Representantes de diversas civilizaciones: Antiguo Egipto, antigua Babilonia, Grecia antigua, India antigua, China antigua, Oriente medieval, Europa dominó los métodos de resolución. ecuaciones cuadráticas.
Por primera vez, los matemáticos del Antiguo Egipto pudieron resolver una ecuación cuadrática. Uno de los papiros matemáticos contiene el siguiente problema:
"Encuentra los lados de un campo con forma de rectángulo si su área es 12 y su longitud es igual a su ancho". "La longitud del campo es 4", afirma el papiro.
Pasaron milenios y los números negativos entraron en el álgebra. Resolviendo la ecuación x²= 16, obtenemos dos números: 4, –4.
Por supuesto, en el problema egipcio tomaríamos X = 4, ya que la longitud del campo sólo puede ser una cantidad positiva.
Las fuentes que nos han llegado indican que los científicos antiguos tenían algunas técnicas generales para resolver problemas con cantidades desconocidas. La regla para resolver ecuaciones cuadráticas establecida en los textos babilónicos es esencialmente la misma que la moderna, pero no se sabe cómo los babilonios “llegaron tan lejos”. Pero en casi todos los papiros y textos cuneiformes encontrados sólo se dan problemas con soluciones. Los autores sólo ocasionalmente proporcionaron sus cálculos numéricos con comentarios breves como: “¡Mira!”, “¡Haz esto!”, “¡Encontraste el correcto!”
El matemático griego Diofanto compuso y resolvió ecuaciones cuadráticas. Su Aritmética no contiene una presentación sistemática del álgebra, pero sí una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la construcción de ecuaciones de varios grados.
Los problemas para componer ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aria-bhatiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta.
Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió regla general resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax² + bx = c.
En la antigua India, eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competiciones: “Así como el sol eclipsa las estrellas con su brillo, así hombre instruido eclipsar la gloria de otro en las asambleas populares proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.
Éste es uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskars:
Una bandada de monos juguetones
Después de haber comido hasta saciarme, me divertí.
Los ocho jugaban en el claro de la plaza.
Y doce sobre las lianas... empezaron a saltar, colgando...
¿Cuántos monos había?
Dime, ¿en este paquete?
La solución de Bhaskara muestra que sabía que las raíces de ecuaciones cuadráticas tienen dos valores.
Los textos matemáticos chinos más antiguos que nos han llegado se remontan a finales del siglo I. ANTES DE CRISTO En el siglo II. ANTES DE CRISTO Se escribió Matemáticas en nueve libros. Más tarde, en el siglo VII, se incluyó en la colección "Diez tratados clásicos", que fue estudiada durante muchos siglos. El tratado "Matemáticas en nueve libros" explica cómo extraer raíz cuadrada usando la fórmula para el cuadrado de la suma de dos números.
El método se llamaba "tian-yuan" (literalmente "elemento celestial"); así es como los chinos designaban una cantidad desconocida.
El primer manual para la resolución de problemas que se hizo ampliamente conocido fue obra del científico de Bagdad del siglo IX. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. La palabra "al-jabr" con el tiempo se convirtió en la conocida palabra "álgebra", y el trabajo de al-Khorezmi se convirtió en el punto de partida en el desarrollo de la ciencia de la resolución de ecuaciones. El tratado algebraico de Al-Khwarizmi ofrece una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor cuenta seis tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:
-cuadrados de raíces iguales, es decir, ah ² = bх;
-cuadrados igual número, es decir, ah ² = s;
-las raíces son iguales al número, es decir, ax = c;
-los cuadrados y los números son iguales a las raíces, es decir, ah ²+ с = bх;
-los cuadrados y las raíces son iguales al número, es decir, ah ² + bх = с;
-las raices y los numeros son iguales a los cuadrados, es decir, bx + c = ax ²;
El tratado de Al-Khwarizmi es el primer libro que nos ha llegado y que establece sistemáticamente la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y proporciona fórmulas para su solución.
Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas inspiradas en al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el Libro del Ábaco, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. El autor desarrolló de forma independiente algunos nuevos ejemplos algebraicos resolviendo problemas y fue el primero en Europa en introducir números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del "Libro del Ábaco" se incluyeron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y parte del siglo XVIII.
Regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola ecuación forma canónica incógnita ² + bх = с, para todas las combinaciones posibles de signos de los coeficientes by с fue formulado en Europa recién en 1544 por M. Stiefel.
Derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en vista general Viet lo tiene, pero también reconoce sólo raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XVI. Además de las raíces positivas y negativas, se tienen en cuenta. Sólo en el siglo XVII, gracias a los trabajos de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquirió su forma moderna.
Ministerio de Educación de la Federación de Rusia
institución educativa municipal
"Escuela secundaria nº 22"
Ecuaciones cuadráticas y de orden superior.
Terminado:
Alumnos de 8º grado "B"
Kuznetsov Evgeniy y Rudi Alexey
Supervisor:
Zenina Alevtina Dmítrievna
profesor de matematicas
Introducción
1.1 Ecuaciones en la antigua Babilonia
1.2 ecuaciones árabes
1.3 Ecuaciones en la India
Capítulo 2. Teoría de ecuaciones cuadráticas y ecuaciones de orden superior.
2.1 Conceptos básicos
2.2 Fórmulas para coeficiente par en x
2.3 teorema de Vieta
2.4 Ecuaciones cuadráticas de naturaleza particular
2.5 Teorema de Vieta para polinomios (ecuaciones) grados superiores
2.6 Ecuaciones reducibles a cuadráticas (bicuadráticas)
2.7 Estudio de ecuaciones bicuadráticas
2.8 fórmulas de Cordano
2.9 Ecuaciones simétricas de tercer grado.
2.10 Ecuaciones recíprocas
2.11 Circuito de Horner
Conclusión
Lista de literatura usada
Apéndice 1
Apéndice 2
Apéndice 3
Introducción
Ecuaciones en curso escolar las álgebras ocupan lugar líder. Se dedica más tiempo a su estudio que a cualquier otro tema. De hecho, las ecuaciones no sólo tienen un significado teórico importante, sino que también sirven para propósitos puramente prácticos. La abrumadora cantidad de problemas sobre formas espaciales y relaciones cuantitativas. mundo real se reduce a una decisión varios tipos ecuaciones. Al dominar las formas de resolverlos, encontramos respuestas a diversas preguntas de la ciencia y la tecnología (transporte, agricultura, industria, comunicaciones, etc.).
