En este artículo echaremos un vistazo completo. Las identidades trigonométricas básicas son igualdades que establecen una conexión entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, y permiten encontrar cualquiera de estas funciones trigonométricas a través de otra conocida.
Enumeremos inmediatamente las principales identidades trigonométricas que analizaremos en este artículo. Anotémoslos en una tabla y, a continuación, daremos el resultado de estas fórmulas y brindaremos las explicaciones necesarias.
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Relación entre seno y coseno de un ángulo
A veces no hablan de las principales identidades trigonométricas enumeradas en la tabla anterior, sino de una sola. identidad trigonométrica básica amable 
. La explicación de este hecho es bastante sencilla: las igualdades se obtienen a partir de la identidad trigonométrica principal después de dividir ambas partes por y respectivamente, y las igualdades 
Y 
se desprende de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Hablaremos de esto con más detalle en los siguientes párrafos.
Es decir, de particular interés es la igualdad, a la que se le dio el nombre de identidad trigonométrica principal.
Antes de demostrar la identidad trigonométrica básica, demos su formulación: la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es idénticamente igual a uno. Ahora demostrémoslo.
La identidad trigonométrica básica se utiliza muy a menudo cuando convertir expresiones trigonométricas. Permite sustituir por uno la suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo. No menos a menudo, la identidad trigonométrica básica se utiliza en orden inverso: la unidad se reemplaza por la suma de los cuadrados del seno y el coseno de cualquier ángulo.
Tangente y cotangente mediante seno y coseno
Identidades que conectan tangente y cotangente con seno y coseno de un ángulo de visión y 
se sigue inmediatamente de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, por definición, el seno es la ordenada de y, el coseno es la abscisa de x, la tangente es la relación entre la ordenada y la abscisa, es decir, 
, y la cotangente es la relación entre la abscisa y la ordenada, es decir, 
.
Gracias a tal obviedad de las identidades y La tangente y la cotangente a menudo no se definen mediante la proporción de abscisas y ordenadas, sino mediante la proporción de seno y coseno. Entonces, la tangente de un ángulo es la razón entre el seno y el coseno de este ángulo, y la cotangente es la razón entre el coseno y el seno.
Como conclusión de este punto, cabe señalar que las identidades y tienen lugar para todos los ángulos en los que las funciones trigonométricas incluidas en ellos tienen sentido. Entonces la fórmula es válida para cualquier distinto de (de lo contrario, el denominador tendrá cero y no definimos la división por cero), y la fórmula - para todos, diferentes de, donde z es cualquiera.
Relación entre tangente y cotangente
Una identidad trigonométrica aún más obvia que las dos anteriores es la identidad que conecta la tangente y la cotangente de un ángulo de la forma . Está claro que es válido para cualquier ángulo distinto de , de lo contrario, ni la tangente ni la cotangente no están definidas.
Prueba de la fórmula muy simple. Por definición y de donde 
. La prueba podría haberse llevado a cabo de forma un poco diferente. Desde , Eso 
.
Entonces, la tangente y cotangente del mismo ángulo en el que tienen sentido son.
Continuamos nuestra conversación sobre las fórmulas más utilizadas en trigonometría. Las más importantes son las fórmulas de suma.
Definición 1
Las fórmulas de suma te permiten expresar funciones de la diferencia o suma de dos ángulos usando funciones trigonométricas de esos ángulos.
Para empezar daremos lista completa fórmulas de suma, luego las probaremos y analizaremos varios ejemplos ilustrativos.
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Fórmulas básicas de suma en trigonometría.
Existen ocho fórmulas básicas: seno de la suma y seno de la diferencia de dos ángulos, cosenos de la suma y diferencia, tangentes y cotangentes de la suma y diferencia, respectivamente. A continuación se muestran sus formulaciones y cálculos estándar.
1. El seno de la suma de dos ángulos se puede obtener de la siguiente manera:
Calculamos el producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo;
Multiplica el coseno del primer ángulo por el seno del primero;
Suma los valores resultantes.
