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Al comienzo de la lección repasaremos las propiedades básicas. raíces cuadradas y luego considere algunos ejemplos complejos para simplificar expresiones que contienen raíces cuadradas.
Sujeto:Función. Propiedades de la raíz cuadrada
Lección:Convertir y simplificar expresiones más complejas con raíces.
1. Repaso de las propiedades de las raíces cuadradas.
Repitamos brevemente la teoría y recordemos las propiedades básicas de las raíces cuadradas.
Propiedades de las raíces cuadradas:
1. por lo tanto,;
3. 
;
4. 
.
2. Ejemplos para simplificar expresiones con raíces
Pasemos a ejemplos del uso de estas propiedades.
Ejemplo 1: simplificar una expresión 
.
Solución. Para simplificar, el número 120 debe descomponerse en factores primos:
Revelaremos el cuadrado de la suma usando la fórmula adecuada:
Ejemplo 2: simplificar una expresión 
.
Solución. Tengamos en cuenta que esta expresión no tiene sentido para todos los valores posibles de la variable, ya que esta expresión contiene raíces cuadradas y fracciones, lo que conduce a un "estrechamiento" del rango de valores permitidos. ODZ: 
().
Reduzcamos la expresión entre paréntesis a denominador común y escribe el numerador de la última fracción como diferencia de cuadrados:
Respuesta. en.
Ejemplo 3: simplificar una expresión 
.
Solución. Se puede ver que el segundo paréntesis del numerador tiene una apariencia inconveniente y es necesario simplificarlo; intentemos factorizarlo utilizando el método de agrupación.
Para poder calcular el factor común, simplificamos las raíces factorizándolas. Sustituyamos la expresión resultante en la fracción original:
Después de reducir la fracción, aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados.
3. Un ejemplo de cómo deshacerse de la irracionalidad
Ejemplo 4. Libérate de la irracionalidad (raíces) en el denominador: a) ; b) .
Solución. a) Para eliminar la irracionalidad en el denominador se utiliza el método estándar de multiplicar tanto el numerador como el denominador de una fracción por el factor conjugado al denominador (la misma expresión, pero con el signo opuesto). Esto se hace para complementar el denominador de la fracción con la diferencia de cuadrados, lo que permite eliminar las raíces en el denominador. Hagamos esto en nuestro caso:
b) realizar acciones similares:
4. Ejemplo de prueba e identificación de un cuadrado completo en un radical complejo
Ejemplo 5. Demostrar la igualdad 
.
Prueba. Usemos la definición de raíz cuadrada, de donde se deduce que el cuadrado de la expresión de la derecha debe ser igual a la expresión radical:
. Abramos los corchetes usando la fórmula del cuadrado de la suma:
, obtuvimos la igualdad correcta.
Probado.
Ejemplo 6. Simplifica la expresión.
Solución. Esta expresión suele denominarse radical complejo (raíz bajo raíz). EN en este ejemplo necesitas adivinar para aislar un cuadrado completo de la expresión radical. Para hacer esto, tenga en cuenta que de los dos términos, es candidato para el papel del doble del producto en la fórmula de la diferencia al cuadrado (diferencia, ya que hay un menos). Escribámoslo en forma del siguiente producto: , entonces el papel de uno de los términos cuadrado lleno reclamaciones , y para el papel del segundo - 1.
Sustituyamos esta expresión debajo de la raíz.
En octavo grado, a los escolares en las lecciones de matemáticas se les presenta el concepto de "radical" o, simplemente, "raíz". Fue entonces cuando se encontraron por primera vez con el problema de simplificar radicales complejos. Los radicales complejos son expresiones en las que una raíz está debajo de otra. Por lo tanto, a veces se les llama radicales anidados. En este artículo, el tutor de matemáticas y física habla en detalle sobre cómo simplificar un radical complejo.
Métodos para simplificar radicales complejos.
Simplificar un radical complejo significa deshacerse de la raíz externa. Lo mejor es empezar a estudiar este tema simplificando los radicales dobles. Después de todo, si aprendemos a simplificar radicales dobles, también podremos simplificar los más complejos.
¿Cómo nos deshacemos de la raíz exterior? Está claro que para ello es necesario transformar la expresión radical, presentándola en forma de un cuadrado completo. Para ello utilizaremos la conocida fórmula “Cuadrado de la diferencia”:
Aquí, como puedes ver, el término negativo tiene un factor a la derecha. Por lo tanto, vamos a buscar este factor en la raíz. Para ello, lo presentamos como producto de:
Entonces y. Sólo queda prestar atención al hecho de que 
. Ahora podemos ver que debajo de la raíz tenemos una diferencia al cuadrado:
Ahora recordemos eso. Exactamente el módulo. Esto es muy importante aquí porque la raíz cuadrada es un número positivo. Entonces obtenemos:
Bueno, desde title="Renderizado por QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}
Así logramos simplificar este radical. Pero también hay casos más complejos en los que no es posible adivinar de inmediato cómo representar una expresión radical en forma de un cuadrado completo. Por ejemplo, en el siguiente ejemplo.
Para no devanarse los sesos durante mucho tiempo, puede utilizar el siguiente método.
Permítanme recordarles que nuestro objetivo es representar la expresión bajo la raíz como un cuadrado perfecto. Concretamente en este ejemplo, en forma de cuadrado de la suma:
Bueno, el cuadrado de la suma se revela según la conocida fórmula, que ya escribimos hoy:
Entonces, la idea, de hecho, es tomar la parte irracional de la expresión radical for y la parte racional for. Entonces obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Está claro que. De lo contrario, la segunda ecuación del sistema no se satisface. Luego expresamos el coeficiente de la segunda ecuación:
El denominador de esta fracción no es igual a cero, lo que significa que su numerador es igual a cero. Obtenemos una ecuación bicuadrática, que se puede resolver de forma estándar (para más detalles, ver el vídeo adjunto). Resolviendolo, obtenemos hasta 4 raíces. Puedes tomar cualquiera. Me gusta más. Entonces . Entonces, finalmente obtenemos:
A continuación se muestra una manera de simplificar un radical complejo. Hay uno más. Para los que les gusta recordar. fórmulas complejas, que no lo soy. Pero para completar, también les hablaré de él.
Fórmula de radicales complejos.
Así es como se ve la fórmula:
Bastante aterrador, ¿no? Pero no tenga miedo, en algunos casos puede utilizarse con éxito. Veamos un ejemplo:
Sustituimos los valores correspondientes en la fórmula:
Ésta es la respuesta.
Entonces, hoy en clase hablé sobre cómo simplificar un radical complejo. Si no conocía los métodos discutidos hoy, lo más probable es que todavía tenga mucho que aprender para sentirse seguro en el Examen Estatal Unificado o en el examen de ingreso a matemáticas. Pero no te preocupes, puedo enseñarte todo esto. Toda la información necesaria sobre mis clases está encendida. ¡Buena suerte para ti!
Material preparado por Sergey Valerievich