En este resumen me gustaría mostrar fórmulas y métodos para resolver diferentes ecuaciones. Para ello se dan ecuaciones que no se estudian en plan de estudios escolar. Se trata principalmente de ecuaciones de naturaleza particular y ecuaciones de grados superiores. Para ampliar este tema, se dan pruebas de estas fórmulas.
Objetivos de nuestro ensayo:
Mejorar las habilidades para resolver ecuaciones.
Desarrollar nuevas formas de resolver ecuaciones.
Aprenda algunas formas y fórmulas nuevas para resolver estas ecuaciones.
El objeto de estudio es el álgebra elemental. El objeto de estudio son las ecuaciones. La elección de este tema se basó en el hecho de que las ecuaciones se incluyen tanto en el plan de estudios de primaria como en cada grado posterior. escuelas secundarias, liceos, colegios. Muchos problemas geométricos, problemas de física, química y biología se resuelven mediante ecuaciones. Las ecuaciones se resolvieron hace veinticinco siglos. Todavía se están creando hoy en día, tanto para su uso en el proceso educativo como para exámenes competitivos en universidades y olimpíadas del más alto nivel.
Capítulo 1. Historia de las ecuaciones cuadráticas y de orden superior.
1.1 Ecuaciones en la antigua Babilonia
El álgebra surgió en relación con la resolución de diversos problemas utilizando ecuaciones. Normalmente, los problemas requieren encontrar una o más incógnitas, y al mismo tiempo conocer los resultados de algunas acciones realizadas sobre las cantidades deseadas y dadas. Estos problemas se reducen a resolver una o un sistema de varias ecuaciones, a encontrar las necesarias mediante operaciones algebraicas con cantidades determinadas. El álgebra estudia las propiedades generales de las operaciones sobre cantidades.
Algunas técnicas algebraicas para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas se conocían hace 4000 años en la antigua Babilonia. La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer, sino también de segundo grado, incluso en la antigüedad, surgió de la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas de terrenos y obras terrestres de carácter militar, así como con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Como se mencionó anteriormente, los babilonios pudieron resolver ecuaciones cuadráticas alrededor del año 2000 a.C. Utilizando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes aparecen ecuaciones cuadráticas tanto incompletas como completas.
La regla para resolver estas ecuaciones, expuesta en los textos babilónicos, coincide esencialmente con las modernas, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora sólo proporcionan problemas con soluciones presentadas en forma de recetas, sin indicación de cómo fueron encontrados.
A pesar de alto nivel Durante el desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y de métodos generales para resolver una ecuación cuadrática.
1.2 ecuaciones árabes
Los árabes desarrollaron algunos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y de orden superior. Así, el famoso matemático árabe Al-Khorezmi en su libro “Al-Jabar” describió muchas formas de resolver diversas ecuaciones. Su peculiaridad fue que Al-Khorezmi utilizó radicales complejos encontrar raíces (soluciones) de ecuaciones. La necesidad de resolver tales ecuaciones surgió en cuestiones sobre la división de la herencia.
1.3 Ecuaciones en la India
En la India también se resolvieron ecuaciones cuadráticas. Los problemas sobre ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), estableció una regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma cónica:
aх² + bx= c, donde a > 0
En esta ecuación, los coeficientes, excepto a, pueden ser negativos. El gobierno de Brahmagupta es esencialmente el mismo que el nuestro.
En la antigua India, eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competencias: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un hombre erudito eclipsará la gloria de otro en asambleas públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.
Nuestros ancestros lejanos resolvieron varias ecuaciones, tanto cuadráticas como de grados superiores. Estas ecuaciones fueron resueltas en países muy diferentes y lejanos. La necesidad de ecuaciones era grande. Las ecuaciones se utilizaron en la construcción, en asuntos militares y en situaciones cotidianas.
Capítulo 2. Ecuaciones cuadráticas y ecuaciones de orden superior.
2.1 Conceptos básicos
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma
donde los coeficientes a, b, c son números reales cualesquiera y a ≠ 0.
Una ecuación cuadrática se dice reducida si su coeficiente principal es 1.
Ejemplo :
x2 + 2x + 6 = 0.
Una ecuación cuadrática se dice no reducida si el coeficiente principal es diferente de 1.
Ejemplo :
2x 2 + 8x + 3 = 0.
Una ecuación cuadrática completa es una ecuación cuadrática en la que los tres términos están presentes; en otras palabras, es una ecuación en la que los coeficientes b y c son distintos de cero.
Ejemplo :
3x 2 + 4x + 2 = 0.
Una ecuación cuadrática incompleta es una ecuación cuadrática en la que al menos un coeficiente b, c es igual a cero.
Por tanto, existen tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:
1) ax² = 0 (tiene dos raíces coincidentes x = 0).
2) ax² + bx = 0 (tiene dos raíces x 1 = 0 y x 2 = -)
Ejemplo :
x1 = 0, x2 = -5.
Respuesta: x 1 = 0, x 2 = -5.
Si -<0 - уравнение не имеет корней.
Ejemplo :
Respuesta: La ecuación no tiene raíces.
Si –> 0, entonces x 1,2 = ±
Ejemplo :
Respuesta: x 1,2 =±
Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando el discriminante (b² - 4ac). Por lo general, la expresión b² - 4ac se denota con la letra D y se denomina discriminante de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 (o discriminante del término cuadrático triple ax² + bx + c)
Ejemplo :
x2 +14x – 23 = 0
D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256
x2 = 
Respuesta: x 1 = 1, x 2 = - 15.
Dependiendo del discriminante, la ecuación puede tener solución o no.
1) Si D< 0, то не имеет решения.
2) Si D = 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones coincidentes x 1,2 =
3) Si D > 0, entonces tiene dos soluciones encontradas según la fórmula:
x 1,2 = 
2.2 Fórmulas para coeficiente par en x
Estamos acostumbrados al hecho de que las raíces de una ecuación cuadrática
ax² + bx + c = 0 se encuentran mediante la fórmula
x 1,2 =
Pero los matemáticos nunca dejarán pasar la oportunidad de facilitar sus cálculos. Descubrieron que esta fórmula se puede simplificar en el caso en que el coeficiente b sea b = 2k, en particular si b es un número par.
De hecho, sea el coeficiente b de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 b = 2k. Sustituyendo el número 2k en lugar de b en nuestra fórmula, obtenemos:
Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática ax² + 2kx + c = 0 se pueden calcular usando la fórmula:
x 1,2 = 
Ejemplo :
5x 2 - 2x + 1 = 0
La ventaja de esta fórmula es que no se eleva al cuadrado el número b, sino su mitad, no se resta 4ac de este cuadrado, sino simplemente ac, y, finalmente, que el denominador no contiene 2a, sino simplemente a; .
Si se reduce la ecuación cuadrática, entonces nuestra fórmula se verá así:
Ejemplo :
x2 – 4x + 3 = 0
Respuesta: x1 = 3, x2 = 1.
2.3 teorema de Vieta
El matemático francés Francois Viète descubrió una propiedad muy interesante de las raíces de una ecuación cuadrática. Esta propiedad se llamó teorema de Vieta:
Entonces los números x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación:
ax² + bx + c = 0
es necesario y suficiente para cumplir la igualdad
x 1 + x 2 = -b/a y x 1 x 2 = c/a
El teorema de Vieta nos permite juzgar los signos y el valor absoluto de una ecuación cuadrática
x² + bx + c = 0
1. Si b>0, c>0 entonces ambas raíces son negativas.
2. Si b<0, c>0 entonces ambas raíces son positivas.
3. Si b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.
4. Si b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.
2.4 Ecuaciones cuadráticas de naturaleza particular
1) Si a + b + c = 0 en la ecuación ax² + bx + c = 0, entonces
x1 = 1 y x2 = .
Prueba :
En la ecuación ax² + bx + c = 0, sus raíces
x 1,2 = (1).
Representemos b a partir de la igualdad a + b + c = 0
Sustituyamos esta expresión en la fórmula (1):
=
Si consideramos las dos raíces de la ecuación por separado, obtenemos:
1) x 1 = 
2) x 2 = 
Se deduce: x 1 = 1, y x 2 =.
1. Ejemplo :
2x² - 3x + 1 = 0
a = 2, b = -3, c = 1.
a + b + c = 0, por lo tanto
2. Ejemplo :
418x² - 1254x + 836 = 0
Este ejemplo es muy difícil de resolver usando un discriminante, pero conociendo la fórmula anterior se puede resolver fácilmente.
a = 418, b = -1254, c = 836.
x 1 = 1 x 2 = 2
2) Si a - b + c = 0, en la ecuación ax² + bx + c = 0, entonces:
x 1 = -1 y x 2 = -.
Prueba :
Considere la ecuación ax² + bx + c = 0, se deduce que:
x 1,2 = (2).
Representemos b a partir de la igualdad a - b + c = 0
b = a + c, sustituir en la fórmula (2):
=
Obtenemos dos expresiones:
1) x 1 = 
2) x 2 = 
Esta fórmula es similar a la anterior, pero también es importante porque... Los ejemplos de este tipo son comunes.
1) Ejemplo :
2x² + 3x + 1 = 0
a = 2, b = 3, c = 1.
a - b + c = 0, por lo tanto
2)Ejemplo :
Respuesta:x1 = -1; x2 = -
3) Método “ transferencias ”
Las raíces de las ecuaciones cuadráticas y² + by + ac = 0 y ax² + bx + c = 0 están relacionadas por las siguientes relaciones:
x 1 = y x 2 =
Prueba :
a) Considere la ecuación ax² + bx + c = 0
x 1,2 = = 
b) Considere la ecuación y² + by + ac = 0
y 1,2 =
Tenga en cuenta que los discriminantes de ambas soluciones son iguales; comparemos las raíces de estas dos ecuaciones. Se diferencian entre sí por un factor principal, las raíces de la primera ecuación son menores que las raíces de la segunda en a. Utilizando el teorema de Vieta y la regla anterior, no es difícil resolver varias ecuaciones.
Ejemplo :
Tenemos una ecuación cuadrática arbitraria.
10x² - 11x + 3 = 0
Transformemos esta ecuación de acuerdo con la regla dada.
y² - 11y + 30 = 0
Obtenemos la ecuación cuadrática reducida, que se puede resolver con bastante facilidad utilizando el teorema de Vieta.
Sean y 1 e y 2 las raíces de la ecuación y² - 11y + 30 = 0
y 1 y 2 = 30 y 1 = 6
y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5
Sabiendo que las raíces de estas ecuaciones difieren entre sí en a, entonces
x1 = 6/10 = 0,6
x2 = 5/10 = 0,5
En algunos casos es conveniente decidir no hacerlo primero. ecuación dada ax² + bx + c = 0, y el y² + by + ac = 0 reducido, que se obtiene del coeficiente de “transferencia” dado a, y luego divide las raíces encontradas por a para encontrar la ecuación original.
2.5 Fórmula de Vieta para polinomios (ecuaciones) de grados superiores
Las fórmulas derivadas por Viète para ecuaciones cuadráticas también son válidas para polinomios de grados superiores.
Deja que el polinomio
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Tiene n raíces diferentes x 1, x 2..., x n.
En este caso tiene una factorización de la forma:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Dividamos ambos lados de esta igualdad por a 0 ≠ 0 y abramos los corchetes en la primera parte. Obtenemos la igualdad:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Pero dos polinomios son idénticamente iguales si y sólo si los coeficientes de las mismas potencias son iguales. De ello se deduce que la igualdad
x 1 + x 2 + … + x norte = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Por ejemplo, para polinomios de tercer grado.
un 0 x³ + un 1 x² + un 2 x + un 3
tenemos identidades
x1 + x2 + x3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
En cuanto a las ecuaciones cuadráticas, esta fórmula se llama fórmulas de Vieta. Los lados izquierdos de estas fórmulas son polinomios simétricos de las raíces x 1, x 2 ..., x n de esta ecuación, y los lados derechos se expresan mediante el coeficiente del polinomio.
2.6 Ecuaciones reducibles a cuadráticas (bicuadráticas)
Las ecuaciones de cuarto grado se reducen a ecuaciones cuadráticas:
hacha 4 + bx 2 + c = 0,
llamado bicuadrático, y a ≠ 0.
Basta con poner x 2 = y en esta ecuación, por lo tanto,
ay² + por + c = 0
Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática resultante.
y 1,2 =
Para encontrar inmediatamente las raíces x 1, x 2, x 3, x 4, reemplace y con x y obtenga
x² =
x 1,2,3,4 = 
.
Si una ecuación de cuarto grado tiene x 1, entonces también tiene una raíz x 2 = -x 1,
Si tiene x 3, entonces x 4 = - x 3. La suma de las raíces de tal ecuación es cero.
Ejemplo :
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Sustituyamos la ecuación en la fórmula de las raíces de ecuaciones bicuadráticas:
x 1,2,3,4 = 
,
sabiendo que x 1 = -x 2 y x 3 = -x 4, entonces:
x 3,4 = 
Respuesta: x 1,2 = ±2; x 1,2 =
2.7 Estudio de ecuaciones bicuadráticas
Tomemos la ecuación bicuadrática
hacha 4 + bx 2 + c = 0,
donde a, b, c son números reales y a > 0. Al introducir la incógnita auxiliar y = x², examinamos las raíces de esta ecuación e ingresamos los resultados en la tabla (ver Apéndice No. 1)
2.8 Fórmula Cardano
Si utilizamos el simbolismo moderno, la derivación de la fórmula Cardano puede verse así:
x= 
Esta fórmula determina las raíces de una ecuación general de tercer grado:
hacha 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Esta fórmula es muy engorrosa y compleja (contiene varios radicales complejos). No siempre se aplicará, porque... muy difícil de llenar.
2.9 Ecuaciones simétricas de tercer grado.
Las ecuaciones simétricas de tercer grado son ecuaciones de la forma
ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )
ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )
donde a y b son números dados, con a¹0.
Demostremos cómo la ecuación ( 1 ).
ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).
Encontramos que la ecuación ( 1 ) es equivalente a la ecuación
(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.
Esto significa que sus raíces serán las raíces de la ecuación.
ax² +(b – a)x + a = 0
y número x = -1
la ecuación ( 2 )
ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + hacha + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).
1) Ejemplo :
2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0
Está claro que x 1 = 1, y
x 2 y x 3 raíces de la ecuación 2x² + 5x + 2 = 0,
Encontrémoslos a través del discriminante:
x 1,2 = 
x2 = -, x3 = -2
2) Ejemplo :
5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0
Está claro que x 1 = -1, y
x 2 y x 3 raíces de la ecuación 5x² + 26x + 5 = 0,
Encontrémoslos a través del discriminante:
x 1,2 = 
x2 = -5, x3 = -0,2.
2.10 Ecuaciones recíprocas
Ecuación recíproca – ecuación algebraica
a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0,
en el que a k = a n – k, donde k = 0, 1, 2…n, y a ≠ 0.
El problema de encontrar las raíces de una ecuación recíproca se reduce al problema de encontrar soluciones a una ecuación algebraica de menor grado. El término ecuaciones recíprocas fue introducido por L. Euler.
Ecuación de cuarto grado de la forma:
hacha 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).
Reduciendo esta ecuación a la forma
a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, y y = x + m/x e y² - 2m = x² + m²/x²,
desde donde la ecuación se reduce a cuadrática
ay² + por + (c-2am) = 0.
3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0
Dividiéndolo por x 2 da la ecuación equivalente
3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, o
donde y 
3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, de donde
y 1 = y 2 = -2, por lo tanto
y de donde
Respuesta: x 1,2 = x 3,4 = .
Un caso especial de ecuaciones recíprocas son las ecuaciones simétricas. Hablamos antes de ecuaciones simétricas de tercer grado, pero existen ecuaciones simétricas de cuarto grado.
Ecuaciones simétricas de cuarto grado.
1) Si m = 1, entonces esta es una ecuación simétrica del primer tipo, que tiene la forma
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 y resuelto mediante una nueva sustitución
2) Si m = -1, entonces esta es una ecuación simétrica del segundo tipo, que tiene la forma
ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 y resuelto mediante una nueva sustitución
2.11 Circuito de Horner
Para dividir polinomios se utiliza la regla de la “división por ángulo”, o esquema de Horner. . Para ello, los polinomios se ordenan en grados descendentes. incógnita y encuentre el término principal del cociente Q(x) a partir de la condición de que al multiplicarlo por el término principal del divisor D(x), se obtenga el término principal del dividendo P(x). El término encontrado del cociente se multiplica, luego por el divisor y se resta del dividendo. El término principal del cociente se determina a partir de la condición de que, cuando se multiplica por el término principal del divisor, da el término principal del polinomio en diferencias, etc. El proceso continúa hasta que el grado de la diferencia es menor que el grado del divisor (ver Apéndice No. 2).
En el caso de las ecuaciones R = 0, este algoritmo se reemplaza por el esquema de Horner.
Ejemplo :
x 3 + 4 x 2 + x – 6 = 0
Encuentra los divisores del término libre ±1; ±2; ±3; ± 6.
Denotemos el lado izquierdo de la ecuación por f(x). Obviamente, f(1) = 0, x1 = 1. Divida f(x) entre x – 1. (ver Apéndice No. 3)
x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)
Denotamos el último factor por Q(x). Resolvemos la ecuación Q(x) = 0.
x 2,3 = 
Respuesta : 1; -2; -3.
En este capítulo, hemos dado algunas fórmulas para resolver varias ecuaciones. La mayoría de estas fórmulas para resolver ecuaciones parciales. Estas propiedades son muy convenientes porque es mucho más fácil resolver ecuaciones usando una fórmula separada para esta ecuación, en lugar de usar el principio general. Hemos proporcionado una prueba y varios ejemplos para cada método.
Conclusión
El primer capítulo examinó la historia del surgimiento de ecuaciones cuadráticas y ecuaciones de orden superior. Hace más de 25 siglos se resolvieron varias ecuaciones. En Babilonia, India, se crearon muchos métodos para resolver este tipo de ecuaciones. Ha habido y seguirá habiendo una necesidad de ecuaciones.
El segundo capítulo proporciona varias formas de resolver (encontrar raíces) ecuaciones cuadráticas y ecuaciones de orden superior. Básicamente, estos son métodos para resolver ecuaciones de una naturaleza particular, es decir, para cada grupo de ecuaciones unidas por algunas propiedades o tipos comunes, se da una regla especial que se aplica solo a este grupo de ecuaciones. Este método (seleccionar tu propia fórmula para cada ecuación) es mucho más fácil que encontrar raíces mediante un discriminante.
En este resumen, se lograron todos los objetivos y se completaron las tareas principales, se probaron y aprendieron nuevas fórmulas previamente desconocidas. Trabajamos con muchas variantes de ejemplos antes de incluirlos en resumen, por lo que ya tenemos una idea de cómo resolver algunas ecuaciones. Cada solución nos será útil en estudios posteriores. Este ensayo ayudó a clasificar conocimientos antiguos y aprender otros nuevos.
Referencias
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4. Zvávich L.I. “Álgebra 8vo grado”, M., 2002.
5. Kushnir I.A. “Ecuaciones”, Kyiv 1996.
6. Savin Yu.P. “ Diccionario enciclopédico joven matemático”, M., 1985.
7. Mordkovich A.G. “Álgebra 8vo grado”, M., 2003.
8. Khudobin A.I. “Colección de problemas de álgebra”, M., 1973.
9. Sharygin I.F. “Curso optativo de álgebra”, M., 1989.
Apéndice 1
Estudio de ecuaciones bicuadráticas.
| do | b | Conclusiones | ||
| Sobre las raíces de la ecuación auxiliar ay² +by+c=0 | Acerca de las raíces de esta ecuación a(x²)² +bx² +c=0 | |||
do< 0 |
b- cualquier número real | y< 0 ; y > 01 2 |
x = ±Öy |
|
| C > 0 | b<0 | D > 0 | x = ±Öy |
|
| D=0 | y > 0 | x = ±Öy |
||
| D< 0 | Sin raíces | Sin raíces | ||
| segundo ≥ 0 | Sin raíces | |||
| Sin raíces | Sin raíces | |||
y > 0 ; y< 01 2 |
x = ±Öy |
|||
| c=0 | b > 0 | y = 0 | x = 0 | |
| segundo = 0 | y = 0 | x = 0 | ||
| b< 0 | y = 0 | x = 0 | ||
Apéndice 2
Dividir un polinomio en un polinomio usando una esquina
| Un 0 | un 1 | un 2 | ... | un | do |
| + | |||||
| segundo 0 c | segundo 1 c | … | segundo n-1 c | ||
| B 0 | segundo 1 | segundo 2 | … | bn | = R (resto) |
Apéndice 3
Esquema de Horner
| Raíz | |||||
| 1 | 4 | 1 | -6 | 1 | |
| x1 = 1 | |||||
| demoledor | 5 | 6 | 0 | ||
| 1 | 1×1 +4 = 5 | 5×1 + 1 = 6 | 6×1 – 6 = 0 | ||
| raíz | |||||
| x1 = 1 |
De la historia de las ecuaciones cuadráticas Autor: Svetlana Radchenko, estudiante de noveno grado “A” Supervisor: Alabugina I.A. profesor de matemáticas MBOU “Escuela secundaria n. ° 5 de Guryevsk” Región de Kemerovo Área temática de presentación: matemáticas Hecho para ayudar al maestro Total 20 diapositivas Contenido Introducción……………………………………………… …………… ……………3 De la historia del surgimiento de las ecuaciones cuadráticas Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia……………………………….4 Ecuaciones cuadráticas en la India……………… ………………… ……...5 Ecuaciones cuadráticas en Al-Khwarizmi……………………………………6 Cómo Diofanto compuso y resolvió ecuaciones cuadráticas………………………… ..... 7 Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos Xll – XVll………………………………8 3. Ecuaciones cuadráticas hoy……………………………………………… ……………… .10 Metodología para estudiar ecuaciones cuadráticas……………………………………11 10 formas de resolver ecuaciones cuadráticas……………………………….12 Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas………… ………………13 Algoritmo para resolver una ecuación cuadrática completa…………………………..14 Resolver las ecuaciones cuadráticas dadas……………………………… ……15 4. Aplicaciones prácticas de ecuaciones cuadráticas para la resolución de problemas aplicados…………………………………………………………………………………….16 5. Conclusión . ……………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Lista de referencias utilizadas…………………… ………………… …………….19 2 Introducción Considera infeliz ese día o esa hora en que no aprendiste nada nuevo, no agregaste nada a tu educación. Jan Amos Comenius 3 Las ecuaciones cuadráticas son la base sobre la que descansa el majestuoso edificio del álgebra. Se utilizan ampliamente para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, irracionales y trascendentales. Las ecuaciones cuadráticas ocupan un lugar destacado en el curso de álgebra escolar. Se dedica mucho tiempo en el curso de matemáticas de la escuela a su estudio. Básicamente, las ecuaciones cuadráticas tienen propósitos prácticos específicos. La mayoría de los problemas sobre formas espaciales y relaciones cuantitativas en el mundo real se reducen a resolver varios tipos de ecuaciones, incluidas las cuadráticas. Al dominar las formas de resolverlos, las personas encuentran respuestas a diversas preguntas de la ciencia y la tecnología. De la historia del surgimiento de las ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia: ya alrededor de 2000 años antes de Cristo, los babilonios sabían resolver ecuaciones cuadráticas. Se conocían métodos para resolver ecuaciones cuadráticas tanto completas como incompletas. Por ejemplo, en la antigua Babilonia se resolvían las siguientes ecuaciones cuadráticas: 4 India Los problemas resueltos mediante ecuaciones cuadráticas se encuentran en el tratado de astronomía "Aryabhattiam", escrito por el astrónomo y matemático indio Aryabhatta en el año 499 d.C. Otro científico indio, Brahmagupta, esbozó una regla universal para resolver una ecuación cuadrática reducida a su forma canónica: ax2+bx=c; Además, se asumió que todos los coeficientes que contiene, excepto "a", podrían ser negativos. La regla formulada por el científico coincide esencialmente con la moderna. 5 Ecuaciones cuadráticas en Al-Khorezmi: En el tratado algebraico de Al-Khorezmi, se da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor cuenta 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera: “Los cuadrados son iguales a las raíces”, es decir ax2 = bx.; “Los cuadrados son iguales a los números”, es decir, ax2 = c; “Las raíces son iguales al número”, es decir, ax = c; "Los cuadrados y los números son iguales a las raíces", es decir ax2 + c = bx; “Los cuadrados y las raíces son iguales al número”, es decir, ax2 + bx = c; “Las raíces y los números son iguales a los cuadrados”, es decir, bx + c = ax2. 6 Cómo compuso y resolvió Diofanto ecuaciones cuadráticas: Uno de los matemáticos griegos antiguos más originales fue Diofanto de Alejandría. No se ha aclarado ni el año de nacimiento ni la fecha de muerte de Diofanto; Se cree que vivió en el siglo III. ANUNCIO De las obras de Diofanto, la más importante es la Aritmética, de los 13 libros de los cuales sólo 6 han sobrevivido hasta nuestros días. La Aritmética de Diofanto no contiene una presentación sistemática del álgebra, pero contiene una serie de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la construcción de ecuaciones de varios grados. Al componer ecuaciones, Diofanto selecciona hábilmente incógnitas para simplificar la solución. 7 Ecuaciones cuadráticas en Europa en los siglos XII-XVII: el matemático italiano Leonard Fibonacci desarrolló de forma independiente algunos nuevos ejemplos algebraicos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en introducir números negativos. La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica x2 + bх = с para todas las combinaciones posibles de signos y coeficientes b, c fue formulada en Europa en 1544 por Michael Stiefel. 8 François Viète El matemático francés F. Viète (1540-1603) introdujo un sistema de símbolos algebraicos y desarrolló los fundamentos del álgebra elemental. Fue uno de los primeros en denotar los números con letras, lo que desarrolló significativamente la teoría de las ecuaciones. La derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en forma general está disponible en Vieth, pero Vieth sólo reconoció raíces positivas. 9 Ecuaciones cuadráticas hoy La capacidad de resolver ecuaciones cuadráticas sirve como base para resolver otras ecuaciones y sus sistemas. Aprender a resolver ecuaciones comienza con sus tipos más simples, y el programa determina la acumulación gradual de ambos tipos y el "fondo" de transformaciones idénticas y equivalentes, con la ayuda de las cuales puedes reducir una ecuación arbitraria a lo más simple. En esta dirección también debe construirse el proceso de desarrollo de técnicas generalizadas para la resolución de ecuaciones en un curso de álgebra escolar. En un curso de matemáticas de la escuela secundaria, los estudiantes se enfrentan a nuevas clases de ecuaciones, sistemas o a un estudio en profundidad de ecuaciones ya conocidas. 10 métodos para estudiar ecuaciones cuadráticas Al comenzar a estudiar un curso de álgebra sistemática, la atención principal es. Se presta especial atención a los métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas, que se convierten en un objeto especial de estudio. Este tema se caracteriza por una gran profundidad de presentación y la riqueza de las conexiones establecidas con su ayuda en la enseñanza, y la validez lógica de la presentación. Por tanto, ocupa una posición excepcional en la línea de ecuaciones y desigualdades. Un punto importante en el estudio de ecuaciones cuadráticas es la consideración del teorema de Vieta, que establece la existencia de una relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática reducida. La dificultad para dominar el teorema de Vieta se debe a varias circunstancias. En primer lugar, es necesario tener en cuenta la diferencia entre los teoremas directo e inverso. 11 10 formas de resolver ecuaciones cuadráticas: Factorizar el lado izquierdo de la ecuación. Método para seleccionar un cuadrado completo. Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula. Resolver ecuaciones utilizando el teorema de Vieta. Resolución de ecuaciones mediante el método del “lanzamiento”. Propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática. Solución gráfica de una ecuación cuadrática.< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, es decir - = m, donde m>0, la ecuación x2 = m tiene dos raíces. Por lo tanto, una ecuación cuadrática incompleta puede tener dos raíces, una raíz o ninguna raíz. 13 Algoritmo para resolver una ecuación cuadrática completa. Estas son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c son números dados y ≠ 0, x es una incógnita. Cualquier ecuación cuadrática completa se puede convertir a la forma para determinar el número de raíces de la ecuación cuadrática y encontrar estas raíces. Se consideran los siguientes casos de resolución de ecuaciones cuadráticas completas: D< 0, D = 0, D >0. 1. Si D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, entonces la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 tiene dos raíces, que se encuentran mediante las fórmulas: ; 14 Solución de ecuaciones cuadráticas reducidas Teorema de F. Vieta: La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida es igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre. En otras palabras, si x1 y x2 son las raíces de la ecuación x2 +px + q = 0, entonces x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) El teorema inverso al teorema de Vieta: Si las fórmulas (*) son válidas para los números x1, x2, p, q, entonces x1 y x2 son las raíces de la ecuación x2 + px + q = 0. 