Factorizar polinomios es una transformación de identidad, como resultado de lo cual un polinomio se transforma en el producto de varios factores: polinomios o monomios.
Hay varias formas de factorizar polinomios.
Método 1. Quitar el factor común de paréntesis.
Esta transformación se basa en la ley distributiva de la multiplicación: ac + bc = c(a + b). La esencia de la transformación es aislar el factor común en los dos componentes considerados y "sacarlo" de paréntesis.
Factoricemos el polinomio 28x 3 – 35x 4.
Solución.
1. Encuentra los elementos 28x 3 y 35x 4. divisor común. Para 28 y 35 serán 7; para x 3 y x 4 – x 3. En otras palabras, nuestro factor común es 7x 3.
2. Representamos cada uno de los elementos como un producto de factores, uno de los cuales
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Sacamos el factor común de paréntesis.
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Método 2. Usar fórmulas de multiplicación abreviadas. El "dominio" del uso de este método es notar una de las fórmulas de multiplicación abreviadas en la expresión.
Factoricemos el polinomio x 6 – 1.
Solución.
1. Podemos aplicar la fórmula de diferencia de cuadrados a esta expresión. Para hacer esto, imagine x 6 como (x 3) 2 y 1 como 1 2, es decir 1. La expresión tomará la forma:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Podemos aplicar la fórmula de suma y diferencia de cubos a la expresión resultante:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Entonces,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2+x+1).
Método 3. Agrupación. El método de agrupación implica combinar los componentes de un polinomio de tal manera que sea fácil realizar operaciones con ellos (suma, resta, resta de un factor común).
Factoricemos el polinomio x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Solución.
1. Agrupemos los componentes de esta forma: el 1º con el 2º y el 3º con el 4º.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. En la expresión resultante, quitamos de paréntesis los factores comunes: x 2 en el primer caso y 5 en el segundo.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Sacamos el factor común x – 3 de paréntesis y obtenemos:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Entonces,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Aseguremos el material.
Factoriza el polinomio a 2 – 7ab + 12b 2.
Solución.
1. Representemos el monomio 7ab como la suma 3ab + 4ab. La expresión tomará la forma:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Abramos los corchetes y obtengamos:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Agrupemos los componentes del polinomio de esta forma: 1º con 2º y 3º con 4º. Obtenemos:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Saquemos los factores comunes de paréntesis:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Saquemos el factor común (a – 3b) de paréntesis:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).
Entonces,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3b) ∙ (a – 4b).
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Factorizar polinomios es una transformación de identidad, como resultado de lo cual un polinomio se transforma en el producto de varios factores: polinomios o monomios.
Hay varias formas de factorizar polinomios.
Método 1. Quitar el factor común de paréntesis.
Esta transformación se basa en la ley distributiva de la multiplicación: ac + bc = c(a + b). La esencia de la transformación es aislar el factor común en los dos componentes considerados y "sacarlo" de paréntesis.
Factoricemos el polinomio 28x 3 – 35x 4.
Solución.
1. Encuentra un divisor común para los elementos 28x3 y 35x4. Para 28 y 35 serán 7; para x 3 y x 4 – x 3. En otras palabras, nuestro factor común es 7x 3.
2. Representamos cada uno de los elementos como un producto de factores, uno de los cuales
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Sacamos el factor común de paréntesis.
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Método 2. Usar fórmulas de multiplicación abreviadas. El "dominio" del uso de este método es notar una de las fórmulas de multiplicación abreviadas en la expresión.
Factoricemos el polinomio x 6 – 1.
Solución.
1. Podemos aplicar la fórmula de diferencia de cuadrados a esta expresión. Para hacer esto, imagine x 6 como (x 3) 2 y 1 como 1 2, es decir 1. La expresión tomará la forma:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Podemos aplicar la fórmula de suma y diferencia de cubos a la expresión resultante:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Entonces,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2+x+1).
Método 3. Agrupación. El método de agrupación implica combinar los componentes de un polinomio de tal manera que sea fácil realizar operaciones con ellos (suma, resta, resta de un factor común).
Factoricemos el polinomio x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Solución.
1. Agrupemos los componentes de esta forma: el 1º con el 2º y el 3º con el 4º.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. En la expresión resultante, quitamos de paréntesis los factores comunes: x 2 en el primer caso y 5 en el segundo.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Sacamos el factor común x – 3 de paréntesis y obtenemos:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Entonces,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
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Factoriza el polinomio a 2 – 7ab + 12b 2.
Solución.
1. Representemos el monomio 7ab como la suma 3ab + 4ab. La expresión tomará la forma:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.
