα είναι ήδη μια εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν σαφείς κανόνες για την επίλυσή τους. Επομένως, σε αυτό το μάθημαδεν θα τα εξετάσουμε. Προς χαρά των μαθητών.) Εδώ θα εξετάσουμε μόνο τις εκθετικές εξισώσεις στην «καθαρή» τους μορφή.

Σε γενικές γραμμές, δεν μπορούν να λυθούν με σαφήνεια όλες και όχι πάντα ακόμη και οι καθαρές εκθετικές εξισώσεις. Αλλά ανάμεσα σε όλη την πλούσια ποικιλία των εκθετικών εξισώσεων, υπάρχουν ορισμένοι τύποι που μπορούν και πρέπει να λυθούν. Είναι αυτοί οι τύποι εξισώσεων που θα εξετάσουμε. Και σίγουρα θα λύσουμε τα παραδείγματα.) Ας βολευτούμε λοιπόν και φύγουμε! Όπως και στα σκοπευτικά υπολογιστών, το ταξίδι μας θα πραγματοποιηθεί μέσω επιπέδων.) Από το δημοτικό στο απλό, από το απλό στο μεσαίο και από το μεσαίο στο σύνθετο. Στην πορεία, θα σας περιμένει επίσης ένα μυστικό επίπεδο - τεχνικές και μέθοδοι επίλυσης μη τυπικών παραδειγμάτων. Αυτά για τα οποία δεν θα διαβάσετε στα περισσότερα σχολικά εγχειρίδια... Λοιπόν, και στο τέλος, φυσικά, σας περιμένει ένα τελευταίο αφεντικό με τη μορφή εργασίας.)

Επίπεδο 0. Ποια είναι η απλούστερη εκθετική εξίσωση; Επίλυση απλών εκθετικών εξισώσεων.

Αρχικά, ας δούμε μερικά ειλικρινή στοιχειώδη πράγματα. Πρέπει να ξεκινήσεις από κάπου, σωστά; Για παράδειγμα, αυτή η εξίσωση:

2 x = 2 2

Ακόμη και χωρίς καμία θεωρία, με απλή λογική και κοινή λογική είναι ξεκάθαρο ότι x = 2. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος, σωστά; Καμία άλλη έννοια του Χ δεν είναι κατάλληλη... Και τώρα ας στρέψουμε την προσοχή μας πρακτικό απόφασηςαυτή η δροσερή εκθετική εξίσωση:

2 x = 2 2

X = 2

Τι μας συνέβη; Και έγινε το εξής. Στην πραγματικότητα το πήραμε και... απλά πετάξαμε τις ίδιες βάσεις (δύο)! Εντελώς πεταμένο. Και, τα καλά νέα είναι ότι χτυπήσαμε το μάτι του ταύρου!

Ναι, πράγματι, αν σε μια εκθετική εξίσωση υπάρχουν αριστερά και δεξιά το ίδιοαριθμοί σε οποιεσδήποτε δυνάμεις, τότε αυτοί οι αριθμοί μπορούν να απορριφθούν και απλώς να εξισώσουν τους εκθέτες. Τα μαθηματικά επιτρέπουν.) Και μετά μπορείτε να δουλέψετε χωριστά με τους δείκτες και να λύσετε μια πολύ πιο απλή εξίσωση. Τέλεια, σωστά;

Εδώ είναι η βασική ιδέα για την επίλυση οποιασδήποτε (ναι, ακριβώς οποιασδήποτε!) εκθετικής εξίσωσης: χρησιμοποιώντας πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, είναι απαραίτητο να διασφαλιστεί ότι η αριστερή και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι το ίδιο αριθμοί βάσης σε διάφορες δυνάμεις. Και τότε μπορείτε να αφαιρέσετε με ασφάλεια τις ίδιες βάσεις και να εξισώσετε τους εκθέτες. Και δουλέψτε με μια πιο απλή εξίσωση.

Τώρα ας θυμηθούμε τον σιδερένιο κανόνα: είναι δυνατόν να αφαιρεθούν οι ίδιες βάσεις εάν και μόνο εάν οι αριθμοί στα αριστερά και δεξιά της εξίσωσης έχουν αριθμούς βάσης στην περήφανη μοναξιά.

