La resolución de problemas de matemáticas para los estudiantes suele ir acompañada de muchas dificultades. Ayudar al estudiante a enfrentar estas dificultades, así como enseñarle a aplicar sus conocimientos teóricos existentes al resolver problemas específicos en todas las secciones del curso en la asignatura "Matemáticas" es el objetivo principal de nuestro sitio.
Al comenzar a resolver problemas sobre el tema, los estudiantes deberían poder construir un punto en un plano usando sus coordenadas, así como encontrar las coordenadas de un punto determinado.
El cálculo de la distancia entre dos puntos A(x A; y A) y B(x B; y B) tomados en un plano se realiza mediante la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), donde d es la longitud del segmento que conecta estos puntos en el plano.
Si uno de los extremos del segmento coincide con el origen de coordenadas y el otro tiene coordenadas M(x M; y M), entonces la fórmula para calcular d tomará la forma OM = √(x M 2 + y M 2 ).
1. Cálculo de la distancia entre dos puntos basándose en las coordenadas dadas de estos puntos.
Ejemplo 1.
Encuentre la longitud del segmento que conecta los puntos A(2; -5) y B(-4; 3) en el plano de coordenadas (Fig. 1).
Solución.
El enunciado del problema establece: x A = 2; x B = -4; y A = -5 y y B = 3. Encuentre d.
Aplicando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), obtenemos:
re = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Cálculo de las coordenadas de un punto que equidista de tres puntos dados
Ejemplo 2.
Encuentre las coordenadas del punto O 1, que es equidistante de tres puntos A(7; -1) y B(-2; 2) y C(-1; -5).
Solución.
De la formulación de las condiciones del problema se deduce que O 1 A = O 1 B = O 1 C. Sea el punto deseado O 1 que tenga coordenadas (a; b). Usando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:
O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);
O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Creemos un sistema de dos ecuaciones:
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Después de elevar al cuadrado los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones, escribimos:
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.
Simplificando, escribamos
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.
Resolviendo el sistema, obtenemos: a = 2; b = -1.
El punto O 1 (2; -1) es equidistante de los tres puntos especificados en la condición que no se encuentran en la misma línea recta. Este punto es el centro de un círculo que pasa por tres puntos dados (Figura 2).
3. Cálculo de la abscisa (ordenada) de un punto que se encuentra en el eje de abscisas (ordenada) y está a una distancia determinada de un punto determinado
Ejemplo 3.
La distancia desde el punto B(-5; 6) hasta el punto A que se encuentra en el eje Ox es 10. Encuentre el punto A.
Solución.
De la formulación de las condiciones del problema se deduce que la ordenada del punto A es igual a cero y AB = 10.
Denotando la abscisa del punto A por a, escribimos A(a; 0).
AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).
Obtenemos la ecuación √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificándola, tenemos
a 2 + 10a – 39 = 0.
Las raíces de esta ecuación son a 1 = -13; y 2 = 3.
Obtenemos dos puntos A 1 (-13; 0) y A 2 (3; 0).
Examen:
A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
Ambos puntos obtenidos son adecuados según las condiciones del problema. (Figura 3).
4. Cálculo de la abscisa (ordenada) de un punto que se encuentra en el eje de abscisas (ordenada) y está a la misma distancia de dos puntos dados
Ejemplo 4.
Encuentre un punto en el eje Oy que esté a la misma distancia de los puntos A (6, 12) y B (-8, 10).
Solución.
Sean las coordenadas del punto requerido por las condiciones del problema, que se encuentra en el eje Oy, O 1 (0; b) (en el punto que se encuentra en el eje Oy, la abscisa es cero). De la condición se deduce que O 1 A = O 1 B.
Usando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:
O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Tenemos la ecuación √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) o 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.
Después de la simplificación obtenemos: b – 4 = 0, b = 4.
Punto O 1 (0; 4) requerido por las condiciones del problema (Figura 4).
5. Cálculo de las coordenadas de un punto que se encuentra a la misma distancia de los ejes de coordenadas y de algún punto dado.
Ejemplo 5.
Encuentre el punto M ubicado en el plano de coordenadas a la misma distancia de los ejes de coordenadas y del punto A(-2; 1).
Solución.
El punto M requerido, al igual que el punto A(-2; 1), se ubica en el segundo ángulo coordenado, ya que es equidistante de los puntos A, P 1 y P 2. (Figura 5). Las distancias del punto M a los ejes de coordenadas son las mismas, por lo tanto, sus coordenadas serán (-a; a), donde a > 0.
De las condiciones del problema se deduce que MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,
aquellos. |-a| = a.
Usando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:
MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).
Hagamos una ecuación:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
Después de elevar al cuadrado y simplificar tenemos: a 2 – 6a + 5 = 0. Resuelve la ecuación, encuentra a 1 = 1; y 2 = 5.
Obtenemos dos puntos M 1 (-1; 1) y M 2 (-5; 5) que satisfacen las condiciones del problema. 
6. Cálculo de las coordenadas de un punto que se encuentra a la misma distancia especificada del eje de abscisas (ordenadas) y del punto dado.
Ejemplo 6.
Encuentre un punto M tal que su distancia desde el eje de ordenadas y desde el punto A(8; 6) sea igual a 5.
Solución.
De las condiciones del problema se deduce que MA = 5 y la abscisa del punto M es igual a 5. Sea la ordenada del punto M igual a b, entonces M(5; b) (Figura 6).
Según la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) tenemos:
MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Hagamos una ecuación:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Simplificándolo, obtenemos: b 2 – 12b + 20 = 0. Las raíces de esta ecuación son b 1 = 2; b 2 = 10. En consecuencia, hay dos puntos que satisfacen las condiciones del problema: M 1 (5; 2) y M 2 (5; 10).
Se sabe que muchos estudiantes, a la hora de resolver problemas de forma independiente, necesitan consultas constantes sobre técnicas y métodos para resolverlos. A menudo, un estudiante no puede encontrar una manera de resolver un problema sin la ayuda de un maestro. El alumno puede recibir el asesoramiento necesario para la resolución de problemas en nuestra web.
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En este artículo veremos formas de determinar la distancia de un punto a otro teóricamente y utilizando el ejemplo de tareas específicas. Para empezar, introduzcamos algunas definiciones.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definición 1
Distancia entre puntos– esta es la longitud del segmento que los conecta, en la escala existente. Es necesario establecer una escala para tener una unidad de longitud para medir. Por tanto, básicamente el problema de encontrar la distancia entre puntos se resuelve utilizando sus coordenadas en una línea de coordenadas, en un plano de coordenadas o en un espacio tridimensional.
Datos iniciales: línea de coordenadas O x y un punto arbitrario A que se encuentra sobre ella. Cualquier punto de la línea tiene un número real: sea un número determinado para el punto A. xA, también es la coordenada del punto A.
En general, podemos decir que la longitud de un determinado segmento se evalúa en comparación con un segmento tomado como unidad de longitud en una escala determinada.
Si el punto A corresponde a un número real entero, colocando secuencialmente desde el punto O hasta el punto a lo largo de la línea recta O A segmentos - unidades de longitud, podemos determinar la longitud del segmento O A a partir del número total de segmentos unitarios reservados.
Por ejemplo, el punto A corresponde al número 3; para llegar a él desde el punto O, deberá trazar tres segmentos unitarios. Si el punto A tiene coordenadas - 4, los segmentos unitarios se disponen de manera similar, pero en una dirección negativa diferente. Así, en el primer caso, la distancia O A es igual a 3; en el segundo caso O A = 4.
Si el punto A tiene como coordenada un número racional, entonces desde el origen (punto O) trazamos un número entero de segmentos unitarios, y luego su parte necesaria. Pero geométricamente no siempre es posible realizar una medición. Por ejemplo, parece difícil trazar la fracción 4 111 en la recta de coordenadas.
Con el método anterior, es completamente imposible trazar un número irracional en línea recta. Por ejemplo, cuando la coordenada del punto A es 11. En este caso, es posible recurrir a la abstracción: si la coordenada dada del punto A es mayor que cero, entonces O A = x A (el número se toma como la distancia); si la coordenada es menor que cero, entonces O A = - x A . En general, estas afirmaciones son verdaderas para cualquier número real x A.
En resumen: la distancia desde el origen hasta el punto que corresponde a un número real en la recta de coordenadas es igual a:
- 0 si el punto coincide con el origen;
- xA, si xA > 0;
- - x A si x A< 0 .
En este caso, es obvio que la longitud del segmento en sí no puede ser negativa, por lo tanto, usando el signo del módulo, escribimos la distancia desde el punto O al punto A con la coordenada xA: O A = x A
La siguiente afirmación será cierta: la distancia de un punto a otro será igual al módulo de diferencia de coordenadas. Aquellos. para los puntos A y B que se encuentran en la misma línea de coordenadas para cualquier ubicación y que tienen coordenadas correspondientes xA Y x B: A B = x B - x A .
Datos iniciales: puntos A y B que se encuentran en un plano en un sistema de coordenadas rectangular O x y con coordenadas dadas: A (x A, y A) y B (x B, y B).
Dibujemos perpendiculares por los puntos A y B a los ejes de coordenadas O x y O y y obtengamos como resultado los puntos de proyección: A x, A y, B x, B y. Según la ubicación de los puntos A y B, son posibles las siguientes opciones:
Si los puntos A y B coinciden, entonces la distancia entre ellos es cero;
Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje O x (eje de abscisas), entonces los puntos coinciden y | A B | = | A y B y | . Dado que la distancia entre los puntos es igual al módulo de la diferencia de sus coordenadas, entonces A y B y = y B - y A y, por tanto, A B = A y B y = y B - y A.
Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje O y (eje de ordenadas), por analogía con el párrafo anterior: A B = A x B x = x B - x A
Si los puntos A y B no se encuentran en una línea perpendicular a uno de ejes de coordenadas, encontremos la distancia entre ellos derivando la fórmula de cálculo:
Vemos que el triángulo A B C es de construcción rectangular. En este caso, A C = A x B x y B C = A y B y. Usando el teorema de Pitágoras, creamos la igualdad: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , y luego la transformamos: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Saquemos una conclusión del resultado obtenido: la distancia del punto A al punto B en el plano se determina mediante cálculo utilizando la fórmula utilizando las coordenadas de estos puntos.
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
La fórmula resultante también confirma declaraciones formuladas previamente para casos de coincidencia de puntos o situaciones en las que los puntos se encuentran en líneas rectas perpendiculares a los ejes. Entonces, si los puntos A y B coinciden, la igualdad será verdadera: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0
Para una situación en la que los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje x:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A
Para el caso en que los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje de ordenadas:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A
Datos iniciales: un sistema de coordenadas rectangular O x y z con puntos arbitrarios sobre él con las coordenadas dadas A (x A, y A, z A) y B (x B, y B, z B). Es necesario determinar la distancia entre estos puntos.
Consideremos el caso general en el que los puntos A y B no se encuentran en un plano paralelo a uno de los planos coordenados. Dibujemos planos perpendiculares a los ejes de coordenadas que pasen por los puntos A y B y obtengamos los puntos de proyección correspondientes: A x , A y , A z , B x , B y , B z
La distancia entre los puntos A y B es la diagonal del paralelepípedo resultante. Según la construcción de las medidas de este paralelepípedo: A x B x , A y B y y A z B z
Del curso de geometría se sabe que el cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo igual a la suma cuadrados de sus medidas. Con base en esta afirmación, obtenemos la igualdad: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2
Utilizando las conclusiones obtenidas anteriormente, escribimos lo siguiente:
A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A
Transformemos la expresión:
A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2
Final fórmula para determinar la distancia entre puntos en el espacio se verá así:
A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
La fórmula resultante también es válida para los casos en que:
Los puntos coinciden;
Se encuentran en un eje de coordenadas o en una línea recta paralela a uno de los ejes de coordenadas.
Ejemplos de resolución de problemas para encontrar la distancia entre puntos.
Ejemplo 1Datos iniciales: se dan una línea de coordenadas y los puntos que se encuentran en ella con las coordenadas dadas A (1 - 2) y B (11 + 2). Es necesario encontrar la distancia desde el punto de origen O al punto A y entre los puntos A y B.
Solución
- La distancia desde el punto de referencia al punto es igual al módulo de coordenadas de este punto, respectivamente O A = 1 - 2 = 2 - 1
- Definimos la distancia entre los puntos A y B como el módulo de la diferencia entre las coordenadas de estos puntos: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2
Respuesta: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2
Ejemplo 2
Datos iniciales: se dan un sistema de coordenadas rectangular y dos puntos que se encuentran sobre él A (1, - 1) y B (λ + 1, 3). λ es algún número real. Es necesario encontrar todos los valores de este número a los que la distancia A B será igual a 5.
Solución
Para encontrar la distancia entre los puntos A y B, debes usar la fórmula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2
Sustituyendo los valores de las coordenadas reales, obtenemos: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16
También usamos la condición existente de que A B = 5 y entonces la igualdad será verdadera:
λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3
Respuesta: A B = 5 si λ = ± 3.
Ejemplo 3
Datos iniciales: un espacio tridimensional se especifica en el sistema de coordenadas rectangular O x y z y los puntos A (1, 2, 3) y B - 7, - 2, 4 que se encuentran en él.
Solución
Para resolver el problema usamos la fórmula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Sustituyendo valores reales obtenemos: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9
Respuesta: | A B | = 9
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La distancia entre dos puntos en un plano.
Sistemas de coordenadas
Cada punto A del plano se caracteriza por sus coordenadas (x, y). Coinciden con las coordenadas del vector 0A que sale del punto 0, el origen de las coordenadas.
Sean A y B puntos arbitrarios del plano con coordenadas (x 1 y 1) y (x 2, y 2), respectivamente.
Entonces el vector AB obviamente tiene coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Se sabe que el cuadrado de la longitud de un vector es igual a la suma de los cuadrados de sus coordenadas. Por tanto, la distancia d entre los puntos A y B, o lo que es lo mismo, la longitud del vector AB, se determina a partir de la condición
re 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
La fórmula resultante le permite encontrar la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano, si solo se conocen las coordenadas de estos puntos.
Cada vez que hablamos de las coordenadas de un punto particular del plano, nos referimos a un sistema de coordenadas bien definido x0y. En general, el sistema de coordenadas en un plano se puede elegir de diferentes maneras. Entonces, en lugar del sistema de coordenadas x0y, puedes considerar el sistema de coordenadas x"0y", que se obtiene girando los antiguos ejes de coordenadas alrededor del punto inicial 0. sinistrórsum flechas en la esquina α .
Si algún punto del plano en el sistema de coordenadas x0y tenía coordenadas (x, y), entonces en nuevo sistema coordenadas x"0y" tendrá diferentes coordenadas (x", y").
Como ejemplo, considere el punto M, ubicado en el eje 0x y separado del punto 0 a una distancia de 1.
Obviamente, en el sistema de coordenadas x0y este punto tiene coordenadas (cos α ,pecado α ), y en el sistema de coordenadas x"0y" las coordenadas son (1,0).
Las coordenadas de dos puntos cualesquiera en el plano A y B dependen de cómo se especifique el sistema de coordenadas en este plano. Pero la distancia entre estos puntos no depende del método para especificar el sistema de coordenadas. Haremos un uso significativo de esta importante circunstancia en el siguiente párrafo.
Ceremonias
I. Encuentra las distancias entre puntos del plano con coordenadas:
1) (3.5) y (3.4); 3) (0,5) y (5, 0); 5) (-3,4) y (9, -17);
2) (2, 1) y (- 5, 1); 4) (0, 7) y (3,3); 6) (8, 21) y (1, -3).
II. Encuentra el perímetro de un triángulo cuyos lados están dados por las ecuaciones:
x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 y y = 1.
III. En el sistema de coordenadas x0y, los puntos M y N tienen coordenadas (1, 0) y (0,1), respectivamente. Encuentre las coordenadas de estos puntos en el nuevo sistema de coordenadas, que se obtiene girando los antiguos ejes alrededor del punto inicial en un ángulo de 30° en sentido contrario a las agujas del reloj.
IV. En el sistema de coordenadas x0y, los puntos M y N tienen coordenadas (2, 0) y (\ / 3/2, - 1/2) respectivamente. Encuentre las coordenadas de estos puntos en el nuevo sistema de coordenadas, que se obtiene girando los antiguos ejes alrededor del punto inicial en un ángulo de 30° en el sentido de las agujas del reloj.
Distancia de un punto a otro es la longitud del segmento que conecta estos puntos en una escala dada. Así, a la hora de medir distancias, es necesario conocer la escala (unidad de longitud) en la que se tomarán las medidas. Por lo tanto, el problema de encontrar la distancia de un punto a otro generalmente se considera en una línea de coordenadas o en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular en un plano o en un espacio tridimensional. En otras palabras, la mayoría de las veces hay que calcular la distancia entre puntos utilizando sus coordenadas.
En este artículo, primero recordaremos cómo se determina la distancia de un punto a otro en una línea de coordenadas. A continuación, obtenemos fórmulas para calcular la distancia entre dos puntos de un plano o espacio según coordenadas dadas. En conclusión, consideraremos en detalle las soluciones a ejemplos y problemas típicos.
Navegación de páginas.
La distancia entre dos puntos en una línea de coordenadas.
Primero definamos la notación. Denotaremos la distancia del punto A al punto B como .
De esto podemos concluir que la distancia del punto A con coordenadas al punto B con coordenadas es igual al módulo de la diferencia de coordenadas, eso es, 
para cualquier ubicación de puntos en la línea de coordenadas.
Distancia de un punto a otro en un plano, fórmula.
Obtenemos una fórmula para calcular la distancia entre puntos y dada en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular en un plano.
Dependiendo de la ubicación de los puntos A y B, son posibles las siguientes opciones.
Si los puntos A y B coinciden, entonces la distancia entre ellos es cero.
Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje de abscisas, entonces los puntos coinciden y la distancia es igual a la distancia. En el párrafo anterior descubrimos que la distancia entre dos puntos en una línea de coordenadas es igual al módulo de la diferencia entre sus coordenadas, por lo tanto, 
. Por eso, .
De manera similar, si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje de ordenadas, entonces la distancia del punto A al punto B se calcula como .
En este caso, el triángulo ABC es de construcción rectangular y 
Y . Por teorema de pitágoras podemos escribir la igualdad, de donde .
Resumamos todos los resultados obtenidos: la distancia de un punto a un punto en un plano se encuentra a través de las coordenadas de los puntos usando la fórmula 
.
La fórmula resultante para encontrar la distancia entre puntos se puede utilizar cuando los puntos A y B coinciden o se encuentran en una línea recta perpendicular a uno de los ejes de coordenadas. De hecho, si A y B coinciden, entonces . Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje Ox, entonces. Si A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje Oy, entonces .
Distancia entre puntos en el espacio, fórmula.
Introduzcamos un sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio. Obtengamos una fórmula para encontrar la distancia desde un punto. 
al punto 
.
En general, los puntos A y B no se encuentran en un plano paralelo a uno de los planos coordenados. Dibujemos por los puntos A y B planos perpendiculares a los ejes de coordenadas Ox, Oy y Oz. Los puntos de intersección de estos planos con los ejes de coordenadas nos darán las proyecciones de los puntos A y B sobre estos ejes. Denotamos las proyecciones. 
.
La distancia requerida entre los puntos A y B es la diagonal del paralelepípedo rectangular que se muestra en la figura. Por construcción, las dimensiones de este paralelepípedo son iguales. 
Y . En el curso de geometría. escuela secundaria Se ha demostrado que el cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones, por tanto, . Con base en la información del primer apartado de este artículo, podemos escribir las siguientes igualdades, por lo tanto,
de donde lo sacamos fórmula para encontrar la distancia entre puntos en el espacio .
Esta fórmula también es válida si los puntos A y B
- fósforo;
- pertenecer a uno de los ejes de coordenadas o una línea paralela a uno de los ejes de coordenadas;
- pertenecen a uno de los planos coordenados o a un plano paralelo a uno de los planos coordenados.
Encontrar la distancia de un punto a otro, ejemplos y soluciones.
Entonces, obtuvimos fórmulas para encontrar la distancia entre dos puntos en una línea de coordenadas, un plano y un espacio tridimensional. Es hora de buscar soluciones a ejemplos típicos.
La cantidad de problemas en los que el paso final es encontrar la distancia entre dos puntos según sus coordenadas es realmente enorme. Revisión completa Estos ejemplos están fuera del alcance de este artículo. Aquí nos limitaremos a ejemplos en los que se conocen las coordenadas de dos puntos y es necesario calcular la distancia entre ellos.