Resolver ecuaciones trigonométricas simples.
Resolver ecuaciones trigonométricas de cualquier nivel de complejidad se reduce en última instancia a resolver las ecuaciones trigonométricas más simples. y en esto mejor ayudante nuevamente resulta ser un círculo trigonométrico.
Recordemos las definiciones de coseno y seno.
El coseno de un ángulo es la abscisa (es decir, la coordenada a lo largo del eje) de un punto en círculo unitario, correspondiente a la rotación en un ángulo dado.
El seno de un ángulo es la ordenada (es decir, la coordenada a lo largo del eje) de un punto en el círculo unitario correspondiente a una rotación a través de un ángulo dado.
Dirección positiva del movimiento a lo largo círculo trigonométrico Se considera el movimiento en sentido antihorario. Una rotación de 0 grados (o 0 radianes) corresponde a un punto con coordenadas (1;0)
Usamos estas definiciones para resolver ecuaciones trigonométricas simples.
1. Resuelve la ecuación
Esta ecuación se satisface con todos los valores del ángulo de rotación que corresponden a puntos del círculo cuya ordenada es igual a .
Marquemos un punto con ordenada en el eje de ordenadas:
Dibuja una línea horizontal paralela al eje x hasta que se cruce con el círculo. Obtenemos dos puntos que se encuentran en el círculo y que tienen una ordenada. Estos puntos corresponden a ángulos de rotación en y radianes:
Si, saliendo del punto correspondiente al ángulo de rotación por radianes, damos la vuelta a un círculo completo, llegaremos a un punto correspondiente al ángulo de rotación por radianes y que tiene la misma ordenada. Es decir, este ángulo de rotación también satisface nuestra ecuación. Podemos hacer tantas revoluciones “inactivas” como queramos, volviendo al mismo punto, y todos estos valores de ángulos satisfarán nuestra ecuación. El número de revoluciones "inactivas" se indicará con la letra (o). Dado que podemos hacer estas revoluciones tanto en dirección positiva como negativa, (o) podemos tomar cualquier valor entero.
Es decir, la primera serie de soluciones de la ecuación original tiene la forma:
, , - conjunto de números enteros (1)
De manera similar, la segunda serie de soluciones tiene la forma:
, Dónde , . (2)
Como habrás adivinado, esta serie de soluciones se basa en el punto del círculo correspondiente al ángulo de rotación de .
Estas dos series de soluciones se pueden combinar en una sola entrada:
Si tomamos (es decir, incluso) en esta entrada, obtendremos la primera serie de soluciones.
Si tomamos (es decir, impar) en esta entrada, obtenemos la segunda serie de soluciones.
2. Ahora resolvamos la ecuación.
Como esta es la abscisa de un punto del círculo unitario obtenido al rotar un ángulo, marcamos el punto con la abscisa en el eje:
Dibuja una línea vertical paralela al eje hasta que se cruce con el círculo. Obtendremos dos puntos que se encuentran en el círculo y tienen una abscisa. Estos puntos corresponden a ángulos de rotación en y radianes. Recordemos que al movernos en el sentido de las agujas del reloj obtenemos un ángulo de rotación negativo:
Anotemos dos series de soluciones:
,
,
(Llegamos al punto deseado yendo desde el círculo completo principal, es decir.
Combinemos estas dos series en una sola entrada:
3. Resuelve la ecuación
La recta tangente pasa por el punto de coordenadas (1,0) del círculo unitario paralelo al eje OY
Marquemos un punto con una ordenada igual a 1 (buscamos la tangente de qué ángulos es igual a 1):
Conectemos este punto al origen de coordenadas con una línea recta y marquemos los puntos de intersección de la línea con el círculo unitario. Los puntos de intersección de la línea recta y el círculo corresponden a los ángulos de rotación en y:
Dado que los puntos correspondientes a los ángulos de rotación que satisfacen nuestra ecuación se encuentran a una distancia de radianes entre sí, podemos escribir la solución de esta manera:
4. Resuelve la ecuación
La recta de cotangentes pasa por el punto cuyas coordenadas del círculo unitario son paralelas al eje.
