Este artículo trata sobre encontrar el máximo común divisor (MCD) dos o más números. Primero, veamos el algoritmo de Euclides; le permite encontrar el mcd de dos números. Después de esto, nos centraremos en un método que nos permite calcular el mcd de números como producto de sus factores primos comunes. A continuación, veremos cómo encontrar el máximo común divisor de tres o más números y también daremos ejemplos de cómo calcular el mcd de números negativos.
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Algoritmo euclidiano para encontrar GCD
Tenga en cuenta que si hubiéramos recurrido a la tabla de números primos desde el principio, habríamos descubierto que los números 661 y 113 son números primos, de los cuales podríamos decir inmediatamente que su mayor común divisor es igual a 1.
Respuesta:
MCD(661, 113)=1 .
Encontrar MCD factorizando números en factores primos
Consideremos otra forma de encontrar MCD. El máximo común divisor se puede encontrar factorizando números en factores primos. Formulemos una regla: El mcd de dos enteros positivos a y b es igual al producto de todos los factores primos comunes encontrados en las factorizaciones primas de los números a y b.
Pongamos un ejemplo para explicar la regla para encontrar MCD. Conozcamos las descomposiciones de los números 220 y 600 en factores primos, tienen la forma 220=2·2·5·11 y 600=2·2·2·3·5·5. Los factores primos comunes involucrados en la factorización de los números 220 y 600 son 2, 2 y 5. Por lo tanto, mcd(220, 600)=2·2·5=20.
Por lo tanto, si factorizamos los números a y b en factores primos y encontramos el producto de todos sus factores comunes, entonces encontraremos el máximo común divisor de los números a y b.
Consideremos un ejemplo de cómo encontrar MCD según la regla establecida.
Ejemplo.
Encuentra el máximo común divisor de los números 72 y 96.
Solución.
Factoricemos los números 72 y 96 en factores primos: 
Es decir, 72=2·2·2·3·3 y 96=2·2·2·2·2·3. Los factores primos comunes son 2, 2, 2 y 3. Por lo tanto, mcd(72, 96)=2·2·2·3=24.
Respuesta:
MCD(72, 96)=24 .
Como conclusión de este párrafo, observamos que la validez de la regla anterior para encontrar el MCD se deriva de la propiedad del máximo común divisor, que establece que MCD(m a 1 , m b 1)=m MCD(a 1 , b 1), donde m es cualquier número entero positivo.
Encontrar el mcd de tres o más números
Encontrar el máximo común divisor de tres o más números se puede reducir a encontrar secuencialmente el mcd de dos números. Mencionamos esto al estudiar las propiedades de GCD. Allí formulamos y demostramos el teorema: el máximo común divisor de varios números a 1, a 2,…, a k igual al numero d k , que se encuentra calculando secuencialmente MCD(a 1 , a 2)=d 2 , MCD(d 2 , a 3)=d 3 , MCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, MCD(d k - 1 , a k)=d k .
Veamos cómo se ve el proceso de encontrar el mcd de varios números mirando la solución del ejemplo.
Ejemplo.
Encuentra el máximo común divisor de cuatro números 78, 294, 570 y 36.
Solución.
En este ejemplo, a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.
Primero, usando el algoritmo euclidiano, determinamos el máximo común divisor d 2 de los dos primeros números 78 y 294. Al dividir obtenemos las igualdades 294=78·3+60; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 y 18=6·3. Por lo tanto, d 2 =MCD(78, 294)=6.
Ahora calculemos d 3 =MCD(d 2, a 3)=MCD(6, 570). Apliquemos nuevamente el algoritmo euclidiano: 570=6·95, por lo tanto, d 3 = MCD(6, 570)=6.
queda por calcular d 4 =MCD(d 3, a 4)=MCD(6, 36). Dado que 36 es divisible por 6, entonces d 4 = MCD(6, 36) = 6.
Por tanto, el máximo común divisor de los cuatro números dados es d 4 =6, es decir, mcd(78, 294, 570, 36)=6.
Respuesta:
MCD(78, 294, 570, 36)=6 .
Factorizar números en factores primos también le permite calcular el mcd de tres o más números. En este caso, el máximo común divisor se encuentra como el producto de todos los factores primos comunes de los números dados.
Ejemplo.
Calcula el mcd de los números del ejemplo anterior usando sus factorizaciones primas.
Solución.
Factoricemos los números 78, 294, 570 y 36 en factores primos, obtenemos 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Los factores primos comunes de estos cuatro números son los números 2 y 3. Por eso, MCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
El material presentado a continuación es una continuación lógica de la teoría del artículo titulado MCM: mínimo común múltiplo, definición, ejemplos, conexión entre LCM y MCD. Aquí hablaremos de encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), Y Atención especial Centrémonos en resolver ejemplos. Primero, mostraremos cómo se calcula el MCM de dos números utilizando el MCD de estos números. A continuación, veremos cómo encontrar el mínimo común múltiplo factorizando números en factores primos. Después de esto, nos centraremos en encontrar el MCM de tres o más números y también prestaremos atención a calcular el MCM de números negativos.
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Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD
Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la relación entre MCM y MCD. Conexión existente entre MCM y MCD le permite calcular el mínimo común múltiplo de dos enteros positivos utilizando un máximo común divisor conocido. La fórmula correspondiente es MCM(a, b)=a b:MCD(a, b) . Veamos ejemplos de cómo encontrar el MCM usando la fórmula dada.
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de dos números 126 y 70.
Solución.
En este ejemplo a=126, b=70. Usemos la conexión entre MCM y MCD, expresada por la fórmula MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). Es decir, primero tenemos que encontrar el máximo común divisor de los números 70 y 126, después de lo cual podemos calcular el MCM de estos números usando la fórmula escrita.
Encontremos MCD(126, 70) usando el algoritmo euclidiano: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, por lo tanto, MCD(126, 70)=14.
Ahora encontramos el mínimo común múltiplo requerido: MCD(126, 70)=126·70: MCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Respuesta:
MCM(126, 70)=630.
Ejemplo.
¿A qué es igual MCM(68, 34)?
Solución.
Porque 68 es divisible por 34, entonces MCD(68, 34)=34. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo: MCD(68, 34)=68·34: MCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Respuesta:
MCM(68, 34)=68.
Tenga en cuenta que el ejemplo anterior se ajusta a la siguiente regla para encontrar el MCM para enteros positivos a y b: si el número a es divisible por b, entonces el mínimo común múltiplo de estos números es a.
Encontrar el MCM factorizando números en factores primos
Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en factorizar números en factores primos. Si compones un producto de todos los factores primos de números dados y luego excluyes de este producto todos los factores primos comunes presentes en las descomposiciones de los números dados, entonces el producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números dados. .
La regla establecida para encontrar el MCM se deriva de la igualdad MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). De hecho, el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores involucrados en la expansión de los números a y b. A su vez, MCD(a, b) es igual al producto de todos los factores primos presentes simultáneamente en las expansiones de los números a y b (como se describe en la sección sobre cómo encontrar el MCD usando la expansión de números en factores primos).
Pongamos un ejemplo. Sepamos que 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. Compongamos el producto a partir de todos los factores de estas expansiones: 2·3·3·5·5·5·7 . Ahora de este producto excluimos todos los factores presentes tanto en la expansión del número 75 como en la expansión del número 210 (dichos factores son 3 y 5), entonces el producto tomará la forma 2·3·5·5·7 . El valor de este producto es igual al mínimo común múltiplo de 75 y 210, es decir, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.
Ejemplo.
Factoriza los números 441 y 700 en factores primos y encuentra el mínimo común múltiplo de estos números.
Solución.
Factoricemos los números 441 y 700 en factores primos:
Obtenemos 441=3·3·7·7 y 700=2·2·5·5·7.
Ahora hagamos un producto de todos los factores involucrados en la expansión de estos números: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluyamos de este producto todos los factores que están presentes simultáneamente en ambas expansiones (solo hay uno de esos factores: este es el número 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. De este modo, MCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Respuesta:
NOC(441, 700)= 44 100 .
La regla para encontrar el MCM mediante la factorización de números en factores primos se puede formular de manera un poco diferente. Si los factores faltantes de la expansión del número b se suman a los factores de la expansión del número a, entonces el valor del producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números a y b..
Por ejemplo, tomemos los mismos números 75 y 210, sus descomposiciones en factores primos son las siguientes: 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. A los factores 3, 5 y 5 del desarrollo del número 75 le sumamos los factores que faltan 2 y 7 del desarrollo del número 210, obtenemos el producto 2·3·5·5·7, cuyo valor es igual a MCM(75, 210).
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de 84 y 648.
Solución.
Primero obtenemos las descomposiciones de los números 84 y 648 en factores primos. Parecen 84=2·2·3·7 y 648=2·2·2·3·3·3·3. A los factores 2, 2, 3 y 7 de la expansión del número 84 le sumamos los factores que faltan 2, 3, 3 y 3 de la expansión del número 648, obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7, que es igual a 4 536 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo deseado de 84 y 648 es 4536.
Respuesta:
MCM(84, 648)=4,536 .
Encontrar el MCM de tres o más números
El mínimo común múltiplo de tres o más números se puede encontrar encontrando secuencialmente el MCM de dos números. Recordemos el teorema correspondiente, que proporciona una forma de encontrar el MCM de tres o más números.
Teorema.
Sean dados los números enteros positivos a 1 , a 2 , …, a k, el mínimo común múltiplo m k de estos números se encuentra calculando secuencialmente m 2 = MCM(a 1 , a 2), m 3 = MCM(m 2 , a 3) , … , m k = MCM(m k−1 , a k) .
Consideremos la aplicación de este teorema usando el ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo de cuatro números.
Ejemplo.
Encuentra el MCM de cuatro números 140, 9, 54 y 250.
Solución.
En este ejemplo, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
primero encontramos metro 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Para ello, utilizando el algoritmo euclidiano, determinamos MCD(140, 9), tenemos 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, por lo tanto, MCD(140, 9)=1 , de donde MCD(140, 9)=140 9: MCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Es decir, m 2 = 1 260.
ahora encontramos m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Calculémoslo mediante MCD(1 260, 54), que también determinamos mediante el algoritmo euclidiano: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Entonces mcd(1,260, 54)=18, de donde mcd(1,260, 54)= 1,260·54:mcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Es decir, m 3 = 3 780.
Todo lo que queda es encontrar m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Para hacer esto, encontramos MCD(3,780, 250) usando el algoritmo euclidiano: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Por lo tanto, MCD(3,780, 250)=10, de donde MCD(3,780, 250)= 3 780 250: MCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Es decir, m4 = 94 500.
Entonces, el mínimo común múltiplo de los cuatro números originales es 94,500.
Respuesta:
MCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
En muchos casos, es conveniente encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números usando factorizaciones primas de los números dados. En este caso, debes cumplir con la siguiente regla. El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto, el cual se compone de la siguiente manera: los factores que faltan del desarrollo del segundo número se suman a todos los factores del desarrollo del primer número, los factores que faltan del desarrollo del el tercer número se suma a los factores resultantes, y así sucesivamente.
Veamos un ejemplo de cómo encontrar el mínimo común múltiplo usando factorización prima.
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de los cinco números 84, 6, 48, 7, 143.
Solución.
Primero, obtenemos descomposiciones de estos números en factores primos: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 es un número primo, coincide con su descomposición en factores primos) y 143=11·13.
Para encontrar el MCM de estos números, a los factores del primer número 84 (son 2, 2, 3 y 7), debes sumar los factores que faltan de la expansión del segundo número 6. La descomposición del número 6 no contiene factores faltantes, ya que tanto el 2 como el 3 ya están presentes en la descomposición del primer número 84. A continuación, a los factores 2, 2, 3 y 7 sumamos los factores que faltan 2 y 2 de la expansión del tercer número 48, obtenemos un conjunto de factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7. No será necesario agregar multiplicadores a este conjunto en el siguiente paso, ya que 7 ya está contenido en él. Finalmente, a los factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7 le sumamos los factores que faltan 11 y 13 de la expansión del número 143. Obtenemos el producto 2·2·2·2·3·7·11·13, que es igual a 48.048.
Encontrar el máximo común divisor de tres o más números se puede reducir a encontrar secuencialmente el mcd de dos números. Mencionamos esto al estudiar las propiedades de GCD. Allí formulamos y demostramos el teorema: el máximo común divisor de varios números. un 1 , un 2 , ..., un k igual al numero dk, que se encuentra mediante cálculo secuencial MCD(a 1 , a 2)=d 2, MCD(d 2 , a 3)=d 3, MCD(d 3 , a 4)=d 4, …,MCD(d k-1 , a k)=d k.
Veamos cómo se ve el proceso de encontrar el mcd de varios números mirando la solución del ejemplo.
Ejemplo.
Encuentra el máximo común divisor de cuatro números. 78 , 294 , 570 Y 36 .
Solución.
En este ejemplo un 1 = 78, un 2 = 294, 3 = 570, un 4 = 36.
Primero, usando el algoritmo euclidiano, determinamos el máximo común divisor. re 2 primeros dos números 78 Y 294 . Al dividir obtenemos las igualdades. 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 Y 18=6·3. De este modo, d 2 =MCD(78, 294)=6.
Ahora calculemos d 3 =MCD(d 2, a 3)=MCD(6, 570). Usemos nuevamente el algoritmo euclidiano: 570=6·95, por eso, d 3 =MCD(6, 570)=6.
queda por calcular d 4 =MCD(d 3, a 4)=MCD(6, 36). Porque 36 dividido por 6 , Eso d 4 =MCD(6, 36)=6.
Por tanto, el máximo común divisor de los cuatro números dados es igual a re 4 = 6, eso es, MCD(78, 294, 570, 36)=6.
Respuesta:
MCD(78, 294, 570, 36)=6.
Factorizar números en factores primos también le permite calcular el mcd de tres o más números. En este caso, el máximo común divisor se encuentra como el producto de todos los factores primos comunes de los números dados.
Ejemplo.
Calcula el mcd de los números del ejemplo anterior usando sus factorizaciones primas.
Solución.
Analicemos los números 78 , 294 , 570 Y 36 por factores primos obtenemos 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Los factores primos comunes de todos los cuatro números dados son los números. 2 Y 3 . Por eso, MCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Respuesta:
MCD(78, 294, 570, 36)=6.
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Encontrar mcd de números negativos
Si uno, varios o todos los números cuyo máximo divisor se encuentra son números negativos, entonces su mcd es igual al máximo común divisor de los módulos de estos números. Esto se debe a que los números opuestos a Y −un tienen los mismos divisores, como comentamos al estudiar las propiedades de la divisibilidad.
Ejemplo.
Encuentra el mcd de números enteros negativos −231 Y −140 .
Solución.
El valor absoluto de un número. −231 es igual 231 , y el módulo del número −140 es igual 140 , Y MCD(−231, −140)=MCD(231, 140). El algoritmo euclidiano nos da las siguientes igualdades: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 Y 42=7 6. Por eso, MCD(231, 140)=7. Entonces el máximo común divisor deseado de números negativos es −231 Y −140 es igual 7 .
Respuesta:
MCD(−231, −140)=7.
Ejemplo.
Determinar el mcd de tres números. −585 , 81 Y −189 .
Solución.
Al encontrar el máximo común divisor, los números negativos se pueden reemplazar por sus valores absolutos, es decir, MCD(−585, 81, −189)=MCD(585, 81, 189). Expansiones numéricas 585 , 81 Y 189 en factores primos tienen la forma 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 Y 189=3·3·3·7. Los factores primos comunes de estos tres números son 3 Y 3 . Entonces MCD(585, 81, 189)=3·3=9, por eso, MCD(−585, 81, −189)=9.
Respuesta:
MCD(−585, 81, −189)=9.
35. Raíces de un polinomio. Teorema de Bezout. (33 y más)
36. Raíces múltiples, criterio de multiplicidad de raíces.
El mayor número natural por el cual se dividen los números a y b sin resto se llama máximo común divisor estos números. Denota MCD(a, b).
Consideremos encontrar GCD usando el ejemplo de dos números naturales 18 y 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Y 432
Factoricemos los números en factores primos:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Tachando del primer número cuyos factores no están en el segundo y tercer número, obtenemos:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Como resultado, MCD( 324 , 111 , 432 )=3
Encontrar GCD usando el algoritmo euclidiano
La segunda forma de encontrar el máximo común divisor es usando Algoritmo euclidiano. El algoritmo de Euclides es el más manera efectiva hallazgo MCD, al usarlo necesitas encontrar constantemente el resto de los números divisorios y aplicar fórmula de recurrencia.
Fórmula de recurrencia para GCD, MCD(a, b)=MCD(b, a mod b), donde a mod b es el resto de a dividido por b.
algoritmo de euclides
Ejemplo Encuentra el máximo común divisor de números. 7920 Y 594
Encontremos MCD( 7920 , 594 ) usando el algoritmo euclidiano, calcularemos el resto de la división usando una calculadora.
- 7920 módulo 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 módulo 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Como resultado, obtenemos MCD( 7920 , 594 ) = 198
Minimo común multiplo
Para encontrar común denominador al sumar y restar fracciones con diferentes denominadores necesitas saber y poder calcular minimo común multiplo(NO ACEPTAR).
Un múltiplo del número "a" es un número que a su vez es divisible por el número "a" sin resto.
Números que son múltiplos de 8 (es decir, estos números son divisibles por 8 sin resto): estos son los números 16, 24, 32...
Múltiplos de 9: 18, 27, 36, 45…
Hay infinitos múltiplos de un número dado a, a diferencia de los divisores del mismo número. Hay un número finito de divisores.
El múltiplo común de dos números naturales es un número que es divisible por ambos números..
Minimo común multiplo(MCM) de dos o más números naturales es el número natural más pequeño que a su vez es divisible por cada uno de estos números.
Cómo encontrar NOC
LCM se puede encontrar y escribir de dos maneras.
La primera forma de encontrar el LOC.
Este método se suele utilizar para números pequeños.
- Anotamos en una línea los múltiplos de cada número hasta encontrar un múltiplo que sea igual para ambos números.
- El múltiplo del número “a” se denota con la letra mayúscula “K”.
Ejemplo. Encuentre MCM 6 y 8.
La segunda forma de encontrar el LOC.
Este método es conveniente para encontrar el MCM de tres o más números.
El número de factores idénticos en descomposiciones de números puede ser diferente.
MCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Respuesta: MCM (24, 60) = 120
También puedes formalizar la búsqueda del mínimo común múltiplo (MCM) de la siguiente manera. Encontremos el LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Como vemos en la descomposición de números, todos los factores de 12 están incluidos en la descomposición de 24 (el mayor de los números), por lo que sumamos solo un 2 de la descomposición del número 16 al MCM.
MCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Respuesta: MCM (12, 16, 24) = 48
Casos especiales de búsqueda de un CON
Por ejemplo, MCM (60, 15) = 60
ya que es mutuo números primos no tienen factores primos comunes, entonces su mínimo común múltiplo es igual al producto de estos números.
En nuestro sitio web también puedes utilizar una calculadora especial para encontrar el mínimo común múltiplo en línea para comprobar tus cálculos.
Si un número natural es divisible sólo por 1 y por sí mismo, se llama primo.
Cualquier número natural siempre es divisible por 1 y por sí mismo.
El número 2 es el número primo más pequeño. Este es el único número primo par; los demás números primos son impares.
Hay muchos números primos y el primero de ellos es el número 2. Sin embargo, no existe un último número primo. En la sección “Para estudiar” puedes descargar una tabla de números primos hasta 997.
Pero muchos números naturales también son divisibles por otros números naturales.
- el número 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;
- El número 36 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.
- descomponer los divisores de números en factores primos;
Los números por los cuales un número es divisible por un entero (para 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se llaman divisores de un número.
El divisor de un número natural a es un número natural que divide numero dado"a" sin resto.
Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto.
Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen factores comunes. Estos números son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El máximo divisor de estos números es 12.
El divisor común de dos números dados “a” y “b” es el número por el cual se dividen ambos números dados “a” y “b” sin resto.
Máximo común divisor(MCD) de dos números dados “a” y “b” es mayor número, por el cual se dividen ambos números “a” y “b” sin resto.
Brevemente, el máximo común divisor de los números “a” y “b” se escribe de la siguiente manera::
Ejemplo: mcd (12; 36) = 12.
Los divisores de números en el registro de solución se indican con la letra mayúscula "D".
Los números 7 y 9 tienen un solo divisor común: el número 1. Estos números se llaman números coprimos.
números coprimos- Estos son números naturales que tienen un solo divisor común: el número 1. Su mcd es 1.
Cómo encontrar el máximo común divisor
Para encontrar el mcd de dos o más números naturales necesitas:
Es conveniente escribir cálculos utilizando una barra vertical. A la izquierda de la línea primero escribimos el dividendo, a la derecha, el divisor. A continuación, en la columna de la izquierda anotamos los valores de los cocientes.
Expliquemoslo de inmediato con un ejemplo. Factoricemos los números 28 y 64 en factores primos.
- Destacamos los mismos factores primos en ambos números.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Encuentra el producto de factores primos idénticos y escribe la respuesta;
MCD (28; 64) = 2 2 = 4
Respuesta: MCD (28; 64) = 4
Puede formalizar la ubicación del GCD de dos maneras: en una columna (como se hizo arriba) o "en una fila".
La primera forma de escribir gcd
Calcula mcd 48 y 36.
MCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
La segunda forma de escribir gcd.
Ahora escribamos la solución a la búsqueda de GCD en una línea. Calcula mcd 10 y 15.
En nuestro sitio de información también puede utilizar la ayuda en línea del máximo común divisor para comprobar sus cálculos.
Encontrar el mínimo común múltiplo, métodos, ejemplos de encontrar el MCM.
El material presentado a continuación es una continuación lógica de la teoría del artículo titulado MCM: mínimo común múltiplo, definición, ejemplos, conexión entre LCM y MCD. Aquí hablaremos de encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), y prestaremos especial atención a la resolución de ejemplos. Primero, mostraremos cómo se calcula el MCM de dos números utilizando el MCD de estos números. A continuación, veremos cómo encontrar el mínimo común múltiplo factorizando números en factores primos. Después de esto, nos centraremos en encontrar el MCM de tres o más números y también prestaremos atención a calcular el MCM de números negativos.
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Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD
Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la relación entre MCM y MCD. La conexión existente entre MCM y MCD nos permite calcular el mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a través de un máximo común divisor conocido. La fórmula correspondiente es MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). Veamos ejemplos de cómo encontrar el MCM usando la fórmula dada.
Encuentra el mínimo común múltiplo de dos números 126 y 70.
En este ejemplo a=126, b=70. Usemos la conexión entre MCM y MCD, expresada por la fórmula MCM(a, b)=a·b:MCD(a, b) . Es decir, primero tenemos que encontrar el máximo común divisor de los números 70 y 126, después de lo cual podemos calcular el MCM de estos números usando la fórmula escrita.
Encontremos MCD(126, 70) usando el algoritmo euclidiano: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, por lo tanto, MCD(126, 70)=14.
Ahora encontramos el mínimo común múltiplo requerido: MCM(126, 70)=126·70:MCD(126, 70)= 126·70:14=630.
¿A qué es igual MCM(68, 34)?
Como 68 es divisible por 34, entonces MCD(68, 34)=34. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo: MCM(68, 34)=68·34:MCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Tenga en cuenta que el ejemplo anterior se ajusta a la siguiente regla para encontrar el MCM para números enteros positivos a y b: si a es divisible por b, entonces el mínimo común múltiplo de estos números es a.
Encontrar el MCM factorizando números en factores primos
Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en factorizar números en factores primos. Si compones un producto de todos los factores primos de números dados y luego excluyes de este producto todos los factores primos comunes presentes en las descomposiciones de los números dados, entonces el producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números dados. .
La regla establecida para encontrar el MCM se deriva de la igualdad LCM(a, b)=a·b:MCD(a, b) . De hecho, el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores involucrados en la expansión de los números a y b. A su vez, MCD(a, b) es igual al producto de todos los factores primos presentes simultáneamente en las expansiones de los números a y b (como se describe en la sección sobre cómo encontrar el MCD usando la expansión de números en factores primos).
Pongamos un ejemplo. Sepamos que 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. Compongamos el producto a partir de todos los factores de estas expansiones: 2·3·3·5·5·5·7 . Ahora de este producto excluimos todos los factores presentes tanto en la expansión del número 75 como en la expansión del número 210 (estos factores son 3 y 5), entonces el producto tomará la forma 2·3·5·5·7 . El valor de este producto es igual al mínimo común múltiplo de los números 75 y 210, es decir, MCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Factoriza los números 441 y 700 en factores primos y encuentra el mínimo común múltiplo de estos números.
Factoricemos los números 441 y 700 en factores primos: 
Obtenemos 441=3·3·7·7 y 700=2·2·5·5·7.
Ahora hagamos un producto de todos los factores involucrados en la expansión de estos números: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluyamos de este producto todos los factores que están presentes simultáneamente en ambas expansiones (solo hay uno de esos factores: este es el número 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Por lo tanto, MCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
NOC(441, 700)= 44 100 .
La regla para encontrar el MCM mediante la factorización de números en factores primos se puede formular de manera un poco diferente. Si los factores que faltan en la expansión del número b se suman a los factores de la expansión del número a, entonces el valor del producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números a y b.
Por ejemplo, tomemos los mismos números 75 y 210, sus descomposiciones en factores primos son las siguientes: 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. A los factores 3, 5 y 5 del desarrollo del número 75 le sumamos los factores que faltan 2 y 7 del desarrollo del número 210, obtenemos el producto 2·3·5·5·7, cuyo valor es igual a MCM(75, 210).
Encuentra el mínimo común múltiplo de 84 y 648.
Primero obtenemos las descomposiciones de los números 84 y 648 en factores primos. Parecen 84=2·2·3·7 y 648=2·2·2·3·3·3·3. A los factores 2, 2, 3 y 7 de la expansión del número 84 le sumamos los factores que faltan 2, 3, 3 y 3 de la expansión del número 648, obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7, que es igual a 4 536 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo deseado de 84 y 648 es 4536.
Encontrar el MCM de tres o más números
El mínimo común múltiplo de tres o más números se puede encontrar encontrando secuencialmente el MCM de dos números. Recordemos el teorema correspondiente, que proporciona una forma de encontrar el MCM de tres o más números.
Sean dados los números enteros positivos a 1 , a 2 , …, a k, el mínimo común múltiplo m k de estos números se encuentra calculando secuencialmente m 2 = MCM(a 1 , a 2), m 3 = MCM(m 2 , a 3) , … , m k = MCM(m k−1 , a k) .
Consideremos la aplicación de este teorema usando el ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo de cuatro números.
Encuentra el MCM de cuatro números 140, 9, 54 y 250.
Primero encontramos m 2 = MCM(a 1 , a 2) = MCM(140, 9) . Para ello, utilizando el algoritmo euclidiano, determinamos MCD(140, 9), tenemos 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, por lo tanto, MCD(140, 9)=1, de donde MCM(140, 9)=140·9: MCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Es decir, m 2 = 1 260.
Ahora encontramos m 3 = MCM(m 2 , a 3) = MCM(1 260, 54). Calculémoslo mediante MCD(1 260, 54), que también determinamos mediante el algoritmo euclidiano: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Entonces mcd(1,260, 54)=18, de donde mcd(1,260, 54)= 1,260·54:mcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Es decir, m 3 = 3 780.
Queda por encontrar m 4 = MCM(m 3 , a 4) = MCM(3 780, 250). Para hacer esto, encontramos MCD(3,780, 250) usando el algoritmo euclidiano: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Por lo tanto, MCD(3.780, 250)=10, de donde MCD(3.780, 250)= 3.780·250: MCD(3.780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Es decir, m4 = 94 500.
Entonces, el mínimo común múltiplo de los cuatro números originales es 94,500.
MCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
En muchos casos, es conveniente encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números usando factorizaciones primas de los números dados. En este caso, debes cumplir con la siguiente regla. El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto, el cual se compone de la siguiente manera: los factores que faltan del desarrollo del segundo número se suman a todos los factores del desarrollo del primer número, los factores que faltan del desarrollo del el tercer número se suma a los factores resultantes, y así sucesivamente.
Veamos un ejemplo de cómo encontrar el mínimo común múltiplo usando factorización prima.
Encuentra el mínimo común múltiplo de los cinco números 84, 6, 48, 7, 143.
Primero, obtenemos descomposiciones de estos números en factores primos: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 es un número primo, coincide con su descomposición en factores primos) y 143=11·13.
Para encontrar el MCM de estos números, a los factores del primer número 84 (son 2, 2, 3 y 7), debes sumar los factores que faltan de la expansión del segundo número 6. La descomposición del número 6 no contiene factores faltantes, ya que tanto el 2 como el 3 ya están presentes en la descomposición del primer número 84. A continuación, a los factores 2, 2, 3 y 7 sumamos los factores que faltan 2 y 2 de la expansión del tercer número 48, obtenemos un conjunto de factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7. No será necesario agregar multiplicadores a este conjunto en el siguiente paso, ya que 7 ya está contenido en él. Finalmente, a los factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7 le sumamos los factores que faltan 11 y 13 de la expansión del número 143. Obtenemos el producto 2·2·2·2·3·7·11·13, que es igual a 48.048.
Por lo tanto, MCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
MCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
Encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos
A veces hay tareas en las que es necesario encontrar el mínimo común múltiplo de números, entre los cuales uno, varios o todos los números son negativos. En estos casos, todos los números negativos deben ser reemplazados por sus números opuestos, y luego se debe encontrar el MCM de los números positivos. Esta es la forma de encontrar el MCM de números negativos. Por ejemplo, MCM(54, −34) = MCM(54, 34) y MCM(−622, −46, −54, −888) = MCM(622, 46, 54, 888).
Podemos hacer esto porque el conjunto de múltiplos de a es el mismo que el conjunto de múltiplos de −a (a y −a son números opuestos). De hecho, sea b un múltiplo de a, entonces b es divisible por a, y el concepto de divisibilidad establece la existencia de un número entero q tal que b=a·q. Pero también será cierta la igualdad b=(−a)·(−q), que por el mismo concepto de divisibilidad significa que b es divisible por −a, es decir, b es múltiplo de −a. Lo contrario también es cierto: si b es algún múltiplo de −a, entonces b también es múltiplo de a.
Encuentra el mínimo común múltiplo de números negativos −145 y −45.
Reemplacemos los números negativos −145 y −45 con sus números opuestos 145 y 45. Tenemos MCM(−145, −45) = MCM(145, 45) . Habiendo determinado MCD(145, 45)=5 (por ejemplo, usando el algoritmo euclidiano), calculamos MCD(145, 45)=145·45:MCD(145, 45)= 145·45:5=1 305. Por tanto, el mínimo común múltiplo de los números enteros negativos −145 y −45 es 1.305.
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Seguimos estudiando la división. EN Esta lección veremos conceptos como MCD Y CON.
MCD es el máximo común divisor.
CON es el mínimo común múltiplo.
El tema es bastante aburrido, pero definitivamente debes entenderlo. Sin comprender este tema, no podrás trabajar eficazmente con fracciones, que son un verdadero obstáculo en matemáticas.
Máximo común divisor
Definición. Máximo común divisor de números a Y b a Y b dividido sin resto.
Para entender bien esta definición, sustituyamos las variables a Y b dos números cualesquiera, por ejemplo, en lugar de una variable a Sustituyamos el número 12, y en lugar de la variable b número 9. Ahora intentemos leer esta definición:
Máximo común divisor de números 12 Y 9 es el mayor número por el cual 12 Y 9 dividido sin resto.
De la definición se desprende claramente que estamos hablando del divisor común de los números 12 y 9, y este divisor es el mayor de todos los divisores existentes. Es necesario encontrar este máximo común divisor (MCD).
Para encontrar el máximo común divisor de dos números, se utilizan tres métodos. El primer método requiere bastante mano de obra, pero le permite comprender claramente la esencia del tema y sentir todo su significado.
El segundo y tercer método son bastante simples y permiten encontrar rápidamente un GCD. Analizaremos los tres métodos. Y usted elige cuál utilizar en la práctica.
El primer método consiste en encontrar todos los divisores posibles de dos números y elegir el mayor. Veamos este método. siguiente ejemplo: encontrar el máximo común divisor de los números 12 y 9.
Primero, encontraremos todos los divisores posibles del número 12. Para hacer esto, dividiremos 12 entre todos los divisores en el rango de 1 a 12. Si el divisor nos permite dividir 12 sin resto, entonces lo resaltaremos en azul y haga una explicación apropiada entre paréntesis.
12: 1 = 12
(12 se divide por 1 sin resto, lo que significa que 1 es divisor del número 12)
12: 2 = 6
(12 se divide por 2 sin resto, lo que significa que 2 es divisor del número 12)
12: 3 = 4
(12 se divide por 3 sin resto, lo que significa que 3 es divisor del número 12)
12: 4 = 3
(12 se divide entre 4 sin resto, lo que significa que 4 es divisor del número 12)
12: 5 = 2 (sobran 2)
(12 no se divide por 5 sin resto, lo que significa que 5 no es divisor del número 12)
12: 6 = 2
(12 se divide por 6 sin resto, lo que significa que 6 es divisor del número 12)
12: 7 = 1 (5 sobrantes)
(12 no se divide por 7 sin resto, lo que significa que 7 no es divisor del número 12)
12: 8 = 1 (4 sobrantes)
(12 no se divide entre 8 sin resto, lo que significa que 8 no es divisor de 12)
12: 9 = 1 (3 sobrantes)
(12 no se divide por 9 sin resto, lo que significa que 9 no es divisor del número 12)
12: 10 = 1 (2 sobrantes)
(12 no se divide por 10 sin resto, lo que significa que 10 no es divisor del número 12)
12: 11 = 1 (1 sobrante)
(12 no se divide por 11 sin resto, lo que significa que 11 no es divisor de 12)
12: 12 = 1
(12 se divide entre 12 sin resto, lo que significa que 12 es divisor del número 12)
Ahora busquemos los divisores del número 9. Para ello, verifica todos los divisores del 1 al 9.
9: 1 = 9
(9 se divide por 1 sin resto, lo que significa que 1 es divisor del número 9)
9: 2 = 4 (1 sobrante)
(9 no se divide por 2 sin resto, lo que significa que 2 no es divisor del número 9)
9: 3 = 3
(9 se divide por 3 sin resto, lo que significa que 3 es divisor del número 9)
9: 4 = 2 (1 sobrante)
(9 no se divide por 4 sin resto, lo que significa que 4 no es divisor del número 9)
9: 5 = 1 (4 sobrantes)
(9 no se divide por 5 sin resto, lo que significa que 5 no es divisor del número 9)
9: 6 = 1 (3 sobrantes)
(9 no se divide por 6 sin resto, lo que significa que 6 no es divisor del número 9)
9: 7 = 1 (2 sobrantes)
(9 no se divide por 7 sin resto, lo que significa que 7 no es divisor del número 9)
9: 8 = 1 (1 sobrante)
(9 no se divide por 8 sin resto, lo que significa que 8 no es divisor del número 9)
9: 9 = 1
(9 se divide entre 9 sin resto, lo que significa que 9 es divisor del número 9)
Ahora anotemos los divisores de ambos números. Los números resaltados en azul son divisores. Anotémoslos:
Al escribir los divisores, puedes determinar inmediatamente cuál es el mayor y el más común.
Por definición, el máximo común divisor de los números 12 y 9 es el número que divide a 12 y 9 sin resto. El mayor y común divisor de los números 12 y 9 es el número 3.
Tanto el número 12 como el número 9 son divisibles por 3 sin resto:
Entonces mcd (12 y 9) = 3
La segunda forma de encontrar GCD
Ahora veamos el segundo método para encontrar el máximo común divisor. La esencia este método es factorizar ambos números en factores primos y multiplicar los comunes.
Ejemplo 1. Encuentra el mcd de los números 24 y 18
Primero, factoricemos ambos números en factores primos:
Ahora multipliquemos sus factores comunes. Para evitar confusiones, se pueden enfatizar los factores comunes.
Observamos el desarrollo del número 24. Su primer factor es 2. Buscamos el mismo factor en el desarrollo del número 18 y vemos que está ahí también. Destacamos ambos dos:
Volvemos a mirar el desarrollo del número 24. Su segundo factor también es 2. Buscamos el mismo factor en el desarrollo del número 18 y vemos que por segunda vez ya no está. Entonces no enfatizamos nada.
Los dos siguientes en la expansión del número 24 también están ausentes en la expansión del número 18.
Pasemos al último factor en el desarrollo del número 24. Este es el factor 3. Buscamos el mismo factor en el desarrollo del número 18 y vemos que también está ahí. Destacamos ambos tres:
Entonces, los factores comunes de los números 24 y 18 son los factores 2 y 3. Para obtener MCD, estos factores deben multiplicarse:
Entonces mcd (24 y 18) = 6
La tercera forma de encontrar GCD
Ahora veamos la tercera forma de encontrar el máximo común divisor. La esencia de este método es que los números que se encuentran para el máximo común divisor se descomponen en factores primos. Luego, de la expansión del primer número se tachan los factores que no están incluidos en la expansión del segundo número. Los números restantes de la primera expansión se multiplican y se obtiene MCD.
Por ejemplo, encontremos MCD para los números 28 y 16 usando este método. En primer lugar, descomponemos estos números en factores primos:
Obtuvimos dos expansiones: y
Ahora de la descomposición del primer número eliminaremos los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número. La ampliación del segundo número no incluye siete. Tachémoslo de la primera expansión:
Ahora multiplicamos los factores restantes y obtenemos MCD:
El número 4 es el máximo común divisor de los números 28 y 16. Ambos números son divisibles por 4 sin resto:
Ejemplo 2. Encuentra el mcd de los números 100 y 40
Factorizando el número 100
Factorizando el número 40
Tenemos dos expansiones:
Ahora de la descomposición del primer número eliminaremos los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número. La expansión del segundo número no incluye un cinco (solo hay un cinco). Tachémoslo de la primera expansión.
Multipliquemos los números restantes:
Recibimos la respuesta 20. Esto significa que el número 20 es el máximo común divisor de los números 100 y 40. Estos dos números son divisibles por 20 sin resto:
MCD (100 y 40) = 20.
Ejemplo 3. Encuentra el mcd de los números 72 y 128
Factorizando el número 72
Factorizando el número 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Ahora de la descomposición del primer número eliminaremos los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número. La expansión del segundo número no incluye dos trillizos (no están allí en absoluto). Tachémoslos de la primera expansión:
Recibimos la respuesta 8. Esto significa que el número 8 es el máximo común divisor de los números 72 y 128. Estos dos números son divisibles por 8 sin resto:
MCD (72 y 128) = 8
Encontrar MCD para varios números
El máximo común divisor se puede encontrar para varios números, no solo para dos. Para hacer esto, los números que se deben encontrar para el máximo común divisor se descomponen en factores primos y luego se calcula el producto de los factores primos comunes de estos números.
Por ejemplo, encontremos MCD para los números 18, 24 y 36.
Factoricemos el número 18.
Factoricemos el número 24.
Factoricemos el número 36
Tenemos tres expansiones:
Ahora resaltemos y subrayemos los factores comunes en estos números. Los factores comunes deben aparecer en los tres números:
Vemos que los factores comunes de los números 18, 24 y 36 son los factores 2 y 3. Multiplicando estos factores obtenemos el mcd que buscamos:
Recibimos la respuesta 6. Esto significa que el número 6 es el máximo común divisor de los números 18, 24 y 36. Estos tres números son divisibles por 6 sin resto:
MCD (18, 24 y 36) = 6
Ejemplo 2. Encuentra MCD para los números 12, 24, 36 y 42
Factoricemos cada número en factores primos. Luego encontramos el producto de los factores comunes de estos números.
Factoriza el número 12
Factoricemos el número 42.
Tenemos cuatro expansiones:
Ahora resaltemos y subrayemos los factores comunes en estos números. Los factores comunes deben aparecer en los cuatro números:
Vemos que los factores comunes de los números 12, 24, 36 y 42 son los factores de 2 y 3. Multiplicar estos factores nos da el mcd que estamos buscando:
Recibimos la respuesta 6. Esto significa que el número 6 es el máximo común divisor de los números 12, 24, 36 y 42. Estos números son divisibles por 6 sin resto:
MCD (12, 24, 36 y 42) = 6
De la lección anterior sabemos que si un número se divide por otro sin resto, se llama múltiplo de este número.
Resulta que varios números pueden tener un múltiplo común. Y ahora nos interesará el múltiplo de dos números, y debería ser lo más pequeño posible.
Definición. Mínimo común múltiplo (MCM) de números a Y b- a Y b a y numero b.
La definición contiene dos variables. a Y b. Sustituyamos dos números cualesquiera en lugar de estas variables. Por ejemplo, en lugar de una variable a Sustituyamos el número 9, y en lugar de la variable b Sustituyamos el número 12. Ahora intentemos leer la definición:
Mínimo común múltiplo (MCM) de números 9 Y 12 - Este número más pequeño, que es un múltiplo 9 Y 12 . En otras palabras, este es un número tan pequeño que es divisible sin resto por el número 9 y por numero 12 .
De la definición queda claro que el MCM es el número más pequeño que es divisible entre 9 y 12 sin resto. Es necesario encontrar este MCM.
Para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), puedes utilizar dos métodos. La primera forma es escribir los primeros múltiplos de dos números y luego elegir entre estos múltiplos un número que sea común a ambos números y pequeño. Apliquemos este método.
En primer lugar, encontremos los primeros múltiplos del número 9. Para encontrar los múltiplos de 9, debes multiplicar este nueve uno por uno por los números del 1 al 9. Las respuestas resultantes serán múltiplos del número 9. Entonces, vamos a empezar. Destacaremos los múltiplos en rojo:
Ahora encontramos los múltiplos del número 12. Para ello, multiplicamos el 12 uno a uno por todos los números del 1 al 12.
Pero muchos números naturales también son divisibles por otros números naturales.
Por ejemplo:
El número 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;
El número 36 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.
Los números por los cuales un número es divisible por un entero (para 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se llaman divisores de numeros. Divisor de un número natural a- es un número natural que divide a un número dado a sin dejar rastro. Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto. Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen factores comunes. Estos números son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El máximo divisor de estos números es 12.
Divisor común de dos números dados a Y b- este es el número por el cual se dividen ambos números dados sin resto a Y b. Divisor común de varios números (MCD) es un número que sirve de divisor para cada uno de ellos.
Brevemente máximo común divisor de números a Y b escríbelo así:
Ejemplo: MCD (12; 36) = 12.
Los divisores de números en el registro de solución se indican con la letra mayúscula "D".
Ejemplo:
MCD (7; 9) = 1
Los números 7 y 9 tienen un solo divisor común: el número 1. Estos números se llaman mutuamente primoschi slami.
números coprimos- estos son números naturales que tienen un solo divisor común: el número 1. Su mcd es 1.
Máximo común divisor (MCD), propiedades.
- Propiedad básica: máximo común divisor metro Y norte es divisible por cualquier divisor común de estos números. Ejemplo: Para los números 12 y 18, el máximo común divisor es 6; se divide por todos los divisores comunes de estos números: 1, 2, 3, 6.
- Corolario 1: conjunto de divisores comunes metro Y norte coincide con el conjunto de divisores del MCD ( metro, norte).
- Corolario 2: conjunto de múltiplos comunes metro Y norte coincide con el conjunto de múltiples LCM ( metro, norte).
Esto significa, en particular, que para reducir una fracción a una forma irreducible, es necesario dividir su numerador y denominador por su mcd.
- Máximo común divisor de números metro Y norte se puede definir como el elemento positivo más pequeño del conjunto de todas sus combinaciones lineales:
y por lo tanto representarlo como una combinación lineal de números metro Y norte:
Esta relación se llama La relación de Bezout, y los coeficientes tu Y v — coeficientes de Bezout. Los coeficientes de Bezout se calculan de manera eficiente mediante el algoritmo euclidiano extendido. Esta afirmación se generaliza a conjuntos de números naturales; su significado es que el subgrupo del grupo generado por el conjunto es cíclico y generado por un elemento: MCD ( a 1 , a 2 , … , un).
Calcula el máximo común divisor (MCD).
Las formas eficientes de calcular el mcd de dos números son Algoritmo euclidiano Y binarioalgoritmo. Además, el valor de mcd ( metro,norte) se puede calcular fácilmente si se conoce la expansión canónica de los números metro Y norte en factores primos:
donde son números primos distintos y y son números enteros no negativos (pueden ser ceros si el primo correspondiente no está en la expansión). Entonces MCD ( metro,norte) y NOC ( metro,norte) se expresan mediante las fórmulas:
Si hay más de dos números: , su mcd se encuentra utilizando el siguiente algoritmo:
- este es el GCD deseado.
Además, para encontrar máximo común divisor, puedes factorizar cada uno de los números dados en factores primos. Luego, escriba por separado solo aquellos factores que están incluidos en todos los números dados. Luego multiplicamos los números escritos; el resultado de la multiplicación es el máximo común divisor. .
Veamos el cálculo del máximo común divisor paso a paso:
1. Descomponer los divisores de números en factores primos:
Es conveniente escribir cálculos utilizando una barra vertical. A la izquierda de la línea primero escribimos el dividendo, a la derecha, el divisor. A continuación, en la columna de la izquierda anotamos los valores de los cocientes. Expliquemoslo de inmediato con un ejemplo. Factoricemos los números 28 y 64 en factores primos.
2. Destacamos los mismos factores primos en ambos números:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Encuentra el producto de factores primos idénticos y escribe la respuesta:
mcd (28; 64) = 2. 2 = 4
Respuesta: MCD (28; 64) = 4
Puede formalizar la ubicación del GCD de dos maneras: en una columna (como se hizo arriba) o "en una fila".
La primera forma de escribir GCD:
Calcula mcd 48 y 36.
MCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
La segunda forma de escribir GCD:
Ahora escribamos la solución a la búsqueda de GCD en una línea. Calcula mcd 10 y 15.
D (10) = (1, 2, 5, 10)
D (15) = (1, 3, 5, 15)
D (10, 15) = (1, 5)