15 Aplicaciones prácticas de ecuaciones cuadráticas para resolver problemas aplicados Bhaskar (1114-1185) - el mayor matemático y astrónomo indio del siglo XII. Dirigió el observatorio astronómico de Ujjain. Bhaskara escribió el tratado "Siddhanta-shiromani" ("Corona de la enseñanza"), que consta de cuatro partes: "Lilavati" está dedicada a la aritmética, "Bizhdaganita" al álgebra, "Goladhaya" a las esféricas y "Granhaganita" a la teoría de movimientos planetarios. Bhaskara obtuvo raíces negativas de las ecuaciones, aunque dudaba de su significado. Posee uno de los primeros diseños de una máquina de movimiento perpetuo. 16 Uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskara: La solución de Bhaskara muestra que el autor sabía que las raíces de las ecuaciones cuadráticas tienen dos valores. 17 Conclusión El desarrollo de la ciencia de la resolución de ecuaciones cuadráticas ha recorrido un camino largo y espinoso. Sólo después de los trabajos de Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes y Newton la ciencia de resolver ecuaciones cuadráticas tomó su forma moderna. La importancia de las ecuaciones cuadráticas no radica sólo en la elegancia y brevedad de la resolución de problemas, aunque esto también es muy importante. Es igualmente importante que, como resultado del uso de ecuaciones cuadráticas en la resolución de problemas, a menudo se descubren nuevos detalles, se pueden hacer generalizaciones interesantes y aclaraciones, que se sugieren mediante el análisis de las fórmulas y relaciones resultantes. Al estudiar literatura y recursos de Internet relacionados con la historia del desarrollo de las ecuaciones cuadráticas, me pregunté: "¿Qué motivó a los científicos que vivieron en una época tan difícil a dedicarse a la ciencia, incluso bajo amenaza de muerte?" Probablemente, en primer lugar, sea la curiosidad de la mente humana la clave para el desarrollo de la ciencia. Las preguntas sobre la esencia del mundo, sobre el lugar del hombre en este mundo, persiguen en todo momento a personas pensantes, curiosas e inteligentes. Las personas siempre se han esforzado por comprenderse a sí mismas y su lugar en el mundo. Mira dentro de ti, ¿tal vez tu curiosidad natural está sufriendo porque has cedido a la vida cotidiana y a la pereza? El destino de muchos científicos son 18 ejemplos a seguir. No todos los nombres son muy conocidos y populares. Piénselo: ¿cómo soy yo para las personas cercanas a mí? Pero lo más importante es lo que siento conmigo mismo, ¿soy digno de respeto? Piénselo... Referencias 1. Zvavich L.I. “Álgebra octavo grado”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “Diccionario enciclopédico de un joven matemático”, M., 1985. 3. Yu.N Makarychev “Álgebra de octavo grado”, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www. ido.rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-. 2427. html 19 Gracias por su atención 20
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Escuela secundaria rural Kopyevskaya
Diez formas de resolver ecuaciones cuadráticas
Jefa: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
profesor de matematicas
pueblo Kopevo, 2007
1. Historia del desarrollo de ecuaciones cuadráticas.
1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia
1.2 Cómo compuso y resolvió Diofanto ecuaciones cuadráticas
1.3 Ecuaciones cuadráticas en India
1.4 Ecuaciones cuadráticas de al-Khorezmi
1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XIII - XVII
1.6 Sobre el teorema de Vieta
2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
Conclusión
Literatura
1. Historia del desarrollo de ecuaciones cuadráticas.
1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia
La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer, sino también de segundo grado, incluso en la antigüedad, se debió a la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas de terrenos y con trabajos de excavación de carácter militar, así como como ocurre con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Las ecuaciones cuadráticas se pudieron resolver alrededor del año 2000 a.C. mi. Babilonios.
Utilizando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes existen, además de incompletas, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas:
incógnita 2 + incógnita = ¾; incógnita 2 - incógnita = 14,5
La regla para resolver estas ecuaciones, expuesta en los textos babilónicos, coincide esencialmente con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora sólo proporcionan problemas con soluciones presentadas en forma de recetas, sin indicación de cómo fueron encontrados.
A pesar del alto nivel de desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y de métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.
1.2 Cómo compuso y resolvió Diofanto ecuaciones cuadráticas.
La Aritmética de Diofanto no contiene una presentación sistemática del álgebra, pero sí una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la construcción de ecuaciones de varios grados.
Al componer ecuaciones, Diofanto selecciona hábilmente incógnitas para simplificar la solución.
Aquí, por ejemplo, está una de sus tareas.
Problema 11."Encuentra dos números, sabiendo que su suma es 20 y su producto es 96"
Diofanto razona de la siguiente manera: de las condiciones del problema se deduce que los números requeridos no son iguales, ya que si fueran iguales, entonces su producto no sería igual a 96, sino a 100. Así, uno de ellos será mayor que la mitad de su suma, es decir. 10+x, el otro es menor, es decir 10. La diferencia entre ellos 2x .
De ahí la ecuación:
(10 + x)(10 - x) = 96
100-x2 = 96
x2 - 4 = 0 (1)
Desde aquí x = 2. Uno de los números requeridos es igual a 12 , otro 8 . Solución x = -2 porque Diofanto no existe, ya que las matemáticas griegas sólo conocían números positivos.
