El logaritmo de un número positivo b en base a (a>0, a no es igual a 1) es un número c tal que a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Tenga en cuenta que el logaritmo de un número no positivo no está definido. Además, la base del logaritmo debe ser un número positivo que no sea igual a 1. Por ejemplo, si elevamos al cuadrado -2, obtenemos el número 4, pero esto no significa que el logaritmo en base -2 de 4 sea igual a 2.
Identidad logarítmica básica
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Es importante que el alcance de la definición de los lados derecho e izquierdo de esta fórmula sea diferente. El lado izquierdo se define sólo para b>0, a>0 y a ≠ 1. El lado derecho se define para cualquier b y no depende de a en absoluto. Por tanto, la aplicación de la "identidad" logarítmica básica al resolver ecuaciones y desigualdades puede conducir a un cambio en la OD.
Dos consecuencias obvias de la definición de logaritmo
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)iniciar sesión a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
De hecho, cuando elevamos el número a a la primera potencia, obtenemos el mismo número, y cuando lo elevamos a la potencia cero, obtenemos uno.
Logaritmo del producto y logaritmo del cociente
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Me gustaría advertir a los escolares que no apliquen irreflexivamente estas fórmulas al resolver ecuaciones logarítmicas y desigualdades. Al usarlos "de izquierda a derecha", la ODZ se estrecha, y al pasar de la suma o diferencia de logaritmos al logaritmo del producto o cociente, la ODZ se expande.
De hecho, la expresión log a (f (x) g (x)) se define en dos casos: cuando ambas funciones son estrictamente positivas o cuando f(x) y g(x) son menores que cero.
Al transformar esta expresión en la suma log a f (x) + log a g (x) , nos vemos obligados a limitarnos solo al caso en que f(x)>0 y g(x)>0. Hay una reducción del rango de valores aceptables, y esto es categóricamente inaceptable, ya que puede conducir a una pérdida de soluciones. Existe un problema similar para la fórmula (6).
El grado se puede sacar del signo del logaritmo.
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Y nuevamente me gustaría pedir precisión. Considere el siguiente ejemplo:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
El lado izquierdo de la igualdad está obviamente definido para todos los valores de f(x) excepto cero. ¡El lado derecho es solo para f(x)>0! Al quitar el grado del logaritmo, estrechamos nuevamente la ODZ. El procedimiento inverso conduce a una ampliación del rango de valores aceptables. Todas estas observaciones se aplican no sólo a la potencia 2, sino también a cualquier potencia par.
Fórmula para pasar a una nueva fundación
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ese raro caso en el que la ODZ no cambia durante la transformación. Si has elegido sabiamente la base c (positiva y distinta de 1), la fórmula para pasar a una nueva base es completamente segura.
Si elegimos el número b como nueva base c, obtenemos un caso especial importante de la fórmula (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Algunos ejemplos sencillos con logaritmos
Ejemplo 1. Calcular: log2 + log50.
Solución. log2 + log50 = log100 = 2. Usamos la fórmula de suma de logaritmos (5) y la definición del logaritmo decimal.
Ejemplo 2. Calcular: lg125/lg5.
Solución. log125/log5 = log 5 125 = 3. Usamos la fórmula para movernos a una nueva base (8).
Tabla de fórmulas relacionadas con logaritmos.
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| iniciar sesión a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| iniciar sesión a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
274. Comentarios.
A) Si la expresión que desea evaluar contiene suma o diferencia números, entonces deben encontrarse sin la ayuda de tablas mediante suma o resta ordinaria. P.ej:
registro (35 + 7,24) 5 = 5 registro (35 + 7,24) = 5 registro 42,24.
b) Sabiendo cómo expresar logaritmos, podemos, inversamente, por este resultado usar logaritmos para encontrar la expresión de la cual se obtuvo este resultado; Así que si
registro X= iniciar sesión a+ iniciar sesión b- 3 registros Con,
entonces es fácil entender que
V) Antes de pasar a considerar la estructura de las tablas logarítmicas, indicaremos algunas propiedades de los logaritmos decimales, es decir aquellos en los que se toma el número 10 como base (solo se utilizan dichos logaritmos para los cálculos).
Capitulo dos.
Propiedades de los logaritmos decimales.
275 . A) Dado que 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, etc., entonces log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, etc.
Medio, El logaritmo de un número entero representado por uno con ceros es un número entero positivo que contiene tantos unos como ceros hay en la representación del número.
De este modo: iniciar sesión 100.000 = 5, registro 1000 000 = 6 , etc.
b) Porque
iniciar sesión 0,1 = -l; iniciar sesión 0,01 = - 2; iniciar sesión 0,001 == -3; iniciar sesión 0,0001 = - 4, etc.
Medio, logaritmo decimal, representado por una unidad con ceros delante, es un número entero negativo que contiene tantas unidades negativas como ceros hay en la representación de la fracción, incluido 0 números enteros.
De este modo: Iniciar sesión 0,00001 = - 5, Iniciar sesión 0,000001 = -6, etc.
V) Tomemos, por ejemplo, un número entero que no esté representado por uno y ceros. 35, o un número entero con una fracción, por ejemplo. 10.7. El logaritmo de tal número no puede ser un número entero, ya que elevando 10 a una potencia con un exponente entero (positivo o negativo), obtenemos 1 con ceros (después de 1 o precediéndolo). Supongamos ahora que el logaritmo de tal número es alguna fracción a / b . entonces tendriamos igualdad
Pero estas igualdades son imposibles, como 10A hay unos con ceros, mientras que los grados 35b Y 10,7b por cualquier medida b No se puede dar 1 seguido de ceros. Esto significa que no podemos permitir registro 35 Y registro 10.7 eran iguales a fracciones. Pero por las propiedades de la función logarítmica sabemos () que todo número positivo tiene un logaritmo; en consecuencia, cada uno de los números 35 y 10,7 tiene su propio logaritmo, y como no puede ser ni un número entero ni un número fraccionario, es un número irracional y, por tanto, no puede expresarse exactamente mediante números. Los logaritmos irracionales suelen expresarse aproximadamente como una fracción decimal con varios decimales. El número entero de esta fracción (incluso si fuera “0 enteros”) se llama característica, y la parte fraccionaria es la mantisa del logaritmo. Si por ejemplo hay un logaritmo 1,5441 , entonces su característica es igual 1 , y la mantisa es 0,5441 .
