Le presentaron el método de introducir una nueva variable al resolver ecuaciones racionales con una variable en el curso de álgebra de octavo grado. La esencia de este método para resolver sistemas de ecuaciones es la misma, pero desde un punto de vista técnico hay algunas características que discutiremos en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3. Resolver sistema de ecuaciones.
Solución. Introduzcamos una nueva variable. Luego, la primera ecuación del sistema se puede reescribir en una forma más. en forma sencilla: 
Resolvamos esta ecuación para la variable t:
Ambos valores satisfacen la condición y por tanto son raíces de una ecuación racional con variable t. Pero eso significa que encontramos que x = 2y, o
Así, utilizando el método de introducción de una nueva variable, logramos “estratificar” la primera ecuación del sistema, que era bastante compleja en apariencia, en dos ecuaciones más simples:
x = 2y; y - 2x.
¿Que sigue? Y luego cada uno de los dos recibió ecuaciones simples deben considerarse uno por uno en un sistema con la ecuación x 2 - y 2 = 3, que aún no hemos recordado. En otras palabras, el problema se reduce a resolver dos sistemas de ecuaciones:
Necesitamos encontrar soluciones para el primer sistema, el segundo sistema e incluir todos los pares de valores resultantes en la respuesta. Resolvamos el primer sistema de ecuaciones:
Usemos el método de sustitución, especialmente porque aquí todo está listo: sustituyamos la expresión 2y en lugar de x en la segunda ecuación del sistema. Obtenemos
Como x = 2y, encontramos, respectivamente, x 1 = 2, x 2 = 2. Así, se obtienen dos soluciones del sistema dado: (2; 1) y (-2; -1). Resolvamos el segundo sistema de ecuaciones:
Usemos el método de sustitución nuevamente: sustituya la expresión 2x en lugar de y en la segunda ecuación del sistema. Obtenemos
Esta ecuación no tiene raíces, lo que significa que el sistema de ecuaciones no tiene soluciones. Por lo tanto, sólo es necesario incluir en la respuesta las soluciones del primer sistema.
Respuesta: (2; 1); (-2;-1).
El método de introducir nuevas variables al resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables se utiliza en dos versiones. Primera opción: se introduce una nueva variable y se utiliza en una sola ecuación del sistema. Esto es exactamente lo que sucedió en el ejemplo 3. Segunda opción: se introducen y utilizan dos nuevas variables simultáneamente en ambas ecuaciones del sistema. Este será el caso en el ejemplo 4.
Ejemplo 4. Resolver sistema de ecuaciones.
Una ecuación de la forma ax4 + bx2 + c = 0 se llama ecuación bicuadrática. Absolutamente cualquier ecuación de este tipo se puede resolver introduciendo una nueva variable y luego resolviendo la ecuación. Luego se realiza la sustitución inversa y se encuentra la x requerida.
Veamos cómo aplicar este método para resolver ecuaciones racionales.
La ecuación está dada: x4 - 4x2 + 4 = 0.
Solución
Para soluciones ecuación dada es necesario introducir una nueva variable, que tiene la forma y =x2. La siguiente igualdad también es cierta: x4 = (x2)2 = y2. Reescribimos la ecuación original de la siguiente manera: y2 - 4y + 4 =0. Esta es una ecuación cuadrática ordinaria, resolviendo la cual obtendrás las raíces y1 = y2 = 2. Dado que y = x2, la solución a este problema se reduce a resolver otra ecuación, a saber: x2 = 2. Encontramos la respuesta: +- √2.
En esta situación, el método de introducción de una variable fue "adecuado a la situación", es decir, era claramente visible qué expresión reemplazar con una nueva variable, pero esto no siempre sucede. Básicamente, una expresión que se puede reemplazar solo aparece mediante el proceso de transformación y simplificación de la expresión original. Puedes ver un ejemplo similar en el vídeo tutorial.
Propiedades de la función y = k/x, para k >0
En el vídeo tutorial conocerás las propiedades básicas de una hipérbola, basándose en su modelo geométrico.
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) - el dominio de definición de la función consta de todos los números excepto 0.
2. Para x > 0 => y > 0, y para x< 0 =>y< 0.
3. Para k > 0, la función disminuye en el rayo abierto (-∞;0) y en el rayo abierto (0; ∞).
4. La función y = k/x no tiene restricciones superiores o inferiores.
5. La función y = k/x no tiene valores máximos ni mínimos.
6. Continuo en el intervalo (-∞;0) y (0; ∞), sufriendo una discontinuidad en x = 0.
Lección sobre el tema: Resolver ecuaciones.
Compilado por: Vera Viktorovna Volkova - profesora de matemáticas
Tema de la lección: Resolver ecuaciones introduciendo una nueva variable.
Objetivos de la lección:1. Introducir a los estudiantes a un nuevo método para resolver ecuaciones;
2. Fortalecer las habilidades de solución ecuaciones cuadráticas y elegir métodos para resolverlos;
3. Realizar la consolidación inicial de un nuevo tema;
4. Desarrollar la capacidad de defender el propio punto de vista y mantener un diálogo razonado con los compañeros;
Desarrollar la atención, la memoria y pensamiento lógico, observación
Inculcar habilidades de comunicación y cultura de la comunicación.
Inculcar habilidades Trabajo independiente
durante las clases
1.Momento organizador
Comunicar el tema de la lección y establecer una meta.
2. repetición
En lecciones anteriores aprendimos cómo resolver ecuaciones cuadráticas. diferentes caminos y ecuaciones. Que se pueden reducir a cuadrados.
¿Qué ecuación se llama cuadrática?
¿Qué formas conoces de solucionarlos?
¿Qué ecuaciones se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas?
a) (x+3) 2 +(x-2) 2 + (x+5)(x -5)= 11x +20
b) x 2 (x+1)-(x+4)x=12(x-1) 2
c) x 2 + x + 9 = 3x-7,
GRAMO) x+1 + x = 2,5
Xx+1
d) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9
X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10 ?
3. Estudiar material nuevo.
Ahora trabajaremos en grupos (recordar el procedimiento de trabajo y las reglas de comportamiento al trabajar en grupo). Tu tarea es resolver las ecuaciones propuestas (se reparten tarjetas con la tarea, se cuelga un cartel en la pizarra).
A) x+1 + x = 2,5
Xx+1
b) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9
X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10
El profesor observa el avance del trabajo y elige una forma para comprobar la primera ecuación:
De forma oral o en pizarra dependiendo del éxito de la clase.
Revisemos lo que tienes.
La primera ecuación se reduce a la ecuación cuadrática x 2 + x -2 = 0.
La solución son los números -2 y 1.
Ahora pasemos a resolver la segunda ecuación. Todos los grupos terminaron con una ecuación de cuarto grado, que no sabes cómo resolver.
Intentemos resolverlo con él.
Como resolver cualquier problema, resolver una ecuación consta de varias etapas:
- Análisis de ecuaciones
- Elaboración de un plan de solución.
- Implementación de este plan.
- Comprobando la solución.
- Análisis del método de solución sistematización de la experiencia.
- - ¿Cómo se suele analizar una ecuación?
En primer lugar respondemos a la pregunta: ¿nos hemos encontrado antes con ecuaciones de este tipo?
Sí, lo hemos hecho, es una ecuación racional fraccionaria.
Puedes intentar resolver esta ecuación “difícil” o puedes volver a
la ecuación original y analizarla nuevamente.
Para esto:
- Resaltemos algunos elementos de la ecuación,
- Establezcamos sus propiedades generales,
- Estudiemos las conexiones entre los distintos elementos de la ecuación,
- Utilicemos esta información.
Trabajemos durante 5 minutos en grupos según este plan.
La mayoría identificó el elemento incluido en los numeradores y denominadores de las fracciones de la ecuación. Para simplificar la ecuación, reemplacemos esta expresión con una letra, por ejemplo Z:
X 2 + 2x = Z
Z +2 + Z +3 = 9
Z +5 Z +6 10
Puede considerarse como una nueva ecuación para la nueva incógnita Z. En ella, la variable x no está presente explícitamente.
Dicen que se ha reemplazado una variable.
¿Es aconsejable tal reemplazo? Para responder a esta pregunta basta con averiguar:
¿Es posible resolver la nueva ecuación y encontrar los valores de Z?
¿Es posible utilizar Z para encontrar el valor de la variable x para la ecuación original?
Intente, trabajando en grupos, responder la primera parte de la pregunta.
El docente observa el avance del trabajo. Luego se verifican los resultados de la búsqueda de los valores de la variable Z.
Entonces, encontramos los valores de la variable Z: Z 1= 0, Z 2 = - 61| once
Pero nos interesan todos los valores de la variable x que satisfacen la ecuación original. Encontremos estos valores. La conexión entre las raíces de las ecuaciones original y nueva está contenida en la fórmula x 2 + 2x = Z. Ya hemos encontrado los valores de la variable Z. Por lo tanto, cualquier raíz de la ecuación racional fraccionaria original es la raíz de una de las ecuaciones: x 2 + 2x =Z 1 o x 2 + 2x =Z 2
Resuelve estas ecuaciones tú mismo usando las opciones.
Comprobemos los resultados: la primera ecuación tiene raíces x 1 = 0, x 2 = -2 y la segunda ecuación no tiene raíces.
Sólo queda comprobar los resultados obtenidos para la ecuación original y anotar la respuesta.
Respuesta: x1 =0, x2 = -2.
Entonces, resolvimos la ecuación original con un nuevo método llamado introduciendo una nueva variable.
Crea un algoritmo para resolver nuestra ecuación. introduciendo una nueva variable.(trabajo en grupos)
- Seleccione la expresión x 2 + 2x;
- Esta expresión la denotamos con una letra x 2 + 2x =Z;
- Realizamos la sustitución y obtenemos una nueva ecuación;
- Lo reducimos a un cuadrado y resolvemos;
- Usando los valores de la variable Z, encontramos los valores de la variable x;
- Comprobamos los resultados obtenidos y anotamos la respuesta.
3.Asegure el material.
¿Crees que se podría haber hecho un cambio diferente de variables? (Por ejemplo, x 2 + 2x
2 = Z o x 2 + 2x +6 = Z.) ¿Qué forma tendrá entonces la nueva ecuación? ¿Cómo solucionarlos? ¿Se puede resolver la primera ecuación casera introduciendo una nueva variable? ¿Qué expresión se puede reemplazar con una nueva variable? ¿Cuál es la ecuación? ¿Cómo resolverlo? ¿Cuáles son los valores de la variable Z? ¿Cuáles son los valores de la variable x?
4. Resumiendo.
- ¿Qué estudiamos hoy en clase?
- Cual nueva manera¿Descubriste las soluciones de las ecuaciones?
- ¿Cuál es el método para introducir una nueva variable?
- ¿Cuál es el algoritmo para este método?
- ¿Este método le pareció difícil o inconveniente?
- ¿Se puede aplicar a todas las ecuaciones?
5.Tarea.
- Escriba y aprenda el algoritmo para aplicar el método de introducción de una nueva variable;
- Resuelve usando este método No. 2.43 (1; 2) GIA p.117.
2.2.3. Método para introducir una nueva variable.
Una herramienta poderosa para resolver ecuaciones irracionales es el método de introducción de una nueva variable, o "método de sustitución". El método se suele utilizar cuando una determinada expresión que depende de una cantidad desconocida aparece repetidamente en una ecuación. Entonces tiene sentido denotar esta expresión con alguna letra nueva e intentar resolver la ecuación primero con respecto a la incógnita introducida y luego encontrar la incógnita original. En muchos casos, la introducción exitosa de nuevas incógnitas permite a veces obtener una solución más rápida y fácilmente; A veces es completamente imposible solucionar el problema sin sustituirlo. ,
Ejemplo 7. Resuelve la ecuación.
Solución. Poniendo , obtenemos una ecuación irracional significativamente más simple. Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación: .
;
;
;
Verificar los valores encontrados sustituyéndolos en la ecuación muestra que es la raíz de la ecuación y es una raíz extraña.
Volviendo a la variable original x, obtenemos la ecuación, es decir, una ecuación cuadrática 
, resolviendo lo cual encontramos dos raíces: ,. Ambas raíces, como muestra la verificación, satisfacen la ecuación original.
El reemplazo es especialmente útil si como resultado se logra una nueva cualidad, por ejemplo, una ecuación irracional se convierte en una cuadrática.
Ejemplo 8. Resuelve la ecuación.
Solución. Reescribamos la ecuación así: .
Se puede observar que si introducimos una nueva variable 
, entonces la ecuación toma la forma 
, dónde , .
Ahora el problema se reduce a resolver la ecuación. 
y ecuaciones 
. La primera de estas soluciones no tiene, pero de la segunda obtenemos , . Ambas raíces, como muestra la verificación, satisfacen la ecuación original.
Obsérvese que la aplicación “imprudente” en el ejemplo 8 del método de “aislamiento del radical” y elevación al cuadrado conduciría a una ecuación de cuarto grado, cuya solución es, en general, extremadamente tarea difícil.
Ejemplo 9. Resuelve la ecuación. 
.
Introduzcamos una nueva variable.
Como resultado, la ecuación irracional original toma la forma de una ecuación cuadrática
,
de donde, teniendo en cuenta la limitación, obtenemos . Resolviendo la ecuación obtenemos la raíz. Como muestra la verificación, satisface la ecuación original.
A veces, mediante alguna sustitución, es posible reducir una ecuación irracional a forma racional, como se analiza en los ejemplos 8, 9. En este caso, dicen que esta sustitución racionaliza la ecuación irracional considerada y la llaman racionalización. Basado en el uso de sustituciones racionalizadoras, se llama método de racionalización.
No es necesario discutir este método de resolución de ecuaciones irracionales con todos los estudiantes de la lección, pero puede considerarse como parte de clases optativas o de clubes de matemáticas con estudiantes que muestran un mayor interés en las matemáticas.
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