Se da un sistema de ecuaciones lineales para resolver mediante el método gaussiano. Método gaussiano (eliminación secuencial de incógnitas). Ejemplos de soluciones para tontos.

16.10.2019

Esta calculadora en línea encuentra la solución al sistema. ecuaciones lineales(SLN) por el método gaussiano. Se da una solución detallada. Para calcular, seleccione el número de variables y el número de ecuaciones. Luego ingrese los datos en las celdas y haga clic en el botón "Calcular".

+x2

+x3

+x2

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+x2

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método de gauss

El método de Gauss es un método de transición del sistema original de ecuaciones lineales (usando transformaciones equivalentes) a un sistema que es más fácil de resolver que el sistema original.

Las transformaciones equivalentes de un sistema de ecuaciones lineales son:

intercambiando dos ecuaciones en el sistema,
multiplicar cualquier ecuación del sistema por un número real distinto de cero,
sumar a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número arbitrario.

Considere un sistema de ecuaciones lineales:

(1)

Escribamos el sistema (1) en forma matricial:

hacha=b

(2)

(3)

A- llamada matriz de coeficientes del sistema, b− lado derecho de las restricciones, incógnita− vector de variables a encontrar. Vamos a clasificar ( A)=pag.

Las transformaciones equivalentes no cambian el rango de la matriz de coeficientes ni el rango de la matriz extendida del sistema. El conjunto de soluciones del sistema tampoco cambia bajo transformaciones equivalentes. La esencia del método Gauss es reducir la matriz de coeficientes. A a diagonal o escalonada.

Construyamos una matriz extendida del sistema:

En la siguiente etapa, restablecemos todos los elementos de la columna 2, debajo del elemento. Si este elemento es cero, entonces esta fila se intercambia con la fila que se encuentra debajo de esta fila y que tiene un elemento distinto de cero en la segunda columna. A continuación, restablezca todos los elementos de la columna 2 debajo del elemento principal. a 22. Para hacer esto, agregue las líneas 3, ... metro con cadena 2 multiplicada por - a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22, respectivamente. Continuando con el procedimiento obtenemos una matriz de forma diagonal o escalonada. Sea la matriz extendida resultante la forma:

(7)

Porque sonóA=sonó(A|b), entonces el conjunto de soluciones (7) es ( n-p)− variedad. Por eso n-p las incógnitas se pueden elegir arbitrariamente. Las incógnitas restantes del sistema (7) se calculan de la siguiente manera. De la última ecuación expresamos incógnita p a través de las variables restantes e insértelas en las expresiones anteriores. A continuación, de la penúltima ecuación expresamos incógnita p−1 a través de las variables restantes e insertar en las expresiones anteriores, etc. Considere el método gaussiano en ejemplos específicos.

Ejemplos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss.

Ejemplo 1. Encontrar solución general sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss:

Denotemos por a elementos ij i-ésima línea y jª columna.

a 1 1 . Para hacer esto, suma las líneas 2,3 con la línea 1, multiplicada por -2/3,-1/2, respectivamente:

Vista matricial entradas: hacha=b, Dónde

Denotemos por a elementos ij i-ésima línea y jª columna.

Excluyamos los elementos de la primera columna de la matriz debajo del elemento. a 11. Para hacer esto, suma las líneas 2,3 con la línea 1, multiplicada por -1/5,-6/5, respectivamente:

Dividimos cada fila de la matriz por el elemento principal correspondiente (si el elemento principal existe):

Dónde incógnita 3 , incógnita

Sustituyendo las expresiones superiores por las inferiores obtenemos la solución.

Entonces solución vectorial se puede representar así:

Dónde incógnita 3 , incógnita 4 son números reales arbitrarios.

Seguimos considerando sistemas de ecuaciones lineales. Esta lección es la tercera sobre el tema. Si tienes una idea vaga de lo que es un sistema de ecuaciones lineales en general, si te apetece una tetera, te recomiendo comenzar con lo básico en la página siguiente, es útil estudiar la lección.

¡El método gaussiano es fácil!¿Por qué? El famoso matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, durante su vida, recibió el reconocimiento como el mayor matemático de todos los tiempos, un genio e incluso el apodo de "Rey de las Matemáticas". ¡Y todo lo ingenioso, como sabes, es sencillo! Por cierto, no sólo los tontos obtienen dinero, sino también los genios: el retrato de Gauss estaba en el billete de 10 marcos alemanes (antes de la introducción del euro), y Gauss todavía sonríe misteriosamente a los alemanes desde los sellos postales comunes.

El método Gauss es simple en el sentido de que EL CONOCIMIENTO DE UN ALUMNO DE QUINTO GRADO ES SUFICIENTE para dominarlo. ¡Debes saber sumar y multiplicar! No es casualidad que los profesores consideren a menudo el método de exclusión secuencial de incógnitas en las asignaturas optativas de matemáticas escolares. Es una paradoja, pero los estudiantes encuentran el método gaussiano el más difícil. Nada sorprendente: todo es cuestión de metodología, e intentaré hablar sobre el algoritmo del método de forma accesible.

Primero, sistematicemos un poco de conocimiento sobre sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales puede:

1) Tener una solución única. 2) Tener infinitas soluciones. 3) No tener soluciones (ser no conjunto).

El método Gauss es la herramienta más poderosa y universal para encontrar una solución. cualquier sistemas de ecuaciones lineales. Como recordamos, Regla de Cramer y método matricial. no son adecuados en los casos en que el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente. Y el método de eliminación secuencial de incógnitas. De todos modos¡Nos llevará a la respuesta! En esta lección Consideraremos nuevamente el método de Gauss para el caso No. 1 (la única solución al sistema), un artículo está dedicado a las situaciones de los puntos No. 2-3. Observo que el algoritmo del método en sí funciona igual en los tres casos.

Volvamos al sistema más simple de la lección. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales? y resolverlo usando el método gaussiano.

El primer paso es escribir matriz del sistema extendido: . Creo que todos pueden ver según qué principio se escriben los coeficientes. La línea vertical dentro de la matriz no tiene ningún significado matemático; es simplemente un tachado para facilitar el diseño.

Referencia : te recomiendo que recuerdes términos álgebra lineal. Matriz del sistema es una matriz compuesta únicamente por coeficientes para incógnitas, en este ejemplo la matriz del sistema: . Matriz del sistema extendido – esta es la misma matriz del sistema más una columna de términos libres, en este caso: . Para abreviar, cualquiera de las matrices puede denominarse simplemente matriz.

Una vez escrita la matriz del sistema extendido, es necesario realizar algunas acciones con ella, que también se denominan transformaciones elementales.

Existen las siguientes transformaciones elementales:

1) Instrumentos de cuerda matrices Poder arreglar de nuevo en algunos lugares. Por ejemplo, en la matriz que estamos considerando, puede reorganizar sin problemas la primera y la segunda fila:

2) Si hay (o han aparecido) filas proporcionales (como caso especial, idénticas) en la matriz, entonces debería borrar Todas estas filas son de la matriz excepto una. Consideremos, por ejemplo, la matriz . En esta matriz, las últimas tres filas son proporcionales, por lo que basta con dejar solo una de ellas: .

3) Si aparece una fila cero en la matriz durante las transformaciones, entonces también debería ser borrar. No dibujaré, por supuesto, la línea cero es la línea en la que todos ceros.

4) La fila de la matriz puede ser multiplicar (dividir) a cualquier número distinto de cero. Consideremos, por ejemplo, la matriz. Aquí es recomendable dividir la primera línea por –3 y multiplicar la segunda línea por 2: . Esta acción es muy útil porque simplifica futuras transformaciones de la matriz.

5) Esta transformación es la que causa más dificultades, pero en realidad tampoco hay nada complicado. A una fila de una matriz puedes agregar otra cadena multiplicada por un número, diferente de cero. Veamos nuestra matriz desde un ejemplo práctico: . Primero describiré la transformación con gran detalle. Multiplica la primera línea por –2: , Y a la segunda línea le sumamos la primera línea multiplicada por –2: . Ahora la primera línea se puede dividir “atrás” por –2: . Como puedes ver, la línea que ADD LI – no ha cambiado. Siempre la línea A LA QUE SE AGREGA cambia Utah.

En la práctica, por supuesto, no lo escriben con tanto detalle, pero lo escriben brevemente: Una vez más: a la segunda línea. agregó la primera línea multiplicada por –2. Una línea generalmente se multiplica oralmente o en un borrador, y el proceso de cálculo mental es más o menos así:

“Reescribo la matriz y reescribo la primera línea: »

“Primera columna. En la parte inferior necesito obtener cero. Por lo tanto, multiplico el de arriba por –2:, y sumo el primero a la segunda línea: 2 + (–2) = 0. Escribo el resultado en la segunda línea: »

“Ahora la segunda columna. En la parte superior, multiplico -1 por -2: . Sumo el primero a la segunda línea: 1 + 2 = 3. Escribo el resultado en la segunda línea: »

“Y la tercera columna. En la parte superior multiplico -5 por -2: . Agrego el primero a la segunda línea: –7 + 10 = 3. Escribo el resultado en la segunda línea: »

Comprenda cuidadosamente este ejemplo y comprenda el algoritmo de cálculo secuencial; si comprende esto, entonces el método gaussiano está prácticamente en su bolsillo. Pero, por supuesto, seguiremos trabajando en esta transformación.

Las transformaciones elementales no cambian la solución del sistema de ecuaciones.

! ATENCIÓN: manipulaciones consideradas no se puede utilizar, si le ofrecen una tarea en la que las matrices se dan "por sí mismas". Por ejemplo, con "clásico" operaciones con matrices¡Bajo ninguna circunstancia debes reorganizar nada dentro de las matrices! Volvamos a nuestro sistema. Está prácticamente hecho pedazos.

Escribimos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la reducimos a vista escalonada:

(1) La primera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –2. Y de nuevo: ¿por qué multiplicamos la primera línea por –2? Para obtener cero en la parte inferior, significa deshacerse de una variable en la segunda línea.

(2) Divida la segunda línea por 3.

El propósito de las transformaciones elementales. – reducir la matriz a la forma paso a paso: . Al diseñar la tarea, simplemente marcan las "escaleras" con un simple lápiz y también encierran en un círculo los números que se encuentran en los "escalones". El término "vista escalonada" en sí no es del todo teórico, en términos científicos y literatura educativa a menudo se llama vista trapezoidal o vista triangular.

Como resultado de transformaciones elementales, obtuvimos equivalente sistema original de ecuaciones:

Ahora es necesario "desenrollar" el sistema en la dirección opuesta: de abajo hacia arriba, este proceso se llama inverso del método gaussiano.

En la ecuación inferior ya tenemos un resultado listo: .

Consideremos la primera ecuación del sistema y sustituyamos en ella el valor ya conocido de "y":

Consideremos la situación más común, cuando el método gaussiano requiere resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Ejemplo 1

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss:

Escribamos la matriz extendida del sistema:

Ahora dibujaré inmediatamente el resultado al que llegaremos durante la solución: Y repito, nuestro objetivo es llevar la matriz a una forma escalonada mediante transformaciones elementales. ¿Por dónde empezar?

Primero, mira el número superior izquierdo: Casi siempre debería estar aquí. unidad. En términos generales, –1 (y a veces otros números) bastará, pero de alguna manera ha sucedido tradicionalmente que normalmente se coloca uno allí. ¿Cómo organizar una unidad? Miramos la primera columna: ¡tenemos una unidad terminada! Transformación uno: intercambie la primera y tercera línea:

Ahora la primera línea permanecerá sin cambios hasta el final de la solución.. Ya es más fácil.

La unidad en la esquina superior izquierda está organizada. Ahora necesitas obtener ceros en estos lugares:

Obtenemos ceros mediante una transformación "difícil". Primero nos ocupamos de la segunda línea (2, –1, 3, 13). ¿Qué hay que hacer para conseguir cero en la primera posición? Necesito a la segunda línea agregue la primera línea multiplicada por –2. Mentalmente o en un borrador, multiplica la primera línea por –2: (–2, –4, 2, –18). Y realizamos consistentemente (nuevamente mentalmente o en un borrador) sumas, a la segunda línea le sumamos la primera línea, ya multiplicada por –2:

Escribimos el resultado en la segunda línea:

Tratamos la tercera línea de la misma manera (3, 2, –5, –1). Para obtener un cero en la primera posición, necesitas a la tercera línea agregue la primera línea multiplicada por –3. Mentalmente o en un borrador, multiplica la primera línea por –3: (–3, –6, 3, –27). Y a la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por –3:

Escribimos el resultado en la tercera línea:

En la práctica, estas acciones suelen realizarse de forma oral y escritas en un solo paso:

No es necesario contar todo de una vez y al mismo tiempo.. El orden de los cálculos y la “inscripción” de los resultados. coherente y por lo general es así: primero reescribimos la primera línea y nos fumamos poco a poco, CONSISTENTE y ATENTAMENTE:
Y ya he hablado anteriormente del proceso mental de los cálculos.

EN en este ejemplo Esto es fácil de hacer, divide la segunda línea por –5 (ya que todos los números son divisibles por 5 sin resto). Al mismo tiempo, dividimos la tercera línea entre –2, porque cuanto más pequeños sean los números, más sencilla será la solución:

En la etapa final de las transformaciones elementales, aquí debes obtener otro cero:

Para esto a la tercera línea le sumamos la segunda línea multiplicada por –2:
Intente descubrir esta acción usted mismo: multiplique mentalmente la segunda línea por –2 y realice la suma.

La última acción realizada es el peinado del resultado, divide la tercera línea entre 3.

Como resultado de transformaciones elementales, se obtuvo un sistema equivalente de ecuaciones lineales: Fresco.

Ahora entra en juego lo contrario del método gaussiano. Las ecuaciones se “desenrollan” de abajo hacia arriba.

En la tercera ecuación ya tenemos un resultado listo:

Veamos la segunda ecuación: . El significado de "zet" ya se conoce, así:

Y por último, la primera ecuación: . "Igrek" y "zet" son conocidos, es sólo una cuestión de pequeñas cosas:

Respuesta:

Como ya se ha señalado varias veces, para cualquier sistema de ecuaciones es posible y necesario comprobar la solución encontrada, afortunadamente esto es fácil y rápido.

Ejemplo 2

Este es un ejemplo de una solución independiente, una muestra del diseño final y una respuesta al final de la lección.

Cabe señalar que su progreso de la decisión puede no coincidir con mi proceso de decisión, y esta es una característica del método de Gauss.. ¡Pero las respuestas deben ser las mismas!

Ejemplo 3

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss.

Nos fijamos en el “paso” superior izquierdo. Deberíamos tener uno allí. El problema es que no hay ninguna unidad en la primera columna, por lo que reorganizar las filas no resolverá nada. En tales casos, la unidad debe organizarse mediante una transformación elemental. Por lo general, esto se puede hacer de varias maneras. Yo hice esto: (1) A la primera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por –1. Es decir, multiplicamos mentalmente la segunda línea por –1 y sumamos la primera y la segunda línea, mientras que la segunda línea no cambió.

Ahora arriba a la izquierda aparece “menos uno”, lo que nos viene bastante bien. Cualquiera que quiera obtener +1 puede realizar un movimiento adicional: multiplicar la primera línea por –1 (cambiar su signo).

(2) La primera línea multiplicada por 5 se agregó a la segunda línea. La primera línea multiplicada por 3 se agregó a la tercera línea.

(3) La primera línea se multiplicó por –1, en principio, esto es por belleza. También se cambió el signo de la tercera línea y se pasó al segundo lugar, de modo que en el segundo “escalón” tuviéramos la unidad requerida.

