Uno de los elementos del álgebra de nivel primitivo es el logaritmo. El nombre proviene de idioma griego de la palabra "número" o "potencia" y significa el grado en que se debe elevar el número en la base para encontrar el número final.
Tipos de logaritmos
- log a b – logaritmo del número b en base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – logaritmo decimal (logaritmo en base 10, a = 10);
- ln b – logaritmo natural (logaritmo en base e, a = e).
¿Cómo resolver logaritmos?
El logaritmo de b en base a es un exponente que requiere que b se eleve a base a. El resultado obtenido se pronuncia así: “logaritmo de b en base a”. La solución a los problemas logarítmicos es que es necesario determinar la potencia dada en números a partir de los números especificados. Existen algunas reglas básicas para determinar o resolver el logaritmo, así como para convertir la notación misma. Utilizándolos se elabora la solución. ecuaciones logarítmicas, se encuentran derivadas, se resuelven integrales y se realizan muchas otras operaciones. Básicamente, la solución al logaritmo en sí es su notación simplificada. A continuación se muestran las fórmulas y propiedades básicas:
Para cualquier a; a > 0; a ≠ 1 y para cualquier x ; y > 0.
- a log a b = b – identidad logarítmica básica
- iniciar sesión 1 = 0
- log a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x , para k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – fórmula para pasar a una nueva base
- log x = 1/log x x
Cómo resolver logaritmos: instrucciones paso a paso para resolverlos
- Primero, escriba la ecuación requerida.
Tenga en cuenta: si el logaritmo base es 10, entonces la entrada se acorta, lo que da como resultado un logaritmo decimal. si vale la pena número natural e, luego lo escribimos, reduciéndolo al logaritmo natural. Esto significa que el resultado de todos los logaritmos es la potencia a la que se eleva el número base para obtener el número b.
Directamente, la solución pasa por calcular este grado. Antes de resolver una expresión con un logaritmo hay que simplificarla según la regla, es decir, mediante fórmulas. Podéis encontrar las identidades principales retrocediendo un poco en el artículo.
Sumar y restar logaritmos con dos diferentes numeros, pero con las mismas bases, reemplaza por un logaritmo con el producto o división de los números b y c, respectivamente. En este caso, puede aplicar la fórmula para pasar a otra base (ver arriba).
Si utiliza expresiones para simplificar un logaritmo, existen algunas limitaciones a considerar. Y es que: la base del logaritmo a es sólo un número positivo, pero no igual a uno. El número b, al igual que a, debe ser mayor que cero.
Hay casos en los que, al simplificar una expresión, no podrás calcular el logaritmo numéricamente. Sucede que tal expresión no tiene sentido, porque muchas potencias son números irracionales. Bajo esta condición, deja la potencia del número como un logaritmo.
propiedades principales.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
motivos idénticos
Log6 4 + log6 9.
Ahora compliquemos un poco la tarea.
Ejemplos de resolución de logaritmos
¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:
Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Transición a una nueva fundación.
Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Ver también:
Propiedades básicas del logaritmo.
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El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es igual a 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Nikolaevich Tolstoi.
Propiedades básicas de los logaritmos.
Conociendo esta regla sabrás y valor exacto expositores y la fecha de nacimiento de León Tolstoi.
Ejemplos de logaritmos
Expresiones de logaritmos
Ejemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Usando las propiedades 3.5 calculamos 
2.
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4. 
Dónde 
.
Ejemplo 2. Encuentra x si
Ejemplo 3. Sea el valor de los logaritmos.
Calcular log(x) si
Propiedades básicas de los logaritmos.
Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente números ordinarios, aquí existen reglas, que se llaman propiedades principales.
Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas, no se puede resolver ni un solo problema logarítmico grave. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Así que comencemos.
Sumar y restar logaritmos
Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Entonces, la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es igual al logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí es motivos idénticos. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!
Estas fórmulas te ayudarán a calcular expresión logarítmica incluso cuando no se cuentan sus partes individuales (consulte la lección “¿Qué es un logaritmo”). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:
Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.
Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.
Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchos se basan en este hecho. pruebas. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).
Extrayendo el exponente del logaritmo
Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.
Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también al revés. , es decir. Puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el propio logaritmo. Esto es lo que más a menudo se requiere.
Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log7 496.
Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:
Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el muy último momento trabajamos solo con el denominador.
Fórmulas de logaritmos. Ejemplos de soluciones de logaritmos.
Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".
Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.
Transición a una nueva fundación.
Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las razones son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número?
Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:
Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:
En particular, si hacemos c = x, obtenemos:
De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero en este caso se “da la vuelta” a toda la expresión, es decir el logaritmo aparece en el denominador.
Estas fórmulas rara vez se encuentran en los convencionales. expresiones numéricas. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.
Sin embargo, hay problemas que no pueden resolverse en absoluto excepto trasladándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:
Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.
Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:
Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.
La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:
Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:
Identidad logarítmica básica
A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:
En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.
La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: .
De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva a tal potencia que el número b elevado a esta potencia da el número a? Así es: el resultado es el mismo número a. Lea este párrafo con atención nuevamente; muchas personas se quedan estancadas en él.
Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8: simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:
Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)
Unidad logarítmica y cero logarítmico
En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo. Aparecen constantemente en los problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para los estudiantes "avanzados".
- logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
- loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición.
Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.
Ver también:
El logaritmo de b en base a denota la expresión. Calcular el logaritmo significa encontrar una potencia x () en la que se satisface la igualdad.
Propiedades básicas del logaritmo.
Es necesario conocer las propiedades anteriores, ya que casi todos los problemas y ejemplos relacionados con logaritmos se resuelven en base a ellas. El resto de las propiedades exóticas se pueden derivar mediante manipulaciones matemáticas con estas fórmulas.
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Al calcular la fórmula para la suma y diferencia de logaritmos (3.4), te encuentras con bastante frecuencia. El resto son algo complejos, pero en una serie de tareas son indispensables para simplificar expresiones complejas y calcular sus valores.
Casos comunes de logaritmos
Algunos de los logaritmos más comunes son aquellos en los que la base es igual a diez, exponencial o dos.
El logaritmo en base diez suele denominarse logaritmo decimal y se denota simplemente por lg(x).
De la grabación se desprende claramente que los conceptos básicos no están escritos en la grabación. Por ejemplo
logaritmo natural es un logaritmo con un exponente como base (denotado por ln(x)).
El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es igual a 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Nikolaevich Tolstoi. Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.
Y otro logaritmo importante en base dos se denota por
La derivada del logaritmo de una función es igual a uno dividido por la variable.
El logaritmo integral o antiderivado está determinado por la relación
El material proporcionado es suficiente para que resuelvas una amplia clase de problemas relacionados con logaritmos y logaritmos. Para ayudarlo a comprender el material, le daré solo algunos ejemplos comunes de plan de estudios escolar y universidades.
Ejemplos de logaritmos
Expresiones de logaritmos
Ejemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Usando las propiedades 3.5 calculamos
2.
Por la propiedad de diferencia de logaritmos tenemos
3.
Usando las propiedades 3.5 encontramos
4. Dónde .
Una expresión aparentemente compleja se simplifica utilizando una serie de reglas.
Encontrar valores de logaritmos
Ejemplo 2. Encuentra x si
Solución. Para el cálculo aplicamos al último término 5 y 13 propiedades.
Lo dejamos constancia y lloramos
Como las bases son iguales, igualamos las expresiones.
Logaritmos. Nivel de entrada.
Sea el valor de los logaritmos.
Calcular log(x) si
Solución: Tomemos un logaritmo de la variable para escribir el logaritmo mediante la suma de sus términos.
Este es solo el comienzo de nuestro conocimiento de los logaritmos y sus propiedades. Practique cálculos, enriquezca sus habilidades prácticas: pronto necesitará los conocimientos adquiridos para resolver ecuaciones logarítmicas. Habiendo estudiado los métodos básicos para resolver este tipo de ecuaciones, ampliaremos nuestros conocimientos a otro tema igualmente importante: las desigualdades logarítmicas...
Propiedades básicas de los logaritmos.
Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente números ordinarios, aquí existen reglas, que se llaman propiedades principales.
Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas, no se puede resolver ni un solo problema logarítmico grave. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Así que comencemos.
Sumar y restar logaritmos
Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Entonces, la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es igual al logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí es motivos idénticos. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!
Estas fórmulas te ayudarán a calcular una expresión logarítmica incluso cuando no se consideran sus partes individuales (consulta la lección “¿Qué es un logaritmo”). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log6 4 + log6 9.
Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.
Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.
Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).
Extrayendo el exponente del logaritmo
Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:
Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.
Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también al revés. , es decir. Puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el propio logaritmo.
Cómo resolver logaritmos
Esto es lo que más a menudo se requiere.
Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log7 496.
Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:
Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador. Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".
Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.
Transición a una nueva fundación.
Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las razones son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número?
Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:
Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:
En particular, si hacemos c = x, obtenemos:
De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero en este caso se “da la vuelta” a toda la expresión, es decir el logaritmo aparece en el denominador.
Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.
Sin embargo, hay problemas que no pueden resolverse en absoluto excepto trasladándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:
Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.
Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:
Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.
La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:
Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:
Identidad logarítmica básica
A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:
En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.
La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: .
De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva a tal potencia que el número b elevado a esta potencia da el número a? Así es: el resultado es el mismo número a. Lea este párrafo con atención nuevamente; muchas personas se quedan estancadas en él.
Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8: simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:
Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)
Unidad logarítmica y cero logarítmico
En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo. Aparecen constantemente en los problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para los estudiantes "avanzados".
- logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
- loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición.
Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.
Las propiedades básicas del logaritmo natural, gráfica, dominio de definición, conjunto de valores, fórmulas básicas, derivada, integral, expansión en serie de potencias y representación de la función ln x usando números complejos.
Definición
logaritmo natural es la función y = en x, la inversa de la exponencial, x = e y, y es el logaritmo en la base del número e: ln x = log e x.
El logaritmo natural se utiliza mucho en matemáticas porque su derivada tiene la forma más simple: (lnx)′ = 1/x.
Residencia en definiciones, la base del logaritmo natural es el número mi:
mi ≅ 2,718281828459045...;
.
Gráfica de la función y = en x.
Gráfica de logaritmo natural (funciones y = en x) se obtiene de la gráfica exponencial imagen reflejada con respecto a la línea recta y = x.
El logaritmo natural se define para valores positivos de la variable x.
Aumenta monótonamente en su dominio de definición. 0 En x →
el límite del logaritmo natural es menos infinito (-∞). Como x → + ∞, el límite del logaritmo natural es más infinito (+ ∞). Para x grande, el logaritmo aumenta bastante lentamente. Cualquier función de potencia
x a con exponente positivo a crece más rápido que el logaritmo.
Propiedades del logaritmo natural
Dominio de definición, conjunto de valores, extremos, aumento, disminución.
El logaritmo natural es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo natural se presentan en la tabla.
en valores x
En 1 = 0
Fórmulas básicas para logaritmos naturales.
Fórmulas que siguen de la definición de la función inversa:
La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias.
Fórmula de reemplazo base
Cualquier logaritmo se puede expresar en términos de logaritmos naturales utilizando la fórmula de reemplazo de bases:
Las pruebas de estas fórmulas se presentan en la sección "Logaritmo".
función inversa
El inverso del logaritmo natural es el exponente.
Si entonces
Si entonces.
Derivada ln x
.
Derivada del logaritmo natural:
.
Derivada del logaritmo natural del módulo x:
.
Derivada de enésimo orden:
Derivando fórmulas > > >
Integral
.
La integral se calcula por integración por partes:
Entonces,
Expresiones usando números complejos
.
Considere la función de la variable compleja z: Expresemos la variable compleja. z vía módulo r φ
:
.
y argumento
.
Usando las propiedades del logaritmo tenemos:
.
O
El argumento φ no está definido de forma única. si pones
, donde n es un número entero,
será el mismo número para diferentes n.
Por tanto, el logaritmo natural, como función de una variable compleja, no es una función univaluada.
Expansión de series de potencias
Cuando se produce la ampliación:
Literatura usada:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
|
Explíquelo de forma más sencilla. Por ejemplo, \(\log_(2)(8)\) es igual a la potencia a la que se debe elevar \(2\) para obtener \(8\). De esto queda claro que \(\log_(2)(8)=3\). |
Ejemplos: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
||
|
porque \(5^(2)=25\) |
\(\log_(3)(81)=4\) |
|||
|
porque \(3^(4)=81\) |
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
porque \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)
Cualquier logaritmo tiene la siguiente “anatomía”:
El argumento de un logaritmo generalmente se escribe en su nivel y la base se escribe en un subíndice más cercano al signo del logaritmo. Y esta entrada dice así: “logaritmo de veinticinco en base cinco”.
¿Cómo calcular el logaritmo?
Para calcular el logaritmo, debes responder la pregunta: ¿a qué potencia se debe elevar la base para obtener el argumento?
Por ejemplo, calcula el logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) ¿A qué potencia se debe elevar \(4\) para obtener \(16\)? Obviamente el segundo. Es por eso:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(5)\) para obtener \(1\)? ¿Qué poder hace que cualquier número uno? ¡Cero, por supuesto!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(7)\) para obtener \(\sqrt(7)\)? En primer lugar, cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) ¿A qué potencia se debe elevar \(3\) para obtener \(\sqrt(3)\)? Sabemos que es una potencia fraccionaria, lo que significa raíz cuadrada es la potencia de \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Ejemplo : Calcular logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Solución :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Necesitamos encontrar el valor del logaritmo, denotémoslo como x. Ahora usemos la definición de logaritmo: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
¿Qué conecta \(4\sqrt(2)\) y \(8\)? Dos, porque ambos números se pueden representar de dos en dos: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
A la izquierda usamos las propiedades del grado: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) y \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Las bases son iguales, pasamos a la igualdad de indicadores. |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Multiplica ambos lados de la ecuación por \(\frac(2)(5)\) |
|
|
La raíz resultante es el valor del logaritmo. |
Respuesta : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
¿Por qué se inventó el logaritmo?
Para entender esto, resolvamos la ecuación: \(3^(x)=9\). Simplemente haga coincidir \(x\) para que la igualdad funcione. Por supuesto, \(x=2\).
Ahora resuelve la ecuación: \(3^(x)=8\). ¿A qué es igual x? Ese es el punto.
Los más inteligentes dirán: “X es un poco menos que dos”. ¿Cómo escribir exactamente este número? Para responder a esta pregunta, se inventó el logaritmo. Gracias a él, la respuesta aquí se puede escribir como \(x=\log_(3)(8)\).
Quiero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), como cualquier logaritmo es solo un número. Sí, parece inusual, pero es breve. Porque si quisiéramos escribirlo como decimal, quedaría así: \(1.892789260714.....\)
Ejemplo : Resuelve la ecuación \(4^(5x-4)=10\)
Solución :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) y \(10\) no se pueden llevar a la misma base. Esto significa que no puedes prescindir de un logaritmo. Usemos la definición de logaritmo: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Inviertamos la ecuación para que X esté a la izquierda. |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Ante nosotros. Movamos \(4\) hacia la derecha. Y no le tengas miedo al logaritmo, trátalo como a un número normal. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Divide la ecuación por 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Esta es nuestra raíz. Sí, parece inusual, pero no eligen la respuesta. |
Respuesta : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Logaritmos decimales y naturales
Como se indica en la definición de logaritmo, su base puede ser cualquier número positivo excepto uno \((a>0, a\neq1)\). Y entre todas las bases posibles, hay dos que ocurren con tanta frecuencia que se inventó una notación corta especial para los logaritmos con ellas:
Logaritmo natural: un logaritmo cuya base es el número de Euler \(e\) (igual a aproximadamente \(2.7182818…\)), y el logaritmo se escribe como \(\ln(a)\).
Eso es, \(\ln(a)\) es lo mismo que \(\log_(e)(a)\)
Logaritmo decimal: un logaritmo cuya base es 10 se escribe \(\lg(a)\).
Eso es, \(\lg(a)\) es lo mismo que \(\log_(10)(a)\), donde \(a\) es algún número.
Identidad logarítmica básica
Los logaritmos tienen muchas propiedades. Uno de ellos se llama "Identidad logarítmica básica" y tiene este aspecto:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Esta propiedad se deriva directamente de la definición. Veamos exactamente cómo surgió esta fórmula.
Recordemos una breve notación de la definición de logaritmo:
si \(a^(b)=c\), entonces \(\log_(a)(c)=b\)
Es decir, \(b\) es lo mismo que \(\log_(a)(c)\). Entonces podemos escribir \(\log_(a)(c)\) en lugar de \(b\) en la fórmula \(a^(b)=c\). Resultó \(a^(\log_(a)(c))=c\) - la identidad logarítmica principal.
Puedes encontrar otras propiedades de los logaritmos. Con su ayuda, puedes simplificar y calcular los valores de expresiones con logaritmos, que son difíciles de calcular directamente.
Ejemplo : Encuentra el valor de la expresión \(36^(\log_(6)(5))\)
Solución :
Respuesta : \(25\)
¿Cómo escribir un número como logaritmo?
Como se mencionó anteriormente, cualquier logaritmo es solo un número. Lo contrario también es cierto: cualquier número se puede escribir como un logaritmo. Por ejemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) es igual a dos. Luego, en lugar de dos, puedes escribir \(\log_(2)(4)\).
Pero \(\log_(3)(9)\) también es igual a \(2\), lo que significa que también podemos escribir \(2=\log_(3)(9)\) . Lo mismo ocurre con \(\log_(5)(25)\), y con \(\log_(9)(81)\), etc. Es decir, resulta
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Por lo tanto, si lo necesitamos, podemos escribir dos como un logaritmo con cualquier base en cualquier lugar (incluso en una ecuación, incluso en una expresión, incluso en una desigualdad); simplemente escribimos la base al cuadrado como argumento.
Lo mismo ocurre con el triple: se puede escribir como \(\log_(2)(8)\), o como \(\log_(3)(27)\), o como \(\log_(4)( 64) \)... Aquí escribimos la base en el cubo como argumento:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Y con cuatro:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Y con menos uno:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
Y con un tercio:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Cualquier número \(a\) se puede representar como un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Ejemplo : Encuentra el significado de la expresión. \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Solución :
Respuesta : \(1\)
Definición de logaritmo
El logaritmo de b en base a es el exponente al que se debe elevar a para obtener b.
Número e en matemáticas se acostumbra denotar el límite al que se esfuerza una expresión
Número e es numero irracional- un número inconmensurable con uno, no se puede expresar con precisión ni como un número entero ni como una fracción racional número.
Carta mi- primera letra de una palabra latina exponer- para lucirse, de ahí el nombre en matemáticas exponencial- función exponencial.
Número mi muy utilizado en matemáticas, y en todas las ciencias que de una forma u otra utilizan los cálculos matemáticos para sus necesidades.
Logaritmos. Propiedades de los logaritmos
Definición: El logaritmo de un número b positivo en su base es el exponente de c al que se debe elevar el número a para obtener el número b.
Identidad logarítmica básica:
7) Fórmula para trasladarse a una nueva base:
lna = log e a, e ≈ 2,718…
Problemas y pruebas sobre el tema “Logaritmos. Propiedades de los logaritmos"
- Logaritmos: temas importantes para repasar el Examen Estatal Unificado de Matemáticas
Para completar con éxito las tareas sobre este tema, debe conocer la definición de logaritmo, las propiedades de los logaritmos, la identidad logarítmica básica, las definiciones de logaritmos decimales y naturales. Los principales tipos de problemas sobre este tema son los problemas que implican el cálculo y la transformación de expresiones logarítmicas. Consideremos su solución usando los siguientes ejemplos.
Solución: Usando las propiedades de los logaritmos, obtenemos
Solución: Usando las propiedades de los grados, obtenemos
1) (2 2) registro 2 5 =(2 registro 2 5) 2 =5 2 =25
Propiedades de logaritmos, formulaciones y pruebas.
Los logaritmos tienen varios propiedades características. En este artículo veremos los principales. propiedades de los logaritmos. Aquí daremos sus formulaciones, escribiremos las propiedades de los logaritmos en forma de fórmulas, mostraremos ejemplos de su aplicación y también proporcionaremos pruebas de las propiedades de los logaritmos.
Navegación de páginas.
Propiedades básicas de logaritmos, fórmulas.
Para facilitar el recuerdo y el uso, imaginemos propiedades básicas de los logaritmos en forma de lista de fórmulas. En el siguiente párrafo daremos sus formulaciones, evidencias, ejemplos de uso y explicaciones necesarias.
y la propiedad del logaritmo del producto de n números positivos: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .
, donde a>0, a≠1, x>0, y>0.
, donde a>0, a≠1, n es un número natural mayor que uno, b>0.
, a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
, a>0 , a≠1 , b>0 , p y q son números reales, q≠0 , en particular para b=a tenemos 
.Formulaciones y pruebas de propiedades.
Procedemos a la formulación y demostración de las propiedades escritas de los logaritmos. Todas las propiedades de los logaritmos se prueban con base en la definición del logaritmo y la identidad logarítmica básica que se deriva de él, así como las propiedades del grado.
Empecemos con propiedades del logaritmo de uno. Su formulación es la siguiente: el logaritmo de la unidad es igual a cero, es decir, registrar un 1=0 para cualquier a>0, a≠1. La demostración no es difícil: dado que a 0 =1 para cualquier a que cumpla las condiciones anteriores a>0 y a≠1, entonces la igualdad log a 1=0 a demostrar se deriva inmediatamente de la definición del logaritmo.
Pongamos ejemplos de la aplicación de la propiedad considerada: log 3 1=0, log1=0 y .
Pasemos a la siguiente propiedad: el logaritmo de un número igual a la base es igual a uno, eso es, iniciar sesión a = 1 para a>0, a≠1. De hecho, dado que a 1 =a para cualquier a, entonces, por definición del logaritmo, log a a=1.
Ejemplos del uso de esta propiedad de los logaritmos son las igualdades log 5 5=1, log 5,6 5,6 y lne=1.
El logaritmo de una potencia de un número igual a la base del logaritmo es igual al exponente.. Esta propiedad del logaritmo corresponde a una fórmula de la forma iniciar sesión a ap =p, donde a>0, a≠1 yp – cualquier número real. Esta propiedad se deriva directamente de la definición del logaritmo. Tenga en cuenta que le permite indicar inmediatamente el valor del logaritmo, si es posible representar el número bajo el signo del logaritmo como una potencia de la base, hablaremos más sobre esto en el artículo sobre cálculo de logaritmos;
Por ejemplo, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 y 
.
Logaritmo del producto de dos números positivos xey es igual al producto de los logaritmos de estos números: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Demostremos la propiedad del logaritmo de un producto. Debido a las propiedades del grado a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, y dado que por la identidad logarítmica principal a log a x =x y a log a y =y, entonces a log a x ·a log a y =x·y. Por lo tanto, un log a x+log a y =x·y, de donde, según la definición de logaritmo, se sigue la igualdad que se está demostrando.
Mostremos ejemplos del uso de la propiedad del logaritmo de un producto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 y 
.
La propiedad del logaritmo de un producto se puede generalizar al producto de un número finito n de números positivos x 1 , x 2 ,…, x n como log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Esta igualdad se puede demostrar sin problemas mediante el método de inducción matemática.
Por ejemplo, el logaritmo natural del producto se puede sustituir por la suma de tres logaritmos naturales de los números 4, e, y.
Logaritmo del cociente de dos números positivos xey es igual a la diferencia entre los logaritmos de estos números. La propiedad del logaritmo de un cociente corresponde a una fórmula de la forma , donde a>0, a≠1, xey son algunos números positivos. La validez de esta fórmula está probada al igual que la fórmula del logaritmo de un producto: ya que 
, entonces por definición del logaritmo .
A continuación se muestra un ejemplo del uso de esta propiedad del logaritmo: 
.
Pasemos a propiedad del logaritmo de la potencia. El logaritmo de un grado es igual al producto del exponente por el logaritmo del módulo de la base de ese grado. Escribamos esta propiedad del logaritmo de una potencia como fórmula: log a b p =p·log a |b|, donde a>0, a≠1, b y p son números tales que el grado b p tiene sentido y b p >0.
Primero demostramos que esta propiedad es positiva b. La identidad logarítmica básica nos permite representar el número b como un log a b , luego b p =(a log a b) p , y la expresión resultante, debido a la propiedad de la potencia, es igual a a p·log a b . Entonces llegamos a la igualdad b p =a p·log a b, de la cual, por la definición de logaritmo, concluimos que log a b p =p·log a b.
Queda por demostrar esta propiedad para b negativo. Aquí notamos que la expresión log a b p para b negativo tiene sentido solo para exponentes pares p (ya que el valor del grado b p debe ser mayor que cero, de lo contrario el logaritmo no tendrá sentido), y en este caso b p =|b| pag. Entonces b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , de donde log a b p =p·log a |b| .
Por ejemplo, 
y ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Se deduce de la propiedad anterior propiedad del logaritmo de la raíz: el logaritmo de la raíz n-ésima es igual al producto de la fracción 1/n por el logaritmo de la expresión radical, es decir, donde a>0, a≠1, n es un número natural mayor que uno, b>0 .
La prueba se basa en la igualdad (ver definición de exponente con exponente fraccionario), que es válida para cualquier b positivo, y la propiedad del logaritmo del exponente: 
.
A continuación se muestra un ejemplo del uso de esta propiedad: 
.
Ahora demostremos fórmula para pasar a una nueva base logarítmica amable 
. Para ello basta con demostrar la validez de la igualdad log c b=log a b·log c a. La identidad logarítmica básica nos permite representar el número b como log a b, luego log c b=log c a log a b. Queda por utilizar la propiedad del logaritmo del grado: log c a log a b =log a b·log c a . Esto demuestra la igualdad log c b=log a b·log c a, lo que significa que también se demuestra la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo. .
Mostremos un par de ejemplos del uso de esta propiedad de los logaritmos: y 
.
La fórmula para pasar a una nueva base le permite pasar a trabajar con logaritmos que tienen una base "conveniente". Por ejemplo, se puede utilizar para cambiar a logaritmos naturales o decimales para poder calcular el valor de un logaritmo a partir de una tabla de logaritmos. La fórmula para pasar a una nueva base de logaritmo también permite, en algunos casos, encontrar el valor de un logaritmo determinado cuando se conocen los valores de algunos logaritmos con otras bases.
A menudo se utiliza un caso especial de la fórmula para la transición a una nueva base logarítmica para c=b de la forma. Esto muestra que log a b y log b a son números mutuamente inversos. Por ejemplo, 
.
También se utiliza a menudo la fórmula, que es conveniente para encontrar los valores de logaritmos. Para confirmar nuestras palabras, mostraremos cómo se puede utilizar para calcular el valor de un logaritmo de la forma. Tenemos 
. Para probar la fórmula, basta con utilizar la fórmula para pasar a una nueva base del logaritmo a: 
.
Queda por demostrar las propiedades de comparación de logaritmos.
Usemos el método opuesto. Supongamos que para a 1 >1, a 2 >1 y a 1 2 y para 0 1, log a 1 b≤log a 2 b es verdadero. Con base en las propiedades de los logaritmos, estas desigualdades se pueden reescribir como 
Y 
respectivamente, y de ellos se deduce que log b a 1 ≤log b a 2 y log b a 1 ≥log b a 2, respectivamente. Entonces, de acuerdo con las propiedades de potencias con las mismas bases, las igualdades b log b a 1 ≥b log b a 2 y b log b a 1 ≥b log b a 2 deben cumplirse, es decir, a 1 ≥a 2 . Entonces llegamos a una contradicción con la condición a 1 2. Esto completa la prueba.
Propiedades básicas de los logaritmos.
- Materiales para la lección.
- Descargar todas las fórmulas
- log a x n = n · log a x ;
Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente números ordinarios, aquí existen reglas, que se llaman propiedades principales.
Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas no se puede resolver ni un solo problema logarítmico serio. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Así que comencemos.
Sumar y restar logaritmos
Considere dos logaritmos con las mismas bases: log a x y log a y. Luego se pueden sumar y restar, y:
Entonces, la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es igual al logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí es motivos idénticos. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!
Estas fórmulas te ayudarán a calcular una expresión logarítmica incluso cuando no se consideran sus partes individuales (consulta la lección “¿Qué es un logaritmo”). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 6 4 + log 6 9.
Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
registro 6 4 + registro 6 9 = registro 6 (4 9) = registro 6 36 = 2.
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 2 48 − log 2 3.
Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
registro 2 48 − registro 2 3 = registro 2 (48: 3) = registro 2 16 = 4.
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 3 135 − log 3 5.
Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
registro 3 135 − registro 3 5 = registro 3 (135: 5) = registro 3 27 = 3.
Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).
Extrayendo el exponente del logaritmo
Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:
Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.
Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también al revés. , es decir. Puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el propio logaritmo. Esto es lo que más a menudo se requiere.
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 7 49 6 .
Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
registro 7 49 6 = 6 registro 7 49 = 6 2 = 12
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
[Título de la imagen]
Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Tenemos:
[Título de la imagen]
Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador. Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".
Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.
Transición a una nueva fundación.
Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las razones son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número?
Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:
Sea el logaritmo log a x. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:
[Título de la imagen]
En particular, si hacemos c = x, obtenemos:
[Título de la imagen]
De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero en este caso se “da la vuelta” a toda la expresión, es decir el logaritmo aparece en el denominador.
Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.
Sin embargo, hay problemas que no pueden resolverse en absoluto excepto trasladándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 5 16 log 2 25.
Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; registro 2 25 = registro 2 5 2 = 2 registro 2 5;
Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:
[Título de la imagen]
Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 9 100 lg 3.
La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:
[Título de la imagen]
Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:
[Título de la imagen]
Identidad logarítmica básica
A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:
- n = log a a n
-
En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.
La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: la identidad logarítmica básica.
De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva a tal potencia que el número b elevado a esta potencia da el número a? Así es: el resultado es el mismo número a. Lea este párrafo con atención nuevamente; muchas personas se quedan estancadas en él.
Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.
[Título de la imagen]
Tenga en cuenta que log 25 64 = log 5 8; simplemente tomamos el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:
[Título de la imagen]
Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)
Unidad logarítmica y cero logarítmico
En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo. Aparecen constantemente en los problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para los estudiantes "avanzados".
- log a a = 1 es una unidad logarítmica. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
- log a 1 = 0 es cero logarítmico. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a 0 = 1 es consecuencia directa de la definición.
Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.
Logaritmo. Propiedades del logaritmo (suma y resta).
Propiedades del logaritmo seguir de su definición. Y entonces el logaritmo del número. b Residencia en A se define como el exponente al que se debe elevar un número a para obtener el numero b(El logaritmo existe sólo para números positivos).
De esta formulación se deduce que el cálculo x=log a b, equivale a resolver la ecuación ax=b. Por ejemplo, iniciar sesión 2 8 = 3 porque 8 = 2 3 . La formulación del logaritmo permite justificar que si b=a c, entonces el logaritmo del número b Residencia en a es igual Con. También está claro que el tema de los logaritmos está estrechamente relacionado con el tema de las potencias.
Con logaritmos, como con cualquier número, puedes hacer operaciones de suma, resta y transformarnos en todos los sentidos posibles. Pero debido al hecho de que los logaritmos no son números completamente ordinarios, aquí se aplican sus propias reglas especiales, que se llaman propiedades principales.
Sumar y restar logaritmos.
Tomemos dos logaritmos con las mismas bases: registrar una x Y iniciar sesión y. Entonces es posible realizar operaciones de suma y resta:
Como vemos, suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto, y diferencia logaritmos- logaritmo del cociente. Además, esto es cierto si los números A, X Y en positivo y un ≠ 1.
Es importante señalar que el aspecto principal en estas fórmulas son las mismas bases. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no se aplican!
Las reglas para sumar y restar logaritmos con las mismas bases se leen no solo de izquierda a derecha, sino también al revés. Como resultado, tenemos los teoremas para el logaritmo del producto y el logaritmo del cociente.
Logaritmo del producto dos números positivos igual a la suma sus logaritmos ; reformulando este teorema obtenemos lo siguiente si los números A, incógnita Y en positivo y un ≠ 1, Eso:
Logaritmo del cociente dos números positivos es igual a la diferencia entre los logaritmos del dividendo y el divisor. Para decirlo de otra manera, si los números A, incógnita Y en positivo y un ≠ 1, Eso:
Apliquemos los teoremas anteriores para resolver ejemplos:
si los numeros incógnita Y en son negativos, entonces fórmula del logaritmo del producto pierde sentido. Por tanto, está prohibido escribir:
ya que las expresiones log 2 (-8) y log 2 (-4) no están definidas en absoluto (función logarítmica en= registro 2 incógnita definido sólo para valores de argumento positivos incógnita).
Teorema del producto aplicable no sólo para dos, sino también para un número ilimitado de factores. Esto significa que por cada natural k y cualquier numero positivo incógnita 1 , incógnita 2 , . . . ,xn hay una identidad:
De teorema del cociente logaritmo Se puede obtener una propiedad más del logaritmo. Es de conocimiento común que el registro a 1= 0, por lo tanto
Esto significa que hay una igualdad:
Logaritmos de dos números recíprocos por la misma razón se diferenciarán entre sí únicamente por el signo. Entonces:
Logaritmo. Propiedades de los logaritmos
Logaritmo. Propiedades de los logaritmos
Consideremos la igualdad. Conozcamos los valores de y y queremos encontrar el valor de .
Es decir, buscamos el exponente por el cual debemos amartillarlo para obtener .
Dejar
una variable puede tomar cualquier valor real, entonces se imponen las siguientes restricciones a las variables: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />Si conocemos los valores de y , y nos enfrentamos a la tarea de encontrar la incógnita, entonces para ello se introduce una operación matemática, que se llama logaritmo.
Para encontrar el valor tomamos logaritmo de un número Por base :
El logaritmo de un número respecto a su base es el exponente al que se debe elevar para obtener.
Eso es identidad logarítmica básica:
o» título=»a>o»/> , 1″ título=»a1″/>, 0″ título=»b>0″/>
es esencialmente una notación matemática definiciones de logaritmo.
La operación matemática del logaritmo es la inversa de la operación de exponenciación, por lo que propiedades de los logaritmos están estrechamente relacionados con las propiedades de grado.
Enumeremos los principales. propiedades de los logaritmos:
(o" título="a>o"/> , 1″ título=»a1″/>, 0″ título=»b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ título=”d1″/>
4.
5.
El siguiente grupo de propiedades le permite representar el exponente de una expresión bajo el signo del logaritmo, o colocándose en la base del logaritmo en forma de coeficiente delante del signo del logaritmo:
6.
7.
8.
9.
El siguiente grupo de fórmulas le permite pasar de un logaritmo con una base dada a un logaritmo con una base arbitraria y se llama Fórmulas para mudarse a una nueva base.:
10.
12. (corolario de la propiedad 11)
Las tres propiedades siguientes no son muy conocidas, pero se utilizan a menudo al resolver ecuaciones logarítmicas o al simplificar expresiones que contienen logaritmos:
13.
14.
15.
Casos especiales:
— logaritmo decimal
— logaritmo naturalAl simplificar expresiones que contienen logaritmos, se utiliza un enfoque general:
1. Presentando decimales en forma de ordinarios.
2. Números mixtos representados como fracciones impropias.
3. Descomponemos los números en la base del logaritmo y bajo el signo del logaritmo en factores simples.
4. Intentamos reducir todos los logaritmos a la misma base.
5. Aplicar las propiedades de los logaritmos.
Veamos ejemplos de expresiones simplificadas que contienen logaritmos.
Ejemplo 1.
Calcular:
Simplifiquemos todos los exponentes: nuestra tarea es reducirlos a logaritmos, cuya base sea el mismo número que la base del exponente.
==(por propiedad 7)=(por propiedad 6) =
Sustituyamos los indicadores que obtuvimos en la expresión original. Obtenemos:
Respuesta: 5.25
Ejemplo 2. Calcular:
Reduzcamos todos los logaritmos a base 6 (en este caso, los logaritmos del denominador de la fracción "migrarán" al numerador):
Descompongamos los números bajo el signo de logaritmo en factores simples:
Apliquemos las propiedades 4 y 6:
Introduzcamos el reemplazo.
Obtenemos:
Respuesta: 1
Logaritmo . Identidad logarítmica básica.
Propiedades de los logaritmos. Logaritmo decimal. Logaritmo natural.
Logaritmo número positivo N a la base (b > 0, b 1) es el exponente x al que se debe elevar b para obtener N .
Esta entrada equivale a lo siguiente: segundo x = norte .
Ejemplos: log 3 81 = 4, ya que 3 4 = 81;
iniciar sesión 1/3 27 = – 3, ya que (1/3) - 3 = 3 3 = 27.
La definición anterior de logaritmo se puede escribir como una identidad:
Propiedades básicas de los logaritmos.
2) iniciar sesión 1 = 0, ya que b 0 = 1 .
3) El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
4) El logaritmo del cociente es igual a la diferencia entre los logaritmos del dividendo y el divisor:
5) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de su base:
La consecuencia de esta propiedad es la siguiente: logaritmo de la raíz igual al logaritmo del número radical dividido por la potencia de la raíz:
6) Si la base del logaritmo es un grado, entonces el valor el inverso del exponente se puede sacar como una rima logarítmica:
Las dos últimas propiedades se pueden combinar en una:
7) Fórmula del módulo de transición (es decir, transición de una base de logaritmo a otra base):
En el caso especial cuando N=a tenemos:
logaritmo decimal llamado logaritmo base 10. Se denota LG, es decir. registro 10 norte= iniciar sesión norte. Logaritmos de los números 10, 100, 1000, . p son 1, 2, 3,…, respectivamente, es decir tener tantos positivos
unidades, cuántos ceros hay en un número logarítmico después del uno. Logaritmos de los números 0,1, 0,01, 0,001,. p son respectivamente –1, –2, –3,…, es decir tener tantos unos negativos como ceros hay en el número logarítmico antes del uno (incluidos los números enteros cero). Los logaritmos de otros números tienen una parte fraccionaria llamada mantisa. La parte entera de un logaritmo se llama característica. Para uso práctico, los logaritmos decimales son los más convenientes.
logaritmo natural llamado logaritmo base mi. Se denota por ln, es decir registro mi norte= iniciar sesión norte. Número mi es irracional, su valor aproximado es 2.718281828. Es el límite al que tiende el número (1 + 1 / norte) norte con aumento ilimitado norte(centímetro. primer límite maravilloso en la página "Límites" secuencias numéricas»).
Por extraño que parezca, los logaritmos naturales resultaron muy convenientes a la hora de realizar diversos tipos de operaciones relacionadas con el análisis de funciones. Calcular logaritmos en base mi mucho más rápido que por cualquier otro motivo.
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