Παρέχει δεδομένα αναφοράς για την εκθετική συνάρτηση - βασικές ιδιότητες, γραφήματα και τύπους. Εξετάζονται τα ακόλουθα ζητήματα: τομέας ορισμού, σύνολο τιμών, μονοτονία, αντίστροφη συνάρτηση, παράγωγο, ολοκλήρωμα, επέκταση σε σειρά ισχύοςκαι αναπαράσταση με χρήση μιγαδικών αριθμών.
Ορισμός
Εκθετική συνάρτηση
είναι μια γενίκευση του γινομένου n αριθμών ίσου με a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
στο σύνολο των πραγματικών αριθμών x:
y (χ) = τσεκούρι.
Εδώ το a είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός, ο οποίος καλείται βάση της εκθετικής συνάρτησης.
Μια εκθετική συνάρτηση με βάση a ονομάζεται επίσης εκθέτης στη βάση α.
Η γενίκευση γίνεται ως εξής.
Για φυσικό x = 1, 2, 3,...
, η εκθετική συνάρτηση είναι το γινόμενο x παραγόντων:
.
Επιπλέον, έχει ιδιότητες (1,5-8) (), οι οποίες προκύπτουν από τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των αριθμών. Για μηδενικές και αρνητικές τιμές ακεραίων, η εκθετική συνάρτηση προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τύπους (1.9-10). Για κλασματικές τιμές x = m/n ορθολογικούς αριθμούς, προσδιορίζεται από τον τύπο (1.11). Για τα πραγματικά, η εκθετική συνάρτηση ορίζεται ως όριο ακολουθίας:
,
όπου είναι μια αυθαίρετη ακολουθία ρητών αριθμών που συγκλίνει στο x: .
Με αυτόν τον ορισμό, η εκθετική συνάρτηση ορίζεται για όλα τα , και ικανοποιεί τις ιδιότητες (1,5-8), όπως για το φυσικό x.
Μια αυστηρή μαθηματική διατύπωση του ορισμού μιας εκθετικής συνάρτησης και της απόδειξης των ιδιοτήτων της δίνεται στη σελίδα «Ορισμός και απόδειξη των ιδιοτήτων μιας εκθετικής συνάρτησης».
Ιδιότητες της Εκθετικής Συνάρτησης
Η εκθετική συνάρτηση y = a x έχει τις ακόλουθες ιδιότητες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ():
(1.1)
καθορισμένο και συνεχές, για , για όλους ;
(1.2)
για ένα ≠ 1
έχει πολλές έννοιες.
(1.3)
αυστηρά αυξάνει σε, μειώνεται αυστηρά σε,
είναι σταθερή στο ?
(1.4)
στο ;
στο ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Άλλες χρήσιμες φόρμουλες.
.
Τύπος μετατροπής σε εκθετική συνάρτηση με διαφορετική βάση εκθετών:
Όταν b = e, λαμβάνουμε την έκφραση της εκθετικής συνάρτησης μέσω της εκθετικής:
Ιδιωτικές αξίες
, , , , .
Το σχήμα δείχνει γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης
y (χ) = τσεκούρι
για τέσσερις τιμές βάσεις πτυχίων: α = 2
, α = 8
, α = 1/2
και α = 1/8
. 1
Μπορεί να φανεί ότι για ένα > η εκθετική συνάρτηση αυξάνεται μονότονα. Όσο μεγαλύτερη είναι η βάση του βαθμού α, τόσο περισσότεροισχυρή ανάπτυξη 0
< a < 1
η εκθετική συνάρτηση μειώνεται μονότονα. Όσο μικρότερος είναι ο εκθέτης α, τόσο μεγαλύτερη είναι η μείωση.
Ανεβαίνοντας, κατεβαίνοντας
Η εκθετική συνάρτηση για είναι αυστηρά μονότονη και επομένως δεν έχει ακρότατα. Οι κύριες ιδιότητές του παρουσιάζονται στον πίνακα.
| y = a x , a > 1 | y = τσεκούρι, 0 < a < 1 | |
| Τομέας ορισμού | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Εύρος τιμών | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Μονότονη ομιλία | αυξάνεται μονοτονικά | μειώνεται μονοτονικά |
| Μηδενικά, y = 0 | Οχι | Οχι |
| Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Αντίστροφη συνάρτηση
Το αντίστροφο μιας εκθετικής συνάρτησης με βάση α είναι ο λογάριθμος προς τη βάση α.