GRAMO) Tomemos, por ejemplo, algún número entero o mixto. 623 o 623,57 . El logaritmo de tal número consta de una característica y una mantisa. Resulta que los logaritmos decimales tienen la conveniencia de que siempre podemos encontrar sus características por un tipo de número . Para hacer esto, contamos cuántos dígitos hay en un número entero dado, o en una parte entera. numero mixto, En nuestros ejemplos de estos números 3 . Por lo tanto, cada uno de los números 623 Y 623,57 más de 100 pero menos de 1000; esto significa que el logaritmo de cada uno de ellos es mayor iniciar sesión 100, es decir, más 2 , pero menos iniciar sesión 1000, es decir, menos 3 (recuerde que un número mayor también tiene un logaritmo mayor). Por eso, registro 623 = 2,..., Y iniciar sesión 623,57 = 2,... (los puntos reemplazan a las mantisas desconocidas).
Así encontramos:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 registro 56,7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 registro 8634 = 3,... |
Sea en general un número entero dado, o una parte entera de un número mixto dado, que contenga metro números Dado que el entero más pequeño que contiene metro números, si 1 Con metro - 1 ceros al final, entonces (que denota este número norte) podemos escribir las desigualdades:
y por lo tanto
metro - 1 < log N < metro ,
iniciar sesión norte = ( metro- 1) + fracción positiva.
Entonces la característica logN = metro - 1 .
Vemos de esta manera que la característica del logaritmo de un número entero o mixto contiene tantas unidades positivas como dígitos hay en la parte entera del número menos uno.
Habiendo notado esto, podemos escribir directamente:
iniciar sesión 7,205 = 0,...; iniciar sesión 83 = 1,...; registro 720,4 = 2,... etcétera.
d) Tomemos varias fracciones decimales más pequeñas. 1 (es decir, tener 0 entero): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, etcétera.
Así, cada uno de estos logaritmos está contenido entre dos números enteros negativos que difieren en una unidad; por lo tanto, cada uno de ellos es igual al menor de estos números negativos aumentado en alguna fracción positiva. Por ejemplo, log0.0056= -3 + fracción positiva. Supongamos que esta fracción es 0,7482. Entonces significa:
Iniciar sesión 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
cantidades como - 3 + 0,7482 , que consta de un número entero negativo y una fracción decimal positiva, acordamos escribirlo abreviado de la siguiente manera en cálculos logarítmicos: 3 ,7482 (Este número dice: 3 menos, 7482 diezmilésimas.), es decir, ponen un signo menos sobre la característica para mostrar que se refiere sólo a esta característica y no a la mantisa, que sigue siendo positiva. Así, de la tabla anterior se desprende claramente que
iniciar sesión 0,35 == 1,....; registro 0,07 = 2,....; iniciar sesión 0,0008 = 4 ,....
dejar en absoluto 
. hay una fracción decimal en la que antes del primer dígito significativo α
costos metro
ceros, incluido 0 enteros. Entonces es obvio que
- metro < log A < - (metro- 1).
Desde dos números enteros: - metro Y - (metro- 1) hay menos - metro , Eso
iniciar sesión A = - metro+ fracción positiva,
y por lo tanto la característica iniciar sesión A = - metro (con mantisa positiva).
De este modo, la característica del logaritmo de una fracción decimal menor que 1 contiene tantos negativos como ceros en la imagen de la fracción decimal antes del primer dígito significativo, incluidos los números enteros cero; La mantisa de dicho logaritmo es positiva.
mi) Multipliquemos algún número norte(entero o fracción - no importa) por 10, por 100 por 1000..., en general por 1 con ceros. Veamos cómo cambia esto. registro norte. Dado que el logaritmo del producto igual a la suma logaritmos de los factores, entonces
iniciar sesión(N 10) = iniciar sesión N + iniciar sesión 10 = iniciar sesión N + 1;
iniciar sesión(N 100) = iniciar sesión N + iniciar sesión 100 = iniciar sesión N + 2;
iniciar sesión(N 1000) = iniciar sesión N + iniciar sesión 1000 = iniciar sesión N + 3; etc.
Cuando registro norte Agregamos algún número entero, entonces siempre podemos agregar este número a la característica y no a la mantisa.
Entonces, si log N = 2,7804, entonces 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, etc.;
o si log N = 3,5649, entonces 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649, etc.
Cuando se multiplica un número por 10, 100, 1000,..., generalmente por 1 con ceros, la mantisa del logaritmo no cambia, y la característica aumenta en tantas unidades como ceros hay en el factor .
De manera similar, teniendo en cuenta que el logaritmo del cociente es igual al logaritmo del dividendo sin el logaritmo del divisor, obtenemos:
iniciar sesión N / 10 = iniciar sesión N- iniciar sesión 10 = iniciar sesión N -1;
iniciar sesión N / 100 = iniciar sesión N- iniciar sesión 100 = iniciar sesión N -2;
iniciar sesión N / 1000 = iniciar sesión N- iniciar sesión 1000 = iniciar sesión N -3; etcétera.
Si acordamos, al restar un número entero de un logaritmo, restar siempre este número entero de la característica y dejar la mantisa sin cambios, entonces podemos decir:
Dividir un número entre 1 con ceros no cambia la mantisa del logaritmo, pero la característica disminuye en tantas unidades como ceros haya en el divisor.
276. Consecuencias. De la propiedad ( mi) se pueden deducir los dos corolarios siguientes:
A) La mantisa del logaritmo de un número decimal no cambia cuando se mueve a un punto decimal. , porque mover una coma decimal equivale a multiplicar o dividir por 10, 100, 1000, etc. Así, los logaritmos de números:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
difieren sólo en características, pero no en mantisas (siempre que todas las mantisas sean positivas).
b) Las mantisas de números que tienen la misma parte significativa, pero se diferencian sólo por terminar en ceros, son las mismas: Así, los logaritmos de los números: 23, 230, 2300, 23.000 difieren sólo en sus características.
Comentario. De las propiedades indicadas de los logaritmos decimales se desprende claramente que podemos encontrar las características del logaritmo de un número entero y una fracción decimal sin la ayuda de tablas (esta es la gran conveniencia de los logaritmos decimales); como resultado, en las tablas logarítmicas sólo se coloca una mantisa; Además, dado que encontrar logaritmos de fracciones se reduce a encontrar logaritmos de números enteros (logaritmo de una fracción = logaritmo del numerador sin el logaritmo del denominador), las mantisas de logaritmos de solo números enteros se colocan en las tablas.
Capítulo tres.
Diseño y uso de tablas de cuatro dígitos.
277. Sistemas de logaritmos. Un sistema de logaritmos es un conjunto de logaritmos calculados para un número de números enteros consecutivos utilizando la misma base. Se utilizan dos sistemas: el sistema de logaritmos ordinarios o decimales, en el que se toma como base el número 10 , y un sistema de los llamados logaritmos naturales, en el que se toma como base un número irracional (por algunas razones que quedan claras en otras ramas de las matemáticas) 2,7182818 ... Para los cálculos se utilizan logaritmos decimales, debido a la conveniencia que indicamos al enumerar las propiedades de dichos logaritmos.
Los logaritmos naturales también se llaman Neperov en honor al inventor de los logaritmos, un matemático escocés. nepera(1550-1617) y logaritmos decimales: Briggs lleva el nombre del profesor Brigga(un contemporáneo y amigo de Napier), quien fue el primero en compilar tablas de estos logaritmos.
278. Conversión de un logaritmo negativo en uno cuya mantisa sea positiva, y la transformación inversa. Hemos visto que los logaritmos de los números menores que 1 son negativos. Esto significa que constan de una característica negativa y una mantisa negativa. Estos logaritmos siempre se pueden transformar de modo que su mantisa sea positiva, pero la característica sigue siendo negativa. Para hacer esto, basta con agregar uno positivo a la mantisa y uno negativo a la característica (lo que, por supuesto, no cambia el valor del logaritmo).
Si por ejemplo tenemos un logaritmo - 2,0873 , entonces puedes escribir:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
o abreviado:
Por el contrario, cualquier logaritmo con una característica negativa y una mantisa positiva se puede convertir en negativo. Para hacer esto, basta con agregar uno negativo a la mantisa positiva y uno positivo a la característica negativa: entonces, puedes escribir:
279. Descripción de tablas de cuatro dígitos. Para resolver la mayoría de los problemas prácticos, son suficientes tablas de cuatro dígitos, cuyo manejo es muy sencillo. Estas tablas (con la inscripción “logaritmos” en la parte superior) se encuentran al final de este libro, y una pequeña parte de ellas (para explicar la disposición) está impresa en esta página. Contienen mantisas.
Logaritmos.
logaritmos de todos los números enteros de 1 antes 9999 inclusive, calculado con cuatro decimales, incrementando el último de estos decimales en 1 en todos aquellos casos en que el quinto decimal tendría que ser 5 o más de 5; por lo tanto, las tablas de 4 dígitos dan mantisas aproximadas hasta 1 / 2 diezmilésima parte (con deficiencia o exceso).
Dado que podemos caracterizar directamente el logaritmo de un número entero o una fracción decimal, basándonos en las propiedades de los logaritmos decimales, debemos tomar solo las mantisas de las tablas; Al mismo tiempo, debemos recordar que la posición del punto decimal en un número decimal, así como el número de ceros al final del número, no afectan el valor de la mantisa. Por lo tanto, al encontrar la mantisa por numero dado descartamos la coma en este número, así como los ceros al final del mismo, si los hay, y encontramos la mantisa del número entero formado después de esto. Pueden surgir los siguientes casos.
1) Un número entero consta de 3 dígitos. Por ejemplo, digamos que necesitamos encontrar la mantisa del logaritmo del número 536. Los dos primeros dígitos de este número, es decir, 53, se encuentran en las tablas de la primera columna vertical de la izquierda (ver tabla). Habiendo encontrado el número 53, nos movemos desde él a lo largo de una línea horizontal hacia la derecha hasta que esta línea se cruza con una columna vertical que pasa por uno de los números 0, 1, 2, 3,... 9, colocado en la parte superior (y abajo) de la tabla, que es el tercer dígito de un número dado, es decir, en nuestro ejemplo, el número 6. En la intersección obtenemos la mantisa 7292 (es decir, 0,7292), que pertenece al logaritmo del número 536. De manera similar , para el número 508 encontramos la mantisa 0.7059, para el número 500 encontramos 0.6990, etc.
2) Un número entero consta de 2 o 1 dígitos. Luego asignamos mentalmente uno o dos ceros a este número y encontramos la mantisa del número de tres dígitos así formado. Por ejemplo, sumamos un cero al número 51, del cual obtenemos 510 y encontramos la mantisa 7070; al número 5 le asignamos 2 ceros y encontramos la mantisa 6990, etc.
3) Un número entero se expresa en 4 dígitos. Por ejemplo, necesita encontrar la mantisa del log 5436. Luego primero encontramos en las tablas, como se acaba de indicar, la mantisa del número representado por los primeros 3 dígitos de este número, es decir, para 543 (esta mantisa será 7348) ; luego nos movemos desde la mantisa encontrada a lo largo de la línea horizontal hacia la derecha (hacia el lado derecho de la tabla, ubicada detrás de la línea vertical gruesa) hasta que se cruza con la columna vertical que pasa por uno de los números: 1, 2 3,. .. 9, ubicado en la parte superior (y en la parte inferior) de esta parte de la tabla, que representa el cuarto dígito de un número dado, es decir, en nuestro ejemplo, el número 6. En la intersección encontramos la corrección (número 5), que se debe aplicar mentalmente a la mantisa de 7348 para poder obtener la mantisa del número 5436; De esta forma obtenemos la mantisa 0,7353.
4) Un número entero se expresa con 5 o más dígitos. Luego descartamos todos los dígitos excepto los primeros 4, tomamos un número aproximado de cuatro dígitos y aumentamos el último dígito de este número en 1 en ese número. caso en el que el quinto dígito descartado del número es 5 o más que 5. Entonces, en lugar de 57842 tomamos 5784, en lugar de 30257 tomamos 3026, en lugar de 583263 tomamos 5833, etc. Para este número redondeado de cuatro dígitos, encontramos la mantisa como se acaba de explicar.