Marquemos un punto con abscisa -1 en la recta cotangente:
Conectemos este punto con el origen de la línea recta y continúemos hasta que se cruce con el círculo. Esta línea recta cruzará el círculo en puntos correspondientes a los ángulos de rotación en y radianes:
Dado que estos puntos están separados entre sí por una distancia igual a , entonces solución general Podemos escribir esta ecuación así:
En los ejemplos dados que ilustran la solución de las ecuaciones trigonométricas más simples, se utilizaron valores tabulares de funciones trigonométricas.
Sin embargo, si el lado derecho de la ecuación contiene un valor no tabular, entonces sustituimos el valor en la solución general de la ecuación:
SOLUCIONES ESPECIALES:
Marquemos los puntos de la circunferencia cuya ordenada es 0:
Marquemos un solo punto en la circunferencia cuya ordenada es 1:
Marquemos un solo punto en el círculo cuya ordenada es igual a -1:
Como se acostumbra indicar valores más cercanos a cero, escribimos la solución de la siguiente manera:
Marquemos los puntos de la circunferencia cuya abscisa es igual a 0:
5.
Marquemos un solo punto en la circunferencia cuya abscisa sea igual a 1:
Marquemos un único punto en la circunferencia cuya abscisa sea igual a -1:
Y ejemplos un poco más complejos:
1.
El seno es igual a uno si el argumento es igual a
El argumento de nuestro seno es igual, entonces obtenemos:
Dividamos ambos lados de la igualdad entre 3:
Respuesta:
2.
El coseno es cero si el argumento del coseno es
El argumento de nuestro coseno es igual a , entonces obtenemos:
Expresemos, para ello primero nos desplazamos hacia la derecha con el signo contrario:
Simplifiquemos el lado derecho:
Divide ambos lados por -2:
Tenga en cuenta que el signo delante del término no cambia, ya que k puede tomar cualquier valor entero.
Respuesta:
Y finalmente, mira el video tutorial “Seleccionar raíces en una ecuación trigonométrica usando círculo trigonométrico"
Con esto concluye nuestra conversación sobre la resolución de ecuaciones trigonométricas simples. La próxima vez hablaremos de cómo decidir.
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Las ecuaciones trigonométricas más simples se resuelven, por regla general, mediante fórmulas. Permítanme recordarles que las ecuaciones trigonométricas más simples son:
sen x = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x es el ángulo a encontrar,
a es cualquier número.
Y aquí tienes las fórmulas con las que podrás escribir inmediatamente las soluciones a estas ecuaciones más simples.
Para seno:
Para coseno:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Por tangente:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Para cotangente:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
En realidad, esta es la parte teórica de la resolución de las ecuaciones trigonométricas más simples. Además, ¡todo!) Nada de nada. Sin embargo, la cantidad de errores en este tema simplemente está fuera de serie. Especialmente si el ejemplo se desvía ligeramente del modelo. ¿Por qué?
Sí, porque mucha gente escribe estas cartas, ¡sin entender su significado en absoluto! Escribe con precaución, para que no pase algo...) Esto hay que solucionarlo. ¿¡Trigonometría para personas, o personas para trigonometría, después de todo!?)
¿Vamos a resolverlo?
Un ángulo será igual a arcocos a, segundo: -arcos a.
Y siempre funcionará de esta manera. Para cualquier A.
Si no me cree, coloque el mouse sobre la imagen o tóquela en su tableta). Cambié el número A a algo negativo. De todos modos, tenemos una esquina. arcocos a, segundo: -arcos a.
Por tanto, la respuesta siempre se puede escribir como dos series de raíces:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Combinemos estas dos series en una:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Y eso es todo. Hemos obtenido una fórmula general para resolver la ecuación trigonométrica más simple con coseno.
Si entiendes que esto no es algún tipo de sabiduría supercientífica, sino solo una versión abreviada de dos series de respuestas, También podrás manejar las tareas “C”. Con desigualdades, con selección de raíces de un intervalo dado... Allí la respuesta con más/menos no funciona. Pero si trata la respuesta de manera profesional y la divide en dos respuestas separadas, todo se resolverá). En realidad, es por eso que lo estamos investigando. Qué, cómo y dónde.
En la ecuación trigonométrica más simple.
sen x = a
También obtenemos dos series de raíces. Siempre. Y estas dos series también se pueden grabar. en una línea. Sólo esta línea será más complicada:
x = (-1) n arcosen a + π n, n ∈ Z
Pero la esencia sigue siendo la misma. Los matemáticos simplemente diseñaron una fórmula para hacer una en lugar de dos entradas para series de raíces. ¡Eso es todo!
¿Revisemos a los matemáticos? Y nunca se sabe...)
En la lección anterior, se discutió en detalle la solución (sin fórmulas) de una ecuación trigonométrica con seno:
La respuesta resultó en dos series de raíces:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Si resolvemos la misma ecuación usando la fórmula, obtenemos la respuesta:
x = (-1) n arcosen 0,5 + π n, n ∈ Z
En realidad, esta es una respuesta inacabada.) El estudiante debe saber que arcosen 0,5 = π /6. La respuesta completa sería:
x = (-1)n π/6+ π norte, norte ∈ Z
aqui surge pregunta interesante. Responder vía x1; x2 (¡esta es la respuesta correcta!) y a través de la soledad incógnita (¡y esta es la respuesta correcta!): ¿son lo mismo o no? Lo descubriremos ahora.)
Sustituimos la respuesta por x1 valores norte =0; 1; 2; etc., contamos, obtenemos una serie de raíces:
x1 = π/6; 13π/6; 25π/6 etcétera.
Con la misma sustitución en respuesta con x2 , obtenemos:
x2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 etcétera.
Ahora sustituyamos los valores. norte (0; 1; 2; 3; 4...) en la fórmula general para single incógnita . Es decir, elevamos menos uno a la potencia cero, luego a la primera, segunda, etc. Bueno, por supuesto, sustituimos 0 en el segundo término; 1; 2 3; 4, etc Y contamos. Obtenemos la serie:
x= π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 etcétera.
Eso es todo lo que puedes ver.) La fórmula general nos da exactamente los mismos resultados al igual que las dos respuestas por separado. Todo a la vez, en orden. Los matemáticos no se dejaron engañar).
También se pueden consultar fórmulas para resolver ecuaciones trigonométricas con tangente y cotangente. Pero no lo haremos.) Ya son simples.
Escribí toda esta sustitución y comprobé específicamente. Es importante entender una cosa aquí. cosa simple: existen fórmulas para resolver ecuaciones trigonométricas elementales, Sólo un breve resumen de las respuestas. Para ser breve, tuvimos que insertar más/menos en la solución del coseno y (-1) n en la solución del seno.
Estas inserciones no interfieren de ninguna manera en las tareas en las que solo es necesario escribir la respuesta a una ecuación elemental. Pero si necesita resolver una desigualdad, o luego necesita hacer algo con la respuesta: seleccionar raíces en un intervalo, verificar ODZ, etc., estas inserciones pueden perturbar fácilmente a una persona.
Entonces, ¿qué debo hacer? Sí, escribe la respuesta en dos series o resuelve la ecuación/desigualdad usando el círculo trigonométrico. Entonces estas inserciones desaparecen y la vida se vuelve más fácil).
Podemos resumir.
Para resolver las ecuaciones trigonométricas más simples, existen fórmulas de respuesta ya preparadas. Cuatro piezas. Son buenos para escribir instantáneamente la solución de una ecuación. Por ejemplo, necesitas resolver las ecuaciones:
sen x = 0,3
Fácilmente: x = (-1) n arcosen 0.3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Ningún problema: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Fácilmente: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Queda uno: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
porque x = 1,8
Si usted, brillando con conocimiento, escribe instantáneamente la respuesta:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
entonces ya estás brillando, esto... aquello... de un charco.) Respuesta correcta: no hay soluciones. ¿No entiendes por qué? Lee qué es el arco coseno. Además, si en el lado derecho de la ecuación original hay valores tabulares de seno, coseno, tangente, cotangente, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 etc. - La respuesta a través de los arcos quedará inconclusa. Los arcos deben convertirse a radianes.
