Resolver las ecuaciones trigonométricas sinx más simples. Resolver ecuaciones trigonométricas simples

16.10.2019

Ejemplos:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Cómo resolver ecuaciones trigonométricas:

Cualquier ecuación trigonométrica debe reducirse a uno de los siguientes tipos:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

donde \(t\) es una expresión con una x, \(a\) es un número. Estas ecuaciones trigonométricas se llaman lo más simple. Se pueden resolver fácilmente usando () o fórmulas especiales:

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Solución:

Respuesta: \(\left[ \begin(reunidos)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(reunidos)\right.\) \(k,n∈Z\)

¿Qué significa cada símbolo en la fórmula raíz? ecuaciones trigonométricas pase a ver .

¡Atención! Las ecuaciones \(\sin⁡x=a\) y \(\cos⁡x=a\) no tienen soluciones si \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Porque el seno y el coseno de cualquier x son mayores o iguales que \(-1\) y menores que o iguales a \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Ejemplo . Resuelve la ecuación \(\cos⁡x=-1,1\).
Solución: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Respuesta : sin soluciones.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica tg\(⁡x=1\).
Solución:

Resolvamos la ecuación usando el círculo numérico. Para esto:
1) Construye un círculo)
2) Construya los ejes \(x\) y \(y\) y el eje tangente (pasa por el punto \((0;1)\) paralelo al eje \(y\)).
3) En el eje tangente, marque el punto \(1\).
4) Conecte este punto y el origen de coordenadas: una línea recta.
5) Marque los puntos de intersección de esta línea y el círculo numérico.
6) Firmemos los valores de estos puntos: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Anota todos los valores de estos puntos. Dado que están ubicados a una distancia exacta de \(π\) entre sí, todos los valores se pueden escribir en una fórmula:

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Solución:

Usemos el círculo numérico nuevamente.
1) Construye un círculo, con ejes \(x\) y \(y\).
2) En el eje coseno (eje \(x\)), marque \(0\).
3) Traza una perpendicular al eje coseno que pasa por este punto.
4) Marcar los puntos de intersección de la perpendicular y el círculo.
5) Firmemos los valores de estos puntos: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Anotamos el valor total de estos puntos y los equiparamos al coseno (a lo que hay dentro del coseno).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Como es habitual, expresaremos \(x\) en ecuaciones.
No olvides tratar los números con \(π\), así como \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), etc. Estos son los mismos números que todos los demás. ¡Sin discriminación numérica!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Reducir las ecuaciones trigonométricas a lo más simple es una tarea creativa; aquí es necesario utilizar métodos especiales para resolver ecuaciones:
- Método (el más popular en el Examen Estatal Unificado).
- Método.
- Método de argumentos auxiliares.

Consideremos un ejemplo de resolución de la ecuación trigonométrica cuadrática.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Solución:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Hagamos el reemplazo \(t=\cos⁡x\).

	Nuestra ecuación se ha vuelto típica. Puedes resolverlo usando .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Hacemos un reemplazo inverso.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Resolvemos la primera ecuación usando el círculo numérico. La segunda ecuación no tiene soluciones porque \(\cos⁡x∈[-1;1]\) y no puede ser igual a dos para cualquier x.
	Anotemos todos los números que se encuentran en estos puntos.

Respuesta: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Un ejemplo de resolución de una ecuación trigonométrica con el estudio de ODZ:

Ejemplo (USO) . Resuelve la ecuación trigonométrica \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Hay una fracción y hay una cotangente, eso significa que debemos escribirla. Permítanme recordarles que una cotangente es en realidad una fracción: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Por lo tanto, la ODZ para ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\pecado⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Marquemos las “no soluciones” en el círculo numérico.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Eliminemos el denominador de la ecuación multiplicándolo por ctg\(x\). Podemos hacer esto, ya que escribimos arriba que ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Apliquemos la fórmula del doble ángulo para el seno: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Si tus manos se extienden para dividir por el coseno, ¡retíralas! Puedes dividir por una expresión con una variable si definitivamente no es igual a cero (por ejemplo, estos: \(x^2+1.5^x\)). En lugar de ello, saquemos \(\cos⁡x\) de los corchetes.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	"Dividamos" la ecuación en dos.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Resolvamos la primera ecuación usando el círculo numérico. Dividamos la segunda ecuación por \(2\) y muevamos \(\sin⁡x\) al lado derecho.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sen⁡x\)	Las raíces resultantes no están incluidas en la ODZ. Por lo tanto, no los escribiremos en respuesta. La segunda ecuación es típica. Dividámoslo entre \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) no puede ser una solución a la ecuación porque en este caso \(\cos⁡x=1\) o \(\cos⁡ x=-1\)).
	Usamos un círculo nuevamente.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	ODZ no excluye estas raíces, por lo que puede escribirlas en la respuesta.