Τι σημαίνει, σε υπέροχη απομόνωση; Αυτό σημαίνει χωρίς γείτονες και συντελεστές. ΑΣΕ με να εξηγήσω.

Για παράδειγμα, στην Εξ.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Τα τρία δεν μπορούν να αφαιρεθούν! Γιατί; Γιατί στα αριστερά δεν έχουμε απλώς ένα μοναχικό τρεις στο βαθμό, αλλά δουλειά 3·3 x-5 . Τρία επιπλέον παρεμβαίνουν: ο συντελεστής, καταλαβαίνετε.)

Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για την εξίσωση

5 3 x = 5 2 x +5 x

Και εδώ όλες οι βάσεις είναι ίδιες - πέντε. Αλλά στα δεξιά δεν έχουμε ούτε μία δύναμη πέντε: υπάρχει ένα άθροισμα δυνάμεων!

Εν ολίγοις, έχουμε το δικαίωμα να αφαιρέσουμε πανομοιότυπες βάσεις μόνο όταν η εκθετική μας εξίσωση μοιάζει με αυτό και μόνο ως εξής:

έναφά (Χ) = ένα ζ (Χ)

Αυτός ο τύπος εκθετικής εξίσωσης ονομάζεται το πιο απλό. Ή, επιστημονικά μιλώντας, κανονικός . Και όποια μπερδεμένη εξίσωση κι αν έχουμε μπροστά μας, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θα την αναγάγουμε σε αυτήν ακριβώς την απλούστερη (κανονική) μορφή. Ή, σε ορισμένες περιπτώσεις, να ολότηταεξισώσεις αυτού του είδους. Τότε η απλούστερη εξίσωσή μας μπορεί να ξαναγραφτεί σε γενική μορφή ως εξής:

F(x) = g(x)

Αυτό είναι όλο. Αυτή θα ήταν μια ισοδύναμη μετατροπή. Σε αυτήν την περίπτωση, τα f(x) και g(x) μπορούν να είναι απολύτως οποιεσδήποτε εκφράσεις με x. Ο, τι να 'ναι.

Ίσως ένας ιδιαίτερα περίεργος μαθητής θα αναρωτηθεί: γιατί στο καλό απορρίπτουμε τόσο εύκολα και απλά τις ίδιες βάσεις αριστερά και δεξιά και εξισώνουμε τους εκθέτες; Η διαίσθηση είναι διαίσθηση, αλλά τι γίνεται αν, σε κάποια εξίσωση και για κάποιο λόγο, αυτή η προσέγγιση αποδειχθεί λανθασμένη; Είναι πάντα νόμιμο να πετάμε τους ίδιους λόγους;Δυστυχώς, για μια αυστηρή μαθηματική απάντηση σε αυτό ενδιαφέρον Ρωτήστεπρέπει να βουτήξετε πολύ βαθιά και σοβαρά γενική θεωρίασυμπεριφορά συσκευής και λειτουργίας. Και λίγο πιο συγκεκριμένα - στο φαινόμενο αυστηρή μονοτονία.Ειδικότερα, αυστηρή μονοτονία εκθετικη συναρτησηy= ένα x. Γιατί ακριβώς εκθετικη συναρτησηκαι οι ιδιότητές του αποτελούν τη βάση της λύσης των εκθετικών εξισώσεων, ναι.) Μια λεπτομερής απάντηση σε αυτήν την ερώτηση θα δοθεί σε ένα ξεχωριστό ειδικό μάθημα αφιερωμένο στην επίλυση σύνθετων μη τυπικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μονοτονία διαφορετικών συναρτήσεων.)

Η λεπτομερής εξήγηση αυτού του σημείου τώρα θα έσκαγε μόνο τα μυαλά του μέσου μαθητή και θα τον τρόμαζε εκ των προτέρων με μια ξερή και βαριά θεωρία. Δεν θα το κάνω αυτό.) Επειδή το κύριο μας αυτή τη στιγμήεργασία - μάθε να λύνεις εκθετικές εξισώσεις!Τα πιο απλά! Επομένως, ας μην ανησυχούμε ακόμα και ας πετάξουμε με τόλμη τους ίδιους λόγους. Αυτό Μπορώ, πάρε το λόγο μου!) Και μετά λύνουμε την ισοδύναμη εξίσωση f(x) = g(x). Κατά κανόνα, πιο απλό από το αρχικό εκθετικό.

