Definición. El mayor número natural que se puede dividir sin resto entre los números a y b se llama máximo común divisor (MCD) estos números.
Encontremos el más grande. común divisor números 24 y 35.
Los divisores de 24 son los números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y los divisores de 35 son los números 1, 5, 7, 35.
Vemos que los números 24 y 35 tienen un solo divisor común: el número 1. Estos números se llaman mutuamente primos.
Definición. Los números naturales se llaman mutuamente primos, si su máximo común divisor (MCD) es 1.
Máximo divisor común (MCD) se puede encontrar sin escribir todos los divisores de los números dados.
Factoricemos los números 48 y 36 y obtengamos:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
De los factores incluidos en la expansión del primero de estos números, tachamos aquellos que no están incluidos en la expansión del segundo número (es decir, dos dos).
Los factores restantes son 2 * 2 * 3. Su producto es 12. Este número es el máximo común divisor de los números 48 y 36. También se encuentra el máximo común divisor de tres o más números.
Encontrar máximo común divisor
2) de los factores incluidos en la expansión de uno de estos números, tachar los que no están incluidos en la expansión de otros números;
3) encuentra el producto de los factores restantes.
Si todos los números dados son divisibles por uno de ellos, entonces este número es máximo común divisor números dados.
Por ejemplo, el máximo común divisor de los números 15, 45, 75 y 180 es el número 15, ya que todos los demás números son divisibles por él: 45, 75 y 180.
Mínimo común múltiplo (MCM)
Definición. Mínimo común múltiplo (MCM) números naturales a y b son el número natural más pequeño que es múltiplo de a y b. El mínimo común múltiplo (MCM) de los números 75 y 60 se puede encontrar sin escribir los múltiplos de estos números seguidos. Para hacer esto, descompongamos 75 y 60 en factores primos: 75 = 3 * 5 * 5 y 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Escribamos los factores incluidos en la expansión del primero de estos números y agreguemos los factores que faltan 2 y 2 de la expansión del segundo número (es decir, combinamos los factores).
Obtenemos cinco factores 2 * 2 * 3 * 5 * 5, cuyo producto es 300. Este número es el mínimo común múltiplo de los números 75 y 60.
También encuentran el mínimo común múltiplo de tres o más números.
A encontrar el mínimo común múltiplo varios números naturales, necesitas:
1) factorizarlos en factores primos;
2) anotar los factores incluidos en la expansión de uno de los números;
3) agregarles los factores que faltan de las expansiones de los números restantes;
4) encuentre el producto de los factores resultantes.
Tenga en cuenta que si uno de estos números es divisible por todos los demás números, entonces este número es el mínimo común múltiplo de estos números.
Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de los números 12, 15, 20 y 60 es 60 porque es divisible por todos esos números.
Pitágoras (siglo VI aC) y sus alumnos estudiaron la cuestión de la divisibilidad de los números. Número, igual a la suma Llamaron número perfecto a todos sus divisores (sin el número en sí). Por ejemplo, los números 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son perfectos. Los siguientes números perfectos son 496, 8128, 33.550.336. Los pitagóricos sólo conocían los primeros tres números perfectos. El cuarto, 8128, se hizo conocido en el siglo I. norte. mi. El quinto, 33.550.336, fue encontrado en el siglo XV. En 1983 ya se conocían 27 números perfectos. Pero los científicos aún no saben si existen números perfectos impares o si existe un número perfecto mayor.
El interés de los antiguos matemáticos por los números primos surge del hecho de que cualquier número es primo o puede representarse como un producto. números primos, es decir, los números primos son como ladrillos a partir de los cuales se construyen el resto de números naturales.
Probablemente hayas notado que los números primos en la serie de números naturales ocurren de manera desigual: en algunas partes de la serie hay más, en otras, menos. Pero cuanto más avanzamos en la serie numérica, menos comunes son los números primos. Surge la pregunta: ¿existe un último (mayor) número primo? El antiguo matemático griego Euclides (siglo III a. C.), en su libro "Elementos", que fue el principal libro de texto de matemáticas durante dos mil años, demostró que hay infinitos números primos, es decir, detrás de cada número primo hay un primo aún mayor. número.
Para encontrar números primos, otro matemático griego de la misma época, Eratóstenes, ideó este método. Escribió todos los números desde 1 hasta algún número, y luego tachó uno, que no es ni primo ni compuesto, luego tachó por uno todos los números que vienen después de 2 (números que son múltiplos de 2, es decir, 4, 6, 8, etc.). El primer número que quedó después del 2 fue el 3. Luego, después del dos, se tacharon todos los números que venían después del 3 (números que son múltiplos de 3, es decir, 6, 9, 12, etc.). al final sólo quedaron sin cruzar los números primos.
Encontrar el máximo común divisor de tres o más números se puede reducir a encontrar secuencialmente el mcd de dos números. Mencionamos esto al estudiar las propiedades de GCD. Allí formulamos y demostramos el teorema: el máximo común divisor de varios números. un 1 , un 2 , …, un k igual al numero dk, que se encuentra mediante cálculo secuencial MCD(a 1 , a 2)=d 2, MCD(d 2 , a 3)=d 3, MCD(d 3 , a 4)=d 4, …,MCD(d k-1 , a k)=d k.
Veamos cómo se ve el proceso de encontrar el mcd de varios números mirando la solución del ejemplo.
Ejemplo.
Encuentra el máximo común divisor de cuatro números. 78 , 294 , 570 Y 36 .
Solución.
En este ejemplo un 1 = 78, un 2 = 294, un 3 = 570, un 4 = 36.
Primero, usando el algoritmo euclidiano, determinamos el máximo común divisor. re 2 primeros dos números 78 Y 294 . Al dividir obtenemos las igualdades. 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 Y 18=6·3. De este modo, d 2 =MCD(78, 294)=6.
Ahora calculemos d 3 =MCD(d 2, a 3)=MCD(6, 570). Usemos nuevamente el algoritmo euclidiano: 570=6·95, por eso, d 3 =MCD(6, 570)=6.
queda por calcular d 4 =MCD(d 3, a 4)=MCD(6, 36). Porque 36 dividido por 6 , Eso d 4 =MCD(6, 36)=6.
Por tanto, el máximo común divisor de los cuatro números dados es igual a re 4 = 6, eso es, MCD(78, 294, 570, 36)=6.
Respuesta:
MCD(78, 294, 570, 36)=6.
Factorizar números en factores primos también le permite calcular el mcd de tres o más números. En este caso, el máximo común divisor se encuentra como el producto de todos los factores primos comunes de los números dados.
Ejemplo.
Calcula el mcd de los números del ejemplo anterior usando sus factorizaciones primas.
Solución.
Analicemos los números 78 , 294 , 570 Y 36 por factores primos obtenemos 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Los factores primos comunes de todos los cuatro números dados son los números. 2 Y 3 . Por eso, MCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Respuesta:
MCD(78, 294, 570, 36)=6.
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Encontrar MCD de números negativos
Si uno, varios o todos los números cuyo máximo divisor se encuentra son números negativos, entonces su mcd es igual al máximo común divisor de los módulos de estos números. Esto se debe al hecho de que los números opuestos a Y −un tienen los mismos divisores, como comentamos al estudiar las propiedades de la divisibilidad.
Ejemplo.
Encuentra el mcd de números enteros negativos −231 Y −140 .
Solución.
El valor absoluto de un número. −231 es igual 231 , y el módulo del número −140 es igual 140 , Y MCD(−231, −140)=MCD(231, 140). El algoritmo euclidiano nos da las siguientes igualdades: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 Y 42=7 6. Por eso, MCD(231, 140)=7. Entonces el máximo común divisor deseado de números negativos es −231 Y −140 es igual 7 .
Respuesta:
MCD(−231, −140)=7.
Ejemplo.
Determinar el mcd de tres números. −585 , 81 Y −189 .
Solución.
Al encontrar el máximo común divisor, los números negativos se pueden reemplazar por sus valores absolutos, es decir, MCD(−585, 81, −189)=MCD(585, 81, 189). Expansiones numéricas 585 , 81 Y 189 en factores primos tienen la forma 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 Y 189=3·3·3·7. Los factores primos comunes de estos tres números son 3 Y 3 . Entonces MCD(585, 81, 189)=3·3=9, por eso, MCD(−585, 81, −189)=9.
Respuesta:
MCD(−585, 81, −189)=9.
35. Raíces de un polinomio. Teorema de Bezout. (33 y más)
36. Raíces múltiples, criterio de multiplicidad de raíces.
El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo son conceptos aritméticos clave que le permiten operar sin esfuerzo fracciones ordinarias. MCM y se utilizan con mayor frecuencia para encontrar el denominador común de varias fracciones.
Conceptos básicos
El divisor de un número entero X es otro número entero Y por el que se divide X sin dejar resto. Por ejemplo, el divisor de 4 es 2 y 36 es 4, 6, 9. Un múltiplo de un número entero X es un número Y que es divisible por X sin resto. Por ejemplo, 3 es múltiplo de 15 y 6 es múltiplo de 12.
Para cualquier par de números podemos encontrar sus divisores y múltiplos comunes. Por ejemplo, para 6 y 9, el múltiplo común es 18 y el divisor común es 3. Obviamente, los pares pueden tener varios divisores y múltiplos, por lo que los cálculos utilizan el divisor más grande MCD y el múltiplo más pequeño MCM.
El mínimo divisor no tiene sentido, ya que para cualquier número siempre es uno. El mayor múltiplo tampoco tiene sentido, ya que la secuencia de múltiplos llega al infinito.
Encontrar mcd
Existen muchos métodos para encontrar el máximo común divisor, los más famosos son:
- búsqueda secuencial de divisores, selección de los comunes para un par y búsqueda del mayor de ellos;
- descomposición de números en factores indivisibles;
- Algoritmo euclidiano;
- algoritmo binario.
Hoy en Instituciones educacionales Los más populares son los métodos de factorización prima y el algoritmo euclidiano. Este último, a su vez, se utiliza al resolver ecuaciones diofánticas: es necesario buscar MCD para comprobar la posibilidad de resolución de la ecuación en números enteros.
Encontrar el CON
El mínimo común múltiplo también se determina mediante enumeración secuencial o factorización en factores indivisibles. Además, es fácil encontrar el MCM si ya se ha determinado el máximo divisor. Para los números X e Y, el MCM y el MCD están relacionados mediante la siguiente relación:
LCD(X,Y) = X × Y / MCD(X,Y).
Por ejemplo, si MCM(15,18) = 3, entonces MCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. El ejemplo más obvio del uso de MCM es encontrar el denominador común, que es el mínimo común múltiplo de fracciones dadas.
números coprimos
Si un par de números no tiene divisores comunes, entonces ese par se llama coprimo. El mcd de tales pares siempre es igual a uno y, según la conexión entre divisores y múltiplos, el mcd de pares coprimos es igual a su producto. Por ejemplo, los números 25 y 28 son primos relativos, porque no tienen divisores comunes, y MCM(25, 28) = 700, que corresponde a su producto. Dos números cualesquiera indivisibles siempre serán primos relativos.
Calculadora de divisor común y múltiplo
Con nuestra calculadora puede calcular MCD y MCM para una cantidad arbitraria de números para elegir. Las tareas de cálculo de divisores y múltiplos comunes se encuentran en aritmética de quinto y sexto grado, pero MCD y LCM son conceptos clave en matemáticas y se utilizan en teoría de números, planimetría y álgebra comunicativa.
Ejemplos de la vida real
denominador común de fracciones
El mínimo común múltiplo se utiliza para encontrar el denominador común de múltiples fracciones. Dejar entrar problema aritmético necesitas sumar 5 fracciones:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Para sumar fracciones, la expresión debe reducirse a común denominador, lo que se reduce al problema de encontrar el MCM. Para hacer esto, seleccione 5 números en la calculadora e ingrese los valores de los denominadores en las celdas correspondientes. El programa calculará el MCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Ahora necesitas calcular factores adicionales para cada fracción, que se definen como la relación entre el MCM y el denominador. Entonces los multiplicadores adicionales quedarían así:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Después de esto, multiplicamos todas las fracciones por el factor adicional correspondiente y obtenemos:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Podemos sumar fácilmente dichas fracciones y obtener el resultado 159/360. Reducimos la fracción a 3 y vemos la respuesta final: 53/120.
Resolver ecuaciones diofánticas lineales
Las ecuaciones lineales diofánticas son expresiones de la forma ax + by = d. Si la relación d / mcd(a, b) es un número entero, entonces la ecuación se puede resolver en números enteros. Revisemos un par de ecuaciones para ver si tienen una solución entera. Primero, verifiquemos la ecuación 150x + 8y = 37. Usando una calculadora, encontramos MCD (150,8) = 2. Dividimos 37/2 = 18,5. El número no es un número entero, por lo tanto la ecuación no tiene raíces enteras.
Revisemos la ecuación 1320x + 1760y = 10120. Use una calculadora para encontrar MCD(1320, 1760) = 440. Divida 10120/440 = 23. Como resultado, obtenemos un número entero, por lo tanto, la ecuación diofántica se puede resolver en coeficientes enteros. .
Conclusión
MCD y LCM desempeñan un papel importante en la teoría de números y los conceptos en sí se utilizan ampliamente en una amplia variedad de áreas de las matemáticas. Utilice nuestra calculadora para calcular los mayores divisores y los mínimos múltiplos de cualquier número de números.
Pero muchos números naturales también son divisibles por otros números naturales.
Por ejemplo:
El número 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;
El número 36 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.
Los números por los cuales un número es divisible por un entero (para 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se llaman divisores de numeros. Divisor de un número natural a- es un número natural que divide numero dado a sin dejar rastro. Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto. Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen factores comunes. Estos números son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El máximo divisor de estos números es 12.
Divisor común de dos números dados a Y b- este es el número por el cual se dividen ambos números dados sin resto a Y b. Divisor común de varios números (MCD) es un número que sirve de divisor para cada uno de ellos.
Brevemente máximo común divisor de números a Y b escríbelo así:
Ejemplo: MCD (12; 36) = 12.
Los divisores de números en el registro de solución se indican con la letra mayúscula "D".
Ejemplo:
MCD (7; 9) = 1
Los números 7 y 9 tienen un solo divisor común: el número 1. Estos números se llaman mutuamente primoschi slami.
números coprimos- estos son números naturales que tienen un solo divisor común: el número 1. Su mcd es 1.
Máximo común divisor (MCD), propiedades.
- Propiedad básica: máximo común divisor metro Y norte es divisible por cualquier divisor común de estos números. Ejemplo: Para los números 12 y 18, el máximo común divisor es 6; se divide por todos los divisores comunes de estos números: 1, 2, 3, 6.
- Corolario 1: conjunto de divisores comunes metro Y norte coincide con el conjunto de divisores del MCD ( metro, norte).
- Corolario 2: conjunto de múltiplos comunes metro Y norte coincide con el conjunto de múltiples LCM ( metro, norte).
Esto significa, en particular, que para reducir una fracción a una forma irreducible, es necesario dividir su numerador y denominador por su mcd.
- Máximo común divisor de números metro Y norte se puede definir como el elemento positivo más pequeño del conjunto de todas sus combinaciones lineales:
y por lo tanto representarlo como una combinación lineal de números metro Y norte:
Esta relación se llama La relación de Bezout., y los coeficientes tu Y v — coeficientes de Bezout. Los coeficientes de Bezout se calculan de manera eficiente mediante el algoritmo euclidiano extendido. Esta afirmación se generaliza a conjuntos de números naturales; su significado es que el subgrupo del grupo generado por el conjunto es cíclico y generado por un elemento: MCD ( a 1 , a 2 , … , un).
Calcula el máximo común divisor (MCD).
Las formas eficientes de calcular el mcd de dos números son algoritmo euclidiano Y binarioalgoritmo. Además, el valor de mcd ( metro,norte) se puede calcular fácilmente si se conoce la expansión canónica de los números metro Y norte en factores primos:
donde son números primos distintos y y son números enteros no negativos (pueden ser ceros si el primo correspondiente no está en la expansión). Entonces MCD ( metro,norte) y NOC ( metro,norte) se expresan mediante las fórmulas:
Si hay más de dos números: , su mcd se encuentra utilizando el siguiente algoritmo:
- este es el GCD deseado.
Además, para encontrar máximo común divisor, puedes factorizar cada uno de los números dados en factores primos. Luego, escriba por separado solo aquellos factores que están incluidos en todos los números dados. Luego multiplicamos los números escritos; el resultado de la multiplicación es el máximo común divisor. .
Veamos el cálculo del máximo común divisor paso a paso:
1. Descomponer los divisores de números en factores primos:
Es conveniente escribir cálculos utilizando una barra vertical. A la izquierda de la línea primero escribimos el dividendo, a la derecha, el divisor. A continuación, en la columna de la izquierda anotamos los valores de los cocientes. Expliquemoslo de inmediato con un ejemplo. Factoricemos los números 28 y 64 en factores primos.
2. Destacamos los mismos factores primos en ambos números:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Encuentra el producto de factores primos idénticos y escribe la respuesta:
mcd (28; 64) = 2. 2 = 4
Respuesta: MCD (28; 64) = 4
Puede formalizar la ubicación del GCD de dos maneras: en una columna (como se hizo arriba) o "en una fila".
La primera forma de escribir GCD:
Calcula mcd 48 y 36.
MCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
La segunda forma de escribir GCD:
Ahora escribamos la solución a la búsqueda de GCD en una línea. Calcula mcd 10 y 15.
D (10) = (1, 2, 5, 10)
D (15) = (1, 3, 5, 15)
D (10, 15) = (1, 5)
Para entender cómo calcular el MCM, primero debe determinar el significado del término "múltiple".
Un múltiplo de A es un número natural que es divisible por A sin resto, por lo que los números que son múltiplos de 5 pueden considerarse 15, 20, 25, etc.
Puede haber divisores de un número específico. Cantidad limitada, pero hay un número infinito de múltiplos.
Un múltiplo común de los números naturales es un número que es divisible entre ellos sin dejar resto.
Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de números
El mínimo común múltiplo (MCM) de números (dos, tres o más) es el número natural más pequeño que es divisible por todos estos números.
Para encontrar la LOC, puedes utilizar varios métodos.
Para números pequeños, es conveniente anotar todos los múltiplos de estos números en una línea hasta encontrar algo común entre ellos. Los múltiplos se indican con la letra K mayúscula.
Por ejemplo, los múltiplos de 4 se pueden escribir así:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24,...)
k(6) = (12, 18, 24,...)
Así, puedes ver que el mínimo común múltiplo de los números 4 y 6 es el número 24. Esta notación se hace de la siguiente manera:
MCM(4, 6) = 24
Si los números son grandes, encuentre el múltiplo común de tres o más números, entonces es mejor usar otro método para calcular el MCM.
Para completar la tarea, debes factorizar los números dados en factores primos.
Primero debes escribir la descomposición del número más grande en una línea y, debajo, el resto.
La descomposición de cada número puede contener un número diferente de factores.
Por ejemplo, factoricemos los números 50 y 20 en factores primos.
En la ampliación del número menor hay que destacar los factores que están ausentes en la ampliación del primero. gran número y luego agréguelos. En el ejemplo presentado falta un dos.
Ahora puedes calcular el mínimo común múltiplo de 20 y 50.
MCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Entonces, el producto de factores primos. más y los factores del segundo número que no fueron incluidos en la expansión del número mayor serán el mínimo común múltiplo.
Para encontrar el MCM de tres o más números, debes factorizarlos todos en factores primos, como en el caso anterior.
Como ejemplo, puedes encontrar el mínimo común múltiplo de los números 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Por lo tanto, sólo dos dos de la expansión de dieciséis no se incluyeron en la factorización de un número mayor (uno está en la expansión de veinticuatro).
Por lo tanto, deben sumarse a la expansión de un número mayor.
MCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Existen casos especiales para determinar el mínimo común múltiplo. Entonces, si uno de los números se puede dividir sin resto por otro, entonces el mayor de estos números será el mínimo común múltiplo.
Por ejemplo, el MCM de doce y veinticuatro es veinticuatro.
Si es necesario encontrar el mínimo común múltiplo de números coprimos que no tienen divisores idénticos, entonces su MCM será igual a su producto.
Por ejemplo, MCM (10, 11) = 110.