Vista general de sistemas de ecuaciones lineales; definiciones básicas. Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, métodos de solución, ejemplos.

28.09.2019

La resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) es sin duda el tema más importante en un curso de álgebra lineal. Número enorme Los problemas de todas las ramas de las matemáticas se reducen a la resolución de sistemas. ecuaciones lineales. Estos factores explican el motivo de este artículo. El material del artículo está seleccionado y estructurado para que con su ayuda puedas

levantar método óptimo soluciones a su sistema de ecuaciones algebraicas lineales,
estudiar la teoría del método elegido,
resuelva su sistema de ecuaciones lineales considerando soluciones detalladas a ejemplos y problemas típicos.

Breve descripción del material del artículo.

Primero, damos todas las definiciones y conceptos necesarios e introducimos notaciones.

A continuación, consideraremos métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y que tienen una solución única. En primer lugar, nos centraremos en el método de Cramer, en segundo lugar, mostraremos el método matricial para resolver dichos sistemas de ecuaciones, en tercer lugar, analizaremos el método de Gauss (método eliminación secuencial variables desconocidas). Para consolidar la teoría, definitivamente resolveremos varios SLAE de diferentes formas.

Posteriormente pasaremos a la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general, en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o la matriz principal del sistema es singular. Formulemos el teorema de Kronecker-Capelli, que nos permite establecer la compatibilidad de los SLAE. Analicemos la solución de sistemas (si son compatibles) utilizando el concepto de base menor de una matriz. También consideraremos el método de Gauss y describiremos en detalle las soluciones de los ejemplos.

Definitivamente nos detendremos en la estructura de la solución general de sistemas homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales. Demos el concepto de sistema fundamental de soluciones y mostremos cómo se escribe la solución general de un SLAE utilizando los vectores del sistema fundamental de soluciones. Para mejor comprensión Veamos algunos ejemplos.

En conclusión, consideraremos sistemas de ecuaciones que pueden reducirse a lineales, así como varios problemas en cuya solución surgen SLAE.

Navegación de páginas.

Definiciones, conceptos, designaciones.

Consideraremos sistemas de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas (p puede ser igual a n) de la forma

Variables desconocidas, - coeficientes (algunos números reales o complejos), - términos libres (también números reales o complejos).

Esta forma de grabación SLAE se llama coordinar.

EN forma matricial Este sistema de ecuaciones tiene la forma,
Dónde - la matriz principal del sistema, - una matriz de columnas de variables desconocidas, - una matriz de columnas de términos libres.

Si agregamos una columna de matriz de términos libres a la matriz A como la (n+1)ésima columna, obtenemos la llamada matriz extendida sistemas de ecuaciones lineales. Normalmente, una matriz extendida se denota con la letra T y la columna de términos libres está separada por una línea vertical de las columnas restantes, es decir,

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Se llama conjunto de valores de variables desconocidas que convierte todas las ecuaciones del sistema en identidades. La ecuación matricial para valores dados de las variables desconocidas también se convierte en una identidad.

Si un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución, entonces se llama articulación.

Si un sistema de ecuaciones no tiene soluciones, entonces se llama no conjunto.

Si un SLAE tiene una solución única, entonces se llama cierto; Si hay más de una solución, entonces... incierto.

Si los términos libres de todas las ecuaciones del sistema son iguales a cero , entonces el sistema se llama homogéneo, de lo contrario - heterogéneo.

Resolución de sistemas elementales de ecuaciones algebraicas lineales.

Si el número de ecuaciones de un sistema es igual al número de variables desconocidas y el determinante de su matriz principal no es igual a cero, entonces dichos SLAE se denominarán elemental. Estos sistemas de ecuaciones tienen una solución única y, en el caso de un sistema homogéneo, todas las variables desconocidas son iguales a cero.

Comenzamos a estudiar tales SLAE en escuela secundaria. Al resolverlas, tomamos una ecuación, expresamos una variable desconocida en términos de otras y la sustituimos en las ecuaciones restantes, luego tomamos la siguiente ecuación, expresamos la siguiente variable desconocida y la sustituimos en otras ecuaciones, y así sucesivamente. O utilizaron el método de la suma, es decir, sumaron dos o más ecuaciones para eliminar algunas variables desconocidas. No nos detendremos en estos métodos en detalle, ya que son esencialmente modificaciones del método de Gauss.

Los principales métodos para resolver sistemas elementales de ecuaciones lineales son el método de Cramer, el método matricial y el método de Gauss. Vamos a solucionarlos.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Cramer.

Supongamos que necesitamos resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

en el que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, es decir, .

Sea el determinante de la matriz principal del sistema, y - determinantes de matrices que se obtienen de A por sustitución 1º, 2º,…, enésimo columna respectivamente a la columna de miembros gratuitos:

Con esta notación, las variables desconocidas se calculan utilizando las fórmulas del método de Cramer como . Así se encuentra la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Cramer.

Ejemplo.

método de cramer .

Solución.

La matriz principal del sistema tiene la forma . Calculemos su determinante (si es necesario, consulte el artículo):

Dado que el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, el sistema tiene una solución única que se puede encontrar mediante el método de Cramer.

Compongamos y calculemos los determinantes necesarios. (obtenemos el determinante reemplazando la primera columna de la matriz A con una columna de términos libres, el determinante reemplazando la segunda columna con una columna de términos libres y reemplazando la tercera columna de la matriz A con una columna de términos libres) :

Encontrar variables desconocidas usando fórmulas :

Respuesta:

La principal desventaja del método de Cramer (si se le puede llamar desventaja) es la complejidad de calcular los determinantes cuando el número de ecuaciones en el sistema es más de tres.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial (utilizando una matriz inversa).

Sea un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial, donde la matriz A tiene dimensión n por n y su determinante es distinto de cero.

Dado que , la matriz A es invertible, es decir, existe una matriz inversa. Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la izquierda, obtenemos una fórmula para encontrar una matriz-columna de variables desconocidas. Así obtuvimos una solución a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial.

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. método matricial.

Solución.

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

Porque

entonces el SLAE se puede resolver utilizando el método matricial. Usando la matriz inversa, la solución de este sistema se puede encontrar como .

Construyamos una matriz inversa usando una matriz de los complementos algebraicos de los elementos de la matriz A (si es necesario, consulte el artículo):

Queda por calcular la matriz de variables desconocidas multiplicando la matriz inversa. a una columna de matriz de miembros gratuitos (si es necesario, consulte el artículo):

Respuesta:

o en otra notación x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

El principal problema a la hora de encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método matricial es la complejidad de encontrar la matriz inversa, especialmente para matrices cuadradas de orden superior a tercero.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.

Supongamos que necesitamos encontrar una solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n variables desconocidas.
cuyo determinante de la matriz principal es distinto de cero.

La esencia del método Gauss. Consiste en la exclusión secuencial de variables desconocidas: primero, se excluye x 1 de todas las ecuaciones del sistema, a partir de la segunda, luego se excluye x 2 de todas las ecuaciones, a partir de la tercera, y así sucesivamente, hasta que solo se excluya la variable desconocida x n permanece en la última ecuación. Este proceso de transformar ecuaciones del sistema para eliminar secuencialmente variables desconocidas se llama utilizando el método gaussiano directo. Después de completar el avance del método gaussiano, se encuentra x n a partir de la última ecuación, usando este valor de la penúltima ecuación, se calcula x n-1, y así sucesivamente, se encuentra x 1 a partir de la primera ecuación. El proceso de calcular variables desconocidas al pasar de la última ecuación del sistema a la primera se llama inverso del método gaussiano.