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Las ecuaciones trigonométricas no son un tema fácil. Son demasiado diversos). Por ejemplo, estos:

sen 2 x + cos3x = ctg5x

pecado(5x+π /4) = cuna(2x-π /3)

senx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Pero estos (y todos los demás) monstruos trigonométricos tienen dos características comunes y obligatorias. Primero, no lo creerás, hay funciones trigonométricas en las ecuaciones). Segundo: se encuentran todas las expresiones con x. dentro de estas mismas funciones.¡Y sólo allí! Si X aparece en alguna parte afuera, Por ejemplo, pecado2x + 3x = 3, esta ya será una ecuación de tipo mixto. Estas ecuaciones requieren un enfoque individual. No los consideraremos aquí.

Tampoco resolveremos ecuaciones malignas en esta lección). Aquí nos ocuparemos de las ecuaciones trigonométricas más simples.¿Por qué? Si porque la solución cualquier Las ecuaciones trigonométricas consta de dos etapas. En la primera etapa, la ecuación del mal se reduce a una simple mediante una variedad de transformaciones. En el segundo, se resuelve esta ecuación más simple. Ninguna otra manera.

Entonces, si tienes problemas en la segunda etapa, la primera etapa no tiene mucho sentido).

¿Cómo son las ecuaciones trigonométricas elementales?

senx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Aquí A representa cualquier número. Cualquier.

Por cierto, dentro de una función puede que no haya una X pura, sino algún tipo de expresión, como:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Esto complica la vida, pero no afecta el método para resolver una ecuación trigonométrica.

¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas?

Las ecuaciones trigonométricas se pueden resolver de dos formas. La primera forma: usando la lógica y el círculo trigonométrico. Veremos este camino aquí. La segunda forma, utilizar la memoria y las fórmulas, se analizará en la próxima lección.

La primera forma es clara, confiable y difícil de olvidar). Es buena para resolver ecuaciones trigonométricas, desigualdades y todo tipo de ejemplos complicados no estándar. ¡La lógica es más fuerte que la memoria!)

Resolver ecuaciones usando un círculo trigonométrico.

Incluimos lógica elemental y la capacidad de utilizar el círculo trigonométrico. ¿No sabes cómo? Sin embargo... Te resultará difícil en trigonometría...) Pero no importa. Echa un vistazo a las lecciones "Círculo trigonométrico... ¿Qué es?" y "Medir ángulos en un círculo trigonométrico". Allí todo es sencillo. A diferencia de los libros de texto...)

¿¡Oh tú sabes!? ¿¡E incluso dominaste el “Trabajo práctico con el círculo trigonométrico”!? Felicidades. Este tema le resultará cercano y comprensible). Lo que es especialmente agradable es que al círculo trigonométrico no le importa qué ecuación resuelva. Seno, coseno, tangente, cotangente: todo es igual para él. Sólo hay un principio de solución.

Entonces tomamos cualquier ecuación trigonométrica elemental. Al menos esto:

cosx = 0,5

Necesitamos encontrar X. Hablando en lenguaje humano, necesitas Encuentra el ángulo (x) cuyo coseno es 0,5.

¿Cómo usábamos anteriormente el círculo? Le dibujamos un ángulo. En grados o radianes. Y de inmediato sierra Funciones trigonométricas de este ángulo. Ahora hagamos lo contrario. Dibujemos un coseno en el círculo igual a 0,5 e inmediatamente ya veremos esquina. Sólo queda escribir la respuesta.) ¡Sí, sí!