Guiándonos por estas instrucciones, encontremos, por ejemplo, los logaritmos de los siguientes números:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
En primer lugar, sin recurrir por ahora a las tablas, apuntaremos únicamente las características, dejando espacio para las mantisas, que escribiremos a continuación:
registro 36,5 = 1,.... registro 0,00345 = 3,....
registro 804,7 = 2,.... registro 7,2634 = 0,....
registro 0,26 = 1,.... registro 3456,86 = 3,....
registro 36,5 = 1,5623; registro 0,00345 = 3,5378;
registro 804,7 = 2,9057; registro 7,2634 = 0,8611;
registro 0,26 = 1,4150; Iniciar sesión 3456,86 = 3,5387.
280. Nota. En algunas tablas de cuatro dígitos (por ejemplo, en tablas V. Lorchenko y N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) no se realizan correcciones para el cuarto dígito de este número. Cuando se trata de tablas de este tipo, hay que encontrar estas correcciones mediante un cálculo sencillo que se puede realizar en función de siguiente verdad: si los números exceden 100 y las diferencias entre ellos son menores que 1, entonces sin error sensible se puede suponer que las diferencias entre logaritmos son proporcionales a las diferencias entre los números correspondientes . Supongamos, por ejemplo, que necesitamos encontrar la mantisa correspondiente al número 5367. Esta mantisa, por supuesto, es la misma que la del número 536,7. Encontramos en las tablas para el número 536 la mantisa 7292. Comparando esta mantisa con la mantisa 7300 adyacente a la derecha, correspondiente al número 537, notamos que si el número 536 aumenta en 1, entonces su mantisa aumentará en 8 diez. -milésimas (8 es el llamado diferencia de mesa entre dos mantisas adyacentes); si el número 536 aumenta en 0,7, entonces su mantisa no aumentará en 8 diezmilésimas, sino en algún número menor X diezmilésimas, que, según la proporcionalidad supuesta, deben satisfacer las proporciones:
X :8 = 0,7:1; dónde X = 8 07 = 5,6,
que se redondea a 6 diezmilésimas. Esto significa que la mantisa del número 536,7 (y por tanto del número 5367) será: 7292 + 6 = 7298.
Tenga en cuenta que encontrar un número intermedio usando dos números adyacentes en las tablas se llama interpolación. La interpolación descrita aquí se llama proporcional, ya que se basa en el supuesto de que el cambio en el logaritmo es proporcional al cambio en el número. También se le llama lineal, ya que supone que gráficamente el cambio en una función logarítmica se expresa mediante una línea recta.
281. Límite de error del logaritmo aproximado. Si el número cuyo logaritmo se busca es un número exacto, entonces el límite de error de su logaritmo encontrado en tablas de 4 dígitos se puede, como dijimos en, tomar 1 / 2 diezmilésima parte. Si este número no es exacto, entonces a este límite de error debemos sumarle también el límite de otro error resultante de la inexactitud del propio número. Se ha demostrado (omitimos esta prueba) que dicho límite puede considerarse como el producto
a(d +1) diez milésimas.,
en el cual A es el margen de error para el número más impreciso, suponiendo que su parte entera contiene 3 dígitos,a d diferencia tabular de mantisas correspondientes a dos números consecutivos de tres dígitos entre los cuales se encuentra el número impreciso dado. Así, el límite del error final del logaritmo quedará entonces expresado mediante la fórmula:
1 / 2 + a(d +1) diez milésimas
Ejemplo. Buscar registro π , tomando por π número aproximado 3.14, exacto a 1 / 2 centésimo.
Moviendo la coma después del tercer dígito en el número 3.14, contando desde la izquierda, obtenemos el número de tres dígitos 314, exacto a 1 / 2 unidades; Esto significa que el margen de error para un número inexacto, es decir, lo que denotamos con la letra A , hay 1 / 2 De las tablas encontramos:
registro 3,14 = 0,4969.
diferencia de mesa d entre las mantisas de los números 314 y 315 es igual a 14, por lo que el error del logaritmo encontrado será menor
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 diez milésimas.
Como no sabemos si el logaritmo 0,4969 es deficiente o excesivo, sólo podemos garantizar que el logaritmo exacto π se encuentra entre 0,4969 - 0,0008 y 0,4969 + 0,0008, es decir, 0,4961< log π < 0,4977.
282. Encuentra un número usando un logaritmo dado. Para encontrar un número usando un logaritmo dado, se pueden usar las mismas tablas para encontrar las mantisas de números dados; pero es más conveniente utilizar otras tablas que contengan los llamados antilogaritmos, es decir, números correspondientes a estas mantisas. Estas tablas, indicadas por la inscripción en la parte superior “antilogaritmos”, se encuentran al final de este libro después de las tablas de logaritmos en esta página (para explicación);
Supongamos que le dan una mantisa 2863 de 4 dígitos (no prestamos atención a la característica) y necesita encontrar el número entero correspondiente. Luego, al tener tablas de antilogaritmos, debes usarlas exactamente de la misma manera como se explicó anteriormente para encontrar la mantisa de un número dado, es decir: encontramos los primeros 2 dígitos de la mantisa en la primera columna de la izquierda. Luego nos movemos desde estos números a lo largo de la línea horizontal hacia la derecha hasta que se cruza con la columna vertical proveniente del 3er dígito de la mantisa, que hay que buscar en la línea superior (o inferior). En la intersección encontramos el número de cuatro dígitos 1932, correspondiente a la mantisa 286. Luego de este número avanzamos a lo largo de la línea horizontal hacia la derecha hasta la intersección con la columna vertical que viene del cuarto dígito de la mantisa, que debe se encuentra arriba (o abajo) entre los números 1, 2 colocados allí, 3,... 9. En la intersección encontramos la corrección 1, que debe aplicarse (mentalmente) al número 1032 encontrado anteriormente para ordenar para obtener el número correspondiente a la mantisa 2863.
