El artículo analiza los conceptos de números primos y compuestos. Las definiciones de dichos números se dan con ejemplos. Proporcionamos evidencia de que la cantidad numeros primos ilimitado y escribe en la tabla de números primos usando el método de Eratóstenes. Se dará evidencia para determinar si un número es primo o compuesto.
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Números primos y compuestos: definiciones y ejemplos
Los números primos y compuestos se clasifican como números enteros positivos. Deben ser mayores que uno. Los divisores también se dividen en simples y compuestos. Para comprender el concepto de números compuestos, primero debes estudiar los conceptos de divisores y múltiplos.
Definición 1
Los números primos son números enteros mayores que uno y que tienen dos divisores positivos, es decir, ellos mismos y 1.
Definición 2
Los números compuestos son números enteros mayores que uno y que tienen al menos tres divisores positivos.
Uno no es un número primo ni compuesto. Tiene un solo divisor positivo, por lo que es diferente de todos los demás números positivos. Todos los números enteros positivos se llaman números naturales, es decir, se utilizan para contar.
Definición 3
numeros primos Son números naturales que sólo tienen dos divisores positivos.
Definición 4
número compuesto- Este número natural, teniendo más de dos divisores positivos.
Cualquier número mayor que 1 es primo o compuesto. De la propiedad de divisibilidad tenemos que el 1 y el número a siempre serán divisores de cualquier número a, es decir, será divisible por sí mismo y por 1. Demos una definición de números enteros.
Definición 5
Los números naturales que no son primos se llaman números compuestos.
Números primos: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sólo son divisibles por sí mismos y por 1. Números compuestos: 6, 63, 121, 6697. Es decir, el número 6 se puede descomponer en 2 y 3, y el 63 en 1, 3, 7, 9, 21, 63 y el 121 en 11, 11, es decir, sus divisores serán 1, 11, 121. El número 6697 se descompone en 37 y 181. Tenga en cuenta que los conceptos de números primos y números coprimos son conceptos diferentes.
Para facilitar el uso de números primos, es necesario utilizar una tabla:
Una tabla para todos los números naturales existentes no es realista, ya que hay un número infinito de ellos. Cuando los números alcanzan tamaños de 10000 o 1000000000, entonces deberías considerar usar el Tamiz de Eratóstenes.
Consideremos el teorema que explica el último enunciado.
Teorema 1
El divisor positivo más pequeño distinto de 1 de un número natural mayor que uno es un número primo.
Evidencia 1
Supongamos que a es un número natural mayor que 1, b es el divisor no uno más pequeño de a. Es necesario demostrar que b es un número primo mediante el método de la contradicción.
Supongamos que b es un número compuesto. De esto tenemos que hay un divisor para b, que es diferente tanto de 1 como de b. Tal divisor se denota como b 1. Es necesario que la condición 1< b 1 < b fue completado.
De la condición se desprende claramente que a se divide por b, b se divide por b 1, lo que significa que el concepto de divisibilidad se expresa de la siguiente manera: a = bq y b = b 1 · q 1 , de donde a = b 1 · (q 1 · q) , donde q y q 1 son números enteros. Según la regla de la multiplicación de números enteros, tenemos que el producto de números enteros es un número entero con igualdad de la forma a = b 1 · (q 1 · q). Se puede observar que b 1 es el divisor del número a. Desigualdad 1< b 1 < b No corresponde, porque encontramos que b es el divisor positivo y distinto de 1 más pequeño de a.
Teorema 2
Hay una cantidad infinita de números primos.
Evidencia 2
Presumiblemente tomamos un número finito de números naturales n y los denotamos como p 1, p 2,…, p n. Consideremos la opción de encontrar un número primo diferente a los indicados.
Consideremos el número p, que es igual a p 1, p 2, ..., p n + 1. No es igual a cada uno de los números correspondientes a números primos de la forma p 1, p 2, ..., p n. El número p es primo. Entonces el teorema se considera probado. Si es compuesto, entonces debes tomar la notación p n + 1 y demostrar que el divisor no coincide con ninguno de p 1, p 2, ..., p n.
Si esto no fuera así, entonces, con base en la propiedad de divisibilidad del producto p 1, p 2, ..., p n , encontramos que sería divisible por pn + 1. Tenga en cuenta que la expresión p n + 1 dividir el número p es igual a la suma p 1, p 2, ..., p n + 1. Obtenemos que la expresión p n + 1 El segundo término de esta suma, que es igual a 1, debe dividirse, pero esto es imposible.
Se puede ver que cualquier número primo se puede encontrar entre cualquier número de números primos dados. De ello se deduce que hay infinitos números primos.
Como hay muchos números primos, las tablas se limitan a los números 100, 1000, 10000, etc.
Al compilar una tabla de números primos, se debe tener en cuenta que dicha tarea requiere una verificación secuencial de los números, comenzando del 2 al 100. Si no hay divisor, se registra en la tabla; si es compuesto, entonces no se ingresa en la tabla.
Veámoslo paso a paso.
Si comienzas con el número 2, entonces solo tiene 2 divisores: 2 y 1, lo que significa que se puede ingresar en la tabla. Lo mismo con el número 3. El número 4 es compuesto; hay que descomponerlo en 2 y 2. El número 5 es primo, lo que significa que se puede registrar en la tabla. Haz esto hasta el número 100.
este método incómodo y largo. Puedes crear una tabla, pero tendrás que gastar. gran número tiempo. Es necesario utilizar criterios de divisibilidad, lo que acelerará el proceso de encontrar divisores.
El método que utiliza el tamiz de Eratóstenes se considera el más conveniente. Veamos las tablas siguientes como ejemplo. Para empezar se anotan los números 2, 3, 4, ..., 50.
Ahora necesitas tachar todos los números que sean múltiplos de 2. Realizar tachados secuenciales. Obtenemos una tabla como:
Pasamos a tachar números que sean múltiplos de 5. Obtenemos:
Tacha los números que sean múltiplos de 7, 11. Al final la mesa parece
Pasemos a la formulación del teorema.
Teorema 3
El divisor positivo más pequeño y distinto de 1 del número base a no excede a, donde a es la raíz aritmética del número dado.
Evidencia 3
Debe ser designado b mínimo divisor número compuesto a. Existe un número entero q, donde a = b · q, y tenemos que b ≤ q. Las desigualdades de forma son inaceptables. b > q, porque se viola la condición. Ambos lados de la desigualdad b ≤ q deben multiplicarse por cualquier número positivo b distinto de 1. Obtenemos que b · b ≤ b · q, donde b 2 ≤ a y b ≤ a.
Del teorema probado se desprende claramente que tachar números en la tabla lleva al hecho de que es necesario comenzar con un número que sea igual a b 2 y satisfaga la desigualdad b 2 ≤ a. Es decir, si tachas números que son múltiplos de 2, entonces el proceso comienza con el 4, y los múltiplos de 3 con el 9, y así hasta el 100.
La compilación de una tabla de este tipo utilizando el teorema de Eratóstenes sugiere que cuando se tachan todos los números compuestos, quedarán números primos que no excedan n. En el ejemplo donde n = 50, tenemos que n = 50. De aquí deducimos que el tamiz de Eratóstenes separa todos los números compuestos que no tienen significado. mayor valor raíz de 50. La búsqueda de números se realiza tachando.
Antes de resolver, debes averiguar si el número es primo o compuesto. A menudo se utilizan criterios de divisibilidad. Veamos esto en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Demuestre que el número 898989898989898989 es compuesto.
Solución
La suma de los dígitos de un número dado es 9 8 + 9 9 = 9 17. Esto significa que el número 9 · 17 es divisible por 9, según la prueba de divisibilidad por 9. De ello se deduce que es compuesto.
Estos signos no pueden demostrar la primacía de un número. Si se necesita verificación, se deben tomar otras acciones. La forma más adecuada es enumerar números. Durante el proceso se pueden encontrar números primos y compuestos. Es decir, los números no deben exceder a en valor. Es decir, el número a debe descomponerse en factores primos. si esto se cumple, entonces el número a puede considerarse primo.
Ejemplo 2
Determina el número compuesto o primo 11723.
Solución
Ahora necesitas encontrar todos los divisores del número 11723. Necesidad de evaluar 11723.
Desde aquí vemos que 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 y 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 menos numero 200 .
Para una estimación más precisa del número 11723, debes escribir la expresión 108 2 = 11 664, y 109 2 = 11 881 , Eso 108 2 < 11 723 < 109 2 . Se deduce que 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Al expandir encontramos que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 son todos números primos. Todo este proceso se puede representar como una división por una columna. Es decir, divida 11723 entre 19. El número 19 es uno de sus factores, ya que obtenemos la división sin resto. Representemos la división como una columna:
De ello se deduce que 11723 es un número compuesto, porque además de sí mismo y 1 tiene un divisor de 19.
Respuesta: 11723 es un número compuesto.
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A continuación se muestra una tabla de números primos del 2 al 10000 (1229 piezas). Unidad no incluida, lo siento. Algunos creen que la unidad no está incluida porque... ella no puede estar allí. " Un número primo es un número que tiene dos divisores: uno y el propio número."Y el número 1 tiene un solo divisor; no se aplica ni a los números primos ni a los compuestos. (observación sensata de Olga 21/09/12) Sin embargo, recordamos que a veces los números primos se ingresan así: " Un número primo es un número que es divisible por uno y por sí mismo."En este caso, uno es obviamente un número primo.
Tabla de números primos del 2 al 1000. La tabla de números primos del 2 al 1000 está resaltada en gris.
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 |
509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 |
751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
1009 | 1013 | 1019 | 1021 | 1031 | 1033 | 1039 | 1049 | 1051 | 1061 | 1063 | 1069 |
1087 | 1091 | 1093 | 1097 | 1103 | 1109 | 1117 | 1123 | 1129 | 1151 | 1153 | 1163 |
1171 | 1181 | 1187 | 1193 | 1201 | 1213 | 1217 | 1223 | 1229 | 1231 | 1237 | 1249 |
1259 | 1277 | 1279 | 1283 | 1289 | 1291 | 1297 | 1301 | 1303 | 1307 | 1319 | 1321 |
1327 | 1361 | 1367 | 1373 | 1381 | 1399 | 1409 | 1423 | 1427 | 1429 | 1433 | 1439 |
1447 | 1451 | 1453 | 1459 | 1471 | 1481 | 1483 | 1487 | 1489 | 1493 | 1499 | 1511 |
1523 | 1531 | 1543 | 1549 | 1553 | 1559 | 1567 | 1571 | 1579 | 1583 | 1597 | 1601 |
1607 | 1609 | 1613 | 1619 | 1621 | 1627 | 1637 | 1657 | 1663 | 1667 | 1669 | 1693 |
1697 | 1699 | 1709 | 1721 | 1723 | 1733 | 1741 | 1747 | 1753 | 1759 | 1777 | 1783 |
1787 | 1789 | 1801 | 1811 | 1823 | 1831 | 1847 | 1861 | 1867 | 1871 | 1873 | 1877 |
1879 | 1889 | 1901 | 1907 | 1913 | 1931 | 1933 | 1949 | 1951 | 1973 | 1979 | 1987 |
1993 | 1997 | 1999 | 2003 | 2011 | 2017 | 2027 | 2029 | 2039 | 2053 | 2063 | 2069 |
2081 | 2083 | 2087 | 2089 | 2099 | 2111 | 2113 | 2129 | 2131 | 2137 | 2141 | 2143 |
2153 | 2161 | 2179 | 2203 | 2207 | 2213 | 2221 | 2237 | 2239 | 2243 | 2251 | 2267 |
2269 | 2273 | 2281 | 2287 | 2293 | 2297 | 2309 | 2311 | 2333 | 2339 | 2341 | 2347 |
2351 | 2357 | 2371 | 2377 | 2381 | 2383 | 2389 | 2393 | 2399 | 2411 | 2417 | 2423 |
2437 | 2441 | 2447 | 2459 | 2467 | 2473 | 2477 | 2503 | 2521 | 2531 | 2539 | 2543 |
2549 | 2551 | 2557 | 2579 | 2591 | 2593 | 2609 | 2617 | 2621 | 2633 | 2647 | 2657 |
2659 | 2663 | 2671 | 2677 | 2683 | 2687 | 2689 | 2693 | 2699 | 2707 | 2711 | 2713 |
2719 | 2729 | 2731 | 2741 | 2749 | 2753 | 2767 | 2777 | 2789 | 2791 | 2797 | 2801 |
2803 | 2819 | 2833 | 2837 | 2843 | 2851 | 2857 | 2861 | 2879 | 2887 | 2897 | 2903 |
2909 | 2917 | 2927 | 2939 | 2953 | 2957 | 2963 | 2969 | 2971 | 2999 | 3001 | 3011 |
3019 | 3023 | 3037 | 3041 | 3049 | 3061 | 3067 | 3079 | 3083 | 3089 | 3109 | 3119 |
3121 | 3137 | 3163 | 3167 | 3169 | 3181 | 3187 | 3191 | 3203 | 3209 | 3217 | 3221 |
3229 | 3251 | 3253 | 3257 | 3259 | 3271 | 3299 | 3301 | 3307 | 3313 | 3319 | 3323 |
3329 | 3331 | 3343 | 3347 | 3359 | 3361 | 3371 | 3373 | 3389 | 3391 | 3407 | 3413 |
3433 | 3449 | 3457 | 3461 | 3463 | 3467 | 3469 | 3491 | 3499 | 3511 | 3517 | 3527 |
3529 | 3533 | 3539 | 3541 | 3547 | 3557 | 3559 | 3571 | 3581 | 3583 | 3593 | 3607 |
3613 | 3617 | 3623 | 3631 | 3637 | 3643 | 3659 | 3671 | 3673 | 3677 | 3691 | 3697 |
3701 | 3709 | 3719 | 3727 | 3733 | 3739 | 3761 | 3767 | 3769 | 3779 | 3793 | 3797 |
3803 | 3821 | 3823 | 3833 | 3847 | 3851 | 3853 | 3863 | 3877 | 3881 | 3889 | 3907 |
3911 | 3917 | 3919 | 3923 | 3929 | 3931 | 3943 | 3947 | 3967 | 3989 | 4001 | 4003 |
4007 | 4013 | 4019 | 4021 | 4027 | 4049 | 4051 | 4057 | 4073 | 4079 | 4091 | 4093 |
4099 | 4111 | 4127 | 4129 | 4133 | 4139 | 4153 | 4157 | 4159 | 4177 | 4201 | 4211 |
4217 | 4219 | 4229 | 4231 | 4241 | 4243 | 4253 | 4259 | 4261 | 4271 | 4273 | 4283 |
4289 | 4297 | 4327 | 4337 | 4339 | 4349 | 4357 | 4363 | 4373 | 4391 | 4397 | 4409 |
4421 | 4423 | 4441 | 4447 | 4451 | 4457 | 4463 | 4481 | 4483 | 4493 | 4507 | 4513 |
4517 | 4519 | 4523 | 4547 | 4549 | 4561 | 4567 | 4583 | 4591 | 4597 | 4603 | 4621 |
4637 | 4639 | 4643 | 4649 | 4651 | 4657 | 4663 | 4673 | 4679 | 4691 | 4703 | 4721 |
4723 | 4729 | 4733 | 4751 | 4759 | 4783 | 4787 | 4789 | 4793 | 4799 | 4801 | 4813 |
4817 | 4831 | 4861 | 4871 | 4877 | 4889 | 4903 | 4909 | 4919 | 4931 | 4933 | 4937 |
4943 | 4951 | 4957 | 4967 | 4969 | 4973 | 4987 | 4993 | 4999 | 5003 | 5009 | 5011 |
5021 | 5023 | 5039 | 5051 | 5059 | 5077 | 5081 | 5087 | 5099 | 5101 | 5107 | 5113 |
5119 | 5147 | 5153 | 5167 | 5171 | 5179 | 5189 | 5197 | 5209 | 5227 | 5231 | 5233 |
5237 | 5261 | 5273 | 5279 | 5281 | 5297 | 5303 | 5309 | 5323 | 5333 | 5347 | 5351 |
5381 | 5387 | 5393 | 5399 | 5407 | 5413 | 5417 | 5419 | 5431 | 5437 | 5441 | 5443 |
5449 | 5471 | 5477 | 5479 | 5483 | 5501 | 5503 | 5507 | 5519 | 5521 | 5527 | 5531 |
5557 | 5563 | 5569 | 5573 | 5581 | 5591 | 5623 | 5639 | 5641 | 5647 | 5651 | 5653 |
5657 | 5659 | 5669 | 5683 | 5689 | 5693 | 5701 | 5711 | 5717 | 5737 | 5741 | 5743 |
5749 | 5779 | 5783 | 5791 | 5801 | 5807 | 5813 | 5821 | 5827 | 5839 | 5843 | 5849 |
5851 | 5857 | 5861 | 5867 | 5869 | 5879 | 5881 | 5897 | 5903 | 5923 | 5927 | 5939 |
5953 | 5981 | 5987 | 6007 | 6011 | 6029 | 6037 | 6043 | 6047 | 6053 | 6067 | 6073 |
6079 | 6089 | 6091 | 6101 | 6113 | 6121 | 6131 | 6133 | 6143 | 6151 | 6163 | 6173 |
6197 | 6199 | 6203 | 6211 | 6217 | 6221 | 6229 | 6247 | 6257 | 6263 | 6269 | 6271 |
6277 | 6287 | 6299 | 6301 | 6311 | 6317 | 6323 | 6329 | 6337 | 6343 | 6353 | 6359 |
6361 | 6367 | 6373 | 6379 | 6389 | 6397 | 6421 | 6427 | 6449 | 6451 | 6469 | 6473 |
6481 | 6491 | 6521 | 6529 | 6547 | 6551 | 6553 | 6563 | 6569 | 6571 | 6577 | 6581 |
