Un círculo es una figura geométrica, familiarizada con la que se encuentra en edad preescolar. Posteriormente conocerás sus propiedades y rasgos característicos. Si los vértices de un polígono arbitrario se encuentran en un círculo y la figura misma está ubicada dentro de él, entonces tienes una figura geométrica inscrita en el círculo.
El concepto de radio caracteriza la distancia desde cualquier punto de un círculo hasta su centro. Este último se ubica en la intersección de perpendiculares a cada lado del polígono. Una vez decidida la terminología, consideremos expresiones que ayudarán a encontrar el radio de cualquier tipo de polígono.
Cómo encontrar el radio de un círculo circunscrito - polígono regular
Esta figura puede tener cualquier número de vértices, pero todos sus lados son iguales. Para encontrar el radio de un círculo en el que se coloca un polígono regular, basta con conocer el número de lados de la figura y su longitud.
R = b/2sen(180°/n),
b – longitud lateral,
n es el número de vértices (o lados) de la figura.
La relación dada para el caso de un hexágono tendrá la siguiente forma:
R = b/2sen(180°/6) = b/2sen30°,
R = segundo.
Cómo encontrar el circunradio de un rectángulo.
Cuando un cuadrilátero se ubica en un círculo, que tiene 2 pares de lados paralelos y ángulos internos de 90°, el punto de intersección de las diagonales del polígono será su centro. Usando la relación pitagórica, así como las propiedades de un rectángulo, obtenemos las expresiones necesarias para encontrar el radio:
R = (√m 2 + l 2)/2,
R = d/2,
m, l – lados del rectángulo,
d es su diagonal.
Cómo encontrar el radio de un círculo circunscrito - cuadrado
Coloca un cuadrado en el círculo. Este último es un polígono regular de 4 lados. Porque Dado que un cuadrado es un caso especial de rectángulo, sus diagonales también se dividen por la mitad en su punto de intersección.
R = (√m 2 + l 2)/2 = (√m 2 + m 2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – lado del cuadrado,
d es su diagonal.
Cómo encontrar el radio de un círculo circunscrito: un trapezoide isósceles
Si un trapezoide se coloca en un círculo, para determinar el radio necesitarás saber las longitudes de sus lados y la diagonal.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
pag = (m + l + d)/2,
m, l – lados del trapezoide,
d es su diagonal.
Cómo encontrar el radio de un círculo circunscrito - un triángulo
Triángulo libre
- Para determinar el radio de un círculo que describe un triángulo, basta con conocer el tamaño de sus lados.
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
p = (metro + l + k)/2,
m, l, k – lados del triángulo. - Si se conoce la longitud del lado y medida de grado el ángulo opuesto a él, entonces el radio se determina de la siguiente manera:
Para triángulo MLK
R = m/2senM = l/2senL = k/2senK,
M, L, K – sus ángulos (vértices). - Dada el área de una figura, también se puede calcular el radio del círculo en el que se encuentra:
R = m*l*k/4S,
m, l, k – lados del triángulo,
S es su área.
Triángulo isósceles
Si un triángulo es isósceles, entonces sus 2 lados son iguales. Al describir una figura de este tipo, el radio se puede encontrar mediante la siguiente relación:
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), pero m = l
R = metro 2 /√(4m 2 – k 2),
m, k – lados del triángulo.
triangulo rectángulo
Si uno de los ángulos del triángulo es recto y un círculo está circunscrito alrededor de la figura, entonces para determinar la longitud del radio de este último, se requerirá la presencia de lados conocidos del triángulo.
R = (√m 2 + l 2)/2 = k/2,
m, l – piernas,
k – hipotenusa.
Nivel de entrada
Círculo circunscrito. guía visual (2019)
La primera pregunta que puede surgir es: ¿qué se describe y en torno a qué?
Bueno, en realidad a veces sucede alrededor de cualquier cosa, pero hablaremos de un círculo circunscrito alrededor (a veces también dicen “sobre”) un triángulo. ¿Qué es esto?
Y imagínense, ocurre un hecho sorprendente:
¿Por qué sorprende este hecho?
¡Pero los triángulos son diferentes!
Y para todos hay un círculo que pasará a través de los tres picos, es decir, el círculo circunscrito.
Prueba de esto hecho sorprendente se puede encontrar en los siguientes niveles de teoría, pero aquí solo notamos que si tomamos, por ejemplo, un cuadrilátero, entonces no para todos habrá un círculo que pase por los cuatro vértices. Por ejemplo, un paralelogramo es un cuadrilátero excelente, ¡pero no hay ningún círculo que pase por sus cuatro vértices!
Y sólo existe para un rectángulo:
Aquí tienes, ¡Y cada triángulo siempre tiene su propio círculo circunscrito! E incluso siempre es bastante fácil encontrar el centro de este círculo.
¿Sabes lo que es? bisectriz perpendicular?
Ahora veamos qué sucede si consideramos hasta tres bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo.
Resulta (y esto es precisamente lo que hay que demostrar, aunque no lo haremos) que las tres perpendiculares se cruzan en un punto. Mire la imagen: las tres bisectrices perpendiculares se cruzan en un punto.
¿Crees que el centro del círculo circunscrito siempre está dentro del triángulo? Imagínese, ¡no siempre!
pero si de ángulo agudo, luego - adentro:
¿Qué hacer con un triángulo rectángulo?
Y con un bono adicional:
Ya que estamos hablando del radio del círculo circunscrito: ¿a cuánto es igual para un triángulo arbitrario? Y hay una respuesta a esta pregunta: la llamada .
A saber:
Y, por supuesto,
1. Existencia y centro circuncírculo
Aquí surge la pregunta: ¿existe tal círculo para cada triángulo? Resulta que sí, para todos. Y además, ahora formularemos un teorema que también responde a la pregunta de dónde se encuentra el centro del círculo circunscrito.
Mira, así:
Seamos valientes y demostremos este teorema. Si ya leyó el tema "" y entendió por qué tres bisectrices se cruzan en un punto, entonces le resultará más fácil, pero si no lo ha leído, no se preocupe: ahora lo resolveremos.
Realizaremos la demostración utilizando el concepto de lugar geométrico de puntos (GMT).
Bueno, por ejemplo, ¿es el conjunto de bolas el “lugar geométrico” de los objetos redondos? No, claro, porque hay sandías redondas. ¿Es un conjunto de personas, un “lugar geométrico”, que puede hablar? Tampoco, porque hay bebés que no pueden hablar. En la vida, generalmente es difícil encontrar un ejemplo de una "ubicación geométrica de puntos" real. Es más fácil en geometría. Esto, por ejemplo, es exactamente lo que necesitamos:
Aquí el conjunto es la mediatriz y la propiedad " " es "estar equidistante (un punto) de los extremos del segmento".
¿Lo comprobamos? Entonces, debes asegurarte de dos cosas:
- Cualquier punto que sea equidistante de los extremos de un segmento se ubica en la bisectriz perpendicular al mismo.
Conectemos c y c. Entonces la recta es la mediana y la altura b. Esto significa, isósceles, que nos aseguramos de que cualquier punto que se encuentre en la bisectriz perpendicular esté igualmente alejado de los puntos y.
Tomemos el medio y conectemos y. El resultado es la mediana. Pero según la condición, no sólo la mediana es isósceles, sino también la altura, es decir, la bisectriz perpendicular. Esto significa que el punto se encuentra exactamente en la mediatriz.
¡Todo! Hemos verificado plenamente el hecho de que La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.
Todo esto está bien, pero ¿nos hemos olvidado del círculo circunscrito? En absoluto, simplemente nos hemos preparado un “trampolín para el ataque”.
Considere un triángulo. Dibujemos dos perpendiculares bisectorales y, digamos, a los segmentos y. Se cruzarán en algún punto, que nombraremos.
¡Ahora presta atención!
El punto se encuentra en la mediatriz;
el punto se encuentra en la mediatriz.
Y eso significa, y.
De esto se desprenden varias cosas:
En primer lugar, el punto debe estar en la tercera bisectriz perpendicular al segmento.
Es decir, la mediatriz también debe pasar por el punto y las tres mediatrices se cruzan en un punto.
En segundo lugar: si dibujamos un círculo con centro en un punto y radio, entonces este círculo también pasará por el punto y el punto, es decir, será un círculo circunstante. Esto significa que ya existe que la intersección de tres mediatrices es el centro del círculo circunscrito para cualquier triángulo.
Y lo último: sobre la unicidad. Está claro (casi) que el punto se puede obtener de forma única, por tanto el círculo es único. Bueno, dejamos “casi” para tu reflexión. Entonces demostramos el teorema. Puedes gritar "¡Hurra!"
¿Qué pasa si el problema pregunta "hallar el radio del círculo circunscrito"? ¿O viceversa, se da el radio, pero necesitas encontrar algo más? ¿Existe alguna fórmula que relacione el radio del círculo circunstante con los demás elementos del triángulo?
Tenga en cuenta: el teorema del seno establece que Para encontrar el radio del círculo circunscrito, necesitas un lado (¡cualquiera!) y el ángulo opuesto.. ¡Eso es todo!
3. Centro del círculo: interior o exterior.
Ahora la pregunta es: ¿puede el centro del círculo circunscrito estar fuera del triángulo?
Respuesta: tanto como sea posible. Además, esto siempre ocurre en un triángulo obtuso.
Y en general:
CÍRCULO CIRCULAR. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
1. Círculo circunscrito a un triángulo.
Este es el círculo que pasa por los tres vértices de este triángulo.
2. Existencia y centro circuncírculo
Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.
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Ahora lo más importante.
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¿Cómo encontrar el radio de un círculo? Esta pregunta siempre es relevante para los escolares que estudian planimetría. A continuación veremos varios ejemplos de cómo puede afrontar esta tarea.
Dependiendo de las condiciones del problema, puedes encontrar el radio del círculo de esta manera.
Fórmula 1: R = L / 2π, donde L es y π es una constante igual a 3,141...
Fórmula 2: R = √(S/π), donde S es el área del círculo.
Fórmula 1: R = B/2, donde B es la hipotenusa.
Fórmula 2: R = M*B, donde B es la hipotenusa y M es la mediana trazada hacia ella.
Cómo encontrar el radio de un círculo si está circunscrito a un polígono regular
Fórmula: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), donde A es la longitud de uno de los lados de la figura y n es el número de lados de esta figura geométrica.
Cómo encontrar el radio de un círculo inscrito
Se llama círculo inscrito cuando toca todos los lados del polígono. Veamos algunos ejemplos.
Fórmula 1: R = S / (P/2), donde - S y P son el área y el perímetro de la figura, respectivamente.
Fórmula 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), donde P es el perímetro, A es la longitud de uno de los lados y es el ángulo opuesto a este lado.
Cómo encontrar el radio de un círculo si está inscrito en un triángulo rectángulo
Fórmula 1:
El radio de una circunferencia inscrita en un rombo.
Se puede inscribir un círculo en cualquier rombo, tanto equilátero como desigual.
Fórmula 1: R = 2 * H, donde H es la altura figura geométrica.
Fórmula 2: R = S / (A*2), donde S es y A es la longitud de su lado.
Fórmula 3: R = √((S * sin A)/4), donde S es el área del rombo y sen A es el seno ángulo agudo de esta figura geométrica.
Fórmula 4: R = B*G/(√(B² + G²), donde B y G son las longitudes de las diagonales de la figura geométrica.
Fórmula 5: R = B*sin (A/2), donde B es la diagonal del rombo y A es el ángulo en los vértices que conectan la diagonal.
Radio de una circunferencia inscrita en un triángulo.
Si en el enunciado del problema te dan las longitudes de todos los lados de la figura, entonces primero calcula (P) y luego el semiperímetro (p):
P = A+B+C, donde A, B, C son las longitudes de los lados de la figura geométrica.
Fórmula 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).
Y si, conociendo los mismos tres lados, también se le da uno, entonces puede calcular el radio requerido de la siguiente manera.
Fórmula 2: R = S * 2(A + B + C)
Fórmula 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), donde - n es el semiperímetro de la figura geométrica.
Fórmula 4: R = (n - A) * tan (A/2), donde n es el semiperímetro del triángulo, A es uno de sus lados y tan (A/2) es la tangente de la mitad del ángulo opuesto a este lado.
Y la siguiente fórmula te ayudará a encontrar el radio del círculo que está inscrito en
Fórmula 5: R = A * √3/6.
El radio de un círculo que está inscrito en un triángulo rectángulo.
Si el problema da las longitudes de los catetos, así como la hipotenusa, entonces el radio del círculo inscrito se calcula así.
Fórmula 1: R = (A+B-C)/2, donde A, B son catetos, C es hipotenusa.
En el caso de que solo te den dos catetos, es hora de recordar el teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa y usar la fórmula anterior.
C = √(A²+B²).
El radio de un círculo que está inscrito en un cuadrado.
Un círculo inscrito en un cuadrado divide sus 4 lados exactamente por la mitad en los puntos de contacto.
Fórmula 1: R = A/2, donde A es la longitud del lado del cuadrado.
Fórmula 2: R = S / (P/2), donde S y P son el área y el perímetro del cuadrado, respectivamente.
El tema “Círculos inscritos y circunscritos en triángulos” es uno de los más difíciles del curso de geometría. Pasa muy poco tiempo en clase.
Los problemas geométricos de este tema se incluyen en la segunda parte. examen Examen Estatal Unificado por curso escuela secundaria. Para completar con éxito estas tareas necesita conocimientos sólidos Datos geométricos básicos y algo de experiencia en la resolución de problemas geométricos.
Para cada triángulo hay sólo un círculo circunstante. Este es un círculo en el que se encuentran los tres vértices de un triángulo con parámetros dados. Es posible que sea necesario encontrar su radio no solo en una lección de geometría. Diseñadores, cortadores, mecánicos y representantes de muchas otras profesiones tienen que lidiar constantemente con esto. Para encontrar su radio, necesitas conocer los parámetros del triángulo y sus propiedades. El centro del círculo circunstante está en el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares del triángulo.
Les llamo la atención sobre todas las fórmulas para encontrar el radio de un círculo circunscrito y no solo de un triángulo. Se pueden ver las fórmulas para el círculo inscrito.
a, b. Con - lados del triangulo
α -
ángulo opuestoa,
S-área de un triángulo,
pag- semiperímetro
Luego para encontrar el radio ( R) de la circunferencia circunscrita usando las fórmulas:
A su vez, el área del triángulo se puede calcular mediante alguna de las siguientes fórmulas:
Aquí hay algunas fórmulas más.
1. El radio del círculo circunscrito es aproximadamente triangulo regular. Si a lado del triangulo entonces
2. El radio del círculo circunscrito alrededor de un triángulo isósceles. Dejar a, b- lados del triángulo, entonces
Un radio es un segmento de línea que conecta cualquier punto de un círculo con su centro. Esta es una de las características más importantes de esta figura, ya que a partir de ella se pueden calcular todos los demás parámetros. Si sabes encontrar el radio de un círculo, puedes calcular su diámetro, longitud y área. En el caso de que una figura determinada esté inscrita o descrita alrededor de otra, también se puede resolver toda una serie tareas. Hoy veremos las fórmulas básicas y las características de su aplicación.
Cantidades conocidas
Si sabes cómo encontrar el radio de un círculo, que generalmente se denota con la letra R, entonces puedes calcularlo usando una característica. Estos valores incluyen:
- circunferencia (C);
- diámetro (D): un segmento (o más bien, una cuerda) que pasa por el punto central;
- área (S): el espacio limitado por una figura determinada.
Circunferencia
Si se conoce el valor de C en el problema, entonces R = C / (2 * P). Esta fórmula es una derivada. Si sabemos cuál es la circunferencia, ya no necesitamos recordarla. Supongamos que en el problema C = 20 m ¿Cómo encontrar el radio del círculo en este caso? Simplemente sustituimos el valor conocido en la fórmula anterior. Tenga en cuenta que en tales problemas siempre se implica el conocimiento del número P. Para facilitar los cálculos, tomamos su valor como 3,14. La solución en este caso es la siguiente: anotamos qué cantidades se dan, derivamos la fórmula y realizamos los cálculos. En la respuesta escribimos que el radio es 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m. Es importante no olvidar lo que calculamos y mencionar el nombre de las unidades de medida.
Por diámetro
Enfaticemos inmediatamente que este es el tipo de problema más simple, que pregunta cómo encontrar el radio de un círculo. Si se encontró con un ejemplo de este tipo en una prueba, puede estar tranquilo. ¡Ni siquiera necesitas una calculadora aquí! Como ya hemos dicho, el diámetro es un segmento o, más correctamente, una cuerda que pasa por el centro. En este caso, todos los puntos del círculo son equidistantes. Por tanto, este acorde consta de dos mitades. Cada uno de ellos es un radio, lo que se deriva de su definición como segmento que conecta un punto de un círculo y su centro. Si se conoce el diámetro en el problema, entonces para encontrar el radio simplemente necesitas dividir este valor por dos. La fórmula es la siguiente: R = D / 2. Por ejemplo, si el diámetro en el problema es de 10 m, entonces el radio es de 5 metros.
Por área de un círculo
Este tipo de problema suele denominarse el más difícil. Esto se debe principalmente al desconocimiento de la fórmula. Si sabes encontrar el radio de un círculo en este caso, el resto es cuestión de técnica. En la calculadora, sólo necesita encontrar de antemano el icono de cálculo de la raíz cuadrada. El área de un círculo es el producto del número P y el radio multiplicado por sí mismo. La fórmula es la siguiente: S = P * R 2. Al aislar el radio en un lado de la ecuación, puedes resolver fácilmente el problema. Será igual a la raíz cuadrada del cociente del área dividida por el número P. Si S = 10 m, entonces R = 1,78 metros. Como en problemas anteriores, es importante recordar las unidades de medida utilizadas.
Cómo encontrar el circunradio de un círculo.
Supongamos que a, b, c son los lados del triángulo. Si conoces sus valores, puedes encontrar el radio del círculo descrito a su alrededor. Para hacer esto, primero necesitas encontrar el semiperímetro del triángulo. Para que sea más fácil de entender, designémoslo con la letra minúscula p. Será igual a la mitad de la suma de los lados. Su fórmula: p = (a + b + c) / 2.
También calculamos el producto de las longitudes de los lados. Por conveniencia, lo designamos con la letra S. La fórmula para el radio del círculo circunscrito se verá así: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p -c)).
Veamos una tarea de ejemplo. Tenemos un círculo circunscrito alrededor de un triángulo. Las longitudes de sus lados son 5, 6 y 7 cm. Primero calculamos el semiperímetro. En nuestro problema será igual a 9 centímetros. Ahora calculemos el producto de las longitudes de los lados: 210. Sustituimos los resultados de los cálculos intermedios en la fórmula y descubrimos el resultado. El radio del círculo circunscrito es de 3,57 centímetros. Anotamos la respuesta, sin olvidarnos de las unidades de medida.
Cómo encontrar el radio de un círculo inscrito
Supongamos que a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo. Si conoces sus valores, puedes encontrar el radio del círculo inscrito en él. Primero necesitas encontrar su semiperímetro. Para que sea más fácil de entender, designémoslo con una letra minúscula p. La fórmula para calcularlo es la siguiente: p = (a+b+c)/2. Este tipo de problemas es algo más sencillo que el anterior, por lo que no se necesitan más cálculos intermedios.
El radio del círculo inscrito se calcula mediante la siguiente fórmula: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Miremos esto ejemplo específico. Supongamos que el problema describe un triángulo con lados de 5, 7 y 10 cm. En él está inscrito un círculo cuyo radio es necesario encontrar. Primero encontramos el semiperímetro. En nuestro problema será igual a 11 cm. Ahora lo sustituimos en la fórmula principal. El radio será igual a 1,65 centímetros. Anotamos la respuesta y no nos olvidamos de las unidades de medida correctas.
Círculo y sus propiedades.
Cada figura geométrica tiene sus propias características. La corrección de la resolución de problemas depende de su comprensión. El círculo también los tiene. A menudo se utilizan al resolver ejemplos con figuras descritas o inscritas, ya que proporcionan una imagen clara de dicha situación. Entre ellos:
- Una línea recta puede tener cero, uno o dos puntos de intersección con un círculo. En el primer caso no se cruza con él, en el segundo es tangente, en el tercero es secante.
- Si tomamos tres puntos que no se encuentran en la misma línea, solo se puede dibujar un círculo a través de ellos.
- Una recta puede ser tangente a dos figuras a la vez. En este caso, pasará por un punto que se encuentra en el segmento que conecta los centros de los círculos. Su longitud es igual a la suma de los radios de estas figuras.
- Se puede dibujar un número infinito de círculos a través de uno o dos puntos.