Υποτίθεται, φυσικά, ότι οι άνθρωποι γνωρίζουν ήδη πώς να λύνουν τουλάχιστον , και εξισώσεις, χωρίς x σε εκθέτες.) Για όσους δεν ξέρουν ακόμα πώς, μη διστάσετε να κλείσετε αυτήν τη σελίδα, ακολουθήστε τους σχετικούς συνδέσμους και συμπληρώστε τα παλιά κενά. Αλλιώς θα δυσκολευτείς, ναι...

Δεν μιλάω για παράλογες, τριγωνομετρικές και άλλες βάναυσες εξισώσεις που μπορούν επίσης να προκύψουν στη διαδικασία εξάλειψης των θεμελίων. Αλλά μην ανησυχείτε, δεν θα εξετάσουμε την καθαρή σκληρότητα όσον αφορά τους βαθμούς προς το παρόν: είναι πολύ νωρίς. Θα προπονηθούμε μόνο στις απλούστερες εξισώσεις.)

Τώρα ας δούμε τις εξισώσεις που απαιτούν κάποια πρόσθετη προσπάθεια για να τις αναγάγουμε στο απλούστερο. Για λόγους διάκρισης, ας τους φωνάξουμε απλές εκθετικές εξισώσεις. Ας περάσουμε λοιπόν στο επόμενο επίπεδο!

Επίπεδο 1. Απλές εκθετικές εξισώσεις. Ας αναγνωρίσουμε τα πτυχία! Φυσικοί δείκτες.

Οι βασικοί κανόνες για την επίλυση οποιωνδήποτε εκθετικών εξισώσεων είναι κανόνες για την αντιμετώπιση πτυχίων. Χωρίς αυτές τις γνώσεις και δεξιότητες τίποτα δεν θα λειτουργήσει. Αλίμονο. Οπότε, αν υπάρχουν προβλήματα με τα πτυχία, τότε πρώτα είστε ευπρόσδεκτοι. Επιπλέον, θα χρειαστούμε επίσης . Αυτοί οι μετασχηματισμοί (δύο από αυτούς!) αποτελούν τη βάση για την επίλυση όλων των μαθηματικών εξισώσεων γενικά. Και όχι μόνο επιδεικτικά. Οπότε, όποιος το ξέχασε, ρίξτε και μια ματιά στον σύνδεσμο: δεν τα βάζω μόνο εκεί.

Όμως οι επιχειρήσεις με δυνάμεις και μετασχηματισμούς ταυτότητας από μόνες τους δεν αρκούν. Απαιτείται επίσης προσωπική παρατηρητικότητα και ευρηματικότητα. Χρειαζόμαστε τους ίδιους λόγους, έτσι δεν είναι; Εξετάζουμε λοιπόν το παράδειγμα και τα αναζητούμε σε ρητή ή συγκαλυμμένη μορφή!

Για παράδειγμα, αυτή η εξίσωση:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Πρώτη ματιά στο λόγους. Είναι διαφορετικοί! Τρεις και είκοσι επτά. Αλλά είναι πολύ νωρίς για πανικό και απόγνωση. Ήρθε η ώρα να το θυμάστε αυτό

27 = 3 3

Οι αριθμοί 3 και 27 είναι συγγενείς κατά βαθμό! Και οι κοντινοί.) Επομένως, έχουμε κάθε δικαίωμα να γράψουμε:

27 x +2 = (3 3) x+2

Τώρα ας συνδέσουμε τις γνώσεις μας για δράσεις με πτυχία(και σας προειδοποίησα!). Υπάρχει μια πολύ χρήσιμη φόρμουλα εκεί:

(a m) n = a mn

Εάν το θέσετε τώρα σε εφαρμογή, θα λειτουργήσει υπέροχα:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Το αρχικό παράδειγμα μοιάζει τώρα με αυτό:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Ωραία, οι βάσεις των μοιρών έχουν ισοπεδωθεί. Αυτό θέλαμε. Η μισή μάχη έχει ολοκληρωθεί.) Τώρα ξεκινάμε τον βασικό μετασχηματισμό ταυτότητας - μετακινήστε 3 3(x +2) προς τα δεξιά. Κανείς δεν έχει ακυρώσει τις στοιχειώδεις πράξεις των μαθηματικών, ναι.) Παίρνουμε:

