Escribe una ecuación para una tangente que pasa por un punto. Calculadora online. Ecuación de una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado

Tipo de trabajo: 7

Condición

La recta y=3x+2 es tangente a la gráfica de la función y=-12x^2+bx-10. Encuentre b, dado que la abscisa del punto tangente es menor que cero.

Solución

Sea x_0 la abscisa del punto de la gráfica de la función y=-12x^2+bx-10 por el que pasa la tangente a esta gráfica.

El valor de la derivada en el punto x_0 es igual a la pendiente de la tangente, es decir, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Por otro lado, el punto de tangencia pertenece simultáneamente tanto a la gráfica de la función y la tangente, es decir, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Obtenemos un sistema de ecuaciones. \begin(casos) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(casos)

Al resolver este sistema, obtenemos x_0^2=1, lo que significa x_0=-1 o x_0=1. Según la condición de abscisa, los puntos tangentes son menores que cero, entonces x_0=-1, luego b=3+24x_0=-21.

Respuesta

Tipo de trabajo: 7
Tema: Significado geométrico de las derivadas. Tangente a la gráfica de una función.

Condición

La recta y=-3x+4 es paralela a la tangente a la gráfica de la función y=-x^2+5x-7. Encuentra la abscisa del punto tangente.

Solución

El coeficiente angular de la línea recta a la gráfica de la función y=-x^2+5x-7 en un punto arbitrario x_0 es igual a y"(x_0). Pero y"=-2x+5, lo que significa y" (x_0)=-2x_0+5. Angular el coeficiente de la recta y=-3x+4 especificado en la condición es igual a -3. Por lo tanto, encontramos un valor de x_0 tal que =. -2x_0 +5=-3.

Obtenemos: x_0 = 4.

Respuesta

Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2017. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipo de trabajo: 7
Tema: Significado geométrico de las derivadas. Tangente a la gráfica de una función.

Condición

Solución

De la figura determinamos que la tangente pasa por los puntos A(-6; 2) y B(-1; 1). Denotamos por C(-6; 1) el punto de intersección de las rectas x=-6 e y=1, y por \alpha el ángulo ABC (puedes ver en la figura que es agudo). Entonces la recta AB forma un ángulo \pi -\alpha con la dirección positiva del eje Ox, el cual es obtuso.

Como se sabe, tg(\pi -\alpha) será el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x_0. Darse cuenta de tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. De aquí, usando las fórmulas de reducción, obtenemos: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Respuesta

Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2017. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipo de trabajo: 7
Tema: Significado geométrico de las derivadas. Tangente a la gráfica de una función.

Condición

La recta y=-2x-4 es tangente a la gráfica de la función y=16x^2+bx+12. Encuentre b, dado que la abscisa del punto tangente es mayor que cero.

Solución

Sea x_0 la abscisa del punto de la gráfica de la función y=16x^2+bx+12 a través del cual

es tangente a esta gráfica.

El valor de la derivada en el punto x_0 es igual a la pendiente de la tangente, es decir, y"(x_0)=32x_0+b=-2. Por otro lado, el punto de tangencia pertenece simultáneamente tanto a la gráfica de la función y la tangente, es decir, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Obtenemos un sistema de ecuaciones. \begin(casos) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(casos)

Al resolver el sistema, obtenemos x_0^2=1, lo que significa x_0=-1 o x_0=1. Según la condición de abscisa, los puntos tangentes son mayores que cero, entonces x_0=1, luego b=-2-32x_0=-34.

Respuesta

Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2017. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipo de trabajo: 7
Tema: Significado geométrico de las derivadas. Tangente a la gráfica de una función.

Condición

La figura muestra una gráfica de la función y=f(x), definida en el intervalo (-2; 8). Determina el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela a la recta y=6.

Solución

La recta y=6 es paralela al eje Ox. Por tanto, encontramos puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela al eje Ox. En este gráfico, dichos puntos son puntos extremos (puntos máximos o mínimos). Como puede ver, hay 4 puntos extremos.

Respuesta

Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2017. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipo de trabajo: 7
Tema: Significado geométrico de las derivadas. Tangente a la gráfica de una función.

Condición

La recta y=4x-6 es paralela a la tangente a la gráfica de la función y=x^2-4x+9. Encuentra la abscisa del punto tangente.

Solución

La pendiente de la tangente a la gráfica de la función y=x^2-4x+9 en un punto arbitrario x_0 es igual a y"(x_0). Pero y"=2x-4, lo que significa y"(x_0)= 2x_0-4. La pendiente de la tangente y =4x-7 especificada en la condición es igual a 4. Las rectas paralelas tienen los mismos coeficientes angulares. Por lo tanto, encontramos un valor de x_0 tal que 2x_0-4=4.

Respuesta

Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2017. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipo de trabajo: 7
Tema: Significado geométrico de las derivadas. Tangente a la gráfica de una función.

Condición

La figura muestra la gráfica de la función y=f(x) y su tangente en el punto con la abscisa x_0. Encuentre el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x_0.

