Παρέχει δεδομένα αναφοράς για την εκθετική συνάρτηση - βασικές ιδιότητες, γραφήματα και τύπους. Εξετάζονται τα ακόλουθα ζητήματα: τομέας ορισμού, σύνολο τιμών, μονοτονία, αντίστροφη συνάρτηση, παράγωγο, ολοκλήρωμα, επέκταση σε σειρά ισχύοςκαι αναπαράσταση με χρήση μιγαδικών αριθμών.
Ορισμός
Εκθετική συνάρτηση
είναι μια γενίκευση του γινομένου n αριθμών ίσου με a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
στο σύνολο των πραγματικών αριθμών x:
y (χ) = τσεκούρι.
Εδώ το a είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός, ο οποίος καλείται βάση της εκθετικής συνάρτησης.
Μια εκθετική συνάρτηση με βάση a ονομάζεται επίσης εκθέτης στη βάση α.
Η γενίκευση γίνεται ως εξής.
Για φυσικό x = 1, 2, 3,...
, η εκθετική συνάρτηση είναι το γινόμενο x παραγόντων:
.
Επιπλέον, έχει ιδιότητες (1,5-8) (), οι οποίες προκύπτουν από τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των αριθμών. Στο μηδέν και αρνητικές τιμέςακέραιοι, η εκθετική συνάρτηση προσδιορίζεται με τους τύπους (1.9-10). Για κλασματικές τιμές x = m/n ρητικούς αριθμούς, προσδιορίζεται από τον τύπο (1.11). Για τα πραγματικά, η εκθετική συνάρτηση ορίζεται ως όριο ακολουθίας:
,
όπου είναι μια αυθαίρετη ακολουθία ρητών αριθμών που συγκλίνει στο x: .
Με αυτόν τον ορισμό, η εκθετική συνάρτηση ορίζεται για όλα τα , και ικανοποιεί τις ιδιότητες (1,5-8), όπως για το φυσικό x.
Μια αυστηρή μαθηματική διατύπωση του ορισμού μιας εκθετικής συνάρτησης και της απόδειξης των ιδιοτήτων της δίνεται στη σελίδα «Ορισμός και απόδειξη των ιδιοτήτων μιας εκθετικής συνάρτησης».
Ιδιότητες της Εκθετικής Συνάρτησης
Η εκθετική συνάρτηση y = a x έχει τις ακόλουθες ιδιότητες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ():
(1.1)
καθορισμένο και συνεχές, για , για όλους ;
(1.2)
για ένα ≠ 1
έχει πολλές έννοιες.
(1.3)
αυστηρά αυξάνει σε, μειώνεται αυστηρά σε,
είναι σταθερή στο ?
(1.4)
στο ;
στο ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Άλλες χρήσιμες φόρμουλες.
.
Τύπος μετατροπής σε εκθετική συνάρτηση με διαφορετική βάση εκθετών:
Όταν b = e, λαμβάνουμε την έκφραση της εκθετικής συνάρτησης μέσω της εκθετικής:
Ιδιωτικές αξίες
, , , , .
Το σχήμα δείχνει γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης
y (χ) = τσεκούρι
για τέσσερις τιμές βάσεις πτυχίων: α = 2
, α = 8
, α = 1/2
και α = 1/8
. 1
Μπορεί να φανεί ότι για ένα > η εκθετική συνάρτηση αυξάνεται μονότονα. Όσο μεγαλύτερη είναι η βάση του βαθμού α, τόσο περισσότεροισχυρή ανάπτυξη 0
< a < 1
η εκθετική συνάρτηση μειώνεται μονότονα. Όσο μικρότερος είναι ο εκθέτης α, τόσο μεγαλύτερη είναι η μείωση.
Ανεβαίνοντας, κατεβαίνοντας
Η εκθετική συνάρτηση για είναι αυστηρά μονότονη και επομένως δεν έχει ακρότατα. Οι κύριες ιδιότητές του παρουσιάζονται στον πίνακα.
| y = a x , a > 1 | y = τσεκούρι, 0 < a < 1 | |
| Τομέας ορισμού | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Εύρος τιμών | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Μονότονη ομιλία | αυξάνεται μονοτονικά | μειώνεται μονοτονικά |
| Μηδενικά, y = 0 | Οχι | Οχι |
| Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Αντίστροφη συνάρτηση
Το αντίστροφο μιας εκθετικής συνάρτησης με βάση α είναι ο λογάριθμος προς τη βάση α.
Αν, τότε
.
Αν, τότε
.
Διαφοροποίηση εκθετικής συνάρτησης
Για να διαφοροποιήσετε μια εκθετική συνάρτηση, η βάση της πρέπει να μειωθεί στον αριθμό e, να εφαρμόσετε τον πίνακα των παραγώγων και τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετη λειτουργία.
Για να γίνει αυτό πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα των λογαρίθμων
και ο τύπος από τον πίνακα παραγώγων:
.
Ας δοθεί μια εκθετική συνάρτηση:
.
Το φέρνουμε στη βάση e:
Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων. Για να το κάνετε αυτό, εισάγετε τη μεταβλητή
Τότε
Από τον πίνακα των παραγώγων έχουμε (αντικαταστήστε τη μεταβλητή x με z):
.
Εφόσον είναι σταθερά, η παράγωγος του z ως προς το x είναι ίση με
.
Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:
.
Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης
.
Παράγωγο νης τάξης:
.
Εξαγωγή τύπων > > >
Ένα παράδειγμα διαφοροποίησης μιας εκθετικής συνάρτησης
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
y= 3 5 x
Διάλυμα
Ας εκφράσουμε τη βάση της εκθετικής συνάρτησης μέσω του αριθμού e.
3 = e ln 3
Τότε
.
Εισαγάγετε μια μεταβλητή
.
Τότε
Από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.
Από 5ln 3είναι σταθερά, τότε η παράγωγος του z ως προς το x είναι ίση με:
.
Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης, έχουμε:
.
Απάντηση
Ολοκλήρωμα
Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών
Θεωρήστε τη συνάρτηση μιγαδικού αριθμού z:
φά (z) = a z
όπου z = x + iy; 2 = - 1
.
εγώ
Ας εκφράσουμε τη μιγαδική σταθερά a με βάση το μέτρο r και το όρισμα φ:
Τότε
.
a = r e i φ
φ = φ Το όρισμα φ δεν ορίζεται μοναδικά. Σε γενικές γραμμές,
0 + 2 πn όπου n είναι ακέραιος αριθμός. Επομένως η συνάρτηση f(z)
.
επίσης δεν είναι σαφές. Συχνά εξετάζεται η κύρια σημασία του
.
Επέκταση σειράς
Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.2
Μάθημα αρ.
Θέμα: Εκθετική συνάρτηση, οι ιδιότητες και η γραφική παράσταση της.Στόχος:
Ελέγξτε την ποιότητα της κατάκτησης της έννοιας της "εκθετικής συνάρτησης". να αναπτύξουν τις δεξιότητες και τις ικανότητες για την αναγνώριση μιας εκθετικής συνάρτησης, τη χρήση των ιδιοτήτων και των γραφημάτων της, για να διδάξουν στους μαθητές να χρησιμοποιούν αναλυτικές και γραφικές μορφές γραφής μιας εκθετικής συνάρτησης. παρέχουν ένα εργασιακό περιβάλλον στην τάξη.Εξοπλισμός:
πίνακας, αφίσεςΦόρμα μαθήματος
Τύπος μαθήματος: πρακτικό μάθημα
Τύπος μαθήματος: μάθημα διδασκαλίας δεξιοτήτων και ικανοτήτων
Σχέδιο μαθήματος
1. Οργανωτική στιγμή
2. Ανεξάρτητη εργασίακαι ελέγξτε σχολική εργασία στο σπίτι
3. Επίλυση προβλημάτων
4. Συνοψίζοντας
5. Εργασία για το σπίτι
Πρόοδος μαθήματος.
