Ορισμός λογάριθμουΟ ευκολότερος τρόπος για να το γράψετε μαθηματικά είναι:
Ο ορισμός του λογάριθμου μπορεί να γραφτεί με άλλο τρόπο:
Προσοχή στους περιορισμούς που επιβάλλονται στη βάση του λογαρίθμου ( ένα) και στην υπολογαριθμική έκφραση ( x). Στο μέλλον, αυτές οι συνθήκες θα μετατραπούν σε σημαντικούς περιορισμούς για την OD, οι οποίοι θα πρέπει να ληφθούν υπόψη κατά την επίλυση οποιασδήποτε εξίσωσης με λογάριθμους. Έτσι, τώρα, εκτός από τις τυπικές συνθήκες που οδηγούν σε περιορισμούς στο ODZ (θετικότητα εκφράσεων κάτω από τις ρίζες ζυγών δυνάμεων, μη ίσος παρονομαστής στο μηδέν κ.λπ.), πρέπει επίσης να ληφθούν υπόψη οι ακόλουθες προϋποθέσεις:
- Η υπολογαριθμική έκφραση μπορεί να είναι μόνο θετική.
- Η βάση του λογάριθμου μπορεί να είναι μόνο θετική και όχι ίση με ένα.
Σημειώστε ότι ούτε η βάση του λογαρίθμου ούτε η υπολογαριθμική παράσταση μπορούν να είναι ίσες με μηδέν. Σημειώστε επίσης ότι η ίδια η τιμή του λογαρίθμου μπορεί να λάβει όλες τις πιθανές τιμές, π.χ. Ο λογάριθμος μπορεί να είναι θετικός, αρνητικός ή μηδενικός. Οι λογάριθμοι έχουν πολλές διαφορετικές ιδιότητες που απορρέουν από τις ιδιότητες των δυνάμεων και τον ορισμό ενός λογάριθμου. Ας τους απαριθμήσουμε. Έτσι, οι ιδιότητες των λογαρίθμων:
Λογάριθμος του προϊόντος:
Λογάριθμος κλάσματος:
Αφαιρώντας τη μοίρα από το πρόσημο του λογαρίθμου:
Δώστε ιδιαίτερη προσοχή μεγάλη προσοχήσε εκείνες από τις τελευταίες καταχωρημένες ιδιότητες στις οποίες εμφανίζεται το πρόσημο του συντελεστή μετά τη λήψη του βαθμού. Μην ξεχνάτε ότι όταν τοποθετείτε μια άρτια ισχύ έξω από το σύμβολο του λογάριθμου, κάτω από το λογάριθμο ή στη βάση, πρέπει να αφήσετε το σύμβολο του συντελεστή.
Αλλος ευεργετικές ιδιότητεςλογάριθμοι:
Η τελευταία ιδιότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά σε σύνθετες λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις. Θα πρέπει να τον θυμούνται όπως όλοι οι άλλοι, αν και συχνά τον ξεχνούν.
Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις είναι:
Και η λύση τους δίνεται από έναν τύπο που προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του λογάριθμου:
Άλλες απλές λογαριθμικές εξισώσεις είναι αυτές που, χρησιμοποιώντας αλγεβρικοί μετασχηματισμοίκαι οι παραπάνω τύποι και ιδιότητες των λογαρίθμων μπορούν να αναχθούν στη μορφή:
Η λύση σε τέτοιες εξισώσεις λαμβάνοντας υπόψη το ODZ είναι η εξής:
Κάποιοι άλλοι λογαριθμικές εξισώσεις με μια μεταβλητή στη βάσημπορεί να μειωθεί στη μορφή:
Σε τέτοιες λογαριθμικές εξισώσεις γενική άποψηη λύση προκύπτει επίσης άμεσα από τον ορισμό του λογαρίθμου. Μόνο σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν πρόσθετοι περιορισμοί για το DZ που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Ως αποτέλεσμα, για να λύσετε μια λογαριθμική εξίσωση με μια μεταβλητή στη βάση, πρέπει να λύσετε το ακόλουθο σύστημα:
Κατά την επίλυση πιο σύνθετων λογαριθμικές εξισώσεις, το οποίο δεν μπορεί να αναχθεί σε μία από τις εξισώσεις που παρουσιάζονται παραπάνω, χρησιμοποιείται επίσης ενεργά μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης. Ως συνήθως, όταν χρησιμοποιείτε αυτήν τη μέθοδο, πρέπει να θυμάστε ότι μετά την εισαγωγή της αντικατάστασης, η εξίσωση θα πρέπει να απλοποιηθεί και να μην περιέχει πλέον το παλιό άγνωστο. Πρέπει επίσης να θυμάστε να κάνετε αντίστροφη αντικατάσταση μεταβλητών.