La escritura gráfica de la fórmula se ve así: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. El seno de la diferencia se calcula casi de la misma manera, solo que los productos resultantes no se deben sumar, sino restarse entre sí. Así, calculamos los productos del seno del primer ángulo por el coseno del segundo y el coseno del primer ángulo por el seno del segundo y encontramos su diferencia. La fórmula se escribe así: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Coseno de la suma. Para ello encontramos los productos del coseno del primer ángulo por el coseno del segundo y el seno del primer ángulo por el seno del segundo, respectivamente, y encontramos su diferencia: cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β
4. Coseno de la diferencia: calcula los productos de senos y cosenos de estos ángulos, como antes, y súmalos. Fórmula: cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β
5. Tangente de la suma. Esta fórmula se expresa como una fracción, cuyo numerador es la suma de las tangentes de los ángulos requeridos, y el denominador es una unidad de la cual se resta el producto de las tangentes de los ángulos deseados. Todo queda claro por su notación gráfica: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangente de la diferencia. Calculamos los valores de la diferencia y producto de las tangentes de estos ángulos y procedemos con ellos de forma similar. En el denominador sumamos uno, y no al revés: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Cotangente de la cantidad. Para calcular mediante esta fórmula necesitaremos el producto y la suma de las cotangentes de estos ángulos, que procedemos de la siguiente manera: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangente de la diferencia . La fórmula es similar a la anterior, pero el numerador y denominador son menos, no más c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Probablemente hayas notado que estas fórmulas son similares en pares. Usando los signos ± (más-menos) y ∓ (menos-más), podemos agruparlos para facilitar el registro:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
En consecuencia, tenemos una fórmula para registrar la suma y la diferencia de cada valor, solo que en un caso prestamos atención al signo superior, en el otro, al inferior.
Definición 2
Podemos tomar cualquier ángulo α y β, y las fórmulas de suma para coseno y seno funcionarán para ellos. Si podemos determinar correctamente los valores de las tangentes y cotangentes de estos ángulos, entonces las fórmulas de suma de tangente y cotangente también serán válidas para ellos.
Como la mayoría de los conceptos de álgebra, las fórmulas de suma se pueden demostrar. La primera fórmula que probaremos es la fórmula del coseno diferencial. El resto de la evidencia se puede deducir fácilmente de ello.
Aclaremos los conceptos básicos. necesitaremos círculo unitario. Funcionará si tomamos un cierto punto A y rotamos los ángulos α y β alrededor del centro (punto O). Entonces el ángulo entre los vectores O A 1 → y O A → 2 será igual a (α - β) + 2 π · z o 2 π - (α - β) + 2 π · z (z es un número entero cualquiera). Los vectores resultantes forman un ángulo igual a α - β o 2 π - (α - β), o puede diferir de estos valores en un número entero de revoluciones completas. Echa un vistazo a la imagen:
Utilizamos las fórmulas de reducción y obtuvimos los siguientes resultados:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Resultado: el coseno del ángulo entre los vectores O A 1 → y O A 2 → es igual al coseno del ángulo α - β, por lo tanto, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Recordemos las definiciones de seno y coseno: el seno es función del ángulo, igual a la proporción el cateto del ángulo opuesto a la hipotenusa, el coseno es el seno del ángulo complementario. Por lo tanto, los puntos un 1 Y un 2 tienen coordenadas (cos α, sen α) y (cos β, sen β).
Obtenemos lo siguiente:
O A 1 → = (cos α, sen α) y O A 2 → = (cos β, sen β)
Si no está claro, mira las coordenadas de los puntos ubicados al principio y al final de los vectores.
Las longitudes de los vectores son iguales a 1, porque Tenemos un círculo unitario.
Veámoslo ahora producto escalar vectores O A 1 → y O A 2 → . En coordenadas se ve así:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sen α · sen β
De esto podemos derivar la igualdad:
cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β
Por tanto, se demuestra la fórmula del coseno diferencial.
Ahora probaremos la siguiente fórmula: el coseno de la suma. Esto es más fácil porque podemos utilizar los cálculos anteriores. Tomemos la representación α + β = α - (- β) . Tenemos:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sen α sin (- β) = = cos α cos β + sen α sen β
Esta es la prueba de la fórmula de la suma de cosenos. La última línea utiliza la propiedad del seno y el coseno de ángulos opuestos.
La fórmula del seno de una suma se puede derivar de la fórmula del coseno de una diferencia. Tomemos la fórmula de reducción para esto:
de la forma pecado (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Entonces
pecado (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + pecado (π 2 - α) pecado β = = sen α cos β + cos α sen β
Y aquí está la prueba de la fórmula del seno de diferencia:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Tenga en cuenta el uso de las propiedades del seno y el coseno de ángulos opuestos en el último cálculo.
A continuación necesitamos pruebas de fórmulas de suma para tangente y cotangente. Recordemos las definiciones básicas (la tangente es la relación entre el seno y el coseno y la cotangente es viceversa) y tomemos las fórmulas ya derivadas de antemano. Tenemos esto:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Tenemos una fracción compleja. A continuación, necesitamos dividir su numerador y denominador entre cos α · cos β, dado que cos α ≠ 0 y cos β ≠ 0, obtenemos:
pecado α · cos β + cos α · pecado β cos α · cos β cos α · cos β - pecado α · pecado β cos α · cos β = pecado α · cos β cos α · cos β + cos α · pecado β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sen α · sen β cos α · cos β
Ahora reducimos las fracciones y obtenemos la siguiente fórmula: sen α cos α + sen β cos β 1 - sen α cos α · sen β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Obtuvimos t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Esta es la prueba de la fórmula de la suma tangente.
La siguiente fórmula que probaremos es la fórmula de la tangente de la diferencia. Todo se muestra claramente en los cálculos:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Las fórmulas para la cotangente se prueban de manera similar:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - pecado α · pecado β pecado α · pecado β pecado α · cos β + cos α · pecado β pecado α · pecado β = cos α · cos β pecado α · pecado β - 1 pecado α · cos β pecado α · pecado β + cos α · sen β sen α · sen β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Próximo:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
Coseno de la suma y diferencia de dos ángulos.
En esta sección se probarán las siguientes dos fórmulas:
cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β. (2)
El coseno de la suma (diferencia) de dos ángulos es igual al producto de los cosenos de estos ángulos menos (más) el producto de los senos de estos ángulos.
Nos resultará más conveniente comenzar con la demostración de la fórmula (2). Para simplificar la presentación, supongamos primero que los ángulos α Y β satisfacer las siguientes condiciones:
1) cada uno de estos ángulos no es negativo y es menor 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Sea la parte positiva del eje 0x el lado inicial común de los ángulos. α Y β .
Denotamos los lados extremos de estos ángulos por 0A y 0B, respectivamente. Obviamente el ángulo α - β puede considerarse como el ángulo mediante el cual el haz 0B debe girarse alrededor del punto 0 en sentido contrario a las agujas del reloj para que su dirección coincida con la dirección del haz 0A.
Sobre los rayos 0A y 0B marcamos los puntos M y N, situados a una distancia de 1 del origen de coordenadas 0, de modo que 0M = 0N = 1.
En el sistema de coordenadas x0y, el punto M tiene coordenadas ( cos α, sen α), y el punto N son las coordenadas ( cos β, sen β). Por tanto, el cuadrado de la distancia entre ellos es:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sen α - pecado β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sen 2 α - 2sen α sen β + sen 2 β = .
En nuestros cálculos utilizamos la identidad
pecado 2 φ + cos 2 φ = 1.
Consideremos ahora otro sistema de coordenadas B0C, que se obtiene girando los ejes 0x y 0y alrededor del punto 0 en sentido antihorario un ángulo β .
En este sistema de coordenadas, el punto M tiene coordenadas (cos ( α - β ), pecado ( α - β )), y el punto N tiene las coordenadas (1,0). Por tanto, el cuadrado de la distancia entre ellos es:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ pecado 2 (α - β) = 2 .
Pero la distancia entre los puntos M y N no depende de con qué sistema de coordenadas estemos considerando estos puntos. Es por eso
re 1 2 = re 2 2
2 (1 - cos α cos β - sen α sen β) = 2 .
Aquí es donde sigue la fórmula (2).
Ahora conviene recordar esas dos restricciones que impusimos por simplicidad de presentación en los ángulos. α Y β .
El requisito de que cada una de las esquinas α Y β no fue negativo, no fue realmente significativo. Después de todo, a cualquiera de estos ángulos se le puede sumar un ángulo que sea múltiplo de 2, lo que no afectará la validez de la fórmula (2). De la misma manera, a cada uno de estos ángulos se le puede restar un ángulo que sea múltiplo de 2π. Por lo tanto podemos suponer que 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
La condición también resulta insignificante. α > β . De hecho, si α < β , Eso β >α ; por lo tanto, dada la paridad de la función porque incógnita , obtenemos:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sen β sen α,
que coincide esencialmente con la fórmula (2). Entonces la fórmula
cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β
cierto para todos los ángulos α Y β . En particular, reemplazando en él β en - β y dado que la función porqueincógnita es par y la función pecadoincógnita extraño, obtenemos:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sen α sen (-β) =
= cos α cos β - sen α sen β,
lo que prueba la fórmula (1).
Entonces, las fórmulas (1) y (2) quedan probadas.