1. Οργανωτική στιγμή :
Γειά σου. Ανοίξτε τα σημειωματάρια σας, σημειώστε τη σημερινή ημερομηνία και το θέμα του μαθήματος «Εκθετική συνάρτηση». Σήμερα θα συνεχίσουμε να μελετάμε την εκθετική συνάρτηση, τις ιδιότητές της και τη γραφική παράσταση.
2. Ανεξάρτητη εργασία και έλεγχος εργασίας .
Θέμα: Εκθετική συνάρτηση, οι ιδιότητες και η γραφική παράσταση της.ελέγξτε την ποιότητα της γνώσης της έννοιας της «εκθετικής συνάρτησης» και ελέγξτε την ολοκλήρωση του θεωρητικού μέρους της εργασίας
Μέθοδος:δοκιμαστική εργασία, μετωπική έρευνα
Ως εργασία, σας δόθηκαν αριθμοί από το βιβλίο προβλημάτων και μια παράγραφο από το σχολικό βιβλίο. Δεν θα ελέγξουμε την εκτέλεση των αριθμών από το σχολικό βιβλίο τώρα, αλλά θα παραδώσετε τα τετράδιά σας στο τέλος του μαθήματος. Τώρα η θεωρία θα δοκιμαστεί με τη μορφή ενός μικρού τεστ. Η εργασία είναι η ίδια για όλους: σας δίνεται μια λίστα συναρτήσεων, πρέπει να μάθετε ποιες από αυτές είναι ενδεικτικές (υπογραμμίστε τις). Και δίπλα στην εκθετική συνάρτηση πρέπει να γράψετε αν αυξάνεται ή μειώνεται.
Επιλογή 1 Απάντηση ΣΙ) Δ) - εκθετική, φθίνουσα | Επιλογή 2 Απάντηση Δ) - εκθετική, φθίνουσα ΡΕ) - εκθετική, αυξανόμενη |
Επιλογή 3 Απάντηση ΕΝΑ) - εκθετική, αυξανόμενη ΣΙ) - εκθετική, φθίνουσα | Επιλογή 4 Απάντηση ΕΝΑ) - εκθετική, φθίνουσα ΣΕ) - εκθετική, αυξανόμενη |
Τώρα ας θυμηθούμε μαζί ποια συνάρτηση ονομάζεται εκθετική;
Μια συνάρτηση της μορφής , όπου και , ονομάζεται εκθετική συνάρτηση.
Ποιο είναι το εύρος αυτής της λειτουργίας;
Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί.
Ποιο είναι το εύρος της εκθετικής συνάρτησης;
Όλοι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί.
Μειώνεται εάν η βάση της ισχύος είναι μεγαλύτερη από μηδέν αλλά μικρότερη από μία.
Σε ποια περίπτωση μια εκθετική συνάρτηση μειώνεται στο πεδίο ορισμού της;
Αυξάνεται εάν η βάση της ισχύος είναι μεγαλύτερη από μία.
3. Επίλυση προβλημάτων
Στόχος: να αναπτύξουν δεξιότητες στην αναγνώριση μιας εκθετικής συνάρτησης, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες και τα γραφήματα της, να διδάξουν στους μαθητές να χρησιμοποιούν αναλυτικές και γραφικές μορφές γραφής μιας εκθετικής συνάρτησης
Μέθοδος: επίδειξη από τον δάσκαλο επίλυσης τυπικών προβλημάτων, προφορική εργασία, εργασία στον πίνακα, εργασία σε τετράδιο, συζήτηση μεταξύ του δασκάλου και των μαθητών.
Οι ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατά τη σύγκριση 2 ή περισσότερων αριθμών. Για παράδειγμα: Αρ. 000. Συγκρίνετε τις τιμές και αν α) 
..gif" width="37" height="20 src=">, τότε αυτή είναι μια αρκετά δύσκολη δουλειά: θα έπρεπε να εξαγάγουμε κυβική ρίζααπό το 3 και από το 9 και συγκρίνετε τα. Αλλά ξέρουμε ότι αυξάνεται, αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι καθώς αυξάνεται το όρισμα, αυξάνεται η τιμή της συνάρτησης, δηλαδή, χρειάζεται απλώς να συγκρίνουμε τις τιμές του ορίσματος και, είναι προφανές ότι 
(μπορεί να παρουσιαστεί σε μια αφίσα που δείχνει μια αυξανόμενη εκθετική συνάρτηση). Και πάντα, όταν λύνετε τέτοια παραδείγματα, πρώτα καθορίζετε τη βάση της εκθετικής συνάρτησης, τη συγκρίνετε με το 1, προσδιορίζετε τη μονοτονία και προχωράτε στη σύγκριση των ορισμάτων. Στην περίπτωση μιας φθίνουσας συνάρτησης: όταν το όρισμα αυξάνεται, η τιμή της συνάρτησης μειώνεται, επομένως, αλλάζουμε το πρόσημο της ανισότητας όταν μεταβαίνουμε από την ανισότητα των ορισμάτων στην ανισότητα των συναρτήσεων. Στη συνέχεια, λύνουμε προφορικά: β) 
- 
ΣΕ) 
- 
ΣΟΛ) 
- 
- Αρ. 000. Συγκρίνετε τους αριθμούς: α) και
Επομένως, η συνάρτηση αυξάνεται
Γιατί;
Αύξηση της λειτουργίας και 
Επομένως, η συνάρτηση μειώνεται 
Και οι δύο συναρτήσεις αυξάνονται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού τους, καθώς είναι εκθετικές με βάση ισχύος μεγαλύτερη από μία.
Ποιο είναι το νόημα πίσω από αυτό;
Κατασκευάζουμε γραφήματα:
Ποια συνάρτηση αυξάνεται πιο γρήγορα όταν προσπαθείτε https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Ποια συνάρτηση μειώνεται πιο γρήγορα όταν προσπαθείτε https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Στο διάστημα ποια από τις συναρτήσεις έχει υψηλότερη τιμήσε συγκεκριμένο σημείο;
Δ), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Αρχικά, ας μάθουμε το εύρος του ορισμού αυτών των συναρτήσεων. Συμπίπτουν;
Ναι, ο τομέας αυτών των συναρτήσεων είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί.
Ονομάστε το εύρος καθεμιάς από αυτές τις λειτουργίες.
Τα εύρη αυτών των συναρτήσεων συμπίπτουν: όλοι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί.
Προσδιορίστε το είδος της μονοτονίας κάθε συνάρτησης.
Και οι τρεις συναρτήσεις μειώνονται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού τους, καθώς είναι εκθετικές με βάση δυνάμεων μικρότερη από ένα και μεγαλύτερη από μηδέν.
Ποιο ειδικό σημείο υπάρχει στο γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης;
Ποιο είναι το νόημα πίσω από αυτό;
Όποια και αν είναι η βάση του βαθμού μιας εκθετικής συνάρτησης, αν ο εκθέτης περιέχει 0, τότε η τιμή αυτής της συνάρτησης είναι 1.
Κατασκευάζουμε γραφήματα:
Ας αναλύσουμε τα γραφήματα. Πόσα σημεία τομής έχουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων;
Ποια συνάρτηση μειώνεται πιο γρήγορα όταν προσπαθείτε https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">
Ποια συνάρτηση αυξάνεται πιο γρήγορα όταν προσπαθείτε https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">
Στο διάστημα, ποια από τις συναρτήσεις έχει μεγαλύτερη αξία σε ένα συγκεκριμένο σημείο;
Στο διάστημα, ποια από τις συναρτήσεις έχει μεγαλύτερη αξία σε ένα συγκεκριμένο σημείο;
Γιατί οι εκθετικές συναρτήσεις με διαφορετικές βάσεις έχουν μόνο ένα σημείο τομής;
Οι εκθετικές συναρτήσεις είναι αυστηρά μονότονες σε όλο το πεδίο ορισμού τους, επομένως μπορούν να τέμνονται μόνο σε ένα σημείο.
Η επόμενη εργασία θα επικεντρωθεί στη χρήση αυτής της ιδιότητας. Νο. 000. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή δεδομένη λειτουργίασε δεδομένο διάστημα α) . Θυμηθείτε ότι μια αυστηρά μονότονη συνάρτηση παίρνει τις ελάχιστες και μέγιστες τιμές της στα άκρα ενός δεδομένου τμήματος. Και αν η συνάρτηση αυξάνεται, τότε είναι υψηλότερη τιμήθα βρίσκεται στο δεξί άκρο του τμήματος και το μικρότερο στο αριστερό άκρο του τμήματος (επίδειξη στην αφίσα, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας εκθετικής συνάρτησης). Εάν η συνάρτηση μειώνεται, τότε η μεγαλύτερη τιμή της θα είναι στο αριστερό άκρο του τμήματος και η μικρότερη στο δεξιό άκρο του τμήματος (επίδειξη στην αφίσα, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας εκθετικής συνάρτησης). Η συνάρτηση αυξάνεται, επειδή, επομένως, η μικρότερη τιμή της συνάρτησης θα βρίσκεται στο σημείο https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Βαθμοί β ) 
, V) 
δ) λύστε μόνοι σας τα τετράδια, θα τα ελέγξουμε προφορικά.
Οι μαθητές λύνουν την εργασία στο τετράδιό τους
|
Μειωτική λειτουργία
|
Μειωτική λειτουργία
|
Αύξηση της λειτουργίας
|
μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα
η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα
η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα
μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα- Αρ. 000. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της δεδομένης συνάρτησης στο δεδομένο διάστημα α) 
. Αυτή η εργασία είναι σχεδόν ίδια με την προηγούμενη. Αλλά αυτό που δίνεται εδώ δεν είναι ένα τμήμα, αλλά μια ακτίνα. Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση αυξάνεται και δεν έχει ούτε τη μεγαλύτερη ούτε τη μικρότερη τιμή σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" ύψος = "20">, και τείνει στο , δηλαδή στην ακτίνα η συνάρτηση στο τείνει στο 0, αλλά δεν έχει τη δική της χαμηλότερη τιμή, αλλά έχει τη μεγαλύτερη αξία στο σημείο 
. Σημεία β) 
, V) 
, Ζ) 
Λύστε μόνοι σας τα τετράδια, θα τα ελέγξουμε προφορικά.
Απόφαση της πλειοψηφίας μαθηματικά προβλήματασχετίζεται κατά κάποιο τρόπο με τον μετασχηματισμό αριθμητικών, αλγεβρικών ή λειτουργικών εκφράσεων. Τα παραπάνω ισχύουν ιδιαίτερα για την απόφαση. Στις εκδόσεις του Unified State Exam στα μαθηματικά, αυτό το είδος προβλήματος περιλαμβάνει, ειδικότερα, την εργασία C3. Η εκμάθηση επίλυσης εργασιών C3 είναι σημαντική όχι μόνο για το σκοπό της επιτυχίας περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, αλλά και για τον λόγο ότι αυτή η δεξιότητα θα είναι χρήσιμη κατά τη μελέτη ενός μαθήματος μαθηματικών στο λύκειο.
Όταν ολοκληρώνετε τις εργασίες C3, πρέπει να αποφασίσετε διάφορα είδηεξισώσεις και ανισώσεις. Μεταξύ αυτών είναι ορθολογικές, παράλογες, εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές, που περιέχουν ενότητες (απόλυτες τιμές), καθώς και συνδυασμένες. Αυτό το άρθρο εξετάζει τους κύριους τύπους εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων, καθώς και διάφορες μεθόδους για την επίλυσή τους. Διαβάστε σχετικά με την επίλυση άλλων τύπων εξισώσεων και ανισώσεων στην ενότητα "" σε άρθρα αφιερωμένα σε μεθόδους επίλυσης προβλημάτων C3 από Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςστα μαθηματικά.
Πριν αρχίσουμε να αναλύουμε συγκεκριμένα εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις, ως δάσκαλος μαθηματικών, σας προτείνω να εμβαθύνετε σε κάποιο θεωρητικό υλικό που θα χρειαστούμε.
Εκθετική συνάρτηση
Τι είναι η εκθετική συνάρτηση;
Λειτουργία της φόρμας y = ένα x, Πού ένα> 0 και ένα≠ 1 ονομάζεται εκθετική συνάρτηση.
Βασικός ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης y = ένα x:
Γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης
Η γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης είναι εκθέτης:
Γραφήματα εκθετικών συναρτήσεων (εκθέτες)
Επίλυση εκθετικών εξισώσεων
Ενδεικτικόςονομάζονται εξισώσεις στις οποίες η άγνωστη μεταβλητή βρίσκεται μόνο σε εκθέτες ορισμένων δυνάμεων.
Να λύσει εκθετικές εξισώσειςπρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο απλό θεώρημα:
Θεώρημα 1.Εκθετική εξίσωση ένα φά(x) = ένα σολ(x) (Πού ένα > 0, ένα≠ 1) ισοδυναμεί με την εξίσωση φά(x) = σολ(x).
Επιπλέον, είναι χρήσιμο να θυμάστε τους βασικούς τύπους και τις πράξεις με βαθμούς:
Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}
Παράδειγμα 1.Λύστε την εξίσωση:
Διάλυμα:Χρησιμοποιούμε τους παραπάνω τύπους και αντικατάσταση:
Τότε η εξίσωση γίνεται:
Διακριτικός του ληφθέντος τετραγωνική εξίσωσηθετικός:
Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}
Αυτό σημαίνει ότι δεδομένη εξίσωσηέχει δύο ρίζες. Τους βρίσκουμε:
Προχωρώντας στην αντίστροφη αντικατάσταση, παίρνουμε:
Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες, αφού η εκθετική συνάρτηση είναι αυστηρά θετική σε όλο το πεδίο ορισμού. Ας λύσουμε το δεύτερο:
Λαμβάνοντας υπόψη όσα ειπώθηκαν στο Θεώρημα 1, προχωράμε στην ισοδύναμη εξίσωση: x= 3. Αυτή θα είναι η απάντηση στην εργασία.
Απάντηση: x = 3.
Παράδειγμα 2.Λύστε την εξίσωση:
Διάλυμα:Η εξίσωση δεν έχει περιορισμούς στο εύρος των επιτρεπόμενων τιμών, αφού η ριζική έκφραση έχει νόημα για οποιαδήποτε τιμή x(εκθετική συνάρτηση y = 9 4 -χθετικό και όχι ίσο με μηδέν).
Λύνουμε την εξίσωση με ισοδύναμους μετασχηματισμούς χρησιμοποιώντας τους κανόνες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων:
Η τελευταία μετάβαση πραγματοποιήθηκε σύμφωνα με το Θεώρημα 1.
Απάντηση:x= 6.
Παράδειγμα 3.Λύστε την εξίσωση:
Διάλυμα:Και οι δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης μπορούν να διαιρεθούν με 0,2 x . Αυτή η μετάβασηθα είναι ισοδύναμο, αφού αυτή η έκφραση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν για οποιαδήποτε τιμή x(η εκθετική συνάρτηση είναι αυστηρά θετική στον τομέα ορισμού της). Τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:
Απάντηση: x = 0.
Παράδειγμα 4.Λύστε την εξίσωση:
Διάλυμα:απλοποιούμε την εξίσωση σε μια στοιχειώδη μέσω ισοδύναμων μετασχηματισμών χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαίρεσης και πολλαπλασιασμού των δυνάμεων που δίνονται στην αρχή του άρθρου:
Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4 x, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός, καθώς αυτή η έκφραση δεν είναι ίση με μηδέν για καμία τιμή x.
Απάντηση: x = 0.
Παράδειγμα 5.Λύστε την εξίσωση:
Διάλυμα:λειτουργία y = 3x, που στέκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, αυξάνεται. Λειτουργία y = —xΤο -2/3 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης μειώνεται. Αυτό σημαίνει ότι αν οι γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων τέμνονται, τότε το πολύ ένα σημείο. ΣΕ σε αυτή την περίπτωσηδεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται στο σημείο x= -1. Δεν θα υπάρχουν άλλες ρίζες.
Απάντηση: x = -1.
Παράδειγμα 6.Λύστε την εξίσωση:
Διάλυμα:απλοποιούμε την εξίσωση μέσω ισοδύναμων μετασχηματισμών, έχοντας υπόψη παντού ότι η εκθετική συνάρτηση είναι αυστηρά μεγαλύτερη από το μηδέν για οποιαδήποτε τιμή xκαι χρησιμοποιώντας τους κανόνες για τον υπολογισμό του γινομένου και του πηλίκου δυνάμεων που δίνονται στην αρχή του άρθρου:
Απάντηση: x = 2.
Επίλυση εκθετικών ανισώσεων
Ενδεικτικόςονομάζονται ανισότητες στις οποίες η άγνωστη μεταβλητή περιέχεται μόνο σε εκθέτες κάποιων δυνάμεων.
Να λύσει εκθετικές ανισότητεςαπαιτείται γνώση του παρακάτω θεωρήματος:
Θεώρημα 2.Αν ένα> 1, τότε η ανισότητα ένα φά(x) > ένα σολ(x) ισοδυναμεί με μια ανισότητα της ίδιας σημασίας: φά(x) > σολ(x). Αν 0< ένα < 1, то показательное неравенство ένα φά(x) > ένα σολ(x) ισοδυναμεί με μια ανισότητα της αντίθετης σημασίας: φά(x) < σολ(x).
Παράδειγμα 7.Λύστε την ανισότητα:
Διάλυμα:Ας παρουσιάσουμε την αρχική ανισότητα με τη μορφή:
Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ανισότητας με το 3 2 x, σε αυτήν την περίπτωση (λόγω της θετικότητας της συνάρτησης y= 3 2x) το πρόσημο της ανισότητας δεν θα αλλάξει:
Ας χρησιμοποιήσουμε την αντικατάσταση:
Τότε η ανισότητα θα πάρει τη μορφή:
Άρα, η λύση της ανισότητας είναι το διάστημα:
μεταβαίνοντας στην αντίστροφη αντικατάσταση, παίρνουμε:
Λόγω της θετικότητας της εκθετικής συνάρτησης, η αριστερή ανισότητα ικανοποιείται αυτόματα. Χρησιμοποιώντας τη γνωστή ιδιότητα του λογάριθμου, προχωράμε στην ισοδύναμη ανισότητα:
Εφόσον η βάση του βαθμού είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος του ενός, ισοδύναμη (από το Θεώρημα 2) είναι η μετάβαση στην ακόλουθη ανισότητα:
Λοιπόν, επιτέλους καταφέραμε απάντηση:
Παράδειγμα 8.Λύστε την ανισότητα:
Διάλυμα:Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων, ξαναγράφουμε την ανισότητα με τη μορφή:
Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητή:
Λαμβάνοντας υπόψη αυτήν την αντικατάσταση, η ανισότητα παίρνει τη μορφή:
Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 7, προκύπτει η ακόλουθη ισοδύναμη ανισότητα:
Άρα, η ανισότητα ικανοποιείται παρακάτω τιμέςμεταβλητός t:
Στη συνέχεια, προχωρώντας στην αντίστροφη αντικατάσταση, παίρνουμε:
Δεδομένου ότι η βάση του βαθμού εδώ είναι μεγαλύτερη από ένα, η μετάβαση στην ανισότητα θα είναι ισοδύναμη (από το Θεώρημα 2):
Τελικά παίρνουμε απάντηση:
Παράδειγμα 9.Λύστε την ανισότητα:
Διάλυμα:
Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με την έκφραση:
Είναι πάντα μεγαλύτερο από το μηδέν (λόγω της θετικότητας της εκθετικής συνάρτησης), επομένως δεν χρειάζεται να αλλάξετε το πρόσημο της ανισότητας. Παίρνουμε:
t που βρίσκεται στο διάστημα:
Προχωρώντας στην αντίστροφη αντικατάσταση, βρίσκουμε ότι η αρχική ανισότητα χωρίζεται σε δύο περιπτώσεις:
Η πρώτη ανισότητα δεν έχει λύσεις λόγω της θετικότητας της εκθετικής συνάρτησης. Ας λύσουμε το δεύτερο:
Παράδειγμα 10.Λύστε την ανισότητα:
Διάλυμα:
Κλαδιά παραβολής y = 2x+2-x 2 κατευθύνονται προς τα κάτω, επομένως περιορίζεται από πάνω από την τιμή που φτάνει στην κορυφή του:
Κλαδιά παραβολής y = x 2 -2xΤα +2 στον δείκτη κατευθύνονται προς τα πάνω, πράγμα που σημαίνει ότι περιορίζεται από κάτω από την τιμή που φτάνει στην κορυφή του:
Ταυτόχρονα, η συνάρτηση αποδεικνύεται επίσης περιορισμένη από κάτω y = 3 x 2 -2x+2, που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Φτάνει τη μικρότερη τιμή του στο ίδιο σημείο με την παραβολή στον εκθέτη, και αυτή η τιμή είναι 3 1 = 3. Έτσι, η αρχική ανισότητα μπορεί να είναι αληθής μόνο εάν η συνάρτηση στα αριστερά και η συνάρτηση στα δεξιά λάβουν την τιμή , ίσο με 3 (η τομή των περιοχών τιμών αυτών των συναρτήσεων είναι μόνο αυτός ο αριθμός). Αυτή η προϋπόθεση ικανοποιείται σε ένα μόνο σημείο x = 1.
Απάντηση: x= 1.
Για να μάθουμε να αποφασίζουμε εκθετικές εξισώσειςκαι ανισότητεςείναι απαραίτητο να εκπαιδεύεστε συνεχώς στην επίλυσή τους. Διάφορα πράγματα μπορούν να σας βοηθήσουν σε αυτό το δύσκολο έργο. μεθοδολογικά εγχειρίδια, βιβλία προβλημάτων στα μαθηματικά δημοτικού, συλλογές αγωνιστικών προβλημάτων, μαθήματα μαθηματικών στο σχολείο, καθώς και ατομικά μαθήματαμε επαγγελματία δάσκαλο. Σας εύχομαι ειλικρινά καλή επιτυχία στην προετοιμασία σας και άριστα αποτελέσματα στις εξετάσεις.
