Ejemplos de resta de logaritmos con las mismas bases. Logaritmo natural, función ln x

13.10.2019

(del griego λόγος - "palabra", "relación" y ἀριθμός - "número") números b Residencia en a(log α b) se llama tal número C, Y b= una c, es decir, registros log α b=C Y b=aC son equivalentes. El logaritmo tiene sentido si a > 0, a ≠ 1, b > 0.

En otras palabras logaritmo números b Residencia en A formulado como un exponente al que se debe elevar un número a para obtener el numero b(El logaritmo existe sólo para números positivos).

De esta formulación se deduce que el cálculo x= log α b, equivale a resolver la ecuación a x =b.

Por ejemplo:

Iniciar sesión 2 8 = 3 porque 8 = 2 3 .

Destaquemos que la formulación indicada del logaritmo permite determinar inmediatamente valor logaritmo, cuando el número bajo el signo del logaritmo actúa como una potencia de la base. De hecho, la formulación del logaritmo permite justificar que si b=a c, entonces el logaritmo del número b Residencia en a es igual Con. También está claro que el tema de los logaritmos está estrechamente relacionado con el tema. potencias de un numero.

Calcular el logaritmo se llama logaritmo. Logaritmo es la operación matemática de tomar un logaritmo. Al tomar logaritmos, los productos de factores se transforman en sumas de términos.

Potenciación es una operación matemática inversa al logaritmo. Durante la potenciación, una base determinada se eleva hasta el grado de expresión sobre el cual se realiza la potenciación. En este caso, las sumas de términos se transforman en un producto de factores.

Muy a menudo, se utilizan logaritmos reales con bases 2 (binario), el número de Euler e ≈ 2,718 (logaritmo natural) y 10 (decimal).

En esta etapa es aconsejable considerar muestras de logaritmos iniciar sesión 7 2 , en √ 5, lg0.0001.

Y las entradas lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 no tienen sentido, ya que en la primera de ellas se coloca un número negativo bajo el signo del logaritmo, en la segunda hay un número negativo en la base, y en el tercero hay un número negativo bajo el signo del logaritmo y la unidad en la base.

Condiciones para determinar el logaritmo.

Vale la pena considerar por separado las condiciones a > 0, a ≠ 1, b > 0, bajo las cuales obtenemos definición de logaritmo. Veamos por qué se tomaron estas restricciones. Una igualdad de la forma x = log α nos ayudará con esto b, llamada identidad logarítmica básica, que se deriva directamente de la definición de logaritmo dada anteriormente.

Tomemos la condición a≠1. Dado que uno elevado a cualquier potencia es igual a uno, entonces la igualdad x=log α b sólo puede existir cuando segundo=1, pero log 1 1 será cualquier número real. Para eliminar esta ambigüedad, tomamos a≠1.

Demostremos la necesidad de la condición. a>0. En a=0 según la formulación del logaritmo sólo puede existir cuando b=0. Y en consecuencia entonces iniciar sesión 0 0 puede ser cualquier número real distinto de cero, ya que cero elevado a cualquier potencia distinta de cero es cero. Esta ambigüedad puede eliminarse mediante la condición a≠0. Y cuando a<0 Tendríamos que rechazar el análisis de los valores racionales e irracionales del logaritmo, ya que un grado con exponente racional e irracional se define sólo para bases no negativas. Es por esta razón que se estipula la condición a>0.

Y la última condición b>0 se deriva de la desigualdad a>0, ya que x=log α b, y el valor del grado con base positiva a siempre positivo.

Características de los logaritmos.

Logaritmos caracterizado por distintivo características, lo que llevó a su uso generalizado para facilitar significativamente los cálculos minuciosos. Al pasar “al mundo de los logaritmos”, la multiplicación se transforma en una suma mucho más sencilla, la división se transforma en resta y la exponenciación y la extracción de raíces se transforman, respectivamente, en multiplicación y división por el exponente.

Formulación de logaritmos y tabla de sus valores (para funciones trigonométricas) fue publicado por primera vez en 1614 por el matemático escocés John Napier. Las tablas logarítmicas, ampliadas y detalladas por otros científicos, se utilizaron ampliamente en cálculos científicos y de ingeniería y siguieron siendo relevantes hasta el uso de calculadoras electrónicas y computadoras.

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Explíquelo de forma más sencilla. Por ejemplo, \(\log_(2)(8)\) es igual a la potencia a la que se debe elevar \(2\) para obtener \(8\). De esto queda claro que \(\log_(2)(8)=3\).

Ejemplos:	\(\log_(5)(25)=2\)	porque \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	porque \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	porque \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento y base del logaritmo.

Cualquier logaritmo tiene la siguiente “anatomía”:

El argumento de un logaritmo generalmente se escribe en su nivel y la base se escribe en un subíndice más cercano al signo del logaritmo. Y esta entrada dice así: “logaritmo de veinticinco en base cinco”.

¿Cómo calcular el logaritmo?

Para calcular el logaritmo, debes responder la pregunta: ¿a qué potencia se debe elevar la base para obtener el argumento?

Por ejemplo, calcula el logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) ¿A qué potencia se debe elevar \(4\) para obtener \(16\)? Obviamente el segundo. Es por eso:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(5)\) para obtener \(1\)? ¿Qué poder hace que cualquier número uno? ¡Cero, por supuesto!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(7)\) para obtener \(\sqrt(7)\)? En primer lugar, cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) ¿A qué potencia se debe elevar \(3\) para obtener \(\sqrt(3)\)? Sabemos que es una potencia fraccionaria, lo que significa Raíz cuadrada es la potencia de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Ejemplo : Calcular logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solución :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Necesitamos encontrar el valor del logaritmo, denotémoslo como x. Ahora usemos la definición de logaritmo: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		¿Qué conecta \(4\sqrt(2)\) y \(8\)? Dos, porque ambos números se pueden representar de dos en dos: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		A la izquierda usamos las propiedades del grado: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) y \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Las bases son iguales, pasamos a la igualdad de indicadores.
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplica ambos lados de la ecuación por \(\frac(2)(5)\)
		La raíz resultante es el valor del logaritmo.

Respuesta : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

¿Por qué se inventó el logaritmo?

Para entender esto, resolvamos la ecuación: \(3^(x)=9\). Simplemente haga coincidir \(x\) para que la ecuación funcione. Por supuesto, \(x=2\).

Ahora resuelve la ecuación: \(3^(x)=8\). ¿A qué es igual x? Ese es el punto.

Los más inteligentes dirán: “X es un poco menos que dos”. ¿Cómo escribir exactamente este número? Para responder a esta pregunta, se inventó el logaritmo. Gracias a él, la respuesta aquí se puede escribir como \(x=\log_(3)(8)\).

Quiero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), como cualquier logaritmo es solo un número. Sí, parece inusual, pero es breve. Porque si quisiéramos escribirlo en la forma decimal, entonces se vería así: \(1.892789260714.....\)

Ejemplo : Resuelve la ecuación \(4^(5x-4)=10\)

Solución :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) y \(10\) no se pueden llevar a la misma base. Esto significa que no puedes prescindir de un logaritmo. Usemos la definición de logaritmo: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Inviertamos la ecuación para que X esté a la izquierda.
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Antes que nosotros. Movamos \(4\) hacia la derecha. Y no le tengas miedo al logaritmo, trátalo como a un número normal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Divide la ecuación por 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Esta es nuestra raíz. Sí, parece inusual, pero no eligen la respuesta.

Respuesta : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmos decimales y naturales

Como se indica en la definición de logaritmo, su base puede ser cualquier número positivo excepto uno \((a>0, a\neq1)\). Y entre todas las bases posibles, hay dos que ocurren con tanta frecuencia que se inventó una notación corta especial para los logaritmos con ellas:

Logaritmo natural: un logaritmo cuya base es el número de Euler \(e\) (igual a aproximadamente \(2.7182818…\)), y el logaritmo se escribe como \(\ln(a)\).

Eso es, \(\ln(a)\) es lo mismo que \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimal: un logaritmo cuya base es 10 se escribe \(\lg(a)\).

Eso es, \(\lg(a)\) es lo mismo que \(\log_(10)(a)\), donde \(a\) es algún número.

Identidad logarítmica básica

Los logaritmos tienen muchas propiedades. Uno de ellos se llama "Identidad logarítmica básica" y tiene este aspecto:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Esta propiedad se deriva directamente de la definición. Veamos exactamente cómo surgió esta fórmula.

Recordemos una breve notación de la definición de logaritmo:

si \(a^(b)=c\), entonces \(\log_(a)(c)=b\)

Es decir, \(b\) es lo mismo que \(\log_(a)(c)\). Entonces podemos escribir \(\log_(a)(c)\) en lugar de \(b\) en la fórmula \(a^(b)=c\). Resultó \(a^(\log_(a)(c))=c\) - la identidad logarítmica principal.

Puedes encontrar otras propiedades de los logaritmos. Con su ayuda, puedes simplificar y calcular los valores de expresiones con logaritmos, que son difíciles de calcular directamente.

Ejemplo : Encuentra el valor de la expresión \(36^(\log_(6)(5))\)

Solución :

Respuesta : \(25\)

¿Cómo escribir un número como logaritmo?