(4) La segunda línea se sumó a la tercera línea, multiplicada por 2.

(5) La tercera línea se dividió por 3.

Una mala señal que indica un error en los cálculos (más raramente, un error tipográfico) es un resultado final “malo”. Es decir, si tenemos algo como , a continuación y, en consecuencia, , entonces con un alto grado de probabilidad podemos decir que se cometió un error durante las transformaciones elementales.

Afirmamos lo contrario: en el diseño de ejemplos a menudo no reescriben el sistema en sí, sino que las ecuaciones se "toman directamente de la matriz dada". El trazo inverso, les recuerdo, funciona de abajo hacia arriba. Sí, aquí tienes un regalo:

Respuesta: .

Ejemplo 4

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta, es algo más complicado. Está bien si alguien se confunde. Solución completa y diseño de muestra al final de la lección. Su solución puede ser diferente de mi solución.

En la última parte veremos algunas características del algoritmo gaussiano. La primera característica es que a veces faltan algunas variables en las ecuaciones del sistema, por ejemplo: ¿Cómo escribir correctamente la matriz del sistema extendido? Ya hablé de este punto en clase. La regla de Cramer. método matricial. En la matriz extendida del sistema, colocamos ceros en lugar de las variables faltantes: Por cierto, este es un ejemplo bastante sencillo, ya que la primera columna ya tiene un cero y hay menos transformaciones elementales que realizar.

La segunda característica es esta. En todos los ejemplos considerados, colocamos –1 o +1 en los “pasos”. ¿Podría haber otros números allí? En algunos casos pueden hacerlo. Considere el sistema: .

Aquí en el “paso” superior izquierdo tenemos un dos. Pero notamos el hecho de que todos los números de la primera columna son divisibles por 2 sin resto, y la otra es dos y seis. ¡Y los dos de arriba a la izquierda nos vendrán bien! En el primer paso, debes realizar las siguientes transformaciones: suma la primera línea multiplicada por –1 a la segunda línea; a la tercera línea agregue la primera línea multiplicada por –3. Entonces obtenemos ceros necesarios en la primera columna.

U otro ejemplo convencional: . Aquí el tres del segundo “paso” también nos conviene, ya que 12 (el lugar donde necesitamos sacar el cero) es divisible por 3 sin resto. Es necesario realizar la siguiente transformación: suma la segunda línea a la tercera línea, multiplicada por –4, como resultado de lo cual obtendremos el cero que necesitamos.

El método de Gauss es universal, pero tiene una peculiaridad. Puedes aprender con confianza a resolver sistemas utilizando otros métodos (método de Cramer, método matricial) literalmente la primera vez; tienen un algoritmo muy estricto. Pero para tener confianza en el método gaussiano, debes “meterte en el diente” y resolver al menos entre 5 y 10 diez sistemas. Por lo tanto, al principio puede haber confusión y errores en los cálculos, y esto no tiene nada de inusual o trágico.

Clima lluvioso de otoño fuera de la ventana.... Por lo tanto, para todos los que quieran más ejemplo complejo para solución independiente:

Ejemplo 5

Resuelve un sistema de 4 ecuaciones lineales con cuatro incógnitas utilizando el método de Gauss.

Esta tarea no es tan rara en la práctica. Creo que incluso una tetera que haya estudiado a fondo esta página comprenderá el algoritmo para resolver dicho sistema de forma intuitiva. Básicamente todo es igual, sólo que hay más acciones.

En la lección se analizan los casos en los que el sistema no tiene soluciones (inconsistente) o tiene infinitas soluciones. Sistemas incompatibles y sistemas con una solución común.. Allí puede arreglar el algoritmo considerado del método gaussiano.

¡Te deseo éxito!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2: Solución : Escribamos la matriz extendida del sistema y, utilizando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada.
Transformaciones elementales realizadas: (1) La primera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –2. La primera línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por –1. ¡Atención! Aquí puede verse tentado a restar la primera línea de la tercera; le recomiendo no restarla; el riesgo de error aumenta considerablemente. ¡Solo dóblalo! (2) Se cambió el signo de la segunda línea (multiplicado por –1). Se han intercambiado la segunda y tercera línea. tenga en cuenta , que en los “escalones” nos conformamos no solo con uno, sino también con –1, lo cual es aún más conveniente. (3) La segunda línea se sumó a la tercera línea, multiplicada por 5. (4) Se cambió el signo de la segunda línea (multiplicado por –1). La tercera línea fue dividida por 14.

Contrarrestar:

Respuesta : .

Ejemplo 4: Solución : Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:

Conversiones realizadas: (1) Se agregó una segunda línea a la primera línea. Así, la unidad deseada se organiza en el “escalón” superior izquierdo. (2) La primera línea multiplicada por 7 se agregó a la segunda línea. La primera línea multiplicada por 6 se agregó a la tercera línea.

Con el segundo “paso” todo empeora , los “candidatos” son los números 17 y 23, y necesitamos uno o –1. Las transformaciones (3) y (4) estarán encaminadas a obtener la unidad deseada (3) La segunda línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por –1. (4) La tercera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –3. Se ha recibido el artículo requerido en el segundo paso. . (5) La segunda línea se sumó a la tercera línea, multiplicada por 6. (6) La segunda línea se multiplicó por –1, la tercera línea se dividió por -83.

Contrarrestar:

Respuesta :

Ejemplo 5: Solución : Escribamos la matriz del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma paso a paso:

Conversiones realizadas: (1) Se han intercambiado la primera y la segunda línea. (2) La primera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –2. La primera línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por –2. La primera línea se añadió a la cuarta línea, multiplicada por –3. (3) La segunda línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por 4. La segunda línea se agregó a la cuarta línea, multiplicada por –1. (4) Se cambió el signo de la segunda línea. La cuarta línea fue dividida por 3 y colocada en lugar de la tercera línea. (5) La tercera línea se agregó a la cuarta línea, multiplicada por –5.

Contrarrestar:

Respuesta :

Sea un sistema de lineal ecuaciones algebraicas, que debe resolverse (encuentre los valores de las incógnitas xi que conviertan cada ecuación del sistema en igualdad).

Sabemos que un sistema de ecuaciones algebraicas lineales puede:

1) No tener soluciones (ser no conjunto).
2) Tener infinitas soluciones.
3) Tener una solución única.

Como recordamos, la regla de Cramer y el método matricial no son adecuados en los casos en que el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente. método de gauss – la herramienta más poderosa y versátil para encontrar soluciones a cualquier sistema de ecuaciones lineales, cual en todos los casos¡Nos llevará a la respuesta! El algoritmo del método en sí funciona igual en los tres casos. Si los métodos de Cramer y matriciales requieren conocimiento de los determinantes, entonces para aplicar el método de Gauss solo se necesitan conocimientos de operaciones aritméticas, lo que lo hace accesible incluso a los estudiantes de primaria.

Transformaciones matriciales aumentadas ( esta es la matriz del sistema - una matriz compuesta sólo por los coeficientes de las incógnitas, más una columna de términos libres) sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en el método de Gauss:

1) Con troki matrices Poder arreglar de nuevo en algunos lugares.

2) si aparecen (o existen) filas proporcionales (como caso especial, idénticas) en la matriz, entonces debería borrar Todas estas filas son de la matriz excepto una.

3) si aparece una fila cero en la matriz durante las transformaciones, entonces también debería ser borrar.

4) una fila de la matriz puede ser multiplicar (dividir) a cualquier número distinto de cero.

5) a una fila de la matriz puedes agregar otra cadena multiplicada por un número, diferente de cero.

En el método de Gauss, las transformaciones elementales no cambian la solución del sistema de ecuaciones.

