Αριθμητικές και αλγεβρικές εκφράσεις. Μετατροπή εκφράσεων.

Τι είναι μια έκφραση στα μαθηματικά; Γιατί χρειαζόμαστε μετατροπές εκφράσεων;

Η ερώτηση, όπως λένε, είναι ενδιαφέρουσα... Γεγονός είναι ότι αυτές οι έννοιες αποτελούν τη βάση όλων των μαθηματικών. Όλα τα μαθηματικά αποτελούνται από εκφράσεις και τους μετασχηματισμούς τους. Δεν είναι πολύ σαφές; ΑΣΕ με να εξηγήσω.

Ας πούμε ότι έχετε ένα κακό παράδειγμα μπροστά σας. Πολύ μεγάλο και πολύ σύνθετο. Ας πούμε ότι είσαι καλός στα μαθηματικά και δεν φοβάσαι τίποτα! Μπορείτε να δώσετε μια απάντηση αμέσως;

Θα πρέπει αποφασίζωαυτό το παράδειγμα. Με συνέπεια, βήμα προς βήμα, αυτό το παράδειγμα απλοποιώ. Σύμφωνα με ορισμένους κανόνες, φυσικά. Εκείνοι. κάνω μετατροπή έκφρασης. Όσο πιο επιτυχημένα πραγματοποιείτε αυτούς τους μετασχηματισμούς, τόσο πιο δυνατός είστε στα μαθηματικά. Εάν δεν ξέρετε πώς να κάνετε τους σωστούς μετασχηματισμούς, δεν θα μπορείτε να τους κάνετε στα μαθηματικά. Τίποτα...

Για να αποφύγετε ένα τόσο άβολο μέλλον (ή παρόν...), δεν βλάπτει να κατανοήσετε αυτό το θέμα.)

Πρώτα, ας μάθουμε τι είναι έκφραση στα μαθηματικά. Τι συνέβη αριθμητική παράστασηκαι τι είναι αλγεβρική παράσταση.

Τι είναι μια έκφραση στα μαθηματικά;

Έκφραση στα μαθηματικά- αυτό είναι πολύ ευρεία έννοια. Σχεδόν όλα όσα αντιμετωπίζουμε στα μαθηματικά είναι ένα σύνολο μαθηματικών εκφράσεων. Οποιαδήποτε παραδείγματα, τύποι, κλάσματα, εξισώσεις και ούτω καθεξής - όλα αποτελούνται από μαθηματικές εκφράσεις.

Το 3+2 είναι μια μαθηματική έκφραση. s 2 - d 2- αυτή είναι επίσης μια μαθηματική έκφραση. Τόσο ένα υγιές κλάσμα όσο και ένας άρτιος αριθμός είναι όλα μαθηματικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, η εξίσωση είναι:

5x + 2 = 12

αποτελείται από δύο μαθηματικές εκφράσεις που συνδέονται με ένα πρόσημο ίσου. Η μία έκφραση βρίσκεται στα αριστερά, η άλλη στα δεξιά.

ΣΕ γενική εικόναόρος " μαθηματική έκφραση"χρησιμοποιείται, πιο συχνά, για να αποφύγει το βουητό. Θα σας ρωτήσουν τι είναι ένα συνηθισμένο κλάσμα, για παράδειγμα; Και πώς να απαντήσετε;!

Πρώτη απάντηση: "Αυτό είναι... μμμμμ... κάτι τέτοιο... στο οποίο... Μπορώ να γράψω ένα κλάσμα καλύτερα; Ποιό θέλεις;"

Δεύτερη απάντηση: " Κοινό κλάσμα- αυτό είναι (με χαρά και χαρά!) μαθηματική έκφραση , που αποτελείται από αριθμητή και παρονομαστή!».

Η δεύτερη επιλογή θα είναι κάπως πιο εντυπωσιακή, σωστά;)

Αυτός είναι ο σκοπός της φράσης " μαθηματική έκφραση "πολύ καλό. Και σωστό και συμπαγές. Αλλά για Πρακτική εφαρμογηπρέπει να είναι καλά γνώστες συγκεκριμένους τύπους εκφράσεων στα μαθηματικά .

Το συγκεκριμένο είδος είναι άλλο θέμα. Αυτό Είναι τελείως διαφορετικό θέμα!Κάθε τύπος μαθηματικής έκφρασης έχει δικος μουένα σύνολο κανόνων και τεχνικών που πρέπει να χρησιμοποιούνται κατά τη λήψη μιας απόφασης. Για εργασία με κλάσματα - ένα σετ. Για εργασία με τριγωνομετρικές εκφράσεις - η δεύτερη. Για εργασία με λογάριθμους - το τρίτο. Και ούτω καθεξής. Κάπου αυτοί οι κανόνες συμπίπτουν, κάπου διαφέρουν έντονα. Αλλά μην σας τρομάζουν αυτά τρομακτικά λόγια. Θα κατακτήσουμε τους λογάριθμους, την τριγωνομετρία και άλλα μυστηριώδη πράγματα στις κατάλληλες ενότητες.

Εδώ θα κατακτήσουμε (ή - επαναλάβουμε, ανάλογα με το ποιος...) δύο βασικούς τύπους μαθηματικών εκφράσεων. Αριθμητικές εκφράσεις και αλγεβρικές εκφράσεις.

Αριθμητικές εκφράσεις.

Τι συνέβη αριθμητική παράσταση? Αυτή είναι μια πολύ απλή έννοια. Το ίδιο το όνομα υπονοεί ότι πρόκειται για έκφραση με αριθμούς. Έτσι είναι. Μια μαθηματική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς, αγκύλες και αριθμητικά σύμβολα ονομάζεται αριθμητική έκφραση.

Το 7-3 είναι μια αριθμητική έκφραση.

(8+3.2) Το 5.4 είναι επίσης μια αριθμητική έκφραση.

Και αυτό το τέρας:

επίσης αριθμητική έκφραση, ναι...

Ένας συνηθισμένος αριθμός, ένα κλάσμα, οποιοδήποτε παράδειγμα υπολογισμού χωρίς Χ και άλλα γράμματα - όλα αυτά είναι αριθμητικές εκφράσεις.

Κύριο σημάδι αριθμητικόςεκφράσεις - σε αυτό όχι γράμματα. Κανένας. Μόνο αριθμοί και μαθηματικά σύμβολα (αν χρειάζεται). Είναι απλό, σωστά;

Και τι μπορείτε να κάνετε με τις αριθμητικές εκφράσεις; Οι αριθμητικές εκφράσεις μπορούν συνήθως να μετρηθούν. Για να γίνει αυτό, συμβαίνει ότι πρέπει να ανοίξετε τις αγκύλες, να αλλάξετε τα σημάδια, να συντομεύσετε, να αλλάξετε όρους - π.χ. κάνω μετατροπές έκφρασης. Αλλά περισσότερα για αυτό παρακάτω.