Μερικές φορές κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων πρέπει επίσης να χρησιμοποιήσετε γραφική μέθοδος. Αυτή η μέθοδος είναι να βασιστείτε όσο το δυνατόν ακριβέστερα σε ένα επίπεδο συντεταγμένωνγραφήματα συναρτήσεων που βρίσκονται στην αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης και στη συνέχεια βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους στο σχέδιο. Οι ρίζες που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο πρέπει να ελεγχθούν με αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση.
Κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων είναι συχνά επίσης χρήσιμο μέθοδος ομαδοποίησης. Όταν χρησιμοποιείτε αυτήν τη μέθοδο, το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι: προκειμένου το γινόμενο πολλών παραγόντων να είναι ίσο με μηδέν, είναι απαραίτητο τουλάχιστον ένας από αυτούς να είναι ίσος με μηδέν, και τα υπόλοιπα υπήρχαν. Όταν οι παράγοντες είναι λογάριθμοι ή παρενθέσεις με λογάριθμους, και όχι μόνο παρενθέσεις με μεταβλητές όπως στις ορθολογικές εξισώσεις, μπορεί να προκύψουν πολλά σφάλματα. Δεδομένου ότι οι λογάριθμοι έχουν πολλούς περιορισμούς στην περιοχή όπου υπάρχουν.
Όταν αποφασίζει συστήματα λογαριθμικών εξισώσεωνΤις περισσότερες φορές πρέπει να χρησιμοποιήσετε είτε τη μέθοδο αντικατάστασης είτε τη μέθοδο αντικατάστασης μεταβλητής. Εάν υπάρχει μια τέτοια δυνατότητα, τότε κατά την επίλυση συστημάτων λογαριθμικών εξισώσεων, πρέπει να προσπαθήσουμε να διασφαλίσουμε ότι καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος φέρεται ξεχωριστά σε μια μορφή στην οποία θα είναι δυνατή η μετάβαση από μια λογαριθμική εξίσωση σε ορθολογικό.
Οι απλούστερες λογαριθμικές ανισώσεις λύνονται περίπου με τον ίδιο τρόπο όπως παρόμοιες εξισώσεις. Αρχικά, χρησιμοποιώντας αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και τις ιδιότητες των λογαρίθμων, πρέπει να προσπαθήσουμε να τους φέρουμε σε μια μορφή όπου οι λογάριθμοι στην αριστερή και δεξιά πλευρά της ανισότητας θα έχουν τις ίδιες βάσεις, δηλ. λάβετε μια ανισότητα της μορφής:
Μετά από αυτό πρέπει να μεταβείτε σε μια ορθολογική ανισότητα, λαμβάνοντας υπόψη ότι αυτή η μετάβαση πρέπει να εκτελεστεί ως εξής: εάν η βάση του λογαρίθμου είναι μεγαλύτερη από μία, τότε το πρόσημο της ανισότητας δεν χρειάζεται να αλλάξει και εάν το Η βάση του λογάριθμου είναι μικρότερη από ένα, τότε πρέπει να αλλάξετε το πρόσημο της ανισότητας στο αντίθετο (αυτό σημαίνει αλλαγή του "λιγότερο" σε "περισσότερο" ή αντίστροφα). Σε αυτή την περίπτωση, δεν χρειάζεται να αλλάξετε τα μείον σε συν ένα, παρακάμπτοντας τους κανόνες που μάθατε προηγουμένως. Ας γράψουμε μαθηματικά τι παίρνουμε ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης μιας τέτοιας μετάβασης. Αν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία παίρνουμε:
Αν η βάση του λογάριθμου είναι μικρότερη από μία, αλλάζουμε το πρόσημο της ανισότητας και παίρνουμε το ακόλουθο σύστημα:
Όπως βλέπουμε, κατά την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων, ως συνήθως, λαμβάνεται υπόψη και το ODZ (αυτή είναι η τρίτη συνθήκη στα παραπάνω συστήματα). Επιπλέον, σε αυτή την περίπτωση είναι δυνατό να μην απαιτείται η θετικότητα και των δύο υπολογαριθμικών παραστάσεων, αλλά μάλλον να απαιτείται μόνο η θετικότητα της μικρότερης από αυτές.