Describamos brevemente el algoritmo para eliminar variables desconocidas.

Supondremos que , ya que siempre podemos lograrlo intercambiando las ecuaciones del sistema. Eliminemos la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda. Para ello, a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera, multiplicada por , a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la primera, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

donde y .

Habríamos llegado al mismo resultado si hubiéramos expresado x 1 en términos de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y hubiéramos sustituido la expresión resultante en todas las demás ecuaciones. Por tanto, la variable x 1 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.

A continuación se procede de forma similar, pero sólo con parte del sistema resultante, que está marcado en la figura.

Para ello, a la tercera ecuación del sistema le sumamos la segunda, multiplicada por , a la cuarta ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

donde y . Por tanto, la variable x 2 queda excluida de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera.

A continuación procedemos a eliminar la incógnita x 3, mientras actuamos de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura.

Entonces continuamos la progresión directa del método gaussiano hasta que el sistema toma la forma

A partir de este momento comenzamos al revés del método gaussiano: calculamos x n de la última ecuación como , usando el valor obtenido de x n encontramos x n-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x 1 de la primera ecuación. .

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

Solución.

Excluyamos la variable desconocida x 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para ello, a ambos lados de la segunda y tercera ecuaciones sumamos las partes correspondientes de la primera ecuación, multiplicadas por y por, respectivamente:

Ahora eliminamos x 2 de la tercera ecuación sumando a sus lados izquierdo y derecho los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, multiplicados por:

Esto completa el movimiento hacia adelante del método de Gauss; comenzamos el movimiento hacia atrás.

De la última ecuación del sistema de ecuaciones resultante encontramos x 3:

De la segunda ecuación obtenemos .

De la primera ecuación encontramos la variable desconocida restante y así completamos el método inverso de Gauss.

Respuesta:

X1 = 4, X2 = 0, X3 = -1.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

En general, el número de ecuaciones del sistema p no coincide con el número de variables desconocidas n:

Estos SLAE pueden no tener soluciones, tener una única solución o tener infinitas soluciones. Esta afirmación también se aplica a los sistemas de ecuaciones cuya matriz principal es cuadrada y singular.

Teorema de Kronecker-Capelli.

Antes de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones lineales, es necesario establecer su compatibilidad. La respuesta a la pregunta de cuándo SLAE es compatible y cuándo es inconsistente viene dada por Teorema de Kronecker-Capelli:
Para que un sistema de p ecuaciones con n incógnitas (p puede ser igual a n) sea consistente, es necesario y suficiente que el rango de la matriz principal del sistema sea igual al rango de la matriz extendida, es decir , Rango(A)=Rango(T).

Consideremos, como ejemplo, la aplicación del teorema de Kronecker-Capelli para determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Descubra si el sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones.

Solución.

. Utilicemos el método de bordear a menores. Menor de segundo orden diferente de cero. Veamos los menores de tercer orden que lo bordean:

Dado que todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, el rango de la matriz principal es igual a dos.

A su vez, el rango de la matriz extendida es igual a tres, ya que el menor es de tercer orden

diferente de cero.

De este modo, Rang(A), por tanto, utilizando el teorema de Kronecker-Capelli, podemos concluir que el sistema original de ecuaciones lineales es inconsistente.

Respuesta:

El sistema no tiene soluciones.

Entonces, hemos aprendido a establecer la inconsistencia de un sistema usando el teorema de Kronecker-Capelli.

Pero ¿cómo encontrar solución a un SLAE si se establece su compatibilidad?

Para hacer esto, necesitamos el concepto de base menor de una matriz y un teorema sobre el rango de una matriz.

El menor de mayor orden de la matriz A, distinto de cero, se llama básico.

De la definición de base menor se deduce que su orden es igual al rango de la matriz. Para una matriz A distinta de cero puede haber varias bases menores;

Por ejemplo, considere la matriz .

Todos los menores de tercer orden de esta matriz son iguales a cero, ya que los elementos de la tercera fila de esta matriz son la suma de los elementos correspondientes de la primera y segunda fila.

Los siguientes menores de segundo orden son básicos, ya que son distintos de cero

Menores no son básicos, ya que son iguales a cero.

Teorema de rango matricial.

Si el rango de una matriz de orden p por n es igual a r, entonces todos los elementos de fila (y columna) de la matriz que no forman la base menor elegida se expresan linealmente en términos de los elementos de fila (y columna) correspondientes que forman la base menor.

¿Qué nos dice el teorema del rango matricial?

Si, de acuerdo con el teorema de Kronecker-Capelli, hemos establecido la compatibilidad del sistema, entonces elegimos cualquier base menor de la matriz principal del sistema (su orden es igual a r) y excluimos del sistema todas las ecuaciones que lo hacen. no forma la base menor seleccionada. El SLAE obtenido de esta forma será equivalente al original, ya que las ecuaciones descartadas aún son redundantes (según el teorema de rango matricial, son una combinación lineal de las ecuaciones restantes).

Como resultado, después de descartar ecuaciones innecesarias del sistema, son posibles dos casos.

Si el número de ecuaciones r en el sistema resultante es igual al número de variables desconocidas, entonces será definido y la única solución se podrá encontrar mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Ejemplo.

Solución.

Rango de la matriz principal del sistema. es igual a dos, ya que el menor es de segundo orden diferente de cero. Rango de matriz extendido también es igual a dos, ya que el único menor de tercer orden es cero

y el menor de segundo orden considerado anteriormente es diferente de cero. Con base en el teorema de Kronecker-Capelli, podemos afirmar la compatibilidad del sistema original de ecuaciones lineales, ya que Rango(A)=Rango(T)=2.

Como base menor tomamos . Está formado por los coeficientes de la primera y segunda ecuaciones:

La tercera ecuación del sistema no participa en la formación de la base menor, por lo que la excluimos del sistema basándonos en el teorema del rango de la matriz:

Así obtuvimos un sistema elemental de ecuaciones algebraicas lineales. Resolvámoslo usando el método de Cramer:

Respuesta:

x1 = 1, x2 = 2.

Si el número de ecuaciones r en el SLAE resultante menos numero variables desconocidas n, luego en los lados izquierdos de las ecuaciones dejamos los términos que forman la base menor, y trasladamos los términos restantes a los lados derechos de las ecuaciones del sistema con signo opuesto.

Las variables desconocidas (r de ellas) que quedan en el lado izquierdo de las ecuaciones se llaman principal.

Las variables desconocidas (hay n - r piezas) que están en el lado derecho se llaman gratis.

Ahora creemos que las variables desconocidas libres pueden tomar valores arbitrarios, mientras que las r variables desconocidas principales se expresarán mediante variables desconocidas libres de una manera única. Su expresión se puede encontrar resolviendo el SLAE resultante mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo.

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

Encontremos el rango de la matriz principal del sistema. por el método de frontera con menores. Tomemos un 1 1 = 1 como menor distinto de cero de primer orden. Comencemos a buscar un menor distinto de cero de segundo orden que bordee este menor:

Así es como encontramos un menor distinto de cero de segundo orden. Comencemos a buscar un menor de tercer orden distinto de cero:

Por tanto, el rango de la matriz principal es tres. El rango de la matriz extendida también es igual a tres, es decir, el sistema es consistente.

Tomamos como base el menor de tercer orden distinto de cero encontrado.