Dibuja un círculo y marca el coseno igual a 0,5. Por supuesto, en el eje del coseno. Como esto:

Ahora dibujemos el ángulo que nos da este coseno. Pase el mouse sobre la imagen (o toque la imagen en su tableta) y verás este mismo rincón X.

¿El coseno de qué ángulo es 0,5?

x = π/3

porque 60°= porque( π/3) = 0,5

Algunas personas se reirán con escepticismo, sí... Como si valiera la pena hacer un círculo cuando ya todo está claro... Puedes, por supuesto, reírte...) Pero el hecho es que esta es una respuesta errónea. O mejor dicho, insuficiente. Los conocedores de los círculos entienden que aquí hay muchos otros ángulos que también dan un coseno de 0,5.

Si gira el lado móvil OA vuelta completa, el punto A volverá a su posición original. Con el mismo coseno igual a 0,5. Aquellos. el ángulo cambiará por 360° o 2π radianes, y coseno - no. El nuevo ángulo 60° + 360° = 420° también será una solución a nuestra ecuación, porque

Se puede hacer un número infinito de revoluciones tan completas... Y todos estos nuevos ángulos serán soluciones de nuestra ecuación trigonométrica. Y todos ellos deben escribirse de alguna manera en respuesta. Todo. En caso contrario, la decisión no cuenta, sí...)

Las matemáticas pueden hacer esto de manera simple y elegante. Escribe en una respuesta corta. conjunto infinito decisiones. Así es como se ve nuestra ecuación:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Lo descifraré. Todavía escribo significativamente Es más agradable que dibujar estúpidamente unas letras misteriosas, ¿verdad?)

π/3 - este es el mismo rincón que nosotros sierra en el círculo y determinado según la tabla de cosenos.

2π es una revolución completa en radianes.

norte - este es el número de completos, es decir entero rpm Está claro que norte puede ser igual a 0, ±1, ±2, ±3.... y así sucesivamente. Como lo indica una breve entrada:

norte ∈ Z

norte pertenece ( ∈ ) conjunto de números enteros ( z ). Por cierto, en lugar de la carta. norte bien se pueden usar letras k, m, t etc.

Esta notación significa que puedes tomar cualquier número entero. norte . Al menos -3, al menos 0, al menos +55. Lo que quieras. Si sustituyes este número en la respuesta, obtendrás un ángulo específico, que definitivamente será la solución a nuestra dura ecuación).

O, en otras palabras, x = π/3 es la única raíz de un conjunto infinito. Para obtener todas las demás raíces, basta con sumar cualquier número de revoluciones completas a π /3 ( norte ) en radianes. Aquellos. 2πn radián.

¿Todo? No. Prolongo deliberadamente el placer. Para recordar mejor.) Recibimos solo una parte de las respuestas a nuestra ecuación. Escribiré esta primera parte de la solución así:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x1 - no sólo una raíz, sino toda una serie de raíces, escritas de forma breve.

¡Pero también hay ángulos que también dan un coseno de 0,5!

Volvamos a nuestra imagen de la que escribimos la respuesta. Aqui esta ella:

Pase el mouse sobre la imagen y vemos otro ángulo que también da un coseno de 0,5.¿A qué crees que es igual? Los triángulos son iguales... ¡Sí! es igual al angulo X , sólo se retrasa en la dirección negativa. esta es la esquina -X. Pero ya hemos calculado x. π /3 o 60°. Por lo tanto, podemos escribir con seguridad:

x 2 = - π /3

Pues claro, sumamos todos los ángulos que se obtienen mediante revoluciones completas:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Eso es todo ahora.) En el círculo trigonométrico tenemos sierra(quién entiende, por supuesto)) Todoángulos que dan un coseno de 0,5. Y escribimos estos ángulos en una breve forma matemática. La respuesta resultó en dos series infinitas de raíces:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Esta es la respuesta correcta.