Por lo tanto, el número será 1933. Después de esto, prestando atención a la característica, es necesario poner ocupado en el lugar apropiado en el número 1933. Por ejemplo:
Si registro X = 3.2863, entonces X = 1933,
„ registro x = 1,2863, „ X = 19,33,
, registro X = 0,2&63, „ X = 1,933,
„ registro X = 2 ,2863, „ X = 0,01933
Aquí hay más ejemplos:
registro X = 0,2287, X = 1,693,
registro X = 1 ,7635, X = 0,5801,
registro X = 3,5029, X = 3184,
registro X = 2 ,0436, X = 0,01106.
Si la mantisa contiene 5 o más dígitos, entonces tomamos solo los primeros 4 dígitos, descartando el resto (y aumentando el cuarto dígito en 1 si el quinto dígito tiene cinco o más). Por ejemplo, en lugar de la mantisa 35478 tomamos 3548, en lugar de 47562 tomamos 4756.
283. Nota. La corrección para el cuarto dígito y siguientes de la mantisa también se puede encontrar mediante interpolación. Entonces, si la mantisa es 84357, entonces, habiendo encontrado el número 6966, correspondiente a la mantisa 843, podemos razonar de la siguiente manera: si la mantisa aumenta en 1 (milésima), es decir, da 844, entonces el número, como como se puede observar en las tablas, aumentará en 16 unidades; si la mantisa aumenta no en 1 (milésima), sino en 0,57 (milésima), entonces el número aumentará en X unidades, y X debe satisfacer las proporciones:
X : 16 = 0,57: 1, de donde x = 16 0,57 = 9,12.
Esto significa que el número requerido será 6966+ 9,12 = 6975,12 o (limitado a solo cuatro dígitos) 6975.
284. Límite de error del número encontrado. Se ha demostrado que en el caso de que en el número encontrado la coma esté después del tercer dígito desde la izquierda, es decir, cuando la característica del logaritmo es 2, la suma se puede tomar como límite de error.
Dónde A es el límite de error del logaritmo (expresado en diezmilésimas) por el cual se encontró el número, y d - la diferencia entre las mantisas de dos números consecutivos de tres dígitos entre las cuales se encuentra el número encontrado (con una coma después del tercer dígito desde la izquierda). Cuando la característica no es 2, sino alguna otra, entonces en el número encontrado habrá que mover la coma hacia la izquierda o hacia la derecha, es decir, dividir o multiplicar el número por alguna potencia de 10. En este caso, el error del resultado también se dividirá o multiplicará por la misma potencia de 10.
Por ejemplo, busquemos un número usando el logaritmo. 1,5950 , que se sabe que tiene una precisión de 3 diezmilésimas; eso significa entonces A = 3 . El número correspondiente a este logaritmo, encontrado en la tabla de antilogaritmos, es 39,36 . Moviendo la coma después del tercer dígito desde la izquierda, tenemos el número 393,6 , consistente entre 393 Y 394 . De las tablas de logaritmos vemos que la diferencia entre las mantisas correspondientes a estos dos números es 11 diez milésimas; Medio d = 11 . El error del número 393.6 será menor.
Esto significa que el error en el número 39,36 habrá menos 0,05 .
285. Operaciones sobre logaritmos con características negativas. Sumar y restar logaritmos no presenta ninguna dificultad, como se puede ver en siguientes ejemplos:
Tampoco es difícil multiplicar el logaritmo por un número positivo, por ejemplo:
En el último ejemplo, la mantisa positiva se multiplica por separado por 34, luego característica negativa a los 34.
Si el logaritmo de una característica negativa y una mantisa positiva se multiplica por un número negativo, entonces se procede de dos maneras: o el logaritmo dado se vuelve negativo primero, o la mantisa y la característica se multiplican por separado y los resultados se combinan, por ejemplo :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Al dividir se pueden presentar dos casos: 1) la característica negativa se divide y 2) no es divisible por un divisor. En el primer caso, la característica y la mantisa se separan por separado:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
En el segundo caso, a la característica se le suman tantas unidades negativas que el número resultante se divide por el divisor; Se suma el mismo número de unidades positivas a la mantisa:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
Esta transformación debe realizarse en la mente, por lo que la acción es la siguiente:
286. Reemplazar logaritmos restados por términos. Al calcular alguna expresión compleja usando logaritmos, hay que sumar algunos logaritmos y restar otros; en este caso, en la forma habitual de realizar acciones, encuentran por separado la suma de los logaritmos sumados, luego la suma de los restados y restan el segundo de la primera suma. Por ejemplo, si tenemos:
registro X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
entonces la ejecución habitual de acciones se verá así:
Sin embargo, es posible sustituir la resta por la suma. Entonces:
Ahora puedes organizar el cálculo de esta manera:
287. Ejemplos de cálculos.
Ejemplo 1. Evaluar expresión:
Si A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Y D = 7,246.
Tomemos un logaritmo de esta expresión:
registro X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
Ahora bien, para evitar pérdidas de tiempo innecesarias y reducir la posibilidad de errores, en primer lugar ordenaremos todos los cálculos sin ejecutarlos por ahora y, por tanto, sin consultar las tablas:
Después de esto, tomamos las tablas y ponemos logaritmos en el resto. plazas libres:
Límite de errores. Primero, encontremos el límite de error del número. X 1 = 194,5 , igual a:
Entonces, primero que nada necesitas encontrar A , es decir, el límite de error del logaritmo aproximado, expresado en diezmilésimas. Supongamos que estos números A B C Y D todos son precisos. Entonces los errores en logaritmos individuales serán los siguientes (en diezmilésimas):
V registroA.......... 1 / 2
V 1/3 registro A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 agregado porque al dividir por 3 logaritmos de 1.9146, redondeamos el cociente descartando su quinto dígito y, por lo tanto, cometimos un error aún menor 1 / 2 diezmilésima).
Ahora encontramos el límite de error del logaritmo:
A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (diez milésimas).
Definamos mejor d . Porque X 1 = 194,5 , luego 2 números enteros consecutivos entre los cuales se encuentra X 1 voluntad 194 Y 195 . diferencia de mesa d entre las mantisas correspondientes a estos números es igual a 22 . Esto significa que el límite de error del número es X 1 Hay:
Porque X = X 1 : 10, entonces el límite de error en el número X es igual 0,3:10 = 0,03 . Así, el número que encontramos 19,45 difiere del número exacto en menos de 0,03 . Como no sabemos si nuestra aproximación se encontró con una deficiencia o con un exceso, sólo podemos garantizar que
19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , es decir.