Σεργκέι Βαλέριεβιτς
P.S. Αγαπητοί επισκέπτες! Παρακαλώ μην γράφετε αιτήματα για να λύσετε τις εξισώσεις σας στα σχόλια. Δυστυχώς, δεν έχω καθόλου χρόνο για αυτό. Τέτοια μηνύματα θα διαγραφούν. Παρακαλώ διαβάστε το άρθρο. Ίσως σε αυτό θα βρείτε απαντήσεις σε ερωτήσεις που δεν σας επέτρεψαν να λύσετε μόνοι σας την εργασία σας.
Εκθετική συνάρτηση
Συνάρτηση της μορφής y = a x , όπου το a είναι μεγαλύτερο από μηδέν και το a δεν είναι ίσο με ένα ονομάζεται εκθετική συνάρτηση. Βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης:
1. Το πεδίο ορισμού της εκθετικής συνάρτησης θα είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
2. Το εύρος τιμών της εκθετικής συνάρτησης θα είναι το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών. Μερικές φορές αυτό το σύνολο συμβολίζεται ως R+ για συντομία.
3. Εάν σε μια εκθετική συνάρτηση η βάση a είναι μεγαλύτερη από ένα, τότε η συνάρτηση θα αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού. Αν στην εκθετική συνάρτηση για τη βάση a ικανοποιείται η παρακάτω συνθήκη 0
4. Θα ισχύουν όλες οι βασικές ιδιότητες των πτυχίων. Οι κύριες ιδιότητες των βαθμών αντιπροσωπεύονται από τις ακόλουθες ισότητες:
ένα x *ένα y = α (x+y) ;
(ένα x )/(ένα y ) = α (x-y) ;
(α*β) x = (α x )*(ένα y );
(α/β) x = α x /σι x ;
(ένα x ) y = α (x * y) .
Αυτές οι ισότητες θα ισχύουν για όλες τις πραγματικές τιμές των x και y.
5. Η γραφική παράσταση μιας εκθετικής συνάρτησης διέρχεται πάντα από το σημείο με συντεταγμένες (0;1)
6. Ανάλογα με το αν η εκθετική συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται, η γραφική παράσταση της θα έχει μία από τις δύο μορφές.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας αυξανόμενης εκθετικής συνάρτησης: a>0.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση μιας φθίνουσας εκθετικής συνάρτησης: 0
Τόσο η γραφική παράσταση μιας αύξουσας εκθετικής συνάρτησης όσο και η γραφική παράσταση μιας φθίνουσας εκθετικής συνάρτησης, σύμφωνα με την ιδιότητα που περιγράφεται στην πέμπτη παράγραφο, διέρχονται από το σημείο (0;1).
7. Μια εκθετική συνάρτηση δεν έχει ακραία σημεία, δηλαδή δεν έχει ελάχιστα και μέγιστα σημεία της συνάρτησης. Εάν εξετάσουμε μια συνάρτηση σε οποιοδήποτε συγκεκριμένο τμήμα, τότε η συνάρτηση θα λάβει τις ελάχιστες και μέγιστες τιμές στα άκρα αυτού του διαστήματος.
8. Η συνάρτηση δεν είναι άρτια ή περιττή. Μια εκθετική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση γενική άποψη. Αυτό φαίνεται από τα γραφήματα κανένα από αυτά δεν είναι συμμετρικό είτε ως προς τον άξονα Oy είτε ως προς την αρχή των συντεταγμένων.
Λογάριθμος
Οι λογάριθμοι θεωρούνταν πάντα ένα δύσκολο θέμα σχολικό μάθημαμαθηματικά. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί του λογάριθμου, αλλά για κάποιο λόγο τα περισσότερα σχολικά βιβλία χρησιμοποιούν τον πιο περίπλοκο και ανεπιτυχή από αυτούς.
Θα ορίσουμε τον λογάριθμο απλά και ξεκάθαρα. Για να το κάνουμε αυτό, ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα:
Άρα, έχουμε δυνάμεις δύο. Εάν πάρετε τον αριθμό από την κάτω γραμμή, μπορείτε εύκολα να βρείτε τη δύναμη στην οποία θα πρέπει να αυξήσετε δύο για να λάβετε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, για να πάρετε 16, πρέπει να αυξήσετε δύο στην τέταρτη δύναμη. Και για να πάρετε 64, πρέπει να αυξήσετε δύο στην έκτη δύναμη. Αυτό φαίνεται από τον πίνακα.
Και τώρα - στην πραγματικότητα, ο ορισμός του λογάριθμου:
Ορισμός
Λογάριθμοςνα βασιστεί το α του ορίσματος x είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμόςένα για να πάρετε τον αριθμό x.
Ονομασία
log a x = b
όπου a είναι η βάση, x το όρισμα, β - στην πραγματικότητα, με τι ισούται ο λογάριθμος.
Για παράδειγμα, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ο λογάριθμος βάσης 2 του 8 είναι τρεις επειδή 2 3 = 8). Με την ίδια επιτυχία, log 2 64 = 6, αφού 2 6 = 64.
Η πράξη εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού σε μια δεδομένη βάση ονομάζεταιλογάριθμος . Ας προσθέσουμε λοιπόν στο τραπέζι μας νέα γραμμή:
Δυστυχώς, δεν υπολογίζονται όλοι οι λογάριθμοι τόσο εύκολα. Για παράδειγμα, προσπαθήστε να βρείτε το αρχείο καταγραφής 2 5. Ο αριθμός 5 δεν βρίσκεται στον πίνακα, αλλά η λογική υπαγορεύει ότι ο λογάριθμος θα βρίσκεται κάπου στο διάστημα. Επειδή 2 2< 5 < 2 3 , а чем περισσότερο πτυχίοδύο, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός.
Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι: οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή μπορούν να γραφτούν επ' άπειρον και δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, είναι καλύτερα να τον αφήσετε έτσι: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ένας λογάριθμος είναι μια έκφραση με δύο μεταβλητές (τη βάση και το όρισμα). Στην αρχή, πολλοί άνθρωποι μπερδεύουν πού είναι η βάση και πού είναι το επιχείρημα. Για να αποφύγετε ενοχλητικές παρεξηγήσεις, απλά δείτε την εικόνα:
Μπροστά μας δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον ορισμό του λογάριθμου. Θυμηθείτε: ο λογάριθμος είναι δύναμη , στην οποία πρέπει να ενσωματωθεί η βάση για να ληφθεί ένα όρισμα.Είναι η βάση που ανυψώνεται σε δύναμη - επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα στην εικόνα. Αποδεικνύεται ότι η βάση είναι πάντα στο κάτω μέρος! Λέω στους μαθητές μου αυτόν τον υπέροχο κανόνα στο πρώτο μάθημα - και δεν δημιουργείται σύγχυση.
Καταλάβαμε τον ορισμό - το μόνο που μένει είναι να μάθουμε πώς να μετράμε λογάριθμους, δηλ. απαλλαγείτε από το σημάδι "κούτσουρο". Αρχικά, σημειώνουμε ότι Από τον ορισμό ακολουθούν δύο πράγματα σημαντικά γεγονότα:
Το όρισμα και η βάση πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό ενός βαθμού από έναν ορθολογικό εκθέτη, στον οποίο ανάγεται ο ορισμός ενός λογάριθμου.
Η βάση πρέπει να είναι διαφορετική από τη μία, αφού η μία σε οποιοδήποτε βαθμό παραμένει μία.Εξαιτίας αυτού, το ερώτημα «σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί κανείς για να πάρει δύο» είναι άνευ σημασίας. Δεν υπάρχει τέτοιο πτυχίο!
Τέτοιοι περιορισμοίκαλούνται εύρος αποδεκτών τιμών(ODZ). Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log a x = β ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Σημειώστε ότι χωρίς περιορισμούς στον αριθμόσι (τιμή λογάριθμου) δεν επικαλύπτεται. Για παράδειγμα, ο λογάριθμος μπορεί κάλλιστα να είναι αρνητικός: log 2 0,5 = −1, επειδή 0,5 = 2 −1.
Ωστόσο, τώρα εξετάζουμε μόνο αριθμητικές εκφράσεις, όπου δεν απαιτείται να γνωρίζουμε το VA του λογαρίθμου. Όλοι οι περιορισμοί έχουν ήδη ληφθεί υπόψη από τους συντάκτες των εργασιών. Αλλά όταν οι λογαριθμικές εξισώσεις και οι ανισότητες μπουν στο παιχνίδι, οι απαιτήσεις DL θα γίνουν υποχρεωτικές. Άλλωστε, η βάση και το επιχείρημα μπορεί να περιέχουν πολύ ισχυρές κατασκευές που δεν ανταποκρίνονται απαραίτητα στους παραπάνω περιορισμούς.
Τώρα αναλογιστείτε τον στρατηγό σχήμα για τον υπολογισμό των λογαρίθμων. Αποτελείται από τρία βήματα:
Δώστε έναν λόγοα και όρισμα x με τη μορφή ισχύος με την ελάχιστη δυνατή βάση μεγαλύτερη από μία. Στην πορεία, είναι καλύτερα να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά.
Λύστε σε σχέση με μια μεταβλητή b εξίσωση: x = a b ;
Ο αριθμός που προκύπτειβ θα είναι η απάντηση.
Αυτό είναι όλο! Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, αυτό θα είναι ορατό ήδη στο πρώτο βήμα. Η απαίτηση να είναι η βάση μεγαλύτερη από μία είναι πολύ σημαντική: αυτό μειώνει την πιθανότητα λάθους και απλοποιεί σημαντικά τους υπολογισμούς. Το ίδιο και με δεκαδικά: αν τα μετατρέψετε αμέσως σε κανονικά, θα υπάρξουν πολύ λιγότερα σφάλματα.
Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό το σχήμα συγκεκριμένα παραδείγματα:
Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 5 25
Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του πέντε: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Λάβαμε την απάντηση: 2.
Υπολογίστε τον λογάριθμο:
Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη τριών: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
Λάβαμε την απάντηση: −4.
−4
Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 4 64
Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Λάβαμε την απάντηση: 3.
Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 16 1
Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Λάβαμε την απάντηση: 0.
Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 7 14
Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του επτά: 7 = 7 1 ; Το 14 δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη του επτά, αφού το 7 1< 14 < 7 2 ;
Από την προηγούμενη παράγραφο προκύπτει ότι ο λογάριθμος δεν μετράει.
Η απάντηση είναι καμία αλλαγή: ημερολόγιο 7 14.
ημερολόγιο 7 14
Μια μικρή σημείωση για το τελευταίο παράδειγμα. Πώς μπορείτε να είστε σίγουροι ότι ένας αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη ενός άλλου αριθμού; Είναι πολύ απλό - απλά χωρίστε το σε πρωταρχικούς παράγοντες. Εάν η επέκταση έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικούς παράγοντες, ο αριθμός δεν είναι ακριβής ισχύς.
Μάθετε αν οι αριθμοί είναι ακριβείς δυνάμεις: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ακριβής βαθμός, επειδή υπάρχει μόνο ένας πολλαπλασιαστής.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - δεν είναι ακριβής δύναμη, αφού υπάρχουν δύο παράγοντες: 3 και 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ακριβής βαθμός.
35 = 7 · 5 - και πάλι δεν είναι ακριβής ισχύς.
14 = 7 · 2 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.
8, 81 - ακριβής βαθμός. 48, 35, 14 - αρ.
Ας σημειώσουμε επίσης ότι εμείς οι ίδιοι πρώτους αριθμούςείναι πάντα ακριβείς βαθμοί του εαυτού τους.
Δεκαδικός λογάριθμος
Μερικοί λογάριθμοι είναι τόσο συνηθισμένοι που έχουν ειδικό όνομα και σύμβολο.
Ορισμός
Δεκαδικός λογάριθμοςαπό το όρισμα x είναι ο λογάριθμος στη βάση 10, δηλ. η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός 10 για να ληφθεί ο αριθμός x.
Ονομασία
lg x
Για παράδειγμα, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - κ.λπ.
Από εδώ και στο εξής, όταν εμφανίζεται μια φράση όπως "Find lg 0.01" σε ένα σχολικό βιβλίο, να ξέρετε: αυτό δεν είναι τυπογραφικό λάθος. Αυτός είναι ένας δεκαδικός λογάριθμος. Ωστόσο, εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με αυτόν τον συμβολισμό, μπορείτε πάντα να τον ξαναγράψετε:
log x = log 10 x
Ό,τι ισχύει για τους συνηθισμένους λογάριθμους ισχύει και για τους δεκαδικούς λογάριθμους.
Φυσικός λογάριθμος
Υπάρχει ένας άλλος λογάριθμος που έχει τη δική του ονομασία. Κατά κάποιο τρόπο, είναι ακόμη πιο σημαντικό από το δεκαδικό. Μιλάμε για τον φυσικό λογάριθμο.
Ορισμός
Φυσικός λογάριθμοςαπό το όρισμα x είναι ο λογάριθμος προς τη βάσημι , δηλ. η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ένας αριθμόςμι για να πάρετε τον αριθμό x.
Ονομασία
Στο x
Πολλοί θα ρωτήσουν: ποιος είναι ο αριθμός e; Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός, είναι ακριβής τιμήαδύνατο να βρεθεί και να καταγραφεί. Θα δώσω μόνο τα πρώτα στοιχεία:
e = 2,718281828459...
Δεν θα υπεισέλθουμε σε λεπτομέρειες σχετικά με το τι είναι αυτός ο αριθμός και γιατί χρειάζεται. Απλά θυμηθείτε ότι η π - βάση φυσικού λογάριθμου:
ln x = log e x
Έτσι ln e = 1; ln e 2 = 2; Στο 16 = 16 - κ.λπ. Από την άλλη πλευρά, το ln 2 είναι ένας παράλογος αριθμός. Γενικά, ο φυσικός λογάριθμος οποιουδήποτε ρητού αριθμού είναι παράλογος. Εκτός, φυσικά, από ένα: ln 1 = 0.
Για φυσικούς λογάριθμουςισχύουν όλοι οι κανόνες που ισχύουν για τους συνηθισμένους λογάριθμους.
Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων
Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετασχηματιστούν με κάθε τρόπο. Επειδή όμως οι λογάριθμοι δεν είναι ακριβώς συνηθισμένοι αριθμοί, έχουν τους δικούς τους κανόνες, που ονομάζονται βασικές ιδιότητες.
Πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - χωρίς αυτούς δεν μπορεί να λυθεί ούτε ένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - μπορείτε να μάθετε τα πάντα σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.
Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων
Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: log a x και καταγράψτε a y . Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:
κούτσουροένα x + ημερολόγιοένα υ = κούτσουροένα ( x · y );
κούτσουροένα x − ημερολόγιοένα υ = κούτσουροένα ( x : y ).