Para mayor claridad, mostramos los elementos que forman la base menor:

Dejamos los términos involucrados en la base menor en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema y transferimos el resto con signos opuestos a los lados derechos:

Demos a las variables desconocidas libres x 2 y x 5 valores arbitrarios, es decir, aceptamos , donde están los números arbitrarios. En este caso, la SLAE tomará la forma

Resolvamos el sistema elemental resultante de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método de Cramer:

Por eso, .

En tu respuesta, no olvides indicar variables desconocidas libres.

Respuesta:

¿Dónde están los números arbitrarios?

Resumamos.

Para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales generales, primero determinamos su compatibilidad utilizando el teorema de Kronecker-Capelli. Si el rango de la matriz principal no es igual al rango de la matriz extendida, concluimos que el sistema es incompatible.

Si el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida, entonces seleccionamos una base menor y descartamos las ecuaciones del sistema que no participan en la formación de la base menor seleccionada.

Si el orden de la base menor igual al numero variables desconocidas, entonces el SLAE tiene una solución única, que encontramos mediante cualquier método que conozcamos.

Si el orden de la base menor es menor que el número de variables desconocidas, entonces en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema dejamos los términos con las principales variables desconocidas, transferimos los términos restantes a los lados derechos y damos valores arbitrarios a las variables desconocidas libres. Del sistema resultante de ecuaciones lineales encontramos las principales incógnitas. variables por método Cramer, método matricial o método gaussiano.

Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

El método de Gauss se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de cualquier tipo sin probar primero su coherencia. El proceso de eliminación secuencial de variables desconocidas permite sacar una conclusión tanto sobre la compatibilidad como sobre la incompatibilidad del SLAE, y si existe una solución, permite encontrarla.

Desde un punto de vista computacional, es preferible el método gaussiano.

Míralo descripción detallada y analizó ejemplos en el artículo del método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

Escribir una solución general a sistemas algebraicos lineales homogéneos y no homogéneos utilizando vectores del sistema fundamental de soluciones.

En esta sección hablaremos de sistemas simultáneos homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales que tienen un número infinito de soluciones.

Tratemos primero con sistemas homogéneos.

Sistema fundamental de soluciones. Un sistema homogéneo de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas es una colección de (n – r) soluciones linealmente independientes de este sistema, donde r es el orden de la base menor de la matriz principal del sistema.

Si denotamos soluciones linealmente independientes de un SLAE homogéneo como X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) son columnares matrices de dimensión n por 1), entonces la solución general de este sistema homogéneo se representa como una combinación lineal de vectores del sistema fundamental de soluciones con coeficientes constantes arbitrarios C 1, C 2, ..., C (n-r), que es, .

¿Qué significa el término solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales (oroslau)?

El significado es simple: la fórmula especifica todas las posibles soluciones del SLAE original, es decir, tomando cualquier conjunto de valores de constantes arbitrarias C 1, C 2, ..., C (n-r), usando la fórmula que obtener una de las soluciones del SLAE homogéneo original.

Por lo tanto, si encontramos un sistema fundamental de soluciones, entonces podemos definir todas las soluciones de este SLAE homogéneo como.

Mostremos el proceso de construcción de un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo.

Seleccionamos la base menor del sistema original de ecuaciones lineales, excluimos todas las demás ecuaciones del sistema y transferimos todos los términos que contienen variables desconocidas libres a los lados derechos de las ecuaciones del sistema con signos opuestos. Démosle a las variables desconocidas libres los valores 1,0,0,...,0 y calculemos las principales incógnitas resolviendo el sistema elemental de ecuaciones lineales resultante de cualquier forma, por ejemplo, usando el método de Cramer. Esto dará como resultado X (1), la primera solución del sistema fundamental. si das gratis valores desconocidos 0,1,0,0,…,0 y calculamos las principales incógnitas, obtenemos X (2) . Etcétera. Si asignamos los valores 0.0,…,0.1 a las variables desconocidas libres y calculamos las incógnitas principales, obtenemos X(n-r). De esta forma se construirá un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo y su solución general podrá escribirse en la forma .

Para sistemas no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales, la solución general se representa en la forma , donde es la solución general del sistema homogéneo correspondiente, y es la solución particular del SLAE no homogéneo original, que obtenemos dando los valores a las incógnitas libres. 0,0,…,0 y calculando los valores de las principales incógnitas.

Veamos ejemplos.

Ejemplo.

Encuentre el sistema fundamental de soluciones y la solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

El rango de la matriz principal de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales es siempre igual al rango de la matriz extendida. Encontremos el rango de la matriz principal utilizando el método de menores limítrofes. Como menor distinto de cero de primer orden, tomamos el elemento a 1 1 = 9 de la matriz principal del sistema. Encontremos el menor limítrofe distinto de cero de segundo orden:

Se ha encontrado un menor de segundo orden, distinto de cero. Repasemos los menores de tercer orden que lo bordean en busca de uno distinto de cero:

Todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, por lo tanto, el rango de la matriz principal y extendida es igual a dos. Tomemos. Para mayor claridad, observemos los elementos del sistema que lo forman:

La tercera ecuación de la SLAE original no participa en la formación de la base menor, por tanto, se puede excluir:

Dejamos los términos que contienen las principales incógnitas en los lados derechos de las ecuaciones y transferimos los términos con incógnitas libres a los lados derechos:

Construyamos un sistema fundamental de soluciones al sistema homogéneo original de ecuaciones lineales. El sistema fundamental de soluciones de este SLAE consta de dos soluciones, ya que el SLAE original contiene cuatro variables desconocidas y el orden de su base menor es igual a dos. Para encontrar X (1), le damos a las variables desconocidas libres los valores x 2 = 1, x 4 = 0, luego encontramos las principales incógnitas del sistema de ecuaciones.
.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. llamado sistema de la forma

Dónde un ij Y b yo (i=1,…,metro; b=1,…,norte) son algunos números conocidos, y x 1 ,…,x n- desconocido. En la designación de coeficientes. un ij primer índice i denota el número de ecuación, y el segundo j– el número de la incógnita en la que se encuentra este coeficiente.

Escribiremos los coeficientes de las incógnitas en forma de matriz. , que llamaremos matriz del sistema.

Los números en el lado derecho de las ecuaciones son b 1 ,…,b m son llamados miembros libres.

Totalidad norte números c 1 ,…,c norte llamado decisión de un sistema dado, si cada ecuación del sistema se convierte en una igualdad después de sustituir números en ella c 1 ,…,c norte en lugar de las incógnitas correspondientes x 1 ,…,x n.

Nuestra tarea será encontrar soluciones al sistema. En este caso pueden surgir tres situaciones:

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene al menos una solución se llama articulación. De lo contrario, es decir Si el sistema no tiene soluciones, entonces se llama. no conjunto.

Consideremos formas de encontrar soluciones al sistema.

MÉTODO MATRIZ PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Las matrices permiten escribir brevemente un sistema de ecuaciones lineales. Sea un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas:

Considere la matriz del sistema. y columnas de matrices de términos desconocidos y libres

busquemos el trabajo

aquellos. como resultado del producto, obtenemos los lados izquierdos de las ecuaciones de este sistema. Entonces, usando la definición de igualdad matricial, este sistema se puede escribir en la forma

o más corto A∙X=B.

Aqui estan las matrices A Y B son conocidos, y la matriz incógnita desconocido. Es necesario encontrarlo, porque... sus elementos son la solución a este sistema. Esta ecuación se llama ecuación matricial.