19,48 > X > 19,42 ,
y por lo tanto, si aceptamos X =19,4 , entonces tendremos una aproximación con desventaja con una precisión de hasta 0,1.
Ejemplo 2. Calcular:
X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Como los números negativos no tienen logaritmos, primero encontramos:
X" = (2,31) 3 5 √72
por descomposición:
registro X"= 3 registro 2,31 + 1/5 registro 72.
Después del cálculo resulta:
X" = 28,99 ;
por eso,
X = - 28,99 .
Ejemplo 3. Calcular:
Aquí no se puede utilizar la logaritmización continua, ya que el signo de la raíz es c u m m a. EN casos similares Calcular la fórmula por partes.
primero encontramos norte = 5 √8 , Entonces norte 1 = 4 √3 ; luego por simple suma determinamos norte+ norte 1 , y finalmente calculamos 3 √norte+ norte 1 ; resulta:
N=1.514, norte 1 = 1,316 ; norte+ norte 1 = 2,830 .
registro X= Iniciar sesión 3 √ 2,830 = 1 / 3 registro 2.830 = 0,1506 ;
X = 1,415 .
Capítulo cuatro.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
288. Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita está incluida en el exponente, y logarítmico- aquellos en los que lo desconocido entra bajo el signo registro. Estas ecuaciones sólo pueden resolverse en casos especiales, y hay que confiar en las propiedades de los logaritmos y en el principio de que si los números son iguales, entonces sus logaritmos son iguales y, a la inversa, si los logaritmos son iguales, entonces los correspondientes los números son iguales.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación: 2 X = 1024 .
Hagamos logaritmos en ambos lados de la ecuación:
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación: a 2x - a X = 1 . Poniendo a X = en , obtenemos ecuación cuadrática:
y 2 - en - 1 = 0 ,
Porque 1-√5 < 0 , entonces la última ecuación es imposible (función a X siempre hay un número positivo), y el primero da:
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación:
registro( a+x) + iniciar sesión ( b+x) = iniciar sesión ( c+x) .
La ecuación se puede escribir así:
registro [( a+x) (b+x)] = iniciar sesión ( c+x) .
De la igualdad de logaritmos concluimos que los números son iguales:
(a+x) (b+x) = c+x .
Se trata de una ecuación cuadrática cuya solución no es difícil.
Capítulo Cinco.
Interés compuesto, pagos a plazo y pagos a plazo.
289. Problema básico sobre interés compuesto.¿A cuánto se convertirá el capital? A rublos, dados en crecimiento en R interés compuesto, después t años ( t - número entero)?
Dicen que el capital se paga a interés compuesto si se tiene en cuenta el llamado “interés sobre intereses”, es decir, si el dinero de los intereses adeudados sobre el capital se suma al capital al final de cada año para aumentar con interés en los años siguientes.
Cada rublo de capital regalado. R %, generará ganancias dentro de un año pag / 100 rublo y, por lo tanto, cada rublo de capital en 1 año se convertirá en 1 + pag / 100 rublo (por ejemplo, si el capital se da en 5 %, entonces cada rublo en un año se convertirá en 1 + 5 / 100 , es decir, en 1,05 rublo).
Por brevedad, denota la fracción. pag / 100 con una letra, por ejemplo, r , podemos decir que cada rublo de capital en un año se convertirá en 1 + r rublos; por eso, A Los rublos se devolverán en 1 año. A (1 + r ) frotar. Después de otro año, es decir, 2 años desde el inicio del crecimiento, cada rublo de estos A (1 + r ) frotar. contactaré nuevamente 1 + r frotar.; Esto significa que todo el capital se convertirá en A (1 + r ) 2 frotar. De la misma manera encontramos que después de tres años el capital será A (1 + r ) 3 , en cuatro años será A (1 + r ) 4 ,... generalmente a través de t años si t es un número entero, se convertirá en A (1 + r ) t frotar. Así, denotando por A capital final, tendremos la siguiente fórmula de interés compuesto:
A = A (1 + r ) t Dónde r = pag / 100 .
Ejemplo. Dejar a =2.300 rublos, pag = 4, t=20 años; entonces la fórmula da:
r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2.300 (1,04) 20.
Calcular A, usamos logaritmos:
registro a = registro 2 300 + 20 registro 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.
Un = 5031 rublo.
Comentario. En este ejemplo tuvimos que registro 1.04 multiplicar por 20 . Desde el número 0,0170 hay un valor aproximado registro 1.04 hasta 1 / 2 diezmilésima parte, entonces el producto de este número por 20 Definitivamente solo será hasta 1 / 2 20, es decir, hasta 10 diezmilésimas = 1 milésima. Por lo tanto en total 3,7017 No podemos dar fe no sólo del número de diezmilésimas, sino también del número de milésimas. Para obtener una mayor precisión en tales casos, es mejor para el número 1 + r tomar logaritmos no de 4 dígitos, sino con un número grande números, por ej. 7 dígitos. Para ello presentamos aquí una pequeña tabla en la que se escriben logaritmos de 7 cifras para los valores más habituales. R .
290. La tarea principal es la de pagos urgentes. alguien tomó A rublos por R % con la condición de pagar la deuda, junto con los intereses adeudados sobre la misma, en t años, pagando la misma cantidad al final de cada año. ¿Cuál debería ser esta cantidad?
Suma X , pagado anualmente en tales condiciones, se denomina pago urgente. Denotemos nuevamente por la letra. r dinero de interés anual de 1 rub., es decir, el número pag / 100 . Luego, al final del primer año, la deuda A aumenta a A (1 + r ), pago básico X costará rublos A (1 + r )-X .