Y si te encuentras con desigualdad, como
entonces la respuesta es:
x πn, n ∈ Z
hay raras tonterías, sí...) Aquí debes resolver usando el círculo trigonométrico. Qué haremos en el tema correspondiente.
Para aquellos que leen heroicamente estas líneas. Simplemente no puedo evitar apreciar sus titánicos esfuerzos. Bonificación para ti.)
Prima:
Al escribir fórmulas en una situación de combate alarmante, incluso los nerds experimentados a menudo se confunden acerca de dónde n, y donde 2π norte. Aquí tienes un truco sencillo. En todos fórmulas que valen la pena πn. Excepto la única fórmula con arco coseno. esta parado ahi 2πn. Dos boca. Palabra clave - dos. En esta misma fórmula hay dos firmar al principio. Más y menos. Y allí y allí dos.
Entonces si escribiste dos signo antes del arco coseno, es más fácil recordar lo que sucederá al final dos boca. Y también sucede al revés. La persona perderá la señal. ± , llega al final, escribe correctamente dos Pien, y volverá en sí. hay algo por delante dos¡firmar! ¡La persona volverá al principio y corregirá el error! Como esto.)
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Al resolver muchos problemas matemáticos , especialmente aquellos que ocurren antes del grado 10, el orden de las acciones realizadas que conducirán a la meta está claramente definido. Tales problemas incluyen, por ejemplo, lineal y ecuaciones cuadráticas, lineal y desigualdades cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a cuadráticas. El principio para resolver con éxito cada uno de los problemas mencionados es el siguiente: debe establecer qué tipo de problema está resolviendo, recordar la secuencia necesaria de acciones que conducirán al resultado deseado, es decir Responde y sigue estos pasos.
Es obvio que el éxito o el fracaso en la resolución de un problema en particular depende principalmente de qué tan correctamente se determina el tipo de ecuación que se resuelve, de qué tan correctamente se reproduce la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, en este caso es necesario tener la habilidad de realizar transformaciones y cálculos idénticos.
La situación es diferente con ecuaciones trigonométricas. No es nada difícil establecer que la ecuación es trigonométrica. Surgen dificultades a la hora de determinar la secuencia de acciones que conducirían a la respuesta correcta.
Por apariencia ecuación, a veces es difícil determinar su tipo. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la correcta entre varias docenas de fórmulas trigonométricas.
Para resolver una ecuación trigonométrica, debes intentar:
1. llevar todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
2. llevar la ecuación a “funciones idénticas”;
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.
consideremos Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.
I. Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples.
Diagrama de solución
Paso 1. Expresar una función trigonométrica en términos de componentes conocidos.
Paso 2. Encuentre el argumento de la función usando las fórmulas:
porque x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
pecado x = a; x = (-1) n arcosen a + πn, n Є Z.
tanx = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Paso 3. Encuentra la variable desconocida.
Ejemplo.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Solución.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Respuesta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Reemplazo de variables
Diagrama de solución
Paso 1. Reducir la ecuación a forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.
Paso 2. Denota la función resultante por la variable t (si es necesario, introduce restricciones sobre t).
Paso 3. Escribe y resuelve la ecuación algebraica resultante.
Paso 4. Haga un reemplazo inverso.
Paso 5. Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.
Ejemplo.
2cos 2 (x/2) – 5sen (x/2) – 5 = 0.
Solución.
1) 2(1 – sen 2 (x/2)) – 5sen (x/2) – 5 = 0;
2sen 2 (x/2) + 5sen (x/2) + 3 = 0.
2) Sea sen (x/2) = t, donde |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 o e = -3/2, no cumple la condición |t| ≤ 1.
4) pecado(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Método de reducción del orden de las ecuaciones
Diagrama de solución
Paso 1. Reemplazar ecuación dada lineal, utilizando las fórmulas para reducir el grado:
sen 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
porque 2 x = 1/2 · (1 + porque 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando los métodos I y II.
Ejemplo.
porque 2x + porque 2x = 5/4.
Solución.
1) porque 2x + 1/2 · (1 + porque 2x) = 5/4.
2) porque 2x + 1/2 + 1/2 · porque 2x = 5/4;
3/2 porque 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Respuesta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ecuaciones homogéneas
Diagrama de solución
Paso 1. Reduzca esta ecuación a la forma
a) a sin x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)
o a la vista
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).
Paso 2. Divide ambos lados de la ecuación por
a) porque x ≠ 0;
b) porque 2 x ≠ 0;
y obtenga la ecuación para tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Paso 3. Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.
Ejemplo.
5sen 2 x + 3sen x porque x – 4 = 0.
Solución.
1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;
5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;
sen 2 x + 3sen x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Sea tg x = t, entonces
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 o t = -4, lo que significa
tg x = 1 o tg x = -4.
De la primera ecuación x = π/4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Respuesta: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Método de transformación de una ecuación mediante fórmulas trigonométricas.
Diagrama de solución
Paso 1. Usando todo tipo de fórmulas trigonométricas, reduzca esta ecuación a una ecuación resuelta por los métodos I, II, III, IV.
Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando métodos conocidos.
Ejemplo.
sen x + sen 2x + sen 3x = 0.
Solución.
1) (sen x + pecado 3x) + pecado 2x = 0;
2sen 2x porque x + pecado 2x = 0.
2) pecado 2x (2cos x + 1) = 0;
sen 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;
De la primera ecuación 2x = π/2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.
Tenemos x = π/4 + πn/2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Como resultado, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Respuesta: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
La capacidad y habilidad para resolver ecuaciones trigonométricas es muy 
Es importante destacar que su desarrollo requiere un importante esfuerzo, tanto por parte del alumno como por parte del docente.
Muchos problemas de estereometría, física, etc. están asociados con la solución de ecuaciones trigonométricas. El proceso de resolución de dichos problemas incorpora muchos de los conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.
Las ecuaciones trigonométricas ocupan un lugar importante en el proceso de aprendizaje de las matemáticas y del desarrollo personal en general.
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Información de referencia sobre las funciones trigonométricas seno (sen x) y coseno (cos x). Definición geométrica, propiedades, gráficas, fórmulas. Tabla de senos y cosenos, derivadas, integrales, expansiones de series, secante, cosecante. Expresiones a través de variables complejas. Conexión con funciones hiperbólicas.
Definición geométrica de seno y coseno.
|BD|- longitud del arco de una circunferencia con centro en un punto A.
α
- ángulo expresado en radianes.
Definición
Seno (sen α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto triangulo rectángulo, igual a la proporción longitud del lado opuesto |BC| a la longitud de la hipotenusa |AC|.
Coseno (cos α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud de la hipotenusa |AC|.
Notaciones aceptadas
;
;
.
;
;
.
Gráfica de la función seno, y = sen x
Gráfica de la función coseno, y = cos x
Propiedades del seno y el coseno
Periodicidad
Funciones y = pecado x y y = porque x periódico con período 2π.
Paridad
La función seno es impar. La función coseno es par.
Dominio de definición y valores, extremos, aumento, disminución.
Las funciones seno y coseno son continuas en su dominio de definición, es decir, para todo x (ver prueba de continuidad). Sus principales propiedades se presentan en la tabla (n - número entero).
| y= pecado x | y= porque x | |
| Alcance y continuidad | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rango de valores | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Creciente | ||
| Descendente | ||
| Máxima, y = 1 | ||
| Mínimos, y = - 1 | ||
| Ceros, y = 0 | ||
| Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Fórmulas básicas
Suma de cuadrados de seno y coseno
Fórmulas para seno y coseno a partir de suma y diferencia.
;
;
Fórmulas para el producto de senos y cosenos.
Fórmulas de suma y diferencia.
Expresando seno a través del coseno
;
;
;
.
Expresando coseno a través del seno
;
;
;
.
Expresión por tangente
; .
Cuando tenemos:
;
.
En :
;
.
Tabla de senos y cosenos, tangentes y cotangentes
Esta tabla muestra los valores de senos y cosenos para ciertos valores del argumento. 
Expresiones a través de variables complejas.
;
la fórmula de euler
{ -∞ < x < +∞ }
Secante, cosecante
Funciones inversas
Funciones inversas al seno y al coseno son arcoseno y arcocoseno, respectivamente.
Arcoseno, arcosen
Arccoseno, arccos
Literatura usada:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.