Dejemos que las líneas rectas se den en el espacio. yo Y metro. Por algún punto A del espacio trazamos líneas rectas. yo 1 || yo Y metro 1 || metro(Figura 138).
Tenga en cuenta que el punto A se puede elegir arbitrariamente; en particular, puede estar en una de estas líneas. si es heterosexual yo Y metro se cruzan, entonces A se puede tomar como el punto de intersección de estas líneas ( yo 1 = yo Y metro 1 = metro).
Ángulo entre rectas no paralelas yo Y metro es el valor del menor de los ángulos adyacentes formados por líneas que se cruzan yo 1 Y metro 1 (yo 1 || yo, metro 1 || metro). El ángulo entre líneas paralelas se considera igual a cero.
Ángulo entre rectas yo Y metro denotado por \(\widehat((l;m))\). De la definición se deduce que si se mide en grados, entonces 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, y si está en radianes, entonces 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Tarea. Dado un cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).
Encuentra el ángulo entre las rectas AB y DC 1.
Líneas rectas AB y DC 1 cruce. Dado que la recta DC es paralela a la recta AB, el ángulo entre las rectas AB y DC 1, según la definición, es igual a \(\widehat(C_(1)DC)\).
Por lo tanto, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Directo yo Y metro son llamados perpendicular, si \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Por ejemplo, en un cubo
Cálculo del ángulo entre rectas.
El problema de calcular el ángulo entre dos rectas en el espacio se resuelve de la misma forma que en un plano. Denotemos por φ la magnitud del ángulo entre las líneas. yo 1 Y yo 2, y a través de ψ - la magnitud del ángulo entre los vectores directores A Y b estas líneas rectas.
Entonces sí
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Fig. 206.6), entonces φ = 180° - ψ. Evidentemente, en ambos casos la igualdad cos φ = |cos ψ| es cierta. Según la fórmula (el coseno del ángulo entre los vectores a y b distintos de cero es igual al producto escalar de estos vectores dividido por el producto de sus longitudes) tenemos
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
por eso,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Que las rectas las den las suyas. ecuaciones canónicas
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Y \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Entonces el ángulo φ entre las líneas se determina usando la fórmula
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Si una de las rectas (o ambas) está dada por ecuaciones no canónicas, entonces para calcular el ángulo es necesario encontrar las coordenadas de los vectores directores de estas rectas y luego usar la fórmula (1).
Tarea 1. Calcular el ángulo entre líneas.
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;y\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Los vectores de dirección de líneas rectas tienen coordenadas:
a = (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
Usando la fórmula (1) encontramos
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Por lo tanto, el ángulo entre estas líneas es de 60°.
Tarea 2. Calcular el ángulo entre líneas.
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) y \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(casos)$$
Detrás del vector guía A toma la primera línea recta producto vectorial vectores normales norte 1 = (3; 0; -12) y norte 2 = (1; 1; -3) planos que definen esta línea. Usando la fórmula \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) obtenemos
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
De manera similar, encontramos el vector director de la segunda línea recta:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Pero usando la fórmula (1) calculamos el coseno del ángulo deseado:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Por lo tanto, el ángulo entre estas líneas es de 90°.
Tarea 3. EN Pirámide triangular Las costillas MABC MA, MB y MS son mutuamente perpendiculares (Fig. 207);
sus longitudes son respectivamente 4, 3, 6. El punto D es el medio [MA]. Encuentra el ángulo φ entre las líneas CA y DB.
Sean CA y DB los vectores directores de las rectas CA y DB.
Tomemos el punto M como origen de coordenadas. Por la condición de la ecuación tenemos A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Por lo tanto \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Usemos la fórmula (1):
$$ porque\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Usando la tabla de cosenos, encontramos que el ángulo entre las rectas CA y DB es de aproximadamente 72°.
Con la ayuda de este calculadora online Puedes encontrar el ángulo entre líneas rectas. Dado solución detallada con explicaciones. Para calcular el ángulo entre líneas rectas, establezca la dimensión (2 si se considera una línea recta en un plano, 3 si se considera una línea recta en el espacio), ingrese los elementos de la ecuación en las celdas y haga clic en “Resolver” botón. Vea la parte teórica a continuación.
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Instrucciones de entrada de datos. Los números se ingresan como números enteros (ejemplos: 487, 5, -7623, etc.), decimales (ej. 67, 102,54, etc.) o fracciones. La fracción debe ingresarse en la forma a/b, donde a y b (b>0) son números enteros o decimales. Ejemplos 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, etc.
1. Ángulo entre rectas en un plano.
Las líneas están definidas por ecuaciones canónicas.
1.1. Determinar el ángulo entre líneas rectas.
Deja que las líneas en el espacio bidimensional. l 1 y l
Así, a partir de la fórmula (1.4) podemos encontrar el ángulo entre las rectas l 1 y l 2. Como puede verse en la Fig. 1, las líneas que se cruzan forman ángulos adyacentes. φ Y φ 1 . Si el ángulo encontrado es mayor a 90°, entonces puedes encontrar el ángulo mínimo entre líneas rectas. l 1 y l 2: φ 1 =180-φ .
De la fórmula (1.4) podemos derivar las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos líneas rectas.
Ejemplo 1. Determinar el ángulo entre líneas.
Simplifiquemos y resolvamos:
1.2. Condición para líneas paralelas
Dejar φ =0. Entonces cosφ=1. En este caso, la expresión (1.4) tomará la siguiente forma:
| , |
| , |
Ejemplo 2. Determinar si las rectas son paralelas.
Se cumple la igualdad (1.9), por lo tanto las rectas (1.10) y (1.11) son paralelas.
Respuesta. Las rectas (1.10) y (1.11) son paralelas.
1.3. Condición para la perpendicularidad de las líneas.
Dejar φ =90°. Entonces cosφ=0. En este caso, la expresión (1.4) tomará la siguiente forma:
Ejemplo 3. Determinar si las líneas son perpendiculares.
La condición (1.13) se cumple, por lo tanto las rectas (1.14) y (1.15) son perpendiculares.
Respuesta. Las rectas (1.14) y (1.15) son perpendiculares.
Las líneas están definidas por ecuaciones generales.
1.4. Determinar el ángulo entre líneas rectas.
Deja dos líneas rectas. l 1 y l 2 están dados por ecuaciones generales
De la definición del producto escalar de dos vectores, tenemos:
Ejemplo 4. Encuentra el ángulo entre líneas.
Sustituyendo valores A 1 , B 1 , A 2 , B 2 en (1.23), obtenemos:
Este ángulo es mayor que 90°. Encontremos el ángulo mínimo entre rectas. Para hacer esto, resta este ángulo de 180:
Por otra parte, la condición de rectas paralelas l 1 y l 2 es equivalente a la condición de colinealidad de los vectores. norte 1 y norte 2 y se puede representar así:
Se cumple la igualdad (1.24), por lo tanto las rectas (1.26) y (1.27) son paralelas.
Respuesta. Las rectas (1.26) y (1.27) son paralelas.
1.6. Condición para la perpendicularidad de las líneas.
Condición para la perpendicularidad de las líneas. l 1 y l 2 se puede extraer de la fórmula (1.20) sustituyendo porque(φ )=0. Entonces producto escalar (norte 1 ,norte 2)=0. Dónde
Se cumple la igualdad (1.28), por lo tanto las rectas (1.29) y (1.30) son perpendiculares.
Respuesta. Las rectas (1.29) y (1.30) son perpendiculares.
2. Ángulo entre rectas en el espacio.
2.1. Determinar el ángulo entre líneas rectas.
Que haya líneas rectas en el espacio. l 1 y l 2 están dados por ecuaciones canónicas
donde | q 1 | y | q 2 | módulos de vectores de dirección q 1 y q 2 respectivamente, φ -ángulo entre vectores q 1 y q 2 .
De la expresión (2.3) obtenemos:
 .
|
Simplifiquemos y resolvamos:
 .
|
Encontremos el ángulo φ
A. Sean dadas dos rectas. Estas rectas, como se indicó en el Capítulo 1, forman varios ángulos positivos y negativos, que pueden ser agudos u obtusos. Conociendo uno de estos ángulos, podemos encontrar fácilmente cualquier otro.
Por cierto, para todos estos ángulos el valor numérico de la tangente es el mismo, la diferencia solo puede estar en el signo
Ecuaciones de rectas. Los números son las proyecciones de los vectores directores de la primera y segunda recta. El ángulo entre estos vectores es igual a uno de los ángulos formados por las rectas. Por tanto, el problema se reduce a determinar el ángulo entre los vectores.
Por simplicidad, podemos acordar que el ángulo entre dos rectas se entiende como un ángulo positivo agudo (como, por ejemplo, en la Fig. 53).
Entonces la tangente de este ángulo siempre será positiva. Por lo tanto, si hay un signo menos en el lado derecho de la fórmula (1), entonces debemos descartarlo, es decir, guardar solo el valor absoluto.
Ejemplo. Determinar el ángulo entre líneas rectas.
Según la fórmula (1) tenemos
Con. Si se indica cuál de los lados del ángulo es su comienzo y cuál es su final, entonces, contando siempre la dirección del ángulo en sentido antihorario, podemos extraer algo más de la fórmula (1). Como es fácil de ver en la Fig. 53, el signo obtenido en el lado derecho de la fórmula (1) indicará qué tipo de ángulo, agudo u obtuso, forma la segunda línea recta con la primera.
(De hecho, en la Fig. 53 vemos que el ángulo entre el primer y el segundo vector de dirección es igual al ángulo deseado entre las líneas rectas o difiere de él en ±180°.)
d. Si las rectas son paralelas, entonces sus vectores directores son paralelos. Aplicando la condición de paralelismo de dos vectores, obtenemos.
Ésta es una condición necesaria y suficiente para el paralelismo de dos rectas.
Ejemplo. Directo
son paralelos porque
mi. Si las rectas son perpendiculares entonces sus vectores directores también lo son. Aplicando la condición de perpendicularidad de dos vectores, obtenemos la condición de perpendicularidad de dos rectas, a saber
Ejemplo. Directo
son perpendiculares debido a que
En relación con las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, resolveremos los dos problemas siguientes.
F. Trazar una recta que pase por un punto paralela a la recta dada
La solución se realiza así. Como la recta deseada es paralela a ésta, entonces como vector director podemos tomar el mismo que el de la recta dada, es decir, un vector con proyecciones A y B. Y luego la ecuación de la recta deseada se escribirá en el formulario (§ 1)
Ejemplo. Ecuación de una recta que pasa por el punto (1; 3) paralela a la recta
¡Habrá el próximo!
gramo. Trazar una recta que pase por un punto perpendicular a la recta dada
Aquí ya no conviene tomar el vector con proyecciones A y como vector guía, sino que es necesario tomar el vector perpendicular a él. Por tanto, las proyecciones de este vector deben elegirse según la condición de perpendicularidad de ambos vectores, es decir, según la condición
Esta condición se puede cumplir de innumerables maneras, ya que aquí hay una ecuación con dos incógnitas. Pero la forma más sencilla es tomar o Entonces la ecuación de la recta deseada se escribirá en la forma.
Ejemplo. Ecuación de una recta que pasa por el punto (-7; 2) en una recta perpendicular
¡Habrá lo siguiente (según la segunda fórmula)!
h. En el caso de que las rectas estén dadas por ecuaciones de la forma
Este material está dedicado a un concepto como el ángulo entre dos líneas que se cruzan. En el primer párrafo explicaremos qué es y lo mostraremos en ilustraciones. Luego veremos las formas en que se puede encontrar el seno, el coseno de un ángulo determinado y el ángulo mismo (consideraremos por separado los casos con un plano y un espacio tridimensional), daremos las fórmulas necesarias y mostraremos con ejemplos exactamente cómo se utilizan en la práctica.
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Para entender cuál es el ángulo que se forma cuando dos rectas se cruzan, debemos recordar la definición misma de ángulo, perpendicularidad y punto de intersección.
Definición 1
Llamamos a dos líneas que se cruzan si tienen un punto en común. Este punto se llama punto de intersección de dos rectas.
Cada línea recta se divide por un punto de intersección en rayos. Ambas rectas forman 4 ángulos, dos de los cuales son verticales y dos adyacentes. Si conocemos la medida de uno de ellos, entonces podremos determinar los restantes.
Digamos que sabemos que uno de los ángulos es igual a α. En este caso, el ángulo que forma vertical respecto a él también será igual a α. Para encontrar los ángulos restantes, necesitamos calcular la diferencia 180 ° - α. Si α es igual a 90 grados, entonces todos los ángulos serán rectos. Las líneas que se cruzan en ángulos rectos se llaman perpendiculares (se dedica un artículo aparte al concepto de perpendicularidad).
Echa un vistazo a la imagen:
Pasemos a formular la definición principal.
Definición 2
El ángulo formado por dos rectas que se cruzan es la medida del menor de los 4 ángulos que forman estas dos rectas.
De la definición se debe sacar una conclusión importante: el tamaño del ángulo en este caso se expresará mediante cualquier número real en el intervalo (0, 90]. Si las líneas son perpendiculares, entonces el ángulo entre ellas será en cualquier caso igual a 90 grados.
La capacidad de encontrar la medida del ángulo entre dos líneas que se cruzan es útil para resolver muchos problemas prácticos. El método de solución se puede elegir entre varias opciones.
Para empezar, podemos utilizar métodos geométricos. Si sabemos algo sobre ángulos suplementarios, entonces podemos relacionarlos con el ángulo que necesitamos usando las propiedades de figuras iguales o similares. Por ejemplo, si conocemos los lados de un triángulo y necesitamos calcular el ángulo entre las rectas en las que se encuentran estos lados, entonces el teorema del coseno es adecuado para resolverlo. Si tenemos la condición triángulo rectángulo, entonces para los cálculos también necesitaremos conocimientos de seno, coseno y tangente de un ángulo.
El método de coordenadas también es muy conveniente para resolver problemas de este tipo. Te explicamos cómo utilizarlo correctamente.
Tenemos un sistema de coordenadas rectangular (cartesiano) O x y, en el que se dan dos líneas rectas. Denotémoslos con las letras a y b. Las líneas rectas se pueden describir usando algunas ecuaciones. Las líneas originales tienen un punto de intersección M. ¿Cómo determinar el ángulo requerido (llamémoslo α) entre estas líneas rectas?
Comencemos formulando el principio básico de encontrar un ángulo en determinadas condiciones.
Sabemos que el concepto de línea recta está estrechamente relacionado con conceptos como vector de dirección y vector normal. Si tenemos una ecuación de una recta determinada, podemos tomar de ella las coordenadas de estos vectores. Podemos hacer esto para dos líneas que se cruzan a la vez.
El ángulo subtendido por dos líneas que se cruzan se puede encontrar usando:
- ángulo entre vectores de dirección;
- ángulo entre vectores normales;
- el ángulo entre el vector normal de una recta y el vector director de la otra.
Ahora veamos cada método por separado.
1. Supongamos que tenemos una recta a con un vector director a → = (a x, a y) y una recta b con un vector director b → (b x, b y). Ahora tracemos dos vectores a → y b → desde el punto de intersección. Luego de esto veremos que cada uno estará ubicado en su propia línea recta. Entonces tenemos cuatro opciones para ellos. posición relativa. Ver ilustración:
Si el ángulo entre dos vectores no es obtuso, entonces será el ángulo que necesitamos entre las líneas que se cruzan a y b. Si es obtuso, entonces el ángulo deseado será igual al ángulo adyacente al ángulo a →, b → ^. Así, α = a → , b → ^ si a → , b → ^ ≤ 90 ° , y α = 180 ° - a → , b → ^ si a → , b → ^ > 90 ° .
Basado en el hecho de que los cosenos ángulos iguales son iguales, podemos reescribir las igualdades resultantes de la siguiente manera: cos α = cos a → , b → ^ , si a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, si a →, b → ^ > 90 °.
En el segundo caso se utilizaron fórmulas de reducción. De este modo,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Escribamos la última fórmula en palabras:
Definición 3
El coseno del ángulo formado por dos rectas que se cruzan será igual al módulo del coseno del ángulo entre sus vectores directores.
La forma general de la fórmula para el coseno del ángulo entre dos vectores a → = (a x , a y) y b → = (b x , b y) se ve así:
porque a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
De ahí podemos derivar la fórmula del coseno del ángulo entre dos rectas dadas:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Entonces el ángulo en sí se puede encontrar usando la siguiente fórmula:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Aquí a → = (a x , a y) y b → = (b x , b y) son los vectores directores de las rectas dadas.
Pongamos un ejemplo de cómo resolver el problema.
Ejemplo 1
En un sistema de coordenadas rectangular en un plano, se dan dos líneas que se cruzan a y b. Pueden describirse mediante las ecuaciones paramétricas x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R y x 5 = y - 6 - 3. Calcula el ángulo entre estas líneas.
Solución
Tenemos una ecuación paramétrica en nuestra condición, lo que significa que para esta línea podemos escribir inmediatamente las coordenadas de su vector director. Para hacer esto, necesitamos tomar los valores de los coeficientes del parámetro, es decir, la recta x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R tendrá un vector director a → = (4, 1).
La segunda línea se describe usando la ecuación canónica x 5 = y - 6 - 3. Aquí podemos tomar las coordenadas de los denominadores. Por tanto, esta recta tiene un vector director b → = (5 , - 3) .
A continuación, pasamos directamente a encontrar el ángulo. Para hacer esto, simplemente sustituya las coordenadas existentes de los dos vectores en la fórmula anterior α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2. Obtenemos lo siguiente:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Respuesta: Estas líneas rectas forman un ángulo de 45 grados.
Podemos resolver un problema similar encontrando el ángulo entre vectores normales. Si tenemos una recta a con un vector normal n a → = (n a x , n a y) y una recta b con un vector normal n b → = (n b x , n b y), entonces el ángulo entre ellas será igual al ángulo entre n a → y n b → o el ángulo que será adyacente a n a →, n b → ^. Este método se muestra en la imagen:
Las fórmulas para calcular el coseno del ángulo entre líneas que se cruzan y este ángulo mismo usando las coordenadas de vectores normales se ven así:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by 2
Aquí n a → y n b → denotan los vectores normales de dos rectas dadas.
Ejemplo 2
En un sistema de coordenadas rectangular, se especifican dos líneas rectas usando las ecuaciones 3 x + 5 y - 30 = 0 y x + 4 y - 17 = 0. Encuentra el seno y el coseno del ángulo entre ellos y la magnitud de este ángulo mismo.
Solución
Las líneas originales se especifican usando ecuaciones de líneas normales de la forma A x + B y + C = 0. Denotamos el vector normal como n → = (A, B). Encontremos las coordenadas del primer vector normal para una línea y escríbalas: n a → = (3, 5) . Para la segunda recta x + 4 y - 17 = 0, el vector normal tendrá coordenadas n b → = (1, 4). Ahora sumemos los valores obtenidos a la fórmula y calculemos el total:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Si conocemos el coseno de un ángulo, entonces podemos calcular su seno usando la identidad trigonométrica básica. Dado que el ángulo α formado por rectas no es obtuso, entonces sen α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
En este caso, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sen 7 2 34.
Respuesta: cos α = 23 2 34, sen α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sen 7 2 34
vamos a solucionarlo último caso– encontrar el ángulo entre rectas si conocemos las coordenadas del vector director de una recta y el vector normal de la otra.
Supongamos que la recta a tiene un vector director a → = (a x , a y) , y la recta b tiene un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Necesitamos apartar estos vectores del punto de intersección y considerar todas las opciones para sus posiciones relativas. Ver en la imagen:
Si el ángulo entre dados vectores no más de 90 grados, resulta que complementará el ángulo entre a y b con un ángulo recto.
a → , n b → ^ = 90 ° - α si a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Si es inferior a 90 grados, obtenemos lo siguiente:
a → , n b → ^ > 90 ° , entonces a → , n b → ^ = 90 ° + α
Usando la regla de igualdad de cosenos de ángulos iguales, escribimos:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sen α para a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sen α para a → , n b → ^ > 90 ° .
De este modo,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - porque a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Formulemos una conclusión.
Definición 4
Para encontrar el seno del ángulo entre dos rectas que se cruzan en un plano, debes calcular el módulo del coseno del ángulo entre el vector director de la primera recta y el vector normal de la segunda.
Anotemos las fórmulas necesarias. Encontrar el seno de un ángulo:
pecado α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Encontrar el ángulo en sí:
α = a r c pecado = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Aquí a → es el vector dirección de la primera línea y n b → es el vector normal de la segunda.
Ejemplo 3
Dos líneas que se cruzan están dadas por las ecuaciones x - 5 = y - 6 3 y x + 4 y - 17 = 0. Encuentra el ángulo de intersección.
Solución
Tomamos las coordenadas del vector guía y normal de las ecuaciones dadas. Resulta a → = (- 5, 3) y n → b = (1, 4). Tomamos la fórmula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 y calculamos:
α = a r c sen = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sen 7 2 34
Tenga en cuenta que tomamos las ecuaciones del problema anterior y obtuvimos exactamente el mismo resultado, pero de manera diferente.
Respuesta:α = a r c sen 7 2 34
Presentemos otra forma de encontrar el ángulo deseado utilizando los coeficientes angulares de líneas rectas dadas.
Tenemos una recta a, que se define en un sistema de coordenadas rectangular usando la ecuación y = k 1 x + b 1, y una recta b, definida como y = k 2 x + b 2. Estas son ecuaciones de rectas con pendientes. Para encontrar el ángulo de intersección usamos la fórmula:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, donde k 1 y k 2 son las pendientes de las rectas dadas. Para obtener este registro se utilizaron fórmulas para determinar el ángulo a través de las coordenadas de vectores normales.
Ejemplo 4
Hay dos rectas que se cortan en un plano, dado por ecuaciones y = - 3 5 x + 6 y y = - 1 4 x + 17 4 . Calcula el valor del ángulo de intersección.
Solución
Los coeficientes angulares de nuestras líneas son iguales a k 1 = - 3 5 y k 2 = - 1 4. Sumémoslos a la fórmula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 y calculemos:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Respuesta:α = ar c cos 23 2 34
En las conclusiones de este párrafo, cabe señalar que las fórmulas para encontrar el ángulo que se dan aquí no es necesario aprenderlas de memoria. Para ello basta con conocer las coordenadas de las guías y/o vectores normales de rectas dadas y poder determinarlas mediante diferentes tipos ecuaciones. Pero es mejor recordar o anotar las fórmulas para calcular el coseno de un ángulo.
Cómo calcular el ángulo entre líneas que se cruzan en el espacio
El cálculo de tal ángulo se puede reducir a calcular las coordenadas de los vectores directores y determinar la magnitud del ángulo formado por estos vectores. Para tales ejemplos, se utiliza el mismo razonamiento que dimos antes.
Supongamos que tenemos un sistema de coordenadas rectangular ubicado en un espacio tridimensional. Contiene dos rectas a y b con un punto de intersección M. Para calcular las coordenadas de los vectores directores, necesitamos conocer las ecuaciones de estas rectas. Denotemos los vectores directores a → = (a x , a y , a z ) y b → = (b x , b y , b z ) . Para calcular el coseno del ángulo entre ellos utilizamos la fórmula:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Para encontrar el ángulo en sí, necesitamos esta fórmula:
α = a r c porque a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Ejemplo 5
Tenemos una recta definida en el espacio tridimensional usando la ecuación x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Se sabe que se cruza con el eje O z. Calcula el ángulo de intersección y el coseno de ese ángulo.
Solución
Denotemos el ángulo que debe calcularse con la letra α. Anotemos las coordenadas del vector director de la primera línea recta – a → = (1, - 3, - 2) . Para la aplicación del eje podemos tomar vector de coordenadas k → = (0, 0, 1) como guía. Hemos recibido los datos necesarios y podemos agregarlos a la fórmula deseada:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Como resultado, encontramos que el ángulo que necesitamos será igual a a r c cos 1 2 = 45 °.
Respuesta: porque α = 1 2 , α = 45 ° .
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Instrucciones
nota
Período Funcion trigonometrica La tangente es igual a 180 grados, lo que significa que los ángulos de pendiente de las rectas no pueden, en valor absoluto, exceder este valor.
Si pendientes son iguales entre sí, entonces el ángulo entre dichas líneas es igual a 0, ya que dichas líneas coinciden o son paralelas.
Para determinar el valor del ángulo entre líneas que se cruzan, es necesario mover ambas líneas (o una de ellas) a una nueva posición usando el método de traslación paralela hasta que se crucen. Después de esto, debes encontrar el ángulo entre las líneas que se cruzan resultantes.
Necesitará
- Regla, triángulo rectángulo, lápiz, transportador.
Instrucciones
Entonces, sean dados el vector V = (a, b, c) y el plano A x + B y + C z = 0, donde A, B y C son las coordenadas de la normal N. Entonces el coseno del ángulo α entre los vectores V y N es igual a: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Para calcular el ángulo en grados o radianes, es necesario calcular la función inversa al coseno a partir de la expresión resultante, es decir arcocoseno:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Ejemplo: encontrar esquina entre vector(5, -3, 8) y avión, dado ecuación general 2 x – 5 y + 3 z = 0. Solución: escribir las coordenadas del vector normal del plano N = (2, -5, 3). sustituir todo valores conocidos en la fórmula dada: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Vídeo sobre el tema.
Una línea recta que tiene un punto común con un círculo es tangente al círculo. Otra característica de la tangente es que siempre es perpendicular al radio trazado hasta el punto de contacto, es decir, la tangente y el radio forman una línea recta. esquina. Si desde un punto A se trazan dos tangentes a una circunferencia AB y AC, entonces siempre son iguales entre sí. Determinar el ángulo entre tangentes ( esquina ABC) se elabora utilizando el teorema de Pitágoras.
Instrucciones
Para determinar el ángulo, necesita conocer el radio del círculo OB y OS y la distancia del punto inicial de la tangente al centro del círculo - O. Entonces, los ángulos ABO y ACO son iguales, el radio OB es, por ejemplo, 10 cm, y la distancia al centro del círculo AO es 15 cm. Determine la longitud de la tangente usando la fórmula de acuerdo con el teorema de Pitágoras: AB =. Raíz cuadrada de AO2 – OB2 o 152 - 102 = 225 – 100 = 125;