La trigonometría, como ciencia, se originó en el Antiguo Oriente. Los astrónomos derivaron las primeras relaciones trigonométricas para crear un calendario y una orientación precisos de las estrellas. Estos cálculos se relacionaban con la trigonometría esférica, mientras que en curso escolar Estudiar las razones de los lados y ángulos de un triángulo plano.
La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de funciones trigonométricas y la relación entre los lados y ángulos de los triángulos.
Durante el apogeo de la cultura y la ciencia en el primer milenio d.C., el conocimiento se extendió desde el Antiguo Oriente hasta Grecia. Pero los principales descubrimientos de la trigonometría son mérito de los hombres del califato árabe. En particular, el científico turcomano al-Marazwi introdujo funciones como la tangente y la cotangente y compiló las primeras tablas de valores de senos, tangentes y cotangentes. Los conceptos de seno y coseno fueron introducidos por científicos indios. La trigonometría recibió mucha atención en las obras de grandes figuras de la antigüedad como Euclides, Arquímedes y Eratóstenes.
Cantidades básicas de trigonometría.
Las funciones trigonométricas básicas de un argumento numérico son seno, coseno, tangente y cotangente. Cada uno de ellos tiene su propia gráfica: seno, coseno, tangente y cotangente.
Las fórmulas para calcular los valores de estas cantidades se basan en el teorema de Pitágoras. Los escolares lo conocen mejor en la formulación: "Pantalones pitagóricos, iguales en todas las direcciones", ya que la prueba se da en el ejemplo de un triángulo rectángulo isósceles.
El seno, el coseno y otras relaciones establecen la relación entre los ángulos agudos y los lados de cualquier triángulo rectángulo. Presentemos fórmulas para calcular estas cantidades para el ángulo A y tracemos las relaciones entre funciones trigonométricas:
Como puede verse, tg y ctg son funciones inversas. Si imaginamos el cateto a como el producto del pecado A y la hipotenusa c, y el cateto b como cos A * c, obtenemos las siguientes fórmulas para tangente y cotangente:
círculo trigonométrico
Gráficamente, la relación entre las cantidades mencionadas se puede representar de la siguiente manera:
circunferencia, en en este caso, representa todos los valores posibles del ángulo α, de 0° a 360°. Como se puede ver en la figura, cada función toma un valor negativo o positivo según el ángulo. Por ejemplo, sen α tendrá un signo “+” si α pertenece al primer y segundo cuarto del círculo, es decir, está en el rango de 0° a 180°. Para α de 180° a 360° (cuartos III y IV), sen α sólo puede ser un valor negativo.
Intentemos construir tablas trigonométricas para ángulos específicos y averiguar el valor de las cantidades.
Los valores de α iguales a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° y así sucesivamente se denominan casos especiales. Los valores de las funciones trigonométricas para ellos se calculan y presentan en forma de tablas especiales.
Estos ángulos no fueron elegidos al azar. La designación π en las tablas es para radianes. Rad es el ángulo en el que la longitud del arco de un círculo corresponde a su radio. Este valor se introdujo para establecer una dependencia universal; al calcular en radianes, la longitud real del radio en cm no importa.
Los ángulos en las tablas de funciones trigonométricas corresponden a valores en radianes:
Entonces, no es difícil adivinar que 2π es un círculo completo o 360°.
Propiedades de las funciones trigonométricas: seno y coseno
Para considerar y comparar las propiedades básicas del seno y el coseno, la tangente y la cotangente, es necesario dibujar sus funciones. Esto se puede hacer en forma de curva ubicada en un sistema de coordenadas bidimensional.
Considerar tabla de comparación propiedades para seno y coseno:
| Onda sinusoidal | Coseno |
|---|---|
| y = sen x | y = porque x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sen x = 0, para x = πk, donde k ϵ Z | cos x = 0, para x = π/2 + πk, donde k ϵ Z |
| sen x = 1, para x = π/2 + 2πk, donde k ϵ Z | cos x = 1, en x = 2πk, donde k ϵ Z |
| sen x = - 1, en x = 3π/2 + 2πk, donde k ϵ Z | cos x = - 1, para x = π + 2πk, donde k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, es decir, la función es impar | cos (-x) = cos x, es decir, la función es par |
| la función es periódica, el período más pequeño es 2π | |
| sen x › 0, siendo x perteneciente al 1º y 2º trimestre o de 0° a 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, siendo x perteneciente a los trimestres I y IV o de 270° a 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sen x ‹ 0, siendo x perteneciente al tercer y cuarto cuarto o de 180° a 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, siendo x perteneciente al 2º y 3º cuarto o de 90° a 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| incrementos en el intervalo [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | aumenta en el intervalo [-π + 2πk, 2πk] |
| disminuye en intervalos [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | disminuye en intervalos |
| derivada (sen x)’ = cos x | derivada (cos x)’ = - sen x |
Determinar si una función es par o no es muy sencillo. suficiente para imaginar círculo trigonométrico con los signos de cantidades trigonométricas y "doblar" mentalmente la gráfica con respecto al eje OX. Si los signos coinciden la función es par, en caso contrario es impar.
La introducción de radianes y el listado de las propiedades básicas de las ondas seno y coseno nos permiten presentar el siguiente patrón:
Es muy fácil comprobar que la fórmula es correcta. Por ejemplo, para x = π/2, el seno es 1, al igual que el coseno de x = 0. La verificación se puede realizar consultando tablas o trazando curvas de función para valores dados.
Propiedades de tangentes y cotangentes.
Las gráficas de las funciones tangente y cotangente difieren significativamente de las funciones seno y coseno. Los valores tg y ctg son recíprocos entre sí.
- Y = tanx.
- La tangente tiende a los valores de y en x = π/2 + πk, pero nunca los alcanza.
- El período positivo más pequeño de la tangentoide es π.
- Tg (- x) = - tg x, es decir la función es impar.
- Tg x = 0, para x = πk.
- La función es creciente.
- Tg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, para x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivada (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Considere la imagen gráfica de la cotangentoide a continuación en el texto.
Principales propiedades de los cotangentoides:
- Y = cuna x.
- A diferencia de las funciones seno y coseno, en la tangentoide Y puede tomar los valores del conjunto de todos los números reales.
- La cotangentoide tiende a los valores de y en x = πk, pero nunca los alcanza.
- El período positivo más pequeño de una cotangentoide es π.
- Ctg (- x) = - ctg x, es decir, la función es impar.
- Ctg x = 0, para x = π/2 + πk.
- La función es decreciente.
- Ctg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, para x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivada (ctg x)’ = - 1/sen 2 x Correcto
Identidades trigonométricas- Son igualdades que establecen una conexión entre seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo, lo que permite encontrar cualquiera de estas funciones, siempre que se conozca alguna otra.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Esta identidad dice que la suma del cuadrado del seno de un ángulo y el cuadrado del coseno de un ángulo es igual a uno, lo que en la práctica permite calcular el seno de un ángulo cuando se conoce su coseno y viceversa. .
Al convertir expresiones trigonométricas, se usa con mucha frecuencia esta identidad, que permite reemplazar la suma de los cuadrados del coseno y el seno de un ángulo por uno y también realizar la operación de reemplazo en orden inverso.
Encontrar tangente y cotangente usando seno y coseno
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Estas identidades se forman a partir de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Después de todo, si lo miras bien, entonces, por definición, la ordenada y es un seno y la abscisa x es un coseno. Entonces la tangente será igual a la razón. \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), y la relación \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- será una cotangente.
Agreguemos que sólo para aquellos ángulos \alpha en los que las funciones trigonométricas incluidas en ellos tengan sentido, las identidades se mantendrán, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Por ejemplo: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) es válido para ángulos \alpha que son diferentes de \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- para un ángulo \alpha distinto de \pi z, z es un número entero.
Relación entre tangente y cotangente
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Esta identidad es válida sólo para ángulos \alpha que son diferentes de \frac(\pi)(2) z. De lo contrario, no se determinará ni la cotangente ni la tangente.
Con base en los puntos anteriores obtenemos que tg \alfa = \frac(y)(x), A ctg \alfa=\frac(x)(y). Resulta que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Por tanto, la tangente y la cotangente del mismo ángulo en el que tienen sentido son números mutuamente inversos.
Relaciones entre tangente y coseno, cotangente y seno
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la suma del cuadrado de la tangente del ángulo \alpha y 1 es igual al inverso del cuadrado del coseno de este ángulo. Esta identidad es válida para todos los \alpha distintos de \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la suma de 1 y el cuadrado de la cotangente del ángulo \alpha es igual al inverso del cuadrado del seno del ángulo dado. Esta identidad es válida para cualquier \alpha diferente de \pi z.
Ejemplos con soluciones a problemas usando identidades trigonométricas.
Ejemplo 1
Encuentre \sin \alpha y tg \alpha si \cos \alpha=-\frac12 Y \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Mostrar solución
Solución
Las funciones \sin \alpha y \cos \alpha están relacionadas por la fórmula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Sustituyendo en esta fórmula \cos \alfa = -\frac12, obtenemos:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Esta ecuación tiene 2 soluciones:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Por condición \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . En el segundo cuarto el seno es positivo, entonces \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Para encontrar tan \alpha, usamos la fórmula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Ejemplo 2
Encuentre \cos \alpha y ctg \alpha si y \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Mostrar solución
Solución
Sustituyendo en la fórmula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 numero dado \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), obtenemos \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Esta ecuación tiene dos soluciones. \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Por condición \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . En el segundo cuarto el coseno es negativo, entonces \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Para encontrar ctg \alpha, usamos la fórmula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Conocemos los valores correspondientes.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Comenzaremos nuestro estudio de trigonometría con el triángulo rectángulo. Definamos qué son el seno y el coseno, así como la tangente y la cotangente ángulo agudo. Estos son los conceptos básicos de la trigonometría.
Te recordamos que ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados. Es decir, medio ángulo girado.
Esquina filosa- menos de 90 grados.
Ángulo obtuso- mayor a 90 grados. Cuando se aplica a ese ángulo, "obtuso" no es un insulto, sino un término matemático :-)
Dibujemos triángulo rectángulo. Un ángulo recto generalmente se denota por . Tenga en cuenta que el lado opuesto a la esquina está indicado con la misma letra, solo que en tamaño pequeño. Por tanto, el lado opuesto al ángulo A se designa.
El ángulo se denota con la letra griega correspondiente.
Hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto.
Piernas- lados opuestos a ángulos agudos.
El cateto opuesto al ángulo se llama opuesto(relativo al ángulo). El otro cateto, que se encuentra en uno de los lados del ángulo, se llama adyacente.
Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
Cosenoángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Tangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el lado opuesto y el adyacente:
Otra definición (equivalente): la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno del ángulo y su coseno:
Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el lado adyacente y el opuesto (o, lo que es lo mismo, la relación entre el coseno y el seno):
Tenga en cuenta las relaciones básicas para seno, coseno, tangente y cotangente a continuación. Nos serán útiles a la hora de resolver problemas.
Probemos algunos de ellos.
Bien, hemos dado definiciones y escrito fórmulas. Pero ¿por qué todavía necesitamos seno, coseno, tangente y cotangente?
Lo sabemos la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a.
Conocemos la relación entre fiestas triángulo rectángulo. Este es el teorema de Pitágoras: .
Resulta que conociendo dos ángulos de un triángulo, puedes encontrar el tercero. Conociendo los dos lados de un triángulo rectángulo, puedes encontrar el tercero. Esto significa que los ángulos tienen su propia proporción y los lados tienen la suya propia. Pero, ¿qué debes hacer si en un triángulo rectángulo conoces un ángulo (excepto el ángulo recto) y un lado, pero necesitas encontrar los otros lados?
Esto es lo que la gente del pasado encontraba al hacer mapas de la zona y del cielo estrellado. Después de todo, no siempre es posible medir directamente todos los lados de un triángulo.
Seno, coseno y tangente: también se les llama funciones de ángulos trigonométricos- dar relaciones entre fiestas Y esquinas triángulo. Conociendo el ángulo, puedes encontrar todas sus funciones trigonométricas utilizando tablas especiales. Y conociendo los senos, cosenos y tangentes de los ángulos de un triángulo y de uno de sus lados, podrás encontrar el resto.
También dibujaremos una tabla con los valores de seno, coseno, tangente y cotangente para los ángulos "buenos" desde hasta.
Tenga en cuenta los dos guiones rojos en la tabla. Para valores de ángulo apropiados, la tangente y la cotangente no existen.
Veamos varios problemas de trigonometría del banco de tareas FIPI.
1. En un triángulo, el ángulo es , . Encontrar .
El problema se resuelve en cuatro segundos.
Porque el , .
2. En un triángulo, el ángulo es , , . Encontrar .
Encontrémoslo usando el teorema de Pitágoras.
El problema esta resuelto.
A menudo, en los problemas hay triángulos con ángulos y o con ángulos y. ¡Recuerda de memoria las proporciones básicas para ellos!