Όταν αποφασίζει λογαριθμικές ανισώσεις με μια μεταβλητή στη βάσηλογάριθμο, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε ανεξάρτητα και τις δύο επιλογές (όταν η βάση είναι μικρότερη από μία και μεγαλύτερη από μία) και να συνδυάσουμε τις λύσεις αυτών των περιπτώσεων σε ένα σύνολο. Ταυτόχρονα, δεν πρέπει να ξεχνάμε το DL, δηλ. για το γεγονός ότι τόσο η βάση όσο και όλες οι υπολογαριθμικές εκφράσεις πρέπει να είναι θετικές. Έτσι, κατά την επίλυση μιας ανισότητας της μορφής:
Λαμβάνουμε το ακόλουθο σύνολο συστημάτων:
Πιο πολύπλοκες λογαριθμικές ανισώσεις μπορούν επίσης να λυθούν χρησιμοποιώντας αλλαγές μεταβλητών. Ορισμένες άλλες λογαριθμικές ανισώσεις (καθώς και λογαριθμικές εξισώσεις) απαιτούν τη διαδικασία λήψης του λογαρίθμου και των δύο πλευρών της ανισότητας ή της εξίσωσης προς επίλυση. ίδια βάση. Άρα, όταν εκτελείται μια τέτοια διαδικασία με λογαριθμικές ανισότητες, υπάρχει μια λεπτότητα. Λάβετε υπόψη ότι όταν λαμβάνετε λογάριθμους σε βάση μεγαλύτερη του ενός, το πρόσημο της ανισότητας δεν αλλάζει, αλλά εάν η βάση είναι μικρότερη από ένα, τότε το πρόσημο της ανισότητας αντιστρέφεται.
Εάν μια λογαριθμική ανισότητα δεν μπορεί να μειωθεί σε ορθολογική ή να λυθεί χρησιμοποιώντας μια αντικατάσταση, τότε σε αυτήν την περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιήσετε μέθοδος γενικευμένου διαστήματος, που έχει ως εξής:
- Ορισμός DL.
- Μετατρέψτε την ανισότητα έτσι ώστε να υπάρχει ένα μηδέν στη δεξιά πλευρά (στην αριστερή πλευρά, αν είναι δυνατόν, μειώστε σε κοινός παρονομαστής, παραγοντοποίηση, κ.λπ.)
- Βρείτε όλες τις ρίζες του αριθμητή και του παρονομαστή και σχεδιάστε τις στον αριθμητικό άξονα και αν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, ζωγραφίστε τις ρίζες του αριθμητή, αλλά σε κάθε περίπτωση αφήστε τις ρίζες του παρονομαστή ως διακεκομμένες.
- Βρείτε το πρόσημο ολόκληρης της παράστασης σε κάθε ένα από τα διαστήματα αντικαθιστώντας έναν αριθμό από ένα δεδομένο διάστημα στη μετασχηματισμένη ανισότητα. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι πλέον δυνατή η εναλλαγή πινακίδων με οποιονδήποτε τρόπο κατά τη διέλευση από σημεία του άξονα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το πρόσημο μιας έκφρασης σε κάθε διάστημα αντικαθιστώντας την τιμή από το διάστημα σε αυτήν την έκφραση, και ούτω καθεξής για κάθε διάστημα. Αυτό δεν είναι πλέον δυνατό (αυτή είναι, σε γενικές γραμμές, η διαφορά μεταξύ της γενικευμένης μεθόδου διαστήματος και της συνηθισμένης).
- Βρείτε την τομή του ODZ και τα διαστήματα που ικανοποιούν την ανισότητα, αλλά μην χάσετε μεμονωμένα σημεία που ικανοποιούν την ανισότητα (τις ρίζες του αριθμητή σε μη αυστηρές ανισώσεις) και μην ξεχάσετε να εξαιρέσετε από την απάντηση όλες τις ρίζες του παρονομαστής σε όλες τις ανισότητες.
- Πίσω
- Προς τα εμπρός
Πώς να προετοιμαστείτε με επιτυχία για την αξονική τομογραφία στη φυσική και στα μαθηματικά;
Προκειμένου να προετοιμαστείτε επιτυχώς για το CT στη φυσική και τα μαθηματικά, μεταξύ άλλων, είναι απαραίτητο να πληρούνται τρεις πιο σημαντικές προϋποθέσεις:
- Μελετήστε όλα τα θέματα και ολοκληρώστε όλα τα τεστ και τις εργασίες που δίνονται στο εκπαιδευτικό υλικό σε αυτόν τον ιστότοπο. Για να το κάνετε αυτό, δεν χρειάζεστε απολύτως τίποτα, δηλαδή: αφιερώστε τρεις έως τέσσερις ώρες κάθε μέρα στην προετοιμασία για την αξονική τομογραφία στη φυσική και τα μαθηματικά, τη μελέτη της θεωρίας και την επίλυση προβλημάτων. Το γεγονός είναι ότι η CT είναι μια εξέταση όπου δεν αρκεί μόνο να γνωρίζεις φυσική ή μαθηματικά, πρέπει επίσης να μπορείς να λύνεις γρήγορα και χωρίς αποτυχίες μεγάλο αριθμόεργασίες για διαφορετικά θέματακαι ποικίλης πολυπλοκότητας. Το τελευταίο μπορεί να μάθει μόνο με την επίλυση χιλιάδων προβλημάτων.
