Escribe una ecuación del avión usando 3 puntos. Ecuación de un avión. ¿Cómo escribir una ecuación de un avión? Disposición mutua de aviones. Tareas

Puedes configurar de diferentes maneras(un punto y un vector, dos puntos y un vector, tres puntos, etc.). Teniendo esto en cuenta, la ecuación del avión puede tener varios tipos. Además, sujeto a determinadas condiciones, los planos pueden ser paralelos, perpendiculares, intersecantes, etc. Hablaremos de esto en este artículo. Aprenderemos cómo crear una ecuación general de un plano y más.

Forma normal de ecuación

Digamos que hay un espacio R 3 que tiene un sistema de coordenadas XYZ rectangular. Definimos el vector α, que saldrá del punto inicial O. Por el final del vector α dibujamos un plano P, que será perpendicular a él.

Denotemos un punto arbitrario en P como Q = (x, y, z). Firmemos el vector de radio del punto Q con la letra p. En este caso, la longitud del vector α es igual a р=IαI y Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Este es un vector unitario que se dirige hacia un lado, como el vector α. α, β y γ son los ángulos que se forman entre el vector Ʋ y las direcciones positivas de los ejes espaciales x, y, z, respectivamente. La proyección de cualquier punto QϵП sobre el vector Ʋ es un valor constante que es igual a p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

La ecuación anterior tiene sentido cuando p=0. Lo único es que el plano P en este caso cortará el punto O (α = 0), que es el origen de coordenadas, y el vector unitario Ʋ liberado desde el punto O será perpendicular a P, a pesar de su dirección, que significa que el vector Ʋ se determina con precisión al signo. La ecuación anterior es la ecuación de nuestro plano P, expresada en forma vectorial. Pero en coordenadas se verá así:

P aquí es mayor o igual a 0. Hemos encontrado la ecuación del plano en el espacio en forma normal.

ecuación general

Si multiplicamos la ecuación en coordenadas por cualquier número que no sea igual a cero, obtenemos una ecuación equivalente a ésta, definiendo ese mismo plano. Se verá así:

Aquí A, B, C son números que son simultáneamente diferentes de cero. Esta ecuación se llama ecuación del plano general.

Ecuaciones de planos. Casos especiales

Ecuación en vista general podrá modificarse sujeto a condiciones adicionales. Veamos algunos de ellos.

Supongamos que el coeficiente A es 0. Esto significa que este plano es paralelo al eje Ox dado. En este caso, la forma de la ecuación cambiará: Ву+Cz+D=0.

De manera similar, la forma de la ecuación cambiará bajo las siguientes condiciones:

• En primer lugar, si B = 0, entonces la ecuación cambiará a Ax + Cz + D = 0, lo que indicará paralelismo con el eje Oy.
• En segundo lugar, si C=0, entonces la ecuación se transformará en Ax+By+D=0, lo que indicará paralelismo con el eje Oz dado.
• En tercer lugar, si D=0, la ecuación se verá como Ax+By+Cz=0, lo que significará que el plano intersecta a O (el origen).
• Cuarto, si A=B=0, entonces la ecuación cambiará a Cz+D=0, lo que resultará paralelo a Oxy.
• En quinto lugar, si B=C=0, entonces la ecuación se convierte en Ax+D=0, lo que significa que el plano a Oyz es paralelo.
• Sexto, si A=C=0, entonces la ecuación tomará la forma Ву+D=0, es decir, informará paralelismo a Oxz.

Tipo de ecuación en segmentos

En el caso de que los números A, B, C, D sean distintos de cero, la forma de la ecuación (0) puede ser la siguiente:

x/a + y/b + z/c = 1,

en el que a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Como resultado, vale la pena señalar que este plano cortará el eje Ox en un punto con coordenadas (a,0,0), Oy - (0,b,0) y Oz - (0,0,c). ).

Teniendo en cuenta la ecuación x/a + y/b + z/c = 1, no es difícil imaginar visualmente la ubicación del plano en relación con un sistema de coordenadas dado.

Coordenadas vectoriales normales

El vector normal n al plano P tiene coordenadas que son coeficientes ecuación general de un plano dado, es decir, n (A, B, C).

Para determinar las coordenadas de la normal n, basta con conocer la ecuación general de un plano dado.

Cuando se usa una ecuación en segmentos, que tiene la forma x/a + y/b + z/c = 1, como cuando se usa una ecuación general, se pueden escribir las coordenadas de cualquier vector normal de un plano dado: (1/a + 1/b + 1/ Con).

Vale la pena señalar que el vector normal ayuda a resolver una variedad de problemas. Los más comunes incluyen problemas que implican demostrar la perpendicularidad o paralelismo de planos, problemas de encontrar ángulos entre planos o ángulos entre planos y líneas rectas.

Tipo de ecuación plana según las coordenadas del punto y vector normal

Un vector distinto de cero n perpendicular a un plano dado se llama normal para un plano dado.

Supongamos que en el espacio de coordenadas (sistema de coordenadas rectangulares) se dan Oxyz:

• punto Mₒ con coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ);
• vector cero n=A*i+B*j+C*k.

Es necesario crear una ecuación para un plano que pasará por el punto Mₒ perpendicular a la normal n.

Elegimos cualquier punto arbitrario en el espacio y lo denotamos M (x y, z). Sea el vector radio de cualquier punto M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, y el vector radio del punto Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. El punto M pertenecerá a un plano dado si el vector MₒM es perpendicular al vector n. Escribamos la condición de ortogonalidad usando el producto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Dado que MₒM = r-rₒ, la ecuación vectorial del plano se verá así:

Esta ecuación puede tener otra forma. Para ello se utilizan las propiedades del producto escalar y se realiza la transformación. lado izquierdo ecuaciones

= - . Si lo denotamos como c, obtenemos la siguiente ecuación: - c = 0 o = c, que expresa la constancia de las proyecciones sobre el vector normal de los vectores de radio de puntos dados que pertenecen al plano.

Ahora podemos obtener la forma coordinada de escribir la ecuación vectorial de nuestro plano = 0. Dado que r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, y n = A*i+B *j+С*k, tenemos:

Resulta que tenemos una ecuación para un plano que pasa por un punto perpendicular a la normal n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tipo de ecuación plana según las coordenadas de dos puntos y un vector colineal al plano

Especifiquemos dos puntos arbitrarios M′ (x′,y′,z′) y M″ (x″,y″,z″), así como un vector a (a′,a″,a‴). Ahora podemos crear una ecuación para un plano dado, que pasará por los puntos existentes M′ y M″, así como por cualquier punto M con coordenadas (x, y, z) en paralelo. vector dado

A.

En este caso, los vectores M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) y M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) deben ser coplanares con el vector a=(a′,a″,a‴), lo que significa que (M′M, M″M, a)=0.

Entonces, nuestra ecuación plana en el espacio se verá así:

Tipo de ecuación de un plano que corta tres puntos.

Digamos que tenemos tres puntos: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), que no pertenecen a la misma recta. Es necesario escribir la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados. La teoría de la geometría afirma que este tipo de plano existe realmente, pero es el único y único. Dado que este plano corta al punto (x′,y′,z′), la forma de su ecuación será la siguiente:

Aquí A, B, C son diferentes de cero al mismo tiempo. Además, el plano dado interseca dos puntos más: (x″,y″,z″) y (x‴,y‴,z‴). En este sentido, deberán cumplirse las siguientes condiciones:

Ahora podemos crear un sistema homogéneo con incógnitas u, v, w: en nuestro o z actúa como un punto arbitrario que satisface la ecuación (1). Dada la ecuación (1) y el sistema de ecuaciones (2) y (3), el sistema de ecuaciones indicado en la figura anterior se satisface con el vector N (A,B,C), que no es trivial. Por eso el determinante de este sistema es igual a cero.

La ecuación (1) que hemos obtenido es la ecuación del plano. Pasa exactamente por 3 puntos y esto es fácil de comprobar. Para hacer esto, necesitamos expandir nuestro determinante a los elementos de la primera fila. De las propiedades existentes del determinante se deduce que nuestro plano interseca simultáneamente tres puntos inicialmente dados (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Es decir, hemos resuelto la tarea que nos asignaron.

Ángulo diédrico entre planos

Un ángulo diédrico representa un espacio figura geométrica, formado por dos semiplanos que parten de una línea recta. En otras palabras, esta es la parte del espacio que está limitada por estos semiplanos.

Digamos que tenemos dos planos con las siguientes ecuaciones:

Sabemos que los vectores N=(A,B,C) y N¹=(A¹,B¹,C¹) son perpendiculares según los planos dados. En este sentido, el ángulo φ entre los vectores N y N¹ es igual al ángulo (diédrico) que se sitúa entre estos planos. Producto escalar tiene la forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

precisamente porque

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))).

Basta tener en cuenta que 0≤φ≤π.

De hecho, dos planos que se cruzan forman dos ángulos (diédricos): φ 1 y φ 2. Su suma es igual a π (φ 1 + φ 2 = π). En cuanto a sus cosenos, sus valores absolutos son iguales, pero difieren en signo, es decir, cos φ 1 = -cos φ 2. Si en la ecuación (0) reemplazamos A, B y C con los números -A, -B y -C, respectivamente, entonces la ecuación que obtenemos determinará el mismo plano, el único, el ángulo φ en la ecuación cos φ= NN 1 //| norte||norte 1 | será reemplazado por π-φ.

Ecuación de un plano perpendicular

Los planos entre los cuales el ángulo es de 90 grados se llaman perpendiculares. Usando el material presentado anteriormente, podemos encontrar la ecuación de un plano perpendicular a otro. Digamos que tenemos dos planos: Ax+By+Cz+D=0 y A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Podemos decir que serán perpendiculares si cosφ=0. Esto significa que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Ecuación de planos paralelos

Dos planos que no contienen puntos comunes se llaman paralelos.

La condición (sus ecuaciones son las mismas que en el párrafo anterior) es que los vectores N y N¹, que son perpendiculares a ellos, sean colineales. Esto significa que se cumplen las siguientes condiciones de proporcionalidad:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Si se amplían las condiciones de proporcionalidad - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

esto indica que estos planos coinciden. Esto significa que las ecuaciones Ax+By+Cz+D=0 y A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 describen un plano.

Distancia al plano desde el punto

Digamos que tenemos un plano P, que viene dado por la ecuación (0). Es necesario encontrar la distancia a él desde un punto con coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Para hacer esto, necesitas llevar la ecuación del plano P a su forma normal:

(ρ,v)=р (р≥0).

EN en este casoρ (x,y,z) es el radio vector de nuestro punto Q ubicado en P, p es la longitud de la perpendicular P que se soltó desde el punto cero, v es el vector unitario, que se encuentra en la dirección a.

La diferencia ρ-ρº vector de radio de algún punto Q = (x, y, z), perteneciente a P, así como el vector de radio de un punto dado Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) es un vector de este tipo, el valor absoluto de cuya proyección sobre v es igual a la distancia d que hay que encontrar desde Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) hasta P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, pero

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Entonces resulta

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Así, encontraremos el valor absoluto de la expresión resultante, es decir, la d deseada.

Usando el lenguaje de parámetros, obtenemos lo obvio:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Si punto de ajuste Q 0 está al otro lado del plano P, como el origen de coordenadas, entonces entre el vector ρ-ρ 0 y v se ubica por lo tanto:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

En el caso de que el punto Q 0, junto con el origen de coordenadas, se ubique en el mismo lado de P, entonces el ángulo creado es agudo, es decir:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Como resultado, resulta que en el primer caso (ρ 0 ,v)>р, en el segundo (ρ 0 ,v)<р.

Plano tangente y su ecuación.

El plano tangente a la superficie en el punto de contacto Mº es un plano que contiene todas las tangentes posibles a las curvas trazadas por este punto de la superficie.

Con este tipo de ecuación de superficie F(x,y,z)=0, la ecuación del plano tangente en el punto tangente Mº(xº,yº,zº) quedará así:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Si especifica la superficie en forma explícita z=f (x,y), entonces el plano tangente se describirá mediante la ecuación:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Intersección de dos planos.

En el sistema de coordenadas (rectangular) se ubica Oxyz, se dan dos planos П′ y П″, que se cruzan y no coinciden. Dado que cualquier plano ubicado en un sistema de coordenadas rectangular está determinado por una ecuación general, asumiremos que P′ y P″ están dados por las ecuaciones A′x+B′y+C′z+D′=0 y A″x +B″y+ С″z+D″=0. En este caso, tenemos la normal n′ (A′,B′,C′) del plano P′ y la normal n″ (A″,B″,C″) del plano P″. Como nuestros planos no son paralelos y no coinciden, estos vectores no son colineales. Usando el lenguaje matemático, podemos escribir esta condición de la siguiente manera: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Denotemos con la letra a la recta que se encuentra en la intersección de P′ y P″, en este caso a = P′ ∩ P″.

a es una línea recta que consta del conjunto de todos los puntos de los planos (comunes) P′ y P″. Esto significa que las coordenadas de cualquier punto perteneciente a la recta a deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones A′x+B′y+C′z+D′=0 y A″x+B″y+C″z+D″=0 . Esto significa que las coordenadas del punto serán una solución parcial del siguiente sistema de ecuaciones:

Como resultado, resulta que la solución (general) de este sistema de ecuaciones determinará las coordenadas de cada uno de los puntos de la recta, que actuará como punto de intersección de P′ y P″, y determinará la recta a en el sistema de coordenadas Oxyz (rectangular) en el espacio.

En este material, veremos cómo encontrar la ecuación de un plano si conocemos las coordenadas de tres puntos diferentes que no se encuentran en la misma línea recta. Para hacer esto, debemos recordar qué es un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional. Para comenzar, presentaremos el principio básico de esta ecuación y mostraremos exactamente cómo usarla para resolver problemas específicos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Primero, debemos recordar un axioma que dice así:

Definición 1

Si tres puntos no coinciden entre sí y no se encuentran en la misma línea, entonces en el espacio tridimensional solo pasa un plano a través de ellos.

En otras palabras, si tenemos tres puntos diferentes cuyas coordenadas no coinciden y que no pueden estar conectados por una línea recta, entonces podemos determinar el plano que pasa por ellos.

Digamos que tenemos un sistema de coordenadas rectangular. Denotémoslo O x y z. Contiene tres puntos M con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), que no se pueden conectar línea recta. En base a estas condiciones, podemos escribir la ecuación del avión que necesitamos. Hay dos enfoques para resolver este problema.

1. El primer enfoque utiliza la ecuación del plano general. En forma de letra, se escribe como A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Con su ayuda, puede definir en un sistema de coordenadas rectangular un cierto plano alfa que pasa por el primer punto dado M 1 (x 1, y 1, z 1). Resulta que el vector normal del plano α tendrá coordenadas A, B, C.

Definición de norte

Conociendo las coordenadas del vector normal y las coordenadas del punto por el que pasa el avión, podemos escribir la ecuación general de este plano.

Esto es lo que partiremos en el futuro.

Así, según las condiciones del problema, tenemos las coordenadas del punto deseado (incluso tres) por el que pasa el avión. Para encontrar la ecuación, debes calcular las coordenadas de su vector normal. Denotémoslo n → .

Recordemos la regla: cualquier vector distinto de cero de un plano dado es perpendicular al vector normal del mismo plano. Entonces tenemos que n → será perpendicular a los vectores compuestos por los puntos originales M 1 M 2 → y M 1 M 3 → . Entonces podemos denotar n → como un producto vectorial de la forma M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Dado que M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) y M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (Las pruebas de estas igualdades se dan en el artículo dedicado al cálculo de las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de puntos), entonces resulta que:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Si calculamos el determinante, obtendremos las coordenadas del vector normal n → que necesitamos. Ahora podemos escribir la ecuación que necesitamos para un avión que pasa por tres puntos dados.

2. El segundo método para encontrar la ecuación que pasa por M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), se basa en un concepto como la coplanaridad de vectores.

Si tenemos un conjunto de puntos M (x, y, z), entonces en un sistema de coordenadas rectangulares definen un plano para los puntos dados M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3 ) sólo en el caso en que los vectores M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ), M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) y M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 ) serán coplanares .

En el diagrama se verá así:

Esto significará que el producto mixto de los vectores M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → será igual a cero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , ya que esta es la condición principal de coplanaridad: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) y M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Escribamos la ecuación resultante en forma de coordenadas:

Después de calcular el determinante, podemos obtener la ecuación plana que necesitamos para tres puntos que no se encuentran en la misma recta M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

De la ecuación resultante se puede pasar a la ecuación del plano en segmentos o a la ecuación normal del plano, si las condiciones del problema lo requieren.

En el siguiente párrafo daremos ejemplos de cómo se implementan en la práctica los enfoques que hemos indicado.

Ejemplos de problemas para componer una ecuación de un plano que pasa por 3 puntos.

Anteriormente, identificamos dos enfoques que se pueden utilizar para encontrar la ecuación deseada. Veamos cómo se utilizan para resolver problemas y cuándo debes elegir cada uno.

Ejemplo 1

Hay tres puntos que no se encuentran en la misma recta, con coordenadas M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Escribe una ecuación para el avión que pasa por ellos.

Solución

Usamos ambos métodos alternativamente.

1. Encuentra las coordenadas de los dos vectores que necesitamos M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Ahora calculemos su producto vectorial. No describiremos los cálculos del determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Tenemos un vector normal del plano que pasa por los tres puntos requeridos: n → = (- 5, 30, 2). A continuación, debemos tomar uno de los puntos, por ejemplo, M 1 (- 3, 2, - 1) y escribir la ecuación del plano con el vector n → = (- 5, 30, 2). Obtenemos que: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Esta es la ecuación que necesitamos para un avión que pasa por tres puntos.

2. Adoptemos un enfoque diferente. Escribamos la ecuación para un plano con tres puntos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) en la siguiente forma:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Aquí puede sustituir datos del enunciado del problema. Dado que x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, como resultado obtenemos:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Obtuvimos la ecuación que necesitábamos.

Respuesta:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Pero, ¿qué pasa si los puntos dados todavía se encuentran en la misma recta y necesitamos crear una ecuación plana para ellos? Aquí hay que decir de inmediato que esta condición no será del todo correcta. Por estos puntos puede pasar un número infinito de aviones, por lo que es imposible calcular una única respuesta. Consideremos tal problema para demostrar la incorrección de tal formulación de la pregunta.

Ejemplo 2

Tenemos un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional, en el que se colocan tres puntos con coordenadas M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1). Es necesario crear una ecuación del avión que lo atraviesa.

Solución

Usemos el primer método y comencemos calculando las coordenadas de dos vectores M 1 M 2 → y M 1 M 3 →. Calculemos sus coordenadas: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

El producto cruzado será igual a:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Dado que M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, entonces nuestros vectores serán colineales (vuelve a leer el artículo sobre ellos si olvidaste la definición de este concepto). Así, los puntos iniciales M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) están en la misma recta, y nuestro problema tiene infinitos opciones de respuesta.

Si utilizamos el segundo método, obtendremos:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

De la igualdad resultante también se deduce que los puntos dados M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) están en la misma recta.

Si desea encontrar al menos una respuesta a este problema entre el infinito número de opciones, debe seguir estos pasos:

1. Escribe la ecuación de la recta M 1 M 2, M 1 M 3 o M 2 M 3 (si es necesario, mira el material sobre esta acción).

2. Tome un punto M 4 (x 4, y 4, z 4), que no se encuentre en la línea recta M 1 M 2.

3. Escribe la ecuación de un plano que pasa por tres puntos diferentes M 1, M 2 y M 4 que no se encuentran en la misma recta.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

Para que un solo plano pueda pasar por tres puntos cualesquiera del espacio, es necesario que estos puntos no se encuentren en la misma línea recta.

Considere los puntos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) en el sistema de coordenadas cartesiano general.

Para que un punto arbitrario M(x, y, z) esté en el mismo plano que los puntos M 1, M 2, M 3, es necesario que los vectores sean coplanares.

Definición 2.1.

Dos rectas en el espacio se llaman paralelas si se encuentran en el mismo plano y no tienen puntos comunes.

Si dos rectas a y b son paralelas, entonces, como en planimetría, escribe a || b. En el espacio, las líneas se pueden colocar de manera que no se crucen ni sean paralelas. Este caso es especial para estereometría.

Definición 2.2.

Las rectas que no tienen puntos comunes y no son paralelas se llaman intersecantes.

Teorema 2.1.

Por un punto exterior a una recta dada es posible trazar una recta paralela a la dada, y sólo una.

25.Signo de paralelismo entre una recta y un plano

Teorema

Si una recta que no pertenece a un plano es paralela a alguna recta de ese plano, entonces es paralela al propio plano.

Prueba

Sea α un plano, a una recta que no se encuentra en él y a1 una recta en el plano α paralela a la recta a. Dibujemos el plano α1 por las rectas a y a1. Los planos α y α1 se cruzan a lo largo de la recta a1. Si la línea intersecta un plano α, entonces el punto de intersección pertenecería a la línea a1. Pero esto es imposible, ya que las rectas a y a1 son paralelas. En consecuencia, la recta a no corta al plano α y, por tanto, es paralela al plano α. El teorema ha sido demostrado.

27.Existencia de un plano paralelo a un plano dado

Teorema

Por un punto exterior a un plano dado se puede trazar un plano paralelo al dado, y sólo uno.

Prueba

Dibujemos en este plano α dos líneas cualesquiera que se crucen a y b. Por un punto A dado trazamos las rectas a1 y b1 paralelas a él. El plano β que pasa por las rectas a1 y b1, según el teorema del paralelismo de planos, es paralelo al plano α.

Supongamos que por el punto A pasa otro plano β1, también paralelo al plano α. Marquemos algún punto C en el plano β1 que no se encuentre en el plano β. Dibujemos el plano γ por los puntos A, C y algún punto B del plano α. Este plano cortará a los planos α, β y β1 a lo largo de las rectas b, a y c. Las rectas a y c no cortan a la recta b, ya que no cortan al plano α. Por tanto, son paralelas a la recta b. Pero en el plano γ sólo una recta paralela a la recta b puede pasar por el punto A. lo que contradice la suposición. El teorema ha sido demostrado.

28.Propiedades de los planos paralelos. th

29.

Líneas perpendiculares en el espacio. Dos rectas en el espacio se llaman perpendiculares si el ángulo entre ellas es de 90 grados. do. metro. k. k. metro. do. k. Intersección. Cruzamiento de razas.

Teorema 2 1ª PROPIEDAD DE LAS RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES. Si un plano es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces también lo es a la otra.
Prueba: Sean a 1 y a 2 - 2 rectas paralelas y un plano perpendicular a la recta a 1. Demostremos que este plano es perpendicular a la recta a 2. Dibujemos una recta arbitraria x 2 en el plano que pasa por el punto A 2 de la intersección de la recta a 2 con el plano. Dibujemos en el plano que pasa por el punto A 1 la intersección de la recta a 1 con la recta x 1 paralela a la recta x 2. Dado que la línea a 1 es perpendicular al plano, entonces las líneas a 1 y x 1 son perpendiculares. Y según el teorema 1, las rectas que se cruzan paralelas a ellas, a 2 y x 2, también son perpendiculares. Por tanto, la recta a 2 es perpendicular a cualquier recta x 2 en el plano. Y esto (por definición) significa que la línea recta a 2 es perpendicular al plano. El teorema ha sido demostrado. Véase también tarea de apoyo nº 2.
Teorema 3 2ª PROPIEDAD DE LAS RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES. Dos rectas perpendiculares al mismo plano son paralelas.
Prueba: Sean a y b 2 rectas perpendiculares al plano. Supongamos que las rectas a y b no son paralelas. Elijamos un punto C en la recta b que no se encuentre en el plano. Dibujemos una línea b 1 que pase por el punto C, paralela a la línea a. La línea b 1 es perpendicular al plano según el teorema 2. Sean B y B 1 los puntos de intersección de las líneas by b 1 con el plano. Entonces, la línea recta BB 1 es perpendicular a las líneas que se cruzan b y b 1. Y esto es imposible. Hemos llegado a una contradicción. El teorema ha sido demostrado.

33.Perpendicular, bajado desde un punto dado en un plano dado, es un segmento que conecta un punto dado con un punto en el plano y que se encuentra en una línea recta perpendicular al plano. El final de este segmento que se encuentra en el plano se llama base de la perpendicular.
Inclinado dibujado desde un punto dado a un plano dado es cualquier segmento que conecta un punto dado con un punto del plano que no es perpendicular al plano. El extremo de un segmento que se encuentra en un plano se llama base inclinada. El segmento que une las bases de una perpendicular con otra inclinada trazada desde el mismo punto se llama proyección oblicua.

AB es perpendicular al plano α.
AC – oblicuo, CB – proyección.

Declaración del teorema

Si una línea recta trazada en un plano que pasa por la base de un plano inclinado es perpendicular a su proyección, entonces es perpendicular a la inclinada.

Prueba

Dejar AB- perpendicular al plano α, C.A.- inclinado y do- una línea recta en el plano α que pasa por el punto do y perpendicular a la proyección antes de Cristo. hagamos un directo CK paralela a la recta AB. Derecho CK es perpendicular al plano α (ya que es paralelo AB), y por tanto cualquier recta de este plano, por tanto, CK perpendicular a una recta do. Dibujemos líneas paralelas. AB Y CK plano β (las líneas paralelas definen un plano, y solo uno). Derecho do perpendicular a dos líneas que se cruzan en el plano β, esto es antes de Cristo según la condición y CK por construcción, significa que es perpendicular a cualquier línea perteneciente a este plano, lo que significa que es perpendicular a la línea C.A..

Para que un solo plano pueda pasar por tres puntos cualesquiera del espacio, es necesario que estos puntos no se encuentren en la misma línea recta.

Considere los puntos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) en el sistema de coordenadas cartesiano general.

Para que un punto arbitrario M(x, y, z) esté en el mismo plano que los puntos M 1, M 2, M 3, es necesario que los vectores sean coplanares.

(
) = 0

De este modo,

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos:

Ecuación de un plano dados dos puntos y un vector colineal al plano.

Sean dados los puntos M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) y el vector
.

Creemos una ecuación para un plano que pasa por los puntos dados M 1 y M 2 y un punto arbitrario M (x, y, z) paralelo al vector. .

Vectores
y vector
debe ser coplanar, es decir

(
) = 0

Ecuación plana:

Ecuación de un plano usando un punto y dos vectores,

colineal al plano.

Sean dos vectores
Y
, planos colineales. Entonces, para un punto arbitrario M(x, y, z) perteneciente al plano, los vectores
debe ser coplanar.

Ecuación plana:

Ecuación de un plano por punto y vector normal. .

Teorema. Si se da un punto M en el espacio 0 (INCÓGNITA 0 , y 0 , z 0 ), entonces la ecuación del plano que pasa por el punto M 0 perpendicular al vector normal (A, B, do) tiene la forma:

A(incógnita – incógnita 0 ) + B(y – y 0 ) + do(z – z 0 ) = 0.

Prueba. Para un punto arbitrario M(x, y, z) perteneciente al plano, componemos un vector. Porque vector es el vector normal, entonces es perpendicular al plano y, por tanto, perpendicular al vector
. Entonces el producto escalar

= 0

Así, obtenemos la ecuación del plano.

El teorema ha sido demostrado.

Ecuación de un plano en segmentos.

Si en la ecuación general Ax + By + Cz + D = 0 dividimos ambos lados por (-D)

,

reemplazando
, obtenemos la ecuación del plano en segmentos:

Los números a, b, c son los puntos de intersección del plano con los ejes x, y, z, respectivamente.

Ecuación de un plano en forma vectorial.

Dónde

- vector de radio del punto actual M(x, y, z),

Un vector unitario que tiene la dirección de una perpendicular que cae sobre un plano desde el origen.

,  y  son los ángulos que forma este vector con los ejes x, y, z.

p es la longitud de esta perpendicular.

En coordenadas, esta ecuación se ve así:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distancia de un punto a un plano.

La distancia desde un punto arbitrario M 0 (x 0, y 0, z 0) al plano Ax+By+Cz+D=0 es:

Ejemplo. Encuentra la ecuación del plano, sabiendo que el punto P(4; -3; 12) es la base de la perpendicular que cae desde el origen a este plano.

Entonces A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, usamos la fórmula:

A(x-x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Ejemplo. Encuentre la ecuación de un plano que pasa por dos puntos P(2; 0; -1) y

Q(1; -1; 3) perpendicular al plano 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vector normal al plano 3x + 2y – z + 5 = 0
paralelo al plano deseado.

Obtenemos:

Ejemplo. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2, -1, 4) y

B(3, 2, -1) perpendicular al plano incógnita + en + 2z – 3 = 0.

La ecuación requerida del avión tiene la forma: A incógnita+B y+C z+ D = 0, vector normal a este plano (A, B, C). Vector
(1, 3, -5) pertenece al plano. El plano que nos dan, perpendicular al deseado, tiene un vector normal (1, 1, 2). Porque Los puntos A y B pertenecen a ambos planos, y los planos son mutuamente perpendiculares, entonces

Entonces el vector normal (11, -7, -2). Porque El punto A pertenece al plano deseado, entonces sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de este plano, es decir. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

En total obtenemos la ecuación del avión: 11 incógnita - 7y – 2z – 21 = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación del plano, sabiendo que el punto P(4, -3, 12) es la base de la perpendicular que cae desde el origen a este plano.

Encontrar las coordenadas del vector normal.
= (4, -3, 12). La ecuación requerida del avión tiene la forma: 4 incógnita – 3y + 12z+ D = 0. Para encontrar el coeficiente D, sustituimos las coordenadas del punto P en la ecuación:

16 + 9 + 144 + D = 0

En total, obtenemos la ecuación requerida: 4 incógnita – 3y + 12z – 169 = 0

Ejemplo. Se dan las coordenadas de los vértices de la pirámide: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Encuentra la longitud del borde A 1 A 2.

Encuentre el ángulo entre los bordes A 1 A 2 y A 1 A 4.

Encuentra el ángulo entre el borde A 1 A 4 y la cara A 1 A 2 A 3.

Primero encontramos el vector normal a la cara A 1 A 2 A 3 como producto cruzado de vectores
Y
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Encontremos el ángulo entre el vector normal y el vector.
.

-4 – 4 = -8.

El ángulo deseado  entre el vector y el plano será igual a  = 90 0 - .

Encuentra el área de la cara A 1 A 2 A 3.

Encuentra el volumen de la pirámide.

Encuentra la ecuación del plano A 1 A 2 A 3.

Usemos la fórmula para la ecuación de un plano que pasa por tres puntos.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Cuando se utiliza la versión para computadora “ curso superior de matematicas”Puedes ejecutar un programa que resolverá el ejemplo anterior para cualquier coordenada de los vértices de la pirámide.

Para iniciar el programa, haga doble clic en el icono:

En la ventana del programa que se abre, ingrese las coordenadas de los vértices de la pirámide y presione Enter. De esta forma, se pueden obtener todos los puntos de decisión uno por uno.

Nota: Para ejecutar el programa, debe estar instalado en su computadora el programa Maple ( Waterloo Maple Inc.) de cualquier versión, comenzando con MapleV Release 4.

Supongamos que necesitamos encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados que no se encuentran en la misma recta. Denotando sus vectores de radio por y el vector de radio actual por , podemos obtener fácilmente la ecuación requerida en forma vectorial. De hecho, los vectores deben ser coplanares (todos se encuentran en el plano deseado). Por tanto, el producto vectorial-escalar de estos vectores debe ser igual a cero:

Ésta es la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados, en forma vectorial.

Pasando a las coordenadas, obtenemos la ecuación en coordenadas:

Si tres puntos dados estuvieran en la misma recta, entonces los vectores serían colineales. Por lo tanto, los elementos correspondientes de las dos últimas líneas del determinante en la ecuación (18) serían proporcionales y el determinante sería idénticamente igual a cero. En consecuencia, la ecuación (18) sería idéntica para cualquier valor de x, y y z. Geométricamente, esto significa que por cada punto del espacio pasa un plano en el que se encuentran los tres puntos dados.

Observación 1. El mismo problema se puede resolver sin utilizar vectores.

Denotando las coordenadas de los tres puntos dados, respectivamente, escribimos la ecuación de cualquier plano que pase por el primer punto:

Para obtener la ecuación del plano deseado, es necesario exigir que la ecuación (17) sea satisfecha por las coordenadas de otros dos puntos:

A partir de las ecuaciones (19), es necesario determinar la relación entre dos coeficientes y el tercero e ingresar los valores encontrados en la ecuación (17).

Ejemplo 1. Escribe una ecuación para un plano que pasa por los puntos.

La ecuación del avión que pasa por el primero de estos puntos será:

Las condiciones para que el avión (17) pase por otros dos puntos y por el primer punto son:

Sumando la segunda ecuación a la primera encontramos:

Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos:

Sustituyendo en la ecuación (17) en lugar de A, B, C, respectivamente, 1, 5, -4 (números proporcionales a ellos), obtenemos:

Ejemplo 2. Escribe una ecuación para un plano que pasa por los puntos (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

La ecuación de cualquier plano que pase por el punto (0, 0, 0) será]

Las condiciones para el paso de este avión por los puntos (1, 1, 1) y (2, 2, 2) son:

Reduciendo la segunda ecuación a 2, vemos que para determinar dos incógnitas, existe una ecuación con

De aquí obtenemos. Ahora sustituyendo el valor del plano en la ecuación, encontramos:

Esta es la ecuación del plano deseado; depende de lo arbitrario

cantidades B, C (es decir, de la relación, es decir, hay un número infinito de planos que pasan por tres puntos dados (tres puntos dados se encuentran en la misma línea recta).

Observación 2. El problema de dibujar un plano a través de tres puntos dados que no se encuentran en la misma recta se puede resolver fácilmente en forma general si usamos determinantes. De hecho, dado que en las ecuaciones (17) y (19) los coeficientes A, B, C no pueden ser simultáneamente iguales a cero, entonces, considerando estas ecuaciones como un sistema homogéneo con tres incógnitas A, B, C, escribimos un necesario y suficiente. condición para la existencia de una solución de este sistema distinta de cero (Parte 1, Capítulo VI, § 6):

Habiendo expandido este determinante a los elementos de la primera fila, obtenemos una ecuación de primer grado con respecto a las coordenadas actuales, que quedará satisfecha, en particular, por las coordenadas de los tres puntos dados.

También puedes verificar esto último directamente sustituyendo las coordenadas de cualquiera de estos puntos en lugar de . En el lado izquierdo obtenemos un determinante en el que los elementos de la primera fila son ceros o hay dos filas idénticas. Por tanto, la ecuación construida representa un plano que pasa por los tres puntos dados.