Sea el determinante de la matriz distinto de cero | A| ≠ 0. Entonces la ecuación matricial se resuelve de la siguiente manera. Multiplica ambos lados de la ecuación de la izquierda por la matriz. A-1, inversa de la matriz A: . Desde A -1 A = E Y mi∙X=X, entonces obtenemos una solución a la ecuación matricial en la forma X = A-1B .

Tenga en cuenta que dado que la matriz inversa sólo se puede encontrar para matrices cuadradas, el método matricial sólo puede resolver aquellos sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas. Sin embargo, el registro matricial del sistema también es posible en el caso de que el número de ecuaciones no sea igual al número de incógnitas, entonces la matriz A no será cuadrado y por lo tanto es imposible encontrar una solución al sistema en la forma X = A-1B.

Ejemplos. Resolver sistemas de ecuaciones.

LA REGLA DE CRAMER

Considere un sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas:

Determinante de tercer orden correspondiente a la matriz del sistema, es decir compuesto de coeficientes para incógnitas,

llamado determinante del sistema.

Compongamos tres determinantes más de la siguiente manera: reemplace las columnas 1, 2 y 3 en el determinante D sucesivamente con una columna de términos libres

Entonces podemos probar el siguiente resultado.

Teorema (regla de Cramer). Si el determinante del sistema Δ ≠ 0, entonces el sistema considerado tiene una y solo una solución, y

Prueba. Entonces, consideremos un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas. Multipliquemos la 1ª ecuación del sistema por el complemento algebraico un 11 elemento un 11, 2da ecuación – en un 21 y tercero – en un 31:

Sumemos estas ecuaciones:

Veamos cada uno de los corchetes y el lado derecho de esta ecuación. Por el teorema de la expansión del determinante en elementos de la 1ª columna

De manera similar, se puede demostrar que y .

Finalmente, es fácil notar que

Así, obtenemos la igualdad: .

Por eso, .

Las igualdades y se derivan de manera similar, de lo que se sigue el enunciado del teorema.

Así, observamos que si el determinante del sistema Δ ≠ 0, entonces el sistema tiene solución única y viceversa. Si el determinante del sistema es igual a cero, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones o no tiene soluciones, es decir incompatible.

Ejemplos. Resolver sistema de ecuaciones.

MÉTODO GAUSS

Los métodos discutidos anteriormente se pueden utilizar para resolver solo aquellos sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas y el determinante del sistema debe ser diferente de cero. El método de Gauss es más universal y adecuado para sistemas con cualquier número de ecuaciones. Consiste en la eliminación constante de incógnitas de las ecuaciones del sistema.

Consideremos nuevamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Dejaremos la primera ecuación sin cambios, y de la 2ª y 3ª excluiremos los términos que contengan x1. Para hacer esto, divida la segunda ecuación por A 21 y multiplicar por – A 11, y luego sumarlo a la primera ecuación. De manera similar, dividimos la tercera ecuación por A 31 y multiplicar por – A 11, y luego sumarlo con el primero. Como resultado, el sistema original tomará la forma:

Ahora de la última ecuación eliminamos el término que contiene x2. Para hacer esto, divide la tercera ecuación por, multiplica por y suma con la segunda. Entonces tendremos un sistema de ecuaciones:

A partir de aquí, a partir de la última ecuación es fácil encontrar x3, entonces de la segunda ecuación x2 y finalmente, de 1º - x1.

Cuando se utiliza el método gaussiano, las ecuaciones se pueden intercambiar si es necesario.

A menudo, en lugar de escribir un nuevo sistema de ecuaciones, se limitan a escribir la matriz extendida del sistema:

y luego llevarlo a una forma triangular o diagonal usando transformaciones elementales.

A transformaciones elementales Las matrices incluyen las siguientes transformaciones:

reorganizar filas o columnas;
multiplicar una cadena por un número distinto de cero;
agregando otras líneas a una línea.

Ejemplos: Resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss.

Por tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Definición. Sistema metro ecuaciones con n incógnitas en vista general está escrito de la siguiente manera:

Dónde un ij son los coeficientes, y b yo- permanente.

Las soluciones del sistema son norte números que, al sustituirse en el sistema, convierten cada una de sus ecuaciones en una identidad.

Definición. Si un sistema tiene al menos una solución, se llama conjunto. Si un sistema no tiene una solución única, se dice que es inconsistente.

Definición. Un sistema se dice determinado si tiene una sola solución e indefinido si tiene más de una.

Definición. Para un sistema de ecuaciones lineales la matriz

Una = se llama matriz del sistema y la matriz

Un * = llamada matriz extendida del sistema

Definición. Si segundo 1 , segundo 2 , …, segundo metro = 0, entonces el sistema se llama homogéneo. Comentario. Un sistema homogéneo siempre es consistente, porque siempre tiene solución cero.

Transformaciones elementales de sistemas.

1. Sumar a ambos lados de una ecuación las partes correspondientes de la otra, multiplicadas por el mismo número, distinto de cero.

2. Reorganizar ecuaciones.

3. Eliminar del sistema ecuaciones que son identidades para todos incógnita.

Las fórmulas de Cramer.

Este método también es aplicable sólo en el caso de sistemas de ecuaciones lineales, donde el número de variables coincide con el número de ecuaciones.

Teorema. Sistema de n ecuaciones con n incógnitas

si el determinante de la matriz del sistema no es igual a cero, entonces el sistema tiene una solución única y esta solución se encuentra mediante las fórmulas: xyo = Dónde D = det A, A yo es el determinante de la matriz obtenida de la matriz del sistema reemplazando la columna i columna de miembros gratuitos b yo.

D yo =

Ejemplo. Encuentra la solución al sistema de ecuaciones:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

re 1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

re 2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

re 3 = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Nota 1. Si el sistema es homogéneo, es decir b yo = 0, entonces para D¹0 el sistema tiene una solución cero única x 1 = x 2 = … = x norte = 0.

Nota 2. En D=0 el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Método de matriz inversa.

El método matricial es aplicable para resolver sistemas de ecuaciones donde el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

Sea el sistema de ecuaciones dado: Creemos las matrices:

A= - matriz de coeficientes para variables o matriz del sistema;

B = - matriz – columna de términos libres;

X = - matriz – columna de incógnitas.

Entonces el sistema de ecuaciones se puede escribir: A×X = B. Multipliquemos ambos lados de la igualdad desde la izquierda por A -1: A -1 ×A×X = A -1 ×B, porque A -1 ×A = mi, Eso E×X = A -1 ×B, entonces la siguiente fórmula es válida:

X = A -1×B

Por lo tanto, para aplicar este método es necesario encontrar matriz inversa.

Ejemplo. Resuelve el sistema de ecuaciones:

X = , B = , A =

Encontremos la matriz inversa A -1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30≠0 ⇒ existe la matriz inversa.

M11 = ; M21 = ; M31 = ;

M12 = M22 = M32 =

M 13 = M 23 = M 33 =

Un -1 = ;

Comprobemos:

A×A -1 =
=E.

Encontrar la matriz X.

X = = A -1 B = × = .

Recibimos las soluciones del sistema: x=1; y = 2; z = 3.

4.Método de Gauss.

Deja que el sistema se dé. metro ecuaciones lineales con norte desconocido:

Suponiendo que el coeficiente en el sistema a 11 es diferente de cero (si este no es el caso, entonces la ecuación con un coeficiente distinto de cero en incógnita 1). Transformemos el sistema de la siguiente manera: dejemos la primera ecuación sin cambios y excluyamos la incógnita de todas las demás ecuaciones. incógnita 1 usando transformaciones equivalentes de la manera descrita anteriormente.