Αν, τότε
.
Αν, τότε
.
Διαφοροποίηση εκθετικής συνάρτησης
Για να διαφοροποιήσετε μια εκθετική συνάρτηση, η βάση της πρέπει να μειωθεί στον αριθμό e, να εφαρμόσετε τον πίνακα των παραγώγων και τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετη λειτουργία.
Για να γίνει αυτό πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα των λογαρίθμων
και ο τύπος από τον πίνακα παραγώγων:
.
Ας δοθεί μια εκθετική συνάρτηση:
.
Το φέρνουμε στη βάση e:
Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων. Για να το κάνετε αυτό, εισάγετε τη μεταβλητή
Τότε
Από τον πίνακα των παραγώγων έχουμε (αντικαταστήστε τη μεταβλητή x με z):
.
Εφόσον είναι σταθερά, η παράγωγος του z ως προς το x είναι ίση με
.
Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:
.
Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης
.
Παράγωγο νης τάξης:
.
Εξαγωγή τύπων > > >
Ένα παράδειγμα διαφοροποίησης μιας εκθετικής συνάρτησης
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
y = 3 5 x
Διάλυμα
Ας εκφράσουμε τη βάση της εκθετικής συνάρτησης μέσω του αριθμού e.
3 = e ln 3
Τότε
.
Εισαγάγετε μια μεταβλητή
.
Τότε
Από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.
Επειδή 5ln 3είναι σταθερά, τότε η παράγωγος του z ως προς το x είναι ίση με:
.
Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης, έχουμε:
.
Απάντηση
Ολοκλήρωμα
Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών
Θεωρήστε τη συνάρτηση μιγαδικού αριθμού z:
φά (z) = a z
όπου z = x + iy; 2 = - 1
.
εγώ
Ας εκφράσουμε τη μιγαδική σταθερά a με βάση το μέτρο r και το όρισμα φ:
Τότε
.
a = r e i φ Το όρισμα φ δεν ορίζεται μοναδικά. ΣΕ
φ = φ γενική άποψη,
0 + 2 πn όπου n είναι ακέραιος αριθμός. Επομένως η συνάρτηση f(z)
.
επίσης δεν είναι σαφές. Συχνά εξετάζεται η κύρια σημασία του
.
Επέκταση σειράς
Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ VIII
§ 179 Βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης
Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε τις βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης y = α (1)
x Ας θυμηθούμε ότι κάτω ΕΝΑ
στον τύπο (1) εννοούμε οποιονδήποτε σταθερό θετικό αριθμό εκτός του 1. Ιδιοκτησία 1.
Το πεδίο ορισμού μιας εκθετικής συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Ας θυμηθούμε ότι κάτω Μάλιστα με θετικό Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α ορίζεται για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό Χ .
Ιδιοκτησία 2. Η εκθετική συνάρτηση δέχεται μόνο θετικές τιμές.
Πράγματι, αν Χ > 0, λοιπόν, όπως αποδείχθηκε στην § 176,
Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α > 0.
Αν Χ <. 0, то
Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α =
που - Χ ήδη πάνω από το μηδέν. Γι' αυτό Α - y = α > 0. Αλλά τότε
Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α = > 0.
Τέλος, όταν Χ = 0
Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α = 1.
Η 2η ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης έχει απλή γραφική ερμηνεία. Βρίσκεται στο γεγονός ότι το γράφημα αυτής της συνάρτησης (βλ. Εικ. 246 και 247) βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω από τον άξονα της τετμημένης.
Ιδιοκτησία 3. Αν Ας θυμηθούμε ότι κάτω >1, τότε πότε Χ > 0 ΕΝΑ y = α > 1, και πότε Χ < 0 Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α < 1. Αν Ας θυμηθούμε ότι κάτω < 1, тω, αντίθετα, όταν Χ > 0 ΕΝΑ y = α < 1, και πότε Χ < 0 Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α > 1.
Αυτή η ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης επιτρέπει επίσης μια απλή γεωμετρική ερμηνεία. Στο Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 1 (Εικ. 246) καμπύλες Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε τις βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης y = α που βρίσκεται πάνω από την ευθεία στο = 1 σε Χ > 0 και κάτω από την ευθεία γραμμή στο = 1 σε Χ < 0.
