El ángulo ABC es un ángulo inscrito. Se apoya sobre el arco AC, encerrado entre sus lados (Fig. 330).
Teorema. Un ángulo inscrito se mide por la mitad del arco en el que se subtiende.
Esto debe entenderse de esta manera: un ángulo inscrito contiene tantos grados, minutos y segundos angulares como grados, minutos y segundos de arco contenidos en la mitad del arco sobre la que descansa.
Al demostrar este teorema se deben considerar tres casos.
Primer caso. El centro del círculo se encuentra en el lado del ángulo inscrito (Fig. 331).
Sea ∠ABC un ángulo inscrito y el centro del círculo O se encuentra en el lado BC. Se requiere demostrar que se mide mediante medio arco AC.
Conecte el punto A al centro del círculo. Obtenemos un \(\Delta\)AOB isósceles, en el que AO = OB, como los radios del mismo círculo. Por lo tanto, ∠A = ∠B.
∠AOC es externo al triángulo AOB, entonces ∠AOC = ∠A + ∠B, y como los ángulos A y B son iguales, entonces ∠B es 1/2 ∠AOC.
Pero ∠AOC se mide por el arco AC, por lo tanto ∠B se mide por la mitad del arco AC.
Por ejemplo, si \(\breve(AC)\) contiene 60°18', entonces ∠B contiene 30°9'.
Segundo caso. El centro del círculo se encuentra entre los lados del ángulo inscrito (Fig. 332).
Sea ∠ABD un ángulo inscrito. El centro del círculo O se encuentra entre sus lados. Necesitamos demostrar que ∠ABD se mide por la mitad del arco AD.
Para demostrar esto, dibujemos el diámetro BC. El ángulo ABD se divide en dos ángulos: ∠1 y ∠2.
∠1 se mide por medio arco AC, y ∠2 se mide por medio arco CD, por lo tanto, el ∠ABD completo se mide por 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), es decir, medio arco AD.
Por ejemplo, si \(\breve(AD)\) contiene 124°, entonces ∠B contiene 62°.
Tercer caso. El centro del círculo se encuentra fuera del ángulo inscrito (Fig. 333).
Sea ∠MAD un ángulo inscrito. El centro del círculo O está fuera de la esquina. Necesitamos demostrar que ∠MAD se mide por la mitad del arco MD.
Para demostrar esto, dibujemos el diámetro AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Pero ∠MAB mide 1/2 \(\breve(MB)\), y ∠DAB mide 1/2 \(\breve(DB)\).
Por lo tanto, ∠MAD mide 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), es decir, 1 / 2 \(\breve(MD)\).
Por ejemplo, si \(\breve(MD)\) contiene 48° 38", entonces ∠MAD contiene 24° 19' 8".
Consecuencias
1.
Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales entre sí, ya que se miden por la mitad del mismo arco.
(Figura 334, a).
2. Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto, ya que subtiende medio círculo. Medio círculo contiene 180 grados de arco, lo que significa que el ángulo basado en el diámetro contiene 90 grados de arco (Fig. 334, b).
Nivel promedio
Círculo y ángulo inscrito. guía visual (2019)
Términos básicos.
¿Qué tan bien recuerdas todos los nombres asociados con el círculo? Por si acaso, permítanos recordarle: mire las imágenes y actualice sus conocimientos.
En primer lugar - El centro de un círculo es un punto a partir del cual las distancias a todos los puntos del círculo son iguales.
En segundo lugar - radio - un segmento de línea que conecta el centro y un punto en el círculo.
Hay muchos radios (tantos como puntos en el círculo), pero Todos los radios tienen la misma longitud.
A veces para abreviar radio lo llaman exactamente longitud del segmento“el centro es un punto del círculo” y no el segmento en sí.
Y esto es lo que sucede si conectas dos puntos en un círculo? ¿También un segmento?
Entonces este segmento se llama "acorde".
Al igual que en el caso del radio, el diámetro suele ser la longitud de un segmento que conecta dos puntos de un círculo y pasa por el centro. Por cierto, ¿cómo se relacionan el diámetro y el radio? Mira cuidadosamente. Por supuesto, el radio es igual a la mitad del diámetro.
Además de los acordes, también hay secantes.
¿Recuerdas lo más simple?
El ángulo central es el ángulo entre dos radios.
Y ahora - el ángulo inscrito
Ángulo inscrito: el ángulo entre dos cuerdas que se cruzan en un punto de un círculo..
En este caso, dicen que el ángulo inscrito descansa sobre un arco (o sobre una cuerda).
Mira la imagen:
Medidas de arcos y ángulos.
Circunferencia. Los arcos y ángulos se miden en grados y radianes. Primero, sobre los grados. No hay problemas con los ángulos: es necesario aprender a medir un arco en grados.
La medida en grados (tamaño del arco) es el valor (en grados) del ángulo central correspondiente.
¿Qué significa aquí la palabra “apropiado”? Miremos con atención:
¿Ves dos arcos y dos ángulos centrales? Bueno, un arco más grande corresponde a un ángulo más grande (y está bien que sea más grande), y un arco más pequeño corresponde a un ángulo más pequeño.
Entonces estuvimos de acuerdo: el arco contiene el mismo número de grados que el ángulo central correspondiente.
Y ahora lo que da miedo: ¡los radianes!
¿Qué clase de bestia es este “radián”?
Imagina esto: Los radianes son una forma de medir ángulos... ¡en radios!
Un ángulo que mide radianes es así ángulo central, cuya longitud de arco es igual al radio del círculo.
Entonces surge la pregunta: ¿cuántos radianes hay en un ángulo recto?
En otras palabras: ¿cuántos radios “caben” en medio círculo? O de otra manera: ¿cuántas veces es mayor la longitud de un semicírculo que el radio?
Los científicos hicieron esta pregunta en la antigua Grecia.
Y así, después de una larga búsqueda, descubrieron que la relación entre la circunferencia y el radio no quiere expresarse en números "humanos" como, etc.
Y ni siquiera es posible expresar esta actitud a través de las raíces. Es decir, ¡resulta que es imposible decir que medio círculo sea una o varias veces mayor que el radio! ¿Te imaginas lo increíble que fue para la gente descubrir esto por primera vez? Para calcular la relación entre la longitud de un semicírculo y el radio, los números "normales" no eran suficientes. Tuve que ingresar una letra.
Entonces, este es un número que expresa la relación entre la longitud del semicírculo y el radio.
Ahora podemos responder la pregunta: ¿cuántos radianes hay en un ángulo llano? Contiene radianes. Precisamente porque la mitad del círculo es veces mayor que el radio.
Pueblos antiguos (y no tan antiguos) a lo largo de los siglos (!) Intenté calcular con mayor precisión este misterioso número, expresarlo mejor (al menos aproximadamente) a través de números "ordinarios". Y ahora somos increíblemente vagos: dos señales después de un día ajetreado nos bastan, estamos acostumbrados
Piénselo, esto significa, por ejemplo, que la longitud de un círculo con un radio de uno es aproximadamente igual, pero esta longitud exacta es simplemente imposible de escribir con un número "humano": necesita una letra. Y entonces esta circunferencia será igual. Y por supuesto, la circunferencia del radio es igual.
Volvamos a los radianes.
Ya hemos descubierto que un ángulo recto contiene radianes.
Que tenemos:
Eso significa que me alegro, es decir, me alegro. De la misma forma se obtiene un plato con los ángulos más populares.
La relación entre los valores de los ángulos inscritos y centrales.
Hay un hecho sorprendente:
El ángulo inscrito tiene la mitad del tamaño del ángulo central correspondiente.
Mire cómo se ve esta declaración en la imagen. Un ángulo central “correspondiente” es aquel cuyos extremos coinciden con los extremos del ángulo inscrito, y el vértice está en el centro. Y al mismo tiempo, el ángulo central “correspondiente” debe “mirar” a la misma cuerda () que el ángulo inscrito.