En el sistema resultante

suponiendo que (que siempre se puede obtener reorganizando ecuaciones o términos dentro de ecuaciones), dejamos las dos primeras ecuaciones del sistema sin cambios, y de las ecuaciones restantes, usando la segunda ecuación, eliminamos la incógnita con la ayuda de transformaciones elementales. incógnita 2. En el sistema recién recibido

siempre que dejemos las tres primeras ecuaciones sin cambios, y de todas las demás, usando la tercera ecuación, eliminemos la incógnita mediante transformaciones elementales incógnita 3 .

Este proceso continúa hasta que ocurra uno de tres casos posibles:

1) si como resultado llegamos a un sistema, una de cuyas ecuaciones tiene coeficientes cero para todas las incógnitas y un término libre distinto de cero, entonces el sistema original es inconsistente;

2) si como resultado de las transformaciones obtenemos un sistema con una matriz triangular de coeficientes, entonces el sistema es consistente y definido;

3) si se obtiene un sistema escalonado de coeficientes (y no se cumple la condición del punto 1), entonces el sistema es consistente e indefinido.

Considere el sistema cuadrado : (1)

Este sistema tiene un coeficiente a 11 es diferente de cero. Si no se cumpliera esta condición, entonces para obtenerla sería necesario reordenar las ecuaciones, poniendo primero la ecuación cuyo coeficiente en incógnita 1 no es igual a cero.

Realizaremos las siguientes transformaciones del sistema:

1) porque a 11 ¹0, dejamos la primera ecuación sin cambios;

2) en lugar de la segunda ecuación, escribimos la ecuación obtenida si restamos la primera multiplicada por 4 de la segunda ecuación;

3) en lugar de la tercera ecuación, escribimos la diferencia entre la tercera y la primera multiplicada por 3;

4) en lugar de la cuarta ecuación, escribimos la diferencia entre la cuarta y la primera multiplicada por 5.

Recibió nuevo sistema es equivalente al original y tiene coeficientes cero en todas las ecuaciones excepto en la primera incógnita 1 (este fue el propósito de las transformaciones 1 – 4): (2)

Para la transformación anterior y para todas las transformaciones posteriores, no debe reescribir completamente todo el sistema, como se acaba de hacer. El sistema original se puede representar como una matriz.

. (3)

La matriz (3) se llama matriz extendida para el sistema de ecuaciones original. Si eliminamos la columna de términos libres de la matriz extendida, obtenemos matriz de coeficientes del sistema, que a veces se llama simplemente matriz del sistema.

El sistema (2) corresponde a la matriz extendida

Transformemos esta matriz de la siguiente manera:

1) dejaremos las dos primeras líneas sin cambios, ya que el elemento a 22 no es cero;

2) en lugar de la tercera línea, escribimos la diferencia entre la segunda línea y el doble de la tercera;

3) reemplaza la cuarta línea con la diferencia entre la segunda línea duplicada y la cuarta línea multiplicada por 5.

El resultado es una matriz correspondiente a un sistema cuya incógnita incógnita 1 está excluido de todas las ecuaciones excepto la primera y la incógnita. incógnita 2 - de todas las ecuaciones excepto la primera y la segunda:

Ahora excluyamos lo desconocido. incógnita 3 de la cuarta ecuación. Para ello, transformamos la última matriz de la siguiente manera:

1) dejaremos las tres primeras líneas sin cambios, ya que a 33¹0;

2) sustituir la cuarta línea por la diferencia entre la tercera, multiplicada por 39, y la cuarta: .

La matriz resultante corresponde al sistema

. (4)

De la última ecuación de este sistema obtenemos incógnita 4 = 2. Sustituyendo este valor en la tercera ecuación, obtenemos incógnita 3 = 3. Ahora de la segunda ecuación se deduce que incógnita 2 = 1, y desde el primero - incógnita 1 = –1. Es obvio que la solución resultante es única (ya que el valor se determina de la única forma incógnita 4 entonces incógnita 3, etcétera).

Definición: Llamemos a una matriz cuadrada que tiene números distintos de cero en la diagonal principal y ceros debajo de la diagonal principal, matriz triangular.

La matriz de coeficientes del sistema (4) es una matriz triangular.

Comentario: Si, mediante transformaciones elementales, la matriz de coeficientes de un sistema cuadrado se puede reducir a una matriz triangular, entonces el sistema es consistente y definido.

Veamos otro ejemplo: . (5)

Realicemos las siguientes transformaciones de la matriz extendida del sistema:

1) dejar la primera línea sin cambios;

2) en lugar de la segunda línea, escribe la diferencia entre la segunda línea y el doble de la primera;

3) en lugar de la tercera línea, escribimos la diferencia entre la tercera línea y el triple de la primera;

4) sustituir la cuarta línea por la diferencia entre la cuarta y la primera;

5) reemplazar la quinta línea con la diferencia de la quinta línea y duplicar la primera.

Como resultado de las transformaciones, obtenemos la matriz.

Dejando las dos primeras filas de esta matriz sin cambios, la reducimos a la siguiente forma mediante transformaciones elementales:

Si ahora, siguiendo el método de Gauss, que también se llama método de eliminación secuencial de incógnitas, usando la tercera línea llevamos los coeficientes a incógnita 3 en las filas cuarta y quinta, luego de dividir todos los elementos de la segunda fila entre 5 y dividir todos los elementos de la tercera fila entre 2, obtenemos la matriz

Cada una de las dos últimas filas de esta matriz corresponde a la ecuación 0 incógnita 1 +0incógnita 2 +0incógnita 3 +0incógnita 4 +0incógnita 5 = 0. Esta ecuación se satisface con cualquier conjunto de números. incógnita 1 ,incógnita 2, ¼, incógnita 5 y debe eliminarse del sistema. Por tanto, el sistema con la matriz extendida recién obtenida es equivalente a un sistema con una matriz extendida de la forma

. (6)

La última fila de esta matriz corresponde a la ecuación
incógnita 3 – 2incógnita 4 + 3incógnita 5 = –4. Si se desconoce incógnita 4 y incógnita 5 dan valores arbitrarios: incógnita 4 = C 1; incógnita 5 = C 2, entonces de la última ecuación del sistema correspondiente a la matriz (6), obtenemos incógnita 3 = –4 + 2C 1 – 3C 2. Sustituyendo expresiones incógnita 3 ,incógnita 4, y incógnita 5 en la segunda ecuación del mismo sistema, obtenemos incógnita 2 = –3 + 2C 1 – 2C 2. Ahora de la primera ecuación podemos obtener incógnita 1 = 4 – C 1+ C 2. La solución final del sistema se presenta en la forma .

Considere una matriz rectangular A, cuyo número de columnas metro más que el número de líneas norte. tal matriz A llamemos pisó.

Es obvio que la matriz (6) es una matriz escalonada.

Si, al aplicar transformaciones equivalentes a un sistema de ecuaciones, al menos una ecuación se reduce a la forma

0incógnita 1 + 0incógnita 2 + ¼0 xn = bj (bj ¹ 0),

entonces el sistema es incompatible o contradictorio, ya que ni un solo conjunto de números incógnita 1 , incógnita 2, ¼, xn no satisface esta ecuación.

Si al transformar la matriz extendida del sistema, la matriz de coeficientes se reduce a una forma escalonada y el sistema no resulta inconsistente, entonces el sistema es consistente e indefinido, es decir, tiene infinitas soluciones.

En este último sistema, todas las soluciones se pueden obtener asignando valores numéricos específicos a los parámetros. C 1 Y C 2.

Definición: Aquellas variables cuyos coeficientes están en la diagonal principal de la matriz escalonada (esto significa que estos coeficientes son diferentes de cero) se denominan o principal. En el ejemplo discutido anteriormente, estas son las incógnitas incógnita 1 , incógnita 2 , incógnita 3. Las variables restantes se llaman no básico. En el ejemplo anterior, estas son las variables incógnita 4, y incógnita 5. A las variables no primarias se les puede dar cualquier valor o expresarse mediante parámetros, como se hizo en el último ejemplo.

Las variables centrales se expresan únicamente a través de variables no centrales.

Definición: Si a las variables no principales se les dan valores numéricos específicos y las variables principales se expresan a través de ellos, entonces la solución resultante se llama solución privada.

Definición: Si las variables no básicas se expresan en términos de parámetros, entonces se obtiene una solución, que se llama solución general.

Definición: Si a todas las variables menores se les dan valores cero, entonces la solución resultante se llama básico.

Comentario: A veces, el mismo sistema puede reducirse a diferentes conjuntos de variables básicas. Entonces, por ejemplo, puede intercambiar las columnas 3 y 4 en la matriz (6). Entonces las variables principales serán incógnita 1 , incógnita 2 ,incógnita 4, y no principales - incógnita 3 y incógnita 5 .

Definición: Si se obtienen dos conjuntos diferentes de variables básicas en de varias maneras encontrar una solución para el mismo sistema, entonces estos conjuntos contienen necesariamente el mismo número de variables, llamadas rango del sistema.

Consideremos otro sistema que tiene infinitas soluciones: .

Transformemos la matriz extendida del sistema usando el método gaussiano:

Como puede ver, no obtuvimos una matriz de pasos, pero la última matriz se puede transformar intercambiando la tercera y cuarta columnas: .

Esta matriz ya está escalonada. El sistema correspondiente tiene dos variables no basicas: incógnita 3 , incógnita 5 y tres principales - incógnita 1 , incógnita 2 , incógnita 4. La solución al sistema original se presenta de la siguiente forma:

A continuación se muestra un ejemplo de un sistema que no tiene solución:

Transformemos la matriz del sistema usando el método gaussiano:

La última fila de la última matriz corresponde a la ecuación sin solución. 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1. En consecuencia, el sistema original es inconsistente.

Conferencia número 3.

Tema: Vectores. Producto escalar, vectorial y mixto de vectores.

1. El concepto de vector. Colinealidad, ortogonalidad y coplanaridad de vectores.

2. Operación lineal sobre vectores.

3. Producto escalar vectores y su aplicación

4. Ilustraciones vectoriales vectores y su aplicación

5. Producto mixto de vectores y su aplicación.

1. El concepto de vector. Colineralidad, ortogonalidad y coplanaridad de vectores.

Definición: Un vector es un segmento dirigido con un punto inicial A y un punto final B.

Designación: , ,

Definición: La longitud o módulo de un vector de un vector es el número igual a la longitud segmento AB que representa un vector.

Definición: Un vector se llama cero si el principio y el final del vector coinciden.

Definición: Un vector de longitud unitaria se llama unidad. Definición: Los vectores se llaman colineales si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas. ( || ).

Comentario:

1. Los vectores colineales pueden dirigirse de forma idéntica o opuesta.

2. El vector cero se considera colineal con cualquier vector.

Definición: Se dice que dos vectores son iguales si son colineales,

tienen las mismas direcciones y tienen las mismas longitudes ( = )

Objeto del servicio. La calculadora en línea está diseñada para estudiar un sistema de ecuaciones lineales. Por lo general, en el planteamiento del problema es necesario encontrar solución general y particular del sistema. Al estudiar sistemas de ecuaciones lineales se resuelven los siguientes problemas:

si el sistema es colaborativo;
si el sistema es compatible, entonces es definido o indefinido (el criterio para la compatibilidad del sistema está determinado por el teorema);
si el sistema está definido, entonces cómo encontrar su solución única (se utilizan el método de Cramer, el método de la matriz inversa o el método de Jordan-Gauss);
si el sistema es incierto, entonces cómo describir el conjunto de sus soluciones.

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales.

Un sistema arbitrario de ecuaciones lineales tiene la forma:
un 1 1 x 1 + un 1 2 x 2 + ... + un 1 n x n = b 1
un 2 1 x 1 + un 2 2 x 2 + ... + un 2 n x n = b 2
...................................................
un metro 1 x 1 + un metro 2 x 2 + ... + un metro n x n = segundo metro

Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas (el número de variables es igual al número de ecuaciones, m = n).
Sistemas arbitrarios de ecuaciones lineales no homogéneas (m > n o m< n).

Definición. Una solución de un sistema es cualquier conjunto de números c 1 ,c 2 ,...,c n , cuya sustitución en el sistema en lugar de las incógnitas correspondientes convierte cada ecuación del sistema en una identidad.

Definición. Se dice que dos sistemas son equivalentes si la solución del primero es la solución del segundo y viceversa.

Definición. Un sistema que tiene al menos una solución se llama articulación. Un sistema que no tiene una solución única se llama inconsistente.

Definición. Un sistema que tiene una solución única se llama cierto, y es incierto tener más de una solución.

Algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Encuentre los rangos de las matrices principal y extendida. Si no son iguales, entonces según el teorema de Kronecker-Capelli el sistema es inconsistente y aquí termina el estudio.
Sea sonó(A) = sonó(B). Seleccionamos el menor básico. En este caso, todos los sistemas desconocidos de ecuaciones lineales se dividen en dos clases. Las incógnitas cuyos coeficientes están incluidos en el menor básico se denominan dependientes y las incógnitas cuyos coeficientes no están incluidos en el menor básico se denominan libres. Tenga en cuenta que la elección de incógnitas dependientes y libres no siempre es sencilla.
Tachamos aquellas ecuaciones del sistema cuyos coeficientes no están incluidos en la base menor, ya que son consecuencias de las demás (según el teorema de la base menor).
Movemos los términos de las ecuaciones que contienen incógnitas libres hacia el lado derecho. Como resultado, obtenemos un sistema de r ecuaciones con r incógnitas, equivalente a la dada, cuyo determinante es distinto de cero.
El sistema resultante se resuelve de una de las siguientes formas: método de Cramer, método de matriz inversa o método de Jordan-Gauss. Se encuentran relaciones que expresan las variables dependientes a través de las libres.

Seguimos trabajando con sistemas de ecuaciones lineales. Hasta ahora hemos considerado sistemas que tienen una solución única. Estos sistemas se pueden solucionar de cualquier forma: por método de sustitución("escuela"), según las fórmulas de Cramer, método matricial, método gaussiano. Sin embargo, en la práctica, dos casos más están muy extendidos:

1) el sistema es inconsistente (no tiene soluciones);

2) el sistema tiene infinitas soluciones.

Para estos sistemas, se utiliza el más universal de todos los métodos de solución: método gaussiano. De hecho, el método "escolar" también conducirá a la respuesta, pero en matemáticas superiores se acostumbra utilizar el método gaussiano de eliminación secuencial de incógnitas. Aquellos que no estén familiarizados con el algoritmo del método gaussiano, estudien primero la lección. método gaussiano

Las transformaciones matriciales elementales en sí son exactamente iguales., la diferencia estará en el final de la solución. Primero, veamos un par de ejemplos en los que el sistema no tiene soluciones (inconsistente).