Αν Ας θυμηθούμε ότι κάτω < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε τις βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης y = α που βρίσκεται κάτω από την ευθεία στο = 1 σε Χ > 0 και πάνω από αυτή τη γραμμή στο Χ < 0.
Ας δώσουμε μια αυστηρή απόδειξη της 3ης ιδιότητας. Αφήνω Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 1 και Χ - ένας αυθαίρετος θετικός αριθμός. Ας το δείξουμε
Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α > 1.
Εάν ο αριθμός Χ λογική ( Χ = m / n ), Αυτό Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α = Ας θυμηθούμε ότι κάτω m/ n = n √ένα m .
Επειδή Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 1, λοιπόν Ας θυμηθούμε ότι κάτω m > 1, Αλλά η ρίζα ενός αριθμού μεγαλύτερου από ένα είναι προφανώς και μεγαλύτερη από 1.
Αν Χ είναι παράλογο, τότε υπάρχουν θετικοί ορθολογικοί αριθμοί X" Και X" , που χρησιμεύουν ως δεκαδικές προσεγγίσεις ενός αριθμού y = α :
X"< х < х" .
Αλλά τότε, εξ ορισμού βαθμός με παράλογο εκθέτη
Ας θυμηθούμε ότι κάτω x" < Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α < Ας θυμηθούμε ότι κάτω x"" .
Όπως φαίνεται παραπάνω, ο αριθμός Ας θυμηθούμε ότι κάτω x" περισσότερα από ένα. Επομένως ο αριθμός Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α , μεγαλύτερο από Ας θυμηθούμε ότι κάτω x" , πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερο από 1,
Έτσι, δείξαμε ότι πότε ένα >1 και αυθαίρετο θετικό Χ
Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α > 1.
Εάν ο αριθμός Χ ήταν αρνητικό, τότε θα είχαμε
Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α =
όπου είναι ο αριθμός Χ θα ήταν ήδη θετικό. Γι' αυτό Α - y = α > 1. Επομένως,
Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α = < 1.
Έτσι, όταν Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 1 και αυθαίρετο αρνητικό y = α
Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α < 1.
Η περίπτωση που 0< Ας θυμηθούμε ότι κάτω < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Ιδιοκτησία 4. Αν x = 0, τότε ανεξάρτητα από α Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α =1.
Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του βαθμού μηδέν. η μηδενική ισχύς οποιουδήποτε αριθμού εκτός του μηδενός είναι ίση με 1. Γραφικά, αυτή η ιδιότητα εκφράζεται στο γεγονός ότι για οποιοδήποτε Ας θυμηθούμε ότι κάτω καμπύλη στο = Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α (βλ. Εικ. 246 και 247) τέμνει τον άξονα στο σε σημείο με τεταγμένη 1.
Ιδιοκτησία 5. Στο Ας θυμηθούμε ότι κάτω >1 εκθετική συνάρτηση = Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α αυξάνεται μονότονα και για α < 1 - μονότονα μειώνεται.
Αυτή η ιδιότητα επιτρέπει επίσης μια απλή γεωμετρική ερμηνεία.
Στο Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 1 (Εικ. 246) καμπύλη στο = Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α με την ανάπτυξη Χ ανεβαίνει όλο και πιο ψηλά, και όταν Ας θυμηθούμε ότι κάτω < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Ας δώσουμε μια αυστηρή απόδειξη της 5ης ιδιοκτησίας.
Αφήνω Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 1 και Χ 2 > Χ 1. Ας το δείξουμε
Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 2 > Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 1
Επειδή Χ 2 > Χ 1., λοιπόν Χ 2 = Χ 1 + ρε , Πού ρε - κάποιο θετικό νούμερο. Γι' αυτό
Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 2 - Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 1 = Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 1 + ρε - Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 1 = Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 1 (Ας θυμηθούμε ότι κάτω ρε - 1)
Με τη 2η ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 1 > 0. Αφού ρε > 0, τότε με την 3η ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης Ας θυμηθούμε ότι κάτω ρε > 1. Και οι δύο παράγοντες στο προϊόν Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 1 (Ας θυμηθούμε ότι κάτω ρε - 1) είναι θετικά, επομένως αυτό το ίδιο το προϊόν είναι θετικό. Μέσα, Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 2 - Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 1 > 0 ή Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 2 > Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 1, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.
Λοιπόν, πότε ένα > 1 λειτουργία στο = Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α αυξάνεται μονότονα. Ομοίως αποδεικνύεται ότι όταν Ας θυμηθούμε ότι κάτω < 1 функция στο = Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α μειώνεται μονότονα.