Εδώ θα ασχοληθούμε με μια τόσο αστεία περίπτωση όταν με μια αριθμητική έκφραση δεν χρειάζεται να κάνεις τίποτα.Λοιπόν, τίποτα απολύτως! Αυτή η ευχάριστη λειτουργία - Να μην κάνω τίποτα)- εκτελείται όταν η έκφραση δεν έχει νόημα.

Πότε μια αριθμητική έκφραση δεν έχει νόημα;

Είναι ξεκάθαρο ότι αν δούμε κάποιο είδος abracadabra μπροστά μας, όπως

τότε δεν θα κάνουμε τίποτα. Επειδή δεν είναι ξεκάθαρο τι πρέπει να κάνετε για αυτό. Κάποιες ανοησίες. Ίσως μετρήσει τον αριθμό των συν...

Υπάρχουν όμως εξωτερικά αρκετά αξιοπρεπείς εκφράσεις. Για παράδειγμα αυτό:

(2+3) : (16 - 2 8)

Ωστόσο, αυτή η έκφραση επίσης δεν έχει νόημα! Για τον απλούστατο λόγο ότι στις δεύτερες αγκύλες -αν μετρήσεις- βγάζεις μηδέν. Αλλά δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν! Αυτή είναι μια απαγορευμένη πράξη στα μαθηματικά. Επομένως, δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα ούτε με αυτήν την έκφραση. Για οποιαδήποτε εργασία με μια τέτοια έκφραση, η απάντηση θα είναι πάντα η ίδια: "Η έκφραση δεν έχει νόημα!"

Για να δώσω μια τέτοια απάντηση, φυσικά, έπρεπε να υπολογίσω τι θα ήταν μέσα σε αγκύλες. Και μερικές φορές υπάρχουν πολλά πράγματα σε παρένθεση... Λοιπόν, δεν μπορείτε να κάνετε τίποτα για αυτό.

Δεν υπάρχουν τόσες πολλές απαγορευμένες πράξεις στα μαθηματικά. Υπάρχει μόνο ένα σε αυτό το θέμα. Διαίρεση με το μηδέν. Πρόσθετοι περιορισμοί που προκύπτουν σε ρίζες και λογάριθμους συζητούνται στα αντίστοιχα θέματα.

Λοιπόν, μια ιδέα για το τι είναι αριθμητική παράσταση- πήρε. Εννοια η αριθμητική έκφραση δεν έχει νόημα- συνειδητοποίησα. Ας προχωρήσουμε.

Αλγεβρικές εκφράσεις.

Αν εμφανίζονται γράμματα σε μια αριθμητική έκφραση, αυτή η έκφραση γίνεται... Η έκφραση γίνεται... Ναι! Γινεται αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (α+β) 2; ...

Τέτοιες εκφράσεις λέγονται επίσης κυριολεκτικές εκφράσεις.Ή εκφράσεις με μεταβλητές.Είναι πρακτικά το ίδιο πράγμα. Εκφραση 5a +c, για παράδειγμα, και κυριολεκτική και αλγεβρική, και μια έκφραση με μεταβλητές.

Εννοια αλγεβρική έκφραση -ευρύτερο από το αριθμητικό. Το περιλαμβάνεικαι όλες τις αριθμητικές εκφράσεις. Εκείνοι. μια αριθμητική έκφραση είναι επίσης μια αλγεβρική έκφραση, μόνο χωρίς γράμματα. Κάθε ρέγγα είναι ψάρι, αλλά δεν είναι κάθε ψάρι ρέγγα...)

Γιατί αλφαβητικός- Είναι σαφές. Λοιπόν, αφού υπάρχουν γράμματα... Φράση έκφραση με μεταβλητέςΔεν είναι επίσης πολύ μπερδεμένο. Αν καταλαβαίνετε ότι κάτω από τα γράμματα κρύβονται αριθμοί. Όλα τα είδη αριθμών μπορούν να κρυφτούν κάτω από γράμματα... Και 5, και -18, και ό,τι θέλετε. Δηλαδή, ένα γράμμα μπορεί να είναι αντικαθιστώεπί διαφορετικούς αριθμούς. Γι' αυτό λέγονται τα γράμματα μεταβλητές.

Στην έκφραση y+5, Για παράδειγμα, στο- μεταβλητή τιμή. Ή απλά λένε " μεταβλητός", χωρίς τη λέξη «μέγεθος». Σε αντίθεση με το πέντε, που είναι σταθερή τιμή. Ή απλά - συνεχής.

Ορος αλγεβρική παράστασησημαίνει ότι για να δουλέψετε με αυτήν την έκφραση πρέπει να χρησιμοποιήσετε νόμους και κανόνες άλγεβρα. Αν αριθμητικήλειτουργεί με συγκεκριμένους αριθμούς, λοιπόν άλγεβρα- με όλους τους αριθμούς ταυτόχρονα. Ένα απλό παράδειγμα για διευκρίνιση.

Στην αριθμητική μπορούμε να το γράψουμε

Αλλά αν γράψουμε μια τέτοια ισότητα μέσω αλγεβρικών εκφράσεων:

α + β = β + α

θα αποφασίσουμε αμέσως Ολαερωτήσεις. Για όλους τους αριθμούςΕγκεφαλικό. Για κάθε τι άπειρο. Γιατί κάτω από τα γράμματα ΕΝΑΚαι σιυπονοείται Ολααριθμοί. Και όχι μόνο αριθμοί, αλλά ακόμη και άλλες μαθηματικές εκφράσεις. Έτσι λειτουργεί η άλγεβρα.

Πότε μια αλγεβρική έκφραση δεν έχει νόημα;

Τα πάντα σχετικά με την αριθμητική έκφραση είναι ξεκάθαρα. Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν εκεί. Και με γράμματα γίνεται να μάθουμε με τι χωρίζουμε;!

Ας πάρουμε για παράδειγμα αυτήν την έκφραση με μεταβλητές:

2: (ΕΝΑ - 5)

Βγαζει νοημα; Ποιός ξέρει; ΕΝΑ- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ...

Οποιοδήποτε, οποιοδήποτε... Αλλά υπάρχει ένα νόημα ΕΝΑ, για την οποία αυτή η έκφραση ακριβώςδεν βγάζει νόημα! Και ποιος είναι αυτός ο αριθμός; Ναί! Αυτό είναι 5! Αν η μεταβλητή ΕΝΑαντικαταστήστε (λένε «υποκατάστατο») με τον αριθμό 5, μέσα σε αγκύλες παίρνετε μηδέν. Που δεν μπορεί να χωριστεί. Αποδεικνύεται λοιπόν ότι η έκφρασή μας δεν έχει νόημα, Αν α = 5. Αλλά για άλλες αξίες ΕΝΑβγαζει νοημα; Μπορείτε να αντικαταστήσετε άλλους αριθμούς;

Σίγουρα. Σε τέτοιες περιπτώσεις λένε απλώς ότι η έκφραση

2: (ΕΝΑ - 5)

έχει νόημα για οποιεσδήποτε αξίες ΕΝΑ, εκτός από a = 5 .

