Lecciones 32-33. Contrarrestar funciones trigonométricas
09.07.2015 5917 0Objetivo: considere funciones trigonométricas inversas y su uso para escribir soluciones a ecuaciones trigonométricas.
I. Comunicar el tema y el propósito de las lecciones
II. Aprendiendo nuevo material
1. Funciones trigonométricas inversas
Comencemos nuestra discusión sobre este tema con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Resolvamos la ecuación: a) pecado x = 1/2; b) sen x = a.
a) En el eje de ordenadas trazamos el valor 1/2 y construimos los ángulos x1 y x2, para lo cual pecado x = 1/2. En este caso x1 + x2 = π, de donde x2 = π – x1 . Usando la tabla de valores de funciones trigonométricas encontramos el valor x1 = π/6, entonces
Tengamos en cuenta la periodicidad de la función seno y anotemos las soluciones a esta ecuación:
donde k ∈ Z.
b) Obviamente, el algoritmo para resolver la ecuación. pecado x = a es el mismo que en el párrafo anterior. Por supuesto, ahora el valor a se traza a lo largo del eje de ordenadas. Es necesario designar de alguna manera el ángulo x1. Acordamos denotar este ángulo con el símbolo. arcosin A. Entonces las soluciones de esta ecuación se pueden escribir en la formaEstas dos fórmulas se pueden combinar en una: al mismo tiempo 
Las funciones trigonométricas inversas restantes se presentan de manera similar.
Muy a menudo es necesario determinar la magnitud del ángulo mediante valor conocido su función trigonométrica. Este problema tiene varios valores: hay innumerables ángulos cuyas funciones trigonométricas son iguales al mismo valor. Por lo tanto, basándose en la monotonicidad de las funciones trigonométricas, se introducen las siguientes funciones trigonométricas inversas para determinar ángulos de forma única.
Arcoseno del número a (arcoseno , cuyo seno es igual a a, es decir
Arco coseno de un número a(arcos) a) es un ángulo a del intervalo cuyo coseno es igual a a, es decir
Arctangente de un numero a(arctg a) - tal ángulo a del intervalocuya tangente es igual a a, es decir
tg a = a.
Arcocotangente de un número a(arcctg a) es un ángulo a del intervalo (0; π), cuya cotangente es igual a a, es decir ctg a = a.
Ejemplo 2
Busquemos:
Teniendo en cuenta las definiciones de funciones trigonométricas inversas, obtenemos:
Ejemplo 3
calculemos 
Sea el ángulo a = arcosen 3/5, entonces por definición pecado a = 3/5 y . Por lo tanto, necesitamos encontrar porque A. Usando la identidad trigonométrica básica, obtenemos:
Se tiene en cuenta que cos a ≥ 0. Entonces, 
Propiedades de función | Función |
|||
y = arcosen x | y = arccos x | y = arctan x | y = arcoctg x |
|
Dominio de definición | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Rango de valores | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0; π) |
Paridad | Extraño | Ni par ni impar | Extraño | Ni par ni impar |
Función ceros (y = 0) | En x = 0 | En x = 1 | En x = 0 | y ≠ 0 |
Intervalos de constancia de signos. | y > 0 para x ∈ (0; 1], en< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 para x ∈ [-1; 1) | y > 0 para x ∈ (0; +∞), en< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 para x ∈ (-∞; +∞) |
Monótono | Creciente | Descendente | Creciente | Descendente |
Relación con la función trigonométrica | pecado y = x | porque y = x | tg y = x | cotg y = x |
Cronograma | ||||
demos unos cuantos mas ejemplos típicos relacionado con las definiciones y propiedades básicas de funciones trigonométricas inversas.
Ejemplo 4
Encontremos el dominio de definición de la función.
Para que se defina la función y, es necesario satisfacer la desigualdad
que es equivalente al sistema de desigualdades
La solución a la primera desigualdad es el intervalo x.∈
(-∞; +∞), segundo - este intervalo y es una solución al sistema de desigualdades, y por tanto el dominio de definición de la función
Ejemplo 5
Encontremos el área de cambio de la función.
Consideremos el comportamiento de la función. z = 2x - x2 (ver imagen).
Está claro que z ∈ (-∞; 1]. Considerando que el argumento z la función arco cotangente cambia dentro de los límites especificados, de los datos de la tabla obtenemos que
Así, el área de cambio
Ejemplo 6
Demostremos que la función y = arctg x impar. Dejar
Entonces tg a = -x o x = - tg a = tg (- a), y 
Por lo tanto, - a = arctg x o a = - arctg INCÓGNITA. Así, vemos quees decir, y(x) es una función impar.
Ejemplo 7
Expresemos a través de todas las funciones trigonométricas inversas.
Dejar 
Es obvio que 
Entonces desde
Introduzcamos el ángulo. 
Porque 
Eso 
De manera similar, por lo tanto 
Y 
Entonces,
Ejemplo 8
Construyamos una gráfica de la función y = cos(arcosen x).
Denotemos a = arcosin x, entonces 
Tengamos en cuenta que x = sen a e y = cos a, es decir x 2 + y2 = 1, y restricciones sobre x (x∈
[-1; 1]) e y (y ≥ 0). Entonces la gráfica de la función y = cos(arcoseno x) es un semicírculo.
Ejemplo 9
Construyamos una gráfica de la función y = arcocos (cos x ).
Dado que la función cos x cambia en el intervalo [-1; 1], entonces la función y se define en todo el eje numérico y varía en el segmento . Tengamos en cuenta que y = arccos(cosx) = x en el segmento; la función y es par y periódica con período 2π. Considerando que la función tiene estas propiedades porque x Ahora es fácil crear un gráfico.
Observemos algunas igualdades útiles:
Ejemplo 10
Encontremos el más pequeño y valor más alto funciones denotemos 
Entonces 
Consigamos la función 
Esta función tiene un mínimo en el punto z = π/4, y es igual a 
El mayor valor de la función se logra en el punto z = -π/2, y es igual 
Así, y
Ejemplo 11
Resolvamos la ecuación.
tomemos en cuenta que 
Entonces la ecuación queda así:
o 
dónde Por definición de arcotangente obtenemos:
2. Resolver ecuaciones trigonométricas simples
De manera similar al ejemplo 1, puedes obtener soluciones de las ecuaciones trigonométricas más simples.
Ecuación | Solución |
tgx = a | |
ctg x = a |
Ejemplo 12
Resolvamos la ecuación. 
Como la función seno es impar, escribimos la ecuación en la forma
Soluciones a esta ecuación:
¿De dónde lo encontramos? 
Ejemplo 13
Resolvamos la ecuación. 
Usando la fórmula dada, escribimos las soluciones de la ecuación:
y encontraremos 
Tenga en cuenta que en casos especiales (a = 0; ±1) al resolver las ecuaciones sen x = a y cos x = y es más fácil y conveniente no usar fórmulas generales, sino escribir soluciones basadas en el círculo unitario:
para la ecuación sen x = 1 solución
para la ecuación sin x = 0 soluciones x = π k;
para la ecuación sen x = -1 solución 
para la ecuación cos x = 1 solución x = 2π k ;
para la ecuación cos x = 0 soluciones
para la ecuación cos x = -1 solución 
Ejemplo 14
Resolvamos la ecuación. 
desde en en este ejemplo hay un caso especial de la ecuación, luego usando la fórmula correspondiente escribimos la solución:
¿De dónde lo encontramos? 
III. Preguntas de control (encuesta frontal)
1. Definir y enumerar las principales propiedades de las funciones trigonométricas inversas.
2. Dar gráficas de funciones trigonométricas inversas.
3. Resolver ecuaciones trigonométricas simples.
IV. tarea de lección
§ 15, núm. 3 (a, b); 4 (c,d); 7a); 8a); 12 (b); 13(a); 15c); 16a); 18 (a, b); 19c); 21;
§ 16, núm. 4 (a, b); 7a); 8b); 16 (a, b); 18a); 19 (c,d);
§ 17, núm. 3 (a, b); 4 (c,d); 5 (a, b); 7 (c,d); 9b); 10 (a,c).
V. Tarea
§ 15, núm. 3 (c, d); 4 (a, b); 7c); 8b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16b); 18 (c,d); 19 (g); 22;
§ 16, núm. 4 (c, d); 7b); 8a); 16 (c,d); 18b); 19 (a, b);
§ 17, núm. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9(g); 10 (b,d).
VI. Tareas creativas
1. Encuentra el dominio de la función:
Respuestas:
2. Encuentra el rango de la función:
Respuestas:
3. Grafica la función:
VII. Resumiendo las lecciones
Las funciones trigonométricas inversas son funciones matemáticas que son inversas de las funciones trigonométricas.
Función y=arcossin(x)
El arcoseno de un número α es un número α del intervalo [-π/2;π/2] cuyo seno es igual a α.
Gráfica de una función
La función у= sin(x) en el intervalo [-π/2;π/2], es estrictamente creciente y continua; por lo tanto ella tiene función inversa, estrictamente creciente y continuo.
La función inversa de la función y= sin(x), donde x ∈[-π/2;π/2], se llama arcoseno y se denota y=arcsin(x), donde x∈[-1;1 ].
Entonces, según la definición de la función inversa, el dominio de definición del arcoseno es el segmento [-1;1], y el conjunto de valores es el segmento [-π/2;π/2].
Tenga en cuenta que la gráfica de la función y=arcsin(x), donde x ∈[-1;1], es simétrica a la gráfica de la función y= sin(x), donde x∈[-π/2;π /2], con respecto a la bisectriz de los ángulos coordenados primer y tercer cuarto.
Rango de función y=arcsen(x).
Ejemplo No. 1.
¿Encontrar arcosen(1/2)?
Dado que el rango de valores de la función arcsin(x) pertenece al intervalo [-π/2;π/2], entonces sólo el valor π/6 es adecuado. Por lo tanto, arcsin(1/2) =π/. 6.
Respuesta:π/6
Ejemplo No. 2.
¿Encontrar arcosen(-(√3)/2)?
Dado que el rango de valores arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], entonces solo el valor -π/3 es adecuado. Por lo tanto, arcsin(-(√3)/2) =- π. /3.
Función y=arcos(x)
El arcocoseno de un número α es un número α del intervalo cuyo coseno es igual a α.
Gráfica de una función
La función y= cos(x) en el segmento es estrictamente decreciente y continua; por tanto, tiene una función inversa, estrictamente decreciente y continua.
La función inversa de la función y= cosx, donde x ∈, se llama arco coseno y se denota por y=arccos(x),donde x ∈[-1;1].
Entonces, según la definición de la función inversa, el dominio de definición del arcocoseno es el segmento [-1;1], y el conjunto de valores es el segmento.
Note que la gráfica de la función y=arccos(x), donde x ∈[-1;1] es simétrica a la gráfica de la función y= cos(x), donde x ∈, con respecto a la bisectriz de la ángulos coordenados del primer y tercer cuarto.
Rango de función y=arccos(x).
Ejemplo No. 3.
¿Encontrar arccos(1/2)?
Dado que el rango de valores es arccos(x) x∈, entonces solo el valor π/3 es adecuado. Por lo tanto, arccos(1/2) =π/3.
Ejemplo No. 4.
¿Encontrar arccos(-(√2)/2)?
Dado que el rango de valores de la función arccos(x) pertenece al intervalo, entonces solo el valor 3π/4 es adecuado. Por lo tanto, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.
Respuesta: 3π/4
Función y=arctg(x)
El arcotangente de un número α es un número α del intervalo [-π/2;π/2] cuya tangente es igual a α.
Gráfica de una función 
La función tangente es continua y estrictamente creciente en el intervalo (-π/2;π/2); por lo tanto, tiene una función inversa que es continua y estrictamente creciente.
La función inversa de la función y= tan(x), donde x∈(-π/2;π/2); se llama arcotangente y se denota por y=arctg(x), donde x∈R.
Entonces, según la definición de la función inversa, el dominio de definición del arcotangente es el intervalo (-∞;+∞), y el conjunto de valores es el intervalo
(-π/2;π/2).
Tenga en cuenta que la gráfica de la función y=arctg(x), donde x∈R, es simétrica a la gráfica de la función y= tanx, donde x ∈ (-π/2;π/2), relativa a la bisectriz de los ángulos coordenados del primer y tercer cuarto.
Rango de función y=arctg(x).
¿Ejemplo número 5?
Encuentra arctan((√3)/3).
Dado que el rango de valores arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), entonces solo el valor π/6 es adecuado. Por lo tanto, arctg((√3)/3) =π/6.
Ejemplo No. 6.
¿Encontrar arctg(-1)?
Dado que el rango de valores arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), entonces solo el valor -π/4 es adecuado. Por lo tanto, arctg(-1) = - π/4.
Función y=arcctg(x)
El arco cotangente de un número α es un número α del intervalo (0;π) cuya cotangente es igual a α.
Gráfica de una función
En el intervalo (0;π), la función cotangente disminuye estrictamente; además, es continua en cada punto de este intervalo; por lo tanto, en el intervalo (0;π), esta función tiene una función inversa, que es estrictamente decreciente y continua.
La función inversa de la función y=ctg(x), donde x ∈(0;π), se llama arcocotangente y se denota y=arcctg(x), donde x∈R.
Entonces, según la definición de la función inversa, el dominio de definición del arco cotangente será R, y por un conjunto valores – intervalo (0;π).La gráfica de la función y=arcctg(x), donde x∈R es simétrica a la gráfica de la función y=ctg(x) x∈(0;π),relativa a la bisectriz de los ángulos coordenados del primer y tercer cuarto.
Rango de función y=arcctg(x).
Ejemplo No. 7.
¿Encontrar arcctg((√3)/3)?
Dado que el rango de valores arcctg(x) x ∈(0;π), entonces solo el valor π/3 es adecuado. Por lo tanto, arccos((√3)/3) =π/3.
Ejemplo No. 8.
¿Encontrar arcctg(-(√3)/3)?
Dado que el rango de valores es arcctg(x) x∈(0;π), entonces solo el valor 2π/3 es adecuado. Por lo tanto, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.
Montaje: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Se dan definiciones de funciones trigonométricas inversas y sus gráficas. Además de fórmulas que conectan funciones trigonométricas inversas, fórmulas para sumas y diferencias.
Definición de funciones trigonométricas inversas
Como las funciones trigonométricas son periódicas, sus funciones inversas no son únicas. Entonces, la ecuación y = pecado x, para un dado, tiene infinitas raíces. De hecho, debido a la periodicidad del seno, si x es tal raíz, entonces también lo es x + 2πn(donde n es un número entero) también será la raíz de la ecuación. De este modo, las funciones trigonométricas inversas son multivaluadas. Para facilitar el trabajo con ellos, se introduce el concepto de sus significados principales. Considere, por ejemplo, seno: y = pecado x. pecado x Si limitamos el argumento x al intervalo , entonces en él la función y = aumenta monótonamente. Por lo tanto, tiene una función inversa única, que se llama arcoseno: x =.
arcoseno y
A menos que se indique lo contrario, por funciones trigonométricas inversas nos referimos a sus valores principales, que están determinados por las siguientes definiciones. Arcoseno ( y =) arcosen x es la función inversa del seno ( x =
siniestro Arcoseno ( arcocos x) es la función inversa del coseno ( es la función inversa del seno ( acogedor), teniendo un dominio de definición y un conjunto de valores.
Arctangente ( Arcoseno ( arctán x) es la función inversa de la tangente ( es la función inversa del seno ( tg y), teniendo un dominio de definición y un conjunto de valores.
Arcocotangente ( Arcoseno ( arcctgx) es la función inversa de la cotangente ( es la función inversa del seno ( ctg y), teniendo un dominio de definición y un conjunto de valores.
Gráficas de funciones trigonométricas inversas.
Las gráficas de funciones trigonométricas inversas se obtienen a partir de gráficas de funciones trigonométricas. imagen reflejada con respecto a la línea recta y = x.