6599 | 6607 | 6619 | 6637 | 6653 | 6659 | 6661 | 6673 | 6679 | 6689 | 6691 | 6701 |
6703 | 6709 | 6719 | 6733 | 6737 | 6761 | 6763 | 6779 | 6781 | 6791 | 6793 | 6803 |
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Calificación del artículo:
En este artículo exploraremos numeros primos y compuestos. Primero, daremos definiciones de números primos y compuestos, y también daremos ejemplos. Después de esto demostraremos que existen infinitos números primos. A continuación, escribiremos una tabla de números primos y consideraremos métodos para compilar una tabla de números primos, prestando especial atención al método llamado tamiz de Eratóstenes. En conclusión, destacamos los puntos principales que deben tenerse en cuenta a la hora de demostrar que numero dado es simple o compuesto.
Navegación de páginas.
Números primos y compuestos: definiciones y ejemplos
Los conceptos de números primos y números compuestos se refieren a números mayores que uno. Estos números enteros, según el número de sus divisores positivos, se dividen en números primos y compuestos. entonces para entender definiciones de números primos y compuestos, debes tener una buena comprensión de qué son los divisores y los múltiplos.
Definición.
numeros primos Son números enteros, unidades grandes, que tienen sólo dos divisores positivos, es decir, ellos mismos y 1.
Definición.
Números compuestos son números enteros, grandes, que tienen al menos tres divisores positivos.
Por separado, observamos que el número 1 no se aplica ni a los números primos ni a los compuestos. La unidad tiene un solo divisor positivo, que es el propio número 1. Esto distingue el número 1 de todos los demás números enteros positivos que tienen al menos dos divisores positivos.
Considerando que los números enteros positivos son y que sólo se tiene un divisor positivo, podemos dar otras formulaciones de las definiciones dadas de números primos y compuestos.
Definición.
numeros primos Son números naturales que sólo tienen dos divisores positivos.
Definición.
Números compuestos Son números naturales que tienen más de dos divisores positivos.
Tenga en cuenta que todo número entero positivo mayor que uno es un número primo o compuesto. En otras palabras, no existe un solo número entero que no sea primo ni compuesto. Esto se desprende de la propiedad de divisibilidad, que establece que los números 1 y a son siempre divisores de cualquier número entero a.
Con base en la información del párrafo anterior, podemos dar la siguiente definición de números compuestos.
Definición.
Los números naturales que no son primos se llaman compuesto.
vamos a dar ejemplos de números primos y compuestos.
Ejemplos de números compuestos incluyen 6, 63, 121 y 6697. Esta afirmación también necesita aclaración. El número 6, además de los divisores positivos 1 y 6, también tiene divisores 2 y 3, ya que 6 = 2 3, por lo tanto 6 es verdaderamente un número compuesto. Los factores positivos de 63 son los números 1, 3, 7, 9, 21 y 63. El número 121 es igual al producto 11·11, por lo que sus divisores positivos son 1, 11 y 121. Y el número 6.697 es compuesto, ya que sus divisores positivos, además de 1 y 6.697, también son los números 37 y 181.
Para concluir este punto, también me gustaría llamar la atención sobre el hecho de que los números primos y los números coprimos están lejos de ser lo mismo.
tabla de números primos
Los números primos, para facilitar su uso posterior, se registran en una tabla llamada tabla de números primos. A continuación se muestra tabla de números primos hasta 1.000.
surge pregunta lógica: “¿Por qué llenamos la tabla de números primos solo hasta el 1.000, no es posible hacer una tabla de todos los números primos que existen”?
Respondamos primero la primera parte de esta pregunta. Para la mayoría de los problemas que requieren el uso de números primos, los números primos hasta mil serán suficientes. En otros casos, lo más probable es que tengas que recurrir a algunas técnicas de solución especiales. Aunque ciertamente podemos crear una tabla de números primos hasta un número entero positivo finito arbitrariamente grande, ya sea 10.000 o 1.000.000.000, en el siguiente párrafo hablaremos sobre métodos para crear tablas de números primos, en particular, veremos un método. llamado.
Ahora veamos la posibilidad (o más bien, la imposibilidad) de compilar una tabla de todos los números primos existentes. No podemos hacer una tabla de todos los números primos porque hay infinitos números primos. El último enunciado es un teorema que demostraremos después del siguiente teorema auxiliar.
Teorema.
El divisor positivo más pequeño distinto de 1 de un número natural mayor que uno es un número primo.
Prueba.
Dejar a es un número natural mayor que uno y b es el divisor positivo más pequeño de a distinto de uno. Demostremos que b es un número primo por contradicción.
Supongamos que b es un número compuesto. Luego hay un divisor del número b (llamémoslo b 1), que es diferente tanto de 1 como de b. Si además tenemos en cuenta que el valor absoluto del divisor no excede el valor absoluto del dividendo (lo sabemos por las propiedades de la divisibilidad), entonces se debe cumplir la condición 1.
Dado que el número a es divisible por b según la condición, y dijimos que b es divisible por b 1, el concepto de divisibilidad nos permite hablar de la existencia de números enteros q y q 1 tales que a=b q y b=b 1 q 1 , de donde a= b 1 ·(q 1 ·q) . Se deduce que el producto de dos números enteros es un número entero, entonces la igualdad a=b 1 ·(q 1 ·q) indica que b 1 es divisor del número a. Teniendo en cuenta las desigualdades anteriores 1
Ahora podemos demostrar que hay infinitos números primos.
Teorema.
Hay una cantidad infinita de números primos.
Prueba.
Supongamos que este no es el caso. Es decir, supongamos que sólo hay n números primos, y estos números primos son p 1, p 2, ..., p n. Demostremos que siempre podemos encontrar un número primo diferente a los indicados.
Considere el número p igual a p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Está claro que este número es diferente de cada uno de los números primos p 1, p 2, ..., p n. Si el número p es primo, entonces el teorema está demostrado. Si este número es compuesto, entonces, en virtud del teorema anterior, existe un divisor primo de este número (lo denotamos p n+1). Demostremos que este divisor no coincide con ninguno de los números p 1, p 2, ..., p n.
Si esto no fuera así, entonces, según las propiedades de divisibilidad, el producto p 1 ·p 2 ·…·p n se dividiría por p n+1. Pero el número p también es divisible por p n+1, igual a la suma p 1 ·p 2 ·…·p n +1. De ello se deduce que p n+1 debe dividir el segundo término de esta suma, que es igual a uno, pero esto es imposible.
Así, se ha demostrado que siempre se puede encontrar un nuevo número primo que no esté incluido entre ningún número de números primos predeterminados. Por tanto, hay infinitos números primos.
Entonces, debido al hecho de que hay un número infinito de números primos, al compilar tablas de números primos, siempre te limitas desde arriba a algún número, generalmente 100, 1000, 10000, etc.
Tamiz de Eratóstenes
Ahora discutiremos formas de crear tablas de números primos. Supongamos que necesitamos hacer una tabla de números primos hasta 100.