Όλο το σύνολο των αριθμών που Μπορώη αντικατάσταση σε μια δεδομένη έκφραση ονομάζεται εύρος αποδεκτών τιμώναυτή η έκφραση.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο. Ας δούμε την έκφραση με μεταβλητές και ας καταλάβουμε: σε ποια τιμή της μεταβλητής προκύπτει η απαγορευμένη πράξη (διαίρεση με το μηδέν);

Και μετά φροντίστε να δείτε την ερώτηση της εργασίας. Τι ρωτάνε;

δεν έχει νόημα, το απαγορευμένο μας νόημα θα είναι η απάντηση.

Αν ρωτήσετε σε ποια τιμή μιας μεταβλητής η έκφραση έχει το νόημα(νιώστε τη διαφορά!), η απάντηση θα είναι όλους τους άλλους αριθμούςεκτός από όσα απαγορεύονται.

Γιατί χρειαζόμαστε το νόημα της έκφρασης; Είναι εκεί, δεν είναι... Ποια η διαφορά;! Το θέμα είναι ότι αυτή η έννοια γίνεται πολύ σημαντική στο λύκειο. Εξαιρετικά σημαντικό! Αυτή είναι η βάση για τέτοιες συμπαγείς έννοιες όπως ο τομέας των αποδεκτών τιμών ή ο τομέας μιας συνάρτησης. Χωρίς αυτό, δεν θα μπορείτε να λύσετε σοβαρές εξισώσεις ή ανισότητες καθόλου. Σαν αυτό.

Μετατροπή εκφράσεων. Μετασχηματισμοί ταυτότητας.

Μας γνωρίσαμε αριθμητικές και αλγεβρικές εκφράσεις. Καταλάβαμε τι σημαίνει η φράση «η έκφραση δεν έχει νόημα». Τώρα πρέπει να καταλάβουμε τι είναι μετατροπή έκφρασης.Η απάντηση είναι απλή, σε σημείο ντροπής.) Πρόκειται για οποιαδήποτε ενέργεια με έκφραση. Αυτό είναι όλο. Αυτές τις μεταμορφώσεις κάνεις από την πρώτη δημοτικού.

Ας πάρουμε την cool αριθμητική έκφραση 3+5. Πώς μπορεί να μετατραπεί; Ναι, πολύ απλό! Υπολογίζω:

Αυτός ο υπολογισμός θα είναι ο μετασχηματισμός της έκφρασης. Μπορείτε να γράψετε την ίδια έκφραση διαφορετικά:

Εδώ δεν μετρήσαμε απολύτως τίποτα. Απλώς έγραψε την έκφραση σε διαφορετική μορφή.Αυτό θα είναι επίσης ένας μετασχηματισμός της έκφρασης. Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:

Και αυτό είναι επίσης μια μεταμόρφωση μιας έκφρασης. Μπορείτε να κάνετε όσες μεταμορφώσεις θέλετε.

Οποιοςδράση στην έκφραση όποιοςΗ σύνταξη του σε άλλη μορφή ονομάζεται μετασχηματισμός της έκφρασης. Και αυτό είναι όλο. Όλα είναι πολύ απλά. Αλλά υπάρχει ένα πράγμα εδώ πολύ σημαντικός κανόνας.Τόσο σημαντικό που μπορεί να ονομαστεί με ασφάλεια κύριος κανόναςόλα τα μαθηματικά. Παραβίαση αυτού του κανόνα αναπόφευκταοδηγεί σε σφάλματα. Μπαίνουμε σε αυτό;)

Ας πούμε ότι μεταμορφώσαμε την έκφρασή μας τυχαία, ως εξής:

Μεταμόρφωση; Σίγουρα. Γράψαμε την έκφραση με διαφορετική μορφή, τι φταίει εδώ;

Δεν είναι έτσι.) Το θέμα είναι ότι οι μεταμορφώσεις "τυχαία"δεν ενδιαφέρονται καθόλου για τα μαθηματικά.) Όλα τα μαθηματικά χτίζονται σε μετασχηματισμούς στους οποίους εμφάνιση, αλλά η ουσία της έκφρασης δεν αλλάζει.Τρία συν πέντε μπορούν να γραφτούν με οποιαδήποτε μορφή, αλλά πρέπει να είναι οκτώ.

Μεταμορφώσεις, εκφράσεις που δεν αλλάζουν την ουσίαλέγονται πανομοιότυπο.

Ακριβώς μετασχηματισμοί ταυτότηταςκαι επιτρέψτε μας, βήμα προς βήμα, να μεταμορφωθούμε σύνθετο παράδειγμασε μια απλή έκφραση, κρατώντας την ουσία του παραδείγματος.Αν κάνουμε λάθος στην αλυσίδα των μετασχηματισμών, κάνουμε ΟΧΙ ταυτόσημο μετασχηματισμό, τότε θα αποφασίσουμε αλλοπαράδειγμα. Με άλλες απαντήσεις που δεν σχετίζονται με τις σωστές.)

Αυτός είναι ο κύριος κανόνας για την επίλυση οποιωνδήποτε εργασιών: διατήρηση της ταυτότητας των μετασχηματισμών.

Έδωσα ένα παράδειγμα με την αριθμητική έκφραση 3+5 για σαφήνεια. ΣΕ αλγεβρικές εκφράσειςΟι ίδιοι μετασχηματισμοί δίνονται από τύπους και κανόνες. Ας πούμε ότι στην άλγεβρα υπάρχει ένας τύπος:

a(b+c) = ab + ac

Αυτό σημαίνει ότι σε οποιοδήποτε παράδειγμα μπορούμε αντί για την έκφραση α(β+γ)μη διστάσετε να γράψετε μια έκφραση αβ + ακ. Και αντίστροφα. Αυτό ταυτόσημη μεταμόρφωση.Τα μαθηματικά μας δίνουν την επιλογή ανάμεσα σε αυτές τις δύο εκφράσεις. Και ποιο να γράψω - από συγκεκριμένο παράδειγμαΕξαρτάται.

Ενα άλλο παράδειγμα. Ένας από τους πιο σημαντικούς και απαραίτητους μετασχηματισμούς είναι η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Μπορείτε να δείτε τον σύνδεσμο για περισσότερες λεπτομέρειες, αλλά εδώ θα σας υπενθυμίσω απλώς τον κανόνα: Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό, ή μια παράσταση που δεν είναι ίση με το μηδέν, το κλάσμα δεν θα αλλάξει.Ακολουθεί ένα παράδειγμα μετασχηματισμών ταυτότητας που χρησιμοποιούν αυτήν την ιδιότητα:

Όπως μάλλον μαντέψατε, αυτή η αλυσίδα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον...) Μια πολύ σημαντική ιδιότητα. Είναι αυτό που σας επιτρέπει να μετατρέψετε όλα τα είδη παραδειγμάτων τεράτων σε λευκά και χνουδωτά.)

Υπάρχουν πολλοί τύποι που ορίζουν πανομοιότυπους μετασχηματισμούς. Αλλά τα πιο σημαντικά είναι ένας αρκετά λογικός αριθμός. Ένας από τους βασικούς μετασχηματισμούς είναι η παραγοντοποίηση. Χρησιμοποιείται σε όλα τα μαθηματικά - από το δημοτικό έως το προχωρημένο. Ας ξεκινήσουμε με αυτόν. Στο επόμενο μάθημα.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Οι εκφράσεις είναι η βάση των μαθηματικών. Αυτή η έννοια είναι αρκετά ευρεία. Τα περισσότερα από αυτά με τα οποία ασχολείστε στα μαθηματικά - παραδείγματα, εξισώσεις, ακόμη και κλάσματα - είναι εκφράσεις. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα της έκφρασης είναι η παρουσία μαθηματικών πράξεων. Υποδηλώνεται με ορισμένα σημάδια (πολλαπλασιασμός, διαίρεση, αφαίρεση ή πρόσθεση). Η σειρά εκτέλεσης των μαθηματικών πράξεων διορθώνεται με αγκύλες εάν είναι απαραίτητο. Το να κάνεις μαθηματικά σημαίνει να βρίσκεις το νόημα μιας έκφρασης.

Αυτό που δεν είναι έκφραση

Δεν μπορεί να ταξινομηθεί κάθε μαθηματικός συμβολισμός ως έκφραση Οι ισότητες δεν είναι εκφράσεις. Το αν υπάρχουν μαθηματικές πράξεις στην ισότητα ή όχι δεν έχει σημασία. Για παράδειγμα, το a=5 είναι ισότητα, όχι έκφραση, αλλά το 8+6*2=20 επίσης δεν μπορεί να θεωρηθεί έκφραση, αν και περιέχει πολλαπλασιασμό και πρόσθεση. Αυτό το παράδειγμα ανήκει επίσης στην κατηγορία των ισοτήτων Οι έννοιες έκφραση και ισότητα δεν αλληλοαποκλείονται, η πρώτη είναι μέρος της δεύτερης. Το πρόσημο ίσον συνδέει δύο εκφράσεις:
5+7=24:2 Μπορείτε να απλοποιήσετε αυτήν την ισότητα:
5+7=12 Μια παράσταση πάντα υποθέτει ότι οι μαθηματικές πράξεις που αντιπροσωπεύει μπορούν να εκτελεστούν. Το 9+:-7 δεν είναι έκφραση, αν και υπάρχουν ενδείξεις μαθηματικών πράξεων εδώ, γιατί είναι αδύνατο να εκτελεστούν αυτές οι ενέργειες Υπάρχουν επίσης μαθηματικά παραδείγματα που τυπικά είναι εκφράσεις, αλλά δεν έχουν νόημα. Ένα παράδειγμα τέτοιας έκφρασης:
46:(5-2-3) Ο αριθμός 46 πρέπει να διαιρεθεί με το αποτέλεσμα των ενεργειών σε αγκύλες και είναι ίσος με μηδέν. Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν μια τέτοια ενέργεια θεωρείται απαγορευμένη στα μαθηματικά.

Αριθμητικές και αλγεβρικές εκφράσεις

Υπάρχουν δύο τύποι μαθηματικών παραστάσεων Εάν μια παράσταση περιέχει μόνο αριθμούς και σύμβολα μαθηματικών πράξεων, μια τέτοια έκφραση ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Εάν, μαζί με αριθμούς, η παράσταση περιέχει μεταβλητές που σημειώνονται με γράμματα ή δεν υπάρχουν καθόλου αριθμοί, η έκφραση αποτελείται μόνο από μεταβλητές και σύμβολα μαθηματικών πράξεων, ονομάζεται αλγεβρική είναι ότι μια αριθμητική παράσταση έχει μόνο μία τιμή. Για παράδειγμα, η τιμή της αριθμητικής παράστασης 56–2*3 θα είναι πάντα ίση με 50. Μια αλγεβρική έκφραση μπορεί να έχει πολλές έννοιες, επειδή οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αντικαταστήσει ένα γράμμα. Έτσι, αν στην παράσταση b–7 αντικαταστήσουμε το b με 9, η τιμή της παράστασης θα είναι 2 και αν 200, θα είναι 193.

Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσετε το θέμα «Αριθμητικές εκφράσεις. Σύγκριση αριθμητικών παραστάσεων." Αυτό το μάθημα θα σας εισάγει στον ορισμό αριθμητικών παραστάσεων. Θα μάθετε ότι οι αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να διαβαστούν. Θα μάθετε επίσης να βρίσκετε το νόημά τους και να συγκρίνετε. Πολλά πρακτικά παραδείγματα θα σας βοηθήσουν να ενισχύσετε αυτά που έχετε μάθει.

Μάθημα: Αριθμητικές εκφράσεις. Σύγκριση αριθμητικών παραστάσεων

Κοιτάξτε αυτές τις εκφράσεις και προσπαθήστε να βρείτε την περίεργη.

20 + α
s + 7
6 + 8
15 - (10 + 2)
18 > 9

Η περιττή καταχώριση είναι 18 > 9 (18 είναι μεγαλύτερο από 9). Γιατί νομίζεις;

Σωστή απάντηση: γιατί μόνο αυτό χρησιμοποιεί πρόσημο σύγκρισης. Όλοι οι άλλοι χρησιμοποιούν σήματα δράσης.

Οι γραπτές εκφράσεις μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες:

Κυριολεκτικές εκφράσεις Αριθμητικές εκφράσεις
20 + α 6 + 8
c + 7 15 - (10 + 2)

Κυριολεκτικές εκφράσειςείναι εκφράσεις που χρησιμοποιούν γράμματα του λατινικού αλφαβήτου.

Αριθμητικές εκφράσεις- αριθμοί που συνδέονται με πινακίδες δράσης. Οι αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να διαβαστούν.

6 + 8… (άθροισμα 6 και 8)

15 - (10 + 2)…(από το 15 αφαιρέστε το άθροισμα των 10 και 2)

Ας βρούμε τις έννοιες των εκφράσεων:

15 - (10 + 2) = …
Πρώτα εκτελούμε την ενέργεια που είναι γραμμένη σε παρένθεση. Προσθέστε 2 στα 10.
10 + 2 = 12
Τώρα πρέπει να αφαιρέσετε το 12 από το 15.
15 - 12 = 3
15 - (10 + 2) = 3

Τώρα ας ολοκληρώσουμε την εργασία:

Εξετάσαμε τι σημαίνει να βρούμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης.

Τώρα πρέπει να μάθουμε να συγκρίνουμε αριθμητικές εκφράσεις. Συγκρίνετε μια αριθμητική παράσταση - βρείτε την τιμή κάθε παράστασης και συγκρίνετε τις.

Ας συγκρίνουμε τις έννοιες των δύο εκφράσεων. Για να γίνει αυτό, θα βρούμε τις τιμές καθενός από αυτά.

15 - 7 < 6 + 3

Τώρα ας συγκρίνουμε τις τιμές δύο ακόμη εκφράσεων:

3. Φεστιβάλ Παιδαγωγικών Ιδεών» Δημόσιο μάθημα» (). Φτιάξτε το στο σπίτι Επίλυση αριθμητικών παραστάσεων: α) 20 +14 β) 56 - 22 γ) 47 - 22 Συγκρίνετε εκφράσεις: α) 33 - 12 και 25 + 7 β) 45 - 5 και 19 + 21 γ) 23 + 5 και 12 + 6

Τύπος

Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση - αριθμητικές πράξεις (ή αριθμητικές πράξεις). Αυτές οι αριθμητικές πράξεις αντιστοιχούν στα σημάδια των αριθμητικών πράξεων:

+ (ανάγνωση " συν") - σημάδι της λειτουργίας προσθήκης,

- (ανάγνωση " μείον") είναι το πρόσημο της πράξης αφαίρεσης,

∙ (ανάγνωση " πολλαπλασιάζω") είναι το σύμβολο της πράξης πολλαπλασιασμού,

: (ανάγνωση " διαιρέστε") είναι το σημάδι της λειτουργίας διαίρεσης.

Μια εγγραφή που αποτελείται από αριθμούς που συνδέονται μεταξύ τους με αριθμητικά πρόσημα ονομάζεται αριθμητική έκφραση.Μια αριθμητική παράσταση μπορεί επίσης να περιέχει παρενθέσεις, για παράδειγμα, την καταχώρηση 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) είναι μια αριθμητική έκφραση.

Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης ενεργειών σε αριθμούς σε αριθμητική έκφραση ονομάζεται την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης. Η εκτέλεση αυτών των ενεργειών ονομάζεται υπολογισμός της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης. Πριν γράψετε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, βάλτε σύμβολο ίσου"=". Ο Πίνακας 1 δείχνει παραδείγματα αριθμητικών εκφράσεων και τη σημασία τους.

Μια εγγραφή που αποτελείται από αριθμούς και μικρά γράμματα του λατινικού αλφαβήτου που διασυνδέονται με σημάδια αριθμητικών πράξεων ονομάζεται κυριολεκτική έκφραση. Αυτή η καταχώρηση μπορεί να περιέχει παρενθέσεις. Για παράδειγμα, εγγραφή α+β - 3 ∙ντοείναι μια κυριολεκτική έκφραση. Αντί για γράμματα, μπορείτε να αντικαταστήσετε διαφορετικούς αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, η σημασία των γραμμάτων μπορεί να αλλάξει, επομένως ονομάζονται και τα γράμματα στην έκφραση των γραμμάτων μεταβλητές.

Αντικαθιστώντας αριθμούς αντί για γράμματα στην κυριολεκτική έκφραση και υπολογίζοντας την τιμή της αριθμητικής παράστασης που προκύπτει, βρίσκουν τη σημασία μιας κυριολεκτικής έκφρασης για δεδομένες τιμές γραμμάτων(για δεδομένες τιμές μεταβλητών). Ο Πίνακας 2 δείχνει παραδείγματα εκφράσεων γραμμάτων.

Μια κυριολεκτική έκφραση μπορεί να μην έχει νόημα εάν, κατά την αντικατάσταση των τιμών των γραμμάτων, προκύπτει μια αριθμητική έκφραση, η τιμή της οποίας για φυσικούς αριθμούςδεν βρέθηκε. Αυτή η αριθμητική έκφραση ονομάζεται ανακριβήςγια φυσικούς αριθμούς. Λέγεται επίσης ότι η έννοια μιας τέτοιας έκφρασης είναι « απροσδιόριστος"για φυσικούς αριθμούς και την ίδια την έκφραση "δεν έχει νόημα". Για παράδειγμα, η κυριολεκτική έκφραση α-βΔεν έχει σημασία όταν a = 10 και b = 17. Πράγματι, για τους φυσικούς αριθμούς, το minuend δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το subtrahend. Για παράδειγμα, αν έχετε μόνο 10 μήλα (a = 10), δεν μπορείτε να χαρίσετε 17 από αυτά (b = 17)!

Ο Πίνακας 2 (στήλη 2) δείχνει ένα παράδειγμα κυριολεκτικής έκφρασης. Κατ' αναλογία, συμπληρώστε πλήρως τον πίνακα.

Για τους φυσικούς αριθμούς η έκφραση είναι 10 -17 λάθος (δεν έχει νόημα), δηλ. η διαφορά 10 -17 δεν μπορεί να εκφραστεί ως φυσικός αριθμός. Ένα άλλο παράδειγμα: δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, επομένως για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό b, το πηλίκο β: 0 απροσδιόριστος.

Οι μαθηματικοί νόμοι, οι ιδιότητες, ορισμένοι κανόνες και σχέσεις γράφονται συχνά σε κυριολεκτική μορφή (δηλαδή με τη μορφή κυριολεκτικής έκφρασης). Σε αυτές τις περιπτώσεις, η κυριολεκτική έκφραση ονομάζεται τύπος. Για παράδειγμα, αν οι πλευρές ενός επτάγωνου είναι ίσες ένα,σι,ντο,ρε,μι,φά,σολ, στη συνέχεια ο τύπος (κυριολεκτική έκφραση) για τον υπολογισμό της περιμέτρου του Πέχει τη μορφή:

p =α+β+c +d+e+f+σολ

Με a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, η περίμετρος του επτάγωνου p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Με a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, η περίμετρος του άλλου επτάγωνου p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Μπλοκ 1. Λεξιλόγιο

Δημιουργήστε ένα λεξικό με νέους όρους και ορισμούς από την παράγραφο. Για να το κάνετε αυτό, γράψτε λέξεις από τη λίστα όρων παρακάτω στα κενά κελιά. Στον πίνακα (στο τέλος του μπλοκ), υποδείξτε τους αριθμούς των όρων σύμφωνα με τους αριθμούς των πλαισίων. Συνιστάται να διαβάσετε ξανά προσεκτικά την παράγραφο πριν συμπληρώσετε τα κελιά του λεξικού.

1. Πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση.

2. Σημάδια «+» (συν), «-» (μείον), «∙» (πολλαπλασιασμός, « : " (διαιρέστε).

3. Εγγραφή που αποτελείται από αριθμούς που συνδέονται μεταξύ τους με πρόσημα αριθμητικών πράξεων και που μπορεί επίσης να περιέχει παρενθέσεις.

4. Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης ενεργειών σε αριθμούς σε αριθμητική έκφραση.

5. Το πρόσημο που προηγείται της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης.

6. Μια εγγραφή που αποτελείται από αριθμούς και μικρά γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, που συνδέονται μεταξύ τους με σημεία αριθμητικών πράξεων (μπορεί να υπάρχουν και αγκύλες).

7. Συνηθισμένο όνομαγράμματα σε κυριολεκτική έκφραση.

8. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, η οποία λαμβάνεται με την αντικατάσταση μεταβλητών σε μια κυριολεκτική έκφραση.

9.Μια αριθμητική παράσταση της οποίας η τιμή για φυσικούς αριθμούς δεν μπορεί να βρεθεί.

10. Μια αριθμητική παράσταση της οποίας η τιμή για φυσικούς αριθμούς μπορεί να βρεθεί.

11. Μαθηματικοί νόμοι, ιδιότητες, κάποιοι κανόνες και σχέσεις, γραμμένοι σε μορφή γράμματος.

12. Ένα αλφάβητο του οποίου τα μικρά γράμματα χρησιμοποιούνται για τη σύνταξη αλφαβητικών εκφράσεων.

Μπλοκ 2. Ταίριασμα

Αντιστοιχίστε την εργασία στην αριστερή στήλη με τη λύση στα δεξιά. Γράψτε την απάντησή σας με τη μορφή: 1α, 2δ, 3β...

Μπλοκ 3. Δοκιμή όψεων. Αριθμητικές και αλφαβητικές εκφράσεις

Τα τεστ όψεων αντικαθιστούν συλλογές προβλημάτων στα μαθηματικά, αλλά διαφέρουν ευνοϊκά από αυτά στο ότι μπορούν να επιλυθούν σε υπολογιστή, να ελεγχθούν οι λύσεις και να ανακαλυφθεί αμέσως το αποτέλεσμα της εργασίας. Αυτό το τεστ περιέχει 70 προβλήματα. Αλλά μπορείτε να λύσετε προβλήματα με επιλογή για αυτό υπάρχει ένας πίνακας αξιολόγησης, ο οποίος υποδεικνύει απλές εργασίεςκαι πιο δύσκολο. Παρακάτω είναι το τεστ.

1. Δίνεται ένα τρίγωνο με πλευρές ντο,ρε,Μ,εκφράζεται σε cm
2. Δίνεται τετράπλευρο με πλευρές σι,ντο,ρε,Μ, που εκφράζεται σε m
3. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου σε km/h είναι σι,ο χρόνος ταξιδιού σε ώρες είναι ρε
4. Η απόσταση που διένυσε ο τουρίστας μέσα Μώρες είναι Μεχλμ
5. Η απόσταση που διένυσε ο τουρίστας, κινούμενος με ταχύτητα Μ km/h είναι σιχλμ
6. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι μεγαλύτερο από τον δεύτερο αριθμό κατά 15
7. Η διαφορά είναι μικρότερη από αυτή που μειώνεται κατά 7
8. Μια επιβατική γραμμή έχει δύο καταστρώματα με τον ίδιο αριθμό θέσεων επιβατών. Σε κάθε μία από τις σειρές του καταστρώματος Μκαθίσματα, σειρές στο κατάστρωμα nπερισσότερες από θέσεις στη σειρά
9. Η Petya είναι m ετών, η Masha είναι n ετών και η Katya είναι k χρόνια νεότερη από την Petya και τη Masha μαζί
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Το νόημα αυτής της έκφρασης
2. Η κυριολεκτική έκφραση για την περίμετρο είναι
3. Η περίμετρος εκφράζεται σε εκατοστά
4. Φόρμουλα για την απόσταση που διανύει ένα αυτοκίνητο
5. Φόρμουλα για ταχύτητα v, τουριστική κίνηση
6. Φόρμουλα για το χρόνο t, τουριστική κίνηση
7. Η απόσταση που διανύθηκε με το αυτοκίνητο σε χιλιόμετρα
8. Ταχύτητα τουρισμού σε χιλιόμετρα την ώρα
9. Χρόνος τουριστικού ταξιδιού σε ώρες
10. Ο πρώτος αριθμός είναι...
11. Το υπόστρωμα ισούται με...
12. Έκφραση για ο μεγαλύτερος αριθμόςεπιβάτες, που μπορούν να μεταφέρουν το πλοίο για κπτήσεις
13. Ο μεγαλύτερος αριθμός επιβατών που μπορεί να μεταφέρει ένα αεροσκάφος κπτήσεις
14. Έκφραση επιστολής για την ηλικία της Κάτια
15. Η ηλικία της Κάτιας
16. Η συντεταγμένη του σημείου Β, αν η συντεταγμένη του σημείου Γ είναι t
17. Η συντεταγμένη του σημείου Δ, αν η συντεταγμένη του σημείου Γ είναι t
18. Η συντεταγμένη του σημείου Α, αν η συντεταγμένη του σημείου Γ είναι t
19. Μήκος τμήματος BD στην αριθμητική γραμμή
20. Μήκος τμήματος CA στην αριθμητική γραμμή
21. Μήκος τμήματος DA στην αριθμητική γραμμή

Η έννοια μιας μαθηματικής έκφρασης (ή απλώς μιας έκφρασης) που διδάσκεται στο δημοτικό σχολείο είναι σημαντική. Έτσι, αυτή η ιδέα βοηθά τους μαθητές να κατακτήσουν τις υπολογιστικές δεξιότητες. Πράγματι, τα υπολογιστικά σφάλματα συχνά συνδέονται με την έλλειψη κατανόησης της δομής των εκφράσεων και την αβέβαιη γνώση της σειράς με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες στις εκφράσεις. Η κυριαρχία της έννοιας της έκφρασης καθορίζει το σχηματισμό τόσο σημαντικών μαθηματικών εννοιών όπως η ισότητα, η ανισότητα, η εξίσωση. Η ικανότητα σύνταξης εκφράσεων για ένα πρόβλημα είναι απαραίτητη για την κατάκτηση της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων αλγεβρικά, δηλ. γράφοντας εξισώσεις.

Τα παιδιά εξοικειώνονται με τις πρώτες εκφράσεις – άθροισμα και διαφορά – όταν μελετούν την πρόσθεση και την αφαίρεση στη συγκέντρωση «Δεκάδες». Χωρίς τη χρήση ειδικών όρων, τα παιδιά της πρώτης τάξης εκτελούν υπολογισμούς, σημειώνουν εκφράσεις, τις διαβάζουν, αντικαθιστούν έναν αριθμό με ένα άθροισμα, με βάση οπτικές αναπαραστάσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, διαβάζουν την έκφραση 4+3 ως εξής: «προσθέστε τρία στα τέσσερα» ή «αύξηση 4 κατά 3». Βρίσκοντας τις τιμές των παραστάσεων που αποτελούνται από τρεις αριθμούς που συνδέονται με πρόσθεση και αφαίρεση, οι μαθητές χρησιμοποιούν στην πραγματικότητα τον κανόνα για τη σειρά των ενεργειών σε άρρητη μορφή και εκτελούν τους πρώτους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των παραστάσεων.

Έχοντας εξοικειωθεί με εκφράσεις όπως α+γ, οι μαθητές της πρώτης τάξης χρησιμοποιούν πρώτα τον όρο «άθροισμα» για να προσδιορίσουν τον αριθμό που προκύπτει από την πρόσθεση, δηλ. το ποσό αντιμετωπίζεται ως η τιμή της έκφρασης. Στη συνέχεια, με την εμφάνιση πιο σύνθετων εκφράσεων, όπως π.χ (α+γ)-γ, υπάρχει ανάγκη για διαφορετική κατανόηση του όρου «ποσό». Εκφραση α+γονομάζεται άθροισμα και τα συστατικά του ονομάζονται όροι. Όταν εισάγετε εκφράσεις όπως a-c, a·c, a:cΚάνε το ίδιο. Πρώτα, η διαφορά (προϊόν, πηλίκο) είναι η έννοια της έκφρασης και μετά η ίδια η έκφραση. Ταυτόχρονα, λέγονται στους μαθητές τα ονόματα των συστατικών του: minuend, subtrahend, παράγοντες, dividend και divisor. Για παράδειγμα, στην ισότητα 9-4=5 το 9 είναι το minuend, το 4 είναι το subtrahend, το 5 είναι η διαφορά. Το λήμμα 9-4 ονομάζεται επίσης διαφορά. Μπορείτε να εισαγάγετε αυτούς τους όρους με διαφορετική σειρά: ζητήστε από τους μαθητές να γράψουν το Παράδειγμα 9-4, να εξηγήσετε ότι η διαφορά είναι γραμμένη και να υπολογίσετε ποια είναι η γραπτή διαφορά. Ο δάσκαλος εισάγει το όνομα του αριθμού που προκύπτει: το 5 είναι επίσης διαφορά. Άλλοι αριθμοί κατά την αφαίρεση ονομάζονται: 9 - minuend, 4 - subtrahend.

Η απομνημόνευση νέων όρων διευκολύνεται από αφίσες όπως

ΜΕΙΟΝ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΦΟΡΑ (τιμή διαφοράς)

Για την ενοποίηση αυτών των όρων, ασκήσεις όπως: «Υπολογίστε το άθροισμα των αριθμών. γράψτε το άθροισμα των αριθμών. συγκρίνετε τα αθροίσματα των αριθμών (εισάγετε > σύμβολο,< или = вместо · в запись 4 + 3 · 5 + 1 и прочтите полученную запись); замените число суммой одинаковых (разных) чисел; заполните таблицу; составьте по таблице примеры и решите их». Важно, чтобы дети поняли, что при вычислении суммы производится указанное действие (сложение), а при записи суммы получаем два числа, соединенных знаком плюс.

Κατά τη μελέτη της πρόσθεσης και της αφαίρεσης μέσα στο 10, περιλαμβάνονται εκφράσεις που αποτελούνται από τρεις ή περισσότερους αριθμούς που συνδέονται με τα ίδια ή διαφορετικά σημάδια δράσης της φόρμας: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2+2, 7 -4+ 2, 6+3-7. Αποκαλύπτοντας το νόημα τέτοιων εκφράσεων, ο δάσκαλος δείχνει πώς να τις διαβάζει (για παράδειγμα, προσθέστε ένα στα τρία και προσθέστε ένα ακόμη στον αριθμό που προκύπτει). Υπολογίζοντας τις έννοιες αυτών των εκφράσεων, τα παιδιά πρακτικά κατακτούν τον κανόνα σχετικά με τη σειρά των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση, αν και δεν τον διατυπώνουν. Λίγο αργότερα, τα παιδιά διδάσκονται να προδιαμορφώνουν εκφράσεις στη διαδικασία των υπολογισμών, για παράδειγμα: 10-7+5=3+5=8. τέτοιες εγγραφές είναι το πρώτο βήμα για την εκτέλεση μετασχηματισμών ταυτότητας. Εισαγωγή στα παιδιά της πρώτης τάξης σε εκφράσεις όπως 10- (6+2), (7-4)+5 κ.λπ. τους προετοιμάζει να μελετήσουν τους κανόνες για την πρόσθεση ενός αριθμού σε ένα άθροισμα, την αφαίρεση ενός αριθμού από ένα άθροισμα κ.λπ., για να καταγράψουν λύσεις σε σύνθετα προβλήματα και επίσης συμβάλλει στη βαθύτερη κατανόηση της έννοιας της έκφρασης.

Στο επόμενο στάδιο της κατάκτησης της έννοιας της έκφρασης, οι μαθητές εξοικειώνονται με εκφράσεις που χρησιμοποιούν αγκύλες: (10-3)+4, (6-2)+5. μπορούν να εισαχθούν μέσω προβλημάτων λέξεων. Ο δάσκαλος προτείνει να φτιάξετε τα αθροίσματα και τις διαφορές των αριθμών 10 και 3 σε έναν καμβά στοιχειοθέτησης, χρησιμοποιώντας κάρτες στις οποίες είναι γραμμένοι αυτοί οι αριθμοί και τα σημάδια δράσης. Στη συνέχεια ο δάσκαλος αντικαθιστά τη διαφορά 10-3 που συνέταξαν οι μαθητές με μια κάρτα που έχει προετοιμαστεί εκ των προτέρων με αυτή τη διαφορά. Επόμενη εργασία: Δημιουργήστε μια έκφραση (σε αυτό το στάδιο οι μαθητές μιλούν για αυτήν ως παράδειγμα) χρησιμοποιώντας τη διαφορά, τον αριθμό 4 και το σύμβολο +. Κατά την ανάγνωση της έκφρασης που προκύπτει, εφιστάται η προσοχή στο γεγονός ότι τα συστατικά της είναι μια διαφορά και ένας αριθμός. «Για να γίνει σαφές», λέει ο δάσκαλος, «ότι η διαφορά είναι ένας όρος, περικλείεται σε παρένθεση».

Κατασκευάζοντας ανεξάρτητα εκφράσεις, τα παιδιά συνειδητοποιούν τη δομή τους, κατακτώντας την ικανότητα να διαβάζουν, να γράφουν και να υπολογίζουν τις έννοιές τους.

Εισάγονται οι όροι «μαθηματική έκφραση» (ή απλά «έκφραση») και «σημασία της έκφρασης». Αυτοί οι όροι δεν ορίζονται. Έχοντας καταγράψει πολλές απλές εκφράσεις: αθροίσματα, διαφορές, ο δάσκαλος τις αποκαλεί μαθηματικές εκφράσεις. Αφού προσφέρεται να αξιολογήσει αυτά τα παραδείγματα, ανακοινώνει ότι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον υπολογισμό ονομάζονται τιμή της παράστασης. Περαιτέρω εργασία για αριθμητικές εκφράσεις συνίσταται στην εξάσκηση των παιδιών στην ανάγνωση, στην υπαγόρευση, στη σύνθεση εκφράσεων, στη συμπλήρωση πινάκων, στη χρήση εκτενών νέων όρων.

Κανόνες για τη σειρά των ενεργειών .

	Ιδιαιτερότητες αριθμητική έκφραση	εκτέλεση Ενέργειες
	Περιέχει μόνο + Και – ή απλά ΧΚαι :	Με τη σειρά (από αριστερά προς τα δεξιά)	65 - 20 + 5 - 8 = 42 24:4 · 2:3 = 4
	Περιέχει όχι μόνο + Και - , αλλά επίσης ΧΚαι :	Εκτελέστε πρώτα με τη σειρά (από αριστερά προς τα δεξιά) ΧΚαι : , και μετά + Και – (απο αριστερά προς δεξιά)	120 – 20: 4 6 = 90 460 + 40 – 50 4 = 300 1 3 4 2 360: 4 + 10 – 8 5 = 60 180: 2 - 90: 3 = 60
	Περιέχει ένα ή περισσότερα ζεύγη παρενθέσεων	Πρώτα, βρείτε τις τιμές των παραστάσεων σε παρένθεση και, στη συνέχεια, εκτελέστε ενέργειες σύμφωνα με τους κανόνες 1 και 2	1000- (100 9 + 10) =90 5 (76 – 6 + 10) = 400 80+ (360 - 300) 5 = 380 3 1 4 2 99 · (24-23) –(12-4) =91

Για να υπολογίσετε την τιμή μιας παράστασης, συχνά πρέπει να τη μετατρέψετε, ειδικά εάν η παράσταση περιέχει μεγάλο αριθμό πράξεων και παρενθέσεων.

Μετατροπή μιας έκφρασηςείναι η αντικατάσταση μιας δεδομένης παράστασης με μια άλλη της οποίας η τιμή είναι ίση με την τιμή της δεδομένης παράστασης. Οι μετασχηματισμοί των παραστάσεων πραγματοποιούνται με βάση τις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων και τις συνέπειες που απορρέουν από αυτές (κανόνες: πώς να προσθέσετε ένα άθροισμα σε έναν αριθμό, πώς να αφαιρέσετε έναν αριθμό από ένα άθροισμα, πώς να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα γινόμενο κ.λπ. .). Κατά τη μελέτη κάθε κανόνα, οι μαθητές πείθονται ότι σε εκφράσεις ενός συγκεκριμένου τύπου μπορούν να εκτελέσουν ενέργειες με διαφορετικούς τρόπους, αλλά το νόημα της έκφρασης δεν αλλάζει.

ΚΑΙ τη χρήση συμβατικής σημειογραφίας των αριθμών στη διδασκαλία των μαθηματικών.

Δέσμες - δεκάδες ραβδιά και μεμονωμένα ραβδιά χρησιμοποιούνται για να επιδειχθεί ο σχηματισμός και η δεκαδική σύνθεση διψήφιων αριθμών. Για τον ίδιο σκοπό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε λωρίδες με κύκλους ή τρίγωνα για να απεικονίσετε δεκάδες (10 λωρίδες των 10 ψηφίων) και ones (λωρίδες με 1, 2, ..., 9 ψηφία). Μερικές φορές, αντί για ρίγες, χρησιμοποιούνται ορθογώνιες κάρτες που απεικονίζουν αριθμητικά σχήματα (κουκκίδες) για την απεικόνιση μονάδων και τρίγωνες κάρτες που απεικονίζουν δεκάδες.

Οι αριθμοί που λαμβάνονται με την καταμέτρηση των δεκάδων και των μονάδων λαμβάνονται υπόψη. Πρώτα, μπορείτε να στραφείτε στην κατάσταση της ζωής σας. Μπορείτε να εισαγάγετε μοντέλα δεκάδων και μονά με τη μορφή τριγώνων και μεμονωμένων σημείων. Στη συνέχεια δείχνουν ένα τρίγωνο γεμάτο με κουκκίδες (κύκλους) σύμφωνα με τον ίδιο «κανόνα», που θα δηλώνει δέκα. Επί αυτό το μάθημαΑυτό το εγχειρίδιο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως επίδειξη: τα παιδιά ονομάζουν τον αριθμό, ο οποίος υποδεικνύεται με τρίγωνα και μεμονωμένες κουκκίδες, ή τα ίδια ορίζουν τον αριθμό χρησιμοποιώντας αυτό το εγχειρίδιο. Στο μέλλον, όταν θα είναι δύσκολο να δουλέψετε πρακτικά με μπαστούνια, τα σχέδια με τρίγωνα και μεμονωμένες κουκκίδες θα βοηθήσουν τα παιδιά να κατανοήσουν καλά τη δεκαδική σύνθεση των αριθμών, ενώ τα τρίγωνα δεν γεμίζουν πλέον με τελείες, συμφωνώντας ότι τα τρίγωνα που σχεδιάζονται σε ένα κελί υποδεικνύουν δεκάδες και οι τελείες στα δεξιά του Υπάρχουν μόνο λίγες από αυτές. Με αυτή τη μέθοδο, είναι εύκολο για τα παιδιά να σχεδιάσουν σχέδια σε σημειωματάρια:

Σε κάθε μάθημα που είναι αφιερωμένο στη μελέτη της αρίθμησης, γίνεται εργασία για προβλήματα. Τα απλά προβλήματα λύνονται πρώτα. Αυτά είναι προβλήματα για την εύρεση του αθροίσματος και του υπολοίπου, για την αύξηση και τη μείωση ενός αριθμού κατά πολλές μονάδες, για συγκρίσεις διαφορών.

Σημαντική θέση στα μαθήματα των τάξεων 1-3 καταλαμβάνουν στοιχειοθετικοί καμβάδες διαφόρων σχεδίων, κατασκευασμένοι από χαρτόνι, κόντρα πλακέ και ύφασμα. Το Σχήμα 4 δείχνει έναν καμβά στοιχειοθεσίας επίδειξης και το Σχήμα 5 δείχνει έναν μεμονωμένο.