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Ubicación de las raíces del trinomio cuadrático.

El estudio de muchos patrones físicos y geométricos conduce a menudo a la resolución de problemas con parámetros. Algunas universidades también incluyen ecuaciones, desigualdades y sus sistemas en los exámenes, que a menudo son muy complejos y requieren un enfoque de solución no estándar. En la escuela, esta es una de las secciones más difíciles. curso escolar El álgebra se cubre solo en unos pocos cursos optativos o temáticos.
En mi opinión, el método gráfico funcional es conveniente y de una manera rapida Resolver ecuaciones con un parámetro.
Como se sabe, en relación a las ecuaciones con parámetros existen dos formulaciones del problema.

  1. Resuelva la ecuación (para cada valor de parámetro, encuentre todas las soluciones de la ecuación).
  2. Encuentre todos los valores del parámetro para cada uno de los cuales las soluciones de la ecuación satisfacen las condiciones dadas.

En este artículo, consideramos y estudiamos el problema del segundo tipo en relación con las raíces. trinomio cuadrático, hallazgo que se reduce a resolver una ecuación cuadrática.
El autor espera que este trabajo ayudará a los maestros a desarrollar lecciones y preparar a los estudiantes para el Examen Estatal Unificado.

1. ¿Qué es un parámetro?

Expresión de la forma ah 2 + bx + c en el curso de álgebra del colegio lo llaman trinomio cuadrático con respecto a INCÓGNITA, Dónde a, b, c se dan números reales, y, a=/= 0. Los valores de la variable x en los que la expresión se vuelve cero se denominan raíces del trinomio cuadrado. Para encontrar las raíces de un trinomio cuadrático, debes resolver la ecuación cuadrática. ah 2 + bх + c = 0.
Recordemos las ecuaciones básicas del curso de álgebra escolar. hacha + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Al buscar sus raíces, los valores de las variables. a, b, c, incluidos en la ecuación se consideran fijos y dados. Las variables mismas se denominan parámetros. Dado que no existe una definición del parámetro en los libros de texto escolares, propongo tomar como base la siguiente versión más simple.

Definición.Un parámetro es una variable independiente, cuyo valor en el problema se considera un número real fijo o arbitrario dado, o un número que pertenece a un conjunto predeterminado.

2. Tipos y métodos básicos para resolver problemas con parámetros.

Entre las tareas con parámetros, se pueden distinguir los siguientes tipos principales de tareas.

  1. Ecuaciones que deben resolverse ya sea para cualquier valor de un parámetro o para valores de parámetros pertenecientes a un conjunto predeterminado. Por ejemplo. Resolver ecuaciones: hacha = 1, (a - 2)x = un 2 – 4.
  2. Ecuaciones para las que es necesario determinar el número de soluciones en función del valor del parámetro (parámetros). Por ejemplo. ¿En qué valores de parámetros? a ecuación 4incógnita 2 – 4hacha + 1 = 0 tiene una sola raíz?
  3. Ecuaciones para las cuales, para los valores de parámetros requeridos, el conjunto de soluciones satisface las condiciones especificadas en el dominio de definición.

Por ejemplo, encuentre los valores de los parámetros en los que las raíces de la ecuación ( a - 2)incógnita 2 – 2hacha + un + 3 = 0 positivo.
Las principales formas de resolver problemas con un parámetro: analítica y gráfica.

Analítico- este es un método de los llamados solución directa, repitiendo procedimientos estándar para encontrar la respuesta en problemas sin parámetro. Veamos un ejemplo de tal tarea.

Tarea número 1

¿A qué valores del parámetro a la ecuación incógnita 2 – 2hacha + un 2 – 1 = 0 tiene dos raíces diferentes pertenecientes al intervalo (1; 5)?

Solución

incógnita 2 – 2hacha + un 2 – 1 = 0.
Según las condiciones del problema, la ecuación debe tener dos raíces diferentes, y esto sólo es posible bajo la condición: D > 0.
Tenemos: D = 4 a 2 – 2(A 2 – 1) = 4. Como podemos ver, el discriminante no depende de a, por lo tanto, la ecuación tiene dos raíces diferentes para cualquier valor del parámetro a. Encontremos las raíces de la ecuación: incógnita 1 = A + 1, incógnita 2 = A – 1
Las raíces de la ecuación deben pertenecer al intervalo (1; 5), es decir
Entonces, a las 2<A < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Respuesta: 2<A < 4.
Este enfoque para resolver problemas del tipo considerado es posible y racional en los casos en que el discriminante de la ecuación cuadrática sea "bueno", es decir es el cuadrado exacto de cualquier número o expresión, o las raíces de la ecuación se pueden encontrar usando el teorema inverso de Vieta. Entonces las raíces no representan expresiones irracionales. Por lo demás, la resolución de problemas de este tipo implica procedimientos bastante complejos desde el punto de vista técnico. Y resolver desigualdades irracionales requiere nuevos conocimientos por parte del estudiante.

Gráfico- este es un método en el que se utilizan gráficas en el plano de coordenadas (x; y) o (x; a). La claridad y belleza de este método de solución ayuda a encontrar una manera rápida de resolver el problema. Resolvamos gráficamente el problema número 1.
Como sabes por un curso de álgebra, las raíces de una ecuación cuadrática (trinomio cuadrático) son los ceros de la función cuadrática correspondiente: Y = incógnita 2 – 2Oh + A 2 – 1. La gráfica de la función es una parábola, las ramas están dirigidas hacia arriba (el primer coeficiente es 1). Un modelo geométrico que cumple con todos los requisitos del problema se ve así.

Ahora solo queda “fijar” la parábola en la posición deseada utilizando las condiciones necesarias.

    1. Como una parábola tiene dos puntos de intersección con el eje incógnita, entonces D > 0.
    2. El vértice de la parábola está entre las líneas verticales. incógnita= 1 y incógnita= 5, por lo tanto la abscisa del vértice de la parábola x o pertenece al intervalo (1; 5), es decir
      1 <incógnita oh< 5.
    3. notamos que en(1) > 0, en(5) > 0.

Entonces, pasando del modelo geométrico del problema al analítico, obtenemos un sistema de desigualdades.

Respuesta: 2<A < 4.

Como puede verse en el ejemplo, un método gráfico para resolver problemas del tipo considerado es posible en el caso de que las raíces sean "malas", es decir, contener un parámetro bajo el signo radical (en este caso, el discriminante de la ecuación no es un cuadrado perfecto).
En el segundo método de solución trabajamos con los coeficientes de la ecuación y el rango de la función. en = incógnita 2 – 2Oh + A 2 – 1.
Este método de solución no puede llamarse solo gráfico, porque aquí tenemos que resolver un sistema de desigualdades. Más bien, este método es combinado: funcional y gráfico. De estos dos métodos, el último no sólo es elegante, sino también el más importante, ya que muestra la relación entre todo tipo de modelos matemáticos: una descripción verbal del problema, un modelo geométrico - una gráfica de un trinomio cuadrático, un análisis modelo: una descripción de un modelo geométrico mediante un sistema de desigualdades.
Entonces, hemos considerado un problema en el que las raíces de un trinomio cuadrático satisfacen condiciones dadas en el dominio de definición para los valores de parámetros deseados.

¿Qué otras condiciones posibles pueden satisfacer las raíces de un trinomio cuadrático para los valores de parámetros deseados?

Profesor de la categoría más alta: Minaichenko N.S., gimnasio n.° 24, Sebastopol

Lección en octavo grado: "Trinomio cuadrado y sus raíces"

tipo de lección : lección de nuevos conocimientos.

Objetivo de la lección:

    organizar actividades estudiantiles para consolidar y desarrollar conocimientos sobre la descomposición de un trinomio cuadrático en factores lineales y la reducción de fracciones;

    desarrollar habilidades para aplicar el conocimiento de todos los métodos de factorización: poner entre paréntesis, usar fórmulas de multiplicación abreviadas y métodos de agrupación para prepararse para aprobar con éxito el examen de álgebra;

    crear las condiciones para el desarrollo del interés cognitivo en el tema, la formación del pensamiento lógico y el autocontrol al utilizar la factorización.

Equipo: proyector multimedia, pantalla, presentación: “Raíces del trinomio cuadrado”, crucigrama, examen, folletos.

Conceptos básicos . Factorizar un trinomio cuadrático.

Actividad independiente de los estudiantes. Aplicación del teorema de factorización de un trinomio cuadrático en la resolución de problemas.

Plan de lección

Resolución de problemas.

Respuestas a las preguntas de los estudiantes.

IV. Prueba primaria de adquisición de conocimientos. Reflexión

Mensaje del maestro.

Mensaje estudiantil

V. Tarea

Escribiendo en la pizarra

Comentario metodológico:

Este tema es fundamental en el apartado “Transformaciones idénticas de expresiones algebraicas”. Por lo tanto, es importante que los estudiantes puedan automáticamente no solo ver fórmulas de factorización en ejemplos, sino también aplicarlas en otras tareas: como resolver ecuaciones, transformar expresiones, demostrar identidades.

Este tema se centra en factorizar un trinomio cuadrático:

hacha+ bx + c = a(x – x)(x-x),

donde x y x – raíces de la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0.

Esto le permite ampliar el campo de visión del estudiante, enseñarle a pensar en una situación no estándar, utilizando el material que se está estudiando, es decir. usando la fórmula para factorizar un trinomio cuadrático:

    capacidad para reducir fracciones algebraicas;

    capacidad para simplificar expresiones algebraicas;

    capacidad para resolver ecuaciones;

    capacidad para probar identidades.

Contenido de la lección principal:

a) 3x + 5x – 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x – 12x + 24;

d) –5x + 6x – 1.

№2. Reducir la fracción:

№3. Simplifica la expresión:

№4. Resuelve la ecuación:

b)

Progreso de la lección:

I. Etapa de actualización de conocimientos.

Motivación para las actividades de aprendizaje.

a) de la historia:

b) crucigrama:

Calentamiento y entrenamiento de la mente – crucigrama:

Horizontal:

1) La raíz de segundo grado se llama…. (cuadrado)

2) Valores de la variable en la que la ecuación se convierte en igualdad verdadera (raíces)

3) Una igualdad que contiene una incógnita se llama... (ecuación)

4) científico indio, quien estableció la regla general para resolver ecuaciones cuadráticas (Brahmagupta)

5) Los coeficientes de una ecuación cuadrática son... (números)

6) Científico griego antiguo que inventó un método geométrico para resolver ecuaciones (Euclides)

7) Teorema que conecta coeficientes y raíces de una ecuación cuadrática (Vieta)

8) “discriminante”, determinando las raíces de una ecuación cuadrática – esto es... (discriminante)

Además:

    Si D>0, ¿cuántas raíces? (dos)

    Si D=0, ¿cuántas raíces? (uno)

    Si D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Tema de la lección horizontal y vertical: “Trinomio cuadrado”

b) motivación:

Este tema es fundamental en el apartado “Transformaciones idénticas de expresiones algebraicas”. Por lo tanto, es importante que automáticamente puedas no solo ver fórmulas de factorización en ejemplos, sino también aplicarlas en otras tareas: como reducir fracciones, resolver ecuaciones, transformar expresiones, demostrar identidades.

Hoy nos centraremos en factorizar el trinomio cuadrático:

II. Aprender material nuevo.

Tema: Trinomio cuadrado y sus raíces.

La teoría general de los polinomios de muchas variables va mucho más allá del alcance del curso escolar. Por tanto, nos limitaremos a estudiar polinomios de una variable real, y sólo en los casos más simples. Consideremos polinomios de una variable, reducidos a su forma estándar.



    Raíz de un polinomio es el valor de una variable en la que el valor del polinomio es igual a cero. Esto significa que para encontrar las raíces de un polinomio, es necesario igualarlo a cero, es decir, resuelve la ecuación.

Raíz de un polinomio de primer grado.
fácil de encontrar
. Examen:
.

Las raíces de un trinomio cuadrático se pueden encontrar resolviendo la ecuación:
.

Usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática encontramos:

;

Teorema (sobre factorizar un trinomio cuadrático ):

Si Y -raíces de un trinomio cuadrado
, Dónde ≠ 0,

Eso .

Prueba:

Realicemos las siguientes transformaciones del trinomio cuadrático:

=
=
=

=
=
=

=
=

Desde el discriminante
, obtenemos:

=
=

Apliquemos la fórmula de diferencia de cuadrados entre paréntesis y obtengamos:

=
=
,

porque
;
. El teorema ha sido demostrado.

La fórmula resultante se llama fórmula.factorizar un trinomio cuadrático.

III. Formación de habilidades y destrezas.

№1. Factoriza el trinomio cuadrático:

a) 3x + 5x – 2;

Solución:

Respuesta: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

En el tablero:

b) –5x + 6x – 1;

Además:

c) x – 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Reducir la fracción:

A)

№4. Resuelve la ecuación:

b)

IV. Prueba primaria de adquisición de conocimientos.

A) Prueba.

Opción 1.

1. Encuentra las raíces del trinomio cuadrático:2x 2 -9x-5

Respuesta:

2. ¿Qué polinomio debe sustituirse por los puntos suspensivos para que la igualdad sea verdadera?

b) Verificación mutua de opciones (respuestas y se ilustran los parámetros de evaluación).

c) Reflexión.

V. Tarea.


Puedes encontrar la raíz de un trinomio cuadrado usando el discriminante. Además, para el polinomio reducido de segundo grado se aplica el teorema de Vieta, basado en la relación de los coeficientes.

Instrucciones

  • Las ecuaciones cuadráticas son un tema bastante extenso en el álgebra escolar. El lado izquierdo de dicha ecuación es un polinomio de segundo grado de la forma A x² + B x + C, es decir una expresión de tres monomios de distintos grados de x desconocida. Para encontrar la raíz de un trinomio cuadrado, debes calcular el valor de x en el que esta expresión es igual a cero.
  • Para resolver una ecuación cuadrática, necesitas encontrar el discriminante. Su fórmula es consecuencia de aislar el cuadrado completo del polinomio y representa una determinada proporción de sus coeficientes: D = B² – 4 A C.
  • El discriminante puede adoptar varios valores, incluido el de ser negativo. Y si los escolares más jóvenes pueden decir con alivio que tal ecuación no tiene raíces, entonces los estudiantes de secundaria ya pueden determinarlas basándose en la teoría de los números complejos. Entonces, puede haber tres opciones: Discriminante – un número positivo. Entonces las raíces de la ecuación son iguales: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
    El discriminante fue a cero. Teóricamente, en este caso la ecuación también tiene dos raíces, pero prácticamente son iguales: x1 = x2 = -B/2 A;
    El discriminante es menor que cero. Se introduce en el cálculo un determinado valor i² = -1, lo que nos permite escribir una solución compleja: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A.
  • El método discriminante es válido para cualquier ecuación cuadrática, pero hay situaciones en las que es recomendable utilizar un método más rápido, especialmente para coeficientes enteros pequeños. Este método se llama teorema de Vieta y consta de un par de relaciones entre los coeficientes del trinomio reducido: x² + P x + Q
    x1 + x2 = -P;
    x1 x2 = Q. Sólo queda encontrar las raíces.
  • Cabe señalar que la ecuación se puede reducir a una forma similar. Para hacer esto, debes dividir todos los términos del trinomio por el coeficiente de la potencia más alta A: A x² + B x + C |A
    x² + B/A x + C/A
    x1 + x2 = -B/A;
    x1 x2 = C/A.

El tema “Trinomio cuadrado y sus raíces” se estudia en el curso de álgebra de noveno grado. Como cualquier otra lección de matemáticas, una lección sobre este tema requiere herramientas y métodos de enseñanza especiales. La visibilidad es necesaria. Uno de ellos es este vídeo tutorial, que fue diseñado específicamente para facilitar el trabajo del profesor.

Esta lección tiene una duración de 6:36 minutos. Durante este tiempo, el autor logra revelar el tema por completo. El profesor sólo tendrá que seleccionar tareas sobre el tema para reforzar el material.

La lección comienza mostrando ejemplos de polinomios con una variable. Luego aparece en pantalla la definición de la raíz del polinomio. Esta definición está respaldada por un ejemplo en el que es necesario encontrar las raíces de un polinomio. Resuelta la ecuación, el autor obtiene las raíces del polinomio.

Lo siguiente es una observación de que los trinomios cuadráticos también incluyen aquellos polinomios de segundo grado en los que el segundo, tercer o ambos coeficientes, excepto el principal, son iguales a cero. Esta información está respaldada por un ejemplo donde el coeficiente libre es cero.

Luego, el autor explica cómo encontrar las raíces de un trinomio cuadrático. Para hacer esto, necesitas resolver una ecuación cuadrática. Y el autor propone comprobar esto con un ejemplo en el que se da un trinomio cuadrático. Necesitamos encontrar sus raíces. La solución se construye a partir de la solución de la ecuación cuadrática obtenida del trinomio cuadrático dado. La solución está escrita en la pantalla de forma detallada, clara y comprensible. Mientras resuelve este ejemplo, el autor recuerda cómo resolver una ecuación cuadrática, escribe las fórmulas y obtiene el resultado. La respuesta se graba en la pantalla.

El autor explicó cómo encontrar las raíces de un trinomio cuadrado basándose en un ejemplo. Cuando los estudiantes comprenden la esencia, pueden pasar a puntos más generales, que es lo que hace el autor. Por lo tanto, resume con más detalle todo lo anterior. En términos generales en lenguaje matemático, el autor escribe la regla para encontrar las raíces de un trinomio cuadrado.

Lo siguiente es un comentario de que en algunos problemas es más conveniente escribir el trinomio cuadrático de manera un poco diferente. Esta entrada se muestra en la pantalla. Es decir, resulta que de un trinomio cuadrado se puede extraer el cuadrado de un binomio. Se propone considerar tal transformación con un ejemplo. La solución a este ejemplo se muestra en la pantalla. Como en el ejemplo anterior, la solución se construye detalladamente con todas las explicaciones necesarias. Luego, el autor considera un problema que utiliza la información que se acaba de dar. Este es un problema de prueba geométrica. La solución contiene una ilustración en forma de dibujo. La solución al problema se describe detallada y claramente.

Esto concluye la lección. Pero el profesor puede seleccionar tareas basadas en las habilidades de los estudiantes que correspondan al tema dado.

Esta lección en video se puede utilizar como explicación de material nuevo en lecciones de álgebra. Es perfecto para que los estudiantes se preparen de forma independiente para la lección.

Encontrar las raíces de un trinomio cuadrático

Objetivos: introducir el concepto de trinomio cuadrático y sus raíces; Desarrollar la capacidad de encontrar las raíces de un trinomio cuadrado.

Progreso de la lección

I. Momento organizativo.

II. Trabajo oral.

¿Cuál de los números: –2; –1; 1; 2-son las raíces de las ecuaciones?

a) 8 incógnita+ 16 = 0; V) incógnita 2 + 3incógnita – 4 = 0;

segundo) 5 incógnita 2 – 5 = 0; GRAMO) incógnita 3 – 3incógnita – 2 = 0.

III. Explicación de material nuevo.

La explicación del material nuevo debe realizarse de acuerdo con el siguiente esquema:

1) Introducir el concepto de raíz de un polinomio.

2) Introducir el concepto de trinomio cuadrático y sus raíces.

3) Analizar la cuestión del número posible de raíces de un trinomio cuadrado.

La cuestión de aislar el cuadrado de un binomio de un trinomio cuadrado se analiza mejor en la siguiente lección.

En cada etapa de explicación de material nuevo, es necesario ofrecer a los estudiantes una tarea oral para evaluar su dominio de los puntos principales de la teoría.

Tarea 1. ¿Cuál de los números: –1; 1; ; 0 – son las raíces del polinomio incógnita 4 + 2incógnita 2 – 3?

Tarea 2. ¿Cuáles de los siguientes polinomios son trinomios cuadráticos?

1) 2incógnita 2 + 5incógnita – 1; 6) incógnita 2 – incógnita – ;

2) 2incógnita – ; 7) 3 – 4incógnita + incógnita 2 ;

3) 4incógnita 2 + 2incógnita + incógnita 3 ; 8) incógnita + 4incógnita 2 ;

4) 3incógnita 2 – ; 9) + 3incógnita – 6;

5) 5incógnita 2 – 3incógnita; 10) 7incógnita 2 .

¿Qué trinomios cuadráticos tienen raíz de 0?

Tarea 3. ¿Puede un trinomio cuadrado tener tres raíces? ¿Por qué? ¿Cuántas raíces tiene un trinomio cuadrado? incógnita 2 + incógnita – 5?

IV. Formación de habilidades y destrezas.

Ceremonias:

1. № 55, № 56, № 58.

2. N° 59 (a, c, d), N° 60 (a, c).

En esta tarea no necesitas buscar las raíces de trinomios cuadráticos. Basta encontrar su discriminante y responder a la pregunta planteada.

a) 5 incógnita 2 – 8incógnita + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, lo que significa que este trinomio cuadrático tiene dos raíces.

segundo) 9 incógnita 2 + 6incógnita + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, lo que significa que el trinomio cuadrado tiene una raíz.

c) –7 incógnita 2 + 6incógnita – 2 = 0;

7incógnita 2 – 6incógnita + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Si queda tiempo, puedes hacer el número 63.

Solución

Dejar hacha 2 + bx + do es un trinomio cuadrático dado. Desde a+ b +
+c= 0, entonces una de las raíces de este trinomio es igual a 1. Según el teorema de Vieta, la segunda raíz es igual a . Según la condición, Con = 4A, entonces la segunda raíz de este trinomio cuadrático es igual a
.

RESPUESTA: 1 y 4.

V. Resumen de la lección.

Preguntas frecuentes:

– ¿Cuál es la raíz de un polinomio?

– ¿Qué polinomio se llama trinomio cuadrático?

– ¿Cómo encontrar las raíces de un trinomio cuadrático?

– ¿Cuál es el discriminante de un trinomio cuadrático?

– ¿Cuántas raíces puede tener un trinomio cuadrado? ¿De qué depende esto?

Tarea: N° 57, N° 59 (b, d, f), N° 60 (b, d), N° 62.