El método más obvio para resolver este problema es comprobar secuencialmente en números enteros positivos, empezando por 2 y terminando en 100, la presencia de un divisor positivo que sea mayor que 1 y menor que el número que se está probando (por las propiedades de divisibilidad sabemos que el valor absoluto del divisor no exceda el valor absoluto del dividendo, distinto de cero). Si no se encuentra dicho divisor, entonces el número que se está probando es primo y se ingresa en la tabla de números primos. Si se encuentra dicho divisor, entonces el número que se está probando es compuesto y NO se ingresa en la tabla de números primos. Después de esto, hay una transición al siguiente número, en el que se verifica de manera similar la presencia de un divisor.
Describamos los primeros pasos.
Empezamos con el número 2. El número 2 no tiene divisores positivos excepto 1 y 2. Por tanto, es sencillo, por eso lo ingresamos en la tabla de números primos. Aquí cabe decir que 2 es el número primo más pequeño. Pasemos al número 3. Su posible divisor positivo distinto de 1 y 3 es el número 2. Pero 3 no es divisible por 2, por lo tanto, 3 es un número primo y también debe incluirse en la tabla de números primos. Pasemos al número 4. Sus divisores positivos, distintos de 1 y 4, pueden ser los números 2 y 3, comprobémoslos. El número 4 es divisible por 2, por lo tanto, 4 es un número compuesto y no es necesario incluirlo en la tabla de números primos. Tenga en cuenta que 4 es el número compuesto más pequeño. Pasemos al número 5. Comprobamos si al menos uno de los números 2, 3, 4 es su divisor. Como 5 no es divisible por 2, 3 o 4, entonces es primo y debe anotarse en la tabla de números primos. Luego hay una transición a los números 6, 7 y así hasta 100.
Este enfoque para compilar una tabla de números primos está lejos de ser ideal. De una forma u otra, tiene derecho a existir. Tenga en cuenta que con este método de construir una tabla de números enteros, puede utilizar criterios de divisibilidad, lo que acelerará ligeramente el proceso de encontrar divisores.
Existe una forma más cómoda de crear una tabla de números primos, llamada. La palabra "tamiz" presente en el nombre no es accidental, ya que las acciones de este método ayudan, por así decirlo, a "tamizar" números enteros y unidades grandes a través del tamiz de Eratóstenes para separar los simples de los compuestos.
Mostremos el tamiz de Eratóstenes en acción al compilar una tabla de números primos hasta 50.
Primero, escribe los números 2, 3, 4, ..., 50 en orden.
El primer número escrito, 2, es primo. Ahora, desde el número 2, nos movemos secuencialmente hacia la derecha dos números y tachamos estos números hasta llegar al final de la tabla de números que se está compilando. Esto tachará todos los números que sean múltiplos de dos.
El primer número después del 2 que no está tachado es el 3. Este número es primo. Ahora, desde el número 3, nos movemos secuencialmente hacia la derecha tres números (teniendo en cuenta los números ya tachados) y los tachamos. Esto tachará todos los números que sean múltiplos de tres.
El primer número después del 3 que no está tachado es el 5. Este número es primo. Ahora desde el número 5 nos movemos secuencialmente hacia la derecha 5 números (también tenemos en cuenta los números tachados anteriormente) y los tachamos. Esto tachará todos los números que sean múltiplos de cinco.
A continuación, tachamos los números que son múltiplos de 7, luego múltiplos de 11, y así sucesivamente. El proceso finaliza cuando no quedan más números para tachar. A continuación se muestra la tabla completa de números primos hasta 50, obtenida utilizando el tamiz de Eratóstenes. Todos los números no tachados son primos y todos los números tachados son compuestos.
También formulemos y demostremos un teorema que acelerará el proceso de elaboración de una tabla de números primos utilizando el tamiz de Eratóstenes.
Teorema.
El divisor positivo más pequeño de un número compuesto a que es diferente de uno no excede de , donde es de a .
Prueba.
Denotemos con la letra b el divisor más pequeño de un número compuesto a que es diferente de uno (el número b es primo, como se desprende del teorema demostrado al principio del párrafo anterior). Entonces hay un número entero q tal que a=b·q (aquí q es un número entero positivo, que se sigue de las reglas de multiplicación de números enteros), y (para b>q se viola la condición de que b sea el mínimo divisor de a , ya que q también es divisor del número a debido a la igualdad a=q·b ). Multiplicando ambos lados de la desigualdad por un número entero positivo b mayor que uno (se nos permite hacer esto), obtenemos , de donde y .
¿Qué nos aporta el teorema demostrado respecto a la criba de Eratóstenes?
En primer lugar, tachar números compuestos que sean múltiplos de un número primo b debe comenzar con un número igual a (esto se desprende de la desigualdad). Por ejemplo, al tachar números que son múltiplos de dos se debe comenzar con el número 4, los múltiplos de tres con el número 9, los múltiplos de cinco con el número 25, etc.
En segundo lugar, compilar una tabla de números primos hasta el número n usando el tamiz de Eratóstenes puede considerarse completa cuando todos los números compuestos que son múltiplos de números primos no exceden . En nuestro ejemplo, n=50 (ya que estamos haciendo una tabla de números primos hasta 50) y, por tanto, el tamiz de Eratóstenes debería eliminar todos los números compuestos que sean múltiplos de los números primos 2, 3, 5 y 7 que lo hagan. no exceder la raíz cuadrada aritmética de 50. Es decir, ya no necesitamos buscar y tachar números que sean múltiplos de los números primos 11, 13, 17, 19, 23 y así hasta el 47, ya que ya estarán tachados como múltiplos de los números primos más pequeños 2. , 3, 5 y 7 .
¿Este número es primo o compuesto?
Algunas tareas requieren averiguar si un número determinado es primo o compuesto. En general, esta tarea no es nada sencilla, especialmente en el caso de números cuya escritura consta de un número importante de caracteres. En la mayoría de los casos, hay que buscar alguna forma concreta de solucionarlo. Sin embargo, intentaremos orientar la línea de pensamiento para casos simples.
Por supuesto, puedes intentar utilizar pruebas de divisibilidad para demostrar que un número determinado es compuesto. Si, por ejemplo, alguna prueba de divisibilidad muestra que un número dado es divisible por algún entero positivo mayor que uno, entonces el número original es compuesto.
Ejemplo.
Demuestre que 898.989.898.989.898.989 es un número compuesto.
Solución.
La suma de los dígitos de este número es 9·8+9·9=9·17. Dado que el número igual a 9·17 es divisible por 9, entonces, según el criterio de divisibilidad entre 9, se puede argumentar que el número original también es divisible por 9. Por tanto, es compuesto.
Un inconveniente importante de este enfoque es que los criterios de divisibilidad no permiten demostrar la primacía de un número. Por lo tanto, al verificar un número para ver si es primo o compuesto, debes proceder de manera diferente.
El enfoque más lógico es probar con todos los divisores posibles de un número determinado. Si ninguno de los posibles divisores es verdadero divisor de un número dado, entonces este número será primo; de lo contrario, será compuesto. De los teoremas demostrados en el párrafo anterior se deduce que los divisores de un número dado a deben buscarse entre números primos que no excedan . Por lo tanto, un número dado a se puede dividir secuencialmente entre números primos (que se toman convenientemente de la tabla de números primos), tratando de encontrar el divisor del número a. Si se encuentra un divisor, entonces el número a es compuesto. Si entre los números primos que no exceden , no hay ningún divisor del número a, entonces el número a es primo.
Ejemplo.
Número 11 723 simple o compuesto?
Solución.
Averigüemos hasta qué número primo pueden llegar los divisores del número 11.723. Para hacer esto, evalúemos.
Es bastante obvio que , desde 200 2 = 40.000 y 11.723<40 000 (при необходимости смотрите статью comparación de números). Por tanto, los posibles factores primos de 11,723 son menores que 200. Esto ya facilita mucho nuestra tarea. Si no supiéramos esto, entonces tendríamos que repasar todos los números primos, no hasta el 200, sino hasta el número 11.723.
Si lo desea, puede evaluar con mayor precisión. Dado que 108 2 = 11,664 y 109 2 = 11,881, entonces 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Por lo tanto, cualquiera de los números primos menores que 109 es potencialmente un factor primo del número dado 11,723.
Ahora dividiremos secuencialmente el número 11,723 en números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Si el número 11.723 se divide por uno de los números primos escritos, entonces será compuesto. Si no es divisible por ninguno de los números primos escritos, entonces el número original es primo.
No describiremos todo este monótono y monótono proceso de división. Digamos de inmediato que 11,723