Ejemplos.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sen 30°-sen 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30° =
Ceremonias
1 . Calcular sin usar tablas trigonométricas:
a) cos 17° cos 43° - sen 17° sen 43°;
b) sen 3° sen 42° - cos 39° cos 42°;
c) cos 29° cos 74° + sen 29° sen 74°;
d) sen 97° sen 37° + cos 37° cos 97°;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sen 3π / 8 sen π / 8 ;
e) sen 3π / 5 sen 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Simplificar expresiones:
a). porque( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
b). porque (36° + α ) cos (24° - α ) + pecado (36° + α ) pecado ( α - 24°).
V). pecado(π/4 - α ) pecado (π / 4 + α ) - porque (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) porque 2 α +tg α pecado 2 α .
3 . Calcular :
a) porque(α - β), Si
porque α = - 2 / 5 , pecado β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) porque ( α + π / 6), si cos α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Encontrar porque(α + β) y porque (α - β) ,si se sabe que el pecado α = 7/25, porque β = - 5 / 13 y ambos ángulos ( α Y β ) finaliza en el mismo trimestre.
5 .Calcular:
A). cos [ arcosen 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
V). porque [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]
Las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos para dos ángulos α y β nos permiten pasar de la suma de estos ángulos al producto de los ángulos α + β 2 y α - β 2. Notemos de inmediato que no se deben confundir las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos con las fórmulas para senos y cosenos de la suma y diferencia. A continuación enumeramos estas fórmulas, damos sus derivaciones y mostramos ejemplos de aplicación para tareas específicas.
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Fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos.
Anotemos cómo se ven las fórmulas de suma y diferencia para senos y cosenos.
Fórmulas de suma y diferencia de senos.
sen α + sen β = 2 sen α + β 2 cos α - β 2 sen α - sen β = 2 sen α - β 2 cos α + β 2
Fórmulas de suma y diferencia de cosenos.
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Estas fórmulas son válidas para cualquier ángulo α y β. Los ángulos α + β 2 y α - β 2 se denominan media suma y media diferencia de los ángulos alfa y beta, respectivamente. Demos la formulación para cada fórmula.
Definiciones de fórmulas para sumas y diferencias de senos y cosenos.
Suma de senos de dos ángulos es igual al doble del producto del seno de la semisuma de estos ángulos y el coseno de la semidiferencia.
Diferencia de senos de dos ángulos. es igual al doble del producto del seno de la semidiferencia de estos ángulos y el coseno de la semisuma.
Suma de cosenos de dos ángulos es igual al doble del producto del coseno de la semisuma por el coseno de la semidiferencia de estos ángulos.
Diferencia de cosenos de dos ángulos. igual al doble del producto del seno de la semisuma y el coseno de la semidiferencia de estos ángulos, tomado con signo negativo.
Deducir fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos
Para derivar fórmulas para la suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, se utilizan fórmulas de suma. Enumerémoslos a continuación
pecado (α + β) = pecado α · cos β + cos α · pecado β pecado (α - β) = pecado α · cos β - cos α · pecado β cos (α + β) = cos α · cos β - pecado α sen β cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β
Imaginemos también los ángulos mismos como una suma de medias sumas y medias diferencias.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Procedemos directamente a la derivación de las fórmulas de suma y diferencia para sen y cos.
Derivación de la fórmula para la suma de senos.
En la suma sen α + sen β, reemplazamos α y β con las expresiones para estos ángulos dadas anteriormente. obtenemos
pecado α + pecado β = pecado α + β 2 + α - β 2 + pecado α + β 2 - α - β 2
Ahora aplicamos la fórmula de la suma a la primera expresión y a la segunda, la fórmula para el seno de diferencias de ángulos (ver fórmulas arriba)
pecado α + β 2 + α - β 2 = pecado α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 pecado α - β 2 pecado α + β 2 - α - β 2 = pecado α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Abra los corchetes, agregue términos similares y obtenga la fórmula requerida
sen α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sen α - β 2 + sen α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sen α - β 2 = = 2 sen α + β 2 porque α - β 2
Los pasos para derivar las fórmulas restantes son similares.
Derivación de la fórmula para la diferencia de senos.
pecado α - pecado β = pecado α + β 2 + α - β 2 - pecado α + β 2 - α - β 2 pecado α + β 2 + α - β 2 - pecado α + β 2 - α - β 2 = pecado α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 porque α + β 2
Derivación de la fórmula para la suma de cosenos.
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sen α + β 2 sen α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sen α + β 2 sen α - β 2 = = 2 cos α + β 2 porque α - β 2
Derivación de la fórmula para la diferencia de cosenos.
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 pecado α - β 2
Ejemplos de resolución de problemas prácticos.
Primero, verifiquemos una de las fórmulas sustituyéndole valores de ángulos específicos. Sea α = π 2, β = π 6. Calculemos el valor de la suma de los senos de estos ángulos. Primero usaremos la tabla de valores básicos de funciones trigonométricas y luego aplicaremos la fórmula para la suma de senos.
Ejemplo 1. Verificar la fórmula para la suma de los senos de dos ángulos
α = π 2, β = π 6 pecado π 2 + pecado π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 pecado π 2 + pecado π 6 = 2 pecado π 2 + π 6 2 porque π 2 - π 6 2 = 2 pecado π 3 porque π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Consideremos ahora el caso en el que los valores de los ángulos difieren de los valores básicos presentados en la tabla. Sea α = 165°, β = 75°. Calculemos la diferencia entre los senos de estos ángulos.
Ejemplo 2. Aplicación de la fórmula de diferencia de senos
α = 165°, β = 75° sen α - sen β = sen 165° - sen 75° sen 165 - sen 75 = 2 sen 165° - sen 75° 2 cos 165° + sen 75° 2 = = 2 sen 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Usando las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos, puedes pasar de la suma o diferencia al producto de funciones trigonométricas. A menudo, estas fórmulas se denominan fórmulas para pasar de una suma a un producto. Las fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos se utilizan ampliamente para resolver ecuaciones trigonométricas y al convertir expresiones trigonométricas.
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Datos de referencia para tangente (tg x) y cotangente (ctg x). Definición geométrica, propiedades, gráficas, fórmulas. Tabla de tangentes y cotangentes, derivadas, integrales, desarrollos de series. Expresiones a través de variables complejas. Conexión con funciones hiperbólicas.
Definición geométrica
|BD|
- longitud del arco de una circunferencia con centro en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes. tangente () bronceado α - Este función trigonométrica , dependiendo del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto triangulo rectángulo
, igual a la relación de la longitud del lado opuesto |BC| a la longitud del cateto adyacente |AB| .) Cotangente (
ctg α
es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| . Tangente
Dónde
.
;
;
.
norte
- entero.
es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| . Tangente
En la literatura occidental, la tangente se denota de la siguiente manera:
.
Gráfica de la función tangente, y = tan x
;
;
.
Cotangente
En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
También se aceptan las siguientes notaciones:
Gráfica de la función cotangente, y = ctg x Propiedades de tangente y cotangente. Periodicidad Funciones y = tgx
y y =
ctg x
son periódicos con período π.
Paridad a la longitud del cateto opuesto |BC| . Las funciones tangente y cotangente son impares.
| Áreas de definición y valores, crecientes, decrecientes. Propiedades de tangente y cotangente. | Áreas de definición y valores, crecientes, decrecientes. Funciones y = | |
| Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( | ||
| - entero). | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| y = | - | |
| Alcance y continuidad | - | |
| Rango de valores | - | - |
| Creciente 0 | ||
| Descendente 0 | Áreas de definición y valores, crecientes, decrecientes. 0 | - |
Extremos
Ceros, y =
;
;
;
;
;
Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x =
Fórmulas
Expresiones usando seno y coseno
Fórmulas para tangente y cotangente a partir de suma y diferencia
Las fórmulas restantes son fáciles de obtener, por ejemplo 
Producto de tangentes
Fórmula para la suma y diferencia de tangentes.
;
;
Esta tabla presenta los valores de tangentes y cotangentes para ciertos valores del argumento.
; .
.
Expresiones usando números complejos
.
Expresiones mediante funciones hiperbólicas.
Derivados
Derivada de enésimo orden con respecto a la variable x de la función:
Para obtener el desarrollo de la tangente en potencias de x, es necesario tomar varios términos del desarrollo en serie de potencia para funciones pecado x Y porque x y dividir estos polinomios entre sí, .
Esto produce las siguientes fórmulas.
En .
en . Dónde mil millones
;
;
- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
Dónde . 
O según la fórmula de Laplace:
Funciones inversas Funciones inversas
a tangente y cotangente son arcotangente y arcocotangente, respectivamente.
Arctangente, arctg a la longitud del cateto opuesto |BC| . Tangente
, Dónde
Arctangente, arctg a la longitud del cateto opuesto |BC| . Tangente
Arccotangente, arcctg
Literatura usada:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.