Esperanza, principio general para resolver ecuaciones trigonométricas Usar un círculo es claro. Marcamos el coseno (seno, tangente, cotangente) de la ecuación dada en un círculo, dibujamos los ángulos correspondientes y anotamos la respuesta. Por supuesto, necesitamos descubrir en qué rincones estamos. sierra en el círculo. A veces no es tan obvio. Bueno, dije que aquí se requiere lógica).

Por ejemplo, veamos otra ecuación trigonométrica:

¡Tenga en cuenta que el número 0,5 no es el único número posible en las ecuaciones!) Simplemente me resulta más conveniente escribirlo que las raíces y las fracciones.

Trabajamos según el principio general. Dibujamos un círculo, marcamos (¡en el eje sinusoidal, por supuesto!) 0,5. Dibujamos todos los ángulos correspondientes a este seno a la vez. Obtenemos esta imagen:

Tratemos primero con el ángulo. X en el primer trimestre. Recordamos la tabla de senos y determinamos el valor de este ángulo. Es una cuestión sencilla:

x = π/6

Recordamos los turnos completos y, con la conciencia tranquila, anotamos la primera serie de respuestas:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

La mitad del trabajo está hecho. Pero ahora necesitamos determinar segunda esquina... Es más complicado que usar cosenos, sí... ¡Pero la lógica nos salvará! Cómo determinar el segundo ángulo. a través de x? ¡Sí, fácil! Los triángulos en la imagen son iguales y la esquina roja X igual al ángulo X . Solo se cuenta desde el ángulo π en dirección negativa. Por eso es rojo.) Y para la respuesta necesitamos un ángulo, medido correctamente, desde el semieje positivo OX, es decir. desde un ángulo de 0 grados.

Pasamos el cursor sobre el dibujo y vemos todo. Quité la primera esquina para no complicar el cuadro. El ángulo que nos interesa (dibujado en verde) será igual a:

π-x

X sabemos esto π/6 . Por tanto, el segundo ángulo será:

π - π /6 = 5π /6

Nuevamente recordamos lo de sumar revoluciones completas y anotamos la segunda serie de respuestas:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Eso es todo. Una respuesta completa consta de dos series de raíces:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Las ecuaciones tangentes y cotangentes se pueden resolver fácilmente utilizando el mismo principio general para resolver ecuaciones trigonométricas. A menos, por supuesto, que sepas dibujar tangente y cotangente en un círculo trigonométrico.

En los ejemplos anteriores, utilicé el valor de la tabla de seno y coseno: 0,5. Aquellos. uno de esos significados que el alumno conoce debe. Ahora ampliemos nuestras capacidades para todos los demás valores.¡Decide, entonces decide!)

Entonces, digamos que necesitamos resolver esta ecuación trigonométrica:

No existe tal valor de coseno en las tablas breves. Ignoramos fríamente este terrible hecho. Dibuja un círculo, marca 2/3 en el eje del coseno y dibuja los ángulos correspondientes. Obtenemos esta imagen.

Veamos, primero, el ángulo del primer cuarto. Si supiéramos a qué es igual x, ¡escribiríamos inmediatamente la respuesta! No lo sabemos... ¿¡Fracaso!? ¡Calma! ¡Las matemáticas no dejan en problemas a su propia gente! Se le ocurrieron arcos cosenos para este caso. ¿No lo sé? En vano. Descúbrelo, es mucho más fácil de lo que crees. No hay ni un solo hechizo engañoso sobre “funciones trigonométricas inversas” en este enlace... Esto es superfluo en este tema.

Si lo sabe, dígase a sí mismo: "X es un ángulo cuyo coseno es igual a 2/3". E inmediatamente, puramente por la definición de arco coseno, podemos escribir:

Recordamos las revoluciones adicionales y anotamos tranquilamente la primera serie de raíces de nuestra ecuación trigonométrica:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

La segunda serie de raíces para el segundo ángulo se escribe casi automáticamente. Todo es igual, solo X (arccos 2/3) estará con un menos:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

¡Y eso es! Esta es la respuesta correcta. Incluso más fácil que con los valores de la tabla. No es necesario recordar nada.) Por cierto, los más atentos notarán que esta imagen muestra la solución a través del arco coseno. en esencia, no difiere de la imagen de la ecuación cosx = 0,5.