Ejemplo 1

¿Qué le llama inmediatamente la atención sobre este sistema? El número de ecuaciones es menor que el número de variables. Hay un teorema que dice: “Si el número de ecuaciones del sistema es menor que el número de variables, entonces el sistema es inconsistente o tiene infinitas soluciones”. Y ya sólo queda descubrirlo.

El comienzo de la solución es completamente normal: escribimos la matriz extendida del sistema y, utilizando transformaciones elementales, la llevamos a una forma escalonada:

(1). En el paso superior izquierdo necesitamos obtener (+1) o (–1). No existen tales números en la primera columna, por lo que reorganizar las filas no hará nada. La unidad tendrá que organizarse por sí misma y esto se puede hacer de varias maneras. Hicimos esto. A la primera línea le sumamos la tercera línea, multiplicada por (–1).

(2). Ahora obtenemos dos ceros en la primera columna. A la segunda línea le sumamos la primera línea, multiplicada por 3. A la tercera línea le sumamos la primera, multiplicada por 5.

(3). Una vez completada la transformación, ¿siempre es recomendable ver si es posible simplificar las cadenas resultantes? Poder. Dividimos la segunda línea entre 2, al mismo tiempo que obtenemos la deseada (–1) en el segundo paso. Divide la tercera línea por (–3).

(4). Agregue una segunda línea a la tercera línea. Probablemente todos notaron la mala línea que resultó de transformaciones elementales:

. Está claro que esto no puede ser así.

De hecho, reescribamos la matriz resultante.

Volvamos al sistema de ecuaciones lineales:

Si, como resultado de transformaciones elementales, se obtiene una cadena de la forma , Dóndeλ es un número distinto de cero, entonces el sistema es inconsistente (no tiene soluciones).

¿Cómo anotar el final de una tarea? Necesitas escribir la frase:

“Como resultado de transformaciones elementales, se obtuvo una cadena de la forma, donde λ ≠ 0 " Respuesta: “El sistema no tiene soluciones (inconsistente)”.

Tenga en cuenta que en este caso no hay inversión del algoritmo gaussiano, no hay soluciones y simplemente no hay nada que encontrar.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Le recordamos nuevamente que su solución puede diferir de la nuestra; el método gaussiano no especifica un algoritmo inequívoco y las acciones mismas deben adivinarse en cada caso de forma independiente;

Otra característica técnica de la solución: se pueden detener las transformaciones elementales. inmediatamente, tan pronto como una línea como , donde λ ≠ 0 . Consideremos un ejemplo condicional: supongamos que después de la primera transformación se obtiene la matriz

Esta matriz aún no se ha reducido a forma escalonada, pero no hay necesidad de más transformaciones elementales, ya que apareció una línea de la forma, donde λ ≠ 0 . Se debe dar inmediatamente la respuesta de que el sistema es incompatible.

Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, es casi un regalo para el estudiante, debido a que se obtiene una solución corta, a veces literalmente en 2-3 pasos. Pero todo en este mundo está equilibrado, y un problema en el que el sistema tiene infinitas soluciones es simplemente más largo.

Ejemplo 3:

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Hay 4 ecuaciones y 4 incógnitas, por lo que el sistema puede tener una única solución, no tener soluciones o tener infinitas soluciones. Sea como fuere, el método gaussiano nos conducirá en cualquier caso a la respuesta. Ésta es su versatilidad.

El comienzo vuelve a ser estándar. Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:

Eso es todo y tenías miedo.

(1). Tenga en cuenta que todos los números de la primera columna son divisibles por 2, por lo que estamos contentos con dos en el paso superior izquierdo. A la segunda línea le sumamos la primera línea multiplicada por (–4). A la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por (–2). A la cuarta línea le sumamos la primera línea, multiplicada por (–1).

¡Atención! Muchos pueden sentirse tentados por la cuarta línea. sustraer primera línea. Esto se puede hacer, pero no es necesario; la experiencia demuestra que la probabilidad de error en los cálculos aumenta varias veces. Simplemente sumamos: a la cuarta línea le sumamos la primera línea, multiplicada por (–1) – exactamente asi!

(2). Las últimas tres líneas son proporcionales, dos de ellas se pueden eliminar. Aquí nuevamente necesitamos mostrar mayor atención, pero ¿son las líneas realmente proporcionales? Para estar seguro, sería una buena idea multiplicar la segunda línea por (–1) y dividir la cuarta línea por 2, lo que dará como resultado tres líneas idénticas. Y solo después de eso, elimina dos de ellos. Como resultado de transformaciones elementales, la matriz extendida del sistema se reduce a una forma escalonada:

Al escribir una tarea en un cuaderno, es recomendable tomar las mismas notas con lápiz para mayor claridad.

Reescribamos el sistema de ecuaciones correspondiente:

Aquí no huele a una solución única "ordinaria" para el sistema. Mala línea donde λ ≠ 0, tampoco. Esto significa que este es el tercer caso restante: el sistema tiene infinitas soluciones.

Un conjunto infinito de soluciones de un sistema se escribe brevemente en la forma del llamado solución general del sistema.

solución general Encontraremos el sistema usando el inverso del método gaussiano. Para sistemas de ecuaciones con un conjunto infinito de soluciones, aparecen nuevos conceptos: "variables básicas" Y "variables libres". Primero definamos que variables tenemos básico, y qué variables - gratis. No es necesario explicar en detalle los términos del álgebra lineal, basta recordar que existen tales variables básicas Y variables libres.

Las variables básicas siempre "se asientan" estrictamente en los pasos de la matriz.. EN en este ejemplo las variables básicas son incógnita 1 y incógnita 3 .

Las variables libres lo son todo. restante variables que no recibieron un paso. En nuestro caso hay dos de ellos: incógnita 2 y incógnita 4 – variables libres.

Ahora necesitas Todovariables básicas expresar sólo a través devariables libres. Lo contrario del algoritmo gaussiano tradicionalmente funciona de abajo hacia arriba. De la segunda ecuación del sistema expresamos la variable básica incógnita 3:

Ahora mira la primera ecuación: . Primero sustituimos la expresión encontrada:

Queda por expresar la variable básica. incógnita 1 a través de variables libres incógnita 2 y incógnita 4:

Al final conseguimos lo que necesitábamos. Todo variables básicas ( incógnita 1 y incógnita 3) expresado sólo a través de variables libres ( incógnita 2 y incógnita 4):

De hecho, la solución general está lista:

¿Cómo escribir correctamente la solución general? En primer lugar, las variables libres se escriben en la solución general "por sí mismas" y estrictamente en sus lugares. EN en este caso variables libres incógnita 2 y incógnita 4 debe escribirse en la segunda y cuarta posición:

Las expresiones resultantes para las variables básicas. y obviamente debe escribirse en la primera y tercera posición:

De la solución general del sistema se pueden encontrar infinitos soluciones privadas. Es muy sencillo. variables libres incógnita 2 y incógnita 4 se llaman así porque se pueden dar cualquier valor final. Los valores más populares son los valores cero, ya que esta es la solución parcial más fácil de obtener.

Sustituyendo ( incógnita 2 = 0; incógnita 4 = 0) en la solución general, obtenemos una de las soluciones particulares:

, o es una solución particular correspondiente a variables libres con valores ( incógnita 2 = 0; incógnita 4 = 0).