3 2 x = 3 3(x +2)

Τι μας δίνει αυτός ο τύπος εξίσωσης; Και το ότι τώρα η εξίσωσή μας είναι μειωμένη σε κανονική μορφή: αριστερά και δεξιά υπάρχουν οι ίδιοι αριθμοί (τρία) σε δυνάμεις. Επιπλέον, και οι τρεις βρίσκονται σε υπέροχη απομόνωση. Μη διστάσετε να αφαιρέσετε τα τρίκλινα και να λάβετε:

2x = 3(x+2)

Το λύνουμε και παίρνουμε:

Χ = -6

Αυτό είναι. Αυτή είναι η σωστή απάντηση.)

Τώρα ας σκεφτούμε τη λύση. Τι μας έσωσε σε αυτό το παράδειγμα; Η γνώση των δυνάμεων των τριών μας έσωσε. Πώς ακριβώς; Εμείς αναγνωρισθείςΟ αριθμός 27 περιέχει ένα κρυπτογραφημένο τρία! Αυτό το κόλπο (κρυπτογράφηση της ίδιας βάσης κάτω διαφορετικούς αριθμούς) είναι ένα από τα πιο δημοφιλή στις εκθετικές εξισώσεις! Εκτός κι αν είναι το πιο δημοφιλές. Ναι, και με τον ίδιο τρόπο, παρεμπιπτόντως. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η παρατήρηση και η ικανότητα αναγνώρισης δυνάμεων άλλων αριθμών σε αριθμούς είναι τόσο σημαντική στις εκθετικές εξισώσεις!

Πρακτικές συμβουλές:

Πρέπει να γνωρίζετε τις δυνάμεις των δημοφιλών αριθμών. Στο πρόσωπο!

Φυσικά, ο καθένας μπορεί να ανεβάσει δύο στην έβδομη δύναμη ή τρεις στην πέμπτη δύναμη. Όχι στο μυαλό μου, αλλά τουλάχιστον σε ένα προσχέδιο. Αλλά στις εκθετικές εξισώσεις, πολύ πιο συχνά είναι απαραίτητο να μην ανεβάσουμε σε μια ισχύ, αλλά, αντίθετα, να ανακαλύψουμε ποιος αριθμός και σε ποια δύναμη κρύβεται πίσω από τον αριθμό, ας πούμε, 128 ή 243. Και αυτό είναι πιο περίπλοκο από το απλό ανέβασμα, θα συμφωνήσετε. Νιώστε τη διαφορά, όπως λένε!

Δεδομένου ότι η ικανότητα αναγνώρισης πτυχίων αυτοπροσώπως θα είναι χρήσιμη όχι μόνο σε αυτό το επίπεδο, αλλά και στα επόμενα, εδώ είναι μια μικρή εργασία για εσάς:

Προσδιορίστε ποιες δυνάμεις και τι αριθμούς είναι οι αριθμοί:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Απαντήσεις (τυχαία, φυσικά):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ναι ναι! Μην εκπλαγείτε που υπάρχουν περισσότερες απαντήσεις από εργασίες. Για παράδειγμα, τα 2 8, 4 4 και 16 2 είναι όλα 256.

Επίπεδο 2. Απλές εκθετικές εξισώσεις. Ας αναγνωρίσουμε τα πτυχία! Αρνητικούς και κλασματικούς δείκτες.

Σε αυτό το επίπεδο χρησιμοποιούμε ήδη στο έπακρο τις γνώσεις μας για τα πτυχία. Δηλαδή, εμπλέκουμε αρνητικούς και κλασματικούς δείκτες σε αυτή τη συναρπαστική διαδικασία! Ναι ναι! Πρέπει να αυξήσουμε τη δύναμή μας, σωστά;

Για παράδειγμα, αυτή η τρομερή εξίσωση:

Και πάλι, η πρώτη ματιά είναι στα θεμέλια. Οι λόγοι είναι διαφορετικοί! Και αυτή τη φορά δεν μοιάζουν καθόλου μεταξύ τους! 5 και 0,04... Και για να εξαλειφθούν οι βάσεις χρειάζονται οι ίδιες... Τι να κάνουμε;

Είναι εντάξει! Στην πραγματικότητα, όλα είναι ίδια, απλώς η σύνδεση μεταξύ του πέντε και του 0,04 είναι οπτικά ελάχιστα ορατή. Πώς μπορούμε να βγούμε; Ας προχωρήσουμε στον αριθμό 0,04 ως συνηθισμένο κλάσμα! Και τότε, βλέπετε, όλα θα πάνε καλά.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ουάου! Αποδεικνύεται ότι το 0,04 είναι 1/25! Λοιπόν, ποιος θα το φανταζόταν!)