Para un triángulo con ángulos y el cateto opuesto al ángulo en es igual a la mitad de la hipotenusa.
Un triángulo con ángulos y es isósceles. En él, la hipotenusa es veces más grande que el cateto.
Analizamos problemas para resolver triángulos rectángulos, es decir, encontrar lados o ángulos desconocidos. ¡Pero eso no es todo! EN Opciones del examen estatal unificado En matemáticas hay muchos problemas que involucran el seno, coseno, tangente o cotangente del ángulo externo de un triángulo. Más sobre esto en el próximo artículo.
Primero, considere un círculo con radio 1 y centro en (0;0). Para cualquier αЄR, el radio 0A se puede dibujar de modo que la medida en radianes del ángulo entre 0A y el eje 0x sea igual a α. El sentido contrario a las agujas del reloj se considera positivo. Sea el final del radio A las coordenadas (a,b).
Definición de seno
Definición: El número b, igual a la ordenada del radio unitario construido de la manera descrita, se denota por senα y se llama seno del ángulo α.
Ejemplo: sen 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
Definición de coseno
Definición: El número a, igual a la abscisa del extremo del radio unitario construido de la manera descrita, se denota por cosα y se llama coseno del ángulo α.
Ejemplo: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
Estos ejemplos utilizan la definición del seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas del extremo del radio unitario y del círculo unitario. Para una representación más visual, necesitas dibujar. circulo unitario y trazar los puntos correspondientes en él, y luego contar sus abscisas para calcular el coseno y las ordenadas para calcular el seno.
Definición de tangente
Definición: La función tgx=senx/cosx para x≠π/2+πk, kЄZ, se llama cotangente del ángulo x. El dominio de definición de la función tgx son todos los números reales, excepto x=π/2+πn, nЄZ.
Ejemplo: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Este ejemplo es similar al anterior. Para calcular la tangente de un ángulo, debes dividir la ordenada de un punto por su abscisa.
Definición de cotangente
Definición: La función ctgx=cosx/sinx para x≠πk, kЄZ se llama cotangente del ángulo x. El dominio de definición de la función ctgx = son todos los números reales excepto los puntos x=πk, kЄZ.
Veamos un ejemplo usando un triángulo rectángulo regular.
Para que quede más claro qué son coseno, seno, tangente y cotangente. Consideremos un ejemplo de un triángulo rectángulo regular con ángulo y y lados a,b,c. Hipotenusa c, catetos a y b respectivamente. El ángulo entre la hipotenusa c y el cateto b y.
Definición: El seno del ángulo y es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa: siny = a/c
Definición: El coseno del ángulo y es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa: cosy= in/c
Definición: La tangente del ángulo y es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente: tgy = a/b
Definición: La cotangente del ángulo y es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto: ctgy= in/a
El seno, el coseno, la tangente y la cotangente también se denominan funciones trigonométricas. Cada ángulo tiene su propio seno y coseno. Y casi todo el mundo tiene su propia tangente y cotangente.
Se cree que si nos dan un ángulo, entonces conocemos su seno, coseno, tangente y cotangente. Y viceversa. Dado un seno, o cualquier otra función trigonométrica, respectivamente, conocemos el ángulo. Incluso se han creado tablas especiales donde se escriben funciones trigonométricas para cada ángulo.
Los conceptos de seno (), coseno (), tangente (), cotangente () están indisolublemente ligados al concepto de ángulo. Para comprender bien estos conceptos, a primera vista, complejos (que provocan un estado de horror en muchos escolares) y asegurarnos de que "el diablo no es tan terrible como lo pintan", comencemos desde el principio. desde el principio y comprender el concepto de ángulo.
Concepto de ángulo: radianes, grados
Miremos la foto. El vector ha "girado" con respecto al punto en una cierta cantidad. Entonces la medida de esta rotación con respecto a la posición inicial será esquina.
¿Qué más necesitas saber sobre el concepto de ángulo? Bueno, por supuesto, ¡unidades angulares!
El ángulo, tanto en geometría como en trigonometría, se puede medir en grados y radianes.
Un ángulo de (un grado) se llama ángulo central en un círculo, basándose en un arco circular igual a parte del círculo. Por tanto, todo el círculo consta de "trozos" de arcos circulares, o el ángulo descrito por el círculo es igual.
Es decir, la figura de arriba muestra un ángulo igual a, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular del tamaño de la circunferencia.