Abramos los corchetes y obtengamos:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Agrupemos los componentes del polinomio de esta forma: 1º con 2º y 3º con 4º. Obtenemos:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Saquemos los factores comunes de paréntesis:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Saquemos el factor común (a – 3b) de paréntesis:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).
Entonces,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3b) ∙ (a – 4b).
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Un polinomio es una expresión que consta de la suma de monomios. Estos últimos son el producto de una constante (número) y la raíz (o raíces) de la expresión elevada a k. En este caso hablamos de un polinomio de grado k. La expansión de un polinomio implica una transformación de la expresión en la que los términos se reemplazan por factores. Consideremos las principales formas de llevar a cabo este tipo de transformación.
Método de expandir un polinomio aislando un factor común
Este método se basa en las leyes de la ley de distribución. Entonces, mn + mk = m * (n + k).
- Ejemplo: ampliar 7y 2 + 2uy y 2m 3 – 12m 2 + 4lm.
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).
Sin embargo, es posible que no siempre se encuentre el factor que está necesariamente presente en cada polinomio, por lo tanto este método no es universal.
Método de expansión polinomial basado en fórmulas de multiplicación abreviadas
Las fórmulas de multiplicación abreviadas son válidas para polinomios de cualquier grado. EN vista general La expresión de conversión se ve así:
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), donde k es un representante de números naturales.
Las fórmulas más utilizadas en la práctica son para polinomios de segundo y tercer orden:
tu 2 – l 2 = (tu – l)(u + l),
tu 3 – l 3 = (tu – l)(tu 2 + ul + l 2),
tu 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).
- Ejemplo: ampliar 25p 2 – 144b 2 y 64m 3 – 8l 3.
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).
Método de expansión polinómica: agrupación de términos de una expresión
Este método de alguna manera tiene algo en común con la técnica para derivar el factor común, pero tiene algunas diferencias. En particular, antes de aislar un factor común, se deben agrupar los monomios. La agrupación se basa en las reglas de las leyes combinatorias y conmutativas.
Todos los monomios presentados en la expresión se dividen en grupos, en cada uno de los cuales significado general de modo que el segundo factor será el mismo en todos los grupos. En general, este método de descomposición se puede representar como la expresión:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).
- Ejemplo: repartidos 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Método de expansión polinomial: formar un cuadrado perfecto
Este método es uno de los más eficaces para descomponer un polinomio. En la etapa inicial, es necesario determinar monomios que puedan "colapsarse" al cuadrado de la diferencia o suma. Para hacer esto, use una de las relaciones:
(pag – segundo) 2 = pag 2 – 2pb + segundo 2 ,
- Ejemplo: expande la expresión u 4 + 4u 2 – 1.
Entre sus monomios, seleccionemos los términos que forman un cuadrado completo: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.
Completa la transformación usando las reglas de multiplicación abreviadas: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Eso. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Para factorizar es necesario simplificar las expresiones. Esto es necesario para poder reducirlo aún más. El desarrollo de un polinomio tiene sentido cuando su grado no es inferior a dos. Un polinomio de primer grado se llama lineal.
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El artículo cubrirá todos los conceptos de descomposición, fundamentos teóricos y métodos para factorizar un polinomio.
Teoría
Teorema 1Cuando cualquier polinomio de grado n, tiene la forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, se representan como un producto con un factor constante con mayor grado a n y n factores lineales (x - x i), i = 1, 2, ..., n, luego P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1), donde x i, i = 1, 2, …, n son las raíces del polinomio.
El teorema está destinado a raíces de tipo complejo x i, i = 1, 2,…, n y para coeficientes complejos a k, k = 0, 1, 2,…, n. Esta es la base de cualquier descomposición.
Cuando los coeficientes de la forma a k, k = 0, 1, 2,…, n son números reales, entonces las raíces complejas aparecerán en pares conjugados. Por ejemplo, raíces x 1 y x 2 relacionadas con un polinomio de la forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 se consideran conjugados complejos, entonces las demás raíces son reales, de lo cual obtenemos que el polinomio toma la forma P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, donde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).
Comentario
Las raíces de un polinomio se pueden repetir. Consideremos la demostración del teorema de álgebra, consecuencia del teorema de Bezout.
Teorema fundamental del álgebra
Teorema 2Cualquier polinomio de grado n tiene al menos una raíz.
teorema de bezout
Después de dividir un polinomio de la forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 en (x - s), luego obtenemos el resto, que es igual al polinomio en el punto s, luego obtenemos
P norte x = una norte x norte + una norte - 1 x norte - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s), donde Q n - 1 (x) es un polinomio de grado n - 1.
Corolario del teorema de Bezout
Cuando se considera que la raíz del polinomio P n (x) es s, entonces P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Este corolario es suficiente cuando se utiliza para describir la solución.
Factorizar un trinomio cuadrático
Un trinomio cuadrado de la forma a x 2 + b x + c se puede factorizar en factores lineales. entonces obtenemos que a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2), donde x 1 y x 2 son raíces (complejas o reales).
De esto queda claro que la expansión misma se reduce a la solución. ecuación cuadrática después.
Ejemplo 1
Factoriza el trinomio cuadrático.
Solución
Es necesario encontrar las raíces de la ecuación 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Para hacer esto, necesitamos encontrar el valor del discriminante usando la fórmula, luego obtenemos D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. De aquí tenemos eso
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
De esto obtenemos que 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Para realizar la verificación, debe abrir los paréntesis. Luego obtenemos una expresión de la forma:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Después de comprobar, llegamos a la expresión original. Es decir, podemos concluir que la descomposición se realizó correctamente.
Ejemplo 2
Factoriza el trinomio cuadrático de la forma 3 x 2 - 7 x - 11 .
Solución
Encontramos que es necesario calcular la ecuación cuadrática resultante de la forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Para encontrar las raíces, debes determinar el valor del discriminante. lo entendemos
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
De esto obtenemos que 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Ejemplo 3
Factoriza el polinomio 2 x 2 + 1.
Solución
Ahora necesitamos resolver la ecuación cuadrática 2 x 2 + 1 = 0 y encontrar sus raíces. lo entendemos
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 yo x 2 = - 1 2 = - 1 2 yo
Estas raíces se llaman conjugadas complejas, lo que significa que la expansión misma se puede representar como 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Ejemplo 4
Descomponga el trinomio cuadrático x 2 + 1 3 x + 1 .
Solución
Primero necesitas resolver una ecuación cuadrática de la forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 y encontrar sus raíces.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 yo 2 = - 1 + 35 yo 6 = - 1 6 + 35 6 yo x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 yo 2 = - 1 - 35 yo 6 = - 1 6 - 35 6 yo
Habiendo obtenido las raíces, escribimos
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 yo x - - 1 6 - 35 6 yo = = x + 1 6 - 35 6 yo x + 1 6 + 35 6 yo
Comentario
Si el valor discriminante es negativo, entonces los polinomios seguirán siendo polinomios de segundo orden. De esto se deduce que no los expandiremos a factores lineales.
Métodos para factorizar un polinomio de grado superior a dos
Al descomponerse se supone un método universal. La mayoría de los casos se basan en un corolario del teorema de Bezout. Para hacer esto, debe seleccionar el valor de la raíz x 1 y reducir su grado dividiendo por un polinomio por 1 dividiendo por (x - x 1). El polinomio resultante necesita encontrar la raíz x 2, y el proceso de búsqueda es cíclico hasta que obtenemos una expansión completa.
Si no se encuentra la raíz, se utilizan otros métodos de factorización: agrupación, términos adicionales. Este tema implica resolver ecuaciones con grados superiores y coeficientes enteros.
Sacando el factor común de paréntesis
Considere el caso en el que el término libre es igual a cero, entonces la forma del polinomio se convierte en P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + un 1 x .
Se puede ver que la raíz de dicho polinomio será igual a x 1 = 0, entonces el polinomio se puede representar como la expresión P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + un 1 x = = x (un x n - 1 + un n - 1 x n - 2 + . . . + un 1)
Se considera que este método elimina el factor común entre paréntesis.
Ejemplo 5
Factoriza el polinomio de tercer grado 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Solución
Vemos que x 1 = 0 es la raíz del polinomio dado, luego podemos eliminar x de los corchetes de toda la expresión. Obtenemos:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Pasemos a encontrar las raíces del trinomio cuadrado 4 x 2 + 8 x - 1. Encontremos el discriminante y las raíces:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Entonces se deduce que
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Para empezar, consideremos un método de descomposición que contiene coeficientes enteros de la forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, donde el coeficiente de mayor grado es 1.
Cuando un polinomio tiene raíces enteras, entonces se consideran divisores del término libre.
Ejemplo 6
Descomponga la expresión f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Solución
Consideremos si hay raíces completas. Es necesario anotar los divisores del número 18. Obtenemos que ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. De ello se deduce que este polinomio tiene raíces enteras. Puedes comprobarlo utilizando el esquema de Horner. Es muy conveniente y permite obtener rápidamente los coeficientes de expansión de un polinomio:
Se deduce que x = 2 y x = - 3 son las raíces del polinomio original, que se puede representar como un producto de la forma:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x2+2x+3)
Procedemos al desarrollo de un trinomio cuadrático de la forma x 2 + 2 x + 3.
Como el discriminante es negativo, significa que no hay raíces reales.
Respuesta: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Comentario
Se permite utilizar la selección de raíces y la división de un polinomio por un polinomio en lugar del esquema de Horner. Pasemos a considerar la expansión de un polinomio que contiene coeficientes enteros de la forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , el mayor de los cuales es igual a uno.
Este caso ocurre para fracciones racionales.
Ejemplo 7
Factorizar f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Solución
Es necesario reemplazar la variable y = 2 x, se debe pasar a un polinomio con coeficientes iguales a 1 en el grado más alto. Debes comenzar multiplicando la expresión por 4. lo entendemos
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Cuando la función resultante de la forma g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 tiene raíces enteras, entonces su ubicación está entre los divisores del término libre. La entrada se verá así:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Pasemos a calcular la función g (y) en estos puntos para obtener como resultado cero. lo entendemos
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 gramos (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 gramos (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 gramos (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Encontramos que y = - 5 es la raíz de una ecuación de la forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, lo que significa que x = y 2 = - 5 2 es la raíz de la función original.
Ejemplo 8
Es necesario dividir con una columna 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 por x + 5 2.
Solución
Escribámoslo y obtenemos:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Verificar los divisores llevará mucho tiempo, por lo que es más rentable factorizar el trinomio cuadrático resultante de la forma x 2 + 7 x + 3. Igualando a cero encontramos el discriminante.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Resulta que
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Técnicas artificiales para factorizar un polinomio.
Las raíces racionales no son inherentes a todos los polinomios. Para hacer esto, necesita utilizar métodos especiales para encontrar factores. Pero no todos los polinomios se pueden expandir o representar como un producto.
Método de agrupación
Hay casos en los que puedes agrupar los términos de un polinomio para encontrar un factor común y ponerlo entre paréntesis.
Ejemplo 9
Factoriza el polinomio x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Solución
Dado que los coeficientes son números enteros, es de suponer que las raíces también pueden ser números enteros. Para comprobarlo, tome los valores 1, - 1, 2 y - 2 para poder calcular el valor del polinomio en estos puntos. lo entendemos
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Esto demuestra que no hay raíces; es necesario utilizar otro método de expansión y solución.
Es necesario agrupar:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Después de agrupar el polinomio original, es necesario representarlo como el producto de dos trinomios cuadrados. Para hacer esto necesitamos factorizar. entendemos eso
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Comentario
La simplicidad de la agrupación no significa que elegir términos sea bastante fácil. No existe un método de solución específico, por lo que es necesario utilizar teoremas y reglas especiales.
Ejemplo 10
Factoriza el polinomio x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Solución
El polinomio dado no tiene raíces enteras. Los términos deben agruparse. lo entendemos
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Después de la factorización obtenemos que
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Usar fórmulas de multiplicación abreviadas y el binomio de Newton para factorizar un polinomio
La apariencia a menudo no siempre deja claro qué método se debe utilizar durante la descomposición. Una vez realizadas las transformaciones, puedes construir una línea que consista en el triángulo de Pascal; de lo contrario, se llama binomio de Newton.
Ejemplo 11
Factoriza el polinomio x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Solución
Es necesario convertir la expresión a la forma.
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
La secuencia de coeficientes de la suma entre paréntesis se indica mediante la expresión x + 1 4 .
Esto significa que tenemos x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Después de aplicar la diferencia de cuadrados, obtenemos
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Considere la expresión que está en el segundo paréntesis. Está claro que allí no hay caballos, por lo que deberíamos aplicar nuevamente la fórmula de la diferencia de cuadrados. Obtenemos una expresión de la forma.
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Ejemplo 12
Factorizar x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Solución
Empecemos a transformar la expresión. lo entendemos
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Es necesario aplicar la fórmula de multiplicación abreviada de la diferencia de cubos. Obtenemos:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Un método para reemplazar una variable al factorizar un polinomio
Al reemplazar una variable, se reduce el grado y se factoriza el polinomio.
Ejemplo 13
Factoriza el polinomio de la forma x 6 + 5 x 3 + 6 .
Solución
Según la condición, queda claro que es necesario realizar el reemplazo y = x 3. Obtenemos:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Las raíces de la ecuación cuadrática resultante son y = - 2 e y = - 3, entonces
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Es necesario aplicar la fórmula de multiplicación abreviada de la suma de cubos. Obtenemos expresiones de la forma:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Es decir, obtuvimos la descomposición deseada.
Los casos discutidos anteriormente ayudarán a considerar y factorizar un polinomio de diferentes maneras.
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