Mantener su privacidad es importante para nosotros. Por este motivo, hemos desarrollado una Política de Privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Revise nuestras prácticas de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.
Recopilación y uso de información personal.
La información personal se refiere a datos que pueden usarse para identificar o contactar a una persona específica.
Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.
A continuación se muestran algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.
Qué información personal recopilamos:
- Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar diversa información, incluido su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.
Cómo utilizamos su información personal:
- La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted con ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
- De vez en cuando, podemos utilizar su información personal para enviar avisos y comunicaciones importantes.
- También podemos utilizar información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos e investigaciones diversas para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
- Si participa en un sorteo de premios, concurso o promoción similar, podremos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.
Divulgación de información a terceros
No revelamos la información que recibimos de usted a terceros.
Excepciones:
- Si es necesario, de conformidad con la ley, procedimiento judicial, en procesos judiciales, y/o en base a consultas públicas o solicitudes de agencias gubernamentales en el territorio de la Federación de Rusia: divulgar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada para fines de seguridad, aplicación de la ley u otros fines de importancia pública.
- En caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.
Protección de información personal
Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal contra pérdida, robo y uso indebido, así como contra acceso no autorizado, divulgación, alteración y destrucción.
Respetando su privacidad a nivel de empresa
Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos estándares de privacidad y seguridad a nuestros empleados y aplicamos estrictamente las prácticas de privacidad.
En matemáticas, uno de los parámetros que describe la posición de una línea en el plano de coordenadas cartesianas es pendiente esta línea recta. Este parámetro caracteriza la pendiente de la línea recta hacia el eje de abscisas. Para entender cómo encontrar la pendiente, primero recuerde la forma general de la ecuación de una línea recta en el sistema de coordenadas XY.
En general, cualquier línea recta se puede representar mediante la expresión ax+by=c, donde a, b y c son números reales arbitrarios, pero a 2 + b 2 ≠ 0.
Usando transformaciones simples, dicha ecuación se puede llevar a la forma y=kx+d, en la que k y d son números reales. El número k es la pendiente, y la ecuación de una recta de este tipo se llama ecuación con pendiente. Resulta que para encontrar la pendiente, simplemente necesitas reducir la ecuación original a la forma indicada arriba. Para una comprensión más completa, considere un ejemplo específico:
Problema: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 36x - 18y = 108
Solución: Transformemos la ecuación original.
Respuesta: La pendiente requerida de esta recta es 2.
Si al transformar la ecuación obtuvimos una expresión como x = const y como resultado no podemos representar y en función de x, entonces estamos ante una línea recta paralela al eje X. El coeficiente angular de tal. una línea recta es igual al infinito.
Para rectas expresadas por una ecuación como y = const, la pendiente es cero. Esto es típico de líneas rectas paralelas al eje de abscisas. Por ejemplo:
Problema: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Solución: llevemos la ecuación original a su forma general.
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Es imposible expresar y a partir de la expresión resultante, por lo tanto, el coeficiente angular de esta línea es igual al infinito y la línea misma será paralela al eje Y.
Significado geométrico
Para mejor comprensión Veamos la imagen:
En la figura vemos una gráfica de una función como y = kx. Para simplificar, tomemos el coeficiente c = 0. En el triángulo OAB, la relación entre el lado BA y AO será igual al coeficiente angular k. Al mismo tiempo, la relación VA/AO es la tangente ángulo agudoα en triangulo rectángulo OVA. Resulta que el coeficiente angular de la recta es igual a la tangente del ángulo que forma esta recta con el eje de abscisas de la cuadrícula de coordenadas.
Resolviendo el problema de cómo encontrar el coeficiente angular de una línea recta, encontramos la tangente del ángulo entre ella y el eje X de la cuadrícula de coordenadas. Los casos límite, cuando la línea en cuestión es paralela a los ejes de coordenadas, confirman lo anterior. De hecho, para una línea recta descrita por la ecuación y=const, el ángulo entre ella y el eje de abscisas es cero. La tangente del ángulo cero también es cero y la pendiente también es cero.
Para líneas rectas perpendiculares al eje x y descritas por la ecuación x=const, el ángulo entre ellas y el eje x es de 90 grados. Tangente ángulo recto es igual al infinito, y el coeficiente angular de rectas similares también es igual al infinito, lo que confirma lo escrito anteriormente.
pendiente tangente
Una tarea común que se encuentra a menudo en la práctica es también encontrar la pendiente de una tangente a la gráfica de una función en un punto determinado. Una tangente es una recta, por lo que también le es aplicable el concepto de pendiente.
Para saber cómo encontrar la pendiente de una tangente, necesitaremos recordar el concepto de derivada. La derivada de cualquier función en algún punto es una constante, numéricamente igual a tangente el ángulo formado entre la tangente en un punto específico a la gráfica de esta función y el eje de abscisas. Resulta que para determinar el coeficiente angular de la tangente en el punto x 0, necesitamos calcular el valor de la derivada de la función original en este punto k = f"(x 0). Veamos el ejemplo:
Problema: Encuentra la pendiente de la recta tangente a la función y = 12x 2 + 2xe x en x = 0,1.
Solución: encuentre la derivada de la función original en forma general.
y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1
Respuesta: La pendiente requerida en el punto x = 0,1 es 4,831
Continuación del tema, la ecuación de una recta en un plano se basa en el estudio de una recta de las lecciones de álgebra. Este artículo proporciona información general sobre el tema de la ecuación de una línea recta con pendiente. Consideremos las definiciones, obtengamos la ecuación en sí e identifiquemos la conexión con otros tipos de ecuaciones. Todo se discutirá utilizando ejemplos de resolución de problemas.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Antes de escribir una ecuación de este tipo, es necesario definir el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje O x con su coeficiente angular. Supongamos que se da un sistema de coordenadas cartesiano O x en el plano.
Definición 1
El ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje O x, ubicado en el sistema de coordenadas cartesianas O x y en el plano, este es el ángulo que se mide desde la dirección positiva O x hasta la línea recta en sentido antihorario.
Cuando la recta es paralela a O x o coincide en ella, el ángulo de inclinación es 0. Entonces el ángulo de inclinación de la recta α dada se define en el intervalo [ 0 , π) .
Definición 2
Pendiente directa es la tangente del ángulo de inclinación de una recta dada.
La designación estándar es k. De la definición encontramos que k = t g α . Cuando la recta es paralela a Ox, dicen que la pendiente no existe, ya que llega al infinito.
La pendiente es positiva cuando la gráfica de la función aumenta y viceversa. La figura muestra varias variaciones en la ubicación del ángulo recto con respecto al sistema de coordenadas con el valor del coeficiente.
Para encontrar este ángulo, es necesario aplicar la definición del coeficiente angular y calcular la tangente del ángulo de inclinación en el plano.
Solución
De la condición tenemos que α = 120°. Por definición, se debe calcular la pendiente. Encontrémoslo a partir de la fórmula k = t g α = 120 = - 3.
Respuesta: k = - 3 .
Si se conoce el coeficiente angular y es necesario encontrar el ángulo de inclinación con respecto al eje de abscisas, entonces se debe tener en cuenta el valor del coeficiente angular. Si k > 0, entonces el ángulo recto es agudo y se encuentra mediante la fórmula α = a r c t g k. si k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Ejemplo 2
Determine el ángulo de inclinación de la línea recta dada hacia O x con un coeficiente angular de 3.
Solución
De la condición tenemos que el coeficiente angular es positivo, lo que significa que el ángulo de inclinación hacia O x es menor de 90 grados. Los cálculos se realizan utilizando la fórmula α = a r c t g k = a r c t g 3.
Respuesta: α = a r c t g 3 .
Ejemplo 3
Encuentre el ángulo de inclinación de la línea recta al eje O x si la pendiente = - 1 3.
Solución
Si tomamos la letra k como designación del coeficiente angular, entonces α es el ángulo de inclinación de una línea recta dada en la dirección positiva O x. Por lo tanto k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
Respuesta: 5 π 6 .
Una ecuación de la forma y = k x + b, donde k es la pendiente y b es algún número real, se llama ecuación de una recta con pendiente. La ecuación es típica de cualquier línea recta que no sea paralela al eje O y.
Si consideramos en detalle una línea recta sobre un plano en un sistema de coordenadas fijo, que se especifica mediante una ecuación con un coeficiente angular que tiene la forma y = k x + b. EN en este caso significa que la ecuación corresponde a las coordenadas de cualquier punto de la recta. Si sustituimos las coordenadas del punto M, M 1 (x 1, y 1) en la ecuación y = k x + b, entonces en este caso la línea recta pasará por este punto, de lo contrario el punto no pertenece a la línea.
Ejemplo 4
Se da una recta con pendiente y = 1 3 x - 1. Calcula si los puntos M 1 (3, 0) y M 2 (2, - 2) pertenecen a la recta dada.
Solución
Es necesario sustituir las coordenadas del punto M 1 (3, 0) en la ecuación dada, luego obtenemos 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. La igualdad es verdadera, lo que significa que el punto pertenece a la recta.
Si sustituimos las coordenadas del punto M 2 (2, - 2), obtenemos una igualdad incorrecta de la forma - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Podemos concluir que el punto M 2 no pertenece a la recta.
Respuesta: M 1 pertenece a la línea, pero M 2 no.
Se sabe que la recta está definida por la ecuación y = k · x + b, pasando por M 1 (0, b), al sustituir obtuvimos una igualdad de la forma b = k · 0 + b ⇔ b = b. De esto podemos concluir que la ecuación de una recta con un coeficiente angular y = k x + b en el plano define una recta que pasa por el punto 0, b. Forma un ángulo α con la dirección positiva del eje O x, donde k = t g α.
Consideremos, como ejemplo, una línea recta definida utilizando un coeficiente angular especificado en la forma y = 3 x - 1. Obtenemos que la recta pasará por el punto de coordenadas 0, - 1 con pendiente α = a r c t g 3 = π 3 radianes en el sentido positivo del eje O x. Esto muestra que el coeficiente es 3.
Ecuación de una recta con pendiente que pasa por un punto dado
Es necesario resolver un problema donde es necesario obtener la ecuación de una recta con una pendiente dada que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1).
La igualdad y 1 = k · x + b puede considerarse válida, ya que la recta pasa por el punto M 1 (x 1, y 1). Para eliminar el número b, debes restar la ecuación con la pendiente de los lados izquierdo y derecho. De esto se deduce que y - y 1 = k · (x - x 1) . Esta igualdad se llama ecuación de una línea recta con una pendiente k dada, que pasa por las coordenadas del punto M 1 (x 1, y 1).
Ejemplo 5
Escribe una ecuación para una línea recta que pasa por el punto M 1 con coordenadas (4, - 1), con un coeficiente angular igual a - 2.
Solución
Por condición tenemos que x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. A partir de aquí la ecuación de la recta se escribirá de la siguiente manera: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Respuesta: y = - 2 x + 7 .
Ejemplo 6
Escribe la ecuación de una recta con coeficiente angular que pasa por el punto M 1 de coordenadas (3, 5), paralela a la recta y = 2 x - 2.
Solución
Por condición, tenemos que las rectas paralelas tienen ángulos de inclinación idénticos, lo que significa que los coeficientes angulares son iguales. Para encontrar la pendiente desde ecuación dada, debes recordar su fórmula básica y = 2 x - 2, se deduce que k = 2. Creamos una ecuación con el coeficiente de pendiente y obtenemos:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Respuesta: y = 2 x - 1 .
Transición de una ecuación en línea recta con pendiente a otros tipos de ecuaciones en línea recta y viceversa
Esta ecuación no siempre es aplicable para resolver problemas, ya que no es del todo conveniente escribirla. Para hacer esto, debe presentarlo en una forma diferente. Por ejemplo, una ecuación de la forma y = k · x + b no nos permite escribir las coordenadas del vector director de una recta o las coordenadas de un vector normal. Para hacer esto, necesitas aprender a representar con ecuaciones de otro tipo.
podemos conseguir ecuación canónica recta en un plano usando la ecuación de una recta con pendiente. Obtenemos x - x 1 a x = y - y 1 a y . Es necesario mover el término b hacia el lado izquierdo y dividirlo por la expresión de la desigualdad resultante. Luego obtenemos una ecuación de la forma y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
La ecuación de una recta con pendiente se ha convertido en la ecuación canónica de esta recta.
Ejemplo 7
Lleva la ecuación de una línea recta con un coeficiente angular y = - 3 x + 12 a forma canónica.
Solución
Calculémoslo y presentémoslo en forma de ecuación canónica de línea recta. Obtenemos una ecuación de la forma:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Respuesta: x 1 = y - 12 - 3.
La ecuación general de una línea recta es más fácil de obtener a partir de y = k · x + b, pero para ello es necesario hacer transformaciones: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Se hace una transición de ecuación general recta a ecuaciones de otro tipo.
Ejemplo 8
Dada una ecuación en línea recta de la forma y = 1 7 x - 2 . ¿Averiguar si el vector con coordenadas a → = (- 1, 7) es un vector lineal normal?
Solución
Para resolver es necesario pasar a otra forma de esta ecuación, para ello escribimos:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Los coeficientes delante de las variables son las coordenadas del vector normal de la recta. Escribámoslo así: n → = 1 7, - 1, por lo tanto 1 7 x - y - 2 = 0. Está claro que el vector a → = (- 1, 7) es colineal con el vector n → = 1 7, - 1, ya que tenemos la relación justa a → = - 7 · n →. De ello se deduce que el vector original a → = - 1, 7 es un vector normal de la recta 1 7 x - y - 2 = 0, lo que significa que se considera un vector normal de la recta y = 1 7 x - 2.
Respuesta: Es
Resolvamos el problema inverso de éste.
Necesidad de pasar de vista general ecuaciones A x + B y + C = 0, donde B ≠ 0, a una ecuación con pendiente. Para hacer esto, resolvemos la ecuación para y. Obtenemos A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B .
El resultado es una ecuación con una pendiente igual a - A B .
Ejemplo 9
Se da una ecuación en línea recta de la forma 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Obtener la ecuación de una recta dada con un coeficiente angular.
Solución
Según la condición, es necesario resolver y, luego obtenemos una ecuación de la forma:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Respuesta: y = 1 6 x + 1 4 .
De manera similar se resuelve una ecuación de la forma x a + y b = 1, que se llama ecuación de una recta en segmentos, o tipo canónico x - x 1 a x = y - y 1 a y . Necesitamos resolverlo para y, sólo entonces obtenemos una ecuación con la pendiente:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
La ecuación canónica se puede reducir a una forma con un coeficiente angular. Para hacer esto:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Ejemplo 10
hay una linea recta dado por la ecuación x 2 + y - 3 = 1. Reducir a la forma de una ecuación con un coeficiente angular.
Solución.
Según la condición, es necesario transformar, luego obtenemos una ecuación de la forma _fórmula_. Ambos lados de la ecuación deben multiplicarse por - 3 para obtener la ecuación de pendiente requerida. Transformando obtenemos:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Respuesta: y = 3 2 x - 3 .
Ejemplo 11
Reduzca la ecuación de línea recta de la forma x - 2 2 = y + 1 5 a una forma con un coeficiente angular.
Solución
Es necesario calcular la expresión x - 2 2 = y + 1 5 como proporción. Obtenemos que 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1). Ahora necesitas habilitarlo completamente, para hacer esto:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Respuesta: y = 5 2 x - 6 .
Para resolver tales problemas, las ecuaciones paramétricas de la recta de la forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ deben reducirse a la ecuación canónica de la recta, solo después de esto se puede proceder a la ecuación con el coeficiente de pendiente.
Ejemplo 12
Encuentra la pendiente de la recta si está dada por ecuaciones paramétricas x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Solución
Es necesario pasar de la vista paramétrica a la pendiente. Para hacer esto, encontramos la ecuación canónica a partir de la paramétrica dada:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Ahora es necesario resolver esta igualdad con respecto a y para poder obtener la ecuación de una recta con coeficiente angular. Para ello, escribámoslo de esta manera:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Se deduce que la pendiente de la recta es 2. Esto se escribe como k = 2.
Respuesta: k = 2.
Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter
Al tema "El coeficiente angular de una tangente como tangente del ángulo de inclinación" en el examen de certificación se le asignan varias tareas a la vez. Dependiendo de su condición, es posible que se le solicite al graduado que proporcione una respuesta completa o una respuesta breve. En preparación para aprobar el examen estatal unificado En matemáticas, el estudiante definitivamente debe repetir problemas en los que es necesario calcular el coeficiente angular de una tangente.
Te ayudará a hacer esto portal educativo"Shkolkovo". Nuestros especialistas prepararon y presentaron material teórico y práctico de la forma más accesible posible. Una vez familiarizado con él, los titulados de cualquier nivel de formación podrán resolver con éxito problemas relacionados con derivadas en los que es necesario encontrar la tangente del ángulo tangente.
Reflejos
Para encontrar la solución correcta y racional a tales problemas en el Examen Estatal Unificado, es necesario recordar la definición básica: la derivada representa la tasa de cambio de una función; es igual a la tangente del ángulo tangente trazado a la gráfica de la función en un punto determinado. Es igualmente importante completar el dibujo. Te permitirá encontrar la decisión correcta Problemas con el examen estatal unificado sobre la derivada, en la que es necesario calcular la tangente del ángulo tangente. Para mayor claridad, es mejor trazar el gráfico en el plano OXY.
Si ya está familiarizado con el material básico sobre el tema de las derivadas y está listo para comenzar a resolver problemas sobre el cálculo de la tangente del ángulo tangente, como Asignaciones del examen estatal unificado, puedes hacerlo en línea. Para cada tarea, por ejemplo, problemas sobre el tema "Relación de una derivada con la velocidad y aceleración de un cuerpo", escribimos la respuesta correcta y el algoritmo de solución. Al mismo tiempo, los estudiantes pueden practicar la realización de tareas de distintos niveles de complejidad. Si es necesario, el ejercicio se puede guardar en la sección “Favoritos” para poder discutir la solución con el profesor más adelante.