¡Exactamente! ¡El principio general es precisamente ese! Deliberadamente hice dos dibujos casi idénticos. El círculo nos muestra el ángulo. X por su coseno. Todos desconocen si es un coseno tabular o no. Qué tipo de ángulo es este, π /3, o qué arco coseno es, eso lo decidimos nosotros.

La misma canción con seno. Por ejemplo:

Dibuja un círculo nuevamente, marca el seno igual a 1/3, dibuja los ángulos. Esta es la imagen que obtenemos:

Y nuevamente la imagen es casi la misma que para la ecuación. senx = 0,5. De nuevo partimos desde la esquina en el primer cuarto. ¿A qué equivale X si su seno es 1/3? ¡Ningún problema!

Ahora el primer paquete de raíces está listo:

x 1 = arcosen 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ocupémonos del segundo ángulo. En el ejemplo con un valor de tabla de 0,5, era igual a:

π-x

¡Aquí también será exactamente igual! Sólo x es diferente, arcosen 1/3. ¿¡Así que lo que!? Puedes anotar con seguridad el segundo paquete de raíces:

x 2 = π - arcosen 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Esta es una respuesta completamente correcta. Aunque no parece muy familiar. Pero está claro, espero).

Así se resuelven las ecuaciones trigonométricas utilizando un círculo. Este camino es claro y comprensible. Es él quien ahorra en ecuaciones trigonométricas con la selección de raíces en un intervalo dado, en desigualdades trigonométricas; generalmente se resuelven casi siempre en un círculo. En definitiva, en cualquier tarea que sea un poco más difícil que las estándar.

¿Aplicamos el conocimiento en la práctica?)

Resolver ecuaciones trigonométricas:

Primero, más simple, sacado directamente de esta lección.

Ahora es más complicado.

Pista: aquí tendrás que pensar en el círculo. Personalmente.)

Y ahora son aparentemente simples... También se les llama casos especiales.

pecado = 0

pecado = 1

cosx = 0

cosx = -1

Sugerencia: aquí debes descubrir en un círculo dónde hay dos series de respuestas y dónde hay una... Y cómo escribir una en lugar de dos series de respuestas. ¡Sí, para que no se pierda ni una sola raíz de un número infinito!)

Pues muy sencillo):

pecado = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Sugerencia: aquí necesita saber qué son el arcoseno y el arcocoseno. ¿Qué es arcotangente, arcocotangente? Las definiciones más simples. ¡Pero no es necesario recordar ningún valor de la tabla!)

Las respuestas son, por supuesto, un desastre):

x1= arcosin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x2= π - arcosen0.3 + 2

¿No todo sale bien? Sucede. Lea la lección nuevamente. Solo pensativamente(existe una palabra tan anticuada...) Y sigue los enlaces. Los enlaces principales son sobre el círculo. Sin ella, la trigonometría es como cruzar la calle con los ojos vendados. A veces funciona.)

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Al resolver muchos problemas matemáticos, especialmente aquellos que ocurren antes del grado 10, el orden de las acciones realizadas que conducirán a la meta está claramente definido. Dichos problemas incluyen, por ejemplo, ecuaciones lineales y cuadráticas, desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a cuadráticas. El principio para resolver con éxito cada uno de los problemas mencionados es el siguiente: debe establecer qué tipo de problema está resolviendo, recordar la secuencia necesaria de acciones que conducirán al resultado deseado, es decir Responde y sigue estos pasos.

Es obvio que el éxito o el fracaso en la resolución de un problema en particular depende principalmente de qué tan correctamente se determina el tipo de ecuación que se resuelve, de qué tan correctamente se reproduce la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, en este caso es necesario tener la habilidad de realizar transformaciones y cálculos idénticos.

La situación es diferente con ecuaciones trigonométricas. No es nada difícil establecer que la ecuación es trigonométrica. Surgen dificultades a la hora de determinar la secuencia de acciones que conducirían a la respuesta correcta.

A veces es difícil determinar su tipo basándose en la apariencia de una ecuación. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la correcta entre varias docenas de fórmulas trigonométricas.

