Rectangular
triangulos
Geometría, 7mo grado.
Al libro de texto de L.S.
Profesor de matemáticas de la más alta categoría.
Institución educativa municipal "Escuela secundaria básica Upshinskaya"
Distrito de Orsha de la República de Mari El
AC, BC – piernas
AB - hipotenusa
Propiedad 1 0 . La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90 0.
Tarea 1. Encuentre el ángulo A del triángulo rectángulo ABC con ángulo recto C si: a) ے B = 32 0; b) ے B es 2 veces menor que el ángulo A; c) ے B es 20 0 menor que el ángulo A.
Tarea 2.
Tarea 3.
Ángulo A:
BC – pierna situada en el ángulo opuesto A
AC – cateto adyacente al ángulo A
Ángulo B:
AC - pierna, ...
antes de Cristo - pierna, ...
Nombra los catetos de los ángulos opuestos N y K.
Nombra los catetos adyacentes a los ángulos N y K.
0
Tarea. demostrar que 0 , es igual a la mitad de la hipotenusa.
Propiedad 2 0 . Cateto de un triángulo rectángulo opuesto a un ángulo de 30 0 , es igual a la mitad de la hipotenusa.
Triángulo rectángulo con ángulo 30. 0
Tarea. demostrar que 0 .
Propiedad 3 0 . Si un cateto de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto a este cateto es 30 0 .
Triángulo rectángulo con ángulo 30. 0
Problema 4 .
AB = 12 cm.
Tarea 5.
BC = 7,5 cm. Encuentre AB.
Tarea 6.
AB + BC = 15 cm.
Encuentra AB y BC
Triángulo rectángulo con ángulo 30. 0
Tarea 7.
CA = 4 cm.
Tarea 8.
AB-CA = 15 cm.
Encuentra AB y AC
Triángulo rectángulo con ángulo 30. 0
Problema 9 .
Encuentra los ángulos agudos del triángulo rectángulo ABC si AB = 12 cm, BC = 6 cm.
Triángulo rectángulo con ángulo 30. 0
Problema 10 .
Encuentra los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si el ángulo entre la bisectriz y la altura se extrae del vértice. ángulo recto, es igual a 15 0.
SC - bisectriz
cm-altura
Triángulo rectángulo con ángulo 30. 0
Problema 11 .
En un triángulo isósceles, uno de los ángulos mide 120 0 y la base mide 4 cm. Calcula la altura dibujada hacia el lado.
soy - altura
Triángulo rectángulo con ángulo 30. 0
Problema 12 .
La altitud dibujada hacia el lado lateral de un triángulo isósceles biseca el ángulo entre la base y la bisectriz. Encuentra los ángulos de un triángulo isósceles.
AK – bisectriz del ángulo A
soy - altura
Triángulo rectángulo con ángulo 30. 0
Problema 14 .
Demuestre que si el triángulo es rectángulo, entonces la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
Propiedad 4 0 .
ΔАВС - rectangular
SM – mediana
¡Tenemos una contradicción!
Triángulo rectángulo con ángulo 30. 0
Problema 13 .
Demuestre que si la mediana de un triángulo es igual a la mitad del lado por el que se dibuja, entonces el triángulo es rectángulo.
VM - mediana
Demuestre: ΔABC - rectangular
Propiedad 5 0 .
Algunas propiedades de los triángulos rectángulos.
Propiedad 1 0 . La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90. 0 .
Propiedad 2 0 . Cateto de un triángulo rectángulo opuesto a un ángulo de 30 0 , igual a la mitad de la hipotenusa .
Propiedad 3 0 . Si un cateto de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto a este cateto es 30 0 .
Propiedad 4 0 . En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
Propiedad 5 0 . Si la mediana de un triángulo es igual a la mitad del lado por el que se dibuja, entonces este triángulo es rectángulo.
Propiedades de un triángulo rectángulo
Queridos alumnos de séptimo grado, ya saben lo que formas geométricas se llaman triángulos, sabes cómo demostrar los signos de su igualdad. También conoces casos especiales de triángulos: isósceles y ángulos rectos. Conoces muy bien las propiedades de los triángulos isósceles.
Pero los triángulos rectángulos también tienen muchas propiedades. Una obvia tiene que ver con el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo: en un triángulo rectángulo, la suma de los ángulos agudos es 90°. Aprenderás la propiedad más sorprendente de un triángulo rectángulo en octavo grado cuando estudias el famoso teorema de Pitágoras.
Ahora hablaremos de dos propiedades más importantes. Uno es para triángulos rectángulos de 30° y el otro es para triángulos rectángulos aleatorios. Formulemos y demostremos estas propiedades.
Como usted sabe, en geometría se acostumbra formular enunciados opuestos a los probados, cuando la condición y la conclusión del enunciado cambian de lugar. Las afirmaciones contrarias no siempre son ciertas. En nuestro caso, ambas afirmaciones inversas son ciertas.
Propiedad 1.1 En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto al ángulo de 30° es igual a la mitad de la hipotenusa.
Prueba: Considere el rectángulo ∆ ABC, en el que ÐA=90°, ÐB=30°, luego ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, por lo tanto, lo que había que demostrar.
Propiedad 1.2 (inversa a la propiedad 1.1) Si en un triángulo rectángulo el cateto es igual a la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto a él mide 30°.
Propiedad 2.1 En un triángulo rectángulo, la mediana trazada hasta la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.
Consideremos un rectángulo ∆ ABC, en el que РВ=90°.
BD-mediana, es decir, AD=DC. Demostrémoslo.
Para comprobarlo, haremos una construcción adicional: continuaremos BD más allá del punto D para que BD=DN y conectemos N con A y C..gif" width="616" height="372 src=">
Dado: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm
1. ÐEBC=30o, porque en un ∆BCE rectangular la suma de los ángulos agudos es 90o
2. BE=14cm(propiedad 1)
3. ÐABE=30o, ya que ÐA+ÐABE=ÐBEC (propiedad del ángulo externo de un triángulo) por lo tanto ∆AEB es isósceles AE=EB=14cm.
BC=2AN=20 cm (propiedad 2).
Tarea 3. Demuestre que la altura y la mediana de un triángulo rectángulo llevadas a la hipotenusa forman un ángulo igual a la diferencia entre los ángulos agudos del triángulo.
Dado: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-mediana, AH-altura.
Demuestre: RMAN=RS-RV.
Prueba:
1)РМАС=РС (por propiedad 2 ∆ AMC-isosceles, AM=SM)
2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.
Queda por demostrar que РНАС=РВ. Esto se desprende del hecho de que ÐB+ÐC=90° (en ∆ ABC) y ÐNAS+ÐC=90° (de ∆ ANS).
Entonces, RMAN = RС-РВ, que es lo que había que demostrar.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Dado: ∆ABC, ÐBAC=90°, altura AN, .
Encontrar: РВ, РС.
Solución: tomemos la mediana AM. Sea AN=x, entonces BC=4x y
VM=MS=AM=2x.
En un ∆AMN rectangular, la hipotenusa AM es 2 veces más grande que el cateto AN, por lo tanto ÐAMN=30°. Como VM=AM,
РВ=РВAM100%">
Extendamos AC más allá del punto A para que AD=AC. Entonces ∆ABC=∆ABD (en 2 patas). BD=BC=2AC=CD, por lo tanto ∆DBC-equilátero, ÐC=60o y ÐABC=30o.
Problema 5
En un triángulo isósceles, uno de los ángulos mide 120°, la base mide 10 cm. Encuentra la altura dibujada hacia el lado.
Solución: para empezar, observamos que el ángulo de 120° sólo puede estar en el vértice del triángulo y que la altura trazada hacia el lado caerá en su continuación.
AB - escalera, K - gatito.
En cualquier posición de la escalera, hasta que finalmente cae al suelo, ∆ABC es rectangular. MC - mediana ∆ABC.
Según la propiedad 2 SK = 1/2AB. Es decir, en cualquier momento la longitud del segmento SK es constante.
Respuesta: el punto K se moverá a lo largo de un arco circular con centro C y radio SC=1/2AB.
Problemas para solución independiente.
Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 60° y la diferencia entre la hipotenusa y el cateto más corto es 4 cm. halla la longitud de la hipotenusa. En un rectángulo ∆ ABC con hipotenusa BC y ángulo B igual a 60°, se dibuja la altura AD. Encuentre DC si DB = 2 cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - altura, BC=2ВD. Demuestre que AD=3ВD. La altura de un triángulo rectángulo divide la hipotenusa en partes de 3 cm y 9 cm. Encuentra los ángulos del triángulo y la distancia desde el centro de la hipotenusa hasta el cateto más largo. La bisectriz divide el triángulo en dos triángulos isósceles. Encuentra los ángulos del triángulo original. La mediana divide el triángulo en dos triángulos isósceles. ¿Es posible encontrar ángulos?
¿El triángulo original?
nivel intermedio
Triángulo rectángulo. La guía ilustrada completa (2019)
TRIÁNGULO RECTANGULAR. NIVEL DE ENTRADA.
En los problemas, el ángulo recto no es en absoluto necesario: el inferior izquierdo, por lo que debes aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma.
y en esto
y en esto 
¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay especiales. hermosos nombres por sus costados.
¡Atención al dibujo!
Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)!
Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras.
Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue demostrado por Pitágoras en tiempos absolutamente inmemoriales y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor es que es sencillo.
Entonces, Teorema de Pitágoras:
¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”?
Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y mirémoslos. 
¿No parece una especie de pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde surgió el chiste? Y este chiste está relacionado precisamente con el teorema de Pitágoras, o más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:
"Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa."
¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.
En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a alguien ingenioso se le ocurrió este chiste sobre los pantalones pitagóricos.
¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras?
¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?
Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de tener una formulación sencilla del teorema de Pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor:
Debería ser fácil ahora:
| Cuadrado de la hipotenusa igual a la suma cuadrados de patas. |
Bueno, ya se ha discutido el teorema más importante sobre los triángulos rectángulos. Si te interesa cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora pasemos... a bosque oscuro... trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.
De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:
¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda!
1.
En realidad suena así:
¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna!
¿Qué pasa con el ángulo? Mira con atención. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y
¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos:
Mira lo genial que es:
Ahora pasemos a tangente y cotangente.
¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos?
¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares?
Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio:
Reanudar
Anotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.
 |
Teorema de Pitágoras: |
El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.
teorema de pitágoras
Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.
Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.
¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!
Ahora conectemos los puntos marcados.
Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.
¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.
Juntémoslo todo ahora.
Transformemos:
Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.
Triángulo rectángulo y trigonometría.
Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:
Seno ángulo agudo igual a la proporción lado opuesto a la hipotenusa
El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.
La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
Y una vez más todo esto en forma de tablet:
¡Es muy conveniente!
Signos de igualdad de triángulos rectángulos.
I. En dos lados
II. Por cateto e hipotenusa
III. Por hipotenusa y ángulo agudo
IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.
a) 
b) 
¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:
ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.
Es necesario que en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.
¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?
La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.
Signos de similitud de triángulos rectángulos.
I. A lo largo de un ángulo agudo
II. en dos lados
III. Por cateto e hipotenusa
Mediana en un triángulo rectángulo
¿Por qué es así?
En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.
Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué se sabe sobre las diagonales de un rectángulo?
¿Y qué se sigue de esto?
Entonces resultó que
- - mediana:
¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!
Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.
¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto
Mira con atención. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. Entonces, ¿qué pasó?
Así que comencemos con este “además…”.
Miremos y.
¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales!
Lo mismo puede decirse de y
Ahora dibujémoslo juntos:
¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?
Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.
Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:
Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":
Entonces, apliquemos la similitud: .
¿Qué pasará ahora?
Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:
Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo
Teorema de Pitágoras:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .
Signos de igualdad de triángulos rectángulos:
- en dos lados:
- por cateto e hipotenusa: o
- a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente: o
- a lo largo de la pierna y el ángulo agudo opuesto: o
- por hipotenusa y ángulo agudo: o.
Signos de similitud de triángulos rectángulos:
- una esquina aguda: o
- de la proporcionalidad de dos catetos:
- de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.
Seno, coseno, tangente y cotangente en un triángulo rectángulo.
- El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
- El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
- La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
- La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto: .
Altura de un triángulo rectángulo: o.
En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .
Área de un triángulo rectángulo:
- a través de las piernas:
nivel intermedio
Triángulo rectángulo. La guía ilustrada completa (2019)
TRIÁNGULO RECTANGULAR. NIVEL DE ENTRADA.
En los problemas, el ángulo recto no es en absoluto necesario: el inferior izquierdo, por lo que debes aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma.
y en esto
y en esto
¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno..., en primer lugar, sus lados tienen nombres especiales y bonitos.
¡Atención al dibujo!
Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)!
Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras.
Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue demostrado por Pitágoras en tiempos absolutamente inmemoriales y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor es que es sencillo.
Entonces, Teorema de Pitágoras:
¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”?
Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y mirémoslos.
¿No parece una especie de pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde surgió el chiste? Y este chiste está relacionado precisamente con el teorema de Pitágoras, o más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:
"Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa."
¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.
En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a alguien ingenioso se le ocurrió este chiste sobre los pantalones pitagóricos.
¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras?
¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?
Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de tener una formulación sencilla del teorema de Pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor:
Debería ser fácil ahora:
| El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. |
Bueno, ya se ha discutido el teorema más importante sobre los triángulos rectángulos. Si estás interesado en cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora vayamos más allá... hacia el bosque oscuro... ¡trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.
De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:
¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda!
1.
En realidad suena así:
¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna!
¿Qué pasa con el ángulo? Mira con atención. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y
¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos:
Mira lo genial que es:
Ahora pasemos a tangente y cotangente.
¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos?
¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares?
Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio:
Reanudar
Anotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.
|
Teorema de Pitágoras: |
El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.
teorema de pitágoras
Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.
Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.
¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!
Ahora conectemos los puntos marcados.
Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.
¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.
Juntémoslo todo ahora.
Transformemos:
Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.
Triángulo rectángulo y trigonometría.
Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:
El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.
El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.
La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
Y una vez más todo esto en forma de tablet:
¡Es muy conveniente!
Signos de igualdad de triángulos rectángulos.
I. En dos lados
II. Por cateto e hipotenusa
III. Por hipotenusa y ángulo agudo
IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.
a)
b)
¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:
ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.
Es necesario que en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.
¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?
La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.
Signos de similitud de triángulos rectángulos.
I. A lo largo de un ángulo agudo
II. en dos lados
III. Por cateto e hipotenusa
Mediana en un triángulo rectángulo
¿Por qué es así?
En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.
Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué se sabe sobre las diagonales de un rectángulo?
¿Y qué se sigue de esto?
Entonces resultó que
- - mediana:
¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!
Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.
¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto
Mira con atención. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. Entonces, ¿qué pasó?
Así que comencemos con este “además…”.
Miremos y.
¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales!
Lo mismo puede decirse de y
Ahora dibujémoslo juntos:
¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?
Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.
Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:
Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":
Entonces, apliquemos la similitud: .
¿Qué pasará ahora?
Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:
Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo
Teorema de Pitágoras:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .
Signos de igualdad de triángulos rectángulos:
- en dos lados:
- por cateto e hipotenusa: o
- a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente: o
- a lo largo de la pierna y el ángulo agudo opuesto: o
- por hipotenusa y ángulo agudo: o.
Signos de similitud de triángulos rectángulos:
- una esquina aguda: o
- de la proporcionalidad de dos catetos:
- de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.
Seno, coseno, tangente y cotangente en un triángulo rectángulo.
- El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
- El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
- La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
- La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto: .
Altura de un triángulo rectángulo: o.
En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .
Área de un triángulo rectángulo:
- a través de las piernas: