Cómo encontrar el área debajo de una gráfica. Integral definida. Cómo calcular el área de una figura

16.10.2019

En la sección anterior, dedicada al análisis del significado geométrico de una integral definida, obtuvimos una serie de fórmulas para calcular el área. trapecio curvo:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x para una función continua y no negativa y = f (x) en el intervalo [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x para una función continua y no positiva y = f (x) en el intervalo [ a ; b ] .

Estas fórmulas son aplicables para resolver tareas simples. En realidad, muchas veces tendremos que trabajar con figuras más complejas. En este sentido, dedicaremos esta sección a un análisis de algoritmos para calcular el área de figuras que están limitadas por funciones en forma explícita, es decir como y = f(x) o x = g(y).

Teorema

Sean las funciones y = f 1 (x) e y = f 2 (x) definidas y continuas en el intervalo [ a ; b ] y f 1 (x) ≤ f 2 (x) para cualquier valor x de [ a ; b ] . Entonces la fórmula para calcular el área de la figura G, delimitada por las líneas x = a, x = b, y = f 1 (x) e y = f 2 (x) se verá así S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Una fórmula similar será aplicable para el área de una figura delimitada por las rectas y = c, y = d, x = g 1 (y) y x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Prueba

Veamos tres casos para los que la fórmula será válida.

En el primer caso, teniendo en cuenta la propiedad de aditividad del área, la suma de las áreas de la figura original G y el trapezoide curvilíneo G1 es igual al área de la figura G2. Esto significa que

Por lo tanto, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Podemos realizar la última transición usando la tercera propiedad de la integral definida.

En el segundo caso, la igualdad es verdadera: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

La ilustración gráfica se verá así:

Si ambas funciones no son positivas, obtenemos: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . La ilustración gráfica se verá así:

Pasemos a considerar el caso general cuando y = f 1 (x) e y = f 2 (x) se cruzan con el eje O x.

Denotamos los puntos de intersección como x i, i = 1, 2, . . . , norte - 1 . Estos puntos dividen el segmento [a; b ] en n partes x i - 1 ; x yo, yo = 1, 2, . . . , n, donde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Por eso,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a segundo f 2 (x) - f 1 (x) d x

Podemos hacer la última transición usando la quinta propiedad de la integral definida.

Ilustremos el caso general en el gráfico.

La fórmula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x puede considerarse probada.

Pasemos ahora a analizar ejemplos de cálculo del área de figuras que están limitadas por las rectas y = f (x) y x = g (y).

Comenzaremos nuestra consideración de cualquiera de los ejemplos construyendo una gráfica. La imagen nos permitirá representar figuras complejas cómo combinar más figuras simples. Si construir gráficas y figuras sobre ellas le causa dificultades, puede estudiar la sección sobre funciones elementales básicas, transformación geométrica de gráficas de funciones y también construir gráficas mientras estudia una función.

Ejemplo 1

Es necesario determinar el área de la figura, que está limitada por la parábola y = - x 2 + 6 x - 5 y las rectas y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Solución

Dibujemos las líneas en la gráfica en el sistema de coordenadas cartesiano.

En el segmento [ 1 ; 4 ] la gráfica de la parábola y = - x 2 + 6 x - 5 se encuentra encima de la recta y = - 1 3 x - 1 2. En este sentido, para obtener la respuesta utilizamos la fórmula obtenida anteriormente, así como el método de cálculo de la integral definida mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Respuesta: S(G) = 13

Veamos un ejemplo más complejo.

Ejemplo 2

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las rectas y = x + 2, y = x, x = 7.

Solución

EN en este caso solo tenemos una recta paralela al eje x. Esto es x = 7. Esto requiere que encontremos nosotros mismos el segundo límite de la integración.

Construyamos un gráfico y tracemos en él las líneas dadas en el planteamiento del problema.

Teniendo la gráfica frente a nuestros ojos, podemos determinar fácilmente que el límite inferior de integración será la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la recta y = x y la semiparábola y = x + 2. Para encontrar la abscisa usamos las igualdades:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Resulta que la abscisa del punto de intersección es x = 2.

Llamamos su atención sobre el hecho de que en ejemplo general en el dibujo, las líneas y = x + 2, y = x se cruzan en el punto (2; 2), por lo que estos cálculos detallados pueden parecer innecesarios. Trajimos esto aquí solución detallada solo porque hay mas casos difíciles La solución puede no ser tan obvia. Esto significa que siempre es mejor calcular analíticamente las coordenadas de la intersección de líneas.

En el intervalo [ 2 ; 7] la gráfica de la función y = x se encuentra encima de la gráfica de la función y = x + 2. Apliquemos la fórmula para calcular el área:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Respuesta: S (G) = 59 6

Ejemplo 3

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las gráficas de las funciones y = 1 x e y = - x 2 + 4 x - 2.

Solución

Tracemos las líneas en el gráfico.

Definamos los límites de la integración. Para hacer esto, determinamos las coordenadas de los puntos de intersección de las líneas igualando las expresiones 1 x y - x 2 + 4 x - 2. Siempre que x no sea cero, la igualdad 1 x = - x 2 + 4 x - 2 se vuelve equivalente a la ecuación de tercer grado - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 con coeficientes enteros. Para refrescar su memoria sobre el algoritmo para resolver este tipo de ecuaciones, podemos consultar la sección "Resolución de ecuaciones cúbicas".

La raíz de esta ecuación es x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dividiendo la expresión - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 por el binomio x - 1, obtenemos: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Podemos encontrar las raíces restantes a partir de la ecuación x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Encontramos el intervalo x ∈ 1; 3 + 13 2, en el que la cifra G está contenida encima de la línea azul y debajo de la roja. Esto nos ayuda a determinar el área de la figura:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Respuesta: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Ejemplo 4

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las curvas y = x 3, y = - log 2 x + 1 y el eje de abscisas.

Solución

Tracemos todas las líneas en el gráfico. Podemos obtener la gráfica de la función y = - log 2 x + 1 a partir de la gráfica y = log 2 x si la colocamos simétricamente con respecto al eje x y la movemos una unidad hacia arriba. La ecuación del eje x es y = 0.

Marquemos los puntos de intersección de las líneas.

Como se puede ver en la figura, las gráficas de las funciones y = x 3 e y = 0 se cruzan en el punto (0; 0). Esto sucede porque x = 0 es la única raíz real de la ecuación x 3 = 0.

x = 2 es la única raíz de la ecuación - log 2 x + 1 = 0, por lo que las gráficas de las funciones y = - log 2 x + 1 e y = 0 se cruzan en el punto (2; 0).

x = 1 es la única raíz de la ecuación x 3 = - log 2 x + 1 . En este sentido, las gráficas de las funciones y = x 3 e y = - log 2 x + 1 se cruzan en el punto (1; 1). La última afirmación puede no ser obvia, pero la ecuación x 3 = - log 2 x + 1 no puede tener más de una raíz, ya que la función y = x 3 es estrictamente creciente y la función y = - log 2 x + 1 es estrictamente decreciente.

La solución adicional implica varias opciones.

Opción 1

Podemos imaginar la figura G como la suma de dos trapecios curvilíneos ubicados sobre el eje x, el primero de los cuales se encuentra debajo línea media en el segmento x ∈ 0; 1, y el segundo está debajo de la línea roja en el segmento x ∈ 1; 2. Esto significa que el área será igual a S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opción número 2

La figura G se puede representar como la diferencia de dos figuras, la primera de las cuales se ubica encima del eje x y debajo de la línea azul en el segmento x ∈ 0; 2, y el segundo entre las líneas roja y azul en el segmento x ∈ 1; 2. Esto nos permite encontrar el área de la siguiente manera:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

En este caso, para encontrar el área tendrás que usar una fórmula de la forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De hecho, las líneas que delimitan la figura se pueden representar como funciones del argumento y.

Resolvamos las ecuaciones y = x 3 y - log 2 x + 1 con respecto a x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obtenemos el área requerida:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 en 2 - 0 4 4 = - 1 en 2 - 1 4 + 2 en 2 = 1 en 2 - 1 4

Respuesta: S (G) = 1 en 2 - 1 4

Ejemplo 5

Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las líneas y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Solución

Con una línea roja trazamos la recta definida por la función y = x. Dibujamos la recta y = - 1 2 x + 4 en azul y la recta y = 2 3 x - 3 en negro.

Marquemos los puntos de intersección.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas de las funciones y = x e y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Comprueba: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 no ¿Es la solución de la ecuación x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 es la solución de la ecuación ⇒ (4; 2) punto de intersección i y = x e y = - 1 2 x + 4

Encontremos el punto de intersección de las gráficas de las funciones y = x e y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Comprueba: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 es la solución de la ecuación ⇒ (9 ; 3) punto a s y = x e y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 No hay solución para la ecuación

Encontremos el punto de intersección de las rectas y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punto de intersección y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3

Método número 1

Imaginemos el área de la figura deseada como la suma de las áreas de figuras individuales.

Entonces el área de la figura es:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Método número 2

El área de la figura original se puede representar como la suma de otras dos figuras.

Luego resolvemos la ecuación de la recta con respecto a x, y solo después aplicamos la fórmula para calcular el área de la figura.

y = x ⇒ x = y 2 línea roja y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 línea negra y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Entonces el área es:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Como puedes ver, los valores son los mismos.

Respuesta: S (G) = 11 3

Resultados

Para encontrar el área de una figura limitada por líneas dadas, necesitamos construir líneas en un plano, encontrar sus puntos de intersección y aplicar la fórmula para encontrar el área. En esta sección, examinamos las variantes de tareas más comunes.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

Comenzamos a considerar el proceso real de calcular la integral doble y nos familiarizamos con su significado geométrico.

Integral doble numéricamente igual al área figura plana (región de integración). Este la forma mas simple Integral doble, cuando la función de dos variables es igual a uno: .

Consideremos primero el problema en vista general. ¡Ahora te sorprenderá lo sencillo que es todo! Calculemos el área de una figura plana delimitada por líneas. Para ser más precisos, asumimos que en el segmento . El área de esta figura es numéricamente igual a:

Representemos el área en el dibujo:

Elijamos la primera forma de atravesar el área:

De este modo:

E inmediatamente importante técnica técnica: las integrales iteradas se pueden calcular por separado. Primero la integral interior, luego la integral exterior. Este método Lo recomiendo ampliamente a principiantes en el tema.

1) Calculemos la integral interna, y la integración se realiza sobre la variable “y”:

La integral indefinida aquí es la más simple, y luego se usa la fórmula banal de Newton-Leibniz, con la única diferencia de que Los límites de la integración no son números, sino funciones.. Primero, sustituimos el límite superior en “y” (función antiderivada), luego el límite inferior

2) El resultado obtenido en el primer párrafo deberá sustituirse en la integral externa:

Una representación más compacta de toda la solución se ve así:

La fórmula resultante - eso es exactamente fórmula de trabajo¡Para calcular el área de una figura plana usando la integral definida "ordinaria"! Mira la lección Calcular el área usando una integral definida¡Ahí está ella a cada paso!

Eso es, problema de calcular el área usando integral doble no muy diferente del problema de encontrar el área usando una integral definida! De hecho, ¡es lo mismo!

¡En consecuencia, no deberían surgir dificultades! No miraré muchos ejemplos, ya que usted, de hecho, se ha enfrentado repetidamente a esta tarea.

Ejemplo 9

Solución: Representemos el área en el dibujo:

Elijamos el siguiente orden de recorrido del área:

Aquí y más no me detendré en cómo atravesar la zona, ya que en el primer párrafo se dan explicaciones muy detalladas.

De este modo:

Como ya señalé, es mejor para los principiantes calcular las integrales iteradas por separado, y yo seguiré el mismo método:

1) Primero, usando la fórmula de Newton-Leibniz, nos ocupamos de la integral interna:

2) El resultado obtenido en el primer paso se sustituye en la integral externa:

En realidad, el punto 2 consiste en encontrar el área de una figura plana usando una integral definida.

Respuesta:

Esta es una tarea tan estúpida e ingenua.

Un ejemplo interesante para una solución independiente:

Ejemplo 10

Usando una integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por las rectas , ,

muestra aproximada finalización de la solución al final de la lección.

En los ejemplos 9-10, es mucho más rentable utilizar el primer método de recorrer el área; por cierto, los lectores curiosos pueden cambiar el orden de recorrido y calcular las áreas utilizando el segundo método. Si no comete ningún error, naturalmente obtendrá los mismos valores de área.

Pero en algunos casos, el segundo método de atravesar el área es más efectivo, y al final del curso para jóvenes nerds, veamos un par de ejemplos más sobre este tema:

Ejemplo 11

Usando una integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por líneas,

Solución: Estamos esperando dos parábolas con una peculiaridad que se encuentran de lado. No hay necesidad de sonreír; cosas similares ocurren con bastante frecuencia en integrales múltiples.

¿Cuál es la forma más fácil de hacer un dibujo?

Imaginemos una parábola en forma de dos funciones:
– la rama superior y – la rama inferior.

De manera similar, imagine una parábola en forma de superior e inferior. sucursales.

A continuación, se trazan puntualmente las reglas de los gráficos, lo que da como resultado una figura tan extraña:

Calculamos el área de la figura mediante la integral doble según la fórmula:

¿Qué pasa si elegimos el primer método para atravesar el área? En primer lugar, habrá que dividir esta zona en dos partes. Y en segundo lugar, observaremos esta triste imagen: . Las integrales, por supuesto, no son de un nivel supercomplicado, pero... hay un viejo dicho matemático: los que están cerca de sus raíces no necesitan prueba.

Por tanto, del malentendido dado en la condición, expresamos las funciones inversas:

Funciones inversas V en este ejemplo tienen la ventaja de que especifican toda la parábola a la vez sin hojas, bellotas, ramas ni raíces.

Según el segundo método, el recorrido del área será el siguiente:

De este modo:

Como dicen, siente la diferencia.

1) Nos ocupamos de la integral interna:

Sustituimos el resultado en la integral exterior:

La integración sobre la variable “y” no debería resultar confusa; si hubiera una letra “zy”, sería genial integrarla sobre ella. Aunque quién leyó el segundo párrafo de la lección. Cómo calcular el volumen de un cuerpo de rotación., ya no experimenta la más mínima incomodidad con la integración según el método "Y".

También preste atención al primer paso: el integrando es par y el intervalo de integración es simétrico con respecto a cero. Por lo tanto, el segmento se puede reducir a la mitad y el resultado se puede duplicar. Esta tecnica comentado en detalle en la lección Métodos efectivos cálculo de una integral definida.

Qué agregar…. ¡Todo!

Respuesta:

Para probar su técnica de integración, puede intentar calcular . La respuesta debería ser exactamente la misma.

Ejemplo 12

Usando una integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por líneas.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Es interesante notar que si intentas utilizar el primer método para atravesar el área, la figura ya no tendrá que dividirse en dos, ¡sino en tres partes! Y, en consecuencia, obtenemos tres pares de integrales repetidas. A veces ocurre.

La clase magistral ha llegado a su fin y es hora de pasar al nivel de gran maestro. ¿Cómo calcular la integral doble? Ejemplos de soluciones. Intentaré no ser tan maníaco en el segundo artículo =)

¡Te deseo éxito!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2:Solución: Representemos el área. en el dibujo:

Elijamos el siguiente orden de recorrido del área:

De este modo:
Pasemos a funciones inversas:

De este modo:
Respuesta:

Ejemplo 4:Solución: Pasemos a las funciones directas:

Hagamos el dibujo:

Cambiemos el orden de atravesar el área:

Respuesta:

Problema 1(sobre el cálculo del área de un trapezoide curvo).

En el sistema de coordenadas rectangular cartesiano xOy, se da una figura (ver figura) delimitada por el eje x, líneas rectas x = a, x = b (a por un trapecio curvilíneo. Se requiere calcular el área de un curvilíneo trapezoide.
Solución. La geometría nos da recetas para calcular las áreas de polígonos y algunas partes de un círculo (sector, segmento). Usando consideraciones geométricas, solo podemos encontrar un valor aproximado del área requerida, razonando de la siguiente manera.

Dividamos el segmento [a; b] (base de un trapecio curvo) en n partes iguales; esta partición se realiza utilizando los puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Dibujemos líneas rectas a través de estos puntos paralelas al eje y. Luego, el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.

Consideremos la k-ésima columna por separado, es decir un trapecio curvo cuya base es un segmento. Reemplácelo con un rectángulo con la misma base y altura igual a f(x k) (ver figura). El área del rectángulo es igual a $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, donde $\Delta x_k $ es la longitud del segmento; Es natural considerar el producto resultante como un valor aproximado del área de la k-ésima columna.

Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegaremos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada formada por n rectángulos (ver figura):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, suponemos que a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - longitud del segmento, $\Delta x_1 $ - longitud del segmento, etc.; en este caso, como acordamos anteriormente, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Entonces, $S \approx S_n $, y esta igualdad aproximada es más precisa cuanto mayor es n.
Por definición, se cree que el área requerida de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(sobre mover un punto)
Se mueve en línea recta punto material. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v(t). Encuentre el movimiento de un punto durante un período de tiempo [a; b].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de forma muy sencilla: s = vt, es decir s = v(b-a). Para movimientos desiguales, hay que utilizar las mismas ideas en las que se basó la solución al problema anterior.
1) Dividir el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un período de tiempo y suponga que durante este período la velocidad fue constante, igual que en el momento t k. Entonces suponemos que v = v(t k).
3) Encontremos el valor aproximado del movimiento del punto durante un período de tiempo. Denotaremos este valor aproximado como s k;
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
$s \aprox S_n $ donde
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) El desplazamiento requerido es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Resumamos. Las soluciones a varios problemas se redujeron al mismo modelo matemático. Muchos problemas de diversos campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de solución. Esto significa que este modelo matemático debe ser estudiado especialmente.

El concepto de integral definida.

Demos una descripción matemática del modelo construido en los tres problemas considerados para la función y = f(x), continua (pero no necesariamente no negativa, como se supuso en los problemas considerados) en el intervalo [a; b]:
1) dividir el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) hacer la suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

En el curso del análisis matemático se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). El es llamado cierta integral de la función y = f(x) sobre el segmento [a; b] y denotado de la siguiente manera:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).

Volvamos a las tareas comentadas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
aquí S es el área del trapezoide curvilíneo que se muestra en la figura anterior. Esto es significado geométrico integral definida.

La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b, dada en el problema 2, se puede reescribir de la siguiente manera:

Fórmula de Newton-Leibniz

Primero, respondamos la pregunta: ¿cuál es la conexión entre la integral definida y la primitiva?

La respuesta se puede encontrar en el problema 2. Por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b se calcula mediante la formula
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Por otro lado, la coordenada de un punto en movimiento es una antiderivada de la velocidad; denotémosla s(t); Esto significa que el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado obtenemos:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
donde s(t) es la antiderivada de v(t).

El siguiente teorema fue demostrado en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f(x) es continua en el intervalo [a; b], entonces la fórmula es válida
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
donde F(x) es la antiderivada de f(x).

La fórmula dada generalmente se llama Fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultáneamente.

En la práctica, en lugar de escribir F(b) - F(a), usan la notación $\left. F(x)\right|_a^b $ (a veces se la llama doble sustitución) y, en consecuencia, reescribe la fórmula de Newton-Leibniz de esta forma:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Al calcular una integral definida, primero encuentre la primitiva y luego realice una doble sustitución.

Basándonos en la fórmula de Newton-Leibniz, podemos obtener dos propiedades de la integral definida.

Propiedad 1. Integral de la suma de funciones. igual a la suma integrales:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Calcular las áreas de figuras planas usando una integral definida.

Usando la integral, puedes calcular las áreas no solo de trapecios curvilíneos, sino también de figuras planas. tipo complejo, por ejemplo el que se muestra en la figura. La figura P está limitada por las rectas x = a, x = b y gráficas de funciones continuas y = f(x), y = g(x), y en el segmento [a; b] la desigualdad $g(x) \leq f(x) $ se cumple. Para calcular el área S de dicha figura procederemos de la siguiente manera:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Entonces, el área S de una figura delimitada por rectas x = a, x = b y gráficas de funciones y = f(x), y = g(x), continuas en el segmento y tales que para cualquier x del segmento [a; b] se satisface la desigualdad $g(x) \leq f(x) $, calculada mediante la fórmula
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

En este artículo aprenderás cómo encontrar el área de una figura delimitada por líneas usando cálculos integrales. La formulación de un problema de este tipo nos encontramos por primera vez en la escuela secundaria, cuando acabamos de completar el estudio de integrales definidas y es hora de comenzar la interpretación geométrica del conocimiento adquirido en la práctica.

Entonces, ¿qué se requiere para resolver con éxito el problema de encontrar el área de una figura usando integrales?

Capacidad para realizar dibujos competentes;
Capacidad para resolver una integral definida utilizando la conocida fórmula de Newton-Leibniz;
La capacidad de "ver" una opción de solución más rentable, es decir, ¿Entiendes cómo será más conveniente realizar la integración en un caso u otro? ¿A lo largo del eje x (OX) o del eje y (OY)?
Bueno, ¿dónde estaríamos sin los cálculos correctos?) Esto incluye comprender cómo resolver ese otro tipo de integrales y cálculos numéricos correctos.

Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas:

1. Estamos construyendo un dibujo. Es recomendable hacerlo en un papel cuadriculado, a gran escala. Firmamos el nombre de esta función con un lápiz encima de cada gráfica. La firma de los gráficos se realiza únicamente para facilitar la realización de cálculos adicionales. Habiendo recibido un gráfico de la cifra deseada, en la mayoría de los casos quedará inmediatamente claro qué límites de integración se utilizarán. Así, solucionamos el problema gráficamente. Sin embargo, sucede que los valores de los límites son fraccionarios o irracionales. Por lo tanto, puedes realizar cálculos adicionales, ve al paso dos.

2. Si los límites de integración no se especifican explícitamente, entonces encontramos los puntos de intersección de las gráficas entre sí y vemos si nuestra solución gráfica coincide con la analítica.

3. A continuación, debes analizar el dibujo. Dependiendo de cómo estén dispuestas las gráficas de funciones, existen diferentes enfoques para encontrar el área de una figura. Consideremos diferentes ejemplos sobre cómo encontrar el área de una figura usando integrales.

3.1. La versión más clásica y sencilla del problema es cuando necesitas encontrar el área de un trapecio curvo. ¿Qué es un trapecio curvo? Este figura plana, limitado por el eje x (y = 0), derecho x = a, x = b y cualquier curva continua en el intervalo desde a antes b. Además, esta cifra no es negativa y no se encuentra debajo del eje x. En este caso, el área del trapezoide curvilíneo es numéricamente igual a una determinada integral, calculada mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

Ejemplo 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

¿Qué líneas está delimitada por la figura? tenemos una parábola y = x2 – 3x + 3, que se encuentra encima del eje OH, no es negativo, porque todos los puntos de esta parábola tienen valores positivos. A continuación, dadas las líneas rectas. x = 1 Y x = 3, que corren paralelas al eje UNED, son las líneas límite de la figura a la izquierda y a la derecha. Bien y = 0, también es el eje x, que limita la figura desde abajo. La figura resultante está sombreada, como puede verse en la figura de la izquierda. En este caso, puede empezar a resolver el problema inmediatamente. Ante nosotros hay un ejemplo simple de un trapezoide curvo, que luego resolvemos usando la fórmula de Newton-Leibniz.

3.2. En el párrafo 3.1 anterior, examinamos el caso en el que un trapecio curvo se encuentra encima del eje x. Consideremos ahora el caso en el que las condiciones del problema son las mismas, excepto que la función se encuentra debajo del eje x. Se agrega un menos a la fórmula estándar de Newton-Leibniz. Consideraremos cómo resolver tal problema a continuación.

Ejemplo 2 . Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

En este ejemplo tenemos una parábola. y = x2 + 6x + 2, que se origina en el eje OH, derecho x = -4, x = -1, y = 0. Aquí y = 0 limita la figura deseada desde arriba. Directo x = -4 Y x = -1 estos son los límites dentro de los cuales se calculará la integral definida. El principio para resolver el problema de encontrar el área de una figura coincide casi por completo con el ejemplo número 1. La única diferencia es que función dada no positivo, y aún continuo en el intervalo [-4; -1] . ¿Qué quieres decir con no positivo? Como puede verse en la figura, la figura que se encuentra dentro de las x dadas tiene coordenadas exclusivamente "negativas", que es lo que necesitamos ver y recordar al resolver el problema. Buscamos el área de la figura usando la fórmula de Newton-Leibniz, solo que con un signo menos al principio.

El artículo no está completo.

Entonces, ¿qué se requiere para resolver con éxito el problema de encontrar el área de una figura usando integrales?

Capacidad para realizar dibujos competentes;
Capacidad para resolver una integral definida utilizando la conocida fórmula de Newton-Leibniz;
La capacidad de "ver" una opción de solución más rentable, es decir, ¿Entiendes cómo será más conveniente realizar la integración en un caso u otro? ¿A lo largo del eje x (OX) o del eje y (OY)?
Bueno, ¿dónde estaríamos sin los cálculos correctos?) Esto incluye comprender cómo resolver ese otro tipo de integrales y cálculos numéricos correctos.

Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas:

3. A continuación, debes analizar el dibujo. Dependiendo de cómo estén dispuestas las gráficas de funciones, existen diferentes enfoques para encontrar el área de una figura. Veamos diferentes ejemplos de cómo encontrar el área de una figura usando integrales.

3.1. La versión más clásica y sencilla del problema es cuando necesitas encontrar el área de un trapecio curvo. ¿Qué es un trapecio curvo? Esta es una figura plana limitada por el eje x. (y = 0), derecho x = a, x = b y cualquier curva continua en el intervalo desde a antes b. Además, esta cifra no es negativa y no se encuentra debajo del eje x. En este caso, el área del trapezoide curvilíneo es numéricamente igual a una determinada integral, calculada mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

Ejemplo 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ejemplo 2 . Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

En este ejemplo tenemos una parábola. y = x2 + 6x + 2, que se origina en el eje OH, derecho x = -4, x = -1, y = 0. Aquí y = 0 limita la figura deseada desde arriba. Directo x = -4 Y x = -1 estos son los límites dentro de los cuales se calculará la integral definida. El principio para resolver el problema de encontrar el área de una figura coincide casi por completo con el ejemplo número 1. La única diferencia es que la función dada no es positiva y también es continua en el intervalo. [-4; -1] . ¿Qué quieres decir con no positivo? Como puede verse en la figura, la figura que se encuentra dentro de las x dadas tiene coordenadas exclusivamente "negativas", que es lo que necesitamos ver y recordar al resolver el problema. Buscamos el área de la figura usando la fórmula de Newton-Leibniz, solo que con un signo menos al principio.

El artículo no está completo.