Solución

De la figura determinamos que la tangente pasa por los puntos A(1; 1) y B(5; 4). Denotamos por C(5; 1) el punto de intersección de las rectas x=5 e y=1, y por \alpha el ángulo BAC (puedes ver en la figura que es agudo). Entonces la recta AB forma un ángulo \alpha con la dirección positiva del eje Ox.

Tangente es una línea recta que pasa por un punto de la curva y coincide con él en este punto hasta el primer orden (Fig. 1).

Otra definición: esta es la posición límite de la secante en Δ X→0.

Explicación: Tome una línea recta que corte la curva en dos puntos: A Y b(ver imagen). Esta es una secante. Lo rotaremos en el sentido de las agujas del reloj hasta encontrar un solo punto común con la curva. Esto nos dará una tangente.

Definición estricta de tangente:

Tangente a la gráfica de una función. F, diferenciable en el punto Xoh, es una línea recta que pasa por el punto ( Xoh; F(Xoh)) y tener pendiente F′( Xoh).

La pendiente tiene una línea recta de la forma y=kx +b. Coeficiente k y es pendiente esta línea recta.

factor de pendiente igual a tangente ángulo agudo, formado por esta recta con el eje de abscisas:

Aquí el ángulo α es el ángulo entre la línea recta y=kx +b y dirección positiva (es decir, en sentido antihorario) del eje x. Se llama ángulo de inclinación de una línea recta(Figuras 1 y 2).

Si el ángulo de inclinación es recto. y=kx +b aguda, entonces la pendiente es un número positivo. La gráfica va en aumento (Fig. 1).

Si el ángulo de inclinación es recto. y=kx +b es obtuso, entonces la pendiente es un número negativo. La gráfica es decreciente (Fig. 2).

Si la línea recta es paralela al eje x, entonces el ángulo de inclinación de la línea recta es cero. En este caso, la pendiente de la recta también es cero (ya que la tangente del cero es cero). La ecuación de la línea recta se verá así y = b (Fig. 3).

Si el ángulo de inclinación de una recta es de 90º (π/2), es decir, es perpendicular al eje de abscisas, entonces la recta viene dada por la igualdad x=C, Dónde C– algún número real (Fig. 4).

Ecuación de la tangente a la gráfica de una función.y = F(X) en el punto Xoh:

Ejemplo: Encuentra la ecuación de la tangente a la gráfica de la función. F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 en el punto con abscisa 2.

Solución .

Seguimos el algoritmo.

1) Punto de contacto Xoh es igual a 2. Calcular F(Xoh):

F(Xoh) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) encontrar F′( X). Para ello, aplicamos las fórmulas de diferenciación descritas en el apartado anterior. Según estas fórmulas, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Medio:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Ahora, usando el valor resultante F′( X), calcular F′( Xoh):

F′( Xoh) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Entonces, tenemos todos los datos necesarios: Xoh = 2, F(Xoh) = 1, F ′( Xoh) = 4. Sustituye estos números en la ecuación tangente y encuentra la solución final:

y = F(Xoh) + F′( Xoh) (x-xo) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Respuesta: y = 4x – 7.

Instrucciones

Determinamos el coeficiente angular de la tangente a la curva en el punto M.
La curva que representa la gráfica de la función y = f(x) es continua en una determinada vecindad del punto M (incluido el propio punto M).

Si el valor f'(x0) no existe, entonces no hay tangente o corre verticalmente. En vista de esto, la presencia de una derivada de la función en el punto x0 se debe a la existencia de una tangente no vertical a la gráfica de la función en el punto (x0, f(x0)). En este caso, el coeficiente angular de la tangente será igual a f "(x0). Por tanto, queda claro significado geométrico derivada – cálculo de la pendiente de la tangente.

Encuentre el valor de la abscisa del punto tangente, que se indica con la letra "a". Si coincide con un punto tangente dado, entonces "a" será su coordenada x. determinar el valor funciones f(a) sustituyendo en la ecuación funciones valor de abscisa.

Determinar la primera derivada de la ecuación. funciones f'(x) y sustituya el valor del punto "a" en él.

Llevar ecuación general tangente, que se define como y = f(a) = f (a)(x – a), y sustituya los valores encontrados de a, f(a), f "(a) en ella. Como resultado, Se encontrará la solución de la gráfica y la tangente.

Resuelve el problema de otra forma si el punto tangente dado no coincide con el punto tangente. En este caso, es necesario sustituir "a" en lugar de números en la ecuación tangente. Después de esto, en lugar de las letras “x” e “y”, sustituya el valor de las coordenadas del punto dado. Resuelve la ecuación resultante en la que “a” es la incógnita. Introduce el valor resultante en la ecuación tangente.

Escribe una ecuación para una tangente con la letra "a" si el enunciado del problema especifica la ecuación. funciones y la ecuación de una recta paralela relativa a la tangente deseada. Después de esto necesitamos la derivada. funciones, a la coordenada en el punto “a”. Sustituye el valor apropiado en la ecuación tangente y resuelve la función.

Mostrando la conexión entre el signo de la derivada y la naturaleza de la monotonicidad de la función.

Tenga mucho cuidado con lo siguiente. ¡Mira, el horario de QUÉ te lo dan! Función o su derivada

Si se le da una gráfica de la derivada, entonces solo nos interesarán los signos y ceros de la función. ¡En principio no nos interesan “colinas” ni “huecos”!

Tarea 1.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Determina el número de puntos enteros en los que la derivada de la función es negativa.

Solución:

En la figura, las áreas de función decreciente están resaltadas en color:

Estas regiones decrecientes de la función contienen 4 valores enteros.

Tarea 2.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincide con la recta.

Solución:

Una vez que la tangente a la gráfica de una función es paralela (o coincide) con una recta (o, que es lo mismo), teniendo pendiente, igual a cero, entonces la tangente tiene un coeficiente angular .

Esto a su vez significa que la tangente es paralela al eje, ya que la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la tangente al eje.

Por lo tanto, encontramos puntos extremos (puntos máximo y mínimo) en la gráfica; es en estos puntos donde las funciones tangentes a la gráfica serán paralelas al eje.

Hay 4 de esos puntos.

Tarea 3.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincide con la recta.

Solución:

Dado que la tangente a la gráfica de una función es paralela (o coincide) con una recta que tiene pendiente, entonces la tangente también tiene pendiente.

Esto a su vez significa que en los puntos de contacto.

Por lo tanto, nos fijamos en cuántos puntos de la gráfica tienen una ordenada igual a .

Como puede ver, hay cuatro puntos de este tipo.

Tarea 4.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la derivada de la función es 0.

Solución:

La derivada es igual a cero en los puntos extremos. Tenemos 4 de ellos:

Tarea 5.

La figura muestra una gráfica de una función y once puntos en el eje x:. ¿En cuántos de estos puntos la derivada de la función es negativa?

Solución:

En intervalos de función decreciente, su derivada toma valores negativos. Y la función disminuye en puntos. Hay 4 de esos puntos.

Tarea 6.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra la suma de los puntos extremos de la función.

Solución:

Puntos extremos– estos son los puntos máximos (-3, -1, 1) y puntos mínimos (-2, 0, 3).

Suma de puntos extremos: -3-1+1-2+0+3=-2.

Tarea 7.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra los intervalos de aumento de la función. En tu respuesta, indica la suma de puntos enteros incluidos en estos intervalos.

Solución:

La figura resalta los intervalos donde la derivada de la función no es negativa.

No hay puntos enteros en el intervalo creciente pequeño; en el intervalo creciente hay cuatro valores enteros: , y .

Su suma:

Tarea 8.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra los intervalos de aumento de la función. En tu respuesta indica la longitud del mayor de ellos.

Solución:

En la figura, todos los intervalos en los que la derivada es positiva están resaltados en color, lo que significa que la función misma aumenta en estos intervalos.

La longitud del mayor de ellos es 6.

Tarea 9.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. ¿En qué punto del segmento adquiere mayor valor?

Solución:

Veamos cómo se comporta la gráfica sobre el segmento que es lo que nos interesa solo el signo de la derivada .

El signo de la derivada es menos, ya que la gráfica de este segmento está debajo del eje.

Considere la siguiente figura:

Representa una determinada función y = f(x), que es diferenciable en el punto a. Se marca el punto M con coordenadas (a; f(a)). Se traza una secante MR a través de un punto arbitrario P(a + ∆x; f(a + ∆x)) de la gráfica.

Si ahora el punto P se desplaza a lo largo del gráfico hasta el punto M, entonces la recta MR girará alrededor del punto M. En este caso, ∆x tenderá a cero. A partir de aquí podemos formular la definición de tangente a la gráfica de una función.

Tangente a la gráfica de una función.

La tangente a la gráfica de una función es la posición límite de la secante cuando el incremento del argumento tiende a cero. Debe entenderse que la existencia de la derivada de la función f en el punto x0 significa que en este punto de la gráfica hay tangente a él.

En este caso, el coeficiente angular de la tangente será igual a la derivada de esta función en este punto f’(x0). Este es el significado geométrico de la derivada. La tangente a la gráfica de una función f derivable en el punto x0 es cierta recta que pasa por el punto (x0;f(x0)) y tiene un coeficiente angular f’(x0).

Ecuación tangente

Intentemos obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de alguna función f en el punto A(x0; f(x0)). La ecuación de una recta de pendiente k tiene la siguiente forma:

Dado que nuestro coeficiente de pendiente es igual a la derivada f’(x0), entonces la ecuación tomará la siguiente forma: y = f’(x0)*x + b.

Ahora calculemos el valor de b. Para ello utilizamos el hecho de que la función pasa por el punto A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, de aquí expresamos b y obtenemos b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Sustituimos el valor resultante en la ecuación tangente:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Consideremos siguiente ejemplo: encuentre la ecuación de la tangente a la gráfica de la función f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 en el punto x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de la tangente, obtenemos: y = 1 + 4*(x - 2). Abriendo los corchetes y trayendo términos similares obtenemos: y = 4*x - 7.

Respuesta: y = 4*x - 7.

Esquema general para componer la ecuación tangente. a la gráfica de la función y = f(x):

1. Determina x0.

2. Calcule f(x0).

3. Calcula f'(x)