Τύπος εργασίας: 7
Κατάσταση
Η ευθεία y=3x+2 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=-12x^2+bx-10.
Να βρείτε το b, δεδομένου ότι η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου είναι μικρότερη από το μηδέν.Δείξε λύση
Λύση
Έστω x_0 η τετμημένη του σημείου της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=-12x^2+bx-10 από το οποίο διέρχεται η εφαπτομένη σε αυτή τη γραφική παράσταση. Η τιμή της παραγώγου στο σημείο x_0 είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης, δηλαδή y"(x_0)=-24x_0+b=3. Από την άλλη πλευρά, το σημείο εφαπτομένης ανήκει ταυτόχρονα και στη γραφική παράσταση του συνάρτηση και η εφαπτομένη, δηλαδή -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων
\begin(περιπτώσεις) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (περιπτώσεις)
Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.
Τύπος εργασίας: 7
Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.
Κατάσταση
Απάντηση
Να βρείτε το b, δεδομένου ότι η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου είναι μικρότερη από το μηδέν.Δείξε λύση
Θέμα: Γεωμετρική σημασία των παραγώγων. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
Η ευθεία y=-3x+4 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=-x^2+5x-7.
Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.
Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.
Τύπος εργασίας: 7
Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.
Κατάσταση
Να βρείτε το b, δεδομένου ότι η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου είναι μικρότερη από το μηδέν.Δείξε λύση
Ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=-x^2+5x-7 σε ένα αυθαίρετο σημείο x_0 είναι ίσος με y"(x_0). Αλλά y"=-2x+5, που σημαίνει y" (x_0)=-2x_0+5 ο συντελεστής της ευθείας y=-3x+4 είναι ίσος με -3 Οι παράλληλες ευθείες έχουν τους ίδιους γωνιακούς συντελεστές -2x_0 +5=-3.
Παίρνουμε: x_0 = 4. Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(-6; 2) και B(-1; 1). Ας συμβολίσουμε με C(-6; 1) το σημείο τομής των ευθειών x=-6 και y=1 και με \άλφα τη γωνία ABC (μπορείτε να δείτε στο σχήμα ότι είναι οξεία). Τότε η ευθεία ΑΒ σχηματίζει γωνία \pi -\άλφα με τη θετική φορά του άξονα Ox, η οποία είναι αμβλεία.
Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.
Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.
Τύπος εργασίας: 7
Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.
Κατάσταση
Όπως είναι γνωστό, το tg(\pi -\alpha) θα είναι η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x_0.
Να βρείτε το b, δεδομένου ότι η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου είναι μικρότερη από το μηδέν.Δείξε λύση
σημειώσε ότι
tg \άλφα =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.
Η τιμή της παραγώγου στο σημείο x_0 είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης, δηλαδή y"(x_0)=32x_0+b=-2. Από την άλλη πλευρά, το σημείο εφαπτομένης ανήκει ταυτόχρονα και στη γραφική παράσταση του συνάρτηση και την εφαπτομένη, δηλαδή, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων \begin(περιπτώσεις) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end (περιπτώσεις)
Λύνοντας το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.
Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.
Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.
Τύπος εργασίας: 7
Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.
Κατάσταση
Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μεγαλύτερα από το μηδέν, άρα x_0=1, μετά b=-2-32x_0=-34.
Δείξε λύση
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y=f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-2; 8).
Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.
Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.
Τύπος εργασίας: 7
Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.
Κατάσταση
Να προσδιορίσετε τον αριθμό των σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y=6.
Να βρείτε το b, δεδομένου ότι η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου είναι μικρότερη από το μηδέν.Δείξε λύση
Η ευθεία y=6 είναι παράλληλη στον άξονα Ox. Επομένως, βρίσκουμε σημεία στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη με τον άξονα Ox.
Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0^2=1, που σημαίνει είτε x_0=-1 είτε x_0=1.
Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.
Τύπος εργασίας: 7
Σύμφωνα με την συνθήκη της τετμημένης, τα εφαπτομενικά σημεία είναι μικρότερα από το μηδέν, άρα x_0=-1, μετά b=3+24x_0=-21.
Κατάσταση
Σε αυτό το γράφημα, τέτοια σημεία είναι ακραία σημεία (μέγιστα ή ελάχιστα σημεία). Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν 4 ακραία σημεία.
Δείξε λύση
Η ευθεία y=4x-6 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x^2-4x+9.
Να βρείτε την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου.Η κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x^2-4x+9 σε ένα αυθαίρετο σημείο x_0 είναι ίση με y"(x_0). Αλλά y"=2x-4, που σημαίνει y"(x_0)= 2x_0-4 Η κλίση της εφαπτομένης y =4x-7 που καθορίζεται στη συνθήκη είναι ίση με 4. Οι παράλληλες ευθείες έχουν τους ίδιους γωνιακούς συντελεστές.
Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) και η εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x_0.Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x_0. Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).→0.
Ας συμβολίσουμε με C(5; 1) το σημείο τομής των ευθειών x=5 και y=1 και με \άλφα τη γωνία BAC (μπορείτε να δείτε στο σχήμα ότι είναι οξεία). Τότε η ευθεία ΑΒ σχηματίζει γωνία \άλφα με τη θετική φορά του άξονα Ox. Εφαπτομένη γραμμήείναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο της καμπύλης και συμπίπτει με αυτό σε αυτό το σημείο μέχρι την πρώτη τάξη (Εικ. 1). Άλλος ορισμός: αυτή είναι η οριακή θέση του τμήματος στο Δ
Χ
Εξήγηση: Πάρτε μια ευθεία γραμμή που τέμνει την καμπύλη σε δύο σημεία: ΕΝΑΚαι Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι(βλέπε εικόνα). Αυτό είναι ένα τμήμα. Θα το περιστρέψουμε δεξιόστροφα μέχρι να βρει μόνο ένα κοινό σημείο με την καμπύλη. Αυτό θα μας δώσει μια εφαπτομένη. Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι; ΕΝΑ(Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σιΑυστηρός ορισμός της εφαπτομένης: Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ΕΝΑ′( Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι).
φά , διαφοροποιήσιμο στο σημείοΟΆλλος ορισμός, είναι μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο ( )) και έχονταςκλίση Η κλίση έχει μια ευθεία γραμμή της μορφής y =
kx + ίσο με την εφαπτομένη οξεία γωνία, που σχηματίζεται από αυτή την ευθεία με τον άξονα της τετμημένης:
|
Εδώ η γωνία α είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας , διαφοροποιήσιμο στο σημείοΟΆλλος ορισμόςκαι θετική (δηλαδή αριστερόστροφη) φορά του άξονα x. Ονομάζεται γωνία κλίσης ευθείας γραμμής(Εικ. 1 και 2). 
Αν η γωνία κλίσης είναι ευθεία , διαφοροποιήσιμο στο σημείοΟΆλλος ορισμόςοξεία, τότε η κλίση είναι θετικός αριθμός. Το γράφημα αυξάνεται (Εικ. 1).
Αν η γωνία κλίσης είναι ευθεία , διαφοροποιήσιμο στο σημείοΟΆλλος ορισμόςείναι αμβλεία, τότε η κλίση είναι αρνητικός αριθμός. Το γράφημα μειώνεται (Εικ. 2).
Αν η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα x, τότε η γωνία κλίσης της ευθείας είναι μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, η κλίση της ευθείας είναι επίσης μηδέν (αφού η εφαπτομένη του μηδέν είναι μηδέν). Η εξίσωση της ευθείας θα μοιάζει με y = b (Εικ. 3).
Αν η γωνία κλίσης μιας ευθείας είναι 90º (π/2), δηλαδή είναι κάθετη στον άξονα της τετμημένης, τότε η ευθεία δίνεται από την ισότητα x =ντο, Οπου ντο– κάποιο πραγματικό αριθμό (Εικ. 4).
Εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησηςy = ΕΝΑ(Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).) στο σημείο Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι:
Παράδειγμα: Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ΕΝΑ(Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).) = Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4). 3 – 2Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4). 2 + 1 στο σημείο με τετμημένη 2.
Λύση .
Ακολουθούμε τον αλγόριθμο.
1) Σημείο αφής Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σιισούται με 2. Υπολογίστε ΕΝΑ(Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι):
ΕΝΑ(Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι) = ΕΝΑ(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Βρείτε ΕΝΑ′( Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).). Για να γίνει αυτό, εφαρμόζουμε τους τύπους διαφοροποίησης που περιγράφονται στην προηγούμενη ενότητα. Σύμφωνα με αυτούς τους τύπους, Χ 2 = 2Χ, ΕΝΑ Χ 3 = 3Χ 2. Που σημαίνει:
ΕΝΑ′( Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).) = 3Χ 2 – 2 ∙ 2Χ = 3Χ 2 – 4Χ.
Τώρα, χρησιμοποιώντας την τιμή που προκύπτει ΕΝΑ′( Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).), υπολογίστε ΕΝΑ′( Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι):
ΕΝΑ′( Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι) = ΕΝΑ′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Έχουμε λοιπόν όλα τα απαραίτητα δεδομένα: Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι = 2, ΕΝΑ(Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι) = 1, ΕΝΑ ′( Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι) = 4. Αντικαταστήστε αυτούς τους αριθμούς στην εφαπτομενική εξίσωση και βρείτε την τελική λύση:
y = ΕΝΑ(Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι) + ΕΝΑ′( Από το σχήμα προσδιορίζουμε ότι η εφαπτομένη διέρχεται από τα σημεία A(1; 1) και B(5; 4).σι) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.
Απάντηση: y = 4x – 7.
Οδηγίες
Προσδιορίζουμε τον γωνιακό συντελεστή της εφαπτομένης στην καμπύλη στο σημείο Μ.
Η καμπύλη που αναπαριστά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) είναι συνεχής σε μια ορισμένη γειτονιά του σημείου Μ (συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του σημείου Μ).
Εάν η τιμή f‘(x0) δεν υπάρχει, τότε είτε δεν υπάρχει εφαπτομένη, είτε τρέχει κατακόρυφα. Εν όψει αυτού, η παρουσία παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο x0 οφείλεται στην ύπαρξη μιας μη κατακόρυφης εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο (x0, f(x0)). Στην περίπτωση αυτή, ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης θα είναι ίσος με f "(x0). Έτσι, γίνεται σαφές γεωμετρική σημασίαπαράγωγος – υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης.
Βρείτε την τιμή της τετμημένης του εφαπτομενικού σημείου, που συμβολίζεται με το γράμμα «a». Αν συμπίπτει με ένα δεδομένο σημείο εφαπτομένης, τότε το "a" θα είναι η συντεταγμένη του x. Προσδιορίστε την τιμή λειτουργίεςστ(α) με αντικατάσταση στην εξίσωση λειτουργίεςτιμή τετμημένης.
Να προσδιορίσετε την πρώτη παράγωγο της εξίσωσης λειτουργίες f’(x) και αντικαταστήστε την τιμή του σημείου “a” σε αυτό.
Παίρνω γενική εξίσωσηεφαπτομένη, η οποία ορίζεται ως y = f(a) = f (a)(x – a) και αντικαθιστούν τις τιμές που βρέθηκαν των a, f(a), f "(a) σε αυτήν. θα βρεθεί η λύση της γραφικής παράστασης και της εφαπτομένης.
Λύστε το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο αν το δεδομένο σημείο εφαπτομένης δεν συμπίπτει με το σημείο εφαπτομένης. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσουμε το «a» αντί για αριθμούς στην εφαπτομενική εξίσωση. Μετά από αυτό, αντί για τα γράμματα "x" και "y", αντικαταστήστε την τιμή των συντεταγμένων του δεδομένου σημείου. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει στην οποία το "a" είναι το άγνωστο. Συνδέστε την τιμή που προκύπτει στην εφαπτομενική εξίσωση.
Γράψτε μια εξίσωση για μια εφαπτομένη με το γράμμα "a" εάν η δήλωση προβλήματος καθορίζει την εξίσωση λειτουργίεςκαι την εξίσωση μιας παράλληλης ευθείας σε σχέση με την επιθυμητή εφαπτομένη. Μετά από αυτό χρειαζόμαστε την παράγωγο λειτουργίες, στη συντεταγμένη στο σημείο «α». Αντικαταστήστε την κατάλληλη τιμή στην εφαπτομενική εξίσωση και λύστε τη συνάρτηση.
Εμφάνιση της σύνδεσης μεταξύ του πρόσημου της παραγώγου και της φύσης της μονοτονίας της συνάρτησης.
Παρακαλούμε να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί με τα παρακάτω. Κοίτα, το πρόγραμμα του ΤΙ σου δίνεται! Συνάρτηση ή παράγωγός της
Αν δοθεί μια γραφική παράσταση της παραγώγου, τότε θα μας ενδιαφέρουν μόνο τα σημάδια της συνάρτησης και τα μηδενικά. Δεν μας ενδιαφέρουν κατ' αρχήν κανένας «λόφος» ή «κούφωμα»!
Εργασία 1.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Προσδιορίστε τον αριθμό των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική.
Λύση:
Στο σχήμα, οι περιοχές της φθίνουσας συνάρτησης επισημαίνονται με χρώμα:
Αυτές οι φθίνουσες περιοχές της συνάρτησης περιέχουν 4 ακέραιες τιμές.
Εργασία 2.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη ή συμπίπτει με την ευθεία.
Λύση:
Μόλις η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι παράλληλη (ή συμπίπτει) με μια ευθεία γραμμή (ή, που είναι το ίδιο πράγμα), έχοντας κλίση, ίση με μηδέν, τότε η εφαπτομένη έχει γωνιακό συντελεστή .
Αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα, αφού η κλίση είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης στον άξονα.
Επομένως, βρίσκουμε ακραία σημεία (μέγιστα και ελάχιστα σημεία) στο γράφημα - σε αυτά τα σημεία οι συναρτήσεις που εφάπτονται στο γράφημα θα είναι παράλληλες προς τον άξονα.
Υπάρχουν 4 τέτοια σημεία.
Εργασία 3.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη ή συμπίπτει με την ευθεία.
Λύση:
Εφόσον η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι παράλληλη (ή συμπίπτει) με μια ευθεία που έχει κλίση, τότε και η εφαπτομένη έχει κλίση.
Αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι στα σημεία επαφής.
Επομένως, εξετάζουμε πόσα σημεία στο γράφημα έχουν τεταγμένη ίση με .
Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν τέσσερα τέτοια σημεία.
Εργασία 4.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι 0.
Λύση:
Η παράγωγος είναι ίση με μηδέν στα ακραία σημεία. Έχουμε 4 από αυτά:
Εργασία 5.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης και έντεκα σημεία στον άξονα x:. Σε πόσα από αυτά τα σημεία είναι αρνητική η παράγωγος της συνάρτησης;
Λύση:
Σε διαστήματα φθίνουσας συνάρτησης, η παράγωγός της παίρνει αρνητικές τιμές. Και η συνάρτηση μειώνεται σε σημεία. Υπάρχουν 4 τέτοια σημεία.
Εργασία 6.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε το άθροισμα των ακραίων σημείων της συνάρτησης.
Λύση:
Ακραία σημεία– αυτοί είναι οι μέγιστοι βαθμοί (-3, -1, 1) και οι ελάχιστοι βαθμοί (-2, 0, 3).
Άθροισμα ακραίων σημείων: -3-1+1-2+0+3=-2.
Εργασία 7.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης. Στην απάντησή σας, αναφέρετε το άθροισμα των ακέραιων σημείων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.
Λύση:
Το σχήμα επισημαίνει τα διαστήματα όπου η παράγωγος της συνάρτησης είναι μη αρνητική.
Δεν υπάρχουν ακέραια σημεία στο μικρό αυξανόμενο διάστημα, υπάρχουν τέσσερις ακέραιες τιμές: , , και .
Το άθροισμά τους:
Εργασία 8.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης. Στην απάντησή σας, αναφέρετε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.
Λύση:
Στο σχήμα, όλα τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι θετική επισημαίνονται με χρώμα, πράγμα που σημαίνει ότι η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται σε αυτά τα διαστήματα.
Το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά είναι 6.
Εργασία 9.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Σε ποιο σημείο του τμήματος παίρνει τη μεγαλύτερη αξία;
Λύση:
Ας δούμε πώς συμπεριφέρεται το γράφημα στο τμήμα, το οποίο είναι αυτό που μας ενδιαφέρει μόνο το πρόσημο της παραγώγου .
Το πρόσημο της παραγώγου on είναι μείον, αφού το γράφημα σε αυτό το τμήμα είναι κάτω από τον άξονα.
Σκεφτείτε το ακόλουθο σχήμα:
Απεικονίζει μια ορισμένη συνάρτηση y = f(x), η οποία είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο α. Σημειώνεται το σημείο Μ με συντεταγμένες (a; f(a)). Ένα τέμνον MR σχεδιάζεται μέσω ενός αυθαίρετου σημείου P(a + ∆x, f(a + ∆x)) του γραφήματος.
Εάν τώρα το σημείο P μετατοπιστεί κατά μήκος της γραφικής παράστασης στο σημείο M, τότε η ευθεία γραμμή MR θα περιστραφεί γύρω από το σημείο M. Στην περίπτωση αυτή, το Δx θα τείνει στο μηδέν. Από εδώ μπορούμε να διατυπώσουμε τον ορισμό της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.
Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
Η εφαπτομένη στο γράφημα μιας συνάρτησης είναι η οριακή θέση της τομής καθώς η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν. Θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η ύπαρξη της παραγώγου της συνάρτησης f στο σημείο x0 σημαίνει ότι σε αυτό το σημείο της γραφικής παράστασης υπάρχει εφαπτομένη γραμμήσε αυτόν.
Στην περίπτωση αυτή, ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης θα είναι ίσος με την παράγωγο αυτής της συνάρτησης σε αυτό το σημείο f’(x0). Αυτή είναι η γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f διαφοροποιήσιμης στο σημείο x0 είναι μια ορισμένη ευθεία που διέρχεται από το σημείο (x0;f(x0)) και έχει γωνιακό συντελεστή f’(x0).
Εξίσωση εφαπτομένης
Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης f στο σημείο A(x0; f(x0)). Η εξίσωση μιας ευθείας με κλίση k έχει την εξής μορφή:
Αφού ο συντελεστής κλίσης μας είναι ίσος με την παράγωγο f'(x0), τότε η εξίσωση θα πάρει την ακόλουθη μορφή: y = f'(x0)*x + β.
Τώρα ας υπολογίσουμε την τιμή του b. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι η συνάρτηση διέρχεται από το σημείο Α.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, από εδώ εκφράζουμε b και παίρνουμε b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Αντικαθιστούμε την τιμή που προκύπτει στην εφαπτομενική εξίσωση:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Ας σκεφτούμε επόμενο παράδειγμα: να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 στο σημείο x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Αντικαταστήστε τις λαμβανόμενες τιμές στον εφαπτομενικό τύπο, παίρνουμε: y = 1 + 4*(x - 2). Ανοίγοντας τις αγκύλες και φέρνοντας παρόμοιους όρους παίρνουμε: y = 4*x - 7.
Απάντηση: y = 4*x - 7.
Γενικό σχήμα για τη σύνθεση της εφαπτομενικής εξίσωσηςστη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x):
1. Προσδιορίστε το x0.
2. Υπολογίστε την f(x0).
3. Υπολογίστε το f’(x)