Un ángulo en radianes es el ángulo central de un círculo subtendido por un arco circular cuya longitud es igual al radio del círculo. Bueno, ¿lo descubriste? Si no, averigüémoslo a partir del dibujo.
Entonces, la figura muestra un ángulo igual a un radian, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular, cuya longitud es igual al radio del círculo (la longitud es igual a la longitud o radio igual a la longitud arcos). Por tanto, la longitud del arco se calcula mediante la fórmula:
¿Dónde está el ángulo central en radianes?
Bueno, sabiendo esto, ¿puedes responder cuántos radianes contiene el ángulo que describe el círculo? Sí, para ello es necesario recordar la fórmula de la circunferencia. Aqui esta ella:
Bueno, ahora correlacionemos estas dos fórmulas y encontremos que el ángulo descrito por el círculo es igual. Es decir, correlacionando el valor en grados y radianes, lo obtenemos. Respectivamente, . Como puede ver, a diferencia de "grados", se omite la palabra "radianes", ya que la unidad de medida suele quedar clara en el contexto.
¿Cuantos radianes hay? ¡Así es!
¿Entiendo? Luego continúa y solucionalo:
¿Tiene dificultades? Entonces mira respuestas:
Triángulo rectángulo: seno, coseno, tangente, cotangente del ángulo
Entonces, descubrimos el concepto de ángulo. Pero ¿qué es el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo? Vamos a resolverlo. Para ello nos ayudará un triángulo rectángulo.
¿Cómo se llaman los lados de un triángulo rectángulo? Así es, hipotenusa y catetos: la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (en nuestro ejemplo este es el lado); Las patas son los dos lados restantes y (los adyacentes a ángulo recto), y, si consideramos los catetos en relación con el ángulo, entonces el cateto es el cateto adyacente y el cateto es el opuesto. Entonces, ahora respondamos la pregunta: ¿qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo?
Seno de ángulo- esta es la relación entre el cateto opuesto (distante) y la hipotenusa.
En nuestro triángulo.
coseno de ángulo- esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.
En nuestro triángulo.
tangente del ángulo- esta es la relación entre el lado opuesto (distante) y el adyacente (cercano).
En nuestro triángulo.
Cotangente de ángulo- esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y el opuesto (lejos).
En nuestro triángulo.
Estas definiciones son necesarias recordar! Para que sea más fácil recordar qué pierna dividir en qué, debe comprender claramente que en tangente Y cotangente solo las piernas se sientan y la hipotenusa aparece solo en seno Y coseno. Y luego puedes crear una cadena de asociaciones. Por ejemplo, este:
Coseno→toque→toque→adyacente;
Cotangente→toque→toque→adyacente.
En primer lugar, debes recordar que el seno, el coseno, la tangente y la cotangente como proporciones de los lados de un triángulo no dependen de las longitudes de estos lados (en el mismo ángulo). ¿No creen? Entonces asegúrate mirando la imagen:
Consideremos, por ejemplo, el coseno de un ángulo. Por definición, de un triángulo: , pero podemos calcular el coseno de un ángulo a partir de un triángulo: . Verás, las longitudes de los lados son diferentes, pero el valor del coseno de un ángulo es el mismo. Así, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente dependen únicamente de la magnitud del ángulo.
Si comprende las definiciones, ¡adelante y consolidelas!
Para el triángulo que se muestra en la siguiente figura, encontramos.
Bueno, ¿lo entendiste? Entonces pruébalo tú mismo: calcula lo mismo para el ángulo.
Círculo unitario (trigonométrico)
Entendiendo los conceptos de grados y radianes, consideramos un círculo con un radio igual a. Tal círculo se llama soltero. Te será muy útil a la hora de estudiar trigonometría. Por tanto, veámoslo con un poco más de detalle.
Como puede ver, este círculo está construido en el sistema de coordenadas cartesiano. El radio del círculo es igual a uno, mientras que el centro del círculo se encuentra en el origen de coordenadas, la posición inicial del vector de radio se fija a lo largo de la dirección positiva del eje (en nuestro ejemplo, este es el radio).
Cada punto del círculo corresponde a dos números: la coordenada del eje y la coordenada del eje. ¿Cuáles son estos números de coordenadas? Y en general, ¿qué tienen que ver con el tema que nos ocupa? Para hacer esto, debemos recordar el triángulo rectángulo considerado. En la figura de arriba, puedes ver dos triángulos rectángulos completos. Considere un triángulo. Es rectangular porque es perpendicular al eje.
¿A qué es igual el triángulo? Así es. Además, sabemos que es el radio del círculo unitario, lo que significa. Sustituyamos este valor en nuestra fórmula del coseno. Esto es lo que sucede:
¿A qué es igual el triángulo? Bueno, ¡por supuesto! Sustituya el valor del radio en esta fórmula y obtenga:
Entonces, ¿puedes decir qué coordenadas tiene un punto que pertenece a un círculo? Bueno, ¿de ninguna manera? ¿Qué pasa si te das cuenta de eso y son sólo números? ¿A qué coordenada corresponde? Bueno, por supuesto, ¡las coordenadas! ¿Y a qué coordenada corresponde? Así es, ¡coordenadas! Así, punto.
¿A qué son entonces e iguales? Así es, usemos las definiciones correspondientes de tangente y cotangente y obtengamos eso, a.
¿Qué pasa si el ángulo es mayor? Por ejemplo, como en esta imagen:
¿Qué ha cambiado en en este ejemplo? Vamos a resolverlo. Para hacer esto, volvamos nuevamente a un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo: ángulo (como adyacente a un ángulo). ¿Cuáles son los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo? Así es, nos adherimos a las definiciones correspondientes de funciones trigonométricas:
Bueno, como puedes ver, el valor del seno del ángulo todavía corresponde a la coordenada; el valor del coseno del ángulo - la coordenada; y los valores de tangente y cotangente a las razones correspondientes. Por tanto, estas relaciones se aplican a cualquier rotación del vector radio.
Ya se ha mencionado que la posición inicial del radio vector es a lo largo de la dirección positiva del eje. Hasta ahora hemos rotado este vector en el sentido contrario a las agujas del reloj, pero ¿qué pasa si lo rotamos en el sentido de las agujas del reloj? Nada extraordinario, también obtendrás un ángulo de cierto valor, pero solo será negativo. Por lo tanto, al girar el vector de radio en sentido antihorario, obtenemos ángulos positivos, y al girar en el sentido de las agujas del reloj - negativo.
Entonces, sabemos que una revolución completa del vector radio alrededor de un círculo es o. ¿Es posible rotar el vector de radio hacia o hacia? ¡Bueno, por supuesto que puedes! Por lo tanto, en el primer caso, el vector radio hará una revolución completa y se detendrá en la posición o.
En el segundo caso, es decir, el vector radio realizará tres revoluciones completas y se detendrá en la posición o.
Por lo tanto, de los ejemplos anteriores podemos concluir que los ángulos que difieren en o (donde es cualquier número entero) corresponden a la misma posición del vector de radio.
La siguiente figura muestra un ángulo. La misma imagen corresponde a la esquina, etc. Esta lista puede continuar indefinidamente. Todos estos ángulos se pueden escribir mediante la fórmula general o (donde está cualquier número entero)
Ahora bien, conociendo las definiciones de las funciones trigonométricas básicas y utilizando el círculo unitario, intenta responder cuáles son los valores:
Aquí tienes un círculo unitario para ayudarte:
¿Tiene dificultades? Entonces averigüémoslo. Entonces sabemos que:
A partir de aquí determinamos las coordenadas de los puntos correspondientes a determinadas medidas de ángulos. Bueno, comencemos en orden: el ángulo en corresponde a un punto con coordenadas, por lo tanto:
No existe;
Además, siguiendo la misma lógica, descubrimos que las esquinas en corresponden a puntos con coordenadas, respectivamente. Sabiendo esto, es fácil determinar los valores de funciones trigonométricas en los puntos correspondientes. Pruébelo usted mismo primero y luego verifique las respuestas.
Respuestas:
No existe
No existe
No existe
No existe
Así, podemos hacer la siguiente tabla:
No es necesario recordar todos estos valores. Basta recordar la correspondencia entre las coordenadas de los puntos del círculo unitario y los valores de las funciones trigonométricas:
Pero los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos en y, dados en la siguiente tabla, debe ser recordado:
No te asustes, ahora te mostraremos un ejemplo. bastante simple de recordar los valores correspondientes:
Para utilizar este método, es vital recordar los valores del seno para las tres medidas del ángulo (), así como el valor de la tangente del ángulo. Conociendo estos valores, es bastante sencillo restaurar toda la tabla: los valores del coseno se transfieren de acuerdo con las flechas, es decir:
Sabiendo esto, puedes restaurar los valores de. El numerador " " coincidirá y el denominador " " coincidirá. Los valores cotangentes se transfieren de acuerdo con las flechas indicadas en la figura. Si comprende esto y recuerda el diagrama con las flechas, será suficiente recordar todos los valores de la tabla.
Coordenadas de un punto en un círculo.
¿Es posible encontrar un punto (sus coordenadas) en un círculo? conocer las coordenadas del centro del círculo, su radio y ángulo de rotación?
¡Bueno, por supuesto que puedes! vamos a sacarlo fórmula general para encontrar las coordenadas de un punto.
Por ejemplo, aquí hay un círculo frente a nosotros:
Se nos da que el punto es el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas de un punto obtenidas girando el punto en grados.
Como puede verse en la figura, la coordenada del punto corresponde a la longitud del segmento. La longitud del segmento corresponde a la coordenada del centro del círculo, es decir, es igual. La longitud de un segmento se puede expresar utilizando la definición de coseno:
Luego tenemos eso para la coordenada del punto.
Usando la misma lógica, encontramos el valor de la coordenada y para el punto. De este modo,
Entonces, en vista general Las coordenadas de los puntos están determinadas por las fórmulas:
Coordenadas del centro del círculo,
Radio del círculo,
El ángulo de rotación del radio vectorial.
Como puede ver, para el círculo unitario que estamos considerando, estas fórmulas se reducen significativamente, ya que las coordenadas del centro son cero y el radio es uno:
Bueno, probemos estas fórmulas practicando cómo encontrar puntos en un círculo.
1. Encuentre las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenido al rotar el punto.
2. Encuentre las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenido al rotar el punto.
3. Encuentre las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenido al rotar el punto.
4. El punto es el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenido al rotar el vector de radio inicial.
5. El punto es el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenido al rotar el vector de radio inicial.
¿Tiene problemas para encontrar las coordenadas de un punto en un círculo?
Resuelve estos cinco ejemplos (o mejora resolviendolos) ¡y aprenderás a encontrarlos!
1.
Puedes notarlo. Pero sabemos lo que corresponde a una revolución completa del punto de partida. Así, el punto deseado quedará en la misma posición que al girar. Sabiendo esto, encontramos las coordenadas requeridas del punto:
2. El círculo unitario está centrado en un punto, lo que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:
Puedes notarlo. Sabemos lo que corresponde a dos revoluciones completas del punto de partida. Así, el punto deseado quedará en la misma posición que al girar. Sabiendo esto, encontramos las coordenadas requeridas del punto:
El seno y el coseno son valores de tabla. Recordamos sus significados y obtenemos:
Por tanto, el punto deseado tiene coordenadas.
3. El círculo unitario está centrado en un punto, lo que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:
Puedes notarlo. Representemos el ejemplo en cuestión en la figura:
El radio forma ángulos iguales a y con el eje. Sabiendo que los valores de la tabla de coseno y seno son iguales, y habiendo determinado que el coseno aquí toma significado negativo, y el seno es positivo, tenemos:
Estos ejemplos se analizan con más detalle al estudiar las fórmulas para reducir funciones trigonométricas en el tema.
Por tanto, el punto deseado tiene coordenadas.
4.
Ángulo de rotación del radio del vector (por condición)
Para determinar los signos correspondientes del seno y el coseno, construimos un círculo unitario y un ángulo:
Como puede ver, el valor es positivo y el valor es negativo. Conociendo los valores tabulares de las funciones trigonométricas correspondientes, obtenemos que:
Sustituyamos los valores obtenidos en nuestra fórmula y encontremos las coordenadas:
Por tanto, el punto deseado tiene coordenadas.
5. Para resolver este problema utilizamos fórmulas en forma general, donde
Coordenadas del centro del círculo (en nuestro ejemplo,
Radio del círculo (por condición)
Ángulo de rotación del radio del vector (por condición).
Sustituyamos todos los valores en la fórmula y obtenemos:
y - valores de la tabla. Recordémoslos y sustitúyelos en la fórmula:
Por tanto, el punto deseado tiene coordenadas.
RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS
El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (lejano) y la hipotenusa.
El coseno de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.
La tangente de un ángulo es la relación entre el lado opuesto (lejano) y el lado adyacente (cercano).
La cotangente de un ángulo es la relación entre el lado adyacente (cercano) y el lado opuesto (lejos).