Para resolver una ecuación trigonométrica, debes intentar:

1. llevar todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
2. llevar la ecuación a “funciones idénticas”;
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.

Consideremos Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.

I. Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples.

Diagrama de solución

Paso 1. Expresar una función trigonométrica en términos de componentes conocidos.

Paso 2. Encuentre el argumento de la función usando las fórmulas:

porque x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

pecado x = a; x = (-1) n arcosen a + πn, n Є Z.

tanx = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Paso 3. Encuentra la variable desconocida.

Ejemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solución.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Respuesta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Reemplazo de variables

Diagrama de solución

Paso 1. Reducir la ecuación a forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.

Paso 2. Denota la función resultante por la variable t (si es necesario, introduce restricciones sobre t).

Paso 3. Escribe y resuelve la ecuación algebraica resultante.

Etapa 4. Haga un reemplazo inverso.

Paso 5. Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.

Ejemplo.

2cos 2 (x/2) – 5sen (x/2) – 5 = 0.

Solución.

1) 2(1 – sen 2 (x/2)) – 5sen (x/2) – 5 = 0;

2sen 2 (x/2) + 5sen (x/2) + 3 = 0.

2) Sea sen (x/2) = t, donde |t| ≤1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, no cumple la condición |t| ≤1.

4) pecado(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Método de reducción del orden de las ecuaciones

Diagrama de solución

Paso 1. Reemplace esta ecuación por una lineal, usando la fórmula para reducir el grado:

sen 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

porque 2 x = 1/2 · (1 + porque 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando los métodos I y II.

Ejemplo.

porque 2x + porque 2x = 5/4.

Solución.

1) porque 2x + 1/2 · (1 + porque 2x) = 5/4.

2) porque 2x + 1/2 + 1/2 · porque 2x = 5/4;

3/2 porque 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Respuesta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuaciones homogéneas

Diagrama de solución

Paso 1. Reduzca esta ecuación a la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)

o a la vista

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).

Paso 2. Divide ambos lados de la ecuación por

a) porque x ≠ 0;

b) porque 2 x ≠ 0;

y obtenga la ecuación para tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Paso 3. Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.

Ejemplo.

5sen 2 x + 3sen x porque x – 4 = 0.

Solución.

1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3sen x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Sea tg x = t, entonces

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, lo que significa

tg x = 1 o tg x = -4.

De la primera ecuación x = π/4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Respuesta: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método para transformar una ecuación usando fórmulas trigonométricas.

Diagrama de solución

Paso 1. Usando todas las fórmulas trigonométricas posibles, reduzca esta ecuación a una ecuación resuelta por los métodos I, II, III, IV.

Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando métodos conocidos.

Ejemplo.

sen x + sen 2x + sen 3x = 0.

Solución.

1) (sen x + pecado 3x) + pecado 2x = 0;

2sen 2x porque x + pecado 2x = 0.

2) pecado 2x (2cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

De la primera ecuación 2x = π/2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.

Tenemos x = π/4 + πn/2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Respuesta: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

La capacidad y habilidad para resolver ecuaciones trigonométricas es muy Es importante destacar que su desarrollo requiere un importante esfuerzo, tanto por parte del alumno como por parte del docente.

Muchos problemas de estereometría, física, etc. están asociados con la solución de ecuaciones trigonométricas. El proceso de resolución de dichos problemas incorpora muchos de los conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.

Las ecuaciones trigonométricas ocupan un lugar importante en el proceso de aprendizaje de las matemáticas y del desarrollo personal en general.

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Resolver ecuaciones trigonométricas simples.

Resolver ecuaciones trigonométricas de cualquier nivel de complejidad, en última instancia, se reduce a resolver las ecuaciones trigonométricas más simples. Y en esto el círculo trigonométrico vuelve a ser el mejor asistente.

Recordemos las definiciones de coseno y seno.

El coseno de un ángulo es la abscisa (es decir, la coordenada a lo largo del eje) de un punto en el círculo unitario correspondiente a una rotación a través de un ángulo dado.

El seno de un ángulo es la ordenada (es decir, la coordenada a lo largo del eje) de un punto en el círculo unitario correspondiente a una rotación a través de un ángulo dado.

La dirección positiva del movimiento en el círculo trigonométrico es en sentido antihorario. Una rotación de 0 grados (o 0 radianes) corresponde a un punto con coordenadas (1;0)

Usamos estas definiciones para resolver ecuaciones trigonométricas simples.

1. Resuelve la ecuación

Esta ecuación se satisface con todos los valores del ángulo de rotación que corresponden a puntos del círculo cuya ordenada es igual a .

Marquemos un punto con ordenada en el eje de ordenadas:

Dibuja una línea horizontal paralela al eje x hasta que se cruce con el círculo. Obtenemos dos puntos que se encuentran en el círculo y que tienen una ordenada. Estos puntos corresponden a ángulos de rotación en y radianes:

Si, saliendo del punto correspondiente al ángulo de rotación por radianes, damos la vuelta a un círculo completo, llegaremos a un punto correspondiente al ángulo de rotación por radianes y que tiene la misma ordenada. Es decir, este ángulo de rotación también satisface nuestra ecuación. Podemos hacer tantas revoluciones “inactivas” como queramos, volviendo al mismo punto, y todos estos valores de ángulos satisfarán nuestra ecuación. El número de revoluciones "inactivas" se indicará con la letra (o). Dado que podemos hacer estas revoluciones tanto en dirección positiva como negativa, (o) podemos tomar cualquier valor entero.

Es decir, la primera serie de soluciones de la ecuación original tiene la forma:

, , - conjunto de números enteros (1)

De manera similar, la segunda serie de soluciones tiene la forma:

, Dónde , . (2)

Como habrás adivinado, esta serie de soluciones se basa en el punto del círculo correspondiente al ángulo de rotación de .

Estas dos series de soluciones se pueden combinar en una sola entrada:

Si tomamos (es decir, incluso) en esta entrada, obtendremos la primera serie de soluciones.

Si tomamos (es decir, impar) en esta entrada, obtenemos la segunda serie de soluciones.

2. Ahora resolvamos la ecuación.

Como esta es la abscisa de un punto del círculo unitario obtenido al rotar un ángulo, marcamos el punto con la abscisa en el eje:

Dibuja una línea vertical paralela al eje hasta que se cruce con el círculo. Obtendremos dos puntos que se encuentran en el círculo y tienen una abscisa. Estos puntos corresponden a ángulos de rotación en y radianes. Recordemos que al movernos en el sentido de las agujas del reloj obtenemos un ángulo de rotación negativo:

Anotemos dos series de soluciones:

(Llegamos al punto deseado yendo desde el círculo completo principal, es decir.

Combinemos estas dos series en una sola entrada:

3. Resuelve la ecuación

La recta tangente pasa por el punto de coordenadas (1,0) del círculo unitario paralelo al eje OY

Marquemos un punto con una ordenada igual a 1 (buscamos la tangente de qué ángulos es igual a 1):

Conectemos este punto al origen de coordenadas con una línea recta y marquemos los puntos de intersección de la línea con el círculo unitario. Los puntos de intersección de la recta y el círculo corresponden a los ángulos de rotación en y :

Dado que los puntos correspondientes a los ángulos de rotación que satisfacen nuestra ecuación se encuentran a una distancia de radianes entre sí, podemos escribir la solución de esta manera:

4. Resuelve la ecuación

La recta de cotangentes pasa por el punto cuyas coordenadas del círculo unitario son paralelas al eje.

Marquemos un punto con abscisa -1 en la recta de cotangentes:

Conectemos este punto con el origen de la línea recta y continúemos hasta que se cruce con el círculo. Esta línea recta cruzará el círculo en puntos correspondientes a los ángulos de rotación en y radianes:

Como estos puntos están separados entre sí por una distancia igual a , podemos escribir la solución general de esta ecuación de la siguiente manera:

En los ejemplos dados que ilustran la solución de las ecuaciones trigonométricas más simples, se utilizaron valores tabulares de funciones trigonométricas.

Sin embargo, si el lado derecho de la ecuación contiene un valor no tabular, entonces sustituimos el valor en la solución general de la ecuación: