Una tangente es una recta. , que toca la gráfica de la función en un punto y cuyos puntos están a la distancia más corta de la gráfica de la función. Por lo tanto, la tangente pasa tangente a la gráfica de la función en un cierto ángulo y varias tangentes no pueden pasar por el punto de tangencia en diferentes ángulos. Las ecuaciones tangentes y las ecuaciones normales a la gráfica de una función se construyen utilizando la derivada.
La ecuación tangente se deriva de la ecuación lineal. .
Derivemos la ecuación de la tangente y luego la ecuación de la normal a la gráfica de la función.
y = kx + b .
En él k - pendiente.
Desde aquí obtenemos la siguiente entrada:
y - y 0 = k(X - X 0 ) .
Valor derivado F "(X 0 ) funciones y = F(X) en el punto X0 igual a la pendiente k= tg φ tangente a la gráfica de una función trazada por un punto METRO0 (X 0 , y 0 ) , Dónde y0 = F(X 0 ) . Esto es significado geométrico derivado .
Así, podemos reemplazar k en F "(X 0 ) y obtenga lo siguiente ecuación de la tangente a la gráfica de una función :
y - y 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .
En problemas que implican componer la ecuación de una tangente a la gráfica de una función (y pasaremos a ellos pronto), es necesario reducir la ecuación obtenida de la fórmula anterior a ecuación de una línea recta en forma general. Para hacer esto, debes mover todas las letras y números al lado izquierdo de la ecuación y dejar cero en el lado derecho.
Ahora sobre la ecuación normal. Normal - esta es una línea recta que pasa por el punto de tangencia a la gráfica de la función perpendicular a la tangente. ecuación normal :
(X - X 0 ) + F "(X 0 )(y - y 0 ) = 0
Para calentar, se le pedirá que resuelva el primer ejemplo usted mismo y luego mire la solución. Hay muchas razones para esperar que esta tarea no sea una “ducha fría” para nuestros lectores.
Ejemplo 0. Crea una ecuación tangente y una ecuación normal para la gráfica de una función en un punto METRO (1, 1) .
Ejemplo 1. Escribe una ecuación tangente y una ecuación normal para la gráfica de una función. 
, si la abscisa es tangente.
Encontremos la derivada de la función:
Ahora tenemos todo lo que hay que sustituir en la entrada dada en la ayuda teórica para obtener la ecuación tangente. Obtenemos
En este ejemplo, tuvimos suerte: la pendiente resultó ser cero, por lo que reducimos la ecuación por separado a apariencia general no era necesario. Ahora podemos crear la ecuación normal:
En la siguiente figura: gráfica de una función. color burdeos, tangente Color verde, naranja normal.
El siguiente ejemplo tampoco es complicado: la función, como en el anterior, también es un polinomio, pero la pendiente no será igual a cero, por lo que se agregará un paso más: llevar la ecuación a una forma general.
Ejemplo 2.
Solución. Encontremos la ordenada del punto tangente:
Encontremos la derivada de la función:
.
Encontremos el valor de la derivada en el punto de tangencia, es decir, la pendiente de la tangente:
Sustituimos todos los datos obtenidos en la “fórmula en blanco” y obtenemos la ecuación tangente:
Llevamos la ecuación a su forma general (recopilamos todas las letras y números distintos de cero en el lado izquierdo y dejamos cero en el derecho):
Componemos la ecuación normal:
Ejemplo 3. Escribe la ecuación de la tangente y la ecuación de la normal a la gráfica de la función si la abscisa es el punto de tangencia.
Solución. Encontremos la ordenada del punto tangente:
Encontremos la derivada de la función:
.
Encontremos el valor de la derivada en el punto de tangencia, es decir, la pendiente de la tangente:
.
Encontramos la ecuación tangente:
Antes de llevar la ecuación a su forma general, es necesario “peinarla” un poco: multiplicamos término por término por 4. Hacemos esto y llevamos la ecuación a su forma general:
Componemos la ecuación normal:
Ejemplo 4. Escribe la ecuación de la tangente y la ecuación de la normal a la gráfica de la función si la abscisa es el punto de tangencia.
Solución. Encontremos la ordenada del punto tangente:
.
Encontremos la derivada de la función:
Encontremos el valor de la derivada en el punto de tangencia, es decir, la pendiente de la tangente:
.
Obtenemos la ecuación tangente:
Llevamos la ecuación a su forma general:
Componemos la ecuación normal:
Un error común al escribir ecuaciones tangentes y normales es no darse cuenta de que la función dada en el ejemplo es compleja y calcular su derivada como la derivada de una función simple. Los siguientes ejemplos ya son de funciones complejas(la lección correspondiente se abrirá en una nueva ventana).
Ejemplo 5. Escribe la ecuación de la tangente y la ecuación de la normal a la gráfica de la función si la abscisa es el punto de tangencia.
Solución. Encontremos la ordenada del punto tangente:
¡Atención! Esta función- complejo, ya que el argumento tangente (2 X) es en sí misma una función. Por tanto, encontramos la derivada de una función como derivada de una función compleja.
Instrucciones
Determinamos el coeficiente angular de la tangente a la curva en el punto M.
La curva que representa la gráfica de la función y = f(x) es continua en una determinada vecindad del punto M (incluido el propio punto M).
Si el valor f'(x0) no existe, entonces no hay tangente o corre verticalmente. En vista de esto, la presencia de una derivada de la función en el punto x0 se debe a la existencia de una tangente no vertical a la gráfica de la función en el punto (x0, f(x0)). En este caso, el coeficiente angular de la tangente será igual a f "(x0). Por tanto, queda claro el significado geométrico de la derivada: el cálculo del coeficiente angular de la tangente.
Encuentre el valor de la abscisa del punto tangente, que se indica con la letra "a". Si coincide con un punto tangente dado, entonces "a" será su coordenada x. determinar el valor funciones f(a) sustituyendo en la ecuación funciones valor de abscisa.
Determinar la primera derivada de la ecuación. funciones f'(x) y sustituya el valor del punto "a" en él.
Llevar ecuación general tangente, que se define como y = f(a) = f (a)(x – a), y sustituya los valores encontrados de a, f(a), f "(a) en ella. Como resultado, Se encontrará la solución de la gráfica y la tangente.
Resuelve el problema de otra manera si el punto tangente dado no coincide con el punto tangente. En este caso, es necesario sustituir "a" en lugar de números en la ecuación tangente. Después de eso, en lugar de las letras "x" e "y", sustituya el valor de las coordenadas del punto dado. Resuelve la ecuación resultante en la que “a” es la incógnita. Introduce el valor resultante en la ecuación tangente.
Escribe una ecuación para una tangente con la letra "a" si el enunciado del problema especifica la ecuación. funciones y la ecuación de una recta paralela relativa a la tangente deseada. Después de esto necesitamos la derivada. funciones, a la coordenada en el punto “a”. Sustituye el valor apropiado en la ecuación tangente y resuelve la función.
Ejemplo 1. Dada una función F(X) = 3X 2 + 4X– 5. Escribamos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función. F(X) en el punto del gráfico con la abscisa X 0 = 1.
Solución. Derivada de una función F(X) existe para cualquier x R . Encontrémosla:
= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.
Entonces F(X 0) = F(1) = 2; (X 0) = = 10. La ecuación tangente tiene la forma:
y = (X 0) (X – X 0) + F(X 0),
y = 10(X – 1) + 2,
y = 10X – 8.
Respuesta. y = 10X – 8.
Ejemplo 2. Dada una función F(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Escribamos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función. F(X), paralela a la recta y = 2X – 11.
Solución. Derivada de una función F(X) existe para cualquier x R . Encontrémosla:
= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.
Desde la tangente a la gráfica de la función. F(X) en el punto de la abscisa X 0 es paralelo a la recta y = 2X– 11, entonces su pendiente es igual a 2, es decir ( X 0) = 2. Encontremos esta abscisa a partir de la condición de que 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Esta igualdad es válida sólo cuando X 0 = 0 y en X 0 = 2. Ya que en ambos casos F(X 0) = 5, luego directo y = 2X + b toca la gráfica de la función ya sea en el punto (0; 5) o en el punto (2; 5).
En el primer caso, la igualdad numérica 5 = 2×0 + es cierta b, dónde b= 5, y en el segundo caso la igualdad numérica 5 = 2×2 + es cierta b, dónde b = 1.
entonces hay dos tangentes y = 2X+ 5 y y = 2X+ 1 a la gráfica de la función F(X), paralela a la recta y = 2X – 11.
Respuesta. y = 2X + 5, y = 2X + 1.
Ejemplo 3. Dada una función F(X) = X 2 – 6X+ 7. Escribamos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función. F(X), pasando por el punto A (2; –5).
Solución. Porque F(2) –5, luego punto A no pertenece a la gráfica de la función F(X). Dejar X 0 - abscisa del punto tangente.
Derivada de una función F(X) existe para cualquier x R . Encontrémosla:
= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.
Entonces F(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 – 6. La ecuación tangente tiene la forma:
y = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,
y = (2X 0 – 6)X– X+ 7.
Desde el punto A pertenece a la tangente, entonces la igualdad numérica es verdadera
–5 = (2X 0 – 6)×2– X+ 7,
dónde X 0 = 0 o X 0 = 4. Esto significa que a través del punto A puedes dibujar dos tangentes a la gráfica de la función F(X).
Si X 0 = 0, entonces la ecuación tangente tiene la forma y = –6X+ 7. Si X 0 = 4, entonces la ecuación tangente tiene la forma y = 2X – 9.
Respuesta. y = –6X + 7, y = 2X – 9.
Ejemplo 4. Funciones dadas F(X) = X 2 – 2X+ 2 y gramo(X) = –X 2 – 3. Escribamos la ecuación de la tangente común a las gráficas de estas funciones.
Solución. Dejar X 1 - abscisa del punto de tangencia de la recta deseada con la gráfica de la función F(X), A X 2 - abscisa del punto de tangencia de la misma recta con la gráfica de la función gramo(X).
Derivada de una función F(X) existe para cualquier x R . Encontrémosla:
= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.
Entonces F(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 – 2. La ecuación tangente tiene la forma:
y = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,
y = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)
Encontremos la derivada de la función. gramo(X):
= (–X 2 – 3)′ = –2 X.
Sea una función f, que en algún punto x 0 tiene una derivada finita f (x 0). Entonces la recta que pasa por el punto (x 0 ; f (x 0)), que tiene un coeficiente angular f ’(x 0), se llama tangente.
¿Qué pasa si la derivada no existe en el punto x 0? Hay dos opciones:
- Tampoco hay tangente a la gráfica. Un ejemplo clásico es la función y = |x | en el punto (0; 0).
- La tangente se vuelve vertical. Esto es cierto, por ejemplo, para la función y = arcosen x en el punto (1; π /2).
Ecuación tangente
Cualquier línea recta no vertical viene dada por una ecuación de la forma y = kx + b, donde k es la pendiente. La tangente no es una excepción, y para crear su ecuación en algún punto x 0, basta con conocer el valor de la función y la derivada en ese punto.
Entonces, démosle una función y = f (x), que tiene una derivada y = f ’(x) en el segmento. Entonces, en cualquier punto x 0 ∈ (a; b) se puede trazar una tangente a la gráfica de esta función, que viene dada por la ecuación:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Aquí f ’(x 0) es el valor de la derivada en el punto x 0, y f (x 0) es el valor de la función misma.
Tarea. Dada la función y = x 3 . Escribe una ecuación para la tangente a la gráfica de esta función en el punto x 0 = 2.
Ecuación tangente: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Se nos da el punto x 0 = 2, pero habrá que calcular los valores f (x 0) y f ’(x 0).
Primero, encontremos el valor de la función. Aquí todo es fácil: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Ahora encontremos la derivada: f’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Sustituimos x 0 = 2 en la derivada: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
En total obtenemos: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Esta es la ecuación tangente.
Tarea. Escribe una ecuación para la tangente a la gráfica de la función f (x) = 2sin x + 5 en el punto x 0 = π /2.
Esta vez no describiremos cada acción en detalle, solo indicaremos pasos clave. Tenemos:
f (x 0) = f (π /2) = 2sen (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sen x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Ecuación tangente:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
EN el último caso la línea recta resultó ser horizontal, porque su coeficiente angular k = 0. No hay nada de malo en esto: simplemente nos topamos con un punto extremo.
Considere la siguiente figura:
Representa una determinada función y = f(x), que es diferenciable en el punto a. Se marca el punto M con coordenadas (a; f(a)). Se traza una secante MR a través de un punto arbitrario P(a + ∆x; f(a + ∆x)) de la gráfica.
Si ahora el punto P se desplaza a lo largo del gráfico hasta el punto M, entonces la recta MR girará alrededor del punto M. En este caso, ∆x tenderá a cero. A partir de aquí podemos formular la definición de tangente a la gráfica de una función.
Tangente a la gráfica de una función.
La tangente a la gráfica de una función es la posición límite de la secante cuando el incremento del argumento tiende a cero. Debe entenderse que la existencia de la derivada de la función f en el punto x0 significa que en este punto de la gráfica hay tangente a él.
En este caso, el coeficiente angular de la tangente será igual a la derivada de esta función en este punto f’(x0). Este es el significado geométrico de la derivada. La tangente a la gráfica de una función f derivable en el punto x0 es cierta recta que pasa por el punto (x0;f(x0)) y tiene un coeficiente angular f’(x0).
Ecuación tangente
Intentemos obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de alguna función f en el punto A(x0; f(x0)). La ecuación de una recta de pendiente k tiene la siguiente forma:
Dado que nuestro coeficiente de pendiente es igual a la derivada f’(x0), entonces la ecuación tomará la siguiente forma: y = f’(x0)*x + b.
Ahora calculemos el valor de b. Para ello utilizamos el hecho de que la función pasa por el punto A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, de aquí expresamos b y obtenemos b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Sustituimos el valor resultante en la ecuación tangente:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Consideremos siguiente ejemplo: encuentre la ecuación de la tangente a la gráfica de la función f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 en el punto x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de la tangente, obtenemos: y = 1 + 4*(x - 2). Abriendo los corchetes y trayendo términos similares obtenemos: y = 4*x - 7.
Respuesta: y = 4*x - 7.
Esquema general para componer la ecuación tangente. a la gráfica de la función y = f(x):
1. Determina x0.
2. Calcule f(x0).
3. Calcula f'(x)