¿Por qué esto es tan? Vamos a resolverlo primero caso sencillo. Deja que uno de los acordes pase por el centro. A veces pasa así, ¿no?
¿Qué pasa aquí? Consideremos. Son isósceles, después de todo, y radios. Entonces, (los etiquetó).
Ahora veamos. ¡Esta es la esquina exterior! Recordamos que un ángulo externo es igual a la suma de dos ángulos internos no adyacentes a él, y escribimos:
¡Eso es! Efecto inesperado. Pero también hay un ángulo central para lo inscrito.
Esto significa que para este caso demostraron que el ángulo central es el doble del ángulo inscrito. Pero es un caso dolorosamente especial: ¿no es cierto que el acorde no siempre pasa directamente por el centro? Pero no pasa nada, ahora este caso en particular nos ayudará mucho. Mira: segundo caso: deja que el centro quede dentro.
Hagamos esto: dibuja el diámetro. Y luego... vemos dos imágenes que ya fueron analizadas en el primer caso. Por lo tanto ya tenemos eso
Esto significa (en el dibujo, a)
bueno me quede último caso: centro fuera de la esquina.
Hacemos lo mismo: dibujamos el diámetro por el punto. Todo es igual, pero en lugar de una suma hay una diferencia.
¡Eso es todo!
Formemos ahora dos consecuencias principales y muy importantes de la afirmación de que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central.
Corolario 1
Todos los ángulos inscritos basados en un arco son iguales entre sí.
Ilustramos:
Hay innumerables ángulos inscritos basados en el mismo arco (tenemos este arco), pueden parecer completamente diferentes, pero todos tienen el mismo ángulo central (), lo que significa que todos estos ángulos inscritos son iguales entre sí.
Corolario 2
El ángulo subtendido por el diámetro es un ángulo recto.
Mira: ¿a qué ángulo es central?
Ciertamente, . ¡Pero él es igual! Bueno, por lo tanto (así como muchos otros ángulos inscritos que descansan sobre) y es igual.
Ángulo entre dos cuerdas y secantes
Pero, ¿qué pasa si el ángulo que nos interesa NO está inscrito y NO es central, sino, por ejemplo, así:
¿o así?
¿Es posible expresarlo de alguna manera a través de algunos ángulos centrales? Resulta que es posible. Mira: estamos interesados.
a) (como esquina exterior para). Pero - inscrito, se apoya en el arco -. - inscrito, descansa sobre el arco - .
Por belleza dicen:
El ángulo entre las cuerdas es igual a la mitad de la suma de los valores angulares de los arcos encerrados en este ángulo.
Escriben esto por brevedad, pero, por supuesto, al usar esta fórmula debes tener en cuenta los ángulos centrales.
b) Y ahora - ¡“afuera”! ¿Cómo ser? ¡Sí, casi lo mismo! Solo ahora (nuevamente aplicamos la propiedad del ángulo externo). Eso es ahora.
Y eso significa... Aportemos belleza y brevedad a las notas y a la redacción:
El ángulo entre las secantes es igual a la mitad de la diferencia de los valores angulares de los arcos encerrados en este ángulo.
Bueno, ahora tienes todos los conocimientos básicos sobre los ángulos relacionados con un círculo. ¡Adelante, asume los desafíos!
CÍRCULO Y ÁNGULO INSINAL. NIVEL PROMEDIO
Hasta un niño de cinco años sabe lo que es un círculo, ¿verdad? Los matemáticos, como siempre, tienen una definición abstrusa al respecto, pero no la daremos (ver), sino que recordemos cómo se llaman los puntos, rectas y ángulos asociados a un círculo.
Términos importantes
En primer lugar:
| centro del circulo- un punto desde el cual todos los puntos del círculo están a la misma distancia. |
En segundo lugar:
Hay otra expresión aceptada: “la cuerda contrae el arco”. Aquí en la figura, por ejemplo, la cuerda subtiende el arco. Y si una cuerda pasa repentinamente por el centro, entonces tiene un nombre especial: “diámetro”.
Por cierto, ¿cómo se relacionan el diámetro y el radio? Mira cuidadosamente. Por supuesto,
Y ahora, los nombres de las esquinas.
Natural, ¿no? Los lados del ángulo se extienden desde el centro, lo que significa que el ángulo es central.
Aquí es donde a veces surgen dificultades. Prestar atención - NO NINGÚN ángulo dentro de un círculo está inscrito, pero sólo aquel cuyo vértice “se asienta” en el círculo mismo.
Veamos la diferencia en las imágenes:
De otra manera dicen:
Hay un punto complicado aquí. ¿Cuál es el ángulo central “correspondiente” o “propio”? ¿Solo un ángulo con el vértice en el centro del círculo y los extremos en los extremos del arco? Ciertamente no de esa manera. Mira el dibujo.
Uno de ellos, sin embargo, ni siquiera parece una esquina: es más grande. Pero un triángulo no puede tener más ángulos, ¡pero un círculo sí puede! Entonces: el arco más pequeño AB corresponde a un ángulo más pequeño (naranja) y el arco más grande corresponde a uno más grande. Así de simple, ¿no?
La relación entre las magnitudes de los ángulos inscritos y centrales.
Recuerde esta declaración muy importante:
En los libros de texto les gusta escribir este mismo hecho así:
¿No es cierto que la formulación es más sencilla con un ángulo central?
Pero aún así, encontremos una correspondencia entre las dos formulaciones y, al mismo tiempo, aprendamos a encontrar en los dibujos el ángulo central "correspondiente" y el arco sobre el que "descansa" el ángulo inscrito.
Mira: aquí hay un círculo y un ángulo inscrito:
¿Dónde está su ángulo central “correspondiente”?
Miremos de nuevo:
¿Cuál es la regla?
¡Pero! En este caso, es importante que los ángulos inscritos y centrales "miren" el arco desde un lado. Por ejemplo:
¡Por extraño que parezca, azul! ¡Porque el arco es largo, más largo que la mitad del círculo! ¡Así que nunca te confundas!
¿Qué consecuencia se puede deducir de la “mitad” del ángulo inscrito?
Pero, por ejemplo:
Ángulo subtendido por diámetro
Ya habrás notado que a los matemáticos les encanta hablar de las mismas cosas. en diferentes palabras? ¿Por qué necesitan esto? Verás, el lenguaje de las matemáticas, aunque formal, está vivo, y por eso, como en el lenguaje ordinario, cada vez quieres decirlo de la forma que te resulte más conveniente. Bueno, ya hemos visto lo que significa “un ángulo se apoya en un arco”. E imagina, la misma imagen se llama "un ángulo descansa sobre una cuerda". ¿En que? ¡Sí, claro, al que estrecha este arco!
¿Cuándo es más conveniente apoyarse en una cuerda que en un arco?
Bueno, en particular, cuando esta cuerda es un diámetro.
¡Existe una declaración sorprendentemente simple, hermosa y útil para tal situación!
Mira: aquí está el círculo, el diámetro y el ángulo que descansa sobre él.
CÍRCULO Y ÁNGULO INSINAL. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
1. Conceptos básicos.
3. Medidas de arcos y ángulos.
Un ángulo de radianes es un ángulo central cuya longitud de arco es igual al radio del círculo.
Este es un número que expresa la relación entre la longitud de un semicírculo y su radio.
La circunferencia del radio es igual a.
4. La relación entre los valores de los ángulos inscritos y centrales.
ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
ángulo inscrito- un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados lo cortan.
La figura muestra los ángulos centrales e inscritos, así como sus propiedades más importantes.
Entonces, la magnitud del ángulo central es igual a la magnitud angular del arco sobre el que descansa. Esto significa que un ángulo central de 90 grados descansará sobre un arco igual a 90°, es decir, un círculo. El ángulo central, igual a 60°, descansa sobre un arco de 60 grados, es decir, sobre la sexta parte del círculo.
La magnitud del ángulo inscrito es dos veces menor que el ángulo central basado en el mismo arco..
Además, para resolver problemas necesitaremos el concepto de “acorde”.
Ángulos centrales iguales subtienden cuerdas iguales.
1. ¿Cuál es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro del círculo? Da tu respuesta en grados.
Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto.
2. El ángulo central es 36° mayor que el ángulo agudo inscrito subtendido por el mismo arco circular. Encuentra el ángulo inscrito. Da tu respuesta en grados.
Sea el ángulo central igual a x y el ángulo inscrito subtendido por el mismo arco sea igual a y.
Sabemos que x = 2y.
Por tanto 2y = 36 + y,
y = 36.
3. El radio del círculo es igual a 1. Calcula el valor del ángulo obtuso inscrito subtendido por la cuerda, igual a . Da tu respuesta en grados.
Sea la cuerda AB igual a . El ángulo obtuso inscrito subtendido por esta cuerda se denotará por α.
En el triángulo AOB, los lados AO y OB son iguales a 1, el lado AB es igual a . Ya nos hemos encontrado con triángulos de este tipo. Obviamente, el triángulo AOB es rectangular e isósceles, es decir, el ángulo AOB mide 90°.
Entonces el arco ACB es igual a 90° y el arco AKB es igual a 360° - 90° = 270°.
El ángulo inscrito α descansa sobre el arco AKB y es igual a la mitad del valor angular de este arco, es decir, 135°.
Respuesta: 135.
4. La cuerda AB divide el círculo en dos partes, cuyos valores de grados están en la proporción 5:7. ¿En qué ángulo es visible esta cuerda desde el punto C, que pertenece al arco más pequeño del círculo? Da tu respuesta en grados.
Lo principal en esta tarea es el correcto dibujo y comprensión de las condiciones. ¿Cómo entiendes la pregunta: "¿En qué ángulo se ve la cuerda desde el punto C?"
Imagina que estás sentado en el punto C y necesitas ver todo lo que sucede en el acorde AB. Es como si el acorde AB fuera una pantalla de cine :-)
Obviamente, necesitas encontrar el ángulo ACB.
La suma de los dos arcos en que la cuerda AB divide la circunferencia es igual a 360°, es decir
5x + 7x = 360°
Por tanto x = 30°, y entonces el ángulo inscrito ACB descansa sobre un arco igual a 210°.
La magnitud del ángulo inscrito es igual a la mitad de la magnitud angular del arco sobre el que descansa, lo que significa que el ángulo ACB es igual a 105°.
Ángulo inscrito, teoría del problema. ¡Amigos! En este artículo hablaremos de tareas para las que necesitas conocer las propiedades de un ángulo inscrito. Este es todo un grupo de tareas, están incluidas en el Examen Estatal Unificado. La mayoría de ellos se pueden solucionar de forma muy sencilla, en una sola acción.
Hay problemas más difíciles, pero no te presentarán mucha dificultad; necesitas conocer las propiedades de un ángulo inscrito; Poco a poco iremos analizando todos los prototipos de tareas, ¡te invito al blog!
Ahora la teoría necesaria. Recordemos qué es un ángulo central e inscrito, una cuerda, un arco, sobre el que descansan estos ángulos:
El ángulo central de una circunferencia es un ángulo plano convértice en su centro.
La parte de un círculo ubicada dentro de un ángulo plano.llamado arco de circunferencia.
La medida en grados de un arco de círculo se llama medida de grado el ángulo central correspondiente.
Se dice que un ángulo está inscrito en una circunferencia si su vértice se encuentraen un círculo, y los lados del ángulo cortan este círculo.
Un segmento que une dos puntos de una circunferencia se llamaacorde. La cuerda más grande pasa por el centro del círculo y se llamadiámetro.
Para resolver problemas que involucran ángulos inscritos en un círculo,necesitas conocer las siguientes propiedades:
1. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central, basado en el mismo arco.
2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales.
3. Todos los ángulos inscritos que se basan en la misma cuerda y cuyos vértices se encuentran en el mismo lado de esta cuerda son iguales.
4. Cualquier par de ángulos basados en la misma cuerda, cuyos vértices se encuentran en lados opuestos de la cuerda, suman 180°.
Corolario: los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia suman 180 grados.
5. Todos los ángulos inscritos subtendidos por un diámetro son ángulos rectos.
En general, esta propiedad es consecuencia de la propiedad (1); este es su caso especial. Mire: el ángulo central es igual a 180 grados (y este ángulo desplegado no es más que un diámetro), lo que significa, según la primera propiedad, el ángulo inscrito C es igual a la mitad del mismo, es decir, 90 grados.
Conocer esta propiedad ayuda a resolver muchos problemas y, a menudo, permite evitar cálculos innecesarios. Habiéndolo dominado bien podrás resolver más de la mitad de los problemas de este tipo de forma oral. Dos conclusiones que se pueden sacar:
Corolario 1: si un triángulo está inscrito en un círculo y uno de sus lados coincide con el diámetro de este círculo, entonces el triángulo es rectángulo (vértice ángulo recto se encuentra en el círculo).
Corolario 2: el centro de lo descrito sobre triángulo rectángulo el círculo coincide con la mitad de su hipotenusa.
Muchos prototipos de problemas estereométricos también se resuelven utilizando esta propiedad y estas consecuencias. Recuerde el hecho en sí: si el diámetro de un círculo es el lado de un triángulo inscrito, entonces este triángulo es rectángulo (el ángulo opuesto al diámetro es de 90 grados). Todas las demás conclusiones y consecuencias las puedes sacar tú mismo; no es necesario que las enseñes.
Como regla general, la mitad de los problemas sobre ángulos inscritos se dan con un boceto, pero sin símbolos. Para comprender el proceso de razonamiento al resolver problemas (a continuación en el artículo), se introducen notaciones para vértices (ángulos). No es necesario hacer esto en el Examen Estatal Unificado.Consideremos las tareas:
¿Cuál es el valor de un ángulo inscrito agudo subtendido por una cuerda igual al radio del círculo? Da tu respuesta en grados.
Construyamos un ángulo central para un ángulo inscrito dado y designemos los vértices:
Según la propiedad de un ángulo inscrito en una circunferencia:
El ángulo AOB es igual a 60 0, ya que el triángulo AOB es equilátero, y en triángulo equilátero todos los ángulos son iguales a 60 0. Los lados del triángulo son iguales, ya que la condición dice que la cuerda es igual al radio.
Por tanto, el ángulo inscrito ACB es igual a 30 0.
Respuesta: 30
Encuentre la cuerda sostenida por un ángulo de 30 0 inscrito en una circunferencia de radio 3.
Este es esencialmente el problema inverso (del anterior). Construyamos el ángulo central.
Es dos veces más grande que el inscrito, es decir, el ángulo AOB es igual a 60 0. De esto podemos concluir que el triángulo AOB es equilátero. Por tanto, la cuerda es igual al radio, es decir, tres.
Respuesta: 3
El radio del círculo es 1. Encuentra la magnitud del ángulo obtuso inscrito subtendido por la cuerda igual a la raíz de dos. Da tu respuesta en grados.
Construyamos el ángulo central:
Conociendo el radio y la cuerda, podemos encontrar el ángulo central ASV. Esto se puede hacer usando el teorema del coseno. Conociendo el ángulo central, podemos encontrar fácilmente el ángulo inscrito ACB.
Teorema del coseno: cuadrar cualquier lado del triangulo igual a la suma cuadrados de los otros dos lados, sin duplicar el producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos.
Por lo tanto, el segundo ángulo central es 360 0. – 90 0 = 270 0 .
El ángulo ACB, por la propiedad de un ángulo inscrito, es igual a la mitad del mismo, es decir, 135 grados.
Respuesta: 135
Encuentre la cuerda subtendida por un ángulo de 120 grados inscrito en un círculo de radio raíz de tres.
Conecte los puntos A y B al centro del círculo. Denotémoslo como O:
Conocemos el radio y el ángulo inscrito ASV. Podemos encontrar el ángulo central AOB (mayor de 180 grados), luego encontrar el ángulo AOB en el triángulo AOB. Y luego, usando el teorema del coseno, calcula AB.
Según la propiedad de un ángulo inscrito, el ángulo central AOB (que es mayor que 180 grados) será igual al doble del ángulo inscrito, es decir, 240 grados. Esto significa que el ángulo AOB en el triángulo AOB es igual a 360 0 – 240 0 = 120 0.
Según el teorema del coseno:
Respuesta:3
Encuentra el ángulo inscrito subtendido por un arco que es el 20% del círculo. Da tu respuesta en grados.
Según la propiedad del ángulo inscrito, tiene la mitad del tamaño del ángulo central basado en el mismo arco, en en este caso Estamos hablando del arco AB.
Se dice que el arco AB mide el 20 por ciento de la circunferencia. Esto significa que el ángulo central AOB también es el 20 por ciento de 360 0.*Un círculo es un ángulo de 360 grados. Medio,
Por tanto, el ángulo inscrito ACB es de 36 grados.
Respuesta: 36
Arco de círculo C.A., que no contiene un punto B, es de 200 grados. Y el arco de círculo BC, que no contiene un punto. A, es de 80 grados. Encuentra el ángulo inscrito ACB. Da tu respuesta en grados.
Para mayor claridad, designemos los arcos cuyas medidas angulares se dan. Arco correspondiente a 200 grados – Color azul, el arco correspondiente a 80 grados es rojo, la parte restante del círculo es amarillo.
Así, la medida en grados del arco AB (amarillo), y por tanto del ángulo central AOB es: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
El ángulo inscrito ACB tiene la mitad del tamaño del ángulo central AOB, es decir, igual a 40 grados.
Respuesta: 40
¿Cuál es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro del círculo? Da tu respuesta en grados.
Hoy veremos otro tipo de problema 6, esta vez con un círculo. A muchos estudiantes no les gustan y les resultan difíciles. Y completamente en vano, ya que tales problemas se resuelven. elemental, si conoces algunos teoremas. O no se atreven en absoluto si no los conoces.
Antes de hablar de las propiedades principales, permítanme recordarles la definición:
Un ángulo inscrito es aquel cuyo vértice se encuentra en el propio círculo y cuyos lados cortan una cuerda en este círculo.
Un ángulo central es cualquier ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo. Sus lados también intersecan este círculo y tallan una cuerda en él.
Entonces, los conceptos de ángulos inscritos y centrales están indisolublemente ligados al círculo y las cuerdas en su interior. Y ahora la declaración principal:
Teorema. El ángulo central es siempre el doble del ángulo inscrito, basado en el mismo arco.
A pesar de la sencillez de la afirmación, hay toda una clase de problemas 6 que se pueden resolver con ella y nada más.
Tarea. Encuentre un ángulo inscrito agudo subtendido por una cuerda igual al radio del círculo.
Sea AB la cuerda considerada y O el centro del círculo. Construcción adicional: OA y OB son los radios del círculo. Obtenemos:
Considere el triángulo ABO. En él AB = OA = OB - todos los lados son iguales al radio del círculo. Por lo tanto, el triángulo ABO es equilátero y todos sus ángulos miden 60°.
Sea M el vértice del ángulo inscrito. Como los ángulos O y M descansan sobre el mismo arco AB, el ángulo inscrito M es 2 veces menor que el ángulo central O. Tenemos:
M = O: 2 = 60: 2 = 30
Tarea. El ángulo central es 36° mayor que el ángulo inscrito subtendido por el mismo arco de círculo. Encuentra el ángulo inscrito.
Introduzcamos la siguiente notación:
- AB es la cuerda del círculo;
- El punto O es el centro del círculo, por lo que el ángulo AOB es el ángulo central;
- El punto C es el vértice del ángulo inscrito ACB.
Como estamos buscando el ángulo inscrito ACB, denotémoslo ACB = x. Entonces el ángulo central AOB es x + 36. Por otro lado, el ángulo central es 2 veces el ángulo inscrito. Tenemos:
AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.
Entonces encontramos el ángulo inscrito AOB: es igual a 36°.
Un circulo es un angulo de 360°
Después de leer el subtítulo, los lectores expertos probablemente dirán: "¡Uf!" De hecho, comparar un círculo con un ángulo no es del todo correcto. Para entender de qué estamos hablando, eche un vistazo al círculo trigonométrico clásico:
¿Para qué es esta imagen? Y además, una rotación completa es un ángulo de 360 grados. Y si lo divides, digamos, en 20 partes iguales, entonces el tamaño de cada una de ellas será 360: 20 = 18 grados. Esto es exactamente lo que se requiere para resolver el problema B8.
Los puntos A, B y C se encuentran en el círculo y lo dividen en tres arcos, cuyas medidas en grados están en la proporción 1: 3: 5. Encuentre el ángulo mayor del triángulo ABC.
Primero, encontremos la medida en grados de cada arco. Sea el más pequeño x. En la figura este arco se designa AB. Entonces los arcos restantes (BC y AC) se pueden expresar en términos de AB: arco BC = 3x; CA = 5x. En total, estos arcos dan 360 grados:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.
Consideremos ahora un arco grande AC que no contiene el punto B. Este arco, al igual que el ángulo central correspondiente AOC, es 5x = 5 40 = 200 grados.
El ángulo ABC es el mayor de todos los ángulos de un triángulo. Es un ángulo inscrito subtendido por el mismo arco que el ángulo central AOC. Esto significa que el ángulo ABC es 2 veces menor que AOC. Tenemos:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Esta será la medida en grados del ángulo mayor en el triángulo ABC.
Círculo circunscrito alrededor de un triángulo rectángulo.
Mucha gente olvida este teorema. Pero en vano, porque algunos problemas del B8 no se pueden resolver sin él. Más precisamente, están resueltos, pero con tal volumen de cálculos que preferirías quedarte dormido antes que llegar a la respuesta.
Teorema. El centro de un círculo circunscrito a un triángulo rectángulo se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.
¿Qué se sigue de este teorema?
- El punto medio de la hipotenusa equidista de todos los vértices del triángulo. Ésta es una consecuencia directa del teorema;
- La mediana trazada hasta la hipotenusa divide el triángulo original en dos triángulos isósceles. Esto es exactamente lo que se requiere para resolver el problema B8.
En el triángulo ABC dibujamos la mediana CD. El ángulo C mide 90° y el ángulo B mide 60°. Encuentra el ángulo ACD.
Como el ángulo C mide 90°, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo. Resulta que CD es la mediana trazada hacia la hipotenusa. Esto significa que los triángulos ADC y BDC son isósceles.
En particular, considere el triángulo ADC. En él AD = CD. Pero en un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales; consulte “Problema B8: Segmentos de recta y ángulos en triángulos”. Por lo tanto, el ángulo deseado ACD = A.
Entonces, queda por descubrir a qué es igual el ángulo A. Para hacer esto, volvamos nuevamente al triángulo ABC original. Denotemos el ángulo A = x. Como la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°, tenemos:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Por supuesto, el último problema se puede resolver de otra manera. Por ejemplo, es fácil demostrar que el triángulo BCD no es sólo isósceles, sino equilátero. Entonces el ángulo BCD es de 60 grados. Por tanto, el ángulo ACD es 90 − 60 = 30 grados. Como ves, puedes utilizar diferentes triángulos isósceles, pero la respuesta siempre será la misma.