Ετσι, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ίση με τον λογάριθμο του πηλίκου.Σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι οι ίδιοι λόγοι. Εάν οι λόγοι είναι διαφορετικοί, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!
Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε λογαριθμική έκφρασηακόμη και όταν τα μεμονωμένα μέρη του δεν υπολογίζονται (βλ. μάθημα " "). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:
Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 6 4 + log 6 9.
Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 2 48 − log 2 3.
Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 3 135 − log 3 5.
Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλοί βασίζονται σε αυτό το γεγονός δοκιμές. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.
Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο
Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:
Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.
Φυσικά Όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα εάν τηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα, π.χ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.
Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 7 49 6 .
Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Έχουμε:
Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι το πολύ τελευταία στιγμήδουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".
Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log 2 7. Εφόσον το log 2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.
Μετάβαση σε νέα βάση
Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Κι αν οι λόγοι είναι διαφορετικοί; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;
Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο έρχονται στη διάσωση. Ας τα διατυπώσουμε με τη μορφή ενός θεωρήματος:
Θεώρημα
Αφήστε το αρχείο καταγραφής λογαρίθμου να δοθείένα x . Στη συνέχεια για οποιοδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:
Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:
Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι η βάση και το όρισμα του λογάριθμου μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος εμφανίζεται στον παρονομαστή.
Αυτοί οι τύποι σπάνια βρίσκονται σε συμβατικές αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογήσετε πόσο βολικές είναι μόνο αποφασίζοντας λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες.
Ωστόσο, υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας δούμε μερικά από αυτά:
Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 5 16 log 2 25.
Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:
Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους.
Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 9 100 lg 3.
Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε αυτό και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:
Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:
Βασική λογαριθμική ταυτότητα
Συχνά στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρακάτω τύποι θα μας βοηθήσουν:
Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται δείκτης του βαθμού που βρίσκεται στο επιχείρημα. Αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.
Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Αυτό λέγεται:βασική λογαριθμική ταυτότητα.
Στην πραγματικότητα, τι συμβαίνει αν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοια δύναμη που ο αριθμός b σε αυτή τη δύναμη να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: το αποτέλεσμα είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.
Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.
Εργο
Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
Διάλυμα
Σημειώστε ότι το αρχείο καταγραφής 25 64 = ημερολόγιο 5 8 - απλά πήρε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:
200
Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)
Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν
Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που δύσκολα μπορούν να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον είναι συνέπειες του ορισμού του λογαρίθμου. Εμφανίζονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.
log a a = 1 είναι λογαριθμική μονάδα. Θυμηθείτε μια για πάντα: λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάσηένα από αυτήν ακριβώς τη βάση ισούται με ένα.
log a 1 = 0 είναι λογαριθμικό μηδέν. Βάση α μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδήένα 0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.
Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους!
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ VIII
§ 179 Βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης
Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε τις βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης
y = α x (1)
Ας θυμηθούμε ότι κάτω ΕΝΑ στον τύπο (1) εννοούμε οποιονδήποτε σταθερό θετικό αριθμό εκτός του 1.
Ιδιοκτησία 1. Το πεδίο ορισμού μιας εκθετικής συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
Μάλιστα με θετικό ΕΝΑ έκφραση ΕΝΑ x ορίζεται για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό Χ .
Ιδιοκτησία 2. Η εκθετική συνάρτηση δέχεται μόνο θετικές τιμές.
Πράγματι, αν Χ > 0, λοιπόν, όπως αποδείχθηκε στην § 176,
ΕΝΑ x > 0.
Αν Χ <. 0, то
ΕΝΑ x =
που - Χ ήδη πάνω από το μηδέν. Γι' αυτό Α - x > 0. Αλλά τότε
ΕΝΑ x = > 0.
Τέλος, όταν Χ = 0
ΕΝΑ x = 1.
Η 2η ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης έχει απλή γραφική ερμηνεία. Βρίσκεται στο γεγονός ότι το γράφημα αυτής της συνάρτησης (βλ. Εικ. 246 και 247) βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω από τον άξονα της τετμημένης.
Ιδιοκτησία 3. Αν ΕΝΑ >1, τότε πότε Χ > 0 ΕΝΑ x > 1, και πότε Χ < 0 ΕΝΑ x < 1. Αν ΕΝΑ < 1, тω, αντίθετα, όταν Χ > 0 ΕΝΑ x < 1, και πότε Χ < 0 ΕΝΑ x > 1.
Αυτή η ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης επιτρέπει επίσης μια απλή γεωμετρική ερμηνεία. Στο ΕΝΑ > 1 (Εικ. 246) καμπύλες y = α x που βρίσκεται πάνω από την ευθεία στο = 1 σε Χ > 0 και κάτω από την ευθεία γραμμή στο = 1 σε Χ < 0.
Αν ΕΝΑ < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = α x που βρίσκεται κάτω από την ευθεία στο = 1 σε Χ > 0 και πάνω από αυτή τη γραμμή στο Χ < 0.
Ας δώσουμε μια αυστηρή απόδειξη της 3ης ιδιότητας. Αφήνω ΕΝΑ > 1 και Χ - ένας αυθαίρετος θετικός αριθμός. Ας το δείξουμε
ΕΝΑ x > 1.
Εάν ο αριθμός Χ λογική ( Χ = m / n ), Αυτό ΕΝΑ x = ΕΝΑ m/ n = n √ένα m .
Από ΕΝΑ > 1, λοιπόν ΕΝΑ m > 1, Αλλά η ρίζα ενός αριθμού μεγαλύτερου από ένα είναι προφανώς και μεγαλύτερη από 1.
Αν Χ είναι παράλογο, τότε υπάρχουν θετικοί ορθολογικοί αριθμοί X" Και X" , που χρησιμεύουν ως δεκαδικές προσεγγίσεις ενός αριθμού x :
X"< х < х" .
Αλλά τότε, εξ ορισμού βαθμός με παράλογο εκθέτη
ΕΝΑ x" < ΕΝΑ x < ΕΝΑ x"" .
Όπως φαίνεται παραπάνω, ο αριθμός ΕΝΑ x" περισσότερα από ένα. Επομένως ο αριθμός ΕΝΑ x , μεγαλύτερο από ΕΝΑ x" , πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερο από 1,
Έτσι, δείξαμε ότι πότε ένα >1 και αυθαίρετο θετικό Χ
ΕΝΑ x > 1.
Εάν ο αριθμός Χ ήταν αρνητικό, τότε θα είχαμε
ΕΝΑ x =
όπου είναι ο αριθμός Χ θα ήταν ήδη θετικό. Γι' αυτό Α - x > 1. Επομένως,
ΕΝΑ x = < 1.
Έτσι, όταν ΕΝΑ > 1 και αυθαίρετο αρνητικό x
ΕΝΑ x < 1.
Η περίπτωση που 0< ΕΝΑ < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Ιδιοκτησία 4. Αν x = 0, τότε ανεξάρτητα από α ΕΝΑ x =1.
Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του βαθμού μηδέν. η μηδενική ισχύς οποιουδήποτε αριθμού εκτός του μηδενός είναι ίση με 1. Γραφικά, αυτή η ιδιότητα εκφράζεται στο γεγονός ότι για οποιοδήποτε ΕΝΑ καμπύλη στο = ΕΝΑ x (βλ. Εικ. 246 και 247) τέμνει τον άξονα στο σε σημείο με τεταγμένη 1.
Ιδιοκτησία 5. Στο ΕΝΑ >1 εκθετική συνάρτηση = ΕΝΑ x αυξάνεται μονότονα και για α < 1 - μονότονα μειώνεται.
Αυτή η ιδιότητα επιτρέπει επίσης μια απλή γεωμετρική ερμηνεία.
Στο ΕΝΑ > 1 (Εικ. 246) καμπύλη στο = ΕΝΑ x με την ανάπτυξη Χ ανεβαίνει όλο και πιο ψηλά, και όταν ΕΝΑ < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Ας δώσουμε μια αυστηρή απόδειξη της 5ης ιδιοκτησίας.
Αφήνω ΕΝΑ > 1 και Χ 2 > Χ 1. Ας το δείξουμε
ΕΝΑ x 2 > ΕΝΑ x 1
Από Χ 2 > Χ 1., λοιπόν Χ 2 = Χ 1 + ρε , Πού ρε - κάποιο θετικό νούμερο. Γι' αυτό
ΕΝΑ x 2 - ΕΝΑ x 1 = ΕΝΑ x 1 + ρε - ΕΝΑ x 1 = ΕΝΑ x 1 (ΕΝΑ ρε - 1)
Με τη 2η ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης ΕΝΑ x 1 > 0. Αφού ρε > 0, τότε με την 3η ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης ΕΝΑ ρε > 1. Και οι δύο παράγοντες στο προϊόν ΕΝΑ x 1 (ΕΝΑ ρε - 1) είναι θετικά, επομένως αυτό το ίδιο το προϊόν είναι θετικό. Μέσα, ΕΝΑ x 2 - ΕΝΑ x 1 > 0 ή ΕΝΑ x 2 > ΕΝΑ x 1, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.
Λοιπόν, πότε ένα > 1 λειτουργία στο = ΕΝΑ x αυξάνεται μονότονα. Ομοίως αποδεικνύεται ότι όταν ΕΝΑ < 1 функция στο = ΕΝΑ x μειώνεται μονότονα.
Συνέπεια. Αν δύο δυνάμεις του ίδιου θετικού αριθμού εκτός του 1 είναι ίσες, τότε οι εκθέτες τους είναι ίσοι.
Με άλλα λόγια, αν
ΕΝΑ σι = ΕΝΑ ντο (ΕΝΑ > 0 και ΕΝΑ =/= 1),
β = γ .
Πράγματι, αν οι αριθμοί σι Και Με δεν ήταν ίσες, τότε λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης στο = ΕΝΑ x το μεγαλύτερο από αυτά θα αντιστοιχούσε ΕΝΑ >1 μεγαλύτερο και πότε ΕΝΑ < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или ΕΝΑ σι > ΕΝΑ ντο , ή ΕΝΑ σι < ΕΝΑ ντο . Και τα δύο έρχονται σε αντίθεση με την προϋπόθεση ΕΝΑ σι = ΕΝΑ ντο . Μένει να το παραδεχτούμε β = γ .
Ιδιοκτησία 6. Αν α > 1, τότε με απεριόριστη αύξηση του επιχειρήματος Χ (Χ -> ∞ ) τιμές συνάρτησης στο = ΕΝΑ x αυξάνονται επίσης επ' αόριστον (στο -> ∞ ). Όταν το όρισμα μειώνεται χωρίς όριο Χ (Χ -> -∞ ) οι τιμές αυτής της συνάρτησης τείνουν στο μηδέν ενώ παραμένουν θετικές (στο->0; στο > 0).
Λαμβάνοντας υπόψη τη μονοτονία της συνάρτησης που αποδείχθηκε παραπάνω στο = ΕΝΑ x , μπορούμε να πούμε ότι στην υπό εξέταση περίπτωση η συνάρτηση στο = ΕΝΑ x αυξάνεται μονοτονικά από 0 σε ∞ .
Αν 0 <ΕΝΑ < 1, τότε με απεριόριστη αύξηση στο όρισμα x (x -> ∞), οι τιμές της συνάρτησης y = a x τείνουν στο μηδέν, ενώ παραμένουν θετικές (στο->0; στο > 0). Όταν το όρισμα x μειώνεται χωρίς όριο (Χ -> -∞ ) οι τιμές αυτής της συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα (στο -> ∞ ).
Λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης y = a x μπορούμε να πούμε ότι στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση στο = ΕΝΑ x μονοτονικά μειώνεται από ∞ έως 0.
Η 6η ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης αντικατοπτρίζεται ξεκάθαρα στα Σχήματα 246 και 247. Δεν θα το αποδείξουμε αυστηρά.
Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να καθορίσουμε το εύρος διακύμανσης της εκθετικής συνάρτησης y = a x (ΕΝΑ > 0, ΕΝΑ =/= 1).
Παραπάνω αποδείξαμε ότι η συνάρτηση y = a x παίρνει μόνο θετικές τιμές και είτε αυξάνεται μονότονα από 0 σε ∞ (στο ΕΝΑ > 1), ή μειώνεται μονότονα από ∞ έως 0 (στο 0< ΕΝΑ <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x Υπάρχουν άλματα όταν αλλάζετε; Παίρνει κάποιες θετικές τιμές; Αυτό το ζήτημα επιλύεται θετικά. Αν ΕΝΑ > 0 και ΕΝΑ =/= 1, τότε όποιος κι αν είναι ο θετικός αριθμός στο 0 σίγουρα θα βρεθεί Χ 0 , έτσι ώστε
ΕΝΑ x 0 = στο 0 .
(Λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης y = a x καθορισμένη τιμή Χ Το 0 θα είναι, φυσικά, το μόνο.)
Η απόδειξη αυτού του γεγονότος ξεφεύγει από το πεδίο εφαρμογής του προγράμματός μας. Η γεωμετρική του ερμηνεία είναι αυτή για οποιαδήποτε θετική τιμή στο Γράφημα συνάρτησης 0 y = a x σίγουρα θα τέμνεται με μια ευθεία γραμμή στο = στο 0 και, επιπλέον, μόνο σε ένα σημείο (Εικ. 248).
Από αυτό μπορούμε να συναγάγουμε το ακόλουθο συμπέρασμα, το οποίο διατυπώνουμε ως ιδιότητα 7.
Ιδιοκτησία 7. Το εμβαδόν μεταβολής της εκθετικής συνάρτησης y = a x (ΕΝΑ > 0, ΕΝΑ =/= 1)είναι το σύνολο όλων των θετικών αριθμών.
Γυμνάσια
1368. Βρείτε τους τομείς ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:
1369. Ποιος από αυτούς τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος του 1 και ποιος είναι μικρότερος του 1:
1370. Με βάση ποια ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης μπορεί να δηλωθεί ότι
α) (5 / 7) 2,6 > (5 / 7) 2,5; β) (4 / 3) 1.3 > (4 / 3) 1.2
1371. Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος:
ΕΝΑ) π - √3 ή (1/ π ) - √3 ; γ) (2 / 3) 1 + √6 ή (2 / 3) √2 + √5 ;
β) ( π / 4) 1 + √3 ή ( π / 4) 2; δ) (√3) √2 - √5 ή (√3) √3 - 2 ?
1372. Είναι οι ανισώσεις ισοδύναμες:
1373. Τι μπορεί να ειπωθεί για τους αριθμούς Χ Και στο , Αν ένα x = και y , Πού ΕΝΑ - ένας δεδομένος θετικός αριθμός;
1374. 1) Είναι δυνατόν μεταξύ όλων των τιμών της συνάρτησης στο = 2x αποκορύφωμα:
2) Είναι δυνατόν μεταξύ όλων των τιμών της συνάρτησης στο = 2 | x| αποκορύφωμα:
α) η μεγαλύτερη αξία· β) η μικρότερη τιμή;