Al final del segundo año, cada rublo de esta cantidad volverá a convertirse en 1 + r rublos y, por tanto, la deuda será [ A (1 + r )-X ](1 + r ) = A (1 + r ) 2 - X (1 + r ), y para el pago X Los rublos serán: A (1 + r ) 2 - X (1 + r ) - X . De la misma manera nos aseguraremos que al final del 3er año la deuda esté
A (1 + r ) 3 - X (1 + r ) 2 - X (1 + r ) - X ,
y en general y al final t año será:
A (1 + r ) t - X (1 + r ) -1 - X (1 + r ) t-2 ... - X (1 + r ) - X , o
A (1 + r ) t - X [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t-2 + (1 + r ) -1 ]
El polinomio dentro del paréntesis representa la suma de los términos de una progresión geométrica; que tiene el primer miembro 1 , último ( 1 + r ) -1, y el denominador ( 1 + r ). Usando la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica (Sección 10 Capítulo 3 § 249) encontramos:
y el monto de la deuda después t -ésimo pago será:
Según las condiciones del problema, la deuda está al final. t -ésimo año debe ser igual a 0 ; Es por eso:
dónde
Al calcular esto fórmulas de pago urgente usando logaritmos primero debemos encontrar el número auxiliar norte = (1 + r ) t por logaritmo: iniciar sesión N= t iniciar sesión(1+ r) ; haber encontrado norte, le restamos 1, luego obtenemos el denominador de la fórmula para X, después de lo cual encontramos por logaritmo secundario:
registro X= iniciar sesión a+ Iniciar sesión norte + Iniciar sesión r - Iniciar sesión (norte - 1).
291. La tarea principal de las contribuciones a plazo. Alguien deposita la misma cantidad en el banco al comienzo de cada año. A frotar. Determine qué capital se formará a partir de estos aportes después t años si el banco paga R interés compuesto.
Diseñado por r dinero de interés anual de 1 rublo, es decir pag / 100 , razonamos así: al final del primer año el capital será A (1 + r );
al inicio del segundo año se sumará a esta cantidad A rublos; esto significa que en este momento el capital será A (1 + r ) + a . Al final del segundo año será A (1 + r ) 2 + un (1 + r );
al inicio del 3er año se ingresa nuevamente A rublos; esto significa que en este momento habrá capital A (1 + r ) 2 + un (1 + r ) + A ; al final del 3 estará A (1 + r ) 3 + un (1 + r ) 2 + un (1 + r ) Continuando con estos argumentos, encontramos que al final t año el capital requerido A voluntad:
Esta es la fórmula para las aportaciones a plazo realizadas al inicio de cada año.
La misma fórmula se puede obtener mediante el siguiente razonamiento: pago inicial a A rublos mientras en el banco t años, se convertirá, según la fórmula del interés compuesto, en A (1 + r ) t frotar. La segunda cuota, al estar en el banco un año menos, es decir t - 1 años, contacto A (1 + r ) t-1 frotar. Asimismo, la tercera entrega dará A (1 + r ) t-2 etc., y finalmente la última cuota, al haber estado en el banco solo 1 año, irá a parar a A (1 + r ) frotar. Esto significa el capital final. A frotar. voluntad:
A= A (1 + r ) t + A (1 + r ) t-1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ),
que, después de la simplificación, da la fórmula que se encuentra arriba.
Al calcular utilizando los logaritmos de esta fórmula, se debe proceder de la misma manera que al calcular la fórmula para pagos urgentes, es decir, primero encuentre el número N = ( 1 + r ) t por su logaritmo: iniciar sesión N= t registro(1 + r ), entonces el número N-1 y luego tomamos un logaritmo de la fórmula:
registro A = registro a+registro(1+ r) + iniciar sesión (norte - 1) - 1ogr
Comentario. Si una contribución urgente a A frotar. no se realizó al principio, sino al final de cada año (como, por ejemplo, se realiza un pago urgente X para saldar la deuda), luego, razonando de manera similar al anterior, encontramos que al final t año el capital requerido A" frotar. será (incluyendo la última cuota A frotar., sin devengar intereses):
A"= A (1 + r ) t-1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ) + A
que es igual a:
es decir. A" termina en ( 1 + r ) veces menos A, lo cual era de esperar, ya que cada rublo de capital A" permanece en el banco durante un año menos que el rublo de capital correspondiente A.
Instrucciones
Escribe la expresión logarítmica dada. Si la expresión usa el logaritmo de 10, entonces su notación se acorta y queda así: lg b es el logaritmo decimal. Si el logaritmo tiene el número e como base, entonces escribe la expresión: ln b – logaritmo natural. Se entiende que el resultado de any es la potencia a la que se debe elevar el número base para obtener el número b.
Al encontrar la suma de dos funciones, simplemente necesitas diferenciarlas una por una y sumar los resultados: (u+v)" = u"+v";
Para encontrar la derivada del producto de dos funciones, es necesario multiplicar la derivada de la primera función por la segunda y sumar la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Para encontrar la derivada del cociente de dos funciones, es necesario restar del producto de la derivada del dividendo multiplicada por la función divisora el producto de la derivada del divisor multiplicada por la función del dividendo y dividir todo esto mediante la función divisora al cuadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
si se da función compleja, entonces es necesario multiplicar la derivada de la función interna y la derivada de la externa. Sea y=u(v(x)), entonces y"(x)=y"(u)*v"(x).
Utilizando los resultados obtenidos anteriormente, puedes diferenciar casi cualquier función. Así que veamos algunos ejemplos:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
También existen problemas relacionados con el cálculo de la derivada en un punto. Deje que se dé la función y=e^(x^2+6x+5), necesita encontrar el valor de la función en el punto x=1.
1) Encuentra la derivada de la función: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Calcular el valor de la función en Punto dado y"(1)=8*e^0=8
Vídeo sobre el tema.
Aprende la tabla de derivadas elementales. Esto ahorrará mucho tiempo.
Fuentes:
- derivada de una constante
Entonces, ¿cuál es la diferencia entre una ecuación irracional y una racional? Si la variable desconocida está bajo el signo raíz cuadrada, entonces la ecuación se considera irracional.
Instrucciones
El método principal para resolver tales ecuaciones es el método de construir ambos lados. ecuaciones en un cuadrado. Sin embargo. Esto es natural, lo primero que debes hacer es deshacerte del letrero. Este método no es técnicamente difícil, pero a veces puede ocasionar problemas. Por ejemplo, la ecuación es v(2x-5)=v(4x-7). Al elevar al cuadrado ambos lados se obtiene 2x-5=4x-7. Resolver tal ecuación no es difícil; x=1. Pero el número 1 no se dará. ecuaciones. ¿Por qué? Sustituye uno en la ecuación en lugar del valor de x. Y los lados derecho e izquierdo contendrán expresiones que no tienen sentido. Este valor no es válido para una raíz cuadrada. Por lo tanto 1 es una raíz extraña y por lo tanto ecuación dada no tiene raíces.
Entonces, una ecuación irracional se resuelve usando el método de elevar al cuadrado ambos lados. Y una vez resuelta la ecuación, es necesario cortar las raíces extrañas. Para hacer esto, sustituye las raíces encontradas en la ecuación original.
Considere otro.
2х+vх-3=0
Por supuesto, esta ecuación se puede resolver usando la misma ecuación que la anterior. Mover compuestos ecuaciones, que no tienen raíz cuadrada, hacia el lado derecho y luego usa el método de elevar al cuadrado. resuelva la ecuación racional resultante y las raíces. Pero también otro más elegante. Ingrese una nueva variable; vх=y. En consecuencia, recibirá una ecuación de la forma 2y2+y-3=0. Es decir, una ecuación cuadrática ordinaria. Encuentra sus raíces; y1=1 y y2=-3/2. A continuación, resuelve dos ecuaciones vх=1; vх=-3/2. La segunda ecuación no tiene raíces; de la primera encontramos que x=1. No olvides revisar las raíces.
Resolver identidades es bastante sencillo. Para ello es necesario realizar transformaciones idénticas hasta conseguir el objetivo marcado. Así, con la ayuda de sencillas operaciones aritméticas, se resolverá la tarea que nos ocupa.
Necesitará
- - papel;
- - bolígrafo.
Instrucciones
Las más simples de estas transformaciones son las multiplicaciones algebraicas abreviadas (como el cuadrado de la suma (diferencia), la diferencia de cuadrados, la suma (diferencia), el cubo de la suma (diferencia)). Además, hay muchos fórmulas trigonométricas, que son esencialmente las mismas identidades.
En efecto, el cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo y más el cuadrado del segundo, es decir, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Simplifica ambos
Principios generales de la solución.
Repita de un libro de texto sobre análisis matemático o matemáticas superiores qué es una integral definida. Como se sabe, la solución integral definida hay una función cuya derivada da un integrando. Esta función se llama antiderivada. Con base en este principio, se construyen las integrales principales.Determine por la forma del integrando cuál de las integrales de la tabla encaja en en este caso. No siempre es posible determinar esto de inmediato. A menudo, la forma tabular se vuelve perceptible sólo después de varias transformaciones para simplificar el integrando.
Método de reemplazo variable
Si la función integrando es Funcion trigonometrica, cuyo argumento contiene algún polinomio, intente utilizar el método de reemplazo de variables. Para hacer esto, reemplace el polinomio en el argumento del integrando con alguna variable nueva. Con base en la relación entre las variables nuevas y antiguas, determine los nuevos límites de integración. Al derivar esta expresión, encuentre el nuevo diferencial en . Entonces obtendrás el nuevo tipo de la integral anterior, cercana o incluso correspondiente a cualquier tabular.Resolver integrales de segundo tipo.
Si la integral es una integral del segundo tipo, una forma vectorial del integrando, entonces necesitarás usar las reglas para la transición de estas integrales a las escalares. Una de esas reglas es la relación Ostrogradsky-Gauss. Esta ley nos permite pasar del flujo del rotor de una determinada función vectorial a la integral triple sobre la divergencia de un campo vectorial determinado.Sustitución de límites de integración
Después de encontrar la primitiva, es necesario sustituir los límites de integración. Primero, sustituye el valor del límite superior en la expresión de la antiderivada. Obtendrás algún número. Luego, reste del número resultante otro número obtenido del límite inferior en la primitiva. Si uno de los límites de integración es el infinito, entonces al sustituirlo en la función antiderivada, es necesario ir al límite y encontrar a qué tiende la expresión.Si la integral es bidimensional o tridimensional, entonces tendrás que representar geométricamente los límites de integración para entender cómo evaluar la integral. De hecho, en el caso de, digamos, una integral tridimensional, los límites de integración pueden ser planos enteros que limitan el volumen que se integra.
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Expresiones logarítmicas, resolución de ejemplos. En este artículo veremos problemas relacionados con la resolución de logaritmos. Las tareas plantean la cuestión de encontrar el significado de una expresión. Cabe señalar que el concepto de logaritmo se utiliza en muchas tareas y comprender su significado es sumamente importante. En cuanto al Examen Estatal Unificado, el logaritmo se utiliza en la resolución de ecuaciones, en problemas aplicados y también en tareas relacionadas con el estudio de funciones.
Pongamos ejemplos para entender el significado mismo del logaritmo:
Identidad logarítmica básica:
Propiedades de los logaritmos que siempre hay que recordar:
*El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
* * *
*El logaritmo de un cociente (fracción) es igual a la diferencia entre los logaritmos de los factores.
* * *
*El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de su base.
* * *
*Transición a una nueva fundación
* * *
Más propiedades:
* * *
El cálculo de logaritmos está estrechamente relacionado con el uso de propiedades de los exponentes.
Enumeremos algunos de ellos:
La esencia de esta propiedad es que cuando el numerador se transfiere al denominador y viceversa, el signo del exponente cambia al opuesto. Por ejemplo:
Un corolario de esta propiedad:
* * *
Al elevar una potencia a una potencia, la base sigue siendo la misma, pero los exponentes se multiplican.
* * *
Como has visto, el concepto de logaritmo en sí es simple. Lo principal es que necesitas una buena práctica, que te dé cierta habilidad. Por supuesto, se requiere conocimiento de fórmulas. Si no se ha desarrollado la habilidad de convertir logaritmos elementales, al resolver problemas simples es fácil cometer un error.
Practica, resuelve primero los ejemplos más simples del curso de matemáticas y luego pasa a los más complejos. En el futuro definitivamente mostraré cómo se resuelven los logaritmos “feos”; estos no aparecerán en el Examen Estatal Unificado, pero son interesantes, ¡no te los pierdas!
¡Eso es todo! ¡Buena suerte para ti!
Atentamente, Alexander Krutitskikh
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.