Otro par dulce son los unos, sustituyamos ( incógnita 2 = 1 y incógnita 4 = 1) en la solución general:

, es decir (-1; 1; 1; 1) – otra solución particular.

Es fácil ver que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones ya que podemos dar variables libres cualquier significados.

Cada la solución particular debe satisfacer a todos ecuación del sistema. Ésta es la base para una comprobación “rápida” de la corrección de la solución. Tomemos, por ejemplo, la solución particular (-1; 1; 1; 1) y sustitúyala en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema original:

Todo debe unirse. Y con cualquier solución particular que reciba, todo también debería estar de acuerdo.

Estrictamente hablando, comprobar una determinada solución a veces es engañoso, es decir, alguna solución particular puede satisfacer cada ecuación del sistema, pero la solución general en sí en realidad se encuentra incorrectamente. Por tanto, en primer lugar, la verificación de la solución general es más exhaustiva y fiable.

Cómo comprobar la solución general resultante. ?

Esto no es difícil, pero requiere mucha transformación. Necesitamos tomar expresiones. básico variables, en este caso y , y sustitúyalos en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema.

Al lado izquierdo de la primera ecuación del sistema:

Se obtiene el lado derecho de la primera ecuación inicial del sistema.

Al lado izquierdo de la segunda ecuación del sistema:

Se obtiene el lado derecho de la segunda ecuación inicial del sistema.

Y luego, a los lados izquierdos de la tercera y cuarta ecuación del sistema. Esta verificación lleva más tiempo, pero garantiza el 100% de exactitud de la solución general. Además, algunas tareas requieren comprobar la solución general.

Ejemplo 4:

Resuelva el sistema usando el método gaussiano. Encuentra la solución general y dos particulares. Verifique la solución general.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Aquí, por cierto, nuevamente el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, lo que significa que queda inmediatamente claro que el sistema será inconsistente o tendrá un número infinito de soluciones.

Ejemplo 5:

Resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema tiene infinitas soluciones, encuentre dos soluciones particulares y verifique la solución general.

Solución: Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma paso a paso:

(1). Agregue la primera línea a la segunda línea. A la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por 2. A la cuarta línea le sumamos la primera línea multiplicada por 3.

(2). A la tercera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por (–5). A la cuarta línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por (–7).

(3). La tercera y cuarta línea son iguales, eliminamos una de ellas. Esta es una belleza:

Las variables básicas se encuentran en los escalones, por lo tanto, variables básicas.

Sólo hay una variable libre que no obtuvo ningún paso aquí: .

(4). Movimiento inverso. Expresemos las variables básicas mediante una variable libre:

De la tercera ecuación:

Consideremos la segunda ecuación y sustituyamos en ella la expresión encontrada:

, , ,

Consideremos la primera ecuación y sustituyamos las expresiones encontradas y en ella:

Por tanto, la solución general con una variable libre incógnita 4:

Una vez más, ¿cómo resultó? variable libre incógnita 4 se encuentra solo en el cuarto lugar que le corresponde. Las expresiones resultantes para las variables básicas , , también están en su lugar.

Comprobemos inmediatamente la solución general.

Sustituimos las variables básicas , , en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema:

Se obtienen los lados derechos correspondientes de las ecuaciones, por lo que se encuentra la solución general correcta.

Ahora de la solución general encontrada. obtenemos dos soluciones particulares. Todas las variables se expresan aquí a través de un único variable libre x 4. No hay necesidad de devanarse los sesos.

Dejar incógnita 4 = 0 entonces – la primera solución particular.

Dejar incógnita 4 = 1 entonces – otra solución privada.

Respuesta: Solución general: . Soluciones privadas:

Y .

Ejemplo 6:

Encuentre la solución general del sistema de ecuaciones lineales.

Ya hemos comprobado la solución general; se puede confiar en la respuesta. Su solución puede diferir de la nuestra. Lo principal es que las decisiones generales coinciden. Probablemente muchos notaron un momento desagradable en las soluciones: muy a menudo, al invertir el método de Gauss, teníamos que jugar con fracciones ordinarias. En la práctica, este es el caso; los casos en los que no hay fracciones son mucho menos comunes. Esté preparado mentalmente y, lo más importante, técnicamente.

Detengámonos en las características de la solución que no se encontraron en los ejemplos resueltos. La solución general del sistema a veces puede incluir una constante (o constantes).

Por ejemplo, una solución general: . Aquí una de las variables básicas es igual a numero constante: . No hay nada exótico en esto, sucede. Obviamente, en este caso, cualquier solución particular contendrá un cinco en la primera posición.

Rara vez, pero hay sistemas en los que el número de ecuaciones es mayor que el número de variables. Sin embargo, el método gaussiano funciona en las condiciones más duras. Debe reducir con calma la matriz extendida del sistema a una forma paso a paso utilizando un algoritmo estándar. Un sistema así puede ser inconsistente, puede tener infinitas soluciones y, aunque parezca extraño, puede tener una única solución.

Repitamos nuestro consejo: para sentirse cómodo resolviendo un sistema mediante el método gaussiano, debe ser bueno resolviendo al menos una docena de sistemas.

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2:

Solución:Escribamos la matriz extendida del sistema y, utilizando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada.

Transformaciones elementales realizadas:

(1) Se han intercambiado la primera y la tercera línea.

(2) La primera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por (–6). La primera línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por (–7).

(3) La segunda línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por (–1).

Como resultado de transformaciones elementales, se obtiene una cadena de la forma, Dónde λ ≠ 0 .Esto significa que el sistema es inconsistente.Respuesta: no hay soluciones.

Ejemplo 4:

Solución:Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:

Conversiones realizadas:

(1). La primera línea, multiplicada por 2, se añadió a la segunda línea. La primera línea, multiplicada por 3, se añadió a la tercera línea.

No hay unidad para el segundo paso. , y la transformación (2) tiene como objetivo obtenerlo.

(2). La tercera línea se añadió a la segunda línea, multiplicada por –3.

(3). La segunda y tercera líneas se intercambiaron (movimos el -1 resultante al segundo paso)

(4). La tercera línea se sumó a la segunda línea, multiplicada por 3.

(5). A las dos primeras líneas se les cambió el signo (multiplicado por –1), la tercera línea se dividió por 14.

Contrarrestar:

(1). Aquí son las variables básicas (que están en los pasos), y – variables libres (que no dieron un paso).

(2). Expresemos las variables básicas en términos de variables libres:

De la tercera ecuación: .

(3). Considere la segunda ecuación:, soluciones privadas:

Respuesta: Solución general:

Números complejos

En esta sección introduciremos el concepto. numero complejo, considerar algebraico, trigonométrico Y forma exponencial número complejo. También aprenderemos a realizar operaciones con números complejos: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces.

Para dominar los números complejos no se requieren conocimientos especiales de un curso superior de matemáticas y el material es accesible incluso para los escolares. Basta con poder realizar operaciones algebraicas con números "ordinarios" y recordar la trigonometría.

Primero, recordemos los Números “ordinarios”. En matemáticas se les llama conjunto de números reales y se designan con la letra R, o R (espesado). Todos los números reales se ubican en la conocida recta numérica:

La sociedad de los números reales es muy diversa: aquí hay números enteros, fraccionarios y números irracionales. En este caso, cada punto del eje numérico corresponde necesariamente a algún número real.