Συνέπεια. Αν δύο δυνάμεις του ίδιου θετικού αριθμού εκτός του 1 είναι ίσες, τότε οι εκθέτες τους είναι ίσοι.
Με άλλα λόγια, αν
Ας θυμηθούμε ότι κάτω σι = Ας θυμηθούμε ότι κάτω ντο (Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 0 και Ας θυμηθούμε ότι κάτω =/= 1),
β = γ .
Πράγματι, αν οι αριθμοί σι Και Με δεν ήταν ίσες, τότε λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης στο = Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α το μεγαλύτερο από αυτά θα αντιστοιχούσε Ας θυμηθούμε ότι κάτω >1 μεγαλύτερο και πότε Ας θυμηθούμε ότι κάτω < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или Ας θυμηθούμε ότι κάτω σι > Ας θυμηθούμε ότι κάτω ντο , ή Ας θυμηθούμε ότι κάτω σι < Ας θυμηθούμε ότι κάτω ντο . Και τα δύο έρχονται σε αντίθεση με την προϋπόθεση Ας θυμηθούμε ότι κάτω σι = Ας θυμηθούμε ότι κάτω ντο . Μένει να το παραδεχτούμε β = γ .
Ιδιοκτησία 6. Αν α > 1, τότε με απεριόριστη αύξηση του επιχειρήματος Χ (Χ -> ∞ ) τιμές συνάρτησης στο = Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α αυξάνονται επίσης επ' αόριστον (στο -> ∞ ). Όταν το όρισμα μειώνεται χωρίς όριο Χ (Χ -> -∞ ) οι τιμές αυτής της συνάρτησης τείνουν στο μηδέν ενώ παραμένουν θετικές (στο->0; στο > 0).
Λαμβάνοντας υπόψη τη μονοτονία της συνάρτησης που αποδείχθηκε παραπάνω στο = Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α , μπορούμε να πούμε ότι στην υπό εξέταση περίπτωση η συνάρτηση στο = Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α αυξάνεται μονοτονικά από 0 σε ∞ .
Αν 0 <ΕΝΑ < 1, τότε με απεριόριστη αύξηση στο όρισμα x (x -> ∞), οι τιμές της συνάρτησης y = a x τείνουν στο μηδέν, ενώ παραμένουν θετικές (στο->0; στο > 0). Όταν το όρισμα x μειώνεται χωρίς όριο (Χ -> -∞ ) οι τιμές αυτής της συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα (στο -> ∞ ).
Λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης y = a x μπορούμε να πούμε ότι στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση στο = Ας θυμηθούμε ότι κάτω y = α μονότονα μειώνεται από ∞ έως 0.
Η 6η ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης αντικατοπτρίζεται ξεκάθαρα στα Σχήματα 246 και 247. Δεν θα το αποδείξουμε αυστηρά.
Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να καθορίσουμε το εύρος διακύμανσης της εκθετικής συνάρτησης y = a x (Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 0, Ας θυμηθούμε ότι κάτω =/= 1).
Παραπάνω αποδείξαμε ότι η συνάρτηση y = a x παίρνει μόνο θετικές τιμές και είτε αυξάνεται μονότονα από 0 σε ∞ (στο Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 1), ή μειώνεται μονότονα από ∞ έως 0 (στο 0< Ας θυμηθούμε ότι κάτω <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x Υπάρχουν άλματα όταν αλλάζετε; Παίρνει κάποιες θετικές τιμές; Αυτό το θέμα επιλύεται θετικά. Αν Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 0 και Ας θυμηθούμε ότι κάτω =/= 1, τότε όποιος κι αν είναι ο θετικός αριθμός στο 0 σίγουρα θα βρεθεί Χ 0 , έτσι ώστε
Ας θυμηθούμε ότι κάτω x 0 = στο 0 .
(Λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης y = a x καθορισμένη τιμή Χ Το 0 θα είναι, φυσικά, το μόνο.)
Η απόδειξη αυτού του γεγονότος ξεφεύγει από το πεδίο εφαρμογής του προγράμματός μας. Η γεωμετρική του ερμηνεία είναι αυτή για οποιαδήποτε θετική τιμή στο Γράφημα συνάρτησης 0 y = a x σίγουρα θα διασταυρωθεί με μια ευθεία γραμμή στο = στο 0 και, επιπλέον, μόνο σε ένα σημείο (Εικ. 248).
Από αυτό μπορούμε να συναγάγουμε το ακόλουθο συμπέρασμα, το οποίο διατυπώνουμε ως ιδιότητα 7.
Ιδιοκτησία 7. Το εμβαδόν μεταβολής της εκθετικής συνάρτησης y = a x (Ας θυμηθούμε ότι κάτω > 0, Ας θυμηθούμε ότι κάτω =/= 1)είναι το σύνολο όλων των θετικών αριθμών.
Γυμνάσια
1368. Βρείτε τους τομείς ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:
1369. Ποιος από αυτούς τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος του 1 και ποιος είναι μικρότερος του 1:
1370. Με βάση ποια ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης μπορεί να δηλωθεί ότι
α) (5 / 7) 2,6 > (5 / 7) 2,5; β) (4 / 3) 1.3 > (4 / 3) 1.2
1371. Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος:
ΕΝΑ) π - √3 ή (1/ π ) - √3 ; γ) (2 / 3) 1 + √6 ή (2 / 3) √2 + √5 ;
β) ( π / 4) 1 + √3 ή ( π / 4) 2; δ) (√3) √2 - √5 ή (√3) √3 - 2 ?
1372. Είναι οι ανισώσεις ισοδύναμες:
1373. Τι μπορεί να ειπωθεί για τους αριθμούς Χ Και στο , Αν ένα x = και y , Πού Ας θυμηθούμε ότι κάτω - ένας δεδομένος θετικός αριθμός;
1374. 1) Είναι δυνατόν μεταξύ όλων των τιμών της συνάρτησης στο = 2x αποκορύφωμα:
2) Είναι δυνατόν μεταξύ όλων των τιμών της συνάρτησης στο = 2 | x| αποκορύφωμα:
ΕΝΑ) υψηλότερη τιμή; β) η μικρότερη τιμή;
Εστία:
Ορισμός. Λειτουργία είδος ονομάζεται εκθετική συνάρτηση .
Σχόλιο. Εξαίρεση από τις βασικές τιμές ένααριθμοί 0; 1 και αρνητικές τιμές έναεξηγείται από τις ακόλουθες συνθήκες:
Η ίδια η αναλυτική έκφραση ένα xΣε αυτές τις περιπτώσεις, διατηρεί το νόημά του και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων. Για παράδειγμα, για την έκφραση x yτελεία x = 1; y = 1 είναι εντός του εύρους των αποδεκτών τιμών.
Κατασκευάστε γραφήματα συναρτήσεων: και.
 |
 |
| Γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης | |
| y =ένα y = α, α > 1 | y =ένα y = α , 0< a < 1 |
 |
 |
Ιδιότητες της Εκθετικής Συνάρτησης
| Ιδιότητες της Εκθετικής Συνάρτησης | y =ένα y = α, α > 1 | y =ένα y = α , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Εύρος λειτουργιών | ||
| 3. Διαστήματα σύγκρισης με μονάδα | στο y = α> 0, α y = α > 1 | στο y = α > 0, 0< a y = α < 1 |
| στο y = α < 0, 0< a y = α < 1 | στο y = α < 0, a y = α > 1 | |
| 4. Ζυγός, περιττός. | Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή (συνάρτηση γενικής μορφής). | |
| 5.Μονοτονία. | μονότονα αυξάνεται κατά R | μειώνεται μονότονα κατά R |
| 6. Ακραίες. | Η εκθετική συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. | |
| 7.Ασύμπτωτο | Ο-άξονας xείναι μια οριζόντια ασύμπτωτη. | |
| 8. Για τυχόν πραγματικές αξίες y = αΚαι y; |  |
|
Όταν ο πίνακας συμπληρώνεται, οι εργασίες λύνονται παράλληλα με τη συμπλήρωση.
Εργασία Νο. 1. (Για να βρείτε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης).
Ποιες τιμές ορίσματος ισχύουν για συναρτήσεις:
Εργασία Νο. 2. (Για να βρείτε το εύρος τιμών μιας συνάρτησης).
Το σχήμα δείχνει το γράφημα της συνάρτησης. Καθορίστε τον τομέα ορισμού και το εύρος τιμών της συνάρτησης:
 |
 |
 |
 |
Εργασία Νο. 3. (Να υποδεικνύονται τα διαστήματα σύγκρισης με ένα).
Συγκρίνετε καθεμία από τις παρακάτω δυνάμεις με μία:
Εργασία Νο 4. (Να μελετηθεί η συνάρτηση για μονοτονία).
Συγκρίνετε πραγματικούς αριθμούς κατά μέγεθος mΚαι nΑν:
Εργασία Νο 5. (Να μελετηθεί η συνάρτηση για μονοτονία).
Βγάλτε ένα συμπέρασμα σχετικά με τη βάση ένα, Εάν:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x
Πώς είναι οι γραφικές παραστάσεις των εκθετικών συναρτήσεων μεταξύ τους για x > 0, x = 0, x< 0?
Σε ένα επίπεδο συντεταγμένωνΚατασκευάστηκαν γραφήματα συναρτήσεων:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
Πώς είναι οι γραφικές παραστάσεις των εκθετικών συναρτήσεων μεταξύ τους για x > 0, x = 0, x< 0?
| Αριθμός
μια από τις πιο σημαντικές σταθερές στα μαθηματικά. Εξ ορισμού, αυτό ίσο με το όριο της ακολουθίας
με απεριόριστες
αυξανόμενος n
. Ονομασίαμι μπήκε
Λέοναρντ Όιλερ
το 1736. Υπολόγισε τα πρώτα 23 ψηφία αυτού του αριθμού με δεκαδικό συμβολισμό και ο ίδιος ο αριθμός ονομάστηκε προς τιμήν του Νάπιερ «αριθμός που δεν είναι Πιέρ». ΟνομασίαΑριθμός παίζειιδιαίτερο ρόλο στη μαθηματική ανάλυση. Εκθετική συνάρτηση Ονομασία, που ονομάζεται εκθέτης και ορίζεται y = e x. Πρώτα σημάδια αριθμοί Ονομασίαεύκολο να θυμάστε: δύο, κόμμα, επτά, έτος γέννησης του Λέοντος Τολστόι - δύο φορές, σαράντα πέντε, ενενήντα, σαράντα πέντε. |
 |
Σχολική εργασία στο σπίτι:
Kolmogorov παράγραφος 35· Νο. 445-447; 451; 453.
Επαναλάβετε τον αλγόριθμο για την κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων που περιέχουν μια μεταβλητή κάτω από το σύμβολο συντελεστή.
1. Μια εκθετική συνάρτηση είναι συνάρτηση της μορφής y(x) = a x, ανάλογα με τον εκθέτη x, με σταθερή τιμή της βάσης του βαθμού a, όπου a > 0, a ≠ 0, xϵR (R είναι το σύνολο πραγματικών αριθμών).
Ας αναλογιστούμε γράφημα της συνάρτησης αν η βάση δεν ικανοποιεί την συνθήκη: α>0
α) α< 0
Αν α< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Αν a = 0, η συνάρτηση y = ορίζεται και έχει σταθερή τιμή 0
γ) α =1
Αν a = 1, η συνάρτηση y = ορίζεται και έχει σταθερή τιμή 1
Τομέας συνάρτησης (DOF) Εύρος επιτρεπόμενων τιμών συνάρτησης (APV) 3. Μηδενικά της συνάρτησης (y = 0) 4. Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων oy (x = 0) 5. Αύξηση, μείωση συναρτήσεων Αν , τότε η συνάρτηση f(x) αυξάνεται 6. Ζυγή, περιττή συνάρτηση Η συνάρτηση y = δεν είναι συμμετρική ως προς τον άξονα 0y και ως προς την αρχή, επομένως δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. (Γενική λειτουργία) 7. Η συνάρτηση y = δεν έχει άκρα 8. Ιδιότητες βαθμού με πραγματικό εκθέτη: Έστω a > 0; a≠1 Στη συνέχεια για xϵR; yϵR: Ιδιότητες βαθμού μονοτονίας: αν, τότε Αν a> 0, τότε . 9. Σχετική θέση της συνάρτησης Όσο μεγαλύτερη είναι η βάση a, τόσο πιο κοντά στους άξονες x και oy a > 1, a = 20 Παράδειγμα 1. Ας βρούμε την τιμή της έκφρασης για διάφορες ορθολογικές τιμές της μεταβλητής x=2. 0; -3; - Σημειώστε ότι ανεξάρτητα από τον αριθμό που αντικαθιστούμε τη μεταβλητή x, μπορούμε πάντα να βρούμε την τιμή αυτής της παράστασης. Αυτό σημαίνει ότι εξετάζουμε μια εκθετική συνάρτηση (το E ισούται με τρία στη δύναμη του x), που ορίζεται στο σύνολο των ρητών αριθμών: . Ας φτιάξουμε ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης, συντάσσοντας έναν πίνακα με τις τιμές της. Ας σχεδιάσουμε μια ομαλή γραμμή που διέρχεται από αυτά τα σημεία (Εικόνα 1) Χρησιμοποιώντας το γράφημα αυτής της συνάρτησης, ας εξετάσουμε τις ιδιότητές της: 3. Αυξάνεται σε ολόκληρη την περιοχή ορισμού. 8. Η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω. Αν κατασκευάσουμε γραφήματα συναρτήσεων σε ένα σύστημα συντεταγμένων. y=(y είναι ίσο με δύο στη δύναμη του x, y ίσο με πέντε με τη δύναμη του x, y ίσο με επτά με τη δύναμη του x), τότε μπορείτε να δείτε ότι έχουν τις ίδιες ιδιότητες με το y= (το y ισούται με τρία με τη δύναμη του x) (Εικ. .2), δηλαδή όλες οι συναρτήσεις της μορφής y = (a ισούται με a με την ισχύ x, για μεγαλύτερο από ένα) θα έχουν τέτοιες ιδιότητες Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση: 1. Σύνταξη πίνακα με τις τιμές του. Ας σημειώσουμε τα ληφθέντα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Ας σχεδιάσουμε μια ομαλή γραμμή που διέρχεται από αυτά τα σημεία (Εικόνα 3). Χρησιμοποιώντας το γράφημα αυτής της συνάρτησης, υποδεικνύουμε τις ιδιότητές της: 1. Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. 2. Δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός. 3.Μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. 4. Δεν έχει ούτε τις μεγαλύτερες ούτε τις μικρότερες τιμές. 5.Περιορίζεται παρακάτω, αλλά δεν περιορίζεται παραπάνω. 6.Συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού. 7. εύρος τιμών από μηδέν έως συν άπειρο. 8. Η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω. Ομοίως, αν κατασκευάσουμε γραφήματα συναρτήσεων σε ένα σύστημα συντεταγμένων. y = (y είναι ίσο με το μισό της δύναμης του x, το y ισούται με το ένα πέμπτο της δύναμης του x, το y είναι ίσο με το ένα έβδομο της δύναμης του x), τότε μπορείτε να παρατηρήσετε ότι έχουν τις ίδιες ιδιότητες με το y = (y είναι ίσο με το ένα τρίτο της δύναμης x (Εικ. 4), δηλαδή όλες οι συναρτήσεις της μορφής y = (το y είναι ίσο με το ένα διαιρούμενο με το a στη δύναμη x, με μεγαλύτερο από μηδέν αλλά μικρότερο από ένα) θα έχει τέτοιες ιδιότητες. Ας κατασκευάσουμε γραφήματα συναρτήσεων σε ένα σύστημα συντεταγμένων Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=y= θα είναι επίσης συμμετρικές (το y είναι ίσο με το a με την ισχύ x και το y είναι ίσο με το ένα διαιρούμενο με το a στη δύναμη x) για την ίδια τιμή του a. Ας συνοψίσουμε τι έχει ειπωθεί ορίζοντας την εκθετική συνάρτηση και υποδεικνύοντας τις κύριες ιδιότητές της: Ορισμός:Μια συνάρτηση της μορφής y=, όπου (το y είναι ίσο με το a στη δύναμη x, όπου το a είναι θετικό και διαφορετικό από το ένα), ονομάζεται εκθετική συνάρτηση. Είναι απαραίτητο να θυμόμαστε τις διαφορές μεταξύ της εκθετικής συνάρτησης y= και της συνάρτησης ισχύος y=, a=2,3,4,…. τόσο ακουστικά όσο και οπτικά. Η εκθετική συνάρτηση Χείναι πτυχίο, και λειτουργία ισχύος Χείναι η βάση. Παράδειγμα 1: Λύστε την εξίσωση (τρία στη δύναμη x ισούται με εννέα) (Το Υ είναι ίσο με τρία με τη δύναμη του Χ και το Υ είναι ίσο με εννέα) Εικ. 7 Σημειώστε ότι έχουν ένα κοινό σημείο M (2;9) (em με συντεταγμένες δύο, εννέα), που σημαίνει ότι η τετμημένη του σημείου θα είναι η ρίζα δεδομένη εξίσωση. Δηλαδή, η εξίσωση έχει μία ρίζα x = 2. Παράδειγμα 2: Λύστε την εξίσωση Σε ένα σύστημα συντεταγμένων, θα κατασκευάσουμε δύο γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης y= (το y είναι ίσο με πέντε με τη δύναμη του x και το y είναι ίσο με ένα εικοστό πέμπτο) Εικ. 8. Οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε ένα σημείο T (-2; (te με συντεταγμένες μείον δύο, ένα εικοστό πέμπτο). Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα της εξίσωσης είναι x = -2 (αριθμός μείον δύο). Παράδειγμα 3: Λύστε την ανίσωση Σε ένα σύστημα συντεταγμένων θα κατασκευάσουμε δύο γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης y= (Το Υ είναι ίσο με τρία με τη δύναμη του Χ και το Υ είναι ίσο με είκοσι επτά). Εικ.9 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=at x Επομένως, η λύση της ανισότητας είναι το διάστημα (από μείον άπειρο έως τρία) Παράδειγμα 4: Λύστε την ανίσωση Σε ένα σύστημα συντεταγμένων, θα κατασκευάσουμε δύο γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης y= (το y είναι ίσο με το ένα τέταρτο της δύναμης του x και το y είναι ίσο με δεκαέξι). (Εικ. 10). Οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε ένα σημείο Κ (-2;16). Αυτό σημαίνει ότι η λύση της ανισότητας είναι το διάστημα (-2; (από μείον δύο έως συν άπειρο), αφού η γραφική παράσταση της συνάρτησης y= βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο x Η συλλογιστική μας επιτρέπει να επαληθεύσουμε την εγκυρότητα των ακόλουθων θεωρημάτων: Θέμα 1: Αν αληθεύει αν και μόνο αν m=n. Θεώρημα 2: Αν είναι αληθές αν και μόνο αν, η ανισότητα είναι αληθής αν και μόνο αν (Εικ. *) Θεώρημα 4: Αν είναι αληθές αν και μόνο αν (Εικ.**), η ανισότητα είναι αληθής αν και μόνο αν Θεώρημα 3: Αν αληθεύει αν και μόνο αν m=n. Παράδειγμα 5: Γραφική παράσταση της συνάρτησης y= Ας τροποποιήσουμε τη συνάρτηση εφαρμόζοντας την ιδιότητα του βαθμού y= Ας κατασκευάσουμε ένα επιπλέον σύστημα συντεταγμένων και μέσα νέο σύστημασυντεταγμένες, θα κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (το y είναι ίσο με δύο της δύναμης x) Εικ. 11. Παράδειγμα 6: Λύστε την εξίσωση Σε ένα σύστημα συντεταγμένων θα κατασκευάσουμε δύο γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης y= (Το Υ ισούται με επτά με τη δύναμη του Χ και το Υ είναι ίσο με οκτώ μείον Χ) Εικ. 12. Οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε ένα σημείο Ε (1; (ε με συντεταγμένες ένα; επτά). Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα της εξίσωσης είναι x = 1 (x ίση με ένα). Παράδειγμα 7: Λύστε την ανίσωση Σε ένα σύστημα συντεταγμένων θα κατασκευάσουμε δύο γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης y= (Το Υ ισούται με το ένα τέταρτο της δύναμης του Χ και το Υ είναι ίσο με Χ συν πέντε). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y= βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x+5 όταν η λύση της ανίσωσης είναι το διάστημα x (από μείον ένα έως συν άπειρο).
2. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην εκθετική συνάρτηση:
0
Αν , τότε η συνάρτηση f(x) μειώνεται
Συνάρτηση y= , στο 0
Αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες της μονοτονίας μιας δύναμης με πραγματικό εκθέτη.
b> 0; b≠1
Για παράδειγμα:
Η εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής σε οποιοδήποτε σημείο ϵ R.
Αν a0, τότε η εκθετική συνάρτηση παίρνει μορφή κοντά στο y = 0.
Αν a1, τότε πιο μακριά από τους άξονες ox και oy και η γραφική παράσταση παίρνει μια μορφή κοντά στη συνάρτηση y = 1.
Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση y =
