Dado material metodológico es sólo para referencia y se refiere a a un amplio círculo temas El artículo proporciona una descripción general de las gráficas de funciones elementales básicas y analiza la pregunta más importante – cómo construir un gráfico de forma correcta y RÁPIDA. En el curso de estudiar matemáticas superiores sin conocimiento de las gráficas de funciones elementales básicas, será difícil, por eso es muy importante recordar cómo son las gráficas de una parábola, hipérbola, seno, coseno, etc., y recordar algunas de los significados de las funciones. También hablaremos de algunas propiedades de las funciones principales.

No pretendo que los materiales sean completos y científicos; el énfasis se pondrá, en primer lugar, en la práctica, aquellas cosas con las que se cuenta; uno se encuentra literalmente a cada paso, en cualquier tema de matemáticas superiores. ¿Gráficos para tontos? Se podría decir que sí.

Debido a numerosas solicitudes de los lectores. tabla de contenidos en la que se puede hacer clic:

Además, hay una sinopsis ultracorta sobre el tema.
– ¡Domina 16 tipos de gráficos estudiando SEIS páginas!

En serio, seis, incluso yo me sorprendí. Este resumen contiene gráficos mejorados y está disponible por una tarifa nominal; se puede ver una versión de demostración. Es conveniente imprimir el archivo para tener los gráficos siempre a mano. ¡Gracias por apoyar el proyecto!

Y comencemos de inmediato:

¿Cómo construir ejes de coordenadas correctamente?

En la práctica, los estudiantes casi siempre completan las pruebas en cuadernos separados, alineados en un cuadrado. ¿Por qué necesitas marcas a cuadros? Después de todo, el trabajo, en principio, se puede realizar en hojas A4. Y la jaula es necesaria precisamente para el diseño preciso y de alta calidad de los dibujos.

Cualquier dibujo de un gráfico de funciones comienza con ejes de coordenadas..

Los dibujos pueden ser bidimensionales o tridimensionales.

Consideremos primero el caso bidimensional. Sistema de coordenadas rectangular cartesiano:

1) Dibujar ejes de coordenadas. El eje se llama eje x , y el eje es eje y . Siempre tratamos de dibujarlos. limpio y no torcido. Las flechas tampoco deberían parecerse a la barba de Papa Carlo.

2) Etiquetar los ejes en mayúsculas"X" e "Y". No olvides etiquetar los ejes..

3) Establecer la escala a lo largo de los ejes: dibuja un cero y dos unos. Al hacer un dibujo, la escala más conveniente y utilizada con frecuencia es: 1 unidad = 2 celdas (dibujo de la izquierda); si es posible, cíñete a ella. Sin embargo, de vez en cuando sucede que el dibujo no encaja hoja de cuaderno– luego reducimos la escala: 1 unidad = 1 celda (dibujo de la derecha). Es raro, pero sucede que hay que reducir (o aumentar) aún más la escala del dibujo.

NO HAY NECESIDAD de “ametrallar”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Para plano de coordenadas No es un monumento a Descartes, y el estudiante no es una paloma. ponemos cero Y dos unidades a lo largo de los ejes. A veces en lugar de unidades, es conveniente "marcar" otros valores, por ejemplo, "dos" en el eje de abscisas y "tres" en el eje de ordenadas, y este sistema (0, 2 y 3) también definirá de forma única la cuadrícula de coordenadas.

Es mejor estimar las dimensiones estimadas del dibujo ANTES de construirlo.. Entonces, por ejemplo, si la tarea requiere dibujar un triángulo con vértices , , , entonces está completamente claro que la escala popular de 1 unidad = 2 celdas no funcionará. ¿Por qué? Veamos el punto: aquí tendrás que medir quince centímetros hacia abajo y, obviamente, el dibujo no cabe (o apenas cabe) en una hoja de cuaderno. Por lo tanto, seleccionamos inmediatamente una escala más pequeña: 1 unidad = 1 celda.

Por cierto, unos centímetros y celdas de cuaderno. ¿Es cierto que 30 celdas de un cuaderno contienen 15 centímetros? Para divertirte, mide 15 centímetros en tu cuaderno con una regla. En la URSS, esto pudo haber sido cierto... Es interesante notar que si mides estos mismos centímetros horizontal y verticalmente, ¡los resultados (en las celdas) serán diferentes! Estrictamente hablando, los cuadernos modernos no son a cuadros, sino rectangulares. Esto puede parecer una tontería, pero dibujar, por ejemplo, un círculo con un círculo en tales situaciones es muy inconveniente. Para ser honesto, en esos momentos uno comienza a pensar en la razón del camarada Stalin, quien fue enviado a campos para realizar trabajos de piratería en la producción, sin mencionar la industria automotriz nacional, los aviones que caen o las explosiones de centrales eléctricas.

Hablando de calidad, o una breve recomendación sobre papelería. Hoy en día, la mayoría de los portátiles están a la venta, malas palabras por no hablar de una completa basura. ¡Porque se mojan, y no solo con los bolígrafos de gel, sino también con los bolígrafos! Ahorran dinero en papel. Para registrarse pruebas Recomiendo utilizar cuadernos de la fábrica de pulpa y papel de Arkhangelsk (18 hojas, cuadrados) o “Pyaterochka”, aunque es más caro. Es recomendable elegir un bolígrafo de gel; incluso el recambio de gel chino más barato es mucho mejor que un bolígrafo, que mancha o rasga el papel. El único bolígrafo “competitivo” que recuerdo es el Erich Krause. Escribe de forma clara, hermosa y coherente, ya sea con la esencia llena o casi vacía.

Además: La visión de un sistema de coordenadas rectangular a través de los ojos de la geometría analítica se trata en el artículo. Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores, información detallada sobre los cuartos de coordenadas se puede encontrar en el segundo párrafo de la lección Desigualdades lineales.

caso 3D

Es casi lo mismo aquí.

1) Dibujar ejes de coordenadas. Estándar: aplicar eje – dirigido hacia arriba, eje – dirigido hacia la derecha, eje – dirigido hacia abajo hacia la izquierda estrictamente en un ángulo de 45 grados.

2) Etiquete los ejes.

3) Establezca la escala a lo largo de los ejes. La escala a lo largo del eje es dos veces menor que la escala a lo largo de los otros ejes.. También tenga en cuenta que en el dibujo de la derecha utilicé una "muesca" no estándar a lo largo del eje. (esta posibilidad ya ha sido mencionada anteriormente). Desde mi punto de vista, esto es más preciso, más rápido y más agradable desde el punto de vista estético: no es necesario buscar el centro de la celda con un microscopio y "esculpir" una unidad cerca del origen de las coordenadas.

Al hacer un dibujo 3D, nuevamente, dale prioridad a la escala.
1 unidad = 2 celdas (dibujo de la izquierda).

¿Para qué sirven todas estas reglas? Las reglas están hechas para romperse. Eso es lo que haré ahora. El hecho es que los dibujos posteriores del artículo los haré yo en Excel y los ejes de coordenadas se verán incorrectos desde el punto de vista. diseño correcto. Podría dibujar todos los gráficos a mano, pero en realidad da miedo dibujarlos porque Excel se resiste a dibujarlos con mucha más precisión.

Gráficas y propiedades básicas de funciones elementales.

Una función lineal viene dada por la ecuación. La gráfica de funciones lineales es directo. Para construir una línea recta basta con conocer dos puntos.

Ejemplo 1

Construye una gráfica de la función. Encontremos dos puntos. Es ventajoso elegir cero como uno de los puntos.

Si entonces

Tomemos otro punto, por ejemplo, 1.

Si entonces

Al realizar tareas, las coordenadas de los puntos se suelen resumir en una tabla:

Y los valores en sí se calculan de forma oral o en un borrador, una calculadora.

Se han encontrado dos puntos, hagamos el dibujo:

Al preparar un dibujo, siempre firmamos los gráficos..

Sería útil recordar casos especiales de una función lineal:

Fíjate cómo coloqué las firmas, las firmas no deben permitir discrepancias al estudiar el dibujo.. EN en este caso Era extremadamente indeseable poner una firma al lado del punto de intersección de las líneas, o en la parte inferior derecha entre los gráficos.

1) Una función lineal de la forma () se llama proporcionalidad directa. Por ejemplo, . Una gráfica de proporcionalidad directa siempre pasa por el origen. Por lo tanto, construir una línea recta se simplifica: basta con encontrar un solo punto.

2) Una ecuación de la forma especifica una línea recta paralela al eje; en particular, el eje mismo está dado por la ecuación. La gráfica de la función se traza inmediatamente, sin encontrar ningún punto. Es decir, la entrada debe entenderse de la siguiente manera: “la y siempre es igual a –4, para cualquier valor de x”.

3) Una ecuación de la forma especifica una línea recta paralela al eje; en particular, el eje mismo está dado por la ecuación. La gráfica de la función también se traza inmediatamente. La entrada debe entenderse de la siguiente manera: “x es siempre, para cualquier valor de y, igual a 1”.

Algunos preguntarán, ¿por qué recordar el sexto grado? Así es, tal vez sea así, pero a lo largo de los años de práctica he conocido a una buena docena de estudiantes que estaban desconcertados ante la tarea de construir un gráfico como o.

Construir una línea recta es la acción más común al realizar dibujos.

La línea recta se analiza en detalle en el curso de geometría analítica, y los interesados ​​pueden consultar el artículo. Ecuación de una línea recta en un plano..

Gráfica de una función cúbica cuadrática, gráfica de un polinomio

Parábola. Cronograma función cuadrática () representa una parábola. Consideremos el famoso caso:

Recordemos algunas propiedades de la función.

Entonces, la solución de nuestra ecuación: – es en este punto donde se encuentra el vértice de la parábola. Se puede aprender por qué esto es así en el artículo teórico sobre la derivada y la lección sobre los extremos de la función. Mientras tanto, calculemos el valor "Y" correspondiente:

Por tanto, el vértice está en el punto

Ahora encontramos otros puntos, mientras usamos descaradamente la simetría de la parábola. Cabe señalar que la función – ni siquiera es, pero, sin embargo, nadie canceló la simetría de la parábola.

En qué orden para encontrar los puntos restantes, creo que quedará claro en la mesa final:

Este algoritmo de construcción se puede llamar en sentido figurado "lanzadera" o el principio de "ida y vuelta" de Anfisa Chejova.

Hagamos el dibujo:

De los gráficos examinados, me viene a la mente otra característica útil:

Para una función cuadrática () lo siguiente es cierto:

Si , entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba..

Si , entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo..

Se puede obtener un conocimiento profundo sobre la curva en la lección Hipérbola y parábola.

Una parábola cúbica está dada por la función. Aquí hay un dibujo familiar de la escuela:

Enumeremos las principales propiedades de la función.

Gráfica de una función

Representa una de las ramas de una parábola. Hagamos el dibujo:

Propiedades principales de la función:

En este caso el eje es asíntota vertical para la gráfica de una hipérbola en .

Sería un GRAVE error si, al realizar un dibujo, descuidadamente permites que la gráfica se cruce con una asíntota.

También los límites unilaterales nos dicen que la hipérbola no limitado desde arriba Y no limitado desde abajo.

Examinemos la función en el infinito: , es decir, si comenzamos a movernos a lo largo del eje hacia la izquierda (o derecha) hasta el infinito, entonces los “juegos” estarán en un paso ordenado. infinitamente cerca acercarse a cero y, en consecuencia, las ramas de la hipérbola infinitamente cerca acercarse al eje.

Entonces el eje es asíntota horizontal para la gráfica de una función, si “x” tiende a más o menos infinito.

La función es extraño, y, por tanto, la hipérbola es simétrica con respecto al origen. este hecho Es evidente en el dibujo, además, se verifica fácilmente analíticamente: .

La gráfica de una función de la forma () representa dos ramas de una hipérbola.

Si , entonces la hipérbola se ubica en el primer y tercer cuarto de coordenadas(ver imagen arriba).

Si , entonces la hipérbola se ubica en el segundo y cuarto cuarto de coordenadas.

El patrón indicado de residencia de la hipérbola es fácil de analizar desde el punto de vista de las transformaciones geométricas de las gráficas.

Ejemplo 3

Construye la rama derecha de la hipérbola.

Usamos el método de construcción puntual y es ventajoso seleccionar los valores para que sean divisibles por un entero:

Hagamos el dibujo:

No será difícil construir la rama izquierda de la hipérbola; la rareza de la función ayudará aquí. En términos generales, en la tabla de construcción puntual, sumamos mentalmente un menos a cada número, ponemos los puntos correspondientes y dibujamos la segunda rama.

Se puede encontrar información geométrica detallada sobre la recta considerada en el artículo Hipérbola y parábola.

Gráfica de una función exponencial

En este apartado consideraré inmediatamente la función exponencial, ya que en problemas de matemáticas superiores en el 95% de los casos es la exponencial la que aparece.

Permítanme recordarles que este es un número irracional: , será necesario al construir un gráfico que, de hecho, construiré sin ceremonias. Probablemente tres puntos sean suficientes:

Dejemos la gráfica de la función sola por ahora, hablaremos de ella más adelante.

Propiedades principales de la función:

Los gráficos de funciones, etc., se ven fundamentalmente iguales.

Debo decir que el segundo caso ocurre con menos frecuencia en la práctica, pero ocurre, por lo que consideré necesario incluirlo en este artículo.

Gráfica de una función logarítmica

Considere una función con logaritmo natural.
Hagamos un dibujo punto por punto:

Si ha olvidado qué es un logaritmo, consulte los libros de texto de su escuela.

Propiedades principales de la función:

Dominio de definición:

Rango de valores: .

La función no está limitada desde arriba: , aunque lentamente, pero la rama del logaritmo llega al infinito.
Examinemos el comportamiento de la función cercana a cero a la derecha: . Entonces el eje es asíntota vertical para la gráfica de una función cuando “x” tiende a cero desde la derecha.

Es imperativo conocer y recordar el valor típico del logaritmo.: .

En principio, la gráfica del logaritmo en base tiene el mismo aspecto: , , (logaritmo decimal en base 10), etc. Además, cuanto mayor sea la base, más plano será el gráfico.

No consideraremos el caso, no recuerdo cuando último tiempo Construí un gráfico sobre esta base. Y el logaritmo parece ser un invitado muy raro en los problemas de matemáticas superiores.

Al final de este párrafo diré un hecho más: Función exponencial y función logarítmica.- los dos son mutuos funciones inversas . Si miras de cerca la gráfica del logaritmo, puedes ver que este es el mismo exponente, solo que está ubicado de manera un poco diferente.

Gráficas de funciones trigonométricas.

¿Dónde comienza el tormento trigonométrico en la escuela? Bien. Del seno

Trazamos la función

Esta línea se llama sinusoide.

Déjame recordarte que “pi” es un número irracional: y en trigonometría deslumbra los ojos.

Propiedades principales de la función:

Esta función es periódico con punto. ¿Qué significa? Veamos el segmento. A la izquierda y a la derecha, exactamente la misma parte del gráfico se repite sin cesar.

Dominio de definición: , es decir, para cualquier valor de “x” existe un valor seno.

Rango de valores: . La función es limitado: , es decir, todos los "juegos" se ubican estrictamente en el segmento.
Esto no sucede: o, más precisamente, sucede, pero estas ecuaciones no tienen solución.

En las lecciones de matemáticas en la escuela, ya te familiarizaste con las propiedades más simples y la gráfica de una función. y = x 2. Ampliemos nuestro conocimiento sobre función cuadrática.

Tarea 1.

Grafica la función y = x 2. Escala: 1 = 2 cm Marca un punto en el eje Oy. F(0; 1/4). Usando un compás o una tira de papel, mida la distancia desde el punto F hasta algún punto METRO parábolas. Luego fije la tira en el punto M y gírela alrededor de ese punto hasta que quede vertical. El final de la tira caerá ligeramente por debajo del eje x. (Figura 1). Marque en la tira cuánto se extiende más allá del eje x. Ahora toma otro punto de la parábola y repite la medición nuevamente. ¿A qué distancia ha caído el borde de la tira por debajo del eje x?

Resultado: no importa qué punto de la parábola y = x 2 tomes, la distancia desde este punto hasta el punto F(0; 1/4) será mayor que la distancia desde el mismo punto hasta el eje de abscisas en siempre el mismo número - por 1/4.

Podemos decirlo de otra manera: la distancia desde cualquier punto de la parábola al punto (0; 1/4) es igual a la distancia desde el mismo punto de la parábola a la recta y = -1/4. Este maravilloso punto F(0; 1/4) se llama enfocar parábolas y = x 2, y recta y = -1/4 – directora esta parábola. Toda parábola tiene una directriz y un foco.

Propiedades interesantes de una parábola:

1. Cualquier punto de la parábola equidista de algún punto, llamado foco de la parábola, y de alguna línea recta, llamada directriz.

2. Si giras una parábola alrededor del eje de simetría (por ejemplo, la parábola y = x 2 alrededor del eje Oy), obtendrás una superficie muy interesante llamada paraboloide de revolución.

La superficie del líquido en un recipiente en rotación tiene la forma de un paraboloide de revolución. Puedes ver esta superficie si revuelves vigorosamente con una cuchara en un vaso de té incompleto y luego retiras la cuchara.

3. Si arrojas una piedra al vacío con un cierto ángulo con respecto al horizonte, volará en parábola. (Figura 2).

4. Si intersectas la superficie de un cono con un plano paralelo a cualquiera de sus generatrices, entonces la sección transversal dará como resultado una parábola. (Figura 3).

5. Los parques de diversiones a veces tienen una atracción divertida llamada Paraboloid of Wonders. A todos los que están dentro del paraboloide giratorio les parece que él está parado en el suelo, y el resto de las personas de alguna manera se aferran milagrosamente a las paredes.

6. En los telescopios reflectores también se utilizan espejos parabólicos: la luz de una estrella distante, que llega en un haz paralelo y cae sobre el espejo del telescopio, se enfoca.

7. Los focos suelen tener un espejo en forma de paraboloide. Si coloca una fuente de luz en el foco de un paraboloide, los rayos reflejados por el espejo parabólico forman un haz paralelo.

Graficar una función cuadrática

En las lecciones de matemáticas, estudiaste cómo obtener gráficas de funciones de la forma a partir de la gráfica de la función y = x 2:

1) y = hacha 2– estirando la gráfica y = x 2 a lo largo del eje Oy en |a| veces (con |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, arroz. 4).

2) y = x 2 + norte– desplazamiento del gráfico en n unidades a lo largo del eje Oy, y si n > 0, entonces el desplazamiento es hacia arriba, y si n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + metro) 2– desplazamiento del gráfico en m unidades a lo largo del eje Ox: si m< 0, то вправо, а если m >0, luego a la izquierda, (Figura 5).

4) y = -x 2– visualización simétrica con respecto al eje Ox del gráfico y = x 2 .

Echemos un vistazo más de cerca a cómo trazar la función. y = a(x – m) 2 + norte.

Una función cuadrática de la forma y = ax 2 + bx + c siempre se puede reducir a la forma

y = a(x – m) 2 + n, donde m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Demostrémoslo.

En realidad,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Introduzcamos nuevas notaciones.

Dejar metro = -b/(2a), A norte = -(b 2 – 4ac)/(4a),

entonces obtenemos y = a(x – m) 2 + n o y – n = a(x – m) 2.

Hagamos algunas sustituciones más: sea y – n = Y, x – m = X (*).

Luego obtenemos la función Y = aX 2, cuya gráfica es una parábola.

El vértice de la parábola está en el origen. X = 0; Y = 0.

Sustituyendo las coordenadas del vértice en (*), obtenemos las coordenadas del vértice de la gráfica y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Por lo tanto, para trazar una función cuadrática representada como

y = a(x – m) 2 + norte

A través de transformaciones, se puede proceder de la siguiente manera:

a) trazar la función y = x 2 ;

b) mediante traslación paralela a lo largo del eje Ox en m unidades y a lo largo del eje Oy en n unidades - transfiera el vértice de la parábola desde el origen al punto con coordenadas (m; n) (Figura 6).

Grabación de transformaciones:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Ejemplo.

Usando transformaciones, construye una gráfica de la función y = 2(x – 3) 2 en el sistema de coordenadas cartesiano. – 2.

Solución.

Cadena de transformaciones:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

El trazado se muestra en arroz. 7.

Puedes practicar cómo graficar funciones cuadráticas por tu cuenta. Por ejemplo, construye una gráfica de la función y = 2(x + 3) 2 + 2 en un sistema de coordenadas usando transformaciones. Si tienes alguna pregunta o quieres recibir consejos de un maestro, tienes la oportunidad de realizarla. lección gratuita de 25 minutos con tutor en línea después del registro. Para seguir trabajando con el profesor, puedes elegir el plan de tarifas que más te convenga.

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Función objetivo- en problemas extremos, una función cuyo mínimo o máximo debe encontrarse. Este es un concepto clave en la programación óptima. Habiendo encontrado el extremo de C.f. y, por tanto, habiendo determinado los valores de las variables controladas que van a él... ... Diccionario económico y matemático.

Libros

• Conjunto de mesas. Matemáticas. Gráficas de funciones (10 tablas), . Álbum educativo de 10 hojas.
• Función lineal. Asignación gráfica y analítica de funciones. Función cuadrática. Transformar la gráfica de una función cuadrática. Función y=sinx. Función y=cosx.… La función más importante de las matemáticas escolares es la cuadrática: en problemas y soluciones, Petrov N.N.. La función cuadrática es la función principal. curso escolar

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