Πώς, λοιπόν; Είναι τώρα πιο εύκολο να δούμε τη σύνδεση μεταξύ των αριθμών 5 και 1/25; Αυτό είναι...

Και τώρα σύμφωνα με τους κανόνες των ενεργειών με πτυχία με αρνητικός δείκτηςΜπορείτε να γράψετε με σταθερό χέρι:

Αυτό είναι υπέροχο. Έτσι φτάσαμε στην ίδια βάση - πέντε. Τώρα αντικαθιστούμε τον άβολο αριθμό 0,04 στην εξίσωση με 5 -2 και παίρνουμε:

Και πάλι, σύμφωνα με τους κανόνες λειτουργίας με βαθμούς, μπορούμε τώρα να γράψουμε:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Για κάθε ενδεχόμενο, σας το υπενθυμίζω (σε περίπτωση που κάποιος δεν το ξέρει). βασικοί κανόνεςοι ενέργειες με εξουσίες ισχύουν για όποιοςδείκτες! Συμπεριλαμβανομένων των αρνητικών.) Επομένως, μη διστάσετε να πάρετε και να πολλαπλασιάσετε τους δείκτες (-2) και (x-1) σύμφωνα με τον κατάλληλο κανόνα. Η εξίσωσή μας γίνεται όλο και καλύτερη:

Ολα! Εκτός από μοναχικές πεντάδες, δεν υπάρχει τίποτα άλλο στις δυνάμεις αριστερά και δεξιά. Η εξίσωση ανάγεται σε κανονική μορφή. Και μετά - κατά μήκος της στριμωγμένης διαδρομής. Αφαιρούμε τα πέντε και εξισώνουμε τους δείκτες:

Χ 2 –6 Χ+5=-2(Χ-1)

Το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί. Το μόνο που μένει είναι τα μαθηματικά του δημοτικού γυμνασίου - ανοίξτε (σωστά!) τις αγκύλες και συγκεντρώστε τα πάντα στα αριστερά:

Χ 2 –6 Χ+5 = -2 Χ+2

Χ 2 –4 Χ+3 = 0

Το λύνουμε και παίρνουμε δύο ρίζες:

Χ 1 = 1; Χ 2 = 3

Αυτό είναι όλο.)

Τώρα ας το ξανασκεφτούμε. ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαέπρεπε πάλι να αναγνωρίσουμε τον ίδιο αριθμό σε διαφορετικούς βαθμούς! Δηλαδή, για να δείτε μια κρυπτογραφημένη πεντάδα στον αριθμό 0,04. Και αυτή τη φορά - μέσα αρνητικός βαθμός!Πώς το κάναμε αυτό; Ακριβώς από το ρόπαλο - δεν υπάρχει περίπτωση. Αλλά μετά τη μετάβαση από δεκαδικός 0,04 στο κοινό κλάσμα 1/25 και τέλος! Και τότε η όλη απόφαση πήγε σαν ρολόι.)

Επομένως, μια άλλη πράσινη πρακτική συμβουλή.

Εάν μια εκθετική εξίσωση περιέχει δεκαδικά κλάσματα, τότε μετακινούμαστε από τα δεκαδικά κλάσματα στα συνηθισμένα κλάσματα. ΣΕ συνηθισμένα κλάσματαΕίναι πολύ πιο εύκολο να αναγνωρίσετε τις δυνάμεις πολλών δημοφιλών αριθμών! Μετά την αναγνώριση, περνάμε από κλάσματα σε δυνάμεις με αρνητικούς εκθέτες.

Λάβετε υπόψη ότι αυτό το κόλπο συμβαίνει πολύ, πολύ συχνά σε εκθετικές εξισώσεις! Αλλά το άτομο δεν είναι στο θέμα. Κοιτάζει, για παράδειγμα, τους αριθμούς 32 και 0,125 και αναστατώνεται. Εν αγνοία του, αυτό είναι ένα και το αυτό δύο, μόνο σε διαφορετικούς βαθμούς... Αλλά είστε ήδη ενήμεροι!)

Λύστε την εξίσωση:

Σε! Με το βλέμμα - ήσυχη φρίκη... Ωστόσο, τα φαινόμενα απατούν. Αυτή είναι η απλούστερη εκθετική εξίσωση, παρά την τρομακτική της εμφάνιση. Και τώρα θα σας το δείξω.)

Αρχικά, ας δούμε όλους τους αριθμούς στις βάσεις και τους συντελεστές. Είναι φυσικά διαφορετικοί, ναι. Αλλά και πάλι θα ρισκάρουμε και θα προσπαθήσουμε να τα φτιάξουμε πανομοιότυπο! Ας προσπαθήσουμε να φτάσουμε τον ίδιο αριθμό σε διαφορετικές δυνάμεις. Επιπλέον, κατά προτίμηση, οι αριθμοί είναι όσο το δυνατόν μικρότεροι. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε την αποκωδικοποίηση!

Λοιπόν, με τα τέσσερα όλα είναι αμέσως ξεκάθαρα - είναι 2 2. Λοιπόν, αυτό είναι κάτι ήδη.)

Με κλάσμα 0,25 - είναι ακόμα ασαφές. Χρειάζεται έλεγχος. Ας χρησιμοποιήσουμε πρακτικές συμβουλές - μετακινηθείτε από ένα δεκαδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα:

0,25 = 25/100 = 1/4

Πολύ καλύτερα ήδη. Γιατί τώρα φαίνεται καθαρά ότι το 1/4 είναι 2 -2. Εξαιρετικό, και ο αριθμός 0,25 μοιάζει επίσης με δύο.)

Μέχρι εδώ καλά. Αλλά ο χειρότερος αριθμός από όλους παραμένει - τετραγωνική ρίζα δύο!Τι να το κάνεις αυτό το πιπέρι; Μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως δύναμη δύο; Και ποιος ξέρει...

Λοιπόν, ας βουτήξουμε ξανά στο θησαυροφυλάκιο των γνώσεών μας για τα πτυχία! Αυτή τη φορά συνδέουμε επιπλέον τις γνώσεις μας σχετικά με τις ρίζες. Από το μάθημα της 9ης τάξης, εσύ και εγώ θα έπρεπε να είχαμε μάθει ότι οποιαδήποτε ρίζα, αν θέλετε, μπορεί πάντα να μετατραπεί σε πτυχίο με κλασματικό δείκτη.

Σαν αυτό:

Στην περίπτωσή μας:

Ουάου! Αποδεικνύεται ότι η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι 2 1/2. Αυτό είναι!

Είναι εντάξει! Όλοι οι άβολοι αριθμοί μας αποδείχτηκαν κρυπτογραφημένοι δύο.) Δεν διαφωνώ, κάπου πολύ περίπλοκα κρυπτογραφημένοι. Αλλά βελτιώνουμε επίσης τον επαγγελματισμό μας στην επίλυση τέτοιων κρυπτογράφησης! Και τότε όλα είναι ήδη προφανή. Στην εξίσωσή μας αντικαθιστούμε τους αριθμούς 4, 0,25 και τη ρίζα του δύο με δυνάμεις του δύο:

Ολα! Οι βάσεις όλων των βαθμών στο παράδειγμα έγιναν ίδιες - δύο. Και τώρα χρησιμοποιούνται τυπικές ενέργειες με βαθμούς:

είμαιa n = είμαι + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Για την αριστερή πλευρά παίρνετε:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

Για τη δεξιά πλευρά θα είναι:

Και τώρα η κακή μας εξίσωση μοιάζει με αυτό:

Για όσους δεν έχουν καταλάβει πώς ακριβώς προέκυψε αυτή η εξίσωση, τότε το ερώτημα εδώ δεν αφορά τις εκθετικές εξισώσεις. Το ερώτημα είναι για πράξεις με πτυχία. Σας ζήτησα να το επαναλάβετε επειγόντως σε όσους έχουν προβλήματα!

