Una de las áreas de las matemáticas con las que más luchan los estudiantes es la trigonometría. No es de extrañar: para dominar libremente esta área del conocimiento, es necesario el pensamiento espacial, la capacidad de encontrar senos, cosenos, tangentes, cotangentes mediante fórmulas, simplificar expresiones y poder utilizar el número pi en cálculos. Además, es necesario poder utilizar la trigonometría al demostrar teoremas, y esto requiere una memoria matemática desarrollada o la capacidad de derivar cadenas lógicas complejas.
Orígenes de la trigonometría
Para familiarizarse con esta ciencia, debe comenzar con la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo, pero primero debe comprender qué hace la trigonometría en general.
Históricamente, el principal objeto de estudio en esta rama de la ciencia matemática fueron los triángulos rectángulos. La presencia de un ángulo de 90 grados permite realizar diversas operaciones que permiten determinar los valores de todos los parámetros de la figura en cuestión utilizando dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. En el pasado, la gente notó este patrón y comenzó a usarlo activamente en la construcción de edificios, navegación, astronomía e incluso en el arte.
Primera etapa
Inicialmente, la gente hablaba de la relación entre ángulos y lados únicamente usando el ejemplo. triangulos rectángulos. Luego se descubrieron fórmulas especiales que permitieron ampliar los límites de uso en La vida cotidiana esta rama de las matemáticas.
El estudio de la trigonometría en la escuela hoy comienza con triángulos rectángulos, después de lo cual los estudiantes utilizan los conocimientos adquiridos en física y resuelven problemas abstractos. ecuaciones trigonométricas, trabajo con el que comienza en la escuela secundaria.
trigonometría esférica
Más tarde, cuando la ciencia alcanzó el siguiente nivel de desarrollo, en la geometría esférica comenzaron a usarse fórmulas con seno, coseno, tangente y cotangente, donde se aplican diferentes reglas y la suma de los ángulos en un triángulo es siempre superior a 180 grados. Esta sección no se estudia en la escuela, pero es necesario conocer su existencia al menos porque superficie de la Tierra, y la superficie de cualquier otro planeta es convexa, lo que significa que cualquier marca de superficie tendrá "forma de arco" en el espacio tridimensional.
Toma el globo y el hilo. Conecte el hilo a dos puntos cualesquiera del globo para que quede tenso. Tenga en cuenta que ha adquirido la forma de un arco. La geometría esférica se ocupa de estas formas y se utiliza en geodesia, astronomía y otros campos teóricos y aplicados.
Triángulo rectángulo
Habiendo aprendido un poco sobre las formas de usar la trigonometría, volvamos a la trigonometría básica para comprender mejor qué son el seno, el coseno y la tangente, qué cálculos se pueden realizar con su ayuda y qué fórmulas usar.
El primer paso es comprender los conceptos relacionados con un triángulo rectángulo. Primero, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados. Es el más largo. Recordamos que según el teorema de Pitágoras, su valor numérico es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los otros dos catetos.
Por ejemplo, si los dos lados miden 3 y 4 centímetros respectivamente, la longitud de la hipotenusa será de 5 centímetros. Por cierto, los antiguos egipcios lo sabían hace unos cuatro mil quinientos años.
Los dos lados restantes, que forman un ángulo recto, se llaman catetos. Además, debemos recordar que la suma de los ángulos de un triángulo en un sistema de coordenadas rectangular es igual a 180 grados.
Definición
Finalmente, con una comprensión firme de la base geométrica, se puede recurrir a la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo.
El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (es decir, el lado opuesto al ángulo deseado) y la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa.
¡Recuerda que ni el seno ni el coseno pueden ser mayores que uno! ¿Por qué? Debido a que la hipotenusa es por defecto la más larga, no importa qué tan largo sea el cateto, será más corta que la hipotenusa, lo que significa que su proporción siempre será menor que uno. Así, si en tu respuesta a un problema obtienes un seno o coseno con un valor mayor a 1, busca un error en los cálculos o razonamientos. Esta respuesta es claramente incorrecta.
Finalmente, la tangente de un ángulo es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente. Dividir el seno por el coseno dará el mismo resultado. Mira: según la fórmula, dividimos la longitud del lado por la hipotenusa, luego dividimos por la longitud del segundo lado y multiplicamos por la hipotenusa. Por tanto, obtenemos la misma relación que en la definición de tangente.
La cotangente, por tanto, es la relación entre el lado adyacente a la esquina y el lado opuesto. Obtenemos el mismo resultado dividiendo uno por la tangente.
Entonces, hemos visto las definiciones de qué son seno, coseno, tangente y cotangente y podemos pasar a las fórmulas.
Las fórmulas más simples.
En trigonometría no puedes prescindir de fórmulas: ¿cómo encontrar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente sin ellas? Pero esto es exactamente lo que se requiere al resolver problemas.
La primera fórmula que debes saber al empezar a estudiar trigonometría dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a uno. Esta fórmula es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras, pero ahorra tiempo si necesitas saber el tamaño del ángulo en lugar del lado.
Muchos alumnos no recuerdan la segunda fórmula, que también es muy popular a la hora de resolver problemas escolares: la suma de uno y el cuadrado de la tangente de un ángulo es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno del ángulo. Mire más de cerca: esta es la misma afirmación que en la primera fórmula, solo que ambos lados de la identidad fueron divididos por el cuadrado del coseno. Resulta que una simple operación matemática no fórmula trigonométrica completamente irreconocible. Recuerda: saber qué es seno, coseno, tangente y cotangente, reglas de conversión y varios fórmulas básicas usted puede en cualquier momento retirar el más requerido fórmulas complejas en un trozo de papel.
Fórmulas para ángulos dobles y suma de argumentos.
Dos fórmulas más que debes aprender están relacionadas con los valores del seno y el coseno para la suma y diferencia de ángulos. Se presentan en la siguiente figura. Tenga en cuenta que en el primer caso, el seno y el coseno se multiplican ambas veces, y en el segundo, se suma el producto por pares del seno y el coseno.
También hay fórmulas asociadas con argumentos de doble ángulo. Se derivan completamente de los anteriores; como práctica, intente obtenerlos usted mismo tomando el ángulo alfa igual al ángulo beta.
Finalmente, tenga en cuenta que las fórmulas de ángulos dobles se pueden reorganizar para reducir la potencia del seno, coseno y tangente alfa.
Teoremas
Los dos teoremas principales de la trigonometría básica son el teorema del seno y el teorema del coseno. Con la ayuda de estos teoremas, podrás entender fácilmente cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente, y por tanto el área de la figura, y el tamaño de cada lado, etc.
El teorema del seno establece que dividir la longitud de cada lado de un triángulo por el ángulo opuesto da como resultado el mismo número. Además, este número será igual a dos radios del círculo circunscrito, es decir, del círculo que contiene todos los puntos de un triángulo dado.
El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras, proyectándolo sobre cualquier triángulo. Resulta que de la suma de los cuadrados de los dos lados, reste su producto multiplicado por el doble coseno del ángulo adyacente; el valor resultante será igual al cuadrado del tercer lado. Por tanto, el teorema de Pitágoras resulta ser un caso especial del teorema del coseno.
Errores por descuido
Incluso sabiendo qué es el seno, el coseno y la tangente, es fácil equivocarse por despiste o por un error en los cálculos más simples. Para evitar este tipo de errores, echemos un vistazo a los más populares.
En primer lugar, no debes convertir fracciones a decimales hasta que obtengas el resultado final; puedes dejar la respuesta como fracción común, salvo que se indique lo contrario en las condiciones. Tal transformación no puede considerarse un error, pero conviene recordar que en cada etapa del problema pueden aparecer nuevas raíces que, según la idea del autor, conviene reducir. En este caso, perderá el tiempo en operaciones matemáticas innecesarias. Esto es especialmente cierto para valores como la raíz de tres o la raíz de dos, porque se encuentran en los problemas en cada paso. Lo mismo ocurre con el redondeo de números "feos".