El método de Gauss consta de dos etapas:

“Movimiento directo”: mediante transformaciones elementales, lleva la matriz extendida de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales a una forma escalonada “triangular”: los elementos de la matriz extendida ubicados debajo de la diagonal principal son iguales a cero (movimiento de arriba hacia abajo). Por ejemplo, a este tipo:

Para hacer esto, realice los siguientes pasos:

1) Consideremos la primera ecuación de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales y el coeficiente para x 1 es igual a K. La segunda, tercera, etc. Transformamos las ecuaciones de la siguiente manera: dividimos cada ecuación (coeficientes de las incógnitas, incluidos los términos libres) por el coeficiente de la incógnita x 1, que está en cada ecuación, y multiplicamos por K. Después de esto, restamos el primero de la segunda ecuación (coeficientes de incógnitas y términos libres). Para x 1 en la segunda ecuación obtenemos el coeficiente 0. De la tercera ecuación transformada restamos la primera ecuación hasta que todas las ecuaciones excepto la primera, para x 1 desconocida, tengan un coeficiente 0.

2) Pasemos a la siguiente ecuación. Sea esta la segunda ecuación y el coeficiente para x 2 igual a M. Procedemos con todas las ecuaciones “inferiores” como se describió anteriormente. Por tanto, “debajo” de la incógnita x 2 habrá ceros en todas las ecuaciones.

3) Pasar a la siguiente ecuación y así sucesivamente hasta que quede una última incógnita y el término libre transformado.

El “movimiento inverso” del método de Gauss consiste en obtener una solución a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (el movimiento “de abajo hacia arriba”).

De la última ecuación “inferior” obtenemos una primera solución: la incógnita x n. Para hacer esto, resolvemos la ecuación elemental A * x n = B. En el ejemplo anterior, x 3 = 4. Sustituimos el valor encontrado en la siguiente ecuación "superior" y lo resolvemos con respecto a la siguiente incógnita. Por ejemplo, x 2 – 4 = 1, es decir x 2 = 5. Y así sucesivamente hasta encontrar todas las incógnitas.

Ejemplo.

Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss, como aconsejan algunos autores:

Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:
Nos fijamos en el “paso” superior izquierdo. Deberíamos tener uno allí. El problema es que no hay ninguna unidad en la primera columna, por lo que reorganizar las filas no resolverá nada. En tales casos, la unidad debe organizarse mediante una transformación elemental. Por lo general, esto se puede hacer de varias maneras. Hagamos esto: . A la primera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por –1. Es decir, multiplicamos mentalmente la segunda línea por –1 y sumamos la primera y la segunda línea, mientras que la segunda línea no cambió.

Ahora arriba a la izquierda aparece “menos uno”, lo que nos viene bastante bien. Cualquiera que quiera obtener +1 puede realizar una acción adicional: multiplicar la primera línea por –1 (cambiar su signo).

Paso 2 . La primera línea, multiplicada por 5, se añadió a la segunda línea. La primera línea, multiplicada por 3, se añadió a la tercera línea.

Paso 3 . La primera línea se multiplicó por –1, en principio, esto es por belleza. También se cambió el signo de la tercera línea y se pasó al segundo lugar, de modo que en el segundo “escalón” tuviéramos la unidad requerida.

Paso 4 . La tercera línea se sumó a la segunda línea, multiplicada por 2.

Paso 5 . La tercera línea se dividió por 3.

Una señal que indica un error en los cálculos (más raramente, un error tipográfico) es un resultado final “malo”. Es decir, si obtuvimos algo como (0 0 11 |23) a continuación y, en consecuencia, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, entonces con un alto grado de probabilidad podemos decir que se cometió un error durante la primaria. transformaciones.

Hagamos lo contrario; en el diseño de ejemplos, el sistema en sí a menudo no se reescribe, sino que las ecuaciones se “toman directamente de la matriz dada”. El movimiento inverso, les recuerdo, funciona de abajo hacia arriba. En este ejemplo, el resultado fue un regalo:

x3 = 1
x2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, por lo tanto x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Respuesta:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Resolvamos el mismo sistema usando el algoritmo propuesto. obtenemos

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Dividimos la segunda ecuación por 5 y la tercera por 3. Obtenemos:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplicando la segunda y tercera ecuaciones por 4 obtenemos:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Reste la primera ecuación de la segunda y tercera ecuaciones, tenemos:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divide la tercera ecuación por 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multiplica la tercera ecuación por 0,4.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Restando la segunda de la tercera ecuación, obtenemos una matriz extendida “escalonada”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Así, dado el error acumulado durante los cálculos, obtenemos x 3 = 0,96 o aproximadamente 1.

x2 = 3 y x1 = –1.

Resolviendo de esta forma, nunca te confundirás en los cálculos y, a pesar de los errores de cálculo, obtendrás el resultado.

Este método de resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es fácil de programar y no tiene en cuenta características específicas coeficientes para incógnitas, porque en la práctica (en cálculos económicos y técnicos) hay que tratar con coeficientes no enteros.

¡Te deseo éxito! ¡Nos vemos en clase! Tutor.

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método de gauss Perfectamente adecuado para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE). Tiene una serie de ventajas respecto a otros métodos:

en primer lugar, no es necesario examinar primero la coherencia del sistema de ecuaciones;
en segundo lugar, el método de Gauss puede resolver no solo SLAE en los que el número de ecuaciones coincide con el número de variables desconocidas y la matriz principal del sistema no es singular, sino también sistemas de ecuaciones en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o el determinante de la matriz principal es igual a cero;
En tercer lugar, el método gaussiano produce resultados con un número relativamente pequeño de operaciones computacionales.

Breve reseña del artículo.

Primero, damos las definiciones necesarias e introducimos notaciones.

A continuación, describiremos el algoritmo del método de Gauss para el caso más simple, es decir, para sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, cuyo número de ecuaciones coincide con el número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema es no igual a cero. Al resolver tales sistemas de ecuaciones, la esencia del método de Gauss, que es la eliminación secuencial de variables desconocidas, es más claramente visible. Por lo tanto, el método gaussiano también se denomina método de eliminación secuencial de incógnitas. Te mostraremos soluciones detalladas varios ejemplos.

En conclusión, consideraremos la solución por el método de Gauss de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, cuya matriz principal es rectangular o singular. La solución a estos sistemas tiene algunas características que examinaremos en detalle mediante ejemplos.

Navegación de páginas.

Definiciones y notaciones básicas.

Considere un sistema de p ecuaciones lineales con n incógnitas (p puede ser igual a n):

Donde son variables desconocidas, son números (reales o complejos) y son términos libres.

Si , entonces el sistema de ecuaciones algebraicas lineales se llama homogéneo, de lo contrario - heterogéneo.

El conjunto de valores de variables desconocidas para el cual todas las ecuaciones del sistema se vuelven identidades se llama decisión de la SLAU.

Si existe al menos una solución para un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, entonces se llama articulación, de lo contrario - no conjunto.

Si un SLAE tiene una solución única, entonces se llama cierto. Si hay más de una solución, entonces el sistema se llama incierto.

Dicen que el sistema está escrito en forma coordinada, si tiene la forma
.

Este sistema en forma matricial registros tiene la forma , donde - la matriz principal de la SLAE, - la matriz de la columna de variables desconocidas, - la matriz de términos libres.

Si agregamos una columna de matriz de términos libres a la matriz A como la (n+1)ésima columna, obtenemos la llamada matriz extendida sistemas de ecuaciones lineales. Normalmente, una matriz extendida se denota con la letra T y la columna de términos libres está separada por una línea vertical de las columnas restantes, es decir,

La matriz cuadrada A se llama degenerar, si su determinante es cero. Si , entonces la matriz A se llama no degenerado.

Cabe señalar el siguiente punto.

Si realizas las siguientes acciones con un sistema de ecuaciones algebraicas lineales

intercambiar dos ecuaciones,
multiplicar ambos lados de cualquier ecuación por un número real (o complejo) arbitrario y distinto de cero k,
a ambos lados de cualquier ecuación sume las partes correspondientes de otra ecuación, multiplicadas por un número arbitrario k,

entonces obtienes un sistema equivalente que tiene las mismas soluciones (o, al igual que el original, no tiene soluciones).

Para una matriz extendida de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, estas acciones supondrán realizar transformaciones elementales con las filas:

intercambiando dos líneas,
multiplicar todos los elementos de cualquier fila de la matriz T por un número k distinto de cero,
sumando a los elementos de cualquier fila de una matriz los elementos correspondientes de otra fila, multiplicados por un número arbitrario k.

Ahora podemos proceder a la descripción del método de Gauss.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, en los que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y la matriz principal del sistema es no singular, mediante el método de Gauss.

¿Qué haríamos en la escuela si nos dieran la tarea de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones? .

Algunos harían eso.

Tenga en cuenta que al sumar el lado izquierdo de la primera al lado izquierdo de la segunda ecuación, y el lado derecho al lado derecho, puede deshacerse de las variables desconocidas x 2 y x 3 e inmediatamente encontrar x 1:

Sustituimos el valor encontrado x 1 =1 en la primera y tercera ecuaciones del sistema:

Si multiplicamos ambos lados de la tercera ecuación del sistema por -1 y los sumamos a las partes correspondientes de la primera ecuación, nos deshacemos de la variable desconocida x 3 y podemos encontrar x 2:

Sustituimos el valor resultante x 2 = 2 en la tercera ecuación y encontramos la variable desconocida restante x 3:

Otros hubieran hecho lo contrario.

Resolvamos la primera ecuación del sistema con respecto a la variable desconocida x 1 y sustituimos la expresión resultante en la segunda y tercera ecuaciones del sistema para excluir esta variable de ellas:

Ahora resolvamos la segunda ecuación del sistema para x 2 y sustituyamos el resultado obtenido en la tercera ecuación para eliminar la variable desconocida x 2:

De la tercera ecuación del sistema queda claro que x 3 =3. De la segunda ecuación encontramos , y de la primera ecuación obtenemos .

Soluciones familiares, ¿verdad?

Lo más interesante aquí es que el segundo método de solución es esencialmente el método de eliminación secuencial de incógnitas, es decir, el método gaussiano. Cuando expresamos las variables desconocidas (primero x 1, en la siguiente etapa x 2) y las sustituimos en las ecuaciones restantes del sistema, las excluimos. Realizamos eliminación hasta que solo quedó una variable desconocida en la última ecuación. El proceso de eliminación secuencial de incógnitas se llama método gaussiano directo. Después de completar el movimiento hacia adelante, tenemos la oportunidad de calcular la variable desconocida que se encuentra en la última ecuación. Con su ayuda, de la penúltima ecuación encontramos la siguiente variable desconocida y así sucesivamente. El proceso de encontrar secuencialmente variables desconocidas mientras se pasa de la última ecuación a la primera se llama inverso del método gaussiano.

Cabe señalar que cuando expresamos x 1 en términos de x 2 y x 3 en la primera ecuación, y luego sustituimos la expresión resultante en la segunda y tercera ecuaciones, las siguientes acciones conducen al mismo resultado:

De hecho, este procedimiento también permite eliminar la variable desconocida x 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema:

Los matices con la eliminación de variables desconocidas mediante el método gaussiano surgen cuando las ecuaciones del sistema no contienen algunas variables.

Por ejemplo, en SLAU en la primera ecuación no hay ninguna variable desconocida x 1 (en otras palabras, el coeficiente delante de ella es cero). Por lo tanto, no podemos resolver la primera ecuación del sistema para x 1 para eliminar esta variable desconocida de las ecuaciones restantes. La salida a esta situación es intercambiar las ecuaciones del sistema. Dado que estamos considerando sistemas de ecuaciones lineales cuyos determinantes de las matrices principales son diferentes de cero, siempre hay una ecuación en la que está presente la variable que necesitamos y podemos reorganizar esta ecuación en la posición que necesitamos. Para nuestro ejemplo, basta con intercambiar la primera y la segunda ecuaciones del sistema. , entonces puedes resolver la primera ecuación para x 1 y excluirla de las ecuaciones restantes del sistema (aunque x 1 ya no está presente en la segunda ecuación).

Esperamos que entiendas la esencia.

describamos Algoritmo del método gaussiano.

Supongamos que necesitamos resolver un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas. variables de la forma , y sea el determinante de su matriz principal distinto de cero.

Supondremos que , ya que siempre podemos lograrlo intercambiando las ecuaciones del sistema. Eliminemos la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda. Para ello, a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera, multiplicada por , a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la primera, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

donde y .

Habríamos llegado al mismo resultado si hubiéramos expresado x 1 en términos de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y hubiéramos sustituido la expresión resultante en todas las demás ecuaciones. Por tanto, la variable x 1 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.

A continuación se procede de forma similar, pero sólo con parte del sistema resultante, que está marcado en la figura.

Para ello, a la tercera ecuación del sistema le sumamos la segunda, multiplicada por , a la cuarta ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

donde y . Por tanto, la variable x 2 queda excluida de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera.

A continuación procedemos a eliminar la incógnita x 3, y actuamos de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura.

Entonces continuamos la progresión directa del método gaussiano hasta que el sistema toma la forma

A partir de este momento comenzamos al revés del método gaussiano: calculamos x n de la última ecuación como , usando el valor obtenido de x n encontramos x n-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x 1 de la primera ecuación. .

Veamos el algoritmo con un ejemplo.

Método de Gauss.

Solución.

El coeficiente a 11 es distinto de cero, por lo que procedemos a la progresión directa del método gaussiano, es decir, a la exclusión de la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema excepto la primera. Para hacer esto, a los lados izquierdo y derecho de la segunda, tercera y cuarta ecuaciones, suma los lados izquierdo y derecho de la primera ecuación, multiplicados por, respectivamente. Y :

La variable desconocida x 1 ha sido eliminada, pasemos a eliminar x 2. A los lados izquierdo y derecho de la tercera y cuarta ecuaciones del sistema sumamos los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, multiplicados por respectivamente Y :

Para completar la progresión directa del método gaussiano, necesitamos eliminar la variable desconocida x 3 de la última ecuación del sistema. Sumemos a los lados izquierdo y derecho de la cuarta ecuación, respectivamente, los lados izquierdo y derecho de la tercera ecuación, multiplicados por :

Puede comenzar a la inversa del método gaussiano.

De la última ecuación tenemos ,
de la tercera ecuación obtenemos,
desde el segundo,
desde el primero.

Para comprobarlo, puede sustituir los valores obtenidos de las variables desconocidas en el sistema de ecuaciones original. Todas las ecuaciones se convierten en identidades, lo que indica que la solución utilizando el método de Gauss se encontró correctamente.

Respuesta:

Ahora demos una solución al mismo ejemplo usando el método gaussiano en notación matricial.

Encuentra la solución al sistema de ecuaciones. Método de Gauss.

Solución.

La matriz extendida del sistema tiene la forma . En la parte superior de cada columna están las variables desconocidas que corresponden a los elementos de la matriz.

El enfoque directo del método gaussiano aquí implica reducir la matriz extendida del sistema a una forma trapezoidal mediante transformaciones elementales. Este proceso es similar a la eliminación de variables desconocidas que hicimos con el sistema en forma de coordenadas. Ahora verás esto.

Transformemos la matriz para que todos los elementos de la primera columna, comenzando por la segunda, se vuelvan cero. Para ello, a los elementos de la segunda, tercera y cuarta línea le sumamos los elementos correspondientes de la primera línea multiplicados por , y en consecuencia:

A continuación, transformamos la matriz resultante para que en la segunda columna todos los elementos, comenzando por la tercera, se vuelvan cero. Esto correspondería a eliminar la variable desconocida x 2. Para ello, a los elementos de la tercera y cuarta fila sumamos los elementos correspondientes de la primera fila de la matriz, multiplicados por respectivamente Y :

Queda por excluir la variable desconocida x 3 de la última ecuación del sistema. Para ello, a los elementos de la última fila de la matriz resultante le sumamos los elementos correspondientes de la penúltima fila, multiplicados por :

Cabe señalar que esta matriz corresponde a un sistema de ecuaciones lineales

que se obtuvo anteriormente después de un movimiento hacia adelante.

Es hora de dar marcha atrás. En notación matricial, lo inverso del método gaussiano implica transformar la matriz resultante de tal manera que la matriz marcada en la figura

se volvió diagonal, es decir, tomó la forma

¿Dónde están algunos números?

Estas transformaciones son similares a las transformaciones directas del método gaussiano, pero no se realizan desde la primera línea hasta la última, sino desde la última hasta la primera.

Suma a los elementos de la tercera, segunda y primera línea los elementos correspondientes de la última línea, multiplicados por , una y otra vez respectivamente:

Ahora suma a los elementos de la segunda y primera línea los elementos correspondientes de la tercera línea, multiplicados por y por, respectivamente:

En el último paso del método gaussiano inverso, a los elementos de la primera fila sumamos los elementos correspondientes de la segunda fila, multiplicados por:

La matriz resultante corresponde al sistema de ecuaciones. , de donde encontramos las variables desconocidas.

Respuesta:

TENGA EN CUENTA.

Cuando se utiliza el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, se deben evitar los cálculos aproximados, ya que esto puede conducir a resultados completamente incorrectos. Recomendamos no redondear decimales. mejor de decimales pasemos a las fracciones ordinarias.

Resolver un sistema de tres ecuaciones usando el método de Gauss. .

Solución.

Tenga en cuenta que en este ejemplo las variables desconocidas tienen una designación diferente (no x 1, x 2, x 3, sino x, y, z). Pasemos a las fracciones ordinarias:

Excluimos la incógnita x de la segunda y tercera ecuaciones del sistema:

En el sistema resultante, la variable desconocida y está ausente en la segunda ecuación, pero y está presente en la tercera ecuación, por lo tanto, intercambiemos la segunda y la tercera ecuación:

Esto completa la progresión directa del método de Gauss (no es necesario excluir y de la tercera ecuación, ya que esta variable desconocida ya no existe).

Comencemos el movimiento inverso.

De la última ecuación encontramos ,
desde el penúltimo

de la primera ecuación tenemos

Respuesta:

X = 10, y = 5, z = -20.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de incógnitas o la matriz principal del sistema es singular, mediante el método de Gauss.

Los sistemas de ecuaciones, cuya matriz principal es rectangular o cuadrada singular, pueden no tener soluciones, tener una única solución o tener un número infinito de soluciones.

Ahora entenderemos cómo el método de Gauss nos permite establecer la compatibilidad o inconsistencia de un sistema de ecuaciones lineales, y en el caso de su compatibilidad, determinar todas las soluciones (o una sola solución).

En principio, el proceso de eliminación de variables desconocidas en el caso de tales SLAE sigue siendo el mismo. Sin embargo, vale la pena entrar en detalle sobre algunas situaciones que pueden surgir.

Pasemos a la etapa más importante.

Entonces, supongamos que el sistema de ecuaciones algebraicas lineales, después de completar la progresión directa del método de Gauss, toma la forma y no se redujo ni una sola ecuación (en este caso concluiríamos que el sistema es incompatible). surge pregunta lógica: “¿Qué hacer a continuación”?

Anotemos las variables desconocidas que aparecen primero en todas las ecuaciones del sistema resultante:

En nuestro ejemplo, estos son x 1, x 4 y x 5. En los lados izquierdos de las ecuaciones del sistema dejamos solo aquellos términos que contienen las variables desconocidas escritas x 1, x 4 y x 5, los términos restantes se transfieren al lado derecho de las ecuaciones con el signo opuesto:

Démosle valores arbitrarios a las variables desconocidas que están en el lado derecho de las ecuaciones, donde - números arbitrarios:

Después de esto, los lados derechos de todas las ecuaciones de nuestro SLAE contienen números y podemos proceder a la inversa del método gaussiano.

De la última ecuación del sistema tenemos, de la penúltima ecuación encontramos, de la primera ecuación obtenemos

La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de variables desconocidas.

Dando números diferentes significados, obtendremos diferentes soluciones al sistema de ecuaciones. Es decir, nuestro sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.

Respuesta:

Dónde - números arbitrarios.

Para consolidar el material, analizaremos en detalle las soluciones de varios ejemplos más.

Resolver un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales. Método de Gauss.

Solución.

Excluyamos la variable desconocida x de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para hacer esto, a los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, sumamos, respectivamente, los lados izquierdo y derecho de la primera ecuación, multiplicados por, y a los lados izquierdo y derecho de la tercera ecuación, sumamos los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, respectivamente. lados derechos de la primera ecuación, multiplicados por:

Ahora excluyamos y de la tercera ecuación del sistema de ecuaciones resultante:

El SLAE resultante es equivalente al sistema .

Dejamos en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema solo los términos que contienen las variables desconocidas x e y, y movemos los términos con la variable desconocida z al lado derecho:

En este artículo, el método se considera un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales (SLAE). El método es analítico, es decir, permite escribir un algoritmo de solución en vista general y luego sustituya valores de ejemplos específicos allí. A diferencia del método matricial o las fórmulas de Cramer, al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, también se puede trabajar con aquellos que tienen un número infinito de soluciones. O no lo tienen en absoluto.

¿Qué significa resolver mediante el método gaussiano?

Primero, necesitamos escribir nuestro sistema de ecuaciones. Se ve así. Toma el sistema:

Los coeficientes se escriben en forma de tabla y los términos libres se escriben en una columna separada a la derecha. La columna con miembros libres está separada por conveniencia. La matriz que incluye esta columna se llama extendida.

A continuación, la matriz principal con coeficientes debe reducirse a una forma triangular superior. Este es el punto principal de resolver el sistema utilizando el método gaussiano. En pocas palabras, después de ciertas manipulaciones la matriz debería verse de manera que su parte inferior izquierda contenga solo ceros:

Luego, si escribes la nueva matriz nuevamente como un sistema de ecuaciones, notarás que la última fila ya contiene el valor de una de las raíces, que luego se sustituye en la ecuación anterior, se encuentra otra raíz, y así sucesivamente.

Esta es una descripción de la solución por el método gaussiano en la forma más esquema general. ¿Qué pasa si de repente el sistema no tiene solución? ¿O hay infinitos de ellos? Para responder a estas y muchas otras preguntas, es necesario considerar por separado todos los elementos utilizados para resolver el método gaussiano.

Matrices, sus propiedades.

Ninguno significado oculto no en la matriz. es simple manera conveniente registrar datos para operaciones posteriores con ellos. Incluso los escolares no deben tenerles miedo.

La matriz siempre es rectangular, porque es más conveniente. Incluso en el método de Gauss, donde todo se reduce a construir una matriz de forma triangular, aparece un rectángulo en la entrada, solo con ceros en el lugar donde no hay números. Es posible que los ceros no estén escritos, pero están implícitos.

La matriz tiene un tamaño. Su “ancho” es el número de filas (m), “largo” es el número de columnas (n). Entonces, el tamaño de la matriz A (generalmente se usan letras latinas mayúsculas para indicarlas) se indicará como A m×n. Si m = n, entonces esta matriz es cuadrada y m = n es su orden. En consecuencia, cualquier elemento de la matriz A puede denotarse por sus números de fila y columna: a xy ; x - número de fila, cambios, y - número de columna, cambios.

B no es el punto principal de la decisión. En principio, todas las operaciones se pueden realizar directamente con las propias ecuaciones, pero la notación será mucho más engorrosa y será mucho más fácil confundirse.

Determinante

La matriz también tiene un determinante. Esta es una característica muy importante. No es necesario descubrir su significado ahora; basta con mostrar cómo se calcula y luego decir qué propiedades de la matriz determina. La forma más sencilla de encontrar el determinante es mediante diagonales. En la matriz se dibujan diagonales imaginarias; se multiplican los elementos ubicados en cada uno de ellos, y luego se suman los productos resultantes: diagonales con pendiente hacia la derecha - con signo más, con pendiente hacia la izquierda - con signo menos.

Es extremadamente importante tener en cuenta que el determinante sólo se puede calcular para una matriz cuadrada. Para una matriz rectangular, puede hacer lo siguiente: elija la más pequeña entre el número de filas y el número de columnas (sea k), y luego marque aleatoriamente k columnas y k filas en la matriz. Los elementos en la intersección de las columnas y filas seleccionadas formarán una nueva matriz cuadrada. Si el determinante de dicha matriz es un número distinto de cero, se denomina base menor de la matriz rectangular original.

Antes de empezar a resolver un sistema de ecuaciones utilizando el método gaussiano, no está de más calcular el determinante. Si resulta ser cero, entonces podemos decir inmediatamente que la matriz tiene un número infinito de soluciones o ninguna. En un caso tan triste, es necesario ir más allá y conocer el rango de la matriz.

Clasificación del sistema

Existe algo llamado el rango de una matriz. Este es el orden máximo de su determinante distinto de cero (si recordamos la base menor, podemos decir que el rango de una matriz es el orden de la base menor).

Según la situación con el rango, SLAE se puede dividir en:

Articulación. Ud. En los sistemas conjuntos, el rango de la matriz principal (que consta únicamente de coeficientes) coincide con el rango de la matriz extendida (con una columna de términos libres). Estos sistemas tienen una solución, pero no necesariamente una, por lo que además sistemas conjuntos dividido en:
- cierto- tener una única solución. En determinados sistemas, el rango de la matriz y el número de incógnitas (o el número de columnas, que es lo mismo) son iguales;
- indefinido - con un número infinito de soluciones. El rango de las matrices en tales sistemas es menor que el número de incógnitas.
Incompatible. Ud. En tales sistemas, los rangos de las matrices principal y extendida no coinciden. Los sistemas incompatibles no tienen solución.

El método de Gauss es bueno porque durante la solución permite obtener una prueba inequívoca de la inconsistencia del sistema (sin calcular los determinantes de matrices grandes) o una solución en forma general para un sistema con un número infinito de soluciones.

Transformaciones elementales

Antes de proceder directamente a resolver el sistema, puede hacerlo menos engorroso y más conveniente para los cálculos. Esto se logra mediante transformaciones elementales, de modo que su implementación no cambie la respuesta final de ninguna manera. Cabe señalar que algunas de las transformaciones elementales dadas son válidas sólo para matrices cuya fuente fue la SLAE. Aquí hay una lista de estas transformaciones:

Reorganizar líneas. Obviamente, si cambia el orden de las ecuaciones en el registro del sistema, esto no afectará la solución de ninguna manera. En consecuencia, las filas de la matriz de este sistema también se pueden intercambiar, sin olvidar, por supuesto, la columna de términos libres.
Multiplicar todos los elementos de una cadena por un determinado coeficiente. ¡Muy útil! Se puede utilizar para acortar números grandes en la matriz o eliminar ceros. Muchas decisiones, como de costumbre, no cambiarán, pero futuras operaciones serán más convenientes. Lo principal es que el coeficiente no es igual a cero.
Eliminando filas con factores proporcionales. Esto se desprende en parte del párrafo anterior. Si dos o más filas de una matriz tienen coeficientes proporcionales, entonces cuando una de las filas se multiplica/divide por el coeficiente de proporcionalidad, se obtienen dos (o, de nuevo, más) filas absolutamente idénticas, y las sobrantes se pueden eliminar, dejando sólo uno.
Eliminando una línea nula. Si, durante la transformación, se obtiene una fila en algún lugar en la que todos los elementos, incluido el término libre, son cero, entonces dicha fila se puede llamar cero y eliminarse de la matriz.
Sumando a los elementos de una fila los elementos de otra (en las columnas correspondientes), multiplicados por un determinado coeficiente. La transformación más no obvia y más importante de todas. Vale la pena detenerse en ello con más detalle.

Sumar una cadena multiplicada por un factor

Para facilitar la comprensión, vale la pena desglosar este proceso paso a paso. Se toman dos filas de la matriz:

un 11 un 12... un 1n | b1

un 21 un 22... un 2n | segundo 2

Digamos que necesitas sumar el primero al segundo, multiplicado por el coeficiente "-2".

un" 21 = un 21 + -2×un 11

un" 22 = un 22 + -2×un 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Luego, la segunda fila de la matriz se reemplaza por una nueva y la primera permanece sin cambios.

un 11 un 12... un 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Cabe señalar que el coeficiente de multiplicación se puede seleccionar de tal manera que, como resultado de sumar dos filas, uno de los elementos nueva linea era igual a cero. Por tanto, es posible obtener una ecuación en un sistema donde habrá una incógnita menos. Y si se obtienen dos de esas ecuaciones, entonces la operación se puede realizar nuevamente y obtener una ecuación que contendrá dos incógnitas menos. Y si cada vez conviertes un coeficiente en cero para todas las filas que están debajo del original, entonces puedes, como escaleras, bajar hasta el final de la matriz y obtener una ecuación con una incógnita. A esto se le llama resolver el sistema usando el método gaussiano.

En general

Que haya un sistema. Tiene m ecuaciones yn raíces desconocidas. Puedes escribirlo de la siguiente manera:

La matriz principal se compila a partir de los coeficientes del sistema. Se agrega una columna de términos libres a la matriz extendida y, por conveniencia, se separa por una línea.

la primera fila de la matriz se multiplica por el coeficiente k = (-a 21 /a 11);
se suman la primera fila modificada y la segunda fila de la matriz;
en lugar de la segunda fila, se inserta en la matriz el resultado de la suma del párrafo anterior;
ahora el primer coeficiente en la nueva segunda fila es a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Ahora se realiza la misma serie de transformaciones, solo están involucradas la primera y tercera filas. En consecuencia, en cada paso del algoritmo, el elemento a 21 se reemplaza por un 31. Luego se repite todo para un 41,... un m1. El resultado es una matriz donde el primer elemento de las filas es cero. Ahora debes olvidarte de la línea número uno y realizar el mismo algoritmo, comenzando desde la línea dos:

coeficiente k = (-a 32 /a 22);
la segunda línea modificada se agrega a la línea "actual";
el resultado de la suma se sustituye en la tercera, cuarta y así sucesivamente, mientras que la primera y la segunda permanecen sin cambios;
en las filas de la matriz los dos primeros elementos ya son iguales a cero.

El algoritmo debe repetirse hasta que aparezca el coeficiente k = (-a m,m-1 /a mm). Esto significa que en último tiempo el algoritmo se realizó sólo para la ecuación inferior. Ahora la matriz parece un triángulo o tiene forma escalonada. En la línea inferior está la igualdad a mn × x n = b m. Se conocen el coeficiente y el término libre, y a través de ellos se expresa la raíz: x n = b m /a mn. La raíz resultante se sustituye en la línea superior para encontrar x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Y así sucesivamente por analogía: en cada línea posterior hay una nueva raíz y, al llegar a la "cima" del sistema, se pueden encontrar muchas soluciones. Será el único.

Cuando no hay soluciones

Si en una de las filas de la matriz todos los elementos, excepto el término libre, son iguales a cero, entonces la ecuación correspondiente a esta fila parece 0 = b. No tiene solución. Y dado que tal ecuación está incluida en el sistema, entonces el conjunto de soluciones de todo el sistema está vacío, es decir, degenerado.

Cuando hay un número infinito de soluciones.

Puede suceder que en la matriz triangular dada no haya filas con un elemento coeficiente de la ecuación y un término libre. Sólo hay líneas que, al reescribirse, parecerían una ecuación con dos o más variables. Esto significa que el sistema tiene un número infinito de soluciones. En este caso, la respuesta se puede dar en forma de solución general. ¿Cómo hacer esto?