Εδώ είναι η γραμμή του τερματισμού! Ελήφθη κανονική άποψηεκθετική εξίσωση! Πώς, λοιπόν; Σας έπεισα ότι δεν είναι όλα τόσο τρομακτικά; ;) Αφαιρούμε τα δύο και εξισώνουμε τους δείκτες:

Το μόνο που μένει είναι να το λύσουμε γραμμική εξίσωση. Πως; Με τη βοήθεια πανομοιότυπων μετασχηματισμών, φυσικά.) Αποφασίστε τι συμβαίνει! Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές επί δύο (για να αφαιρέσετε το κλάσμα 3/2), μετακινήστε τους όρους με Χ προς τα αριστερά, χωρίς Χ προς τα δεξιά, φέρτε όμοιους, μετρήστε - και θα είστε ευχαριστημένοι!

Όλα πρέπει να πάνε όμορφα:

Χ=4

Τώρα ας σκεφτούμε ξανά τη λύση. Σε αυτό το παράδειγμα, μας βοήθησε η μετάβαση από τετραγωνική ρίζα Προς την βαθμός με εκθέτη 1/2. Επιπλέον, μόνο μια τέτοια πονηρή μεταμόρφωση μας βοήθησε να φτάσουμε παντού ίδια βάση(δύο), που έσωσαν την κατάσταση! Και, αν όχι, τότε θα είχαμε κάθε ευκαιρία να παγώσουμε για πάντα και να μην αντιμετωπίσουμε ποτέ αυτό το παράδειγμα, ναι...

Επομένως, δεν αμελούμε τις ακόλουθες πρακτικές συμβουλές:

Εάν μια εκθετική εξίσωση περιέχει ρίζες, τότε μετακινούμαστε από ρίζες σε δυνάμεις με κλασματικούς εκθέτες. Πολύ συχνά μόνο ένας τέτοιος μετασχηματισμός ξεκαθαρίζει την περαιτέρω κατάσταση.

Φυσικά, οι αρνητικές και οι κλασματικές δυνάμεις είναι ήδη πολύ πιο περίπλοκες από τις φυσικές δυνάμεις. Τουλάχιστον από την άποψη οπτική αντίληψηκαι, κυρίως, αναγνώριση από δεξιά προς τα αριστερά!

Είναι σαφές ότι η άμεση αύξηση, για παράδειγμα, δύο στην ισχύ -3 ή τέσσερα στην ισχύ -3/2 δεν είναι έτσι μεγάλο πρόβλημα. Για όσους γνωρίζουν.)

Αλλά πηγαίνετε, για παράδειγμα, συνειδητοποιήστε αμέσως αυτό

0,125 = 2 -3

Ή

Εδώ κυριαρχεί μόνο η πρακτική και η πλούσια εμπειρία, ναι. Και, φυσικά, μια ξεκάθαρη ιδέα, Τι είναι αρνητικός και κλασματικός βαθμός;Και - πρακτικές συμβουλές! Ναι, ναι, τα ίδια πράσινος.) Ελπίζω ότι θα σας βοηθήσουν να πλοηγηθείτε καλύτερα σε ολόκληρη την ποικιλία των πτυχίων και θα αυξήσουν σημαντικά τις πιθανότητες επιτυχίας σας! Ας μην τα παραμελούμε λοιπόν. Δεν είμαι μάταιος πράσινοςΓράφω μερικές φορές.)

Αλλά αν γνωρίσετε ο ένας τον άλλον ακόμη και με τέτοιες εξωτικές δυνάμεις όπως οι αρνητικές και οι κλασματικές, τότε οι δυνατότητές σας στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων θα επεκταθούν πάρα πολύ και θα μπορείτε να χειριστείτε σχεδόν κάθε τύπο εκθετικών εξισώσεων. Λοιπόν, αν όχι καμία, τότε το 80 τοις εκατό όλων των εκθετικών εξισώσεων - σίγουρα! Ναι, ναι, δεν αστειεύομαι!

Έτσι, το πρώτο μέρος της εισαγωγής μας στις εκθετικές εξισώσεις έφτασε στο λογικό του συμπέρασμα. Και, ως ενδιάμεση προπόνηση, προτείνω παραδοσιακά να κάνετε λίγο αυτοστοχασμό.)