Arcoseno ( y =
Arcoseno ( arcocos x
Arcoseno ( arctán x
Arcoseno ( arcctgx
Ver secciones Seno, coseno, Tangente, cotangente.
Fórmulas básicas
Aquí debes prestar especial atención a los intervalos para los cuales son válidas las fórmulas. arcosen(sen x) = x
en
pecado(arcosen x) = x arcosen(sen x) = x
arccos(cos x) = x
cos(arcos x) = x arcosen(sen x) = x
arctan(tg x) = x
tg(arctgx) = x arcosen(sen x) = x
arcctg(ctg x) = x
ctg(arcctgx) = x
Fórmulas que relacionan funciones trigonométricas inversas.
Fórmulas de suma y diferencia.
en o
en y
Fórmulas de suma y diferencia.
en o
en y
en y
en
en y
en
en Funciones trigonométricas inversas Son ampliamente utilizados en el análisis matemático. Sin embargo, para la mayoría de los estudiantes de secundaria, las tareas asociadas con este tipo de funciones causan importantes dificultades. Esto se debe principalmente al hecho de que en muchos libros de texto y libros de texto
A problemas de este tipo se les presta muy poca atención. Y si los estudiantes al menos de alguna manera enfrentan los problemas de calcular los valores de funciones trigonométricas inversas, entonces las ecuaciones y desigualdades que contienen tales funciones, en su mayor parte, desconciertan a los niños. De hecho, esto no es sorprendente, porque prácticamente ningún libro de texto explica cómo resolver incluso las ecuaciones y desigualdades más simples que contienen funciones trigonométricas inversas.
Veamos varias ecuaciones y desigualdades que involucran funciones trigonométricas inversas y resolvámoslas con explicaciones detalladas.
Ejemplo 1.
Resuelve la ecuación: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Solución.
Expresando la función trigonométrica inversa de la ecuación, obtenemos:
arccos (2x + 3) = 5π/6. Ahora usemos la definición de arco coseno. El arco coseno de un cierto número a perteneciente al segmento de -1 a 1 es un ángulo y del segmento de 0 a π tal que su coseno y igual al numero
incógnita. Por tanto podemos escribirlo así:
2x + 3 = cos 5π/6.
Escribamos el lado derecho de la ecuación resultante usando la fórmula de reducción:
2x + 3 = cos (π – π/6).
2x + 3 = -cos π/6;
2x + 3 = -√3/2;
2x = -3 – √3/2.
Reduzcamos el lado derecho a un denominador común.
2x = -(6 + √3) / 2;
x = -(6 + √3) / 4. -(6 + √3) / 4 .
Respuesta:
Ejemplo 2.
Resuelve la ecuación: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Resuelve la ecuación: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5. Dado que cos (arcсos x) = x con x perteneciente a [-1; 1], entonces es equivalente al sistema:
(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.
Resolvamos la ecuación incluida en el sistema.
4x – 9 = x 2 – 5x + 5.
Es cuadrado, entonces lo obtenemos.
x2 – 9x + 14 = 0;
D = 81 – 4 14 = 25;
x1 = (9 + 5) / 2 = 7;
x2 = (9 – 5) / 2 = 2.
Resolvamos la doble desigualdad incluida en el sistema.
1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Suma 9 a todas las partes, tenemos:
8 ≤ 4x ≤ 10. Dividiendo cada número entre 4, obtenemos:
2≤x≤2,5.
Ahora combinemos las respuestas que recibimos. Es fácil ver que la raíz x = 7 no satisface la respuesta a la desigualdad. Por tanto, la única solución de la ecuación es x = 2.
Respuesta: 2.
Ejemplo 3.
Resuelve la ecuación: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.
Resuelve la ecuación: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Dado que tg (arctg x) = x para todos los números reales, esta ecuación es equivalente a la ecuación:
0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.
Resolvamos el resultado. ecuación cuadrática utilizando un discriminante, habiéndolo llevado previamente a una forma estándar.
x2 – 3x + 2 = 0;
D = 9 – 4 2 = 1;
x1 = (3 + 1) / 2 = 2;
x2 = (3 – 1) / 2 = 1.
Respuesta: 1; 2.
Ejemplo 4.
Resuelve la ecuación: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).
Resuelve la ecuación: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Dado que arcctg f(x) = arcctg g(x) si y sólo si f(x) = g(x), entonces 
2x – 1 = x2/2 + x/2. Resolvamos la ecuación cuadrática resultante:
4x – 2 = x 2 + x;
x2 – 3x + 2 = 0.
Por el teorema de Vieta obtenemos que
x = 1 o x = 2.
Respuesta: 1; 2.
Ejemplo 5.
Resuelve la ecuación: arcosen (2x – 15) = arcsen (x 2 – 6x – 8).
Resuelve la ecuación: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Dado que una ecuación de la forma arcosen f(x) = arcsen g(x) es equivalente al sistema
(f(x) = gramo(x),
(f(x) € [-1; 1],
entonces la ecuación original es equivalente al sistema:
(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.
Resolvamos el sistema resultante:
(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.
De la primera ecuación, usando el teorema de Vieta, tenemos que x = 1 o x = 7. Resolviendo la segunda desigualdad del sistema, encontramos que 7 ≤ x ≤ 8. Por lo tanto, sólo la raíz x = 7 es adecuada para la ecuación final respuesta.
Respuesta: 7.
Ejemplo 6.
Resuelve la ecuación: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.
Resuelve la ecuación: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Sea arccos x = t, entonces t pertenece al segmento y la ecuación toma la forma:
t 2 – 6t + 8 = 0. Resuelva la ecuación cuadrática resultante usando el teorema de Vieta, encontramos que t = 2 o t = 4.
Como t = 4 no pertenece al segmento, obtenemos que t = 2, es decir arccos x = 2, lo que significa x = cos 2.
Respuesta: cos 2.
Ejemplo 7.
Resuelve la ecuación: (arcsen x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.
Resuelve la ecuación: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Usemos la igualdad arcsin x + arccos x = π/2 y escribamos la ecuación en la forma
(arcosen x) 2 + (π/2 – arcosen x) 2 = 5π 2 /36.
Sea arcsin x = t, entonces t pertenece al segmento [-π/2; π/2] y la ecuación toma la forma:
t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.
Resolvamos la ecuación resultante:
t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;
2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Multiplicando cada término por 9 para eliminar fracciones en la ecuación, obtenemos:
18t 2 – 9πt + π 2 = 0.
Encontremos el discriminante y resolvamos la ecuación resultante:
D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .
t = (9π – 3π) / 2 18 o t = (9π + 3π) / 2 18;
t = 6π/36 o t = 12π/36.
Después de la reducción tenemos:
t = π/6 o t = π/3. Entonces
arcosen x = π/6 o arcsen x = π/3.
Por tanto, x = sen π/6 o x = sen π/3. Es decir, x = 1/2 o x =√3/2.
Respuesta: 1/2; √3/2.
Ejemplo 8.
Encuentra el valor de la expresión 5nx 0, donde n es el número de raíces y x 0 es la raíz negativa de la ecuación 2 arcosen x = - π – (x + 1) 2.
Resuelve la ecuación: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Dado que -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, entonces -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Además, (x + 1) 2 ≥ 0 para todo x real,
entonces -(x + 1) 2 ≤ 0 y -π – (x + 1) 2 ≤ -π.
Por tanto, la ecuación puede tener solución si ambos lados son simultáneamente iguales a –π, es decir la ecuación es equivalente al sistema:
(2 arcosen x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.
Resolvamos el sistema de ecuaciones resultante:
(arcosen x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.
De la segunda ecuación tenemos que x = -1, respectivamente n = 1, entonces 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.
Respuesta: -5.
Como muestra la práctica, la capacidad de resolver ecuaciones con funciones trigonométricas inversas es una condición necesaria para aprobar los exámenes con éxito. Es por eso que la formación para resolver este tipo de problemas es simplemente necesaria y obligatoria en la preparación para el Examen Estatal Unificado.
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