Si resolvemos este problema eligiendo uno de los números requeridos como incógnita, llegaremos a una solución a la ecuación.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Está claro que al elegir la media diferencia de los números requeridos como incógnita, Diofanto simplifica la solución; logra reducir el problema a resolver una ecuación cuadrática incompleta (1).
1.3 Ecuaciones cuadráticas en India
Los problemas sobre ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió la regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica:
ah 2 + b x = c, a > 0. (1)
En la ecuación (1), los coeficientes, excepto A, también puede ser negativo. El gobierno de Brahmagupta es esencialmente el mismo que el nuestro.
En la antigua India, eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competencias: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un hombre erudito eclipsará la gloria de otro en asambleas públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.
Éste es uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskars.
Problema 13.
“Una bandada de monos juguetones, y doce a lo largo de las viñas...
Las autoridades, después de comer, se divirtieron. Empezaron a saltar, a colgarse...
Están en la plaza, parte ocho. ¿Cuántos monos había?
Me estaba divirtiendo en el claro. Dime, ¿en este paquete?
La solución de Bhaskara indica que sabía que las raíces de ecuaciones cuadráticas tienen dos valores (Fig. 3).
La ecuación correspondiente al problema 13 es:
( incógnita /8) 2 + 12 = incógnita
Bhaskara escribe bajo el pretexto:
x2 - 64x = -768
y, para completar el lado izquierdo de esta ecuación en un cuadrado, suma a ambos lados 32 2 , luego obteniendo:
x 2 - 64 x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x1 = 16, x2 = 48.
1.4 Ecuaciones cuadráticas en al - Khorezmi
En el tratado algebraico de al-Khorezmi se da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor cuenta 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:
1) “Los cuadrados son iguales a las raíces”, es decir hacha 2 + c = b INCÓGNITA.
2) “Los cuadrados son iguales a los números”, es decir hacha 2 = c.
3) “Las raíces son iguales al número”, es decir ah = s.
4) “Los cuadrados y los números son iguales a las raíces”, es decir hacha 2 + c = b INCÓGNITA.
5) “Los cuadrados y las raíces son iguales a los números”, es decir ah 2 + bx = s.
6) “Las raíces y los números son iguales a los cuadrados”, es decir bx + c = hacha 2 .
Para al-Khorezmi, que evitó el uso de números negativos, los términos de cada una de estas ecuaciones son sumandos y no restables. En este caso, obviamente no se tienen en cuenta las ecuaciones que no tienen soluciones positivas. El autor expone métodos para resolver estas ecuaciones utilizando las técnicas de al-jabr y al-muqabala. Sus decisiones, por supuesto, no coinciden del todo con las nuestras. Sin mencionar que es puramente retórico, cabe señalar, por ejemplo, que al resolver una ecuación cuadrática incompleta del primer tipo
Al-Khorezmi, como todos los matemáticos anteriores al siglo XVII, no tiene en cuenta la solución cero, probablemente porque en problemas prácticos específicos no importa. Al resolver ecuaciones cuadráticas completas, al-Khorezmi establece las reglas para resolverlas usando ejemplos numéricos particulares y luego pruebas geométricas.
Problema 14.“El cuadrado y el número 21 son iguales a 10 raíces. Encuentra la raíz" (lo que implica la raíz de la ecuación x 2 + 21 = 10x).
La solución del autor es más o menos así: divide el número de raíces por la mitad, obtienes 5, multiplica 5 por sí mismo, resta 21 del producto, lo que queda es 4. Saca la raíz de 4, obtienes 2. Resta 2 de 5 , obtienes 3, esta será la raíz deseada. O suma 2 a 5, lo que da 7, esto también es una raíz.
El tratado de al-Khorezmi es el primer libro que nos ha llegado y que establece sistemáticamente la clasificación de ecuaciones cuadráticas y proporciona fórmulas para su solución.
1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa XIII - XVII cama y desayuno
Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas siguiendo las líneas de al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el Libro del Ábaco, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta voluminosa obra, que refleja la influencia de las matemáticas, tanto de los países del Islam como de la antigua Grecia, se distingue por su exhaustividad y claridad de presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunos ejemplos algebraicos nuevos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del Libro del Ábaco se utilizaron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y en parte XVIII.
La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducida a una única forma canónica:
x2 + bx =c,
para todas las combinaciones posibles de signos de coeficientes b , Con No fue formulado en Europa hasta 1544 por M. Stiefel.
La derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en forma general está disponible en Vieth, pero Vieth sólo reconoció raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XVI. Además de las positivas, también se tienen en cuenta las raíces negativas. Sólo en el siglo XVII. Gracias al trabajo de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquiere una forma moderna.
1.6 Sobre el teorema de Vieta
El teorema que expresa la relación entre los coeficientes de una ecuación cuadrática y sus raíces, que lleva el nombre de Vieta, fue formulado por primera vez por él en 1591 de la siguiente manera: “Si B + D, multiplicado por A - A 2 , es igual BD, Eso A es igual EN e igual D ».
Para entender a Vieta debemos recordar que A, como cualquier letra vocal, significaba lo desconocido (nuestro incógnita), vocales EN, D- coeficientes para lo desconocido. En el lenguaje del álgebra moderna, la formulación de Vieta anterior significa: si hay
(un + b )x-x2 = ab ,
x 2 - (un + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Al expresar la relación entre las raíces y los coeficientes de ecuaciones con fórmulas generales escritas mediante símbolos, Viète estableció uniformidad en los métodos de resolución de ecuaciones. Sin embargo, el simbolismo del vietnamita aún está lejos de ser aspecto moderno. No reconocía los números negativos y por eso, al resolver ecuaciones, consideraba sólo los casos en los que todas las raíces eran positivas.
2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
Las ecuaciones cuadráticas son la base sobre la que descansa el majestuoso edificio del álgebra. Las ecuaciones cuadráticas se utilizan ampliamente para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, irracionales y trascendentales. Todos sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas desde la escuela (octavo grado) hasta la graduación.