Ασκηση 1.

Για να μην πάνε μάταια τα λόγια μου για την αποκρυπτογράφηση αρνητικών και κλασματικών δυνάμεων, προτείνω να παίξουμε ένα μικρό παιχνίδι!

Εκφράστε τους αριθμούς ως δυνάμεις δύο:

Απαντήσεις (σε αταξία):

Συνέβη; Εξαιρετική! Στη συνέχεια, κάνουμε μια αποστολή μάχης - λύνουμε τις απλούστερες και απλούστερες εκθετικές εξισώσεις!

Εργασία 2.

Λύστε τις εξισώσεις (όλες οι απαντήσεις είναι χάλια!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Απαντήσεις:

x = 16

Χ 1 = -1; Χ 2 = 2

Χ = 5

Συνέβη; Πράγματι, είναι πολύ πιο απλό!

Στη συνέχεια λύνουμε το επόμενο παιχνίδι:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Απαντήσεις:

Χ 1 = -2; Χ 2 = 2

Χ = 0,5

Χ 1 = 3; Χ 2 = 5

Και αυτά τα παραδείγματα μένουν ένα; Εξαιρετική! Μεγαλώνεις! Στη συνέχεια, εδώ είναι μερικά ακόμη παραδείγματα για να τσιμπήσετε:

Απαντήσεις:

Χ = 6

Χ = 13/31

Χ = -0,75

Χ 1 = 1; Χ 2 = 8/3

Και αποφασίζεται αυτό; Λοιπόν, σεβασμός! Βγάζω το καπέλο μου.) Αυτό σημαίνει ότι το μάθημα δεν ήταν μάταιο και το αρχικό επίπεδο επίλυσης εκθετικών εξισώσεων μπορεί να θεωρηθεί επιτυχώς κατακτημένο. Τα επόμενα επίπεδα και άλλα είναι μπροστά σύνθετες εξισώσεις! Και νέες τεχνικές και προσεγγίσεις. Και μη τυποποιημένα παραδείγματα. Και νέες εκπλήξεις.) Όλα αυτά στο επόμενο μάθημα!

Μήπως κάτι πήγε στραβά; Αυτό σημαίνει ότι πιθανότατα τα προβλήματα βρίσκονται στο . Ή σε . Ή και τα δύο ταυτόχρονα. Είμαι ανίσχυρος εδώ. Μπορώ να μπω Αλλη μια φοράΜπορώ να προτείνω μόνο ένα πράγμα - μην είστε τεμπέλης και ακολουθήστε τους συνδέσμους.)

Συνεχίζεται.)

Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε εξισώσεις στην αρχαιότητα, και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Οι εξισώσεις ισχύος ή εκθετικές είναι εξισώσεις στις οποίες οι μεταβλητές είναι σε δυνάμεις και η βάση είναι ένας αριθμός. Για παράδειγμα:

Η επίλυση μιας εκθετικής εξίσωσης καταλήγει σε 2 αρκετά απλά βήματα:

1. Πρέπει να ελέγξετε αν οι βάσεις της εξίσωσης δεξιά και αριστερά είναι ίδιες. Εάν οι λόγοι δεν είναι οι ίδιοι, αναζητούμε επιλογές για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα.

2. Αφού οι βάσεις γίνουν ίδιες, εξισώνουμε τις μοίρες και λύνουμε τη νέα εξίσωση που προκύπτει.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια εκθετική εξίσωση της ακόλουθης μορφής:

Ξεκινήστε τη λύση δεδομένη εξίσωσηκόστος από την ανάλυση της βάσης. Οι βάσεις είναι διαφορετικές - 2 και 4, αλλά για να τις λύσουμε χρειαζόμαστε να είναι ίδιες, επομένως μετασχηματίζουμε το 4 χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Προσθέτουμε στην αρχική εξίσωση:

Ας το βγάλουμε από αγκύλες \

Ας εκφραστούμε \

Επειδή οι μοίρες είναι οι ίδιοι, τους απορρίπτουμε:

Απάντηση: \

Πού μπορώ να λύσω μια εκθετική εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν διαδικτυακό λύτη;

Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στην ιστοσελίδα μας https://site. Ένας δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση online οποιαδήποτεπολυπλοκότητα σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.