Además, tenga en cuenta que el teorema del coseno se aplica a cualquier triángulo, ¡pero no al teorema de Pitágoras! Si por error olvidas restar el doble del producto de los lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos, no sólo obtendrás un resultado completamente erróneo, sino que además demostrarás una total falta de comprensión del tema. Esto es peor que un error por descuido.
En tercer lugar, no confunda los valores de los ángulos de 30 y 60 grados con senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Recuerda estos valores, porque el seno de 30 grados es igual al coseno de 60, y viceversa. Es fácil confundirlos, por lo que inevitablemente obtendrá un resultado erróneo.
Solicitud
Muchos estudiantes no tienen prisa por empezar a estudiar trigonometría porque no comprenden su significado práctico. ¿Qué es el seno, el coseno y la tangente para un ingeniero o astrónomo? Se trata de conceptos con los que puedes calcular la distancia a estrellas lejanas, predecir la caída de un meteorito o enviar una sonda de investigación a otro planeta. Sin ellos, es imposible construir un edificio, diseñar un automóvil, calcular la carga sobre una superficie o la trayectoria de un objeto. ¡Y estos son sólo los ejemplos más obvios! Después de todo, la trigonometría de una forma u otra se utiliza en todas partes, desde la música hasta la medicina.
Finalmente
Entonces eres seno, coseno, tangente. Puedes utilizarlos en cálculos y resolver con éxito problemas escolares.
El objetivo de la trigonometría se reduce al hecho de que utilizando los parámetros conocidos de un triángulo es necesario calcular las incógnitas. Hay seis parámetros en total: longitud tres lados y los tamaños de los tres ángulos. La única diferencia entre las tareas radica en el hecho de que se proporcionan datos de entrada diferentes.
Cómo encontrar seno, coseno y tangente basándose en longitudes conocidas catetos o hipotenusa, ya lo sabes. Dado que estos términos no significan más que una razón, y una razón es una fracción, el objetivo principal de un problema de trigonometría es encontrar las raíces de una ecuación o sistema de ecuaciones ordinario. Y aquí las matemáticas escolares habituales te ayudarán.
El seno es una de las funciones trigonométricas básicas, cuyo uso no se limita únicamente a la geometría. Las tablas para calcular funciones trigonométricas, como las calculadoras de ingeniería, no siempre están disponibles y, a veces, es necesario calcular el seno para resolver diversos problemas. En general, calcular el seno ayudará a consolidar las habilidades de dibujo y el conocimiento de las identidades trigonométricas.
Juegos con regla y lápiz.
Una tarea sencilla: ¿cómo encontrar el seno de un ángulo dibujado en papel? Para resolverlo, necesitarás una regla normal, un triángulo (o compás) y un lápiz. La forma más sencilla de calcular el seno de un ángulo es dividiendo el cateto lejano de un triángulo con un ángulo recto por el lado largo: la hipotenusa. Por lo tanto, primero debes completar el ángulo agudo con la forma de un triángulo rectángulo trazando una línea perpendicular a uno de los rayos a una distancia arbitraria del vértice del ángulo. Necesitaremos mantener un ángulo de exactamente 90°, para lo cual necesitamos un triángulo de oficina.
Usar una brújula es un poco más preciso, pero llevará más tiempo. En uno de los rayos, debe marcar 2 puntos a cierta distancia, establecer un radio en la brújula aproximadamente igual a la distancia entre los puntos y dibujar semicírculos con centros en estos puntos hasta obtener las intersecciones de estas líneas. Al conectar los puntos de intersección de nuestros círculos entre sí, obtenemos una estricta perpendicular al rayo de nuestro ángulo, solo queda extender la línea hasta que se cruce con otro rayo;
En el triángulo resultante, debes usar una regla para medir el lado opuesto a la esquina y el lado largo de uno de los rayos. La relación entre la primera dimensión y la segunda será el valor deseado del seno. ángulo agudo.
Encuentra el seno de un ángulo mayor a 90°
Para un ángulo obtuso la tarea no es mucho más difícil. Necesitamos dibujar un rayo desde el vértice en dirección opuesta usando una regla para formar una línea recta con uno de los rayos del ángulo que nos interesa. El ángulo agudo resultante debe tratarse como se describió anteriormente; los senos de los ángulos adyacentes que juntos forman un ángulo inverso de 180° son iguales.
Calcular el seno usando otras funciones trigonométricas
Además, es posible calcular el seno si se conocen los valores de otras funciones trigonométricas del ángulo o al menos las longitudes de los lados del triángulo. Las identidades trigonométricas nos ayudarán con esto. Veamos ejemplos comunes.
¿Cómo encontrar el seno con un coseno conocido de un ángulo? La primera identidad trigonométrica, basada en el teorema de Pitágoras, establece que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un mismo ángulo es igual a uno.
¿Cómo encontrar el seno de una tangente conocida a un ángulo? La tangente se obtiene dividiendo el lado lejano por el lado cercano o dividiendo el seno por el coseno. Así, el seno será el producto del coseno y la tangente, y el cuadrado del seno será el cuadrado de este producto. Reemplazamos el coseno cuadrado por la diferencia entre la unidad y el seno cuadrado según la primera identidad trigonométrica y, mediante simples manipulaciones, reducimos la ecuación al cálculo del seno cuadrado a través de la tangente, en consecuencia, para calcular el seno, será necesario; Hay que extraer la raíz del resultado obtenido.
¿Cómo encontrar el seno de una cotangente conocida de un ángulo? El valor de la cotangente se puede calcular dividiendo la longitud del cateto más cercano al ángulo por la longitud del más lejano, así como dividiendo el coseno por el seno, es decir, la cotangente es una función inversa a la tangente relativa. al número 1. Para calcular el seno, puedes calcular la tangente usando la fórmula tg α = 1 / ctg α y usar la fórmula en la segunda opción. También puedes derivar una fórmula directa por analogía con la tangente, que se verá así.
Cómo encontrar el seno de tres lados de un triángulo
Existe una fórmula para encontrar la longitud del lado desconocido de cualquier triángulo, no solo de un triángulo rectángulo, a partir de dos lados conocidos usando la función trigonométrica del coseno del ángulo opuesto. Ella se parece a esto.
Nivel promedio
Triángulo rectángulo. La guía ilustrada completa (2019)
TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.
En los problemas, el ángulo recto no es en absoluto necesario: el inferior izquierdo, por lo que debes aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma.
y en esto
y en esto 
¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay especiales. hermosos nombres por sus costados.
¡Atención al dibujo!
Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)!
Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras.
Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue demostrado por Pitágoras en tiempos absolutamente inmemoriales, y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor es que es sencillo.
Entonces, Teorema de pitágoras:
¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”?
Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y mirémoslos. 
¿No parece una especie de pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde surgió el chiste? Y este chiste está relacionado precisamente con el teorema de Pitágoras, o más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:
"Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa."
¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.
En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a alguien ingenioso se le ocurrió este chiste sobre los pantalones pitagóricos.
¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras?
¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?
Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de tener una formulación sencilla del teorema de Pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor:
Debería ser fácil ahora:
| Cuadrado de la hipotenusa igual a la suma cuadrados de patas. |
Bueno, ya se ha discutido el teorema más importante sobre los triángulos rectángulos. Si te interesa cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora pasemos... a bosque oscuro... trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.
De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:
¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda!
1.
En realidad suena así:
¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna!
¿Qué pasa con el ángulo? Mira cuidadosamente. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y
¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos:
Mira lo genial que es:
Ahora pasemos a tangente y cotangente.
¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos?
¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares?
Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio:
Resumen
Anotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.
 |
Teorema de pitágoras: |
El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras
Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.
Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.
¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!
Ahora conectemos los puntos marcados.
Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.
¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.
Juntémoslo todo ahora.
Transformemos:
Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.
Triángulo rectángulo y trigonometría.
Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:
El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.
El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.
La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
Y una vez más todo esto en forma de tablet:
¡Es muy cómodo!
Signos de igualdad de triángulos rectángulos.
I. En dos lados
II. Por cateto e hipotenusa
III. Por hipotenusa y ángulo agudo
IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.
a) 
b) 
¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:
ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.
Necesitar en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.
¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Mire el tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?
La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.
Signos de similitud de triángulos rectángulos.
I. A lo largo de un ángulo agudo
II. en dos lados
III. Por cateto e hipotenusa
Mediana en un triángulo rectángulo
¿Por qué esto es tan?
En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.
Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué se sabe sobre las diagonales de un rectángulo?
¿Y qué se sigue de esto?
Entonces resultó que
- - mediana:
¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!
Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.
¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto
Mira cuidadosamente. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. ¿Entonces qué pasó?
Así que comencemos con este “además…”.
Miremos y.
¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales!
Lo mismo puede decirse de y
Ahora dibujémoslo juntos:
¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?
Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.
Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:
Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":
Entonces, apliquemos la similitud: .
¿Que pasará ahora?
Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:
Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo
Teorema de pitágoras:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .
Signos de igualdad de triángulos rectángulos:
- en dos lados:
- por cateto e hipotenusa: o
- a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente: o
- a lo largo de la pierna y el ángulo agudo opuesto: o
- por hipotenusa y ángulo agudo: o.
Signos de similitud de triángulos rectángulos:
- una esquina aguda: o
- de la proporcionalidad de dos catetos:
- de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.
- El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
- El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
- La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
- La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto: .
Altura de un triángulo rectángulo: o.
En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice ángulo recto, es igual a la mitad de la hipotenusa: .
Área de un triángulo rectángulo:
- a través de las piernas:
Datos de referencia para tangente (tg x) y cotangente (ctg x). Definición geométrica, propiedades, gráficas, fórmulas. Tabla de tangentes y cotangentes, derivadas, integrales, desarrollos de series. Expresiones a través de variables complejas. Conexión con funciones hiperbólicas.
Definición geométrica
|BD| - longitud del arco de una circunferencia con centro en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes.
tangente ( bronceado α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud del cateto adyacente |AB| .
Cotangente ( ctg α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| .
Tangente
Dónde norte- entero.
En la literatura occidental, la tangente se denota de la siguiente manera:
.
;
;
.
Gráfica de la función tangente, y = tan x
Cotangente
Dónde norte- entero.
En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
.
También se aceptan las siguientes notaciones:
;
;
.
Gráfica de la función cotangente, y = ctg x
Propiedades de tangente y cotangente.
Periodicidad
Funciones y = tgx y y = ctg x son periódicos con período π.
Paridad
Las funciones tangente y cotangente son impares.
Áreas de definición y valores, crecientes, decrecientes.
Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( norte- entero).
| y = tgx | y = ctg x | |
| Alcance y continuidad | ||
| Rango de valores | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Creciente | - | |
| Descendente | - | |
| Extremos | - | - |
| Ceros, y = 0 | ||
| Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0 | y = 0 | - |
Fórmulas
Expresiones usando seno y coseno
;
;
;
;
;
Fórmulas para tangente y cotangente a partir de suma y diferencia
Las fórmulas restantes son fáciles de obtener, por ejemplo
Producto de tangentes
Fórmula para la suma y diferencia de tangentes.
Esta tabla presenta los valores de tangentes y cotangentes para ciertos valores del argumento. 
Expresiones usando números complejos
Expresiones mediante funciones hiperbólicas.
;
;
Derivados
; .
.
Derivada de enésimo orden con respecto a la variable x de la función:
.
Deducir fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >
Integrales
Expansiones de serie
Para obtener el desarrollo de la tangente en potencias de x, es necesario tomar varios términos del desarrollo en serie de potencia para funciones pecado x Y porque x y dividir estos polinomios entre sí, . Esto produce las siguientes fórmulas.
En .
en .
Dónde mil millones- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
;
;
Dónde .
O según la fórmula de Laplace: 
Funciones inversas
Funciones inversas a tangente y cotangente son arcotangente y arcocotangente, respectivamente.
Arctangente, arctg
, Dónde norte- entero.
Arccotangente, arcctg
, Dónde norte- entero.
Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matemáticas para científicos e ingenieros, 2012.
Comenzaremos nuestro estudio de trigonometría con el triángulo rectángulo. Definamos qué son el seno y el coseno, así como la tangente y cotangente de un ángulo agudo. Estos son los conceptos básicos de la trigonometría.
Recordemos que ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados. Es decir, medio ángulo girado.
Esquina filosa- menos de 90 grados.
Ángulo obtuso- mayor a 90 grados. En relación con tal ángulo, "obtuso" no es un insulto, sino un término matemático :-)
Dibujemos un triángulo rectángulo. Un ángulo recto generalmente se denota por . Tenga en cuenta que el lado opuesto a la esquina está indicado con la misma letra, solo que en tamaño pequeño. Por tanto, el lado opuesto al ángulo A se designa.
El ángulo se denota con la letra griega correspondiente.
Hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto.
Piernas- lados opuestos a ángulos agudos.
El cateto opuesto al ángulo se llama opuesto(relativo al ángulo). El otro cateto, que se encuentra en uno de los lados del ángulo, se llama adyacente.
Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
Cosenoángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Tangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el lado opuesto y el adyacente:
Otra definición (equivalente): la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno del ángulo y su coseno:
Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el lado adyacente y el opuesto (o, lo que es lo mismo, la relación entre el coseno y el seno):
Tenga en cuenta las relaciones básicas para seno, coseno, tangente y cotangente a continuación. Nos serán útiles a la hora de resolver problemas.
Probemos algunos de ellos.
Bien, hemos dado definiciones y escrito fórmulas. Pero ¿por qué todavía necesitamos seno, coseno, tangente y cotangente?
Lo sabemos la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a.
Conocemos la relación entre fiestas triángulo rectángulo. Este es el teorema de Pitágoras: .
Resulta que conociendo dos ángulos de un triángulo, puedes encontrar el tercero. Conociendo los dos lados de un triángulo rectángulo, puedes encontrar el tercero. Esto significa que los ángulos tienen su propia proporción y los lados tienen la suya propia. Pero, ¿qué debes hacer si en un triángulo rectángulo conoces un ángulo (excepto el ángulo recto) y un lado, pero necesitas encontrar los otros lados?
Esto es lo que la gente del pasado encontraba al hacer mapas de la zona y del cielo estrellado. Después de todo, no siempre es posible medir directamente todos los lados de un triángulo.
Seno, coseno y tangente: también se les llama funciones de ángulos trigonométricos- dar relaciones entre fiestas Y esquinas triángulo. Conociendo el ángulo, puedes encontrar todas sus funciones trigonométricas utilizando tablas especiales. Y conociendo los senos, cosenos y tangentes de los ángulos de un triángulo y de uno de sus lados, podrás encontrar el resto.
También dibujaremos una tabla con los valores de seno, coseno, tangente y cotangente para los ángulos "buenos" desde hasta.
Tenga en cuenta los dos guiones rojos en la tabla. Para valores de ángulo apropiados, la tangente y la cotangente no existen.
Veamos varios problemas de trigonometría del banco de tareas FIPI.
1. En un triángulo, el ángulo es , . Encontrar .
El problema se resuelve en cuatro segundos.
Porque el , .
2. En un triángulo, el ángulo es , , . Encontrar .
Encontrémoslo usando el teorema de Pitágoras.
El problema esta resuelto.
A menudo, en los problemas hay triángulos con ángulos y o con ángulos y. ¡Recuerda de memoria las proporciones básicas para ellos!
Para un triángulo con ángulos y el cateto opuesto al ángulo en es igual a la mitad de la hipotenusa.
Un triángulo con ángulos y es isósceles. En él, la hipotenusa es veces más grande que el cateto.
Analizamos problemas para resolver triángulos rectángulos, es decir, encontrar lados o ángulos desconocidos. ¡Pero eso no es todo! EN Opciones del examen estatal unificado En matemáticas hay muchos problemas que involucran el seno, coseno, tangente o cotangente del ángulo externo de un triángulo. Más sobre esto en el próximo artículo.