Como se mencionó anteriormente, cualquier logaritmo es solo un número. Lo contrario también es cierto: cualquier número se puede escribir como un logaritmo. Por ejemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) es igual a dos. Luego, en lugar de dos, puedes escribir \(\log_(2)(4)\).

Pero \(\log_(3)(9)\) también es igual a \(2\), lo que significa que también podemos escribir \(2=\log_(3)(9)\) . Lo mismo ocurre con \(\log_(5)(25)\), y con \(\log_(9)(81)\), etc. Es decir, resulta

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Por lo tanto, si lo necesitamos, podemos escribir dos como un logaritmo con cualquier base en cualquier lugar (incluso en una ecuación, incluso en una expresión, incluso en una desigualdad); simplemente escribimos la base al cuadrado como argumento.

Lo mismo ocurre con el triple: se puede escribir como \(\log_(2)(8)\), o como \(\log_(3)(27)\), o como \(\log_(4)( 64) \)... Aquí escribimos la base en el cubo como argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Y con cuatro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Y con menos uno:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Y con un tercio:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Cualquier número \(a\) se puede representar como un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Ejemplo : Encuentra el significado de la expresión. \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solución :

Respuesta : \(1\)

propiedades principales.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

motivos idénticos

Log6 4 + log6 9.

Ahora compliquemos un poco la tarea.

Ejemplos de resolución de logaritmos

¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Transición a una nueva fundación.

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Ver también:

Propiedades básicas del logaritmo.

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El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es igual a 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Nikolaevich Tolstoi.

Propiedades básicas de los logaritmos.

Conociendo esta regla sabrás y valor exacto expositores y la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Ejemplos de logaritmos

Expresiones de logaritmos

Ejemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando las propiedades 3.5 calculamos

4. Dónde .

Ejemplo 2. Encuentra x si

Ejemplo 3. Sea el valor de los logaritmos.

Calcular log(x) si

Propiedades básicas de los logaritmos.

Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente números ordinarios, aquí existen reglas, que se llaman propiedades principales.

Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas, no se puede resolver ni un solo problema logarítmico grave. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Entonces empecemos.

Sumar y restar logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Entonces, la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es igual al logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí es motivos idénticos. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!

Estas fórmulas te ayudarán a calcular expresión logarítmica incluso cuando no se cuentan sus partes individuales (consulte la lección “¿Qué es un logaritmo”). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:

Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.

Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchos se basan en este hecho. papeles de prueba. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).

Extrayendo el exponente del logaritmo

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también al revés. , es decir. Puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el propio logaritmo. Esto es lo que más a menudo se requiere.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el muy último momento trabajamos solo con el denominador.

Fórmulas de logaritmos. Ejemplos de soluciones de logaritmos.

Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación.

Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las razones son diferentes? ¿Qué pasa si no son potencias exactas del mismo número?

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si hacemos c = x, obtenemos:

De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero en este caso se “da la vuelta” a toda la expresión, es decir el logaritmo aparece en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en los convencionales. expresiones numéricas. Es posible evaluar cuán convenientes son solo decidiendo ecuaciones logarítmicas y desigualdades.

Sin embargo, hay problemas que no pueden resolverse en absoluto excepto trasladándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:

Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: .

De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva a tal potencia que el número b elevado a esta potencia da el número a? Así es: el resultado es el mismo número a. Lea este párrafo con atención nuevamente; muchas personas se quedan estancadas en él.

Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8: simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo. Aparecen constantemente en los problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para los estudiantes "avanzados".

logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Ver también:

El logaritmo de b en base a denota la expresión. Calcular el logaritmo significa encontrar una potencia x () en la que se satisface la igualdad.

Propiedades básicas del logaritmo.

Es necesario conocer las propiedades anteriores, ya que casi todos los problemas y ejemplos relacionados con logaritmos se resuelven en base a ellas. El resto de las propiedades exóticas se pueden derivar mediante manipulaciones matemáticas con estas fórmulas.

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Al calcular la fórmula para la suma y diferencia de logaritmos (3.4), te encuentras con bastante frecuencia. El resto son algo complejos, pero en una serie de tareas son indispensables para simplificar expresiones complejas y calcular sus valores.

Casos comunes de logaritmos

Algunos de los logaritmos comunes son aquellos en los que la base es par diez, exponencial o dos.
El logaritmo en base diez suele denominarse logaritmo decimal y se denota simplemente por lg(x).

De la grabación se desprende claramente que los conceptos básicos no están escritos en la grabación. Por ejemplo

Logaritmo natural es un logaritmo con un exponente como base (denotado por ln(x)).

El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es igual a 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Nikolaevich Tolstoi. Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Y otro logaritmo importante en base dos se denota por

La derivada del logaritmo de una función es igual a uno dividido por la variable.

El logaritmo integral o antiderivado está determinado por la relación

El material proporcionado es suficiente para que resuelvas una amplia clase de problemas relacionados con logaritmos y logaritmos. Para ayudarlo a comprender el material, le daré solo algunos ejemplos comunes de currículum escolar y universidades.

Ejemplos de logaritmos

Expresiones de logaritmos

Ejemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando las propiedades 3.5 calculamos

2.
Por la propiedad de diferencia de logaritmos tenemos

3.
Usando las propiedades 3.5 encontramos

4. Dónde .

Una expresión aparentemente compleja se simplifica utilizando una serie de reglas.

Encontrar valores de logaritmos

Ejemplo 2. Encuentra x si

Solución. Para el cálculo aplicamos al último término 5 y 13 propiedades.

Lo dejamos constancia y lloramos

Como las bases son iguales, igualamos las expresiones.

Logaritmos. Primer nivel.

Sea el valor de los logaritmos.

Calcular log(x) si

Solución: Tomemos un logaritmo de la variable para escribir el logaritmo mediante la suma de sus términos.

Este es solo el comienzo de nuestro conocimiento de los logaritmos y sus propiedades. Practique cálculos, enriquezca sus habilidades prácticas: pronto necesitará los conocimientos adquiridos para resolver ecuaciones logarítmicas. Habiendo estudiado los métodos básicos para resolver este tipo de ecuaciones, ampliaremos sus conocimientos a otro tema igualmente importante: las desigualdades logarítmicas...

Propiedades básicas de los logaritmos.

Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas, no se puede resolver ni un solo problema logarítmico grave. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Entonces empecemos.

Sumar y restar logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Estas fórmulas te ayudarán a calcular una expresión logarítmica incluso cuando no se consideran sus partes individuales (consulta la lección “¿Qué es un logaritmo”). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log6 4 + log6 9.

Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.

Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).

Extrayendo el exponente del logaritmo

Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Cómo resolver logaritmos

Esto es lo que más a menudo se requiere.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador. Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Transición a una nueva fundación.

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si hacemos c = x, obtenemos:

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay problemas que no pueden resolverse en absoluto excepto trasladándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:

Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: .

Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8: simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Las propiedades básicas del logaritmo natural, gráfica, dominio de definición, conjunto de valores, fórmulas básicas, derivada, integral, expansión en serie de potencia y representación de la función ln x usando números complejos.

Definición

Logaritmo natural es la función y = en x, la inversa de la exponencial, x = e y, y es el logaritmo en la base del número e: ln x = log e x.

El logaritmo natural se utiliza mucho en matemáticas porque su derivada tiene la forma más simple: (lnx)′ = 1/x.

Basado definiciones, la base del logaritmo natural es el número mi:
mi ≅ 2,718281828459045...;
.

Gráfica de la función y = en x.

Gráfica de logaritmo natural (funciones y = en x) se obtiene de la gráfica exponencial imagen de espejo con respecto a la línea recta y = x.

El logaritmo natural se define para valores positivos de la variable x.

Aumenta monótonamente en su dominio de definición. 0 En x →

el límite del logaritmo natural es menos infinito (-∞). Como x → + ∞, el límite del logaritmo natural es más infinito (+ ∞). Para x grande, el logaritmo aumenta bastante lentamente. Cualquier función de potencia

x a con exponente positivo a crece más rápido que el logaritmo.

Propiedades del logaritmo natural

Dominio de definición, conjunto de valores, extremos, aumento, disminución.

El logaritmo natural es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo natural se presentan en la tabla.

en valores x

En 1 = 0

Fórmulas básicas para logaritmos naturales.

Fórmulas que siguen de la definición de la función inversa:

La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias.

Fórmula de reemplazo base

Cualquier logaritmo se puede expresar en términos de logaritmos naturales utilizando la fórmula de sustitución de bases:

Las pruebas de estas fórmulas se presentan en la sección "Logaritmo".

Función inversa

El inverso del logaritmo natural es el exponente.

Si entonces

Si entonces.

Derivada ln x
.
Derivada del logaritmo natural:
.
Derivada del logaritmo natural del módulo x:
.
Derivando fórmulas > > >

Integral

La integral se calcula por integración por partes:
.
Entonces,

Expresiones usando números complejos

Considere la función de la variable compleja z:
.
Expresemos la variable compleja. z vía módulo r y argumento φ :
.
Usando las propiedades del logaritmo tenemos:
.
O
.
El argumento φ no está definido de forma única. Si pones
, donde n es un número entero,
será el mismo número para diferentes n.

Por tanto, el logaritmo natural, como función de una variable compleja, no es una función univaluada.

Expansión de series de potencias

Cuando se produce la ampliación:

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.