Todas las variables de la matriz se dividen en básicas y libres. Los básicos son aquellos que se encuentran "en el borde" de las filas de la matriz de pasos. El resto son gratis. En la solución general, las variables básicas se escriben mediante variables libres.

Por conveniencia, la matriz primero se reescribe en un sistema de ecuaciones. Luego, en el último de ellos, donde exactamente solo queda una variable básica, ésta permanece en un lado y todo lo demás se transfiere al otro. Esto se hace para cada ecuación con una variable básica. Luego, en las ecuaciones restantes, cuando sea posible, se sustituye la expresión obtenida para ello en lugar de la variable básica. Si el resultado es nuevamente una expresión que contiene solo una variable básica, se expresa nuevamente a partir de ahí, y así sucesivamente, hasta que cada variable básica se escriba como una expresión con variables libres. Esta es la solución general de SLAE.

También puede encontrar la solución básica del sistema: asigne cualquier valor a las variables libres y luego, para este caso específico, calcule los valores de las variables básicas. Hay una infinidad de soluciones particulares que se pueden dar.

Solución con ejemplos específicos.

Aquí hay un sistema de ecuaciones.

Por conveniencia, es mejor crear inmediatamente su matriz.

Se sabe que cuando se resuelve por el método gaussiano, la ecuación correspondiente a la primera fila permanecerá sin cambios al final de las transformaciones. Por lo tanto, será más rentable si el elemento superior izquierdo de la matriz es el más pequeño; entonces los primeros elementos de las filas restantes después de las operaciones se volverán cero. Esto significa que en la matriz compilada será ventajoso colocar la segunda fila en lugar de la primera.

segunda línea: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

tercera línea: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Ahora, para no confundirse, es necesario anotar una matriz con los resultados intermedios de las transformaciones.

Obviamente, dicha matriz puede hacerse más conveniente para la percepción mediante determinadas operaciones. Por ejemplo, puedes eliminar todos los "menos" de la segunda línea multiplicando cada elemento por "-1".

También vale la pena señalar que en la tercera línea todos los elementos son múltiplos de tres. Luego puedes acortar la línea por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - al mismo tiempo, para eliminar valores negativos).

Se ve mucho mejor. Ahora debemos dejar la primera línea sola y trabajar con la segunda y la tercera. La tarea es sumar la segunda línea a la tercera línea, multiplicada por un coeficiente tal que el elemento a 32 se vuelva igual a cero.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (si durante algunas transformaciones la respuesta no resulta ser un número entero, se recomienda mantener la precisión de los cálculos para dejar "tal cual", en la forma fracción común, y solo entonces, cuando se reciban las respuestas, decidir si redondear y convertir a otra forma de registro)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

La matriz se vuelve a escribir con nuevos valores.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Como puede ver, la matriz resultante ya tiene forma escalonada. Por lo tanto, no se requieren más transformaciones del sistema utilizando el método gaussiano. Lo que puedes hacer aquí es eliminar el coeficiente general "-1/7" de la tercera línea.

Ahora todo es hermoso. Sólo queda escribir nuevamente la matriz en forma de sistema de ecuaciones y calcular las raíces.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

El algoritmo mediante el cual se encontrarán ahora las raíces se denomina movimiento inverso en el método gaussiano. La ecuación (3) contiene el valor z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Y la primera ecuación nos permite encontrar x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Tenemos derecho a llamar a este sistema conjunto, e incluso definitivo, es decir, que tiene una solución única. La respuesta está escrita de la siguiente forma:

x1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Un ejemplo de un sistema incierto

Se ha analizado la variante de resolver un determinado sistema mediante el método de Gauss; ahora es necesario considerar el caso si el sistema es incierto, es decir, se pueden encontrar infinitas soluciones para él.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

La apariencia misma del sistema ya es alarmante, porque el número de incógnitas es n = 5, y el rango de la matriz del sistema ya es exactamente menor que este número, porque el número de filas es m = 4, es decir, el orden más alto del determinante cuadrado es 4. Esto significa que hay un número infinito de soluciones y hay que buscar su apariencia general. El método de Gauss para ecuaciones lineales le permite hacer esto.

Primero, como de costumbre, se compila una matriz extendida.

Segunda línea: coeficiente k = (-a 21 /a 11) = -3. En la tercera línea, el primer elemento está antes de las transformaciones, por lo que no necesitas tocar nada, debes dejarlo como está. Cuarta línea: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Multiplicando los elementos de la primera fila por cada uno de sus coeficientes y sumándolos a las filas requeridas, obtenemos una matriz de la siguiente forma:

Como puede ver, la segunda, tercera y cuarta filas constan de elementos proporcionales entre sí. El segundo y el cuarto son generalmente idénticos, por lo que uno de ellos se puede eliminar inmediatamente y el restante se puede multiplicar por el coeficiente "-1" y obtener la línea número 3. Y nuevamente, de dos líneas idénticas, dejar una.

El resultado es una matriz como esta. Si bien el sistema aún no se ha escrito, es necesario determinar aquí las variables básicas: las que se encuentran en los coeficientes a 11 = 1 y a 22 = 1, y las libres, todo lo demás.

En la segunda ecuación solo hay una variable básica: x 2. Esto quiere decir que se puede expresar a partir de ahí escribiéndolo a través de las variables x 3 , x 4 , x 5 , que son libres.

Sustituimos la expresión resultante en la primera ecuación.

El resultado es una ecuación en la que la única variable básica es x 1. Hagamos con él lo mismo que con x 2.

Todas las variables básicas, de las cuales hay dos, se expresan en términos de tres libres; ahora podemos escribir la respuesta en forma general.

También puede especificar una de las soluciones particulares del sistema. Para tales casos, generalmente se eligen ceros como valores para las variables libres. Entonces la respuesta será:

16, 23, 0, 0, 0.

Un ejemplo de un sistema no cooperativo

Resolver sistemas de ecuaciones incompatibles utilizando el método de Gauss es el más rápido. Termina inmediatamente tan pronto como en una de las etapas se obtiene una ecuación que no tiene solución. Es decir, se elimina la etapa de cálculo de las raíces, que es bastante larga y tediosa. Se considera el siguiente sistema:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Como es habitual, se elabora la matriz:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Y se reduce a una forma gradual:

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Después de la primera transformación, la tercera línea contiene una ecuación de la forma

sin solución. En consecuencia, el sistema es inconsistente y la respuesta será el conjunto vacío.

Ventajas y desventajas del método.

Si elige qué método resolver los SLAE en papel con un bolígrafo, entonces el método que se analizó en este artículo parece el más atractivo. Es mucho más difícil confundirse en transformaciones elementales que si tienes que buscar manualmente un determinante o alguna matriz inversa complicada. Sin embargo, si utiliza programas para trabajar con datos de este tipo, por ejemplo, hojas de cálculo, resulta que dichos programas ya contienen algoritmos para calcular los principales parámetros de las matrices: determinante, menor, inversa, etc. Y si estás seguro de que la máquina calculará estos valores por sí misma y no cometerá errores, es más recomendable utilizar el método matricial o las fórmulas de Cramer, porque su aplicación comienza y termina con el cálculo de determinantes y matrices inversas. .

Solicitud

Dado que la solución gaussiana es un algoritmo y la matriz es en realidad una matriz bidimensional, se puede utilizar en programación. Pero dado que el artículo se posiciona como una guía "para principiantes", hay que decir que el lugar más fácil para implementar el método son las hojas de cálculo, por ejemplo Excel. Nuevamente, Excel considerará cualquier SLAE ingresado en una tabla en forma de matriz como una matriz bidimensional. Y para operar con ellos hay muchos comandos interesantes: suma (¡solo puedes sumar matrices del mismo tamaño!), multiplicación por un número, multiplicación de matrices (también con ciertas restricciones), encontrar matrices inversas y transpuestas y, lo más importante , calculando el determinante. Si esta laboriosa tarea se sustituye por un único comando, es posible determinar el rango de la matriz mucho más rápidamente y, por tanto, establecer su compatibilidad o incompatibilidad.