- Μάθετε όλους τους τύπους και τους νόμους στη φυσική, και τους τύπους και τις μεθόδους στα μαθηματικά. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι επίσης πολύ απλό, υπάρχουν μόνο περίπου 200 απαραίτητοι τύποι στη φυσική, και ακόμη λίγο λιγότεροι στα μαθηματικά. Σε καθένα από αυτά τα θέματα υπάρχουν περίπου δώδεκα τυπικές μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων βασικού επιπέδου πολυπλοκότητας, οι οποίες μπορούν επίσης να μαθευτούν, και επομένως, εντελώς αυτόματα και χωρίς δυσκολία να λύσουν το μεγαλύτερο μέρος του CT τη σωστή στιγμή. Μετά από αυτό, θα πρέπει να σκεφτείτε μόνο τις πιο δύσκολες εργασίες.
- Παρακολουθήστε και τα τρία στάδια του δοκιμαστικού ελέγχου στη φυσική και στα μαθηματικά. Κάθε RT μπορεί να επισκεφθεί δύο φορές για να αποφασίσετε και για τις δύο επιλογές. Και πάλι, στο CT, εκτός από την ικανότητα γρήγορης και αποτελεσματικής επίλυσης προβλημάτων και τη γνώση τύπων και μεθόδων, πρέπει επίσης να είστε σε θέση να σχεδιάζετε σωστά τον χρόνο, να κατανέμετε δυνάμεις και, το πιο σημαντικό, να συμπληρώνετε σωστά τη φόρμα απαντήσεων, χωρίς μπερδεύοντας τους αριθμούς των απαντήσεων και των προβλημάτων ή το δικό σας επίθετο. Επίσης, κατά τη διάρκεια της RT, είναι σημαντικό να συνηθίσετε το στυλ της υποβολής ερωτήσεων σε προβλήματα, το οποίο μπορεί να φαίνεται πολύ ασυνήθιστο σε ένα απροετοίμαστο άτομο στο DT.
Η επιτυχής, επιμελής και υπεύθυνη εφαρμογή αυτών των τριών σημείων θα σας επιτρέψει να δείξετε ένα εξαιρετικό αποτέλεσμα στην αξονική τομογραφία, το μέγιστο από αυτό που μπορείτε.
Βρήκατε κάποιο λάθος;
Εάν πιστεύετε ότι έχετε βρει ένα σφάλμα στο εκπαιδευτικό υλικό, τότε παρακαλώ γράψτε γι' αυτό μέσω email. Μπορείτε επίσης να αναφέρετε ένα σφάλμα σε κοινωνικό δίκτυο(). Στο γράμμα, αναφέρετε το θέμα (φυσική ή μαθηματικά), το όνομα ή τον αριθμό του θέματος ή του τεστ, τον αριθμό του προβλήματος ή τη θέση στο κείμενο (σελίδα) όπου, κατά τη γνώμη σας, υπάρχει σφάλμα. Περιγράψτε επίσης ποιο είναι το ύποπτο σφάλμα. Το γράμμα σας δεν θα περάσει απαρατήρητο, το σφάλμα είτε θα διορθωθεί είτε θα σας εξηγηθεί γιατί δεν είναι λάθος.
Μια ανισότητα ονομάζεται λογαριθμική αν περιέχει μια λογαριθμική συνάρτηση.
Οι μέθοδοι επίλυσης λογαριθμικών ανισώσεων δεν διαφέρουν, εκτός από δύο πράγματα.
Πρώτον, όταν μεταβαίνουμε από τη λογαριθμική ανισότητα στην ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων, θα πρέπει να ακολουθήστε το πρόσημο της προκύπτουσας ανισότητας. Υπακούει στον ακόλουθο κανόνα.
Εάν η βάση της λογαριθμικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από $1$, τότε όταν μεταβαίνουμε από τη λογαριθμική ανισότητα στην ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων, το πρόσημο της ανισότητας διατηρείται, αλλά αν είναι μικρότερο από $1$, τότε αλλάζει στο αντίθετο .
Δεύτερον, η λύση σε οποιαδήποτε ανισότητα είναι ένα διάστημα και, επομένως, στο τέλος της επίλυσης της ανισότητας των υπολογαριθμικών συναρτήσεων είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί ένα σύστημα δύο ανισώσεων: η πρώτη ανισότητα αυτού του συστήματος θα είναι η ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων. και το δεύτερο θα είναι το διάστημα του πεδίου ορισμού των λογαριθμικών συναρτήσεων που περιλαμβάνονται στη λογαριθμική ανισότητα.
Πρακτική.
Ας λύσουμε τις ανισότητες:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0,$
$x \in (-3;+\infty)$
Η βάση του λογάριθμου είναι $2>1$, οπότε το πρόσημο